CHAP6数值积分与数值微分_1_4

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数值计算_第7章数值微分和数值积分

数值计算_第7章数值微分和数值积分数值微分和数值积分是数值计算中的两个重要内容，它们在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍数值微分和数值积分的概念、方法和应用，并分析其优缺点。

数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。

在实际问题中，往往很难直接计算函数的导数，因此需要使用数值方法来进行近似计算。

常用的数值微分方法有中心差分法、向前差分法和向后差分法。

中心差分法是一种通过利用函数在特定点两侧的数据点来计算函数的导数的方法。

具体方法是用函数在该点两侧的差值来估计导数。

中心差分法具有较高的精度和稳定性，适用于函数光滑的情况。

向前差分法和向后差分法是一种通过利用函数在该点的数据点来计算函数的导数的方法。

向前差分法用函数在该点的后一点数据来估计导数，向后差分法用函数在该点的前一点数据来估计导数。

这两种方法的精度相对较低，但计算简单，适用于函数不太光滑的情况。

数值微分方法的优点是计算简单、直观易懂、易于实现。

缺点是对函数的平滑性和间隔大小要求较高，误差较大。

数值积分是通过数值方法来近似计算函数的积分。

在实际问题中，往往很难直接计算函数的积分，因此需要使用数值方法来进行近似计算。

常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和数值积分公式。

梯形法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用梯形面积来近似计算积分的方法。

辛普森法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用抛物线面积来近似计算积分的方法。

这两种方法的精度较高，适用于函数较光滑的情况。

数值积分公式是通过选取节点和权重，将积分转化为对节点函数值的加权求和。

常用的数值积分公式有高斯求积公式和牛顿-寇茨公式。

这些公式具有较高的精度和稳定性，适用于计算复杂函数的积分。

数值积分方法的优点是适用范围广、精度较高、计算稳定。

缺点是计算量较大、计算复杂、需要选取合适的节点和权重。

数值微分和数值积分在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。

数值积分与数值微分

Remark：定出 Ak (k 0,1, , n) ，则求积公式至少具有n 次代数精度，但并不一定它具有n次代数精度,要将 xn1代入求积公式，如果等式不准确成立，即求积公式具有n次代数精度，否则代数精度将大于n。
2019/6/1
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求积公式的代数精确度（续）
Remark1：代数精度越高，求积公式的适应性越强。
一个求积公式首先应该是收敛的，其次应该是稳定的。
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13
收敛性与稳定性（续）
设计算 f (xk ) 时有绝对误差 k ，即 f * (xk ) f (xk ) k .
n
n
则 e(In ) Ak f *(xk ) Ak f (xk )
k 0
k 0
n
n
Akk Ak k
Ak f (xk ) R[ f ] In R[ f ]
k 0
其中R[f]称为求积公式的余项，xk (k 0,1,2,n)
称为求积节点，Ak (k 0,1,2,n) 称为求积系数。
Ak 仅与求积节点 xk 的选取有关，而不依赖与被积
函数f(x)的具体形式。
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3
二.求积公式的代数精确度
衡量一个求积公式好坏的标准。
定义：如果求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
对于一切不高于m次的代数多项式准确成立，
而对于某个m+1次多项式并不准确成立，
则称上述求积公式具有m次代数精确度，或称为具有m次代数精度。
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4
求积公式的代数精确度（续）
如果要构造具有m次代数精度的求积公式，

数值方法中的数值微分和数值积分

泰勒展开法：将函数在某点处展开成泰勒级数，然后利用级数的各项系数计算数值微分
牛顿插值法：利用牛顿插值多项式计算数值微分，其思想是通过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区间划分为若干个小的矩形，用矩形面积的和近似积分
梯形法：将积分区间划分为若干个小的梯形，用梯形面积的和近似积分
辛普森法：将积分区间划分为若干个等分的子区间，用抛物线面积的和近似积分
牛顿-莱布尼茨法：利用定积分的定义和牛顿-莱布尼茨公式，通过求和的方式计算定积分
预测函数的变化趋势
优化问题中的梯度计算
机器学习中的梯度下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法

