【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 4二项分布课件 北师大版选修2-3

2 1 2 ＋C1 p (1 － p ) ≥ C p (1 － p ) ＋ p ， 解得 2 2
1 0<p≤2.
5． (2014· 湖南师大附中高二期中)某班有 4 位同学住在同一 个小区，上学路上要经过 1 个路口．假设每位同学在路口是否 1 遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是3，则最多 1 名同学遇到红灯的概率是________．
[解析] 由题意，此射手射击 1 次，中靶的概率为 P＝0.4， 此射手射击 5 次，是一独立重复试验．
4 (1)P5(1)＝C1 P (1 － P ) ＝0.2592. 5
(2)事件“第二次击中”，表示第一、三、四、五次击中或 击不中均可， 它不同于“击中一次”， 也不同于“第二次击中， 其他各次都不中”， 不能用独立重复试验的概率公式． 实际上， “ 第二次击中 ” 的概率就是 “ 射击一次击中 ” 的概率为 P ＝ 0.4.
0.8)5－5＝0.84＋0.85≈0.410＋0.328≈0.74.
甲、 乙两人各射击一次， 击中目标的概率分别是 2 3 3和4，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人 各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击 4 次，至少有 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中 目标 3 次的概率； (3)假设某人连续 2 次未击中目标，则中止其射击，问：乙 恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是多少？
由于各事件相互独立，故 P(A3)＝P(D5)· P(D4)· P( D3 )· (1－P(D1)P(D2)) 1 1 3 1 1 45 ＝4×4×4×(1－4×4)＝1 024， 45 即乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率为1 024.
[反思总结]
该例主要考查相互独立事件同时发生或互斥
事件有一发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际 问题的能力．
0 n 1 1 n－1 k ①由二项式定理可得，(q＋p)n＝C0 p q ＋ C p q ＋„＋ C n n n n k k n－k Cnp q ＝ Pn(k)， k＝0 k＝0 n
pq
k n －k
n 0 ＋„＋Cn p n q ＝


k n－k 可以看到 Pn(k)＝Ck 是(q＋p)n 的二项展开式中的第 k np q
＋1 项，可见排列组合、二项式定理、概率之间存在着密切的 联系． ②公式中，p＋q＝1，且 Pn(0)＋Pn(1)＋„＋Pn(n)＝(q＋p)n ＝1n＝1.
③n 次独立重复试验中事件恰好发生了 k 次，其中的 k 次 是从 n 次中选出来的，并不限定于具体的哪 k 次，故有一个组
k 合数 Cn .
33 3 4－3 27 3 P(B2)＝C4×( ) ×(1－ ) ＝ ， 4 4 64 8 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)＝P(A2)×P(B2)＝27 27 1 ×64＝8. (3)记“乙恰好射击 5 次后被中止射击”为事件 A3， “乙第 i 次射击未击中”为事件 Di(i＝1,2,3,4,5)，则 1 P(Di)＝4.
1.对n次独立重复试验的理解
(1)独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的； 第二：每次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么 不发生． (2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但 在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可
甲、乙两个同学解数学题，他们答对的概率分别是 0.5 与 0.8，如果每人都解两道题， (1)求甲两题都解对，且乙至少解对一题的概率； (2)若解对一题得 10 分，未解对得 0 分，求甲、乙得分相 等的概率．
2 1 2 2 [解析] (1)P＝C2 0.5 × (C 0.8 × 0.2 ＋ C 0.8 )＝0.24. 5 2 2 2 0 2 (2)两人都得零分的概率为 C0 0.5 × C 0.2 ； 2 2 2 1 两人都得 10 分的概率为 C1 20.5 ×C20.8×0.2； 2 2 2 两人都得 20 分的概率为 C2 0.5 × C 0.8 . 2 2 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 ∴ P ＝ C0 0.5 × C 0.2 ＋ C 0.5 × C 0.8 × 0.2 ＋ C 0.5 × C 0.8 2 2 2 2 2 2
[反思总结]
本题主要考查概率的基本概念、互斥事件有
一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运 用概率知识解决实际问题的能力．
某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两个有
效数字)：
(1)5次预报中恰有4次准确的概率； (2)5次预报中至少有4次准确的概率．
[解析] (1)记“预报 1 次，结果准确”为事件 A.预报 5 次 相当于 5 次独立重复试验，根据概率计算公式，5 次预报中恰
以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广
泛．
2．独立重复试验的概率公式 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k(0≤k≤n)次的概 率为
k n－k Pn(k)＝Ck p ，k＝0,1,2，„，n. n q
一般地，在 n 次独立重复试验中，每次试验事件 A 发生的 概率均为 p(0<p<1)，即 P(A)＝p，P( A )＝1－p＝q，由于试验的 独立性，n 次试验中，事件 A 在指定的 k 次发生，而在其余 n －k 次不发生的概率为 pkqn－k，又由于在 n 次试验中，事件 A 恰 好发生 k 次的方式有 Ck n种，所以由概率的乘法公式可知公式成 立．
[答案] 析] P＝(3) ＋C4· (3)· (3) ＝27.
