辽宁省沈阳市第一七O中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理

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辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题

沈阳二中2022-2023学年度上学期期末考试高三（23届）数学试题!"#$%&'()#$*+,-./,#$0+,.*%1234563789:2365637;<=>?8.第I 卷（选择题）共60分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．设全集，或，，则(C !A )∩B （） A ． B ． C ． D ． 2．若复数满足|z −i|=z̅∙i （为虚数单位），则（）A ．B ．C ．D ． 3．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ． B ． C ． D ． 4．已知，，为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若，，则B ．若，，，则C ．若，，则D ．若，，，，则 5．，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．6．已知，函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ． 7．在正三棱柱中，所有棱长之和为定值，当正三棱柱外接球的表面积取得最小值时，正三棱柱的侧面积为（）A ．12B ．16C ．24 D．18 8．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（）A ．B ．C ．D ．或U =R {1A x x =<-}2x ³{}2,1,0,1,2B =--{}0,1{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1-z i z =12-121i 2-1i 2x "ÎR 23208kx kx +-<()3,0-(]3,0-()3,1-()3,-+¥a b c ,,a b g //a b b a Ì//a a a a Ìb b Ì//a b //a b //a b //a a //a b a a b Ç=b b g =!c a g Ç=//a b //b c 2log 38log 12lg1528log 3log 12lg15<<82log 12lg15log 3<<28log 3log 12lg15>>82log 12log 3lg15<<0w >()22ππ2cos 1612f x x x w w æöæö=+++-ç÷ç÷èøèø()0,πw 411,36éùêúëû411,36æöç÷èø411,36éö÷êëø411,36æùçúèû111ABC A B C -16π111ABC A B C -(e 3)()x f x x =-(0,)a ()y f x =3e a -<<-e a >-3a <-3a <-e a >-二、多选题（本题共4小题，共20分.全选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分）9．下列说法中正确的是（）A ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B ．若随机变量，且，则．C ．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则D ．已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则 10．地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图①，已知球的表面积为，底座由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②，则下列结论正确的是（）A ．直线与平面所成的角为B ．底座多面体的体积为C ．平面平面D ．球离球托底面 11．已知抛物线C:的焦点，过的直线交抛物线于A ，B两点，O 为坐标原点，则以下说法正确．．的是（） A ．为定值B ．AB 中点的轨迹方程为C ．最小值为16D ．O 在以AB 为直径的圆外 ()23,N x s ~()60.84P x <=()360.34P x <<={A =}{B =}()13P B A =x y ˆˆ0.4yx a =+4x = 3.7y =ˆ 2.1a=4p ABC AD DEF 3pABCDEF 94//BCF ADE DEF 1-()220y px p =>()1,0F ()8,0G OA OB k k 2216y x =-AF BF +12．已知函数与的定义域均为，且，，若为偶函数，则（）A ．函数的图象关于直线对称B ．C ．函数的图象关于点对称D ．第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每空5分，共20分）13．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则的系数为______．14．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______. 15．在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为___________. 16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为______.四、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）已知各项均不为零的数列满足，且. (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)令为数列的前项和，求. 18．（12分）锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，． (1)求B 的大小； (2)若，求b 的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ⊥平面P AD ，，，，，，E 是PD 的中点．()f x ()g x R ()()123f x g x ++-=()()11f x g x ---=()21g x -()g x 12x =-()01g =()f x ()1,2()202312023k g k ==ånx æçè3x 221x y +=()2264x y -+=ABC !6,810AB AC BC ===,M ABC !AB AM ×""1F 2F ()222210,0x y a b a b-=>>12F F M N 12F NF M p S 232S p ={}n a 125a =*11223,n n n n a a a a n ++-=ÎN 2n a ìüíýîþ{}n a 2,nn n nc T a ={}n c n n T sin sin 5A C a b A +=2cos 2cos c A a C ab +=P ABCD -//AD BC 1AB BC PA ===2AD =30ADP Ð=°90BAD Ð=°(1)求证：；(2)若点M 在线段PC 上，异面直线BM 和CE 所成角的余弦求面MAB 与面PCD 夹角的余弦值．20．（12分）2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩.为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则：(1)甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；(2)现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级.教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X ，求X 的分布列和数学期望. 21．（12分）已知椭圆C ：（a >b >0）的离心率短轴长为如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点.(1)求证：为定值；(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.22．（12分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)对任意的恒成立，求的取值范围．PD PB ^22221x y a b+=e =OM ON ()()2ln 3,R f x x a x a =++Î()f x ()20,e 1x x f x x >£-a。

2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。

辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题-解析版

辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（） A ．16-B ．23C ．1D ．2936【答案】B 【分析】根据分布列的性质，求得13a =，得到()16E X =-，再由21Y X =+，即可求得随机变量Y 的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-，又由21Y X =+，所以随机变量Y 的期望为()()12212()163E Y E X =+=⨯-+= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（） A ．3p B ．()31p p -C ．3341C p pD ．334C p【答案】C 【分析】本题可通过n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为p ，从中任意取出4件，所以恰好含有3件次品的概率为3341C p p ，故选：C.3．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋅⋅⋅+被9除的余数为（）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】C 【分析】由题意可得，此题求得是(91)1n--被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论【详解】解：因为n 是正奇数，则1122177771n n n n nn n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++-(71)1(91)1n n =+-=--1122199991n n n n nn n n n C C C C ---=-++⋅⋅⋅+--，所以它被9除的余数为12nn C --=-，即它被9除的余数为7，故选：C4．设随机变量()25,X N σ~，若()100.4P X a >-=，则()P X a >=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A 【详解】因为随机变量()25,X N σ~，所以(5)(5)P X P X >=<,因为(10)0.4P X a >-=，所以()0.6P X a >=,故选A.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．BCD ．【答案】C 【分析】首先求出向量OA OB λ+的坐标，及向量OA OB λ+的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可．【详解】因为()1,?00A ，，()0,1,1B -，所以()1,?00(0OA OB ，λλ+=+，1-，1)(1=，λ-，)λ， 1OA OB λ+=+2OB =()2OA OB OB λλ+⋅=，所以cos 112022==-，所以0λ<，且4λ= 解得λ=，故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B，其概率为14361 ()5CP ABC==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2 (|)1()5215P ABP B AP A===.故选：D.【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF的周长p 与面积S 满足p = ）A B C ．2D ．3【答案】C 【分析】由双曲线的定义知122AF AF a -=，结合四边形的周长知122pAF AF +=，得到1AF ，2AF 的长度，从而得到矩形21AF BF 的面积，再利用p =助勾股定理2221212AF AF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.【详解】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF +=联立解得14p AF a =+，24pAF a =-，又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即2e =. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（） A ．展开式中所有项的系数和为82 B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448- 【答案】BCD 【分析】由二项展开式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A ，令1x =，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；对于B ，展开式中奇数项的二项式系数和为821282=，B 正确；对于C ，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C 正确；对于D ，展开式中含3x 的项为()()35538C 21448x x -=-，D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题. 10．下列命题中，正确的命题是( )A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大【答案】BCD 【分析】选项A ：利用二项分布期望、方差公式计算判断；选项B ：由互斥事件概率的加法公式计算判断；选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，10k ≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断. 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，选项A 错误；对于选项B ：A A +为必然事件，所以()B B A A BA B A =+=+，而BA 与B A 互斥，()()()()()()0.710.340.37P B P BA P BA P BA P B P BA ∴=+⇒=-=-=，选项B正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP X k C -==⋅0.8⋅，所以当1k时，()()()10101110(1)104110.80.210.80.2kk kk k k P X k k C P X k C k-----=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P X k k P X k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，又()()01P X P X =<=，即8k时，概率()8P X =最大，故选项D 正确．故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式()(1)(,)k k n kn P X k C p p k N k n -==⋅-∈≤，可用作商法确定其中的最大值或最小值．11．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C 【答案】AB 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==曲线C 渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于2ACC ．异面直线AD 与1BCD ．若点E 到平面11ACC A EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误；对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =．因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，122a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,，因为2111cos ,6||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成C 正确．对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题13．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________．【答案】150【分析】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解．【详解】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2.这种分组方法一共有231455252C N C C =+⨯=，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有336A =种不同的分法.所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有33256150M N A =⨯=⨯=种．【点睛】本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题． 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01-三角”在“01-三角”中，从第1行起，设第()n n N +∈次出现全行为1时，1的个数为n a ，则3a 等于_______．【答案】8 【分析】分析第6、7行各数，将所有的奇数全部转化为1，确定第三次出现全为1的情形所出现的行数，进而可求得3a 的值. 【详解】第1行和第3行全是1，已经出现2次，依题意，第6行原来的数是()606,rC r r N ≤≤∈，166C =为偶数，不合题意；第7行原来的数是()707rC r ≤≤，即1、7、21、35、35、21、7、1，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情形，所以，38a =. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：求解有关杨辉三角型数阵的推理，一般要观察行之间数据的特点，进而利用归纳推理求解.15．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配的方法总数为a ，则二项式53x a⎛ ⎝的展开式中含x 项的系数为__________．(用数字作答)【答案】52- 【分析】根据排列、组合的定义，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：2123126a C C A =⋅⋅=，所以553=2x x a⎛⎛ ⎝⎝，二项式52x ⎛ ⎝的通项公式为：455531551()(()(1)22r r r r r r rr x T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅，令45133r r -=⇒=，所以x 项的系数为3533515()(1)22C -⋅⋅-=-，故答案为：52-16．已知M ，N 为抛物线28y x =上两点，O 为坐标原点，且90MON ∠=︒，则MN的最小值为______. 【答案】16 【分析】先设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，利用判别式大于0来确定,M N 的存在性，设()11,M x y ，()22,N x y ，将90MON ∠=︒转化为向量相乘为0，利用根与系数的关系建立关系式，即可求出.【详解】设直线:MN x ty m =+，代入28y x =，得2880y ty m --=，264320t m ∴∆=+>，即220t m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，128y y m ∴=-，90MON ∠=︒，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，221212064y y y y ∴+=，280m m ∴-=，故8m =，12MN y y ∴=-==16≥，当且仅当20t =时等号成立，∴MN 的最小值为16.故答案为：16. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐，所以对计算能力要求较高.四、解答题17．（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%,4%,2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？【答案】（1）0.75；（2）0.0345．【分析】（1）利用条件概率的计算公式算出即可；（2）设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，任何利用()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++算出即可. 【详解】()1设A 表示“某天的空气质量为优良”，设B 表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得()()()()()0.8,0.6,0.75P BA P A P BA P B A P A ====所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.75()2设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，123,,A A A 两两互斥，且123A A A =Ω，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++因为()()()1230.25,0.35,0.4P A P A P A ===()()()1230.05,0.04,0.02P B A P B A P B A ===故()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.050.350.040.40.02=⨯+⨯+⨯0.0345=所以从这批产品中任取一件是次品的概率是0.034518．（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,1P 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点()3,2P -，求圆的方程．【答案】（1）0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）()()22148x y -++=．【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合斜率存在情况，进行分类讨论，求得直线方程. （2）两种方法，方法一：设圆的标准方程，分别满足题干中条件，求得参数即可；方法二：由过圆心及切点的直线与切线垂直，从而求得圆心坐标，两点间距离求得半径，从而求得圆的方程. 【详解】（1）①当所求直线经过坐标原点且斜率不存在时，方程为0x =，符合题意 ②当所求直线经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为y kx =，由点到直线的距离公式可得2=解得34k =-故所求直线的方程为34y x =-当直线不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设所求直线为y x b =-+ 即0x y b +-=2=解得3b =±故所求直线的方程为3y x =-+±综上可知，所求直线的方程0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）法一：设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=则有()()222432b a a b r r ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=解得1,4,a b r ==-=所求圆的方程为()()22148x y -++=法二：过切点()3,2P -且与10x y +-=垂直的直线23y x +=-由423y x y x =-⎧⎨+=-⎩，得14x y =⎧⎨=-⎩所以圆心为()1,4-所以半径r ==所以所求圆的方程为()()22148x y -++= 【点睛】关键点点睛：（1）对斜率的存在情况分类讨论求解；（2）利用圆与切线的关系求得圆中参数.19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别写出分布列，再求期望值均为2；（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=．2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=，2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.20．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的中点.二面角P AC E--.（1）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值；（2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）3；（2）3. 【分析】（1）建立空间坐标系，根据二面角大小计算PC ，得出平面EAC 的法向量m ，计算PA 与m 的夹角得出线面角的正弦值；（2）计算CD 与平面ACE 的夹角正弦值，再计算D 到平面ACE 的距离. 【详解】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，//CD AB ，12CD AB AF ==，AB AD ⊥，AD CD =， ∴四边形ADCF 是正方形，CF AB ∴⊥，CF CD ∴⊥，以C 为原点，以CD ，CF ，CP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系C xyz -，设PC h =，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，11,,222h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,0,P h ，∴()1,1,0CA =，11,,222h CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()1,1,AP h =--，设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m CA m CE ⎧=⎨=⎩，即0110222x y hx y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1x =可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PAC 的一个法向量为(),,n a b c =，则·0·0n CA n AP ⎧=⎨=⎩，即00a b a b hc +=⎧⎨--+=⎩，则0b ac =-⎧⎨=⎩，令1a =，则()1,1,0n =-，·cos ,2m n m n m n∴<>==⨯，二面角P AC E --的余弦值为3，∴3=，解得2h =，∴()1,1,2AP =--，()1,1,1m =-，·cos 36,AP m AP m AP m∴<>=== ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3；（2）由（1）可得()1,0,0CD =，则·1cos 1,CD m CD m CD m<>===⨯ 设直线CD 与平面EAC 所成角为α，则sin α=， D ∴到平面EAC 的距离为·sin CD α=.【点睛】本题主要考查求线面角的正弦值，考查求点到面的距离，利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby =±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由0∆>，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k=+，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：e b ab c==28a =，又222a b c =+，联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=，解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=，依题意()()2222644344480k t k t ∆=-+->，即2216120k t -+>（*）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k ++=+⋅+-+++==+， 22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47k t ∴=-且t 满足（*）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，故直线AP 的斜率2222331344716412874834AP t t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++，当0k <时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭当且仅当78k k -=-，即4k =-时取等号，此时056AP k -≤<；当0k >时，78k k +≥=78k k =，即4k =时取等号，此时0AP k <≤；综上，直线AP 的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.。