数值积分与微分方法

数值积分与微分方法
数值积分
数值积分也叫数值分析，它是一种利用数学模型和计算机技术计算实际问题的方法。

它是一种数学技术，用于解决实际问题中的积分问题，摆脱了定积分的困难，使积分问题更加简单。

主要实现原理是：将积分区间分割成多个短短的积分区间，然后根据其中一种计算方法将积分区间拆分成更小的正方形，计算每一个小正方形的面积加起来，从而得到整个区间的积分值。

数值积分的常见方法有梯形法和辛普森公式，梯形法的原理是将积分区间拆分成多个梯形，将每个梯形的面积加起来，从而得到整个区间的积分值；辛普森公式的原理是将积分区间拆分成多个正方形，分别计算每一个正方形的面积，然后加起来，从而得到整个区间的积分值。

数值积分是一种有效的解决实际问题的方法，它可以用来计算复杂的函数的积分，也可以用来解决实际应用中的复杂问题。

例如，在电力系统中，真实的变动数据可以用数值积分来求解真实的电力发电量。

微分方法
微分方法是一种利用微分几何理论解决数学问题的方法，它通过计算曲面与曲线之间的特征关系，来找出最优解。

数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解

第4章数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。

在微积分中，我们熟知，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具,在理论和实际计算上有很大作用。

对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ,则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。

如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时,Newton-Leibnitz 公式无法应用。

2)许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。

3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。

例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况,都要求建立定积分的近似计算方法—-数值积分法。

1。

1 数值求积分的基本思想根据以上所述,数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定.由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明,定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。

问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。

我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。

这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法.如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4—1）便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。

数值微分与数值积分的计算方法

数值微分与数值积分的计算方法数值微分和数值积分是数学中一种非常重要的方法。

在实际生活和科学研究中，很多情况下，需要对函数进行微分或积分的计算。

然而，由于很多函数的解析式很难或者根本不能求出，因此需要采用一些数值方法来近似计算。

本文将讨论数值微分和数值积分的计算方法。

一、数值微分在数值计算中，常常会遇到需要求函数在某个点处的导数的问题。

这时候，我们就需要用到数值微分。

数值微分主要有三种方法：前向差分、后向差分和中心差分。

（一）前向差分前向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。

其基本思想是求函数在当前点和向前一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}$$其中，$h$表示步长。

（二）后向差分后向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。

其基本思想是求函数在当前点和向后一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}$$（三）中心差分中心差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。

其基本思想是求函数在当前点左右两个点的平均斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}$$对于三种方法，其截断误差的阶分别为 $\mathcal{O}(h)$、$\mathcal{O}(h)$ 和 $\mathcal{O}(h^2)$。

二、数值积分数值积分是指用数值方法对某个函数在某一区间上的定积分进行近似计算的过程。

常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法和龙贝格法。

下面将分别介绍这三种方法。

（一）梯形法梯形法是一种比较简单的数值积分方法。

其基本思想是将积分区间分成若干个小梯形，然后求出这些小梯形面积的和。

具体地，假设我们要对函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上进行积分，将该区间分成 $n$ 个小区间，步长为 $h=(b-a)/n$，则梯形法的计算公式为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right]$$梯形法的截断误差的阶为 $\mathcal{O}(h^2)$。

数值积分和数值微分

例3
考察求积公式：1
1
f ( x ) dx
1 2
( f ( 1) 2 f ( 0 ) f (1))
具有几次代数精度。
解：检查当 f ( x ) 1时 , 公式左边当 f ( x ) x 时 , 左边当 f ( x ) x 时 , 左边
2

