2017年秋季新版湘教版八年级数学上学期5.1、二次根式导学案2
湘教版数学八年级上册5.2《二次根式的除法》教学设计2
湘教版数学八年级上册5.2《二次根式的除法》教学设计2一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.2《二次根式的除法》是本册教材中关于二次根式的一个重要内容。
学生在学习了二次根式的性质和运算后，对本节内容有了基本的认识。
本节内容主要介绍了二次根式的除法运算规则，包括二次根式的乘除运算和分母有理化。
通过本节内容的学习，使学生能够掌握二次根式的除法运算，提高他们的数学运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已具备了二次根式的基本知识，但仍需在实际操作中进一步巩固和应用。
在除法运算方面，学生可能对分母有理化等运算技巧掌握不够熟练，因此需要在教学过程中进行针对性的指导和练习。
三. 教学目标1.理解二次根式的除法运算规则。
2.能够熟练进行二次根式的除法运算。
3.提高学生的数学运算能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的除法运算规则。
2.分母有理化的方法和技巧。
五. 教学方法1.采用讲解法，详细讲解二次根式的除法运算规则和分母有理化的方法。
2.利用例题，让学生在实际操作中掌握二次根式的除法运算。
3.采用问答法，引导学生思考和探讨二次根式除法运算的实质。
4.利用练习题，进行巩固和拓展训练。
六. 教学准备1.教案和教学课件。
2.相关例题和练习题。
3.教学黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引入二次根式的除法运算，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的除法运算规则，包括二次根式的乘除运算和分母有理化。
通过PPT展示，使学生更直观地理解除法运算的规则。
3.操练（10分钟）让学生在课堂上进行二次根式除法运算的练习，教师巡回指导，及时纠正错误，帮助学生掌握运算技巧。
4.巩固（10分钟）针对学生练习中出现的问题，进行讲解和巩固，使学生能够熟练运用除法运算规则。
5.拓展（5分钟）引导学生思考和探讨二次根式除法运算的实质，提高学生的数学思维能力。
6.小结（5分钟）对本节内容进行总结，强调二次根式除法运算的规则和分母有理化的方法。
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计1
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计1一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》是本册教材中关于二次根式的重要内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质及其运算。
通过本节的学习，学生能理解二次根式的含义，掌握二次根式的性质，并为后续的二次根式运算打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固二次根式的概念及性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学运算有一定的了解。
但二次根式作为新的数学概念，对其性质的理解和运用需要一定的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师应关注学生的认知水平，合理设计教学环节，引导学生逐步理解和掌握二次根式的概念及性质。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，并能运用性质进行简单的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及性质。
2.二次根式的运算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲授法：教师讲解二次根式的性质，引导学生理解和掌握。
3.实践操作法：学生通过动手操作，巩固二次根式的性质。
4.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决二次根式运算问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的概念及性质。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固学生对二次根式的理解。
3.黑板：准备黑板，用于板书解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如车轮直径、高楼高度等，引导学生思考实际问题中的二次根式。
让学生感受二次根式在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师讲解二次根式的概念，引导学生理解二次根式的含义。
通过PPT 展示二次根式的图像，让学生直观地感受二次根式的特点。
3.操练（10分钟）学生动手操作，巩固二次根式的性质。
XJ湘教版 初二八年级数学 上册第一学期秋季(教学设计 教案)第5章 二次根式(全章 分课时 含反思)
第5章二次根式5．1二次根式第1课时二次根式的概念及性质1．了解二次根式的定义；2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)一、情境导入前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作a，那么形如a的式子有哪些性质？对于a中a的取值有什么要求？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中：①3，②33，③a4，④a2＋1，⑤－15，⑥a2－1，一定是二次根式的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的定义判断.33的根指数是3，不是二次根式；－15的被开方数为负数，不是二次根式；a2－1的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如a；②被开方数为非负数．探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．(1)x＋2；(2)x－1x－2；(3)x2＋1；(4)－x2.解析：(1)要使x＋2有意义，必须使x＋2≥0；(2)要使x－1x－2有意义，必须使x－1≥0，且x－2≠0；(3)要使x2＋1有意义，必须使x2＋1≥0，显然x为任何实数；(4)要使－x2有意义，必须使－x2≥0，这时x＝0.解：(1)x＋2≥0，所以x≥－2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≠2，所以x ≥1且x ≠2； (3)x 2＋1≥0，所以x 为全体实数；(4)－x 2≥0，所以x ＝0.方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．探究点三：二次根式的性质－323)2. 解：(3)(【类型二】已知y ＝x －2－2－x ＋5，则y＝________．解析：由已知条件y ＝x －2－2－x ＋5可知x －2与2－x 都有意义，所以存在隐含条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2－x ≥0，故x ＝2.把x ＝2代入y ＝x －2－2－x ＋5，求得y ＝5，所以x y ＝25.方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．【类型三】 (1)22；(2)（－23）2； (3)－（－π）2.解析：利用a 2＝|a |进行计算． 解：(1)22＝2；(2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数．【类型四】 如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简．解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1， 则a －b ＜0，a ＋b ＜0.原式＝2|a |－|a －b |＋|a ＋b |＝－2a ＋a －b －(a ＋b )＝－2a －2b . 方法总结：利用a 2＝|a |化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件：被开方数大于或等于零性质⎩⎨⎧（a ）2＝a （a ≥0）a 2＝a （a ≥0）本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．第2课时 二次根式的化简1．掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简；(重点)2．理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)4×9，4×9； (2)16×25，16×25.观察计算结果，上述每组式子计算结果有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质【类型一】利用积的算术平方根的性质进行二次根式计算或化简化简： (1)196×0.25； (2)（－19）×（－6481）；(3)225a 6b 2(a ≥0，b ≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7； (2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827； (3)225a 6b 2＝225·a 6·b 2＝15a 3b . 方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．A ．a ≥0B ．a ＞0C ．a ≥1D ．0≤a ≤1解析：a 2－a 3＝a 2（1－a ）＝a 2·1－a ＝|a |·1－a ，又a 2－a 3＝a 1－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，1－a ≥0.解得0≤a ≤1，故选D. 方法总结：利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．