点 的 投影的绘制
点 的 投 影
下：
① 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX；点的正面投影和侧面投影
的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ；同时aayh⊥OYH，a″ayw⊥OYW。
② 点的投影到投影轴的距离，反映空间点到以投影轴为界的另一投影面的距离，即：
a′aZ =Aa″=aayh=x坐标；a ax =Aa′=a″az=y坐标；a′ax =Aa=a″ ayw =z坐标。 为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即：aaX＝a″aZ，
2.一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离；其正面投影到OX轴的距离等于 该点到H面的距离，即aax=Aa′；a’ax=Aa。在图2-8(a)中，因为Aaaxa′是矩形， 所以aax=Aa′; a’ax=Aa。
1.2点在三投影面体系中的投影
1.三投影面体系的建立 如图2-9所示，三投影面体系是在V⊥H两投影面体系的基础上，增加一个与V、H投影面
点的水平投影和侧面投影的连线相交于自点O所作的45°角平分线，如图2-11(c)所示的
方法。
因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。反之，已知一点的两面投影，也 就等于已知该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。 例 已知空间点A（20、10、15），试作它的三面投影图。 解 作图步骤： (1) 如图2–12所示，在展开的三面投影体系中，由原点O向左沿轴OX量取20 mm得ax， 过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向前量取10 mm得水平投影a，向上量取15 mm得 正面投影a′。 (2) 过a′作OZ轴的垂线交OZ轴于az，在垂线上自az向前量取10 mm得a″（a″也可由a 通过作圆弧或45°斜线求得）。则a、a′、a″即为A点的三面投影，可记为A（a、a′、 a″）。
点的三面投影规律
一、点的三面投影
设第一分角内有一A点，过A点分别向三投影面投射即得A点的三面 投影。 将三投影面展开便得到 点的三面投影图点的三面投影图如下图所示。
二、点的三面投影与直角坐标的关系
为了研究问题方便，可将三投影面体系视为一空间直角坐标 系。这样就可将 H 、 V、 W 三投影面视为坐标平面， X 、 Y、 Z 三 投影轴视为坐标轴，投影原点O视为坐标原点。
一、点的三面投影
设第一分角内有一 A 点，过 A 点分别向 三投影面投射即得A点的三面投影。
点及其投影的表示方法：
空间的点用大写字母表示 点的投影用小写字母，加上'，或''。
如A—水平投影a，正面投影a'，侧面投影a''。
为表示点的各投影的对应关系用细线相连接。点的投影连线与投 影轴的交点分别记做ax、ay、az。
结论：任给点的两个投影，该两投影均能反映点的三个坐标。
二、点的三面投影与直角坐标的关系
点的坐标还表示了点到投影面的距离。 XA=a ayh=a ' az=A 点到W面的距离 YA=a ax=a ''az=A 点到V面的距离 ZA=a' ax=a'' ayw=A 点到H面的距离
三、点的三面投影规律
A点在B点之上方 、 后方、 右方 点的坐标是作点的投影图和判断两点间 位置关系的基础，也是分析和解决空间问题 的关键。 应充分理解点的投影与其坐标的关系， 尤其要熟悉三投影面的转换规律。
五、重影点及其可见性
重影点：若两个点在某一投影面上的投影重合成一点则称为重影 点，如图所示。
问题：重影的两点其坐标有何特点？ 重影点的坐标中有两个相等。
试分析A、B两点哪两个坐标相等，C、D 两点哪两个坐标相等？
机械制图-点、直线、平面的投影
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
投影法概念.点的投影
点、直线和平面>> 点>> 点在两投影面体系中的投影1 点1.1 点在两投影面体系中的投影1.1.1 两投影面体系的建立两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。
两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。
水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角。
(1) 投影如图2所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正面投影；由点A向水平面作垂线，得垂足a ，则a称为空间点A的水平投影。
画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的交线a′a x和aa x 。
图2 点在两投影面体系中的投影(2) 注写规定空间点用大写字母表示，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…。
(3) 投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上，保持V面不动，将H 面的前半部分绕OX轴向下旋转90°、后半部分绕OX轴向上旋转90°与V面重合。
则得到点A的两面投影图。
(4) 擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V、H及投影面的边界线都不需画出。