辽宁省沈阳市沈河区2019-2020学年第二学期七年级期末考试数学试卷 (解析版)

2019-2020学年辽宁省沈阳市沈河区七年级第二学期期末数学试卷一、选择题1．计算a2•a4的结果是（）A．a6B．a7C．a8D．a122．下列四个平面图形表示的图标中，属于轴对称图形的图标是（）A．B．C．D．3．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝75°，则∠2的度数是（）A．75°B．95°C．105°D．115°4．三角形的两边分别为6，10，则第三边的长可能等于（）A．3B．11C．16D．175．下列事件为确定事件的是（）A．6张相同的小标签分别标有数字1～6，从中任意抽取一张，抽到3号签B．抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上C．射击运动员射击一次，命中靶心D．长度分别是4，6，8的三条线段能围成一个三角形6．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝40°，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AB于点P，连接CP，则∠ACP的度数为（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．计算（2m+3）（m﹣1）的结果是（）A．2m2﹣m﹣3B．2m2+m﹣3C．2m2﹣m+3D．m2﹣m﹣38．下列说法中正确的有（）①等角的余角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤直角三角形中两锐角互余．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，有三种规格的卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片4张，长、宽分别为a，b的长方形卡片m张．若使用这些卡片刚好可以拼成一个边长为a+2b的正方形，则m的值为（）A．1B．2C．3D．410．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝112°，E，F，D分别是AB，AC，BC上的点，且BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF的度数为（）A．30°B．34°C．40°D．56°二、填空题（每小题3分，共18分）11．新型冠状肺炎病毒（COVID﹣19）的粒子，其直径在120～140纳米即0.00000012米～0.00000014米之间，数据0.00000012用科学记数法可以表示为．12．如图，一个转盘被分成6等分，自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是．13．如图所示，长方形的长和宽分别为8cm和6cm，剪去一个长为xcm（0＜x＜8）的小长方形（阴影部分）后，余下另个长方形的面积S（cm2）与x（cm）的关系式可表示为．14．一个角的补角等于这个角的余角的4倍，这个角是．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，交AB于点E，若DE＝2cm，BD＝3cm，则AC＝cm．16．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝°．三、解答题（第17小题6分，18，19小题各8分，共22分）17．计算：（﹣1）2020﹣（﹣3）﹣（7﹣π）0+（﹣）﹣1．18．计算：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）．19．先化简，再求值：[（x+y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）2]÷，其中x＝﹣1，y＝．四、（每小题8分，共16分）20．把下面的说理过程补充完整．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．试判断∠AED与∠4的关系，并说明理由．结论：∠AED＝∠4．理由：∵∠1+∠BDF＝180°（），∠1+∠2＝180°（已知）∴∠2＝∠BDF．（）∴EF∥AB．（）∴∠3＝∠ADE．（）∵∠3＝∠B，（已知）∴∠B＝．∴DE∥BC．（）∴∠AED＝∠ACB．（）又∵∠ACB＝∠4，（）∴∠AED＝∠4．21．某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级2班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置和25个空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题：（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是；（2）该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是；（3）后来，该班同学强烈呼吁名额太少，要求抽到甲类的概率要达到24%，则还要争取甲类名额多少个？五、（本题10分）22．如图，点A，B，C都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空：（1）画出格点△ABC关于直线MN轴对称的△A′B'C′；（2）画出△ABC中BC边上的高线AD；（3）若AB＝5，点P是AB上一点则CP的最小值为．六、（本题10分）23．如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．七、（本题12分）24．爷爷和他的孙子小明星期天一起去爬山．来到山脚下，小明让爷爷先上山，然后追赶爷爷，如图所示，两条线段分别表示小明和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（小明开始爬山时开始计时），请看图回答下列问题：（1）爷爷比小明先上了米，山顶离山脚米．（2）写出图中两条线段的交点表示的实际意义．（3）小明在爬山过程中何时与爷爷相距20米？八、（本题12分）25．已知∠ACD＝60°，AC＝DC，MN是过点A的直线，B、E两点在直线MN上，∠BCE ＝60°，CB＝CE．（1）问题发现：如图1，BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、BE之间的数量关系为；（2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图2位置时，BD、AB、BE之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）解决问题：当MN绕点A分别旋转到如图2和如图3位置时，若当时∠CAN＝50°，连接AD，则∠ADB的大小为．参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）1．计算a2•a4的结果是（）A．a6B．a7C．a8D．a12【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n＝a m+n计算即可．解：a2•a4＝a2+4＝a6，故选：A．2．下列四个平面图形表示的图标中，属于轴对称图形的图标是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B．3．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝75°，则∠2的度数是（）A．75°B．95°C．105°D．115°【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．解：∵∠1＝75°，∴∠3＝105°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝105°．故选：C．4．三角形的两边分别为6，10，则第三边的长可能等于（）A．3B．11C．16D．17【分析】设第三边的长为x，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得10﹣4＜x＜10+6，再解不等式即可．解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系得：10﹣6＜x＜10+6，即4＜x＜16，则第三边的长可能等于：11．故选：B．5．下列事件为确定事件的是（）A．6张相同的小标签分别标有数字1～6，从中任意抽取一张，抽到3号签B．抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上C．射击运动员射击一次，命中靶心D．长度分别是4，6，8的三条线段能围成一个三角形【分析】直接利用确定事件以及随机事件的定义分析得出答案．解：A、6张相同的小标签分别标有数字1～6，从中任意抽取一张，抽到3号签，是随机事件，不合题意；B、抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上，是随机事件，不合题意；C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不合题意；D、长度分别是4，6，8的三条线段能围成一个三角形，是确定事件，符合题意；故选：D．6．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝40°，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AB于点P，连接CP，则∠ACP的度数为（）A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】由∠B＝60°，∠A＝40°，可得∠ACB＝80°，根据作图过程可得，PN是BC 的垂直平分线，进而可求∠ACP的度数．解：∵∠B＝60°，∠A＝40°，∴∠ACB＝80°，根据作图过程可知：PN是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，∴∠B＝∠PCB＝60°，∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝80°﹣60°＝20°．故选：C．7．计算（2m+3）（m﹣1）的结果是（）A．2m2﹣m﹣3B．2m2+m﹣3C．2m2﹣m+3D．m2﹣m﹣3【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值．解：原式＝2m2﹣2m+3m﹣3＝2m2+m﹣3，故选：B．8．下列说法中正确的有（）①等角的余角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤直角三角形中两锐角互余．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别根据余角和补角的定义、平行线的性质及直角三角形的性质对各小题进行逐一分析即可．解：①等角的余角相等，故本小题正确；②两直线平行，同旁内角互补，故本小题错误；③不符合对顶角的定义，故本小题错误；④两直线平行，同位角相等，故本小题错误；⑤符合直角三角形的性质，故本小题正确．故选：B．9．如图，有三种规格的卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片4张，长、宽分别为a，b的长方形卡片m张．若使用这些卡片刚好可以拼成一个边长为a+2b的正方形，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据完全平方公式解答即可．解：∵（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，∴需要长、宽分别为a，b的长方形卡片4张．即m＝4．故选：D．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝112°，E，F，D分别是AB，AC，BC上的点，且BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF的度数为（）A．30°B．34°C．40°D．56°【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B＝∠C＝34°，由“SAS”可证△BDE≌△CFD，可得∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD，由外角的性质可求解．解：∵AB＝AC，∠A＝112°，∴∠B＝∠C＝34°，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD，∴∠BED+∠BDE＝∠CDF+∠CFD，∵∠BED+∠B＝∠CDE＝∠EDF+∠CDF，∴∠B＝∠EDF＝34°，故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）11．新型冠状肺炎病毒（COVID﹣19）的粒子，其直径在120～140纳米即0.00000012米～0.00000014米之间，数据0.00000012用科学记数法可以表示为 1.2×10﹣7．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.00 000 012＝1.2×10﹣7，故答案是：1.2×10﹣7．12．如图，一个转盘被分成6等分，自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是．