沪教版高一上册数学高一上册教案基本不等式及其应用(1)
高一数学上册《基本不等式及其应用》优秀教学案例
本案例强调学习过程中的反思与评价，教师及时对学生的学习情况进行反馈，帮助学生总结经验、改进学习方法。同时，学生通过自我反思，能够更加清晰地认识到自己的优点和不足，从而在今后的学习中更有针对性地进行提高。
5. 注重学生个体差异，实施差异化教学
在教学过程中，教师关注学生的个体差异，针对不同学生的特点，给予个性化的指导。这种差异化教学策略有助于提高每个学生的潜能，使他们在原有基础上得到最大程度的发展。同时，教师鼓励学生提问、发表见解，充分调动他们的学习积极性，提高教学质量。
2. 运用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出数学模型，学会用数学语言表达和解决问题。
3. 设计多样化的练习题，帮助学生巩固基本不等式的知识，提高解题技能。
4. 引导学生总结解题思路，培养他们举一反三、触类旁通的能力。
（三）情感态度与价值观
1. 激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、克服困难的品质。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，使他们认识到数学在生活中的重要性。
3. 通过基本不等式的学习，让学生体会到数学的简洁、优美，增强他们对数学美的鉴赏能力。
4. 培养学生的批判性思维，使他们敢于对问题提出自己的见解，形成独立思考的习惯。
5. 引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习不仅仅是为了考试，更是为了培养自己的逻辑思维和解决问题的能力，为未来的发展奠定基础。
3. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）总结归纳
1. 教师引导学生回顾本节课所学的基本不等式的定义、性质和应用。
2. 总结基本不等式的解题思路和方法，强调关键步骤。
3. 提醒学生注意基本不等式的使用条件，避免滥用。
（五）作业小结
基本不等式及其应用-沪教版必修1教案
基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。
特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。
考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。
教学目标1. 知识与技能理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。
会运用基本不等式解决相关的问题。
2. 过程与方法通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。
3. 情感态度与价值观鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。
逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程：一、 要点梳理1、基本不等式若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=”b 2（a 、b 同号） a3、求最大值、最小值问题(1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________(2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值x y2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式：宁,ab ，当且仅当a=b 时取■- ab2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 22 概括为:变式训练：设x >0, y >0,且2x + 8y = xy ，求x + y 的最小值2 1x a 」的最小值。
高中数学：2.4《基本不等式及其应用》教案(1)(沪教版高一上)
2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的. 二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab ba ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点. 三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用. 难点 基本不等式的应用. 四、教学用具准备 电脑、投影仪 五、教学流程设计六、教学过程设计 一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，32>、02≥a （R a ∈）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边朱实中黄实abc“弦图”的现代数学图示之差小于第三边等等. 二、新课讲授 1、基本不等式1基本不等式1 对于任意实数a 和b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a b =时等号成立. （1）基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立. （2）基本不等式1的几何解释 ① 解释1边长为a 的正方形面积与边长为b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当a b =时等号成立）.已知正方形ABCD ，分别在边AD 、边DC 上取点E 、F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H .EG 和HF 交于点M .