1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律(a) (b)图3 点在两投影面体系中的投影规律(1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。
在图3(a)中，点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′垂直于V 和H平面。
根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aa x⊥a′a x、aa x⊥OX和a′a x⊥OX。
当a随H面旋转重合于V面时，aa x⊥OX的关系不变。
《机械制图》点的三面投影
MECHANICAL DRAWING
点的投影 二、点的三面投影
1
三投影面体系的建立
2
点的三面投影
3
点的三面投影规律
4 由点的两面投影求第三投影
2
点的投影
1. 三投影面体系的建立
Z
O
Y
三投影面体系是在两投影面体系的基础上，加上一个与H面、V面都垂直的侧立投影面W（简称侧面）所组成。三个投 影面互相垂直相交，它们的交线称为投影轴。V面和H面的交线称为OX轴，H面和W面的交线称为OY轴，V面和W面的交线称 为OZ轴。三个投影轴互相垂直相交于一点O，称为原点,
a
X
ax
a
6
Z a z a
O
YW
ay
ay
YH
a a z
A ax
a
a
ay
aa X轴， a a Z轴， a a z = a ay a ax =aa y a ax = a a z
点的投影
二、点的三面投影
4、由点的两面投影求第三投影
例1：已知点A的正面与侧面投
a
影，求点A的水平投影。
X
Z a
O
YW
a
YH
规定，不可见点的重合投影加一 圆括号。
点的投影Za’Fra bibliotek例.点A在水平面上的投影可见。
b’
X
O
a” b”
YW
a(b)
YH
17
谢谢观看
Thanks for looking
7
点的投影
二、点的三面投影
Z
4、由点的两面投影求第三投影
例2.已知点A的正面与水
a
a
平面投影，求点A的侧面
点的投影
[例2] 已知点A(6,3,4),B点在A点的右、前、上方各2个
的投影
单位，C点在B点的正下方3个单位，求各点的投影。
b
a c
2
X
6
2
3
Z
4
a"
0
b" c"
YW
a b (c)
2
3
YH
[ ]
[例3] 已知点A(10,15,20),点B距W、V、H面分别为20mm、 影投的点求 3例 10mm、15mm，点C在点A之左15mm，之前5mm、 之下10mm，求各点的投影。
点A到W面的距离为：
Aa"=a’az=aayH =X坐标；
点A到V面的距离为：
Aa’=a"az=aax =Y坐标；
点A到H面的距离为：
Aa=a"ayW=a’ax=Z坐标；
Z A到W面
A到V面 Va' aZ
距离
距离
A
A到H面X ax
O
a" W
距离
a
aY
H
Y
A到W面
距离 Z
点的H面投影反映点的X、Y坐标；
水平投影面（水平面、H面） 正立投影面（正面、V面） 投影轴：X轴。
四个分角：H、V两投影面将空间划分为四个分角。
A点的投影：H面投影a , V面投影a’。
投影面的展开：V面不动，H面绕X轴向下旋转与V面重合。
实际画图不画外框线
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ Ⅳ
a' V
X X ax H
a
V第
Ⅰ
A
分
角
aH H
V a'
X ax
a H
点、直线和平面的投影
例2-1 已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，点B的正面投影b′和水平投 影b，如图2-11(a)所示，分别求其第三面投影。
图2-11 已知点的两面投影求第三投影
二、直线的投影
1.各种位置直线的投影特性
1）投影面平行线 投影面平行线与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。 （1）投影面平行线在其所平行的投影面上的投影，反映实长；它与投影轴 的夹角，分别反映直线对另外两个投影面的夹角。 （2）在另外两个投影面上的投影，分别平行于相应的投影轴。 2）投影面垂直线 投影面垂直线与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行。 （1）投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一点。 （2）在另外两个投影面上的投影，分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。 3）一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映 实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角 。 一般位置直线的投影特性是三个投影都是倾斜于投影轴的直线，其长度小 于实长。
（2）点的投影到投影轴的距离反映空间点到另一投影面的距离，即 a′aX=a″aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=a″aZ=Aa′，也即空间点 A到V面的距离；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空间点A到W面的距离。
为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离， 即aaX＝a″aZ，可自O点作45°角平分线，aaYH、a″aYW的延长线必与这条 辅助线交于一点，如图2-10(c)所示。
工程制图
点、直线和平面的投影
一、点的投影
点是立体上最基本的几何元素，一般体现为棱线和棱线的交点，如图2-10(a) 所示的点A。