课堂典例探究
独立重复试验的概率的求法 一射手平均每射击 10 次中靶 4次，求在 5次射击 中： (1)恰击中1次的概率；
(2)第二次击中的概率；
(3)恰击中2次的概率； (4)第二、三两次击中的概率； (5)至少击中1次的概率．
[解析] (1)记“甲连续射击 4 次至少有 1 次未击中目标” 为事件 A1，由题意，射击 4 次，相当于做 4 次独立重复试验， 故 2 4 65 P(A1)＝1－P( A1 )＝1－(3) ＝81. (2)记“甲射击 4 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2，“乙 射击 4 次恰有 3 次击中目标”为事件 B2，则 22 2 4－2 2 P(A2)＝C4×( ) ×(1－ ) ＝ 3 3 8 27，
同样的条件 下 重 复 地 、 各 次 之 间 1. 独 立 重 复 试 验 是 在 ___________ 相互独立 进行的一种试验．这种试验中，每一次试验只有 _________ 两个相互对立的 结果，而且任何一次试验中某事件发生的概 _______________
率都是一样的．
2 ． 在 相 同 条 件 下 重 复 做 的 n 次 试 验 称 为 ________________ n次独立重复试验 ，设每次试验中事件A发生的概率为p，事件 A发生的次数为X，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生
k k (3)由二项分布的定义，若 X～B(n，p)，则 P(X＝k)＝Cn p (1
－p)n－k(k＝0,1,2，„，n)．这里各个符号的意义要弄清． (4)由于在 n 次独立重复试验中某个事件恰好发生 k 次的概
k n－k 0 n 1 率 P(X ＝ k) ＝ C k p 恰好是二项展开式 (q ＋ p)n ＝ C0 n q n p q ＋ Cn k n k n n 0 p1qn 1＋„＋Ck p q ＋„＋ C n np q 中的第 k＋1 项(这里 k 可取
[答案] C
[解析] 应选 C. 每盒中恰含一件次品的概率是 C1 6 1 1 5 100(1－100) .故
4．某同学进行了 2次投篮(假定这两次投篮互不影响 )，每
次投中的概率都为p(p≠0)，如果最多投中1次的概率不小于至少 投中1次的概率，则p的取值范围为________．
1 [答案] 0<p≤2 [解析] (1－p)
④n 次独立重复试验中恰好第 k 次发生，与恰好发生 k 次 是有很大区别的，前者仅仅是第 k 次发生了，其他各次没有发
k 生，此时不存在乘 Cn .
3．二项分布： (1)二项分布实际上只是对 n 次独立重复试验从概率分布的 角度作了进一步的阐述，是概率论中最重要的几种分布之一． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一 是对立性，即一次试验中只有两个相互对立的结果，可以分别 称为“成功”和“失败”，二者必居其一；其二是重复性，即 试验是独立重复地进行了 n 次．
[答案] C
[解析]
4 1 2× . 5 5
本题考查独立重复试验、二项分布．P(X＝2)＝C2 3
3． 某厂大量生产某种小零件， 经抽样检验知道其次品率是 1%，现把这种零件每 6 件装成一盒，那么每盒中恰含一件次品 的概率是( 99 6 A．(100) C．C1 6 1 1 5 100(1－100) ) B．0.01 D．C2 2( 1 2 1 4 100) (1－100)
2 3 (3)P5(2)＝C2 5P (1－P) ＝0.3456.
(4)P＝0.4×0.4＝0.16. (5)解法一：设“至少击中一次”为事件 A，则 P(A)＝P5(1)＋P5(2)＋P5(3)＋P5(4)＋P5(5) ＝0.2592＋0.3456＋0.2304＋0.0768＋0.01024 ＝0.92224. 解法二：考虑对立事件 － 5 P(A)＝1－P( A )＝1－P5(0)＝1－C0 (1 － 0.4) ＝0.92224. 5
k k n－k C p (1 － p ) n k 次的概率为 P(X ＝ k) ＝ _____________ ，其中 k ＝ 0,1 ，„， n ，
二项分布 ，记作 X ～ B(n ， 则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的 _________ 成功概率 p)，并称p为__________.