由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积 ≥ 剩余部分的面积，当且仅当点E 移至AD 中点时等号成立. ② 解释2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以a 、b 、c 分别表示勾、股、弦，那么，a b ⋅表示“弦图”中两块“朱实”的面积，()2b a -表示“中黄实”的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以c 为边长的正方形“弦实”的面积，即 这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以c 为边长的正方形“弦实”的面积 ≥ 四块“朱实”的面abM G HFD AB CE积即，222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）. 2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB 是直径. 过D 作DC AB ⊥，垂足为C .显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.设AC a =，CB b =，请用a 、b 来表示上述这个不等关系.（ 即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.）基本不等式2 对于任意正数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. 我们把2ba +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （1）基本不等式2的证明证明：因为20a b +-=≥，所以ab ba ≥+2.当a b =时，20=.当a b ≠时，20>.所以，当且仅当a b =时，ab ba ≥+2的等号成立.另证：因为a 、b 均存在.由基本不等式1，得22+≥=.即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. （2）基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当ab =时等号成立. 例1 已知0>ab ，求证：2≥+baa b ，并指出等号成立的条件.证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>ba.所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 baa b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式b a a b +的取值范围是什么？（2b aa b+≤-，当且仅当0a b =-≠时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用 （1）几何问题例2 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？ 猜想：由几何画板电脑演示得出.解：设矩形的长、宽分别为a 、b （a 、b R +∈）且a b m +=（定值），则同样周长的正方形的边长为2a b+. 矩形面积S ab =，正方形面积22a b S +⎛⎫'= ⎪⎝⎭由基本不等式2，得ab b a ≥+2，又由不等式的性质得222a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即S S '≥. 由题意，a b m +=（定值），所以2224m mS ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（定值）.当且仅当a b =，即矩形为正方形时，矩形的面积最大. [说明]当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值. 例如，若01x <<时，有()114x x -≤，当且仅当12x =时等号成立.（事实上，由()2211124y x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭（01x <<），得104y <≤，当且仅当12x =时等号成立.） 三、课堂小结 略四、作业布置 1、练习2.4（1） 2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？（3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.七、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用“观察——猜测——归纳——证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.。
沪教版高一上册数学高一上册教案不等式的基本性质(1)
2.1不等式的基本性质一、教学目标设计理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。
渗透分类讨论的数学思想。
二、教学重点及难点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
三、教学流程设计四、教学过程设计一、引入公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等的数量关系，可以用不等式来处理。
在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。
而解决不等关系问题的基础是不等式的性质，为此我们先学习不等式的基本性质。
二、探究不等式的基本性质判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a>b的充分必要条件是a-b>0；a=b的充分必要条件是a-b=0；a <b 的充分必要条件是a-b <0。
引出等式的性质： a=b ，b=c ⇒a=c ； a=b ⇒ac=bc ； a=b ，c=d ⇒a+c=b+d 。
1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论： 结论1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