根据投影关系，主视图上的a′称为点A的正面投影；俯视图上的a称为点A的 水平投影；左视图上的a″称为点A的侧面投影，如图2-10(b)所示。
绘制点的投影
单元三 绘制点的投影
二、点的投影规律 • （1）垂直规律：aa′⊥OX、a′a″⊥OZ。点的V面投影与H面投
影的连线垂直于OX轴；点的V面投影与W面投影的连线垂直于 OZ轴。即两投影的连线必垂直于相应的投影轴。 • （2）相等规律：点的投影到投影轴的距离，反映点到相应投影 面的距离。即：aaX=a″aZ=Aa′，反映A点到V面的距离； a′aZ=aaY=Aa″，反映A点到W面的距离；a′aX=a″aY=Aa， 反映A点到H面的距离。
单元三 绘制点的投影
三、特殊位置点的投影 如图3-2所示为特殊点的三面投影。 ➢ 思考一：有几种特殊点的情况？其投影有何特点？
图3-2特殊点的三面投影
单元三 绘制点的投影
四、点的投影与坐标 A点到W面的距离为X坐标；A点到V面的距离为Y坐标；A点到H
面的距离为Z坐标。A点可表示为（X，Y，Z）。点的每个投影反映 两个坐标，点的三面投影与点的坐标关系为： • （1）A点的H面投影a可反映该点的X和Y坐标； • （2）A点的V面投影a′可反映该点的X和Z坐标； • （3）A点的W面投影a″可反映该点的Y和Z坐标。
单元三 绘制点的投影
五、两点的相对位置 空间两点的相对位置是以其中某一点为基准，判别另一点在该点的前
后、左右、上下的位置，这可由两点的三个坐标值来确定，或者由两 点的坐标差来确定。如图3-3所示。
图3-3两点的相对位置（a）立体图；（b）投影图
单元三 绘制点的投影
➢ 思考二：根据Ｘ坐标判别两点的左、右关系；根据Ｙ坐标判别两点 的前、后关系；根据Ｚ坐标判别两点的上、下关系。试判断图3-3 中A、B两点的相对位置。 结论：B点在A点的左、后、下方。
点的投影定理
点的投影定理点的投影定理：点的投影规律是投影连线垂直于投影轴;投影与投影轴的距离,反映该点的坐标,也就是该点与相应的投影面的距离;点动成线,线动成面,点的投影是直线投影和平面投影的基础。
点的投影性质：由空间点A分别作垂直于H、V和W的投射线，其垂足a、a′、a″即为点A在H面、V面和W面上的投影。
空间点用大写字母如A、B表示，水平投影用相应的小写字母表示。
点的两面投影规律(V/H两面投影体系中)1、点的投影连线垂直于投影轴。
2、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面的距离。
点的三面投影规律（V/H/W三面投影体系中）1、点的投影连线垂直于投影轴。
2、点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。
在几何学、拓扑学以及数学的相关分支中，空间中的点用于描述给定空间中的1 种特别的对象，在空间中有类似于体积、面积、长、宽、高的类似物。
1 个点是1 个0 维的对象。
点作为最简单的图形概念，通常作为几何学、物理学、矢量图形和其他领域中最基本的组成部分。
扩展资料：在v面上的投影称为正面投影，以b'表示;在H面上的投影称为水平投影，以b表示;在W面上的投影称为侧面投影，以b"表示.然后，将投影面进行旋转，V面不动，H，W 面按箭头方向旋转90°，即将三个投影面展成一个平面，从而得到点的三个投影的正投影图。
物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影。
日影的方向可以反映时间，古埃及的绿石板影钟和我国古代的计时器日晷，就是根据日影，来观测时间的。
皮影戏是利用自然光或蜡烛光源的照射，把影子的形态反映在银幕（投影面）上的表演艺术。
点在平面内求投影的方法
点在平面内求投影的方法
要求一个点在平面上的投影，可以使用以下方法：
1. 垂直投影方法：假设平面上任意一点P，与目标点Q的连线与平面垂直。
求解与该垂线相交的平面上的点即为Q在平面上的投影点。
2. 平行投影方法：假设平面上任意一直线与目标点Q所在的直线平行，求解与该直线相交的平面上的点即为Q在平面上的投影点。
3. 投影矩阵方法：如果知道平面的方程以及目标点的坐标，可以根据投影矩阵的计算公式求解。
4. 三视图投影方法：根据正交视图（前视图、顶视图和侧视图）的投影关系，可以求解目标点在平面上的投影点。
以上是常用的求解点在平面上投影的方法，具体选择哪一种方法取决于具体的情况和给定的条件。
大一工程制图点的投影知识点总结
大一工程制图点的投影知识点总结在工程制图中，点的投影是其中的基础概念之一。
了解和掌握点的投影知识对于工程制图的学习和实践都至关重要。
本文将对大一工程制图点的投影知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 点的投影概念点是一个没有大小和形状的基本图形元素，而点的投影是指将点在某个平面上的投影位置。
在工程制图中，常用的投影平面有垂直于水平面（俯视图，即平面图）和垂直于垂直面（正视图，即立体图）的两个投影面。
2. 点在水平投影面上的投影当点在水平投影面上进行投影时，我们可以直接按照点的位置在水平面上标注出其投影位置。
水平投影也称为俯视图，是制图中最常用的一种投影。
3. 点在垂直投影面上的投影当点在垂直投影面上进行投影时，我们需要根据点的先后顺序和距离来确定其在投影面上的位置。
在垂直投影中，我们通常使用正视图来表示点的投影位置。
4. 点在多个投影面上的投影在实际工程制图中，一个点可能需要在多个投影面上进行投影。
这时，我们可以根据不同的投影面，分别画出该点在每个投影面上的投影位置。
通过在不同的视图中观察和标注这些投影，可以更全面地了解和描述点的位置。
5. 点的投影位置变化当点的位置发生变化时，其在投影面上的投影位置也会随之改变。
在工程制图中，通过观察和分析点在不同投影面上的变化，可以推断出点在三维空间中的实际位置。