【类型三】解析：把根号外的因式移到根号内，比较两个被开方数的大小．解：∵35＝32×5＝45，53＝52×3＝75， ∵75＞45，∴35＜5 3.方法总结：比较两个二次根式的大小，可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外的因式移到根号内，直接比较两个被开方数的大小，对于两个正数，被开方数大的数较大．探究点二：最简二次根式【类型一】 最简二次根式的判定下列二次根式中，最简二次根式是( )A.8aB.3aC.a3D.a 2＋a 2b解析：A 选项中8a 含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B 选项是最简二次根式；C 选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得：a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2，不是最简二次根式；故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【类型二】二次根式的化简把下列各式化成最简二次根式．(1)500；(2)3a 2b 3；(3)2512；(4)23ab2.解析：(1)先将500分解质因数，再根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因数100移到根号外；(2)根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因式a 2b 2移到根号外；(3)把被开方数的分子、分母同时乘以3，把分母化为一个完全平方数，再把能开得尽方的部分移到根号外；(4)把被开方数的分子、分母同时乘以3a ，把分母化为一个数的平方，再把分母移到根号外．解：(1)500＝100×5＝105；(2)3a 2b 3＝3b ·a 2b 2＝|a |b 3b ； (3)2512＝25×312×3＝563； (4)23ab 2＝2×3a 3ab 2·3a ＝6a3ab. 方法总结：把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．三、板书设计1．积的算术平方根的性质 2．最简二次根式通过积的算术平方根与算术平方根的积的运算引入积的算术平方根的性质，让学生归纳总结出结论，并运用于化简．对于被开方数含有分母的二次根式化为最简二次根式是本节课的难点，引导学生根据分式的基本性质把分母化为一个数或式的平方，并让学生加强训练．5．2二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点，难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是( ) A．x≤2 B．x≥－1C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＋1≥0，2－x≥0.解得－1≤x≤2，故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．探究点二：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法运算计算：(1)53×27125；(2)918×(－1654)；(3)135·23·(－3416)；(4)2a 8ab ·(－236a 2b )·3a (a ≥0，b ≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法运算法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝53×27125＝35； (2)原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273；(3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355； (4)原式＝－2a ×238ab ·6a 2b ·3a ＝－16a 3b .方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．【类型二】 ，宽为48πcm 的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径．解析：根据矩形的面积等于“长×宽”、圆的面积等于“π×半径的平方”进行计算． 解：设圆的半径为r cm.因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2.所以πr 2＝168π，r ＝242(cm)(r ＝－242舍去)．方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a≥0，b ≥0)在学习了积的算术平方根的基础上，这一节课学习了二次根式的乘法．这两个性质法则是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算．第2课时 二次根式的除法1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点) 2．掌握二次根式的除法法则并会运用进行计算．(重点，难点)一、情境导入一个长方形的面积为15，长为5，那么这个长方形的宽是多少？ 二、合作探究探究点一：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a2－a＝a2－a，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ≤2 C ．0≤a ＜2 D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0.解得0≤a ＜2，故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179；(2)3c34a 4b2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点二：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算计算：(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)． 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab2＝27a 2b312ab2＝9ab 4＝32ab ； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号．②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式．③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法．④最后结果要化为最简二次根式．【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算：(1)318×32÷(－512)； (2)166÷23412×12112. 解析：把系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后结果化为最简二次根式． 解：(1)318×32÷(－512)＝(－3×12×15)18×312＝－31092＝－3109×22×2＝－310×322＝－9202； (2)166÷23412×12112＝(16÷23×12)6÷92×112＝(16×32×12)6×29×112＝319＝1. 方法总结：二次根式的乘除混合运算，与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行，也可以先统一为乘法运算，再进行运算．【类型三】 ，长为20cm ，宽为15cm ，求长方体的高．解析：因为长方体的体积＝长×宽×高，所以高＝长方体的体积÷(长×宽)，代入计算即可．解：长方体的高为：3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)． 方法总结：本题也可以设高为x ，根据长方体体积公式建立方程求解．三、板书设计1．商的算术平方根的性质：b a ＝ba (a ＞0，b ≥0) 2．二次根式的除法：b a＝ba(a ＞0，b ≥0)本节课的学习中要注意拓展知识间的相互联系：商的算术平方根的性质与二次根式的除法的联系，二次根式的乘法与二次根式的除法的联系，类比单项式的乘除法运算进行二次根式的乘除法运算，让学生顺利实现知识的迁移．5．3 二次根式的加法和减法第1课时 二次根式的加减运算1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法法则； 2．掌握二次根式的加减运算．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)23－53； (2)35－5＋2 5. 这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( ) A.12 B.32C.23D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项B 中，32＝62与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．探究点二：二次根式的加减【类型一】 (1)8 (3)448－375； (4)1816－3296. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63；(3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3； (4)原式＝1866－32×46＝36－66＝－3 6.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．【类型二】 二次根式的加减混合运算计算：(2)324x －3x9＋3x1x；(3)3123－45＋220－1260； (4)0.5－213－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝23－3－3＝0； (2)原式＝3x－x ＋3x ＝5x ；(3)原式＝15－35＋45－15＝5； (4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．