材料力学 截面图形几何性质

2d 3π
11
材料力学Ⅰ电子教案
（2）求对形心轴xc的惯性矩
πd 4 64 πd 4
Ix
2
128
由平行移轴公式得：
y
b(y)
C
xc
yc
x
d
I xc
Ix
(
yc
)2
πd 8
2
πd 4 128
d4 18π
12
材料力学Ⅰ电子教案
试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。
40
y
解：将截面看作一个矩形和
zC 0
yC
Ai yi Ai
A1 y1 A2 y2 A1 A2
23.75mm
5
y C、z C即截面的形心轴。
yC
再求截面对形心轴的惯性矩：
Iy C
30 53 12
5 303 12
11560mm4
由平行移轴定理得：
Iz
(Iz
a2 1
A1
)
(
I
z
a2 2
A2
)
C
C1
C2
[I z ( yC y1)2 A1] [I z ( yC y2 )2 A2 ] 34530mm4
思考：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为
过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性
积和惯性矩有四种答案(已知b>a)：
（A）Ixy＞０ (C) Ixy=０
（B） Ixy<０ （D） Ix=Iy
A
y
bO
x
正确答wk.baidu.com是 (C)
Ba
D
18
材料力学Ⅰ电子教案
思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点
两个半圆组成。
（1）矩形对x的惯性矩：
2d 3
a+
I x1
d 2a 3
12
80 2003 12
C
x
5333104 mm4
a =100
100
（2）一个半圆对其自身形 心轴xc的惯性矩（见上例）
40
d =80
I xc
Ix
(
yc
)2
πd 8
2
πd 4 128
d4
18π
(a)
13
材料力学Ⅰ电子教案
（3）一个半圆对x的惯性矩：
IZ
Iy.
四、惯性积：
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式：
I z1 z a2 A; y1 y b2 A; I z1y1 I zy abA;
20
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材料力学Ⅰ电子教案
六、主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
y
d A 2 r2 y2 • d y
dA
dy
yC
所以
Sx
A
yd
A
r
0
y( 2
r2 y2 )d y 2 r3 3
Cr
y
O
x
yC
Sx A
2r 3
r 2
/3 /2
4r
3
4
目录
材 料 力 学 Ⅰ 电 子第教二案节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。
的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的:
(1)惯性积Ixy＝＿＿ (2)惯性矩Ix＝＿＿ 、 Iy＿＿＿。
y
a
a
x
答案： 0；a4/24; a4/24
19
材料力学Ⅰ电子教案
小结
一、静矩： Sz A y dA A yc;
Sy
z
A
dA
A
zc ;
性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积 I zoyo 0 的这对 正交坐标轴；
主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；
形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
几个结论 •若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主 惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心 并与对称轴垂直的轴。
i1
I
yi
n
I xy I i1 xyi
10
材料力学Ⅰ电子教案
求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。
y
b(y) C
yc
d
解： （1）求形心坐标
b( y) 2 R2 y2
d
xc
Sx
yd A
A
2 yb( y) d y
0
x
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
yc
Sx A
d 3 12 πd 2 8
二、极惯性矩：
IP
2dA;
A
实心圆截面：
IP
D 4
32
;
空心圆截面：I P
D 4
32
(1 4 ); (
d) D
三、惯性矩：
Iz
y 2 dA;
A
Iy
z 2 dA;
A
矩形截面： Iz
bh3 12
;
Iy
hb3 12
;
圆形截面：I y
Iz
D 4
64
;
几何关系：
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
Iz
y2dA
A
h/2
y2bdy
bh3 ;
h / 2
12
取微面积dA=hdz,则：
I y
z2dA
A
b/2 z2hdz hb3 ;
b / 2
12
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
Iz
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
IP
2dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面：
IP
D 2
2
2 dA
D 4
;
0
32
空心圆截面：
IP
D 4
32
(1 4 ); (
d) D
二、惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：
y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为
y'c
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.6 2.52 2 0.2 2.4
0.16m;
2
材料力学Ⅰ电子教案
求图示图形的形心。
10
解：将此图形分别为I、II、III三
部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取
I 300 II
为x轴，则
III
yC
Ai yC i Ai
：
Iz
y 2 dA;
A
Iy
z 2 dA;
A
5
材料力学Ⅰ电子教案
惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。
惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 三、惯性积：