6. 投影线与真实线在点的投影中，我们通常使用投影线来表示点在投影面上的投影位置。
投影线是连接点和投影位置的直线，它只是点在投影面上的一种表达方式，并不代表真实的线段或距离。
因此，在进行点的投影时，需要区分投影线和真实线之间的关系。
7. 点的投影应用点的投影不仅仅是一个理论概念，还具有广泛的应用价值。
在工程制图和设计中，点的投影可以帮助我们准确地定位和描述一个点的位置，从而为后续的图形绘制和建模提供基础。
同时，通过观察点在不同投影面上的变化，还可以推断出其他图形的投影位置和形态。
总结：点的投影是工程制图中的基础概念，了解和掌握点的投影知识对于工程制图的学习和实践都至关重要。
点的投影
距 ������ 面
20 15 11
距 ����ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ� 面
24 16 10
������������
H
点的三面投影
X
O
H
点的投影规律
（1）点的正面投影和水平投影的连线 垂直于������轴，即������ꞌ������ ⊥ ������������; （2）点的正面投影和侧面投影的连线 垂直于������轴，即������ꞌ������″ ⊥ ������������; 点的侧面投影到������������轴的距离， 即������������������ = ������″������������
������
������������
知识拓展
2、已知表中各点的坐标，作出点的三面正投影图。
������
坐标 点名 ������ ������ ������������ ������ ������ ������
������
24 16 10
������
20 15 11
������
30 18 5
������������
������′由������������ 、������������ 确定， ������″由������������ 、������������ 确定。 作图： （1）确定投影轴， （2）量取坐标值，
������
������′
15
������������
������″
������������
������
������ ������
������������
������������ ������������°
������������
点的投影PPT课件
b'
B b"
a'
O
b A
a"
a
第28页/共90页
(2) 一般位置直线的指向
G
第29页/共90页
(3) 物体上一般直线的投影分析
第30页/共90页
2. 投影面的平行线
(1) 投影面平行线的投影特性 (2) 物体上平行线的投影分析
第31页/共90页
(1) 投影面平行线的投影特性
a' b' A B
2022重影点的投影上见下丌可见前见后丌可见左见右丌可见232542直线的投影一直线的投影二直线的投影特性三例题各种位置的直线2526一直线的投影27二直线的投影特性投影面的垂直线27物体上一般直线的投影分析28物体上一般直线的投影分析31物体上平行线的投影分析32物体上平行线的投影分析34物体上垂直线的投影分析35361投影面垂直线的投影特性372物体上垂直线的投影分析3738383943直线上的点一属于直线的点的投影二例题3940一属于直线的点的投影41二例题例题5已知线段ab的投影图试将ab分成21两段例题6已知点c在线段ab上求点c的正面投影解法1解法2例题7作正平线cd不直线ab相交于点d4142例题5已知线段ab的投影图试将ab分成21两段求分点c的投影cc43例题6解法1已知点c在线段ab上求点c的正面投影
c
d' a
d
第52页/共90页
二、两平行直线
1. 平行直线的投影 2. 例题
第53页/共90页
1. 平行两直线的投影
第54页/共90页
[例题9] 给出平面四边形ABCD的两条边AB、CD的 H投影，试完成ABCD的投影。
d'
d
点的投影
a"
O
a
Y
点Y和Z的坐标。
画出A点投影图和举例
Z
a●
X
Z
az
O
a ●
Y
X
V
a
●
az
●
ax
ay
ax
A O
●
a
W
a
点 的 投 影 规 律:
●
Y
ay
a
●
ay
H Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y=A到V面的距离
aax= aay=z=A到H面的距离
aay= aaz=x=A到W面的距离
点的投影
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线与投影 面P的交点即为点A在P面上的 A 投影。
点在一个投影面上的投 影不能确定点的空间位置。
解决办法？
B3
●
P
●
a
●
P
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
二、点的三面投影
Z
◆正面投影面（简称 正面或 V 面） 投 影 ◆水平投影面（简称水 X 平面或H面） 面
投影面展开
不动
Z Z
向右翻
V
a
●
az
O
●
a
W
V
a
●
az
●
X
ax a H
●
ay
Y
X
ax
Hale Waihona Puke A O●a W
ay
Y
a 向下翻
●
ay
Y
H
Z
点的三面投影和坐标
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任务三点的投影绘制
一.目的与要求
1．空间点及其投影的标记标记符号
2．点的三面投影规律
3．特殊位置点的投影
4．两点的相对位置和重影点
二．学习重点、难点
重点：1．在两面和三面投影图中点的投影规律
2．重影点的概念和两点的相对位置
难点：1．点的三面投影与直角坐标的关系
2．特殊位置点的投影
三．场地及教具准备
场地：制图实训室
教具：自制的三投影面体系模型、圆规、三角板、直尺
四．教学安排
1．教学时间：4学时