【类型三】 ，其中两边长分别是(3＋2)cm ，(33－22)cm ，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是：(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝(42－23)(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．三、板书设计二次根式的加减：合并同类二次根式通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质．第2课时 二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)x (x ＋1)；(2)(3x 2y 2－2x 2y ＋xy 2)÷xy ； (3)(2x ＋3y )(2x －3y )；(4)(x －y )2＋(x －2y )2.在上述运算中，如果把x ，y 换成二次根式，以上运算怎样进行？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】二次根式的混合运算计算： (1)48÷3－12×12＋24； (2)12÷43×23－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简． 解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6； (2)12÷43×23－50＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝－922. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(5＋3)(5－3)；(2)(32－23)2－(32＋23)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)先分别用完全平方公式计算，最后再合并．解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(2)(32－23)2－(32＋23)2＝18－126＋12－(18＋126＋12)＝－24 6. 方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．【类型三】 二次根式的化简求值先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋xy －yx －xy，其中x ＝3＋1，y ＝3－1. 解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算． 解：原式＝x （x ＋y ）y （x ＋y ）＋y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋yxy.∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2， ∴原式＝232＝ 6.方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．【类型四】 33－2，求这个三角形的面积． 解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为：12×(63＋22)×(33－2)＝12×2×(33＋2)×(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：列出解决实际问题的关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．探究点二：二次根式的分母有理化 【类型一】 分母有理化计算：(1)215＋122；(2)3－23＋2＋3＋23－2.解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算． 解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2＝230＋262＝30＋6；(2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以一项的二次根式，使得分母能写成a ×a 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母同乘以a －b .解析：，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13，∵15＋14＞14＋13＞0，方法总结：两个正分数比较大小时可把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计1．二次根式的混合运算 2．分母有理化二次根式的混合运算可类比整式的混合运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯．第5章 二次根式【教学目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【教学重点】含二次根式的式子的混合运算．【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 【教学方法】典例解析法 【教学准备】小黑板、三角尺 【教学过程】 【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》说课稿2
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》说课稿2一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》是初中数学的重要内容，本节内容是在学生已经掌握了实数、分数、有理数等基础知识的基础上进行讲解的。
二次根式的化简不仅涉及到数学知识的深入，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本节课的教学内容主要包括二次根式的定义、性质和化简方法，以及如何运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、分数、有理数等基础知识，对于数学中的概念和性质有一定的理解能力。
但是，二次根式的化简涉及到一些较为复杂的数学运算和逻辑推理，对于部分学生来说可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对不同学生的实际情况进行有针对性的教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解二次根式的定义和性质，掌握二次根式的化简方法，能够运用二次根式的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的定义、性质和化简方法。
2.教学难点：二次根式的化简过程中的逻辑推理和运算技巧。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解等方法，引导学生主动探究二次根式的化简方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生直观地理解二次根式的化简过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习实数、分数、有理数等基础知识，引出二次根式的定义和性质。
2.自主学习：让学生自主探究二次根式的化简方法，教师给予适当的引导和帮助。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的化简方法，互相学习和借鉴。
4.教师讲解：针对学生的讨论结果，教师进行讲解和总结，强调化简过程中的关键步骤和注意事项。
湘教版八年级数学上册第五章《二次根式》教案
第5章二次根式5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式的基本性质.3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.4.经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.5.经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念及意义.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.一、情景导入，初步认知1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.二、思考探究，获取新知1.说一说：（1）5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半径R之间存在如下关系：u 2=gR ，其中重力加速度常数g ≈9.5m/s 2.如已知地球半径R ，则第一宇宙速度v 是多少？我们已经知道：每一个正实数a 有且只有两个平方根，一个记作a ，称为a 的算术平方根，另一个是-a . 【归纳结论】我们把形如a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.思考二次根式“a ”中被开方数a 能取任意实数吗？【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.对于非负实数a,由于a 是a 的一个平方根，因此（a ）2=a(a ≥0)3.做一做：填空.22272 1.25，()，===⋯⋯根据上述结果猜想，当a ≥0时，2a = . 【归纳结论】2a =a(a ≥0) 4.议一议：当a<0时，2a =a 是否依然成立？为什么?【归纳结论】二次根式的性质：【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.三、运用新知，深化理解1.教材P155例1、P156例2、例3.2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B ）A ．5B ．5C ．15D ．以上皆不对 3.()25x --x 有（B ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：5.当x 是多少时，31x - 在实数范围内有意义？【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，31x -才能有意义．