结论2 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。
结论3 如果a >b ，那么ac >bc 。
[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的三个性质：性质1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
性质2 如果a >b ，那么a+c >b+c 。
性质3 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc 。
沪教版(上海)数学高一上册-2.1 不等式的基本性质(1) 教案
3．在教师的引导下，通过类比猜想，体验定理的形成过程，进一步养成探索的习惯和意识。
教学重点：掌握判断两个实数大小的基本方法。
教学难点：综合应用不等式的基本性质证明两个实数的大小关系。
教学分析及教学设计：
本节课是高一第二章不等式的第一节第一课时，课程标准的要求是：1、理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；2、通过类比得到不等式的基本性质，并能加以证明，会用不等式的基本性质判断不等关系；3、培养代数证明的基本能力，并建议两课时完成。可以看出，在高中阶段，学习不等式的基本性质，其目的是为比较实数大小、解不等式以及不等式证明等知识打好基础，同时培养学生代数证明的基本能力、探索意识等科学素养。
【小结】
1、例1结论是不等式的基本性质1~3，今后可直接使用；
2、基本性质中的 可以是任何满足条件的实数或值为实数的代数式。
【设计意图】
通过教师示范、学生模仿，证明不等式的基本性质1~3，并总结比较两实数大小的基本方法“作差法”，初步体验代数证明的过程。通过减法性质和除法性质的提问，使学生产生类比猜想的意识，为叠乘性质的类比猜想做铺垫，并使学生能够更深层地理解加法性质和乘法性质中字母的意义以及性质的地位和作用。
教学过程：
一、复习引入
1、介绍学习目的
在初中，我们已经学习了不等式的性质、如何解一元一次不等式（组）以及如何比较两个具体实数的大小关系。在高中，我们将要学习如何比较两个抽象实数的大小关系，还要学习解一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式和高次不等式，今后我们还要学习不等式的证明。在所有这些问题的推理过程中，我们需要言之有据。这里的“据”就是今天我们将要学习的不等式的基本性质。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章基本不等式教案
基本不等式一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、知识与技能：掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab b a ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、过程与方法：在公式的探求过程中，理解两个基本不等式相应的几何解释，领悟数形结合的数学思想，初步理解代换的数学方法。
3、情感态度与价值观：通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点。
三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；难点 基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计（一）讲授基本不等式1．引例：如右图，已知正方形ABCD ，在边AD 上任取一点E ，在边DC 上取点F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H ，EG 和HF 交于点M 。
设DF=a ，MG=b ，试比较红色部分面积之和与白色部分面积之和的大小，并说明理由。
2．基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a 、b∈R，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号)．3．基本不等式的几何解释，讲解赵爽《勾股方圆图注》（二）讲授基本不等式21.引例：已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .设AB b a +=，AC a =，CB b =，试用a 、b 来表示OD 、CD 的长度，你能发现什么结论吗？2．基本不等式2的证明（略）3．基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab b a ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. （三）基本不等式的简单应用 例1：已知0>ab ，求证：2≥+ba ab ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>b a . 所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 b a a b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式ba ab +的取值范围是什么？ 例2 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大六、课堂小结 b a C O D七、作业布置1、练习册P19～20，习题2.4A组2、思考题(1)在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？(2)整理一些不等式的常用变式并给出证明八、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由形到数，再由数到形的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识。