2．教学组织：按照教师的教学思路学习
3．学习要求：通过老师的讲解，学生必须自己动手作图，了解作图步骤，懂得如何绘制
五．教学实施步骤
1.点的投影及其标记
当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个投影。
如下图（a）所示，假设空间有一点A，过点A分别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a′、a″，便是点A在三个投影面上的投影。
规定用大写字母（如A）表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的小写字母（如a、a′和a″）表示。
根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到下图（b）所示的带边框的三面投影图，即得到点A两面投影；省略投影面的边框线，就得到下图（c）所示的A点的三面投影图，（注意：要与平面直角坐标系相区别。
）
（a） (b) (c)
点的三面投影
2.点的三面投影规律
（1）点的投影与点的空间位置的关系
从图（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″分别为点A到H、V、W面
的距离，即：
A a = a′a x = a″a y (即a″aYW)，反映空间点A到H面的距离；
A a′=a a x = a″a z ，反映空间点A到V面的距离；
A a″= a′a z = a a y (即aYH)，反映空间点A到W面的距离；
上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。
反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。
（2）点的三面投影规律
由图中还可以看出：
a aYH = a′a z 即a′a⊥OX
a′a x = a″aYW 即a′a″⊥OZ
a a x = a″a z
这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。
而且这个关系不因空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律：
①点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a⊥OX；
②点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″⊥OZ；
③点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″到OZ轴的距离，即
a a x = a″a z 。
（可以用45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系）
根据上述投影规律，若已知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影。
例题讲解：已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，求作其水平投影a 。
题目解答
强调：一般在作图过程中，应自点O作辅助线（与水平方向夹角为45°），以表明a a x = a″a z的关系。
3.点的三面投影与直角坐标
（1）点的三面投影与直角坐标的关系
三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。
投影面H、V、W作为坐标面，三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴，三轴的交点O作为坐标原点。
由下图可以看出A点的直角坐标与其三个投影的关系：
点A到W面的距离= Oa x = a′a z = a aYH = x坐标；
点A到V面的距离= OaYH = a a x = a″az = y坐标；
点A到H面的距离= Oa z = a′a x = a″aYW = z坐标。
（a）（b）
点的三面投影与直角坐标
用坐标来表示空间点位置比较简单，可以写成A (x，y，z)的形式。
由上图（b）可知，坐标x和z决定点的正面投影a′，坐标x和y决定点的水平投影a，坐标y和z决定点的侧面投影a″，若用坐标表示，则为a (x，y，0)，a′(x，0，z)，a″(0，y，z)。
因此，已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反地，已知一点的三个坐标，就可以量出该点的三面投影。
讲解例题：已知点A的坐标（20，10，18），作出点的三面投影，并画出其立体图。
三面投影的作图步骤：
立体图的作图步骤：
4.特殊位置点的投影
（1）在投影面上的点（有一个坐标为0）
有两个投影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。
例如在V面上的点A，如图（a）所示；
（2）在投影轴上的点（有两个坐标为0）
有一个投影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。
例如在OZ轴上的点B，如图（b）所示；
（3）在原点上的空间点（有三个坐标都为0）
它的三个投影必定都在原点上。
如图（c）所示。
（a）（b）（c）
特殊位置点的投影
5.两点的相对位置
（1）两点的相对位置
设已知空间点A，由原来的位置向上（或向下）移动，则z坐标随着改变，也就是A点对H面的距离改变；
如果点A，由原来的位置向前（或向后）移动，则y坐标随着改变，也就是A 点对V面的距离改变；
如果点A，由原来的位置向左（或向右）移动，则x坐标随着改变，也就是A 点对W面的距离改变.