1 1
d x 2 右边 1 2
(2)
这是关于A0、A1、…、An的线性方程组，系数行列式为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一组解。求解该方程组即可确定求积系数Ak，所得到的求积公式（1）至少具有n次代数精度。
例2
I
确定求积公式
h h
f ( x )dx A 1 f ( h ) A 0 f ( 0 ) A1 f ( h )
k0 b n
1 由于 l i ( x ) 满足： l i ( x k ) 0 故： a l i ( x ) d x A i 型的。
b
(k i) (k i) ( i 0 ,1 , , n )
所以： A k l i ( x k ) A i
k0
n
所以，求积公式是插值
n
f0 ,
f 1 , , f n，就有拉格朗日插值多
Ln ( x ) lk ( x ) f k
n
得到
a f ( x ) d x a L n ( x ) d x a l k ( x ) d x f k ,
k0
b
b

k 0
b

(5 )
记：A k a l k ( x ) d x 则有：I
b
b
此时公式精确成立

数值分析中的数值微分与数值积分

数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。

它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。

一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。

导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。

1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。

它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。

具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。

2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。

具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。

3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。

具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。

二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。

积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。

1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。

具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。

最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。

2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。

数值分析--数值积分与数值微分

n 1 ( x )
(a, b)
(2―2)
第4章数值积分与数值微分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得

《数值分析》
b a
f ( x )dx

n
b a
pn ( x )dx
b n

b a
Rn ( x )dx dx ] yi
[
i0 a
x xk xi xk f
《数值分析》
相当复杂。例如定积分

的被积函数
b a
dx 1 x
4
4
1 1 x
的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左
矩形公式
b a

《数值分析》
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 k i
第4章数值积分与数值微分
称C(n)i为柯特斯求积系数。
很显然,当n=1时,可算得
C0
《数值分析》
(1 )

1 0
( s 1) d s 1 2
ba 2
1 2
C1
(1 )

1 0
sd s
此时式(2―5)为

b a
f ( x )dx
[ f ( a ) f ( b )]
于是

b a
f ( x )dx
ba 6
[ f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b )]
(2―8)
第4章数值积分与数值微分

数值分析中的数值微分与数值积分

数值分析中的数值微分与数值积分数值分析是一门重要的数学分支，用于研究如何使用计算机来求解各种数学问题。

数值微分和数值积分是数值分析中的两个基本概念，它们在科学计算和工程应用中具有广泛的应用。

一、数值微分数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。

在实际计算中，往往很难直接求得函数的导数表达式，这时候数值微分方法就派上用场了。

1. 前向差分公式前向差分公式是最简单的数值微分方法之一，它基于导数的定义，用函数值的差商来近似计算导数。

假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0)) / h其中h是一个足够小的正数，通常称为步长。

通过取不同的步长h，可以得到不同精度的数值微分结果。

2. 中心差分公式中心差分公式是数值微分中较为常用的方法，它利用了函数值的前向和后向差商来近似计算导数。

假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2h)与前向差分公式相比，中心差分公式的精度更高，但计算量稍大一些。

二、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数在某个区间上的定积分值。

定积分在数学、物理等领域中具有广泛的应用，尤其是对于无法用解析方法求解的积分问题，数值积分提供了可行的解决办法。

1. 矩形法则矩形法则是最简单的数值积分方法之一，它将函数在积分区间上分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和。

