机械制图平面的投影及相对位置

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例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
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⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
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面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
βc b
a
铅垂面
投影特性：
1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影 轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 2.另两个投影面上的投影有类似性。
投影特征：一斜两类似
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2） 投影面平行面的投影
水平面
V
a
a
b c
b
AB
a
cW
C
b
a
a
b c
b
c H
投影特性：
c
1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线;
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
b d
●k
c
a’
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线(细实线)求解
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例2 已知ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面
b
b
e d c
d e
c
a
a
c a
ed
b
点D不属于平面ABC
c a
de
b
点D属于平面ABC
b’
RV PV a’
PH a
b QH
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5.已知平面图形的两个投影，求作第三个投影，并判断平面的空间位置。
a)
b)
c)
b
a
c
三角形是水平 面
平面图形是正垂面
投影面平行面:两线一实形 投影面垂直面:一斜两类似
平面图形是侧垂面
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三、平面上的直线和点
⒈平面上取任意直线
在平面内取 直线的方法
定理一
若一直线过平面上的 两点，则此直线必在 该平面内。
定理二
若一直线过平面上的一点， 且平行于该平面上的另一 直线，则此直线在该平面 内。
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例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。
解法一
根据定理一
b
m a
n c
解法二
a
根据定理二
d b
c
m a
b nc
b d
a
c
有无数解。
⒊ 两直线均为一般位置直线时，在三个投 影面上的投影不一定反映直角。
直角投影 定理
b
c
a
即要在投影图中画垂直或判断
垂直，必须有投影面平行线。
.b
a
c
小结
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一、各种位置平面的投影特性 b b
⒈ 一般位置平面（三类似）
三个投影为边数相等的类似多边形。
a
a
c
c
⒉ 投影面垂直面（一斜两类似）
b
在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。
铅垂面
V PB
c
a
a
W
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 b
5
正垂面
V
b
QV
a
A
c
b
c
W B
a
α
b c
a
Q C
H
c a
投影特性：
b
1. abc 积聚为一条线，与OX、 OZ的夹角反映α、 角；
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3） 一般位置平面的投影（三类似）
b
a
B
一般位置平面 b
b
a
b
a
c
c
A
a
b
C c
b
c
a
c
a
投影特性
1. abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形；
2.不反映、、 的真实角度。
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2.用有积聚性的迹线表示下列平面:
例：用过直有线积AB聚的正性垂的面迹P；线过点 表C示的正下平列面平Q；面过直 ：线过DE直线AB的 正垂的面水平P面 ；R过。 点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。
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例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。
b’ 1’
e’
d’
2’
a’
f’
a 2
d f
e
b1
求线先找两已知点， 求点先找已知线。
c’
c
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四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投 影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上 的投影反映直角。
c
另外两个投影为类似多边形。
a
⒊ 投影面平行面（两线一实形）
在其平行的投影面上的投影反映实形。 a 另外两个投影积聚为直线。
c a
b
c b
a b c b a c
1.abc//OYY、 abc //OZ，分别积聚为直线； 2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。
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c
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积聚性
积聚性
a b c a c b
a
实形性
c
b
投影特性：
水平面
1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。 2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴 平行的直线。
投影特征：两线一实形
3
⒉ 各种位置平面的投影(三类七种情况)
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
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1） 投影面垂直面的投影
2.abc、abc为 ABC的类似形。
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侧垂面
V
S B
b
SW
b
W a
b c β c
α a
c
C
a
A
H
b c
投影特性：
a
1、 abc积聚为一条线， 与OYW 、 OZ 的夹角反映α、β角；
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形。
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类似性
b
b
类似性
是什么位置
的平面？
a
积聚性
γ
a
c c
2 .水平投影abc反映 ABC实形。
b a c
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正平面
V
b
a
b
b
B
b
c
W
A a
c
C
c
a
a
c
c H
b
a
c
ba
投影特性：
1.abc//OX 、 abc //OZ，分别积聚为直线；
2 .正面投影abc反映 ABC实形。
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侧平面
V
c
b
B
b
a
b
W
a
c
A
a
a
a
bC
c
b
b a
Hc
c
投影特性：
空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。 平面P与H面的交线为水平迹线PH，与V面的交线为正面 迹线PV，与W面的交线为侧面迹线PW。
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二、平面的投影
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
平面//投影面 投影反映实形面
垂直
平面⊥投影面
投影积聚成直线
倾斜
平面∠投影面
投影类似原平面
实形性
积聚性
类似性
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1.4 平面的投影
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
c
●
d a●
●
● b
● b
● b
●b
●b
●b
a●
a●
a●
●
d
a●
● c
● c
●c
c ● a●
● b ●b
a●
●c
c
●
● b ●b
●c
不在同一直线 直线及线外一点 两平行直线 上的三个点
两相交直线* 平面图形
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2.迹线表示法(见书本P33)