6.当x 是多少时，223x x x++ 在实数范围内有意义？7.当x 1231x x ++在实数范围内有意义？ 【分析】1231x x +++在实数范围内有意义，23x + 中的2x+3≥0和11x +中的x+1≠0．8.已知a 、b 为实数，且521024a a b -+-=+ ，求a 、b 的值．答案：a=5，b=-4【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.第2课时二次根式的化简1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断.2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.4.进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.5.通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.【教学重点】会把二次根式化简为最简二次根式.【教学难点】准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.一、情景导入，初步认知1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？2.当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？2.化简下列二次根式（118（220（372【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）3.化简下列二次根式4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.三、运用新知，深化理解1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.，不是最简二次根式.因为解：最简二次根式有1545=⨯=⨯=，45595935被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式.2.化简216x(x>0)6.化简：7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．解：设正方形铁桶的底面边长为x，则10x2=30×30×20，x2=1800，解得x=302（厘米）．答：正方形铁桶的底面边长是302厘米．【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P160“习题5.1”中第4、5、8 题.学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.5.2 二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法⨯=(a≥0,b≥0).1.使学生掌握二次根式乘法法则a b ab2.使学生掌握2a=a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式.3.通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则.4.培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.【教学难点】二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.一、情景导入，初步认知一块正方形的木板面积为200cm22=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？【教学说明】通过实际问题引入新课.二、思考探究，获取新知1.积的算术平方根的性质是什么？a b a b=a≥0,b≥0)··2.试一试：并观察结果，你能发现什么规律？⋅⋅（）与；（）与14949216251625【教学说明】让学生计算，由学生总结,（1）（2）两式均相等.【教学说明】组织学生计算，验证猜想.让学生自主探究，通过类比得到规律，让学生体验到成功的喜悦，激发学生学习的兴趣.⨯=（a≥0,b≥0)，老师【归纳结论】二次根式乘法的运算公式：a b ab应引导学生关注a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立．因a b在实数范围内却没有意义，乘为当a<0，b<0时，虽然ab有意义，而，法法则显然不能成立．3.计算.三、运用新知，深化理解1.教材P161例1、例2.2.下列各式正确的是（D）8.已知正方形A，矩形B,圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长L A,L B,L C解完本题后，你能得到什么启示？解：略.【教学说明】训练学生对待计算题也要认真分析，找出合理快捷的方法解决问题.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第1、4 题.这一堂课的教学对我的启发很大，好像又回到了初一年级，学生对数的认识是一个很难的问题，很多同学在数的认识中有着很大的欠缺.对根式的认识，特别是对根式的性质的认识总是转换不过来，没有办法只有花上很大的一段时间进行巩固学习，少数同学对负数中的符号问题容易出现错误.今后，应充分给学生训练时间，合理利用学案，让学生把知识掌握好.第2课时二次根式的除法1.会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.2.经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.3.培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值.【教学重点】二次根式除法运算.【教学难点】探索二次根式除法法则.一、情景导入，初步认知1.积的算术平方根的性质是什么？2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？【教学说明】复习旧知，为学习新知做准备.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？【教学说明】发现规律，归纳出二次根式的除法公式.三、运用新知，深化理解1.教材P163例4、P164例5、例6.【教学说明】巩固提高.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第2、3、4 题.这节课原本希望学生能在一节课内就体会到先局部化简再计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就可以.5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算1.知道二次根式加减运算的步骤,2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.3.经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.4.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.【教学重点】二次根式的加减法运算.【教学难点】被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.一、情景导入，初步认知1.下列根式中，哪些是最简二次根式？2.计算下列各式：(1)2x+3x (2)3x-2y+y【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.二、思考探究，获取新知1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.三、运用新知，深化理解1.教材P168例1、例2.2.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（B）7.有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）答案：()1031+【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.第2课时二次根式的混合运算1.使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.2.讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.3.培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.一、情景导入，初步认知1.二次根式有哪些性质？2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？3.怎样化简二次根式？【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽42m,下底宽62m，高6m的梯形，这段路基长500 m,那么这段路基的土石方大小为多少立方米呢？路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.2.计算：【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.三、运用新知，深化理解1. 教材P170例4、P171例5.4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.432【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.章末复习1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.4.经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.5.通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m 有意义，则m能取的最小整数值是（B）2.31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.31 / 31。
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》教学设计2