假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * f(x)其中x是[a, b]上的随机点。

2. 梯形法则梯形法则是数值积分中较常用的方法，它将函数在积分区间上分成若干个小梯形，然后计算这些小梯形的面积之和。

假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2梯形法则的精度要比矩形法则要高一些。

数值积分与数值微分

第七章数值积分与数值微分积分问题最早来自于几何形体的面积、体积计算，也是经典力学中的重要问题（例如计算物体的重心位置）. 在现实应用中，很多积分的结果并不能写成解析表达式，因此需要通过数值方法来计算. 数值微分是利用一些离散点上的函数值近似计算某一点处的函数导数，它针对表达式未知的函数. 本章介绍一元函数积分（一重积分）和微分的各种数值算法，它们也是数值求解积分方程、微分方程的基础.7.1数值积分概论7.1.1基本思想考虑如下定积分的计算：I(f)≡∫f(x)dxba,(7.1) 其中函数f: ℝ→ℝ，首先应想到的是微积分中学习过的牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式：∫f(x)dxba=F(b)−F(a) ,其中F′(x)=f(x),即F(x)为f(x)的原函数. 但是，诸如e x2,sinxx,sinx2等表达式很简单的函数却找不到用初等函数表示的原函数，因此必须研究数值方法来近似计算积分. 另一方面，某些函数的原函数虽然可以解析表示，但其推导、计算非常复杂，此时也需要使用数值积分方法.一般考虑连续的、或在区间[a,b]上可积①的函数f(x)，则根据积分的定义有：lim n→∞,ℎ→0∑(x i+1−x i)f(ξi)ni=0=I(f) , (7.2)其中a=x0<x1<⋯<x n+1=b,ξi∈[x i,x i+1],i=0,⋯,n, ℎ=max0≤i≤n(x i+1−x i).公式(7.2)实际上也反映了近似计算积分的思路，就是取充分大的n, 用函数值的加权和逼近准确的积分值. 研究数值积分方法主要是探讨如何用相对较少的计算成本得到准确度较高的结果，这里的成本用计算被积函数值的次数来衡量.上述讨论表明，近似计算积分I(f)的数值积分方法（numerical quadrature）一般具有如下形式：I n(f)≡∑A k f(x k)nk=0, (7.3)其中a≤x0<x1<⋯<x n≤b, A k,(0≤k≤n)为一组系数. 形如公式(7.3)的求积公式称为机械求积公式，其中系数A k,(0≤k≤n)称为积分系数，自变量取值x k,(0≤k≤n)称为积分节点. 根据积分节点和积分系数的不同设置，可得到各种具体的求积公式. 针对实际的数值积分问题，往往还需使用多种求积公式构造算法，以达到满意的效果.推导求积公式的一种方法是用多项式函数p(x)来近似f(x)，则可期望有以下的近似关系：①连续函数在闭区间内一定有界、可积，而可积函数则可能不连续.∫f (x )dx b a ≈∫p (x )dx ba ,其中多项式函数的积分很容易通过牛顿-莱布尼兹公式求出. 假设使用拉格朗日插值法构造p (x )，区间[a, b]内的插值节点为x 0,x 1,…,x n ，则p (x )=L n (x )=∑f (x k )l k (x )nk=0,l k (x)为拉格朗日插值基函数. 由此得到求积公式为：I n (f )=∫∑f (x k )l k (x )n k=0dx b a =∑f (x k )∫l k (x )dx b an k=0 .(7.4) 由于l k (x )为拉格朗日插值基函数，一旦插值节点确定，积分∫l k (x )dx b a 可方便地计算出来. 这种用多项式插值近似被积函数得到的求积公式(7.4)被称为插值型求积公式（interpolatory quadrature ），易知它也是一种机械求积公式，其积分节点就是插值节点，而积分系数 A k =∫l k (x )dx b a ,(k =0,1,⋯,n ).(7.5)下面的例子推导n=0, n=1两种情况下的插值型求积公式，它们分别称为中矩形公式（midpoint rule ）和梯形公式（trapezoid rule ）.例7.1 (中矩形公式与梯形公式)：根据n=0, n=1两种情况对应的拉格朗日插值推导相应的求积公式，假设插值节点分别为区间[a, b]的中点和两个端点.