【分析】用阴影部分的份数除以总份数即可得．解：由图可知自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是＝，故答案为：．13．如图所示，长方形的长和宽分别为8cm和6cm，剪去一个长为xcm（0＜x＜8）的小长方形（阴影部分）后，余下另个长方形的面积S（cm2）与x（cm）的关系式可表示为S ＝﹣6x+48．【分析】直接利用已知表示出新矩形的长，进而得出其面积．解：∵长方形的长和宽分别为8cm和6cm，剪去一个长为xcm（0＜x＜8）的小长方形（阴影部分）后，∴余下另一个长方形的面积S（cm2）与x（cm）的关系式可表示为：S＝6（8﹣x）．即S＝﹣6x+48．故答案为：S＝﹣6x+4814．一个角的补角等于这个角的余角的4倍，这个角是60°．【分析】设这个角为x，则这个角的补角＝（180°﹣x），余角＝（90°﹣x），根据题意可得出方程，解出即可．解：设这个角为x，则这个角的补角＝（180°﹣x），余角＝（90°﹣x），由题意得，180°﹣x＝4（90°﹣x），解得：x＝60°．故答案为：60°．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，交AB于点E，若DE＝2cm，BD＝3cm，则AC＝5cm．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD＝3cm，又由在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，根据角平分线的性质，可求得CD的长，继而求得答案．解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝3cm，DE⊥AB，∵在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∴CD＝DE＝2cm，∴AC＝AD+CD＝5（cm）．故答案为：5．16．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝65°或15°．【分析】如图1，当点P在BC上时，根据三角形的内角和定理得到∠BAD＝50°，根据折叠的性质得到AB＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣50°）＝65°；如图2，当点P在线段BC的延长线上时，延长DA交BC于E，根据折叠的性质得到PB＝PD，求得∠ADC＝∠ABC＝40°，于是得到∠ABD＝∠PBD﹣∠ABC＝65°﹣40°＝15°．解：如图1，当点P在BC上时，∵∠ABC＝40°，AD⊥BC，∴∠BAD＝50°，∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣50°）＝65°；如图2，当点P在线段BC的延长线上时，延长DA交BC于E，∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，∴∠ADC＝∠ABC＝40°，PB＝PD，∵AD⊥BC，∴∠BPD＝50°，∵PB＝PD，∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠ABD＝∠PBD﹣∠ABC＝65°﹣40°＝15°，综上所述，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝65°或15°，故答案为：65°或15．三、解答题（第17小题6分，18，19小题各8分，共22分）17．计算：（﹣1）2020﹣（﹣3）﹣（7﹣π）0+（﹣）﹣1．【分析】首先运用负整数指数幂，零指数幂运算，再进行加减运算．解：原式＝1+3﹣1﹣2，＝1．18．计算：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）．【分析】首先利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则去括号，进而合并同类项得出即可．解：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）＝9x2﹣4y2﹣3x2﹣6xy＝6x2﹣6xy﹣4y2．19．先化简，再求值：[（x+y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）2]÷，其中x＝﹣1，y＝．【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．解：[（x+y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）2]÷＝[x2﹣2xy+xy﹣2y2﹣x2+4xy﹣4y2]＝[3xy﹣6y2]＝6x﹣12y，当x＝﹣1，y＝时，原式＝﹣6﹣3＝﹣9．四、（每小题8分，共16分）20．把下面的说理过程补充完整．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．试判断∠AED与∠4的关系，并说明理由．结论：∠AED＝∠4．理由：∵∠1+∠BDF＝180°（邻补角的定义），∠1+∠2＝180°（已知）∴∠2＝∠BDF．（同角的补角相等）∴EF∥AB．（内错角相等，两直线平行）∴∠3＝∠ADE．（两直线平行，内错角相等）∵∠3＝∠B，（已知）∴∠B＝∠ADE．∴DE∥BC．（同位角相等，两直线平行）∴∠AED＝∠ACB．（两直线平行，同位角相等）又∵∠ACB＝∠4，（对顶角相等）∴∠AED＝∠4．【分析】依据内错角相等，两直线平行，即可判定EF∥AB，再根据平行线的性质，即可得到∠B＝∠ADE，进而得出DE∥BC，再根据平行线的性质以及对顶角的性质，即可得到∠AED＝∠4．解：∵∠1+∠BDF＝180°（邻补角的定义），∠1+∠2＝180°（已知）∴∠2＝∠BDF．（同角的补角相等）∴EF∥AB．（内错角相等，两直线平行）∴∠3＝∠ADE．（两直线平行，内错角相等）∵∠3＝∠B，（已知）∴∠B＝∠ADE．∴DE∥BC．（同位角相等，两直线平行）∴∠AED＝∠ACB．（两直线平行，同位角相等）又∵∠ACB＝∠4，（对顶角相等）∴∠AED＝∠4．故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等．21．某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级2班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置和25个空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题：（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是；（2）该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是；（3）后来，该班同学强烈呼吁名额太少，要求抽到甲类的概率要达到24%，则还要争取甲类名额多少个？【分析】（1）（2）直接利用概率公式计算；（3）设还要争取甲类名额x个，利用概率公式得到＝24%，然后解方程求出x即可．解：（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率＝＝．故答案为：；（2）该班小丽同学能有幸去参加实践活动的概率＝＝．故答案为：；（3）设还要争取甲类名额x个，根据题意得＝24%，解得x＝8，答：要求抽到甲类的概率要达到24%，则还要争取甲类名额8个．五、（本题10分）22．如图，点A，B，C都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空：（1）画出格点△ABC关于直线MN轴对称的△A′B'C′；（2）画出△ABC中BC边上的高线AD；（3）若AB＝5，点P是AB上一点则CP的最小值为1．【分析】（1）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点A′、B′、C′即可；（2）利用网格特点和三角形高的定义画图；（3）利用垂线段最短，当CP⊥AB时CP最小，然后利用面积法求出此时PC的长．解：（1）如图，△A′B'C′为所作；（2）如图，AD为所作；（3）作CP⊥AB于P，如图，此时CP的长度最小，AD＝＝，BC＝＝，∵•CP•AB＝•BC•AD，∴CP＝＝1．故答案为1．六、（本题10分）23．如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．【分析】（1）根据平行线和全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．解：（1）∵BE∥AC，∴∠E＝∠DCO，∵BE＝CD，∠BOE＝∠COD，∴△BOE≌△DOC（AAS），∴BO＝OD，∵AB＝AD，∴AO平分∠BAC；（2）∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAD＝40°．七、（本题12分）24．爷爷和他的孙子小明星期天一起去爬山．来到山脚下，小明让爷爷先上山，然后追赶爷爷，如图所示，两条线段分别表示小明和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（小明开始爬山时开始计时），请看图回答下列问题：（1）爷爷比小明先上了100米，山顶离山脚450米．（2）写出图中两条线段的交点表示的实际意义小明爬山10分钟时，正好追上爷爷．（3）小明在爬山过程中何时与爷爷相距20米？【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到爷爷比小明先上了多少米，再根据小明10分钟上了300米，15分钟到达山顶，可以求得山顶离山脚的距离；（2）根据题意和函数图象中的数据，可以写出图中两条线段的交点表示的实际意义；（3）根据函数图象中的数据，可以得到小明和爷爷对应的函数解析式，然后即可得到相应的方程，从而可以得到小明在爬山过程中何时与爷爷相距20米．解：（1）由图象可得，爷爷比小明先上了100米，山顶离山脚300÷10×15＝450（米），故答案为：100，450；（2）由题意可得，图中两条线段的交点表示的实际意义是在小明爬山10分钟时，正好追上爷爷，故答案为：小明爬山10分钟时，正好追上爷爷；（3）设爷爷对应的函数解析式为y＝kx+b，，解得，，即爷爷对应的函数解析式为y＝20x+100，设小明对应的函数解析式为y＝ax，10a＝300，解得，a＝30，即小明对应的函数解析式为y＝30x，令20x+100﹣30x＝20或30x﹣（20x+100）＝20，解得，x＝8或x＝12，即小明在爬山过程中第8分钟和第12分钟时与爷爷相距20米．八、（本题12分）25．已知∠ACD＝60°，AC＝DC，MN是过点A的直线，B、E两点在直线MN上，∠BCE ＝60°，CB＝CE．（1）问题发现：如图1，BD和EA之间的数量关系为BD＝AE，BD、AB、BE之间的数量关系为BE＝BD+AB；（2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图2位置时，BD、AB、BE之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）解决问题：当MN绕点A分别旋转到如图2和如图3位置时，若当时∠CAN＝50°，连接AD，则∠ADB的大小为10°或110°．【分析】（1）根据已知条件得到∠ACE＝∠BCD，根据全等三角形的性质得到AE＝BD 于是得到结论；（2）根据角的和差得到∠ACE＝∠BCD，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，根据线段的和差即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论．解：（1）BD和EA之间的数量关系为BD＝AE，BD、AB、BE之间的数量关系为BE ＝BD+AB；理由：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD﹣∠ACB＝∠BCE﹣∠ACB，即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝DC，∠CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD∴BE＝AE+AB＝BD+AB，故答案为：BD＝AE，BE＝BD+AB；（2）猜想：BE＝BD﹣AB，证明：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝DC，∠CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∴BE＝AE﹣AB＝BD﹣AB；（3）如图2，由（2）知，△ACE≌△DCB，∴∠CAN＝∠CDB＝50°，∵AC＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∴∠ADC﹣∠BDC＝10°；如图3，∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE，即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝DC，∠CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠CAN＝∠CDB＝50°，∵AC＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∴∠ADC+∠BDC＝110°；综上所述，∠ADB的大小为10°或110°，故答案为：10°或110°．。

辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题

沈阳二中2021-2022学年度上学期期末考试高二（23届）数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量()1,1,0a =，则与a 同向共线的单位向量e =（）A ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()0,1,0C ．22⎫⎪⎪⎝⎭D ．()1,1,0--2．设随机变量1~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)D X =（） A ．10B ．30C ．15D ．53．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（） A ．y ＝1B ．4x －3y －5＝0C ．y ＝1或4x －3y －5＝0D ．y ＝1或3x －4y －5＝04．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（） A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅等于（）A ．228aB ．28aC ．24aD ．224a6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB ＝BC ，22AC =12AA ，点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为（）A ．32B ．12-C ．32-D ．127．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（） A ．0.0688B ．0.0198C ．0.049D ．0.058．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 3的直线l '与抛物线C交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则NQQF=（） A 3B ．2C ．3D 2二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知双曲线两渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（） A ．2B 3C ．3D ．23310．在二项式8(14)x -的展开式中，下列结论正确的是（） A ．第5项的二项式系数最大 B ．所有项的系数和为83C ．所有奇数项的二项式系数和为72-D ．所有偶数项的二项式系数和为7211．若圆1C ：()2212x y ++=与圆2C ：22(1)(1)1x y -+-=相交于M ，N ，则下列说法正确的是（）A ．MN 所在直线的方程为2x ＋y －1＝0B ．MN 的中垂线的方程为x －2y ＋1＝0C ．2MN =D ．过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是2C12．在平面直角坐标系xOy 中，方程22x y +=对应的曲线为E ，则下列结论正确的是（） A ．曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于42B ．曲线E 关于原点中心对称C ．曲线E 上的点到原点距离的最小值为2D ．曲线E 上的点到直线x ＋y ＝4距离的最小值为728三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．抛物线24x y =-的准线方程为______．14．设随机变量()~15,3,2X H ，则()1P X ==______（结果写成分数形式）．15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用(),m n A 表示三角形数阵中的第m 行第n 个数，则()101,3A =______（结果用数字作答）．16．圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究．之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线．其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆．如图，一个底面半径为2，高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于1F ，2F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于______．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，E 为1CC 的中点，12AA =．（1）证明：平面BDE ⊥平面11A B E ；（2）求1A 到平面BDE 的距离． 19．（本小题满分12分）相距6千米的两个观察站A ，B 先后听到远处传来的爆炸声，已知A 站听到的时间比B 站晚4秒．该爆炸声速是1千米/秒，现以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点（如图）建立直角坐标系．（1）判断爆炸点P 分布在何曲线上，并求出该曲线C 的方程；（2）求直线373y x =与曲线C 的交点坐标． 20．（本小题满分12分）如图所示，四面体ABCD 中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，BD DC ⊥，BC ＝6，3AB =ABC ＝30°．（1）求证：AC BD ⊥．（2）若二面角B －AC －D 为45°，求直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值． 21．（本小题满分12分）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A 类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．（1）设A 类服装单件销售价格为ξ元，B 类服装单件销售价格为η元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益＝售价－成本）的大小；（2）某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率均为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，若()0.5()P X n n ≤≤∈N ，求n 的所有可能取值．22．（本小题满分12分）已知点F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．当直线l 过C 的下顶点时，l 3；当直线l 垂直于C 的长轴时，OMN △的面积为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当2MF FN =时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足2PM PN PF ⋅=，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上，并求出该直线的方程．沈阳二中2021-2022学年度上学期期末考试高二（23届）数学试题参考答案一、单选题1．C 2．A 3．C 4．D 5．C 6．D 7．A 8．B 二、多选题9．AD 10．ABD 11．AB 12．ABD 三、填空题 13．y ＝1 14．123515．4950 163四、解答题17．解：（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，则13153()5C P A C ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为113211543()10C C P AB C C ==．（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()3()1103()25P AB P A P B A ===．18．（1）证明：当12AA =时，12B E =2BE =所以22211B E BE BB +=，所以1B E BE ⊥．又11A B ⊥平面11BCC B ，则11A B BE ⊥．因为1111A B B E B ⋂=，所以BE ⊥平面11A B E ，又BE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面11A B E ．（2）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()11,0,2A ，()0,1,1E ，所以()1,1,0DB =，()0,1,1DE =，()11,0,2DA =，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0x y y z +=⎧⎨+=⎩不妨令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得()1,1,1n =-．故1A 到平面BDE 的距离1333n DA d n⋅===19．（1）由已知得4PB PA -=，又64AB =>，所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 的那一支上，即P 点在双曲线的右支上．由2a ＝4，2c ＝6，得a ＝2，c ＝3，2225b c a =-=，故双曲线C 的方程为：221(2)45x y x -=≥；（2）联立221(2)4537333x y x y x -=≥=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，化简整理得：211562560x x --=，解得：x ＝8或3211x =-（舍去），当x ＝8时，53y =(8,53．20．（1）因为BC ＝6，3AB =ABC ＝30°，所以由余弦定理得：222cos 48367223AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠+-=222CB AC AB +=，所以AC BC ⊥，因为平面BCD ⊥平面ABC ，交线为BC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面BCD ，因为BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥．（2）由（1）知，AC ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，又AC BC ⊥，故∠BCD 即为二面角B －AC －D 的平面角，所以∠BCD ＝45°，又因为BD DC ⊥，所以BCD △为等腰直角三角形，因为BC ＝6，所以sin 324BD BC π=⋅=，因为BD DC ⊥，AC BD ⊥，DC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面ACD ，AD 为AB 在平面ACD 上的投影，所以∠BAD 即为直线AB与平面ACD 所成的角，设为θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则326sin 43BD AB θ===． 21．（1）ξ200 170 120 P0.3 0.5 0.2η300 255180 P0.20.40.4设A 类服装、B 类服装的单件收益分别为1X 元，2X 元，则1120X ξ=-，2160X η=-， ()1()12049E X E ξ=-=（元），()2()16074E X E η=-=（元）， ()()12E X E X <，故B 类服装单件收益的期望大；（2）由题意可知，2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，511(0)3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()14152110321343P C X ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，23252140(2)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 32352180(3)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，41452180(4)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1104017(2)0.524381P X ++≤==<，1104080131(3)0.5243243P X +++≤==>，所以当()0.5()P X n n <≤∈N 时，n 可取的值为0，1，2．22．（1）由题设：3bc=232b c a =，解得a ＝2，3b =C 的方程为22143x y +=．（2）当直线l 与x 轴重合时，3MF FN =，不合题意，当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，有122634t y y t -+=+①，122934y y t -=+②．由2MF FN =，得122y y =-③，联立①②③得()22227293434t t t--=++，解得25t =． ∴直线l 5250x y ±-=．（3）设()00,P x y ，当直线l 与x 轴重合时，∵点P 在椭圆外，∴02x +，02x -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()()2000221x x x -=-+，解得052x =．当直线l 与x 轴不重合时，由（2）知122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，∵2101P tM y =+-，2201P t N y y =+-，201y PF t +=，∵点P 在椭圆外，∴10y y -，20y y -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()102200y y y y y --=，整理得()120120y y y y y -+=，即229603434t y t t ---=++，解得032y t =，代入直线l 方程x ＝ty ＋1，得052x =，∴点P 在定直线52x =上。

辽宁省辽南协作校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题及答案

2022—2023学年度上学期期末考试高二试题数学命题人：沈阳市第三十一中孔庆彬审题人：丹东二中张超考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在(x2−3x)n的展开式中,二项式系数的和是16,则展开式中各项系数的和为( )A. 16B. 32C. 1D. −322.设随机变量X服从正态分布N(1,2),若P(x<a)=P(x>b),则实数a+b=( )A. 3B. 4C. 1D. 23.随机变量X的分布列如下表所示,则P(X⩽2)=( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.44.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现,欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图),记第2行的第3个数字为a1､第3行的第3个数字为a2,……,第n(n⩾2)行的第3个数字为a n−1,则( )A. 220B. 186C. 120D. 965.已知过点P(2,2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切,且与直线ax−y+1=0平行,则a=( )A. 2B. 1C. −12D. 126.某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言,要求甲乙两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序有( )A. 18种B. 36种C. 54种D. 60种7. 设A,B为两个事件,已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,则P(A|B)=( )A. 0.24B. 0.375C. 0.4D. 0.58.某企业为了研究某种产品销售价格x(元)与销售量y(千件)之间的关系,通过大量市场调研收集得到以下数据:其中某一项数据丢失,只记得这组数据拟合出的线性回归方程为:y=−3.1x+71,则缺失的数据a是( )A. 33B. 35C. 34D. 34.8二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年辽宁省沈阳市第七中学东校区九年级上学期期末考试数学试卷含详解