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》教学设计2一. 教材分析《二次根式的化简》是湘教版数学八年级上册第五章第一节的内容。
本节主要让学生掌握二次根式的性质和化简方法，为后续学习二次根式的运算打下基础。
教材通过实例引入二次根式的化简，接着介绍二次根式的性质，然后引导学生探究化简的方法，最后通过练习巩固所学知识。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、有理数和无理数等基础知识，对数学运算有一定的掌握。
但二次根式作为新的概念，对学生来说较为抽象，需要通过实例和引导让学生理解和掌握。
同时，学生需要克服对二次根式的恐惧心理，培养自信心，积极参与课堂活动。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的化简方法，提高运算能力。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
4.激发学生学习数学的兴趣，增强学生对数学的自信心。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的性质和化简方法。
2.难点：二次根式的化简方法的灵活运用。
五. 教学方法1.实例导入：通过具体的例子引导学生认识二次根式，激发学生的兴趣。
2.自主探究：让学生通过小组合作、讨论，发现二次根式的性质和化简方法。
3.讲解示范：教师对二次根式的性质和化简方法进行讲解，让学生清晰地理解。
4.练习巩固：设计有针对性的练习，让学生在实践中掌握二次根式的化简方法。
5.拓展提高：引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结反思：让学生总结本节课所学内容，巩固知识。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示二次根式的化简过程和实例。
2.练习题：设计具有梯度的练习题，巩固所学知识。
3.黑板：准备好黑板，用于板书关键步骤和结论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入二次根式，让学生观察并思考：如何化简二次根式？引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示二次根式的性质和化简方法，引导学生自主探究，发现规律。
湘教版-数学-八年级上册-5.1二次根式 同步教案
பைடு நூலகம்二次根式
教学目的
1、了解二次根式的概念及二次根式性质。即① （a≥0）是一个非负数，②
2、能根据二次根式的意义，求出二次根号下的字母的取值范围。
3、会用性质 进行计算。
重点
二次根式的概念及二次根式性质。
难点
理解二次根式的概念。
教学过程
一、自学导航：
1、9的平方根是算术平方根是；10的平方根是算术平方根是；
； ；
；
3、计算：
4、计算：
5、计算下列各式
（1） （2） （3） （4）
思考：
1、若x＜0,y＞0,则 的值是（）
A、x-y B、-x-y C、x+y D、-x+y
2、在实数范围内分解因式：
教学后记
；因为 是a的算术平方根，所以 (a≥0),为什么要规定a≥0？
归纳： (这是二次根式的性质2)
3、类比：4的算术平方根是2即
9的算术平方根是3即
16的算术平方根是4即
25的算术平方根是5即
1.21的算术平方根是1.1即
……
归纳: (这是二次根式的性质3)
四、巩固练习:
1、下列哪些是二次根式？
2、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
0的平方根是算术平方根是；对于一个非负实数a，a的平方根记作算术平方根记作；负数没有平方根。
2、形如（）的式子叫二次根式，符号 叫简称，根号下的数叫
3、式子 在实数范围内有意义，则被开方数a0， 是非负数，即 0（这是二次根式的性质1）
三、自主探究、合作学习
1、类比：因为2是4的算术平方根，所以22=； 是3的算术平方根，所以
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》是本册教材中的重要内容，它为学生深入学习二次函数、不等式等知识打下基础。
本节内容通过引入二次根式，让学生了解其定义、性质和运算规则，从而提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了实数、分数、有理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式较为抽象，学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需关注学生的认知差异，采用合适的教学方法，引导学生逐步掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算，提高运算能力。
3.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.讲授法：讲解二次根式的概念、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生在实际操作中掌握二次根式的运算技巧。
4.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的相关实例和运算过程。
2.练习题：准备适量练习题，巩固所学知识。
3.教学黑板：准备黑板，用于板书关键知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入二次根式，如直角三角形的斜边长度，引发学生对二次根式的兴趣。
提问：你们知道直角三角形的斜边长度是如何计算的吗？2.呈现（10分钟）教师讲解二次根式的概念，如什么是二次根式，如何表示二次根式等。
同时，通过示例讲解二次根式的性质，如二次根式的平方、乘除法等。
3.操练（10分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。
题目包括：判断一个式子是否为二次根式，对二次根式进行化简等。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享各自在操练过程中的经验和困惑。
湘教版数学八年级上册《5.1二次根式》说课稿
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》这一节的内容，主要介绍了二次根式的概念、性质和运算方法。
这部分内容是初中数学的重要知识，也是学习高中数学的基础。
通过学习二次根式，学生可以培养数学思维能力，提高解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次根式的相关知识。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、有理数等基础知识，对数学运算有一定的掌握。
但是，对于二次根式这一概念，学生可能比较陌生，需要通过实例和引导，让学生逐步理解和掌握。
此外，学生可能对二次根式的运算方法有一定的困难，需要通过大量的练习和讲解，让学生熟练掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，能够运用二次根式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生体验到数学的乐趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的概念、性质和运算方法。
2.教学难点：二次根式的运算方法，特别是乘除法的运算规则。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与课堂讨论。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等，直观展示二次根式的概念和运算方法，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次根式的概念，激发学生的兴趣。
2.新课讲解：讲解二次根式的定义、性质和运算方法，通过例题展示运算过程，让学生理解和掌握。
3.课堂练习：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固二次根式的运算方法。
4.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出一些拓展问题，激发学生的思考。
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教学设计2
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等知识后，进一步研究根式的一个章节。
本节课主要学习二次根式的概念、性质和运算。
教材从实际问题出发，引入二次根式，使学生在解决实际问题的过程中，感受二次根式的意义和作用。
同时，通过探究二次根式的性质，培养学生的逻辑思维能力，为后续学习二次根式的运算打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了二次方程和二次函数，对二次概念有了一定的了解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象。
此外，学生对实数的认识尚浅，需要在本节课进一步巩固。
在学习过程中，学生需要通过实例感受二次根式的实际意义，并通过自主探究、合作交流，理解二次根式的性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.能够进行二次根式的化简、运算。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其理解。
2.二次根式的性质及其运用。
3.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究法：让学生在探究二次根式性质的过程中，培养独立思考和解决问题的能力。
3.合作交流法：在小组讨论中，让学生分享自己的观点，提高学生的合作意识。
4.案例教学法：通过典型例题，使学生掌握二次根式的运算方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作含有动画、图片、例题的教学课件，帮助学生直观地理解二次根式。