[解] 当n=0时，按题意设x 0=(a +b)/2, 由于0次拉格朗日插值多项式为常数，则L 0(x )=f (x 0)因此，I 0(f )=∫f (x 0)dx b a =(b −a )f (a +b 2) . (7.6)当n=1时，按题意设x 0=a , x 1=b , 利用线性拉格朗日插值基函数和公式(7.5)，求出：A 0=∫l 0(x )dx b a =∫x −b dx b a=b −a , A 1=∫l 1(x )dx b a =∫x −a b −a dx b a =b −a 2. 因此，I 1(f )=∑A k f (x k )1i=0=b −a 2[f (a )+f(b)] . (7.7)中矩形公式(7.6)和梯形公式(7.7)具有很直观的几何意义，即分别用矩形面积和梯形面积来近似函数曲线和横轴围成区域的面积（如图7-1）.7.1.2求积公式的积分余项与代数精度定义7.1：对于计算积分I(f)的求积公式I n (f)，称I(f)−I n (f)为该公式的积分余项，常记为R [f ].积分余项反映了求积公式的截断误差，是衡量求积公式准确度的重要依据. 假设I n (f)为某个插值函数p(x)的积分，则R [f ]=∫[f (x )−p (x )]dx ba,即积分余项等于插值余项的积分. 对于插值型求积公式(7.4)，有R [f ]=∫[f (x )−L n (x )]dx b a =∫f (n+1)(ξ)(n +1)!ωn+1(x )dx b a, (7.8) 其中ξ依赖于x .下面介绍代数精度的概念，它是衡量求积公式准确度的另一个重要标准.定义7.2：如果某求积公式对于次数不超过m 的多项式均准确成立，但对于m+1次多项式可能不准确，则称该求积公式具有m 次代数精度（degree of exactness ）.上述定义表明，一个求积公式具有较高次的代数精度，就意味着它能准确计算次数较高的多项式的积分②. 应注意，在某些情况下代数精度并不是越高越好.要判断一个机械求积公式的代数精度，最直接的方法是考察当被积函数分别为1,x,…,x m 时求积公式的准确性. 下面给出一个定理，其证明留给感兴趣的读者思考. 定理7.1：机械求积公式I n (f )=∑A k f (x k )n k=0至少有m 次代数精度的充要条件是当f (x )分别为1,x,…,x m 时，I (f )=I n (f ) .我们讨论的所有求积公式都至少具有0次代数精度，因此根据定理7.1它们应对f (x )=1的积分准确，则推出：∑A k n k=0=∫1dx ba =b −a ,(7.9)这说明积分系数之和等于区间长度.根据插值型求积公式的含义，容易得出如下定理，其证明留给读者思考.定理7.2：机械求积公式I n (f )=∑A k f (x k )n k=0是插值型求积公式(7.4)的充要条件是它至少有n 次代数精度.考察例7.1中的中矩阵公式和梯形公式，可得出它们都具有1次代数精度. 一般地，在部分积分节点、积分系数已知的情况下，利用定理7.1可建立方程求解剩余的积分系数或节点，使其达到一定的代数精度. 而且定理7.1中求积公式的形式还可以更一般，只要是函数值或其导数的线性组合即可，下面的例子说明了这种情况.例7.2(求积公式的代数精度)：用形如H 2(f )=A 0f (0)+A 1f (1)+B 0f ′(0)的求积公式近似积分I (f )=∫f(x)dx 10，试确定系数A 0, A 1, B 0，使公式具有尽可能高的代数精确度.[解] 根据题意可令f (x )=1，x ，x 2分别代入求积公式使H 2(f )=I(f)精确成立.② 当然，这没有什么实际意义，因为很容易得到多项式函数的原函数.(a) 中矩形公式(b) 梯形公式图7-1 中矩形公式(a)和梯形公式(b)的示意图.当f (x )=1时，得A 0+A 1=∫1∙dx 1=1当f (x )=x 时，得A 1+B 0=∫xdx 1=12 当f (x )=x 2时，得A 1=∫x 2dx =1310联立上述三个方程，解得A 1=13,A 0=23,B 0=16 .当f (x )=x 3时，容易验证上述求积公式不准确，因此H 2(f )最多具有2次代数精度. 7.1.3求积公式的收敛性与稳定性实际使用的求积公式都是机械求积公式(7.3)，下面针对它给出求积公式的收敛性和稳定性的概念.定义7.3：对于n 的值可以任意的一系列机械求积公式I n (f)=Σk=0n A k f (x k )，a ≤x 0<x 1<⋯<x n ≤b ，若lim n→∞,ℎ→0I n (f)=∫f (x )dx ba ,其中ℎ=max 1≤k≤n (x k −x k−1)，则称这一系列求积公式具有收敛性.