高中数学沪教版高一第一学期第二章基本不等式及其应用课件1
所以, a b ab ,
2
当且仅当a=b时等号成立。
ab 。
例 已知 ab > 0, 求证： b a 2, 并指出
等号成立的条件。
ab
证明： 因为 ab > 0, 所以有 b 0, a 0 。
a
b
所以, b a 2 b a 2 。
ab
ab
当且仅当 b a , 即 a = b ≠ 0 时等号成立。
, 即 a = b ≠ 0 时等号成立。
及其应用（一） Basic Inequalities and Their Applications
2
ab ,
当且仅当 a = b 时等号成立。 基本不等式2：对于任意正数a和b,有
当且仅当 a = b 时等号成立。 当 时,
基本不等式1：对于任意实数a和b,有
因为 ab > 0, 所以有
,
。
与矩形的周长之间有什么大小关系？
我们把 当且仅当a=b时等号成立。
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
当且仅当 a = b 时等号成立。 2002年北京国际数学家大会会徽 则矩形的面积 S = ab.
ab和 2
ab 分别叫做正数
当且仅当 a = b 时等号成立。
由基本不等式 2，得 0 ab . 及其应用（一）
Basic Inequalities and Their Applications
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2
基本不等式2：对于任意正数a和b,有
a b 2、在面积保持不变的条件下，正方形的周长
可得 ab , 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
1、 P 练习 a、b 的算术平均数和几何平均数。
沪教版(上海)数学高一上册-2.4.2 基本不等式及其应用 教学设计
师：今天由我来和大家共同学习两个基本不等式及其简单的应用，那么，在前一阶段我们已经学习了这样的一个不等式： ，当时是怎么得到的这个不等式呢？
生：
师：那么之前我们是利用它去证明其他不等式，今天我们就这个不等式本身进行更为细致的学习。首先，当 在什么范围的时候这个不等式才成立？
生：全体实数
因此本节课主要是要让学生理解并掌握基本不等式以及它的成立条件，并通过例题的学习，让学生初步学习用基本不等式去解决问题的方法。
鉴于此，本节课的教学重点确定为：
（1）掌握两个基本不等式；（2）通过数形结来自以及学科交叉，证明两个基本不等式；
（3）让学生初步体会如何将一些实际问题以及代数证明题转化成基本不等式的证明，以及掌握建立基本不等式模型解决实际问题的一般步骤。
（二）基本不等式二
师：基本不等式一中体现的是两个数的平方和和他们积的2倍的不等关系，但是，在现实生活中，两个数的平方和是不太常见的，更为常见的是两个数的和，因此就衍生了基本不等式一的兄弟版本——基本不等式二。我们先来看一下这样的几何图形:
由此得到 ，那有可能相等吗？（等腰直角三角形）有可能小于吗？（不可能）即
当且仅当 时等号成立
的最小值为3，此时 。
【小结】：如果积不是定值则和不一定在等号成立的条件下出现最小值，所以必须要满足正定等三条才可以。而积为定值可以有很多种不同的呈现形式：直接作为已知条件或者隐藏在要求最值的式子里甚至于需要进行更为复杂的变形
【变式】若 ，则 的最小值为________。 +
例三：(1)已知 都是正数，若 ，则 的最大值为_______。
【小结】：和为定值，积有最大值，和为定值也有很多不同的呈现形式。
课堂总结：
高中数学高一第一学期2.4基本不等式及其应用_教案1-沪教版
基本不等式及其应用【教学目标】1．通过集体讨论发现容易出现的问题，师生共同探究弄清两个基本不等式的应用及其等号成立的条件；2．在集体探究过程中，培养学生分类讨论思想、代换思想等；3．通过一题多解培养学生的发展性思维。
【教学重点】1．基本不等式的应用；2．不等式等号成立条件【教学过程】一、创设问题情景已知面积为2的矩形ABCD 的边长为y x ,，求矩形ABCD 的对角线AC 长的取值范围。
——引出基本不等式的应用。
基本不等式1：对于任意实数b a ,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
基本不等式2：对于任意正数b a ,，有ab b a ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立。
基本不等式揭示了两数和)(b a +，两数积)(ab ，两数平方和)(22b a +之间的不等关系。
二、问题探究问题一：（1）已知R y x ∈,，且2-=xy ，求22y x +的取值范围。
（2）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求xy 的取值范围。
问题二：已知0,>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值。
三、课堂小结1．利用基本不等式——注意等号成立的条件；2．思考问题时体现数学思想——分类讨论思想、代换思想等。
【作业布置】1．已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。
2．已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。
3．已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。
4．已知0,>y x ，且211=+yx ，求y x 2+的最小值。
5．已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。
6．（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。
高一数学上册《基本不等式及其应用》教案、教学设计
5.学生的学习兴趣和动机存在差异，教师应关注个体差异，采用多样化的教学策略，激发学生的学习兴趣和积极性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握基本不等式的定义和性质，特别是算术平均数和几何平均数之间的关系，是本章节的重点和难点；