2022-2023线上教学随堂调研一、选择题（每小题4分，共48分）1.下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等②圆是中心对称图形③圆是轴对称图形、任何一条直径都是它的对称轴④长度相等的两条弧是等弧．A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，AB 是圆O 的直径，BC ，CD ，DA 是圆O 的弦，且BC =CD =DA ，则∠BCD 等于（）A.100°B.110°C.120°D.135°3.将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A.2(4)6y x =-- B.2(1)3y x =-- C.2(2)2y x =-- D.2(4)2y x =--4.如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，4AC =，3BC =，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，则劣弧AD 的长为（）A.54πB.32π C.2πD.52π5.在圆内接正六边形ABCDEF 中，正六边形的边长为）A.30︒，1B.45︒，C.60︒D.60︒，36.二次函数24y x x c =--+的最大值为0，则c 的值等于（）A.4B.4-C.16-D.167.已知点()11,A y -，()26,B y -是拋物线()22y x k =-+上的两点，则1y ，2y 的大小关系为（）A.12y y < B.12y y > C.12y y = D.无法确定8.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x 元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y 元，则y 与x 之间的函数关系为（）A.(30)(20040)y x x =-+B.(30)(20020)y x x =-+C.(30)(20040)y x x =-- D.(30)(20020)y x x =--9.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A.0abc >B.420a b c -+>C.当31x -≤≤时，0y ≥ D.函数的最大值为a b c++10.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EG AF ^，FH CE ⊥，垂足分别为G ，H ，设AG x =，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（）A.2y =B.2y = C.26y x = D.28y x =11.如图所示，在O 中，AB 为弦，OC AB ⊥交AB 于点D ．且OD DC =．P 为O 上任意一点，连接PA ，PB ，若O 的半径为PAB S 的最大值为（）A.B.233C.332D.33412.如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若2sin 3CAB ∠=，6DF =，则AB 的长为（）A .12B.20C.D.二、填空题（每小题4分，共32分）13.二次函数244y kx x =-+的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是______．14.⊙O 外一点P 到⊙O 上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O 的半径为_________．15.二次函数22y x =的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且30AOB ∠= ，则点C 的坐标为______．16.设I 为ABC 的外心，若80BIC ∠=︒，则A ∠的度数为______．17.如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是______．18.如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()()13A p B q -，，，两点，则不等式2ax mx c n -+＞的解集是______．19.如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，直线MN 与O 相切于点C ，过点B 作BD MN ⊥于点D ．若BC =，2CD =，则O 的直径是______．20.如图，已知以BC 为直径的O ，A 为弧BC 中点，P 为弧AC 上任意一点，AD AP ⊥交BP 于D ，连CD ．若6BC =，则CD 的最小值为______．三、解答题（21题8分，22题12分，共20分）21.如图，AB 为O 的直径，C 为O 外一点，且90CAB ∠= ，BD 是O 的弦，BD CO ∥．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若6AB =，BC =．则阴影部分的面积为__________22.平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过原点，点(2,4),(3,9)D C -在这条抛物线上，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若直线2y x =-+与抛物线2y ax bx c =++交于点M 和N ，连接OM 和ON ，求OMN ∠的正切值；（3）点P 为抛物线2y ax bx c =++上的一点，且点P 与点O 在直线MN 的同侧，当PMN 的面积与OMN 的面积相等时，请直接写出点P 的坐标；（4）如图2，已知点(3,0),(1,0)A B ，抛物线2y ax bx c =++向左或向右平移后，点C 、D 的对应点分别为C '、D ¢．当四边形ABC D ''的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标．2022-2023线上教学随堂调研一、选择题（每小题4分，共48分）1.下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等②圆是中心对称图形③圆是轴对称图形、任何一条直径都是它的对称轴④长度相等的两条弧是等弧．A.1个 B.2个C.3个D.4个C【分析】由圆的性质以及垂径定理对每个选项一一判断即可.【详解】同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，结论①错误；圆是中心对称图形，结论②正确；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，结论③错误；长度相等的两条弧不一定是等弧，结论④错误.不正确的有①③④.故选：C ．【点睛】本题主要考查圆的性质，熟记相关概念是解题的关键.2.如图，AB 是圆O 的直径，BC ，CD ，DA 是圆O 的弦，且BC =CD =DA ，则∠BCD 等于（）A.100°B.110°C.120°D.135°C【详解】解：连接OC 、OD ，∵BC =CD =DA ，∴∠COB =∠COD =∠DOA ，∵∠COB +∠COD +∠DOA =180°，∴∠COB =∠COD =∠DOA =60°，∵OB=OC=OD ，∴△COD 、△BOC 是等边三角形，∴∠OCD =∠OCB =60°，∴∠BCD =∠OCD+∠OCB =120°，故选：C ．3.将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A.2(4)6y x =--B.2(1)3y x =--C.2(2)2y x =--D.2(4)2y x =--D【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：()226534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-，把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-，所以平移后得到的抛物线解析式为()242y x =--．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4.如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，4AC =，3BC =，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，则劣弧AD 的长为（）A.54π B.32π C.2π D.52πA 【分析】连接OD ，先根据勾股定理求出AB 的长，即可求出半径，然后根据圆周角定理可得出90AOD ∠=︒，最后利用弧长公式计算即可．【详解】如解图，连接OD ，AB 是O 的直径，90ACB ∠∴=︒，在Rt ABC 中，4AC =，3BC =，由勾股定理得5AB =，52AO ∴=，CD 平分ACB ∠，ACD ∠∴=1245ACB ∠=︒，由圆周角定理得290AOD ACD ∠∠==︒，∴劣弧AD 的长为590π2180⨯=54π=．故选：A ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理及弧长公式，掌握圆周角定理，勾股定理及弧长公式是解题的关键．5.在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为）A.30︒，1B.45︒， C.60︒D.60︒，3D【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心O 作OP AB ⊥于点P ，先根据等边三角形的判定可得AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA AB AP ===，再利用勾股定理即可得．【详解】解：这个正六边形的中心角为360606︒=︒，如图，过圆心O 作OP AB ⊥于点P ，,60OA OB AOB =∠=︒ ，AOB ∴是等边三角形，12OA AB AP AB ∴====，3OP ∴==，即这个正六边形的边心距为3，故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．6.二次函数24y x x c =--+的最大值为0，则c 的值等于（）A.4B.4- C.16- D.16B【分析】将二次函数化为顶点式，根据题意得出40c +=，即可求解．【详解】解：∵()22424y x x c x c =--+=-+++的最大值为0，∴40c +=，解得：4c =-，故选：B ．【点睛】本题考查了求二次函数的最值，化为顶点式是解题的关键．7.已知点()11,A y -，()26,B y -是拋物线()22y x k =-+上的两点，则1y ，2y 的大小关系为（）A.12y y <B.12y y > C.12y y = D.无法确定A【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴2x =，再由二次函数的性质即可得出结论．【详解】解：∵抛物线()22y x k =-+，∴此抛物线开口向上，对称轴2x =，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，∵点()11,A y -，()26,B y -是拋物线()22y x k =-+上的两点，16->-∴12y y <，故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．8.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x 元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y 元，则y 与x 之间的函数关系为（）A.(30)(20040)y x x =-+B.(30)(20020)y x x =-+C.(30)(20040)y x x =--D.(30)(20020)y x x =--B【分析】根据降价x 元，则售价为（30−x ）元，销售量为（200＋20x ）本，由题意可得等量关系：总销售额为y ＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【详解】设每本降价x 元，则售价为（30−x ）元，销售量为（200＋20x ）本，根据题意得，y ＝（30−x ）（200＋20x ），故选B ．【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．9.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A.0abc > B.420a b c -+>C.当31x -≤≤时，0y ≥ D.函数的最大值为a b c++D【分析】根据图象得出抛物线开口向下，且对称轴直线=1x -在y 轴左侧，顶点的纵坐标为函数的最大值，当2x =-时函数值大于0，根据对称轴求得另一个交点为()30-，,结合函数图象，分别判断各选项即可．【详解】由图得，抛物线开口向下，且对称轴直线=1x -在y 轴左侧，与x 轴有两个交点，0,0,0,a b c \<<>0abc ∴>，故A 选项正确；1x = 时，0y =，且对称轴为直线=1x -，3x ∴=-时，0y =，∴当31x -≤≤时，0y ≥，故C 选项正确；根据二次函数的对称性，可知2x =与0x =对应的函数值相等，∴当2x =-时，420y a b c =-+>，故B 选项正确；1x =- 时，y a b c =-+，即函数的最大值为a b c -+，故D 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，能够运用数形结合的思想，熟练掌握知识点是解题的关键．10.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EG AF ^，FH CE ⊥，垂足分别为G ，H ，设AG x =，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（）A.233y =B.23y x = C.26y x = D.28y x =D【分析】根据已知条件，证四边形AFCE 是平行四边形，四边形EHFG 是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用含x 的式子表示出EG 、FG ，从而可求出y 与x 之间的关系式．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AB CD =，AB CD ∥∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点∴AE=CF ，AE CF ∥∴四边形AFCE 是平行四边形∴AE CF∥∵EG AF ^，FH CE ⊥∴四边形EHFG 是矩形∵90AEG BEC BCE BEC ∠+∠=∠+∠=︒∴AEG BCE ∠=∠∴tan tan AEG BCE ∠=∠∴12AG BE EG BC ==∵设AG x =∴2EG x =∴AE ==∴AB BC ==∴5CE x==∴5AF CE x==∴54FG AF AG x x x =-=-=∴2428y FG EG x x x =⋅=⋅=．故选：D ．【点睛】本题考查正方形、矩形的综合问题，涉及锐角三角函数，勾股定理，正方形的性质、矩形的性质与判定等知识，综合运用以上知识是解题的关键．11.如图所示，在O 中，AB 为弦，OC AB ⊥交AB 于点D ．且OD DC =．P 为O 上任意一点，连接PA ，PB ，若O 的半径为PAB S 的最大值为（）A.4B.3C.2D.4A【分析】连接OA ，根据已知条件得出60,3AOD AB ∠=︒=，当点P 为优弧AB 的中点时，APB △的面积最大，此时APB △为等边三角形，求得APB △的面积即可求解．【详解】如图，连接OA ，∵OC AB ⊥，∴AD BD =， AC BC=，∵OD DC =，∴1322OD OA ==，∴32AD ==，∴tan AD AOD OD ∠==，∴60,3AOD AB ∠=︒=，∴60APB AOC ∠=∠=︒，当点P 为优弧AB 的中点时，APB △的面积最大，此时APB △为等边三角形，∴APB △的面积的最大值为2344⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理，根据特殊角的三角函数值求角度，勾股定理，得出点P 为优弧AB 的中点时，APB △的面积最大是解题的关键．