定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。
8
材料力学Ⅰ电子教案
I x
y2d A
A
A yc a2 d A
A yc 2 d A 2a A yc d A a2 A d A
I xc 2a A yc a2 A
I xc a 2 A
同理，有：
Ix Ixc a2 A I y I yc b2 A
I xy I xc yc abA
七、平面图形几何性质的几何意义：
1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分 散程度；
4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的 集中或分散程度。
y yc x xc dA yc
C
设有面积为A的任意形状的截面。 C 为 其 形 心 ， Cxcyc 为 形 心 坐 标 xc 系。与该形心坐标轴分别平行
的任意坐标系为Oxy ,形心C在在
y
Oxy坐标系下的坐标为(a , b)
任意微面元dA在两坐标系
Ob
x 下的坐标关系为：
x xC b y yC a
Izy
z y dA;
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积
均不同。惯性积是代数值。
②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
单位： m4 , mm 4;
6
材料力学Ⅰ电子教案
例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
•若截面有二根对称轴，则此二轴即为形 心主惯性轴。
•若截面有三根对称轴，则通过形心的任一 轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。
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材料力学Ⅰ电子教案
30
C2 zC2 5
2
C
zC
y2 y1
yC 30
C1 1
zC1 z
求T形截面对形心轴的惯性矩 先求形心的位置：
取参考坐标系如图，则：
y 2 dA
A
由对称性： I
R
2y R
y Iz
2 R D4 ; 64
2 y2 dy R4 D4 ;
4 64 由几何关系： 2＝y2
z
2
,
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
7
材料力学Ⅰ电子教案
第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
•组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式
1
材料力学Ⅰ电子教案
二、形心公式：
yc
Sz A
; zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i 1
n
S y Ai zci; i 1
n
四、组合截面形心公式：
Ai yci
yc
i 1 n
;
Ai
i 1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
Ai zci
由平行移轴公式得：
I x2
I xc
a
2d 3π
2
πd 2 8
πd 2 4
d2 32
a2 2
2ad 3π
3467104 mm4
（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：
I x I x1 2I x2 5333104 2 3467104 12270104 mm4
14
材 料 力 学 Ⅰ 电 子第四教节案 主惯性轴和主惯性矩：
zc
i 1 n
;
Ai
i 1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2 , y1 2.46m; A2 0.48m2 , y2 1.2m;
y若c 分A解1Ay11为１AA22、y2 ２ 0、.0３72三0.02个7.426矩0形0.4.4，88 则1.2 1.36m;
若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等 厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：
Sz A y dA A yc;
Sy
z
A
dA
A
zc ;
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静
矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
则截面对该轴的静矩为零。
16
C1
C2
材料力学Ⅰ电子教案
求图示圆对其切线AB的惯性矩。
y
解 ：求解此题有两种方法：
d O
一是按定义直接积分；
x
二是用平行移轴定理等知识求。
A
B
建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
I
x
I
y
IP 2
d 4
64
17
I
d 4
32
I
x
I
y
圆
2I
x
I
AB
I
x
d
2
Ad 4
64
d
4
4
5d
64
4
材料力学Ⅰ电子教案
(20010) (5 150) 2 (10 300) 0 20010 2 (10 300)
38.8 mm
由于对称知： xc=0
3
y y1 200
C O
10 150 yC x1
x
目录
材料力学Ⅰ电子教案
求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。
解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条，
材料力学Ⅰ电子教案
• 第一节 静矩和形心
一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 y dA 和 z dA
截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分
别为：
Sz
y dA;
A
Sy
z dA;
A
静矩为代数值。静矩单位：m3; mm3;
不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同
一截面对不同坐标轴的静矩也不同。
（此为平行移轴公式 ）
注意： •式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。
•等号右边各首项为相对于形心轴的量。
9
材料力学Ⅰ电子教案
2.组合截面的惯性矩和惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某 轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一 轴的惯性矩（或惯性积）之和：
n
Ix
i1
I
xi
n
Iy
21
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