2.教学素材：准备一些实际问题和相关案例，用于引导学生思考和探究。
3.练习题：设计具有层次性的练习题，巩固学生对二次根式的理解和运用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题引入二次根式，让学生感受二次根式的实际意义。
例如，计算一个物体的体积，需要求其半径的平方根。
通过这个问题，引导学生思考二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的概念，让学生明确二次根式的定义和特点。
湘教版八年级数学上册导学案-5.1二次根式
5.1二次根式导学案【学习目标】1. 了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2. 掌握二次根式有意义的条件。
3. 掌握二次根式的基本性质：a ≥0（a ≥0）和(a )2=a (a ≥0).和a a =2【学习重点】理解并掌握二次根式有意义的条件 【学习难点】二次根式的基本性质：a ≥0（a ≥0）和(a )2=a (a ≥0).和a a =2【学习过程】一.学前准备1. 每一个正实数a 有且只有_______个平方根，其中一个平方根是_______,记作_______,称它为a 的算术平方根,另一个平方根是_________。
2. 0的平方根是_________，记作0，0=_________。
二、探索思考阅读课本P155——1571. 我们把形如________(a ≥0)的式子叫做二次根式。
2. 二次根式a 有意义的条件是__________，a 是一个_________数。
知识点一 二次根式的概念及二次根式有意义的条件选一选： 已知各式：①12+a , ②3-x , ③a , ④b (b ≥0), ⑤2)1(-x ⑥42-x (x ≥2),⑦ 5, ⑧x2(x >0);是二次根式的有______________________.议一议：当x 是怎样的实数时，二次根式2-x 在实数范围内有意义？【归纳总结】1.形如_________)0(≥a 的式子叫做二次根式。
“”称为___________，“”下的数叫做______________。
2.二次根式的两个要求：⑴必须含有___________，即根指数为_______；⑵在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是____________。
3.二次根式有意义的条件：由算术平方根的意义可知，当a ≥0时，a 有意义，是二次根式。
所以要使二次根式有意义，只要使____________为非负数。
知识点二：二次根式的性质填一填：1.2)(a =_______)0(≥a ,利用这个性质可以求二次根式的平方，如2)5(=________;2)22(=_______⨯2)2(=____________. 2. 2a =______(a ≥0), 想一想：当时0<a ，2a =_______. 即a a =2=_________三、当堂反馈1.计算：⑴ 2)7( ⑵ 2)23( ⑶ 213 ⑷2)5(-2.P157练习四、课堂小结本节课你学到了那些知识？五、学习反思。
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教学设计
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等知识后，对根式的进一步学习。
本节课主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
教材通过实例引入二次根式，让学生理解二次根式的实际意义，进而学习二次根式的性质和运算。
教材内容丰富，既有理论知识，又有实际应用，能激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等知识，对根式有一定的了解。
但二次根式作为一种新的根式，对学生来说还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，逐步引导学生理解二次根式的概念和性质，掌握二次根式的运算方法。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算方法，能够进行二次根式的混合运算。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用启发式教学法，引导学生主动探究二次根式的概念和性质。
2.采用讲解法，讲解二次根式的运算方法。
3.运用实例分析法，让学生了解二次根式在实际问题中的应用。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关课件，展示二次根式的概念、性质和运算。
2.准备一些实际问题，让学生进行二次根式的应用。
3.准备一些练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入二次根式，让学生感受二次根式的实际意义。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，让学生理解二次根式的基本特点。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，掌握二次根式的运算方法。
例如，计算以下二次根式：(1)√9 + √16(2)√（25 + 1）(3)√（25 - 1）4.巩固（10分钟）讲解一些实际问题，让学生运用二次根式进行解决。
湘教版数学八年级上册《5.1二次根式》说课稿2
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》说课稿2一. 教材分析湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》是初中数学的重要内容，它让学生初步接触实数以外的数-二次根式，理解二次根式的概念、性质及运算规律，为学习二次函数、不等式等知识打下基础。
本节内容通过引入二次根式，让学生感受数学的广泛应用，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数的基本知识，具备一定的逻辑思维能力。
但二次根式作为一种新的数学对象，对学生而言较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从已知的实数体系出发，逐步过渡到二次根式，并通过对实际问题的探究，激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的定义、性质及运算规律，能正确进行二次根式的化简、运算。
2.过程与方法：通过观察、实验、猜测、推理等方法，让学生体会数学知识的形成过程，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受数学与生活的紧密联系。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的定义、性质及运算规律。
2.教学难点：二次根式化简方法的运用，以及解决实际问题中的二次根式运算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、情境教学、合作学习等方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.引入新课：从实际问题出发，引导学生思考如何表示一个物体的高度，从而引入二次根式。
2.探究二次根式的定义：让学生观察、实验，发现二次根式的特点，总结出二次根式的定义。
3.学习二次根式的性质：通过特例分析，让学生发现二次根式的性质，如：二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法等。
4.二次根式的化简：引导学生掌握二次根式化简的方法，如：提取公因数、应用平方差公式等。
5.二次根式的运算：让学生通过实际例子，掌握二次根式的加减法、乘除法运算规律。
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计2
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计2一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》是本册教材中关于二次根式的一个重要内容。
学生在学习这一节内容之前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数的运算和性质有一定的了解。
本节内容主要介绍二次根式的概念及其性质，包括二次根式的定义、性质、运算等。
这部分内容是后续学习更高级数学知识的基础，对于学生来说非常重要。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有一定的了解。
但是，对于二次根式的概念和性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和讲解来理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能存在对二次根式运算规则的理解和应用困难，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握二次根式的概念及其性质，能够正确进行二次根式的运算。
2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算规则。
五. 教学方法1.采用实例讲解法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生对二次根式的理解和应用。
3.采用分组讨论法，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括二次根式的定义、性质、运算等内容的讲解和练习。
2.准备一些具体的例子和练习题，用于引导学生进行思考和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：一个正方形的对角线长度为8，求这个正方形的边长。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义和性质，包括二次根式的概念、性质及其运算规则。
通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
秋八年级数学上册 5.1 二次根式的化简(第2课时)导学案 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中八年级