12.如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若2sin 3CAB ∠=，6DF =，则AB 的长为（）A.12B.20C.D.C【分析】连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到6FD FA ==，再根据正弦的定义计算出4EF =，则AE =10DE =，接着证明ADE DBE △∽△，利用相似比得到BE ，即可求解．【详解】解：连接BD ，如图，AB 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD = ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，6FD FA ∴==，在Rt AEF △中，sin CAB ∠= 23EF AF =,4EF ∴=，AE ∴==，6410DE DF FE =+=+=，ADE DBE ∠=∠ ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴ ∽，∴DE AE BE DE =，即102510BE =，BE ∴=，∴AB AE BE =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．二、填空题（每小题4分，共32分）13.二次函数244y kx x =-+的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是______．1k ≤且0k ≠【分析】根据二次函数的定义得出0k ≠，根据二次函数与x 轴的有公共点，得出()24440k ∆=--⨯≥，解不等式即可得出答案．【详解】解：∵244y kx x =-+是二次函数，∴0k ≠，∵二次函数244y kx x =-+的图象与x 轴有公共点，∴()24440k ∆=--⨯≥，解得：1k ≤，∴k 的取值范围是1k ≤且0k ≠，故答案为：1k ≤且0k ≠．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点问题，根据题意得出()24440k ∆=--⨯≥是解题的关键．14.⊙O 外一点P 到⊙O 上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O 的半径为_________．2【分析】根据圆外一点P 到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径即可求解．【详解】解：∵⊙O 外一点P 到⊙O 上各点的最大距离为5，最小距离为1，∴⊙O 的直径为5－1=4，∴⊙O 的半径为2，故答案为：2．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键．15.二次函数22y x =的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且30AOB ∠= ，则点C 的坐标为______．322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，【分析】连结BC 交OA 于D ，如图，根据菱形的性质得BC OA ⊥，60OBD ∠=︒，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD =BD ，设BD t =，则OD =t ，(B t )t ，利用二次函数图象上点的坐标特征得22t =t ，得出BD ，OD ，然后根据菱形的性质得出C 点坐标．【详解】解：连结BC 交OA 于D ，如图，四边形OBAC 为菱形，BC OA ∴⊥，30AOB ∠=︒ ，60OBD ∠∴=︒，OD ∴=3BD ，设BD t =，则OD =3t ，(B t ∴3)t ，把(B t 3)t 代入22y x =得22t =3t ，解得10(t =舍去)，2t =32，BD ∴=32，OD =32，故C 点坐标为：3322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，故答案为：3322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD 的长是解题关键．16.设I 为ABC 的外心，若80BIC ∠=︒，则A ∠的度数为______．40︒或140︒【分析】根据三角形的外心是三角形外接圆圆心，BIC ∠是圆心角，可得出A ∠的度数．【详解】解：当三角形是锐角三角形∵I 是ABC 的外心，∴圆心角BIC ∠与圆周角A ∠所对弧是同弧，∴12A BIC ∠=∠．40A ∴∠=︒．当三角形是钝角三角形，同理可得：140A ∠=︒．故答案为：40︒或140︒．【点睛】本题主要考查了三角形的外心与圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．17.如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是______．2200m 【分析】直接根据题意表示出垂直于花圃的一边长，再利用矩形面积求法列出关系式，配方可得答案．【详解】解：设花圃的长为x ,面积为y ,则y 关于x 的函数表达式为：()()22138221202120200238202240y x x x x x x x =+-=-+=--++->⎧⎨≥⎩∴≤< ，∴当20x =时，面积最大为2200m ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．18.如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()()13A p B q -，，，两点，则不等式2ax mx c n -+＞的解集是______．1x -＜或3＞x 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式2ax mx c n -+＞的解集，本题得以解决．【详解】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()()13A p B q -，，，两点，∴2ax c mx n ++＞的解集是1x -＜或3＞x ，∴2ax mx c n -+＞的解集是1x -＜或3＞x ，故答案为：1x -＜或3＞x ．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．19.如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，直线MN 与O 相切于点C ，过点B 作BD MN ⊥于点D ．若BC =，2CD =，则O 的直径是______．5【分析】连接OC ，AC ，由切线的性质可得OC MN ⊥，即可证得OC BD ∥，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得CBD BCO ABC ∠∠∠==，连接AC ，由勾股定理求得BD ，然后通过证得ABC CBD ∽，求得直径AB ，从而求得半径．【详解】连接OC ，AC ，MN 为O 的切线，OC MN ∴⊥，BD MN ⊥ ，OC BD ∴∥，CBD BCO ∠∠∴=．又OC OB = ，BCO ABC ∠∠∴=，CBD ABC ∠∠∴=．；在Rt BCD 中，BC =，2CD =，，BD ∴=4=，AB 是O 的直径，90ACB ∠∴=︒，90ACB CDB ∠∠∴==︒，ABC CBD ∠∠= ，ABC CBD ∴ ∽，∴AB CB BC BD =，即4=，5AB ∴=，O ∴ 的半径是52，故答案为：5．【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．20.如图，已知以BC 为直径的O ，A 为弧BC 中点，P 为弧AC 上任意一点，AD AP ⊥交BP 于D ，连CD ．若6BC =，则CD 的最小值为______．3-##3-+【分析】如图所示，连接AB ，AC ，以AB 为斜边作等腰直角三角形AB O '，则90AO B '∠=︒，得出点D 在以点O '为圆心，A O '长为半径的 AB 上运动，因为两点之间线段最短，即为最短CD ，连接B O '，因为6BC =，所以B O '3=，由勾股定理有O C '==，CD O C O D ''=-3=．【详解】解：如图所示，连接AB ，AC ，以AB 为斜边作等腰直角三角形AB O '，则A ∠90O B '=︒，∵BC 为直径的O ，A 为弧BC 中点，∴45BPA ∠=︒，ABC 是等腰直角三角形，∵6BC =，∴AB =,∴3O B O A ''==，又∵AD AP ⊥，∴90DAP ∠=︒，∴45135PDA ADB ∠=︒∠=︒，，∴点D 在以点O '为圆心，A O '长为半径的 AB 上运动，连接O 'C 交 AB 为点D ，此时CD 为最短，45,45O BA ABC '∠=︒∠=︒，∴∠O '90BC =︒，在BCO ' 中，3,6BO BC '==，2235O C BO BC ''=+=∴CD O C O D ''=-353=．故答案为：353-【点睛】本题考查了圆的综合问题，求动点最值时，首先找到动点轨迹，再结合两点之间线段最短找出最小值是解题的关键．三、解答题（21题8分，22题12分，共20分）21.如图，AB 为O 的直径，C 为O 外一点，且90CAB ∠= ，BD 是O 的弦，BD CO ∥．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若6AB =，37BC =．则阴影部分的面积为__________（1）见解析（2）393π24-【分析】（1）连接OD ，易证()SAS CAO CDO ≌，由全等三角形的性质可得90CDO CAO ∠∠==︒，即CD OD ⊥，进而可证明CD 是O 的切线；（2）过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ，首先利用勾股定理可求出AC ，OC 的长，证得OBD 是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，BD ∥OC ，DBO COA ∠∠∴=，ODB COD ∠∠=，在O 中，OB OD =，DBO ODB ∠∠∴=，COA COD ∠∠∴=，在CAO 和CDO 中，OA OD COA COD CO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAO CDO ∴ ≌．，90CDO CAO ∠∠∴==︒，即CD OD ⊥，又OD 是O 的半径，CD ∴是O 的切线；【小问2详解】如图，过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ．在Rt ABC 中，AC =()22223763BC AB -=-，OC ∴=()22223336AC OA +=+=，60AOC ∠∴=︒，CAO CDO ≌，60COD COA ∠∠∴==︒，60BOD ∠∴=︒，BOD ∴ 是等边三角形，3BD OD ∴==，OE =332，∴阴影部分的面积BODBOD S S =-= 扇形260π3360⋅⨯-133322⨯⨯393π24=-．故答案为393π24-．【点睛】本题考查了切线的判断和性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．22.平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过原点，点(2,4),(3,9)D C -在这条抛物线上，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若直线2y x =-+与抛物线2y ax bx c =++交于点M 和N ，连接OM 和ON ，求OMN ∠的正切值；（3）点P 为抛物线2y ax bx c =++上的一点，且点P 与点O 在直线MN 的同侧，当PMN 的面积与OMN 的面积相等时，请直接写出点P 的坐标；（4）如图2，已知点(3,0),(1,0)A B ，抛物线2y ax bx c =++向左或向右平移后，点C 、D 的对应点分别为C '、D ¢．当四边形ABC D ''的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标．（1）2y x =（2）13（3）(1,1)P -（4）(4,0)或者(1,0)【分析】（1）、用待定系数法，将点坐标代入解析式列出方程求解即可．（2）、过点M 、N 分别作x 轴的垂线，然后利用点坐标性质和勾股定理可计算出OM 、ON 、MN ，长，再用定理逆定理可判断三角形OMN 为直角三角形，再用正切的定义求解即可．（3）、先求出OMN S △，然后用面积分割法列出方程求解即可．（4）、由图可知，要使周长最小，只能向右平移，且当左右平移时，,C D ''之间距离，A 、B 之间距离不变，只需用勾股定理方法表示出BC AD ⅱ+，求最小值，即可得出答案．【小问1详解】解：∵抛物线经过原点，点(2,4),(3,9)D C -在这条抛物线上，将点D 、C 、原点坐标代入得：0424939c a b a b =⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得：100a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，2y x ∴=；【小问2详解】∵直线2y x =-+与抛物线2y ax bx c =++交于点M 和N ，22y x y x =-+⎧∴⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩或者24x y =-⎧⎨=⎩，(2,4),(1,1)M N \-过M 、N 两点分别作MA '、NB ¢垂直于x 轴于A '、B '，过N 作NC '垂直于MA '于C '，4,2,1,1MA OA OB B N ⅱⅱ==== ，3,3C N MC ⅱ\==，在Rt MA O ¢中，MO ==，在Rt NB O ¢中，ON ==在Rt C MN ¢中，MN ==22220+== ，222NM ON MO \+=，90ONM ∴∠=︒，1tan 3ON OMN MN \Ð==；【小问3详解】11322OMN S ON MN === ，设：2(,)P a a ，分别作MA 、PD 、NB 垂直x 轴于A 、D 、B ，直线2y x =-+与x 轴交于E ，则令y =0，x =2，(2,0)E ∴，24,,1,4MA PD a NB AE \====，(2)2,1,1AD a a BD a BE =--=+=-=，∴梯形MADP 的面积为：2321111()(4)(2)24222S MA PD AD a a a a a =+=++=+++ ，梯形PDBN 的面积为：2322111111()(1)(1)222222S BN PD BD a a a a a =+=+-=-+-+ ，三角形MAE 面积为：1144822S MAE MA AE ==创= ，三角形NBE 面积为：11111222BNE S BN BE ==创= ，S MNP S MAE = -S 梯形MADP -S 梯形PDBN -BNE S ，323211111138(24)(222222a a a a a a \=-+++--+-+-，整理得：20a a +=1a =-或者0a =点P 与点O 在直线MN 的同侧则P 、O 不重合，0a ∴=（舍去），1a ∴=-，(1,1)P ∴-；【小问4详解】由图可知，要使周长最小，只能向右平移，假设图像向右平移m 个单位，则(3,9)C m ¢-+，(2,4)D m ¢+，当左右平移时，,C D ''之间距离，A 、B 之间距离不变，过点,C D ''作,C M AB D N AB ⅱ^^，同（2）的方法可得：BC ⅱ\==AD ⅱ==BC AD ⅱ\+=，要使其最小，4m =或者1m =，此时平移后的顶点坐标为：(4,0),(1,0)；综上所述：周长最小时，平移后的顶点为：(4,0)或者(1,0)．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数，二次函数图像和性质，二次函数图像平移，勾股定理，面积法列方程等知识，对二次函数图像性质、图像的变形的掌握和面积的割补法是解题的关键．。