收敛性说明求积公式在积分节点逐渐增多、且节点间距逐渐变小时，其结果收敛到准确的积分值. 这个概念不同于公式(7.2)，后者反映的是被积函数具有可积性. 在实际应用中，求积公式具有收敛性非常重要，后面还将针对具体的公式加以讨论.在讨论求积公式的稳定性之前，先分析数值积分问题的敏感性和条件数. 假设f(x)为准确的被积函数， f̃(x )为实际计算时受扰动影响的被积函数，扰动的大小为δ=‖f (x )−f ̃(x )‖∞=max a≤x≤b |f (x )−f ̃(x )|，则扰动对积分计算的影响为： |∫f (x )dx b a −∫f̃(x )dx b a |≤∫|f (x )−f ̃(x )|dx b a ≤(b −a )δ, (7.10)这说明，积分计算结果的误差最多为扰动的(b −a)倍，积分区间的长度(b −a)是绝对条件数的上限. 一般来说，数值积分问题是不太敏感的. 这一点不难理解，因为积分运算本身就是一个平均的过程，它不易受被积函数的某些微小变化的影响.求积公式的稳定性反映计算过程中的扰动是否被放大、以及放大的程度. 具体来说，在计算机械求积公式时，需考虑积分节点的函数值出现误差时，它对结果产生的影响. 假设节点函数值由f (x k )变为f̃(x k )，则数值积分的结果由I n (f )变为I n (f ̃)，两者之差满足： |I n (f )−I n (f̃)|=|∑A k [f (x k )−f ̃(x k )]n k=0|≤∑|A k |nk=0∙|f (x k )−f ̃(x k )|≤(∑|A k |n k=0)ε,(7.11)其中ε=max 0≤k≤n|f (x k )−f ̃(x k )|≤δ. 根据(7.9)式，若同时有A k >0,k =0,…,n ，则不等式(7.11)变为：|I n (f )−I n (f̃)|≤(b −a )ε≤(b −a )δ . (7.12) (7.12)式表明求积公式的结果受扰动影响的程度与积分问题敏感性的结果(7.10)式一致，这是控制数值计算误差能达到的最佳情况. 将它作为一个标准，可定义求积公式的稳定性.定义7.4：若对k =0,1,…,n ，均有A k >0, 则机械求积公式I n (f)=Σk=0n A k f (x k )是稳定的.利用定义7.4很容易直接判断求积公式的稳定性. 在实际情况中，不稳定的求积公式的积分系数绝对值之和Σk=0n |A k |可能远大于b −a ，从而导致函数值的扰动在计算结果上被放大很多.本节介绍了求积公式的基本形式，以及积分余项、代数精度、收敛性和稳定性的概念，其中收敛性是针对一系列公式（积分节点数目逐渐增多）而言的. 后面介绍具体公式时，将考察单个公式的积分余项、代数精度和稳定性，并讨论积分节点数目逐渐增多时的收敛性. 此外，还应注意具体公式中计算函数值的次数，它是度量计算量大小的标准.7.2牛顿-柯特斯公式在积分区间上构造等距节点的多项式插值，对应的插值型求积公式为牛顿-柯特斯公式.7.2.1 柯特斯系数与几个低阶公式假设将积分区间n 等分，步长ℎ=(b −a)/n ，插值节点为x k =a +kℎ,(k =0,…,n)，则可得到等距节点的拉格朗日插值多项式. 根据公式(7.4), (7.5)的推导，得到型如I n (f )=∑A k f (x k )n k=0的求积公式，其中A k =∫l k (x )dx b a =∫(x −x 0)⋯(x −x k−1)(x −x k+1)⋯(x −x n )(x k −x 0)⋯(x k −x k−1)(x k −x k+1 )⋯(x k −x n )dx b a. 这就是n 阶牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）公式.引入变量代换：x =a +tℎ,t ∈[0,n], 则A k =∫∏(t −j )n j=0,j≠k ℎdt n0=∫∏(t −j )n j=0,j≠k b −a dt n 0 . (7.13) 令C k (n )=1n ∫∏(t −j k −j )n j=0,j≠k dt n 0 ,(k =0,⋯,n ), (7.14)它仅与阶数n 有关，而与区间大小无关，则积分系数A k =(b −a )C k (n ).(7.15) 公式(7.14)中的C k (n )常被称为柯特斯系数，可以预先计算出不同n 值对应的柯特斯系数，制成一个表（如表7-1所示），根据它方便地写出各阶牛顿-柯特斯公式.表7-1 柯特斯系数表。