二次根式的化简1. 理解并掌握二次根式的性质：(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥，并学会利用这一性质对二次根式进行化简.2.掌握最简二次根式的概念.自学指导：阅读课本P157-159，完成下列问题.知识探究 1. 积的算术平方根的性质：（1）计算4×25=10 ； 254⨯=10. 25.0×100=5； 10025.0⨯=5. （2）观察：以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？并用表达式表示你发现的规律： (0,0)a b a b a b ⋅=≥≥.（3）12==434323=⨯32==16216242=⨯20==454525=⨯28==474727=⨯自学反馈1. 下列运算中，正确的是 （ D ）A.(－5)×(－3)＝－5×－3B. 52－32＝52－32＝5－3＝2C.－8x 2y 3 (x ≥0)＝2xy －2yD.52×32＝52×32＝5×3＝152．化简下列二次根式：(1)12；解：3212= .(2)34a ；解：a a a 243= （此题中的a 默认是非负）.(3) 432x . 解：242432x x =.1.二次根式的性质：积的算术平方根⑴参考上面的结果，用“>、<或=”填空. 49⨯49916⨯916⑵根据上面的探究，下列式子也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证. 23⨯2325⨯2556⨯56(0,0)a b a b a b ⋅=≥≥⑷例：化简下列二次根式： 18207212352.最简二次根式：观察上面的例题中各小题的最后结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？ 通过分析得到，二次根式有如下两个特点：⑴被开方数中不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.*在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.三、应用迁移活动1 典例精析例1 利用二次根式的性质化简： 4925⨯ 640 382235⨯解：（1）35 （2）810（36（4）15活动2 变式运用()()3333a a a a +-=+-a 的取值X 围是 -3≤a ≤3⑵已知等式3222x x x x +=-+成立，则x 的取值X 围是 x ≤-2活动3 归纳小结⑴积的算术平方根的性质：⑵最简二次根式：①②活动4 跟踪训练4x 的结果是（ C ）A ．2xB ．2x ±C ．2xD ．2x ±2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ B ）A ．4B ．22a b +C ．15D ．20 3. 写出一个化简后被开方数是3的二次根式：27.4..316化简后的结果是34.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应部分.。
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教案 2
5.1 二次根式5.1.1二次根式的概念及性质（第1课时）教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键： 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：由方差的概念得S= 46.二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，a有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x 、42、1x y+． 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 P157 练习1、四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求x y的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业 1．P159 习题5.1 A 组1 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．-7 B ．37 C ．xD ．x 22．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A ．4 B ．16 C ．8D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5 B ．5 C ．15 D ．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．4.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．a （a ≥0） 2．a3．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义．3. 1 34． B5． a=5，b=-45.1.2二次根式的化简（1）（第2课时）教学内容 1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）．教学目标理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答） a （a ≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a （a ≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；（13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______． 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以 （a ）2=a （a ≥0） 例1 计算1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）2 分析：我们可以直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．解：（32）2 =32， （35）2 =32·（5）2=32·5=45， （56）2=56， （72）2=22(7)724=． 三、巩固练习 P157 练习 2、计算下列各式的值：（18）2 ；（23）2 ；（94）2 ； （0）2 ；（478）2 ；22(35)(53)- 四、应用拓展例2 计算1．（1x+）2（x≥0）2．（2a）2 3．（221x x-+）4129a a++）2 4．（22分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （1x+）2=x+1（2）∵a2≥0，∴（2a）2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴221++=a2+2a+1a a（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴（2-+）2=4x2-12x+94129x x例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结本节课应掌握：1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．六、布置作业 1．P 159 习题5.1 A组 2、 2．选用课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题-，二次 1．下列各式中15、3a、21m+、144a b+、220b-、22根式的个数是（）． A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题x+有意义，那么是一个_______数． 1．（-3）2=________． 2．已知1三、综合提高题1．计算（1）（9）2（2）-（3）2（3）（126）2（4）（-323）2(5) (2332)(2332)+-2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3．已知1x y-++3x-=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1．（1）（9）2=9 （2）-（3）2=-3（3）（126）2=14×6=32（4）（-323）2=9×23=6 (5)-62．（1）5=（5）2（2）3.4=（ 3.4）2（3）16=（16）2（4）x=（x）2（x≥0）3．103304x y xx y-+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩x y=34=81 4.（1）x2-2=（x+2）（x-2）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3） (3)略5.1.2二次根式的化简（2）（第3课时）教学内容：2a＝a（a≥0）教学目标：理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1．重点：2a＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0时，2a ＝a 才成立． 教学过程一、复习引入： 老师口述并板书上两节课的重要内容；1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式；2．a （a ≥0）是一个非负数；3．(a )2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0时，2a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知 （学生活动）填空： 22=_______；20.01=_______；21()10=______； 22()3=________；20=________；23()7=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37． 