4.强调数学在生活中的应用价值，提高学生对数学学科的认识和尊重，培养学生的数学素养；
5.培养学生团结协作、互相帮助的精神风貌，让学生在合作学习的过程中，学会尊重他人，共同进步。
二、学情分析
在高一数学上册《基本不等式及其应用》这一章节的教学中，考虑到学生的年龄特点和已有的数学知识基础，进行以下学情分析：
让学生独立完成练习，并及时给予反馈。针对学生的错误，进行针对性的讲解和指导。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会引导学生从以下几个方面进行总结：
1.本节课我们学习了哪些内容？基本不等式的定义是什么？
2.基本不等式的性质有哪些？它们在实际问题中如何应用？
3.学会了哪些证明基本不等式的方法？它们各自的优缺点是什么？
2.学会运用基本不等式解决实际问题，尤其是如何从实际问题中抽象出数学模型，是教学的另一个难点；
3.掌握基本不等式的证明方法，尤其是构造法和分析法，对于培养学生的逻辑思维能力具有重要意义，也是教学的重点；
4.能够灵活运用基本不等式解决综合性较强的数学问题，提高学生的综合运用能力，是本章节教学的难点。
（二）教学设想
针对以上重难点，我设想以下教学策略和方法：
1.引导学生从实际问题出发，通过观察、分析、归纳，发现基本不等式的内涵和性质。在教学过程中，运用多媒体课件、实物模型等教学资源，帮助学生形象地理解抽象的数学概念；
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.1 不等式的基本性质(1) 教案
2.1不等式的基本性质(1)学习目标：1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；3．会用不等式的基本性质判断不等关系。
学习重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假及代数证明。
学习难点：不等式的基本性质代数证明。
学习过程：一、课前练习：1. x>0是x>-1的 条件。
2. xy=0是x=0的 条件。
3. 设命题B A p ≠⊂:,命题A B A q = :,则p,q 之间的推出关系为 。
4. 设{}1≥=x x A ，{}a x x B ≤=，若R B A = ，则实数a 的取值范围是 。
5. 集合{}2,1,12--x x 中的x 不能取下列各数中的（ ）(A)2; (B)3; (C)4; (D)5.二、探究不等式的基本性质判断两个实数a 与b 之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a >b 的充分必要条件是a =b 的充分必要条件是a <b 的充分必要条件是[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的8个性质：性质1 。
性质2 。
性质3 。
性质4(例1) 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。
性质5 。
性质6 。
性质7 。
性质8 。
说明：性质7、8先引进，下节课证明。
三、例题分析例1．判断下列命题的真假。
（1）若a >b ，那么ac >2bc 2。
（2）若ac >2bc 2，那么a >b 。
（3）若a >b ，c >d ，那么a-c >b-d 。
（4）若cd a b<，那么ad bc <。
四、反馈练习：书P30练习2.1(1)1-4五、小结：利用已经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质的使用前提.(乘除法，求倒数)六、同步练习：1. 用适当符号填空：φ {0}2. 用列举法表示16以内的质数集合为3. 用描述法表示被4除余数为1的正整数集合4. 下列各式中，满足集合A=B 的序号是(){}{}Z k k x x B Z k k x x A ∈-==∈+==,12,,121;(){}{}N k k x x B N k k x x A ∈-==∈+==,12,,122;(){}{}Z k k x x B Z k k x x A ∈±==∈+==,14,,123;(){}{}Z k k x x B Z k k x x A ∈-==∈+==,23,,134;5. 设{}{}22,122++==-==x x y y B x y y A ,则A 与B 的关系是6. 设命题x :α是方程0232=+-x x 的根，2:=x β,则用合适的推出记号表示α β7. 一个命题的逆命题是“若实数b a ,满足1=a 且2=b ，则4<+b a ”，则原命题的否命题是 （并判断真假）8. 设U 为全集，M,N 是U 的子集，且M N M = ,则（ ）();N M C A U = ();M N C B U = ();N C M C C U U ⊆ ().M C N C D U U ⊆9. 命题“若M b M a ∉∈则,”的等价命题是（ ）()M b M a A ∉∈则若,; ()M a M b B ∈∉则若,; ()M b M a C ∈∉则若,;10.集合(){}012=-++=k x x k x M 是单元素集合，求实数k 的值组成的集合。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章基本不等式的应用教案
基本不等式的应用执教者： 时间： 执教班级： 地点： 【教学目标】1、进一步理解掌握两个基本不等式。
2、初步运用基本不等式解决典型问题：如求最值、取值范围以及简单不等式的证明。
【教学重点】1．“和是定值，积有最大值；积是定值，和有最小值”的应用 2．在运用基本不等式2求最值时，要注意“一正、二定、三等”。
【教学难点】1． 恰当的代数变形——配凑、换元，求最值。
2． 在使用不等式求最值时，要注意等号成立的条件是否一致。
【教学过程】（一）课前复习：两个基本不等式的复述，注意范围以及等号成立的条件。
提问：1．若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 2．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）（二）新课讲授：板块一：“和是定值,积有最大值”引例：（课本p44例4）若,a b R +∈，且1,a b +=求证：14ab ≤，并指出等号成立的条件。