数值微分与数值积分的技术原理

数值微分与数值积分的技术原理数值微分和数值积分是数值分析中常用的数学方法，它们在工程、科学等领域具有广泛的应用，例如数值模拟、数据处理、信号处理等。

本文将介绍数值微分和数值积分的技术原理，旨在帮助读者更好地理解这些方法所基于的原理和实现方式。

一、数值微分数值微分是用数值方法来近似计算函数的导数，它的核心思想是利用函数在一点附近的局部信息来估计导数。

数值微分的比较常用的方法是前向差分、后向差分和中心差分。

下面将分别介绍它们的原理和实现。

1.前向差分前向差分是利用函数在某一点的函数值和函数在该点处的导数来近似计算函数在该点的导数。

其原理如下：$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$由于$h$趋近于0时，上式右侧的分式求值较为困难，所以我们可以将其替换为有限的、足够小的$h$，这样就得到了前向差分公式：$f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$其中，$h$是差分步长，越小则得到的结果越接近真实值，但是计算量也越大。

2.后向差分后向差分与前向差分的思路相似，只是差分点的位置不同。

其原理如下：$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$同样地，将上式右侧的分式替换为有限的$h$，就得到了后向差分公式：$f'(x_0)\approx\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$3.中心差分中心差分是利用函数在某一点前后两个点的函数值来近似计算函数在该点的导数。

其原理如下：$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$同样地，将上式右侧的分式替换为有限的$h$，就得到了中心差分公式：$f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$二、数值积分数值积分是用数值方法来近似计算函数的定积分值，它的核心思想是将定积分转化为曲线下面的面积，然后用数值积分方法来近似计算这个面积。

数值积分和数值微分

23
误差阶：记步长为h时的误差为e~,步长为h/n时的误差为 e~（n 这里n=2）,
则，相应的误差阶为：
ln(e~n )
d

e~ ln(n)
24
Sample Output ( represents a space)
复化梯形积分，误差(科学计数形式)和误差阶为
k=0,e0=0. ############e00 k=1,e1= 0.############e-1, k=2,e2= 0.############,
...
d1=？比如 d1= 1.1111 d2=？
复化Simpson积分，误差和误差阶为
k=1, e0= 0. ############e00
k=2, e1 = 0.############e-1, d1=？
...
25
(x ( xi
xi1 )( x xi1 )L ( x xn ) xi1 )( xi xi1 )L ( xi xn )
• 积分误差
I ( f ) In ( f )
b
a Rn (x)dx
b a
f
(n1) ( (x))
(n 1)!
n
( x)dx？

b
ba b2 a2
2 m1 am1
m 1

6
若数值积分 In ( f ) 至少有n 阶代数精度，则求积系数唯一
Lagrange插值基函数
b
ai a li (x)dx, i 0,..., n
li

( x x0 )L ( xi x0 )L
a x0 x1 xn b.

数值积分和数值微分课件

一般地，欲使求积公具式有m 次代数精度，只要令对它于 f(x) 1,x,,xm 都能准确成立。
利用代数精度的概念求求积公式的代数精确度
梯形公式 (T b f (x) dx [ f (a) f (b)] (b a))
a
2
令f (x) 1, x,....
当f (x) 1, 左边
xk a kh 构造出的插值型求积公式
n
In (b a)
C(n) k
f
( xk
),
k 0
称为牛顿 - 柯特斯公式（Newton- Cotes公式），
C(n) k
称为柯特斯系数.
作变换x a th，则有
C(n) k
h ba
n n t j dt 0 j0 k j
jk
(1)nk
定理1 形如 (1)式的求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。
如果求积公式是插值型的，按 (2) 式，对于次数不超过n 的多项式
f(x),其余项 R[f] 等于零，因而这时求积公式至少具有n 次代数精度。
反之，如果求积公式 (1) 至少具有 n 次代数精度，则它必定是
插值型的。事实上，这时公式 (1) 对于特殊的n 次多项式插值基
二、复化梯形公式
将区间[a, b] 等分为 n 个小区间[xk , xk1],其中分点
xk
a kh,
(h
b a ,k n
0,1,, n),
并在每个小区间上应用梯形公式, 则得复化梯形公式
I
b
n1
f (x)dx
a k 0
xk 1 xk
f
(x) dx
h 2
n1
[f