因此，一般地：2a =a （a ≥0）例1 化简（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）•去化简．解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=24=4 （3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3三、巩固练习 P157 练习 3．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？（2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？（3）2a >a ，则a 可以是什么数？分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2()a -，那么-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0；（2）因为2a =-a ，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -．五、归纳小结 本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展．六、布置作业 1．P159 习题 5.1 A 组 3 2．选作课时作业设计． 第三课时作业设计一、选择题1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）． A ．0 B ．23 C ．423 D ．以上都不对2．a ≥0时，2a 、2()a -、-2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A ．2a =2()a -≥-2aB ．2a >2()a ->-2aC ．2a <2()a -<-2aD ．-2a >2a =2()a -二、填空题1．-0.0004=________． 2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a │+2000a -=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。
最新湘教版八年级上数学导学案 5.1 第2课时 二次根式的化简
5.1 二次根式第2课时 二次根式的化简一、学习目标1.理解并掌握积的算术平方根的性质：b a ⋅=a ·b （a ≥0，b ≥0）.2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。
重点：积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。
难点：将二次根号下的平方因子正确地移出根号。
二、自主学习学一学：自主预习教材P157 、158、159的内容，完成下列各题。
试一试：1.用式子表示积的算术平方根的性质：b a ⋅=__________(a ≥0，b ≥0).2.化简94⨯24x y x ≥0，y ≥0)=_________.三、合作探究学一学：利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。
⑴ 12； ⑵ 27； ⑶ b a 39（a ≥0,b ≥0）.议一议：化简二次根式的一般步骤是什么？【归纳总结】⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。
⑵ 选出被开方数中的_________________.⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________).说一说：最简二次根式应有如下两个特点：（1）被开方数中不含________________的因数或因式; ⑵ 被开方数不含__________.知识点一：积的算术平方根的性质 知识点二：最简二次根式一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成_________二次根式。
四、基础演练1.下列二次根式中最简二次根式是（ ） A. 51 B.5.0 C.5 D.50 2. 化简下列二次根式,其中.0,0≥≥b a⑴ 54 ⑵3527b a ⑶23)(8b a a +3. 化简下列二次根式⑴427 ⑵245 （30.124.设3<x ，化简二次根式962+-x x .。
XJ湘教版 初二八年级数学 上册第一学期秋季(导学案)第五章 二次根式 5.3 第1课时 二次根式的加减运算
5.3 二次根式加法和减法
第1课时二次根式的加减运算
一、学习目标
1.理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地对二次根式进行加减运算;（重点、难点）
2.通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运算的基本步骤．
【情境引入】
1、计算下列各式：
（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；
（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3
2、思考：二次根式的加减法，又该怎么样进行运算呢？对二次根式而言同类项又是什么样的呢？
【带问自学】
阅读教材第167-168页的内容，自主探究，回答问题
1.通过阅读教材“做一做”和“动脑筋”部分，你能归纳总结出二次根式加减法的基本步骤吗？
2.二次根式的加减运算与我们之前学过的什么运算类似？
【基础演练】
1. 下列运算是否正确？若不正确，请说明理由.
（1
==（2
）==
（3
==（4
3
===
（5
）2+=（6
）
2
-
=
2.计算：
（1）545357-+ （2）27233-
（3
） （4）20412512457+-
3.如果最简二次根式83-a 与a 217-的被开方数相同，那么62-a 的值是 .
4.计算：
（1
（2
（3） 4832743
112+- （4）811987121472+--
5.
，求它的另一边的长.。
XJ湘教版 初二八年级数学 上册第一学期秋季(导学案)第五章 二次根式 5.2 第2课时 二次根式的除法
5.2 二次根式乘法和除法第2课时 二次根式的除法一、学习目标1. 掌握二次根式根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2. 能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
重点：运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的除法运算及化简。
二、自主学习学一学：预习教材P162、163、164的内容.说一说：实数b a ,互为倒数是什么意思？有何条件？一个非零实数有几个倒数？填一填：由于=⨯313______ ，=⨯313______，所以_______和_______都是3的倒数，因此_______=_________. 一般地，如果a >0，则=a 1a1 三、合作探究学一学：设a >0，≥b 0，则 =⋅=a b a b 1__________=⋅b ______=a b ，即a b a b =（a >0,≥b 0）.议一议：上式中为什么规定0,0≥>b a ?如何用文字语言描述商的算术平方根的性质？ 选一选：当0,0≥>b a 时，a b=_________(①b a ②ab ) 填一填：=510____________;=330_____________;=72218________________;表示为____________________)0,0(≥>b a .注意：二次根式的运算结果一定要进行化简，化成最简二次根式。
四、基础演练1.计算：⑴1045 ⑵ 52607 ⑶ 152842.设,0,0>>y x 计算：⑴xy y x 262 ⑵ x y x 323÷3.已知直角三角形的两条直角边分别是AC=32，BC=23, 求斜边上的高CD 的长。
4.求下列各式当4,3==b a 时的值：⑴23ab b a ⑵ 5520a ab。
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4.1.2 二次根式的化简（一）
学习目标：
1.理解并掌握积的算术平方根的性质：b a ⋅=a ·b （a ≥0，b ≥0）.
2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。
重点：积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。
难点：将二次根号下的平方因子正确地移出根号。
预习导学——不看不讲
学一学：自主预习教材P132~P133的内容，完成下列各题。
1.用式子表示积的算术平方根的性质：b a ⋅=__________(a ≥0，b ≥0).
2.化简 79⨯=___________, y x 2(x ≥0，y ≥0)=_________.
学一学：利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。
⑴ 12； ⑵ 27； ⑶ b a 39（a ≥0,b ≥0）； ⑷ 242a a +(a ≥0).
议一议：化简二次根式的一般步骤是什么？
【归纳总结】
⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。
⑵ 选出被开方数中的_________________.
⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________).
【课堂展示】
1.化简下列二次根式：
⑴ 72 ⑵ 28 ⑶ 7)5(2⨯- ⑷ 3253⨯
知识点一：积的算术平方根的性质 知识点二： 二次根式的化简
2.设a ≥0，b ≥0,化简下列二次根式：
⑴ 328b a ⑵ 3222b ab b a ++ ⑶ 24ab ⑷ 5250b a
合作探究——不议不讲
互动探究一：当b <0时，化简二次根式2
49b a .
【解】
互动探究二：某小区有一块长方形绿地，经测量绿地的长为40米，宽为20米，现准备沿对角线引两条通道，求每条通道的长？
【解】
【当堂检测】：
1. 化简下列二次根式,其中.0,0≥≥b a （4⨯20分） ⑴ 54 ⑵ 3527b a ⑶ 2232ab b a a ++ ⑷
25
18
2. 设3<x ，化简二次根式962+-x x . (20分）
我今天学会了什么？。