应县第一中学校高二数学上学期期末考试试题理含解析

【点睛】本题考查了指数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.已知p：（x－m)2〉3(x－m）是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】｛m｜m≥1或m≤－7｝
【解析】
由命题p中的不等式（x－m）2〉3(x－m)变形，得（x－m)(x－m－3)>0，解得x〉m＋3或x〈m；
【详解】双曲线：的右焦点为，由 ,可得直线的方程为， , 设直线与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得，
由 , 解得（4舍去），
可得到直线的距离为，
即有的面积Байду номын сангаас最小值为．
故答案为: ．
【点睛】本题考查三角形的面积的最小值的求法,注意运用联立直线方程和双曲线方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【详解】(Ⅰ）当 t＝1 时，
≤3 在［1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题．
（Ⅱ)若 p∨q 为假命题，则 p,q 都是假命题．
当 p 为假命题时，Δ＝－4<0，解得－1〈t〈1；
当 q 为真命题时， ≤4 －1，即－1≥0，解得 t≤ 或 t≥
∴当 q 为假命题时,
∴t 的取值范围是 .
所以圆心到直线的距离
可解得，所以切线方程为
当在x轴与y轴上的截距不为0时，设切线方程为
所以 ,解得或 (舍)，即切线方程为
所以共有3条切线方程
所以选C
【点睛】本题考查了点到直线距离简单应用，直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.给出下列两个命题，命题 “ "是“ ”的充分不必要条件;命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是( ）

辽宁省沈阳市实验中学2019-2020学年七年级(上)第一次月考数学试卷

2019-2020学年七年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．将图中的三角形绕虚线旋转一周，所得的几何体是（）A．B．C．D．2．如图，用水平的平面截几何体，所得几何体的截面图形标号是（）A．B．C．D．3．绝对值小于5的所有整数的和为（）A．0 B．﹣8 C．10 D．204．妈妈为今年参加中考的女儿小红制作了一个正方体礼品盒（如图），六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．有理数包括正整数、零和负分数B．﹣a不一定是整数C．﹣5和+（﹣5）互为相反数D．两个有理数的和一定大于每一个加数6．下列各组数中，不相等的一组是（）A．﹣（+7），﹣|﹣7| B．﹣（+7），﹣|+7|C．+（﹣7），﹣（+7）D．+（+7），﹣|﹣7|7．若|a|＝8，|b|＝5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．3或13 B．13或﹣13 C．3或﹣3 D．﹣3或138．一个数和它的倒数相等，则这个数是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．±1和09．如果|a|＝﹣a，下列成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤010．下列等式成立的是（）A．|±3|＝±3 B．|﹣2|＝﹣（﹣2） C．（±2）2＝±22D．二．填空题（共6小题）11．某个立体图形的三视图的形状都相同，请你写出一种这样的几何体．12．数轴上与﹣1的距离等于3个单位长度的点所表示的数为．13．﹣8的相反数是．如果﹣a＝2，则a＝．14．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，则a+b0．15．若|a﹣6|+|b+5|＝0，则a+b的值为．16．若规定a*b＝5a+2b﹣1，则（﹣4）*6的值为．三．解答题（共11小题）17．（1）画出下列几何体的三种视图（图1）．（2）如图2，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置的小立方体的个数，请你画出它的主视图和左视图．18．计算：（1）45+（﹣20）（2）（﹣8）﹣（﹣1）（3）|﹣10|+|+8|（4）（﹣+）×（﹣36）（5）0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1（6）99×（﹣3）（7）0.25+（﹣）+（﹣）﹣（+）（8）1÷（﹣）×（9）﹣9﹣（﹣3）×2﹣（﹣16）÷4（10）（﹣0.6）﹣（﹣3）﹣（+7）+2﹣|﹣2|（11）﹣5×（﹣3）+（﹣9）×（+3）+17×（﹣3）（12）（+1.75）+（﹣）+（+）+（+1.05）+（﹣）+（+2.2）19．把下列各数在数轴上表示出来，并比较大小．﹣4，3，﹣，0，3，﹣220．若|a|＝2，b＝﹣3，c是最大的负整数，求a+b﹣c的值．21．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则的值是多少？22．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为3cm、4cm和5cm的直角三角形，其中一条直角边旋转一周，得到了一个几何体，请计算出几何体的体积．（锥体体积＝底面积×高）23．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b﹣c|的值．24．若a，b都是非零的有理数，那么+的值是多少？25．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9，﹣3，﹣5，+4，﹣8，+6，﹣3，﹣6，﹣4，+10．（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？（2）若每千米的价格为 2.4元，司机一个下午的营业额是多少？26．如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为；（3）若x表示一个有理数，请你结合数轴求|x﹣1|+|x+3|的最小值．27．已知：b是最小的正整数，且a、b满足|c﹣5|+|a+b|＝0．（1）请求出a、b、c的值；（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在﹣1到1之间运动时（即﹣1≤x≤1），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+3|（写出化简过程）；（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动3秒钟后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请求BC﹣AB的值．。

辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024_2025学年高二物理上学期10月月考试题

辽宁省重点中学沈阳市郊联体2024-2025学年度上学期高二年级10月月考试题物理考试时间：75分钟试卷满分100分留意事项：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分组成，第Ⅰ卷选择题部分，一律用2B铅笔按题号依次涂在答题卡上；第Ⅱ卷非选择题部分，按要求箐在答题卡相应位置。

第Ⅰ卷选择题(共46分)一、选择题，本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，第1-7小题只有一个选项符合题目要求，每个小题4分；8-10题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全得3分，选错或不答的得0分。

1.下列说法正确的是( )A.密立根通过油滴试验精确测定了元电荷的电荷量B.摩擦起电使不带电的物体带上了电，这说明电荷可以凭空产生C.牛顿通过库仑扭秤试验得到电荷间相互作用规律D.爱因斯坦测出了静电力常量的数值2.粒子物理中标准模型理论认为：中子由三个夺克组成，一个上夸克(u)、两个下夸克(d)，如图中等边三角形所示。

上夺克带电荷量为23+e，下夺克带电荷量为13-e，则( )A.两个下夸克间的库仑力为引力，大小为229ke Fr =B.两个下夸克间的库仑力为斥力，大小为2229ke Fr =C.一个下夸克和上夸克间的库仑力为斥力，大小为2229ke Fr =D.一个下夺克和上夺克间的库仑力为引力，大小为2229ke Fr =3.红、黄、绿三种单色光以相同的入射角从水中射向空气，著黄光在界面上恰好发生全反射，则下列推断正确的是( )A.绿光确定不能发生全反射B.红光确定能发生全反射C.黄光在水中的波长比红光在水中的波长长D.这三种单色光相比，红光在水中传播的速率最大4.某静电除尘设备集尘板的内壁带正电，设备中心位置有一个带负电的放电极，它们之间的电场线分布如图所示，虚线为某带电烟尘颗粒(重力不计)的运动轨迹，A、B是轨迹上的两点，C点与B点关于放电极对称，下列说法正确的是( )A.A点电势高于B点电势B.A点电场强度小于C点电场强度C.烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能D.烟尘颗粒在A点的电势能小于在B点的电势能5.如图所示，水平放置的平行板电容器上极板带正电，所带电荷量为Q，板间距离为d，上极板与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地。

辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高二上学期第四次质量监测数学试题

辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高二上学期第四次质量监测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．222234511C C C C 220++++= B ．第2023行中从左往右第1011个数与第C ．记第n 行的第i 个数为i a ，则1113n i i i a +-=∑D ．第30行中第12个数与第13个数之比为7．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率椭圆，现有一个黄金椭圆方程为22221(x y a b+=，直径作,O P 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，直线AB 与,x y 轴分别交于,M N 两点，则|b OM A ．1ωB ．ω8．如图，点P 是边长为2的正方体ABCD A -误的是（）A ．当点P 在侧面11BBC C 上时，四棱锥B ．存在这样的点P ，使得C ．当直线AP 与平面ABCD D ．当433AP =时，点P 二、多选题9．下列关于概率统计说法中正确的是（）三、填空题四、问答题五、证明题19．某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，100位退休人员，统计数据如下表所示：患痴呆症不患痴呆症六、问答题20．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是正三角形，侧面11ACC A 是菱形，平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点.(1)证明：EF ∥平面11ABB A ；(2)若112,60,2AC ACC C G GC =∠=︒=，求直线11B C 与平面EFG 所成角的正弦值.八、问答题。

辽宁省沈阳市高二上学期期中数学试卷

辽宁省沈阳市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高二上·重庆期中) 过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．2. （1分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为________．3. （1分）已知向量，是平面内不共线的两个向量， =2 ﹣3 ，=λ +6 ，若向量、共线，则λ=________．4. （1分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为________5. （1分）设矩阵M=的逆矩阵是M﹣1=，则a+c的值为________ ．6. （1分） (2017高一下·启东期末) 已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为________．7. （1分）行列式的值是________8. （1分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入p的取值范围是________9. （1分） (2017高一下·盐城期末) 已知直线l过定点（1，0），且倾斜角为，则直线l的一般式方程为________．10. （1分） (2018高二下·海安月考) 在平面直角坐标系xOy中，A ， B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为________．11. （1分） (2019高一下·湖州月考) 关于平面向量，，有下列三个命题：①若，则；②若，，，则；③非零向量和满足，则与的夹角为；④在中，，，，则；其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)12. （1分）直线y=kx+1与A（1，0），B（1，1）对应线段有公共点，则k的取值范围是________ ．13. （1分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=λ 的实数λ有________个．14. （1分）给出下列五种说法：（1）函数y=ax（a＞0，a≠1）与函数y=x2的定义域相同；（2）函数y=与函数y=lnx的值域相同；（3）函数y=log3（x2﹣2x﹣3）的单调增区间是[1，+∞）；（4）函数y=与y=都是奇函数；（5）记函数f（x）=x﹣[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3），则f（x）的值域是[0，1）．其中所有正确的序号是________15. （2分）设，则“且”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件16. （2分）已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于（）A . 30°B . 30°或150°C . 150°D . 以上结论都不对17. （2分）已知函数，，则函数在上递增是在上递增的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分又不必要条件18. （2分） (2018高二下·哈尔滨月考) 下面命题正确的是（）A . “a>1”是“ <1”的充分必要条件B . 命题“若x2<1，则－1<x<1”的否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”C . 设x ，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件D . 已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的充分不必要条件19. （5分）已知=(1,2)，=(-3,2)，当k为何值时，（1）k+与-3垂直？（2）k+与-3平行？平行时它们是同向还是反向？20. （5分）(2020·新沂模拟) 已知矩阵，其中，若点在矩阵A的变换下得到点，求矩阵的两个特征值.21. （5分）(2018·永春模拟) 已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为 .若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.22. （5分） (2018高一下·阿拉善左旗期末) 如图所示,在平行四边形中, , 分别为 ,的中点,已知，试用表示 .23. （10分）如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB、AC于点D、E；设，，其中0＜m≤1，0＜n≤1．（1）求表达式的值，并说明理由；（2）求△ADE面积的最大和最小值，并指出相应的m、n的值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、选择题 (共4题；共8分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共30分)19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、。