例1：求证：在周长相等的矩形中，正方形面积最大。
(注意将题意转化为题设，完成结果证明)ex ：（课本p45练习2.4（2）2）：已知,x y R +∈，21,x y +=求xy 的最大值。
例2：（课本p45练习2.4（2）3）：已知01x <<，求当x ()1x x - ex ：有一边长，分别为,12a a -的矩形，求此矩形的最大值，以及此时a 的值。
评注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值。
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”板块二：“积是定值,和有最小值”,1x x+形式例3：（1）已知1x >，求11x x +-的最小值。
（2）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：积为定值，完成最值，注意符号和配凑定值。
（3）已知1x >-，求211x x ++的取值范围。
基本不等式及其应用教案
2.4基本不等式及其应用（1）一、教学目标1、知识与技能（1）探索并了解基本不等式的证明过程；（2）了解基本不等式的几何意义；（3）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
2、过程与方法通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；以及在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想。
3、情感态度与价值观通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
二、教学重点与难点教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；2.基本不等式成立的条件及应用。
教学难点：基本不等式成立的条件及应用 。
三、讲授新课（一）公式探究探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?基本不等式1：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？基本不等式2：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 我们把2b a +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数。
因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
探究二：观察下面这个几何图形.已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB 是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.设AC a =，CB b =，请用a 、b 来表示上述这个不等关系。
实际应用求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。
（二）公式巩固练习1用>≥<≤、、、填空 （1） 若x>0,则1x x+______2 （2） 若x<0,则1x x +______-2 （3） 若a 、b R ∈，则224a b +______-4ab（4） 若a 、b R ∈，则22433a a +++_______4 2（1）已知ab>0，求证2b a a b+≥，并指出等号成立的条件。
沪教版高中高一数学上册《不等式》说课稿
沪教版高中高一数学上册《不等式》说课稿一、引入1. 课程背景和重要性《不等式》作为高中数学的重要内容之一，是高中数学知识的基础和承上启下的重要环节。
它不仅在高中阶段涉及广泛，而且在后续的高等数学学习中也扮演着重要的角色。
不等式不仅可以帮助学生理解数学中的大小关系，而且在日常生活和实际问题中也有广泛的应用。
因此，本课的教学目标既包括学生对不等式的基本概念和性质的掌握，也包括学生运用不等式解决实际问题的能力的培养。
2. 教学目标本节课的教学目标主要包括：•理解不等式的定义和基本性质；•掌握不等式的解法和不等式组的求解方法；•学会应用不等式解决实际问题。
二、学情分析1. 学生特点分析本节课的学生是高一级别的学生，他们已经具备了一定的数学基础，能够理解复杂的数学概念和符号。
然而，他们对于不等式这一内容可能存在一定的陌生感和困惑。
由于《不等式》是高中数学的第一个单元，对学生的思维方式和数学思想的培养具有重要意义。
因此，在教学过程中，需要注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
2. 学科内容分析本节课主要涉及的内容包括：•不等式的定义和性质；•不等式的解法和不等式组的求解方法；•应用不等式解决实际问题。
这些内容是数学中的基础知识，对于学生的数学学习和问题解决能力的培养具有重要的作用。
三、教学设计1. 教学环节安排本节课的教学环节主要包括以下几个部分：•知识导入•知识讲解•问题引导•练习与训练•拓展与应用•总结与归纳2. 教学内容与方法(1) 知识导入通过一个有趣的生活实例引入不等式的概念，让学生了解实际问题中不等式的应用，激发学生的学习兴趣和思考。
(2) 知识讲解首先，对不等式的定义和基本性质进行讲解，帮助学生理解不等式的含义和特点。
然后，介绍不等式的解法和不等式组的求解方法，引导学生掌握解不等式和不等式组的具体步骤和技巧。
(3) 问题引导通过一些实际问题的引导，让学生将所学的不等式知识应用到实际问题的解决中，培养学生的问题解决能力和数学思维。
沪教版(上海)数学高一上册-2.4 基本不等式及其应用(1) 课件
为了保证教室的采光量，需在墙 壁上修建面积为4平方米的矩形窗 户，请问：如何设计才能使窗框 所需的材料最少？
b a
基本不等式1
对任意实数 a 和 b，有 a2+b2≥2ab， 当且仅当 a=b 时等号成立。
基本不等式2
a+b
对任意正数 a、b，有 2 ≥ ab ， 当且仅当 a=b 时等号成立。