综上所述，对于空间两点A、B的相对位置
①距W面远者在左（x坐标大）；近者在左（x坐标小）；
②距V面远者在前（y坐标大）；近者在后（y坐标小）；
③距H面远者在左（z坐标大）；近者在左（z坐标小）。
举例：如下图所示，若已知空间两点的投影，即点A的三个投影a、a′、a″和点B的三个投影b、b′、b″，用A、B两点同面投影坐标差就可判别A、B两点的相对位置。
由于xA > xB，表示B点在A点的右方；zB > zA，表示B 点在A点的上方；yA > yB，表示B点在点的A后方。
总起来说，就是B点在A 点的右、后、上方。
两点的相对位置
（2）重影点
若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。
这时，空间两点的某两坐标相同，并在同一投射线上。
当两点的投影重合时，就需要判别其可见性，应注意：对H面的重影点，从上向下观察，z坐标值大者可见；对W面的重影点，从左向右观察，x坐标值大者可见；对V面的重影点，从前向后观察，y坐标值大者可见。
在投影图上不可见的投影加括号表示，如（a′）。
举例：如下图中，C、D位于垂直H面的投射线上，c、d重影为一点，则C、D为对H面的重影点，z坐标值大者为可见，图中zC > zD，故c为可见，d为不可见，用c（d）表示。
重影点
六．课后作业
完成实习报告
七．附件
1.学生学习页
2.实习报告
附件1
慈溪市杭州湾中等职业学校
学生学习页
班级
姓名
学号
投影的基本技术
一.教学目标
1．空间点及其投影的标记标记符号
2．点的三面投影规律
3．特殊位置点的投影
4．两点的相对位置和重影点
二．学习重点、难点
重点：1．在两面和三面投影图中点的投影规律
2．重影点的概念和两点的相对位置
难点：1．点的三面投影与直角坐标的关系
2．特殊位置点的投影
三．场地及教具准备
场地：制图实训室
教具：自制的三投影面体系模型、圆规、三角板、直尺
四．学习方法
课堂教学中要加强三等关系和六方位关系的基本训练，着重突出空间概念的培养，这是树立空间概念，搭起空间架子的起步。
这部分教学要突出空间位置的判断。
运用直观教具，采用讲授和演示教学法，讲情三投影面体系的有关内容和展开方法。
注意以下几个要点：
投影面展开前：（1）空间点对投影面的距离及对应坐标的关系。
（2）空间点的投影与其对应坐标的关系。
投影面展开后：要演示两投影连线与投影轴的关系，从而引出投影规律。
五．学习步骤
(一)自学导引
思考：1.物体的形成？
2.物体都是由什么构成的？
3.点的投影应该怎么画？
(二)问题解决步骤
①阐述点投影的形成，运用实物进行研究
②学生根据老师提出的问题，进行分析讨论
③老师根据学生讨论结果进行分析
1.了解点投影的形成
2.想象各种点的投影
3.分析各种点投影的画法
从实物上看出的形状，了解其结构方式。
4.评估交流
学生在画图过程中遇到的问题以及自己对问题的看法和解决办法。
5.巩固练习
在课堂上补充几题点的投影的题目，自己动手完成作图。
6.课堂小结
归纳这节课学到的知识，回顾各种点投影的作图方法。
六．课后作业：完成实习报告
七. 自评互评作业质量
姓名自评月日
被评人互评
附件2
实习报告
课题名称
指导教师实习日期
1.根据点的坐标，作出点的三面投影。
A（30,20,15），B（20,15,0），C（15,0,20），D（0,20,0）
2.已知点A的三面投影，求作B,C,D的三面投影，要求B在A的正前方10mm，C 在A的正前方15mm，D在A的正下方8mm，并判断重影点的可见性。
教师评语。