数值积分与数值微分

数值积分与数值微分数值积分和数值微分是数值计算中重要的概念和方法，它们在科学、工程和统计等领域有广泛的应用。

本文将介绍数值积分和数值微分的基本概念、原理和方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。

一、数值积分数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。

定积分是函数在给定区间内的面积，表示为∫f(x)dx。

在实际计算中，由于很多函数的原函数求解十分困难或不可求得，因此需要借助数值积分方法来进行求解。

1.1 矩形法矩形法是最基本的数值积分方法之一。

它将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取一点，然后用这些小区间上的函数值的平均值来近似积分值。

具体而言，对于等分为n个小区间的积分，矩形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx * (f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。

矩形法的计算简单，但精度较低。

1.2 梯形法梯形法是另一种常用的数值积分方法，它通过用梯形面积来逼近积分值。

类似于矩形法，梯形法将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取两个点，然后用这些小区间上的梯形面积之和来逼近积分值。

具体而言，梯形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/2 * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。

梯形法相对于矩形法有更高的精度，但计算复杂度也相应提高。

1.3 辛普森法则辛普森法则是一种更加精确的数值积分方法，它利用三次多项式来逼近积分值。

辛普森法则将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取三个点，然后通过构造一个三次多项式，利用多项式的积分近似面积来逼近积分值。

具体而言，辛普森法则可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/3 * (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) +4f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。

数值分析第四章数值积分与数值微分

称 f 为区间 a , b 的平均高度.
3、求积公式的构造
若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：
左矩形公式： Iffaba
中矩形公式： Iff a2bba
右矩形公式： Iffbba
左矩形公式： Iffaba
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分。
WhatI’st’tshseo Ocorimgipnlaelx that funwcteiocnan?!not
get it.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
(i) 对所有次数≤m次的多项式 Pm (x,)有
R (P m ) I(P m ) In(P m ) 0
(ii)存在m+1次多项式 Pm1(x),使得
R (P m 1 ) I(P m 1 ) In (P m 1 ) 0
上述定义中的条件(i),(ii)等价于:
( i )R ( x k ) I ( x k ) I n ( x k ) 0 ,( 0 k m )
f x xn1 的余项为零。
由于 f x xn1,所以 fn1xn1!
即得
R(f)hn2 n n (tj)dt 0
j0
引进变换 t u n ,因为 n 为偶数,故 n 为整数,
2
2
于是有
n
R(f)hn2
2 n
2
n (unj)du
且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需
铝板的长度L.
这个问题就是要求由函数 f xsinx

Cht6 数值微分和数值积分

k 0
k 0
第3节 Newton-Cotes求积公式
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间[a,b]做n等分，步长h b a ,在等距节点
xk
a
kh上的插值型求积公式
ab
f
(
x)dx
(b
a)
n
C(kn)
n
ab
fk ,
n
f (x)dx k fk
wk ablkk(x0)dx(2.1)
，解得：x1
=
1 3
，A1
=
-
3，A2
=
4
故求积公式为：1 f (x)dx -3 f (1) 4 f (0) f (1)
1
3
而I (x3) 0 I (x3) 8，故有2次代数精度。 9
三、插值型求积公式
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
f1, , fn，就有拉格朗日插值多项式
f
(a) 4
f
(a b) 2
f
(b)]
ba 180
b
2
a 4
f
(4) (),
[a,b].
(2.7)
3. 柯特斯公式的余项
若f (6) (x)在[a,b]上连续, 则柯特斯公式的余项为
三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项
1. 梯形公式的余项若f (x)在[a,b]上连续,则梯形公式的余项为
R1[
f
]
I
T
(b a)3 12
f
( ),
[a,b].
(2.5)
2. 辛普森公式的余项
若f (4) (x)在[a,b]上连续, 则辛普森公式的余项为