在墙壁上修建矩形窗户，窗框的总 长度为8米，请问：如何设计才能 使窗户的采光量最大？
几何解
释
D
H
G
C
A
Ea
F
b
a2 b2
B
大正方形的面积 不小于 4个直角三角形的面积
a2 + b2 ³ 2ab
几何解
释
D
A
B aO C b
半弦不大于半径 a + b ³ 2 ab
作业
1、课本P43练习2.4（1） 2、练习册2.4A组
证明：由基本不等式 1，得
( a )2+( b )2≥2 a · b ，即 a&43; 2
b
≥
ab ，当且仅当
a=
b ，即 a=b 时，
等号成立。▋
小试牛刀
例 1、
已知
a
>
0
，证明
a
+
1 a
³
2
。
小试牛刀
口答：求下列各式的最小值
（1）
已知
x
>
0
，求 4x +
1 x
的最小值。
（2） 已知 x, y > 0 且 xy = 2 ，求 x + y 的
3、探究：
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章基本不等式应用(1) 教案
课 题：基本不等式应用（1）执教：知识技能：通过复习基本不等式应用这类特殊题型，获得一种探寻数学中“从具体到抽象，再从抽象到具体”的思维过程。
并能体验数学的逻辑之美。
通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力， 过程方法：在学生对认知过程的经历和体验中重视对实际问题的理解和应用推广，强调对探究过程和方法的掌握。
通过观察、抽象、概括、类比、归纳等方法进行学习。
情感价值态度观：体验、感悟知识的生成和发生过程，体会数学从特殊到一般再从一般到特殊的认识规律，体会数学应用之美。
培养学生的创新精神，进一步加强学生的总结概括能力。
一、复习引入：重要不等式：1、如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件若x,y 都是正数，（1）如果积xy 是定值P,那么当x=y 时，和x +y 有最小值（2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用三、讲解范例： 例：1b a =•，求 a+b 的范围1、2x 1x ≥+（x>0）, 当且仅当x 1x =时取“＝”号 正数与它的倒数之和不小于2 2x 1x -≤+（x<0）, 当且仅当x 1x =时取“＝”号 负数与它的倒数之和不大于-2 2． b a a b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 例：1、x>0,y>0 3x+2Y=12 求xy 最大值2、x 〉1，求1x 1x y -+=的最小值。
高中数学高一第一学期2.4基本不等式及其应用-教案-沪教版
《基本不等式》一、学习重点：（1）理解基本不等式，从不同角度探索其证明过程，体会其结构模型。
（2）学会用基本不等式来解决问题，体会其工具性。
二、学习目标：理解两个不等式的结构特征及其几何解释、适用条件，能合理选择公式并正确地运用公式解决有关问题。
三、学习难点：（1）如何利用基本不等式的模型求解函数最值。
（2）类比两个不等式的学习过程，学会研究不等式模型。
四、教学策略设计以下是本节课的结构安排：五、教学过程设计1.引入重要不等式:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
提问：你能画出赵爽的弦图吗？能用这个图形证明勾股定理吗？图中有哪些不等关系？例题示范到解决实例布置作业课时小结归纳整理重要不等式证明基本不等式证明教材赵爽弦图引入基本不等式几何意义由几何题目到基本不等式留下伏笔设计意图：教材中重要不等式的几何背景引入，面对第24界国际数学家大会的会标，如何使学生从图案中找出一些相等或不等关系？这一探究过程会出现一个思维的障碍点或盲点，就是向哪个方向上寻找“相等和不等关系”。
如果由画出赵爽的弦图到用这个图形证明勾股定理，再去找图中有哪些不等关系,分解提问，用一些小问题链突破难点，也能发现得到重要不等式的代数形式。
我国古代的数学家赵爽是历史上最早用弦图证明勾股定理，根据面积相等，通过计算证明勾股定理的。
弦图构图巧妙、精致，既强调逻辑推理，又注重几何直观，是数与形的完美统一。
勾股定理有着“千古第一定理”之称。
今天，我们用数学欣赏的眼光再次审视勾股定理，会感到别有一番风味。
（2） 重要不等式代数形式：()()()()abb a b a b a b a ab b a b a ab b a a 2,0b -a , ,0b -a ,,0b -a , 2:)"",( 2R,b , 2222222222≥+==≠-=-+==≥+∈即所以时当时当因为证明号取时当且仅当那么如果 提问：重要不等式可以解决什么问题?首先从弦图中可以看出，随着直角三角形直角边的变化四个直角三角形面积和在变大,当直角三角形变为腰直角三角形时，和面积取到了最大值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4（1）基本不等式及其应用
一、教学内容分析
基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.
二、教学目标设计
1、掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab b
a ≥+2
（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.
2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.
3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.
三、教学重点及难点
重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用. 难点 基本不等式的应用. 四、教学用具准备 电脑、投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计 一、新课引入
在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的
.
“弦图”的现代数学图示
例如，32>、02≥a （R a ∈）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之差小于第三边等等.
二、新课讲授 1、基本不等式1
基本不等式1 对于任意实数a 和b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a b =时等号成立. （1）基本不等式1的证明
证明：因为()2
2220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+. 当a b =时，()2
0a b -=.当a b ≠时，()2
0a b ->. 所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.
（2）基本不等式1的几何解释 ① 解释1
边长为a 的正方形面积与边长为b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当a b =时等号成立）
已知正方形ABCD ，分别在边AD 、边DC 上取点E 、
F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作E
G BC ⊥、F
H AB ⊥，垂足为G 、H .EG 和HF 交于点M .
由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积 ≥ 剩余部分的面积，当且仅当点E 移至AD 中点时等号成立.
② 解释2
某届数学大会的会徽怎样的？
三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：
如图所示，以a 、b 、c 分别表示勾、股、弦，那
么，a b ⋅表示“弦图”中两块“朱实”的面积，()2
b a -表示“中黄实”的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加
H
B
上一个“中黄实”的面积就等于以c 为边长的正方形“弦实”的面积，即
()2
22222222c b a ab b ab a ab a b =-+=-++=+
这就是勾股定理的一般表达式. 由图可知：
以c 为边长的正方形“弦实”的面积 ≥ 四块“朱实”的面积即，222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）.
2、基本不等式2 观察下面这个几何图形.
已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB 是直径. 过D 作DC AB ⊥，垂足为C .
显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.
设AC a =，CB b =，请用a 、b 来表示上述这个不等关系.（ 即ab b
a ≥+2
，当且仅当a b =时等号成立.）
基本不等式2 对于任意正数a 、b ，有ab b
a ≥+2
，当且仅当a b =时等号成立. 我们把
2
b
a +和a
b 分别叫做正数a 、
b 的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
（1）基本不等式2的证明
证明：因为2
0a b +-=≥，所以
ab b
a ≥+2
. 当a b =
时，
2
0=.当a b ≠
时，
2
0>.
所以，当且仅当a b =时，
ab b
a ≥+2
的等号成立. 另证：因为a 、b
均存在. 由基本不等式1
，得
2
2
+≥
=时等号成立.
即ab b
a ≥+2
，当且仅当a b =时等号成立.
（2）基本不等式2的扩充 对于任意非负数a 、b ，有ab b
a ≥+2
，当且仅当a b =时等号成立.
例1 已知0>ab ，求证：2≥+b
a
a b ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>b
a
.
所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当b
a
a b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]
1、体会代换的方法.
2、用语言表述上述结论.
3、思考：若0<ab ，则代数式
b a a b +的取值范围是什么？（2b a
a b
+≤-，当且仅当0a b =-≠时等号成立.）
3、两个基本不等式的简单应用 （1）几何问题
例2 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？ 猜想：由几何画板电脑演示得出.
分别为a 、b （a 、
解：设矩形的长、宽
b R +∈）且a b m +=（定值），则同样周长的正方形的边长为
2
a b
+. 矩形面积S ab =，正方形面积2
2a b S +⎛⎫
'= ⎪⎝⎭
b
中点C
M'
B
M A
A B
折点M
由基本不等式2，得ab b a ≥+2，又由不等式的性质得2
2
2a b +⎛⎫
≥
⎪⎝⎭
，即
S S '≥.
由题意，a b m +=（定值），所以2
224m m S ⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
（定值）.当且仅当a b =，即矩
形为正方形时，矩形的面积最大.
[说明]
当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值. 例如，若01x <<时，有()114x x -≤
，当且仅当1
2
x =时等号成立.（事实上，由()2
211124y x x x x x ⎛
⎫=-=-+=--+ ⎪⎝
⎭（01x <<），得104y <≤，当且仅当12x =时
等号成立.）
三、课堂小结 略
四、作业布置 1、练习2.4（1） 2、思考题
（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.
（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？ （3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明. 七、教学设计说明
本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.
为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好
的教学效果.整堂课主要采用“观察——猜测——归纳——证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.
在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.
通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.。