陕西省西安中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学（理）一、选择题（共12小题；共60分） 1.抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是（） A. （0，1）B. （1，0）C. 1(0,)16D.1(,0)16【答案】C 【解析】【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标.【详解】抛物线24y x =的标准方程为214x y =，即18p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，故焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.2.已知(2,1,2),(4,2,)a b x =-=-v v ,且//a b r r ，则x=( )A. 5B. 4C. -4D. -5【答案】C 【解析】【分析】由向量平行，坐标对应成比例可求得x. 【详解】由题意可知，因为//a b rr，所以21242x-==-，所以x=-4,选C. 【点睛】本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例． 3.给出下列命题：①若空间向量,a b r r 满足a b =r r ，则a b =r r ；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c r，由a c b c ⋅=⋅r r rr，则a b =rr；④在向量的数量积运算中()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r.其中假．命题的个数是（） A 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，空间向量,a b rr 的方向不一定相同，即a b =rr不一定成立，故①错误；对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；对于③，取()0,0,0a =r ，()1,0,0b =r ，()0,1,0c =r ，满足0a c b c ⋅=⋅=r r rr ，且0c ≠r r ，但是a b ≠r r ，故③错误；对于④，因为a b ⋅r r 和b c ⋅r r 都是常数，所以()a b c ⋅⋅r r r 和()a b c ⋅⋅r r r 表示两个向量，若a r 和c r 方向不同，则()a b c ⋅⋅r r r 和()a b c ⋅⋅r r r不相等，故④错误.故选：D.【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4.下列命题，正确的是（）A. 命题“0x R ∃∈，使得2010x -<”的否定是“x R ∀∈，均有210x ->”B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C. 命题“若22x y =，则x y =”的逆否命题是真命题D. 命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠” 【答案】D 【解析】对于选项A,正确的是“,x R ∀∈ 均有210x -≥”; 对于选项B,命题是真命题,存在四边相等的空间四边形不是正方形,比如正四面体,选项B 错; 对于选项C,由于原命题为假命题,所以其逆否命题为假命题,选项C 错; 对于选项D,从否命题的形式上看,是正确的.故选D. 点睛：本题以命题的真假判断应用为载体, 考查了四种命题, 特称命题等知识点,属于中档题. 解题时要认真审题, 仔细解答.5.过抛物线26y x =的焦点F 作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么||AB =（）A. 10B. 9C. 6D. 4【答案】B 【解析】【分析】依据抛物线的定义，可以求出点A ，B 到准线距离，即可求得AB 的长．【详解】抛物线26y x =的准线方程是32x =-，所以132AF x =+， 232BF x =+，1239AB AF BF x x =+=++=，故选B ．【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法．6.设,a b r r 是非零向量，则“存在实数λ，使得λa b =r r”是“a b a b +=+r r r r ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可. 【详解】存在实数λ，使得λa b =r r，说明向量,a b r r 共线，当,a b r r同向时，a b a b +=+r r r r 成立，当,a b r r反向时，a b a b +=+r r r r 不成立，所以，充分性不成立.当a b a b +=+r r r r 成立时，有,a b r r 同向，存在实数λ，使得λa b =r r成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λa b =r r”是“a b a b +=+r r r r ”的必要而不充分条件.故选B .【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则m 等于（）A. 4B. 8C. 4或8D. 12【答案】C 【解析】【分析】分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，分别求出2a 、2b 的表达式，结合2224a b c +==可求出答案.【详解】因为221102x ym m +=--为椭圆，所以10020102m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即()()2,66,10m ∈U ，若椭圆的焦点在x 轴上，则210a m =-，22b m =-，故()21021224c m m m =---=-=，解得4m =，符合题意；若椭圆的焦点在y 轴上，则22a m =-，210b m =-，故()22102124c m m m =---=-=，解得8m =，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8.（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为B.32D. 2【答案】A【解析】试题分析：由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.9.已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A. (1,0，－2) B. (1,0,2) C. (－1,0,2) D. (2,0，－1)【答案】C 【解析】【分析】利用PA u u u r ⊥AB u u u r ，PA u u u r ⊥AC u u ur ⇔0PA AB PA AC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ．即可得出．【详解】∵()111AB =---u u u r ，，，()201AC =u u u r ，，，()1PA x z =--u u u r，，． ∵PA u u u r ⊥AB u u u r ，PA u u u r ⊥AC u u u r ，∴0PA AB PA AC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．∴1020x z x z -+=⎧⎨--=⎩，解得12x z =⎧⎨=-⎩．∴P (－1,0,2) ．故选C ．【点睛】本题考查向量数量积与垂直的关系，考查运算能力，属于基础题.10.已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任意一点，过一焦点引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则动点Q 的轨迹为（ ▲ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】A 【解析】【详解】不妨设过焦点1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，延长F 1Q 交F 2P 与M 点,连OQ ，则21211()=22OQ F M F P PF a ==+,所以动点Q 的轨迹为圆，选A. 11.如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111A C B C ==，且11190A C B ∠=o，D 点在棱1AA 上且12AD DA =，P 点在棱1C C 上，则1PD PB ⋅u u u r u u u r的最小值为（）A.52B. 14-C.14D. 52-【答案】B 【解析】【分析】由题易知1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设()03PC a a =≤≤，可知()0,0,P a ，进而可得1,PD PB u u u r u u u r的坐标，然后求得1PD PB ⋅u u u r u u u r 的表达式，求出最小值即可.【详解】由题意可知，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,3B ，()1,0,2D ，设()03PC a a =≤≤，则()0,0,P a ，所以()1,0,2P a D =-u u u r ，()10,1,3a PB =-u u u r，则()()2151 002324a a aPD PB⎛⎫=++--=--⎪⎝⋅⎭u u u r u u u r，当52a=时，1PD PB⋅u u u r u u u r取得最小值14-.故选：B.【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线:340l x y-=交椭圆E于,A B两点．若4AF BF+=，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.3B.3(0,]4C.3D.3[,1)4【答案】A【解析】试题分析：设1F是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y-=过原点，因此,A B两点关于原点对称，从而1AF BF是平行四边形，所以14BF BF AF BF+=+=，即24a=，2a=，设(0,)M b，则45bd=，所以4455b≥，1b≥，即12b≤<，又22224c a b b=-=-，所以03c<≤3ca<≤．故选A．考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．二、填空题（共4小题；共20分）13.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB OC t =++u u u r u u u r u u u r u u u r，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．【答案】18【解析】【分析】根据四点共面的充要条件即可求出t 的值.【详解】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++u u u r u u u r u u u r u u u r，31148t ++=，解得18t =. 故答案为: 18【点睛】本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.14.设P 是椭圆221169x y +=上一点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若12||.||12PF PF =，则12F PF ∠的大小_____. 【答案】60o 【解析】【分析】1PF m =，2PF n =，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得22122812282m n a mn m n mncos F PF+==⎧⎪=⎨⎪=+-∠⎩，解得121cos 2F PF ∠=，从而可得结果．【详解】椭圆221 169xy+=，可得28a=，设1PF m=，2PF n=，可得2221228124282m n amnc m n mncos F PF+==⎧⎪=⎨⎪==+-∠⎩，化简可得：121cos2F PF∠=，1260F PF∴∠=o，故答案为60o．【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cosa b c bc A=+-；（2）222cos2b c aAbc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15.如图，二面角lαβ--等于120︒，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC l⊥，BD l⊥，且1AB AC BD===，则CD的长等于______．【答案】2【解析】【分析】由已知中二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由22()CD CA AB BD=++u u u r u u u r u u u r u u u r，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．【详解】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l ﹣β的平面角θ等于120°，且AB ＝AC ＝BD ＝1，∴0CA AB AB BD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，CA DB =u u u r u u u r ＜，＞60°，1160CA BD cos ⋅=⨯⨯︒u u u r u u u r∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222422=CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ||2CD =u u u r故答案为2．【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(1E x y ++=上一点，则2||||MN MF +的最小值为_______【答案】9 【解析】【分析】求得双曲线的a ，b ，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接1EF ，交双曲线于M ，圆于N ，计算可得所求最小值．【详解】解：由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为1(F 0)，2F ，0)，由双曲线的定义可得211||2||6||MF a MF MF =+=+，由圆22:(1E x y +=可得(0,E ，半径1r =， 21||||6||||MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，圆于N ，可得1||||MN MF +取得最小值，且为1||6104EF =+=，则则2||||MN MF +的最小值为6419+-=．故答案为：9．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（共12小题；共70分） 17.根据下列条件求曲线的标准方程：（1）准线方程为32y =-的抛物线；（2）焦点在坐标轴上，且过点(3,27-、()62,7--的双曲线．【答案】（1）26x y =；（2）2212575y x -=【解析】【分析】（1）设抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，利用准线方程为32y =-，可求出p 的值，即可求出抛物线的标准方程；（2）设所求双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，将点(3,27-、()62,7--代入方程，可求出,m n ，进而可求出双曲线的标准方程. 【详解】（1）设抛物线的标准方程为22(0)x py p =>．其准线方程为32y =-，所以有322p -=-，故3p =．因此抛物线的标准方程为26x y =．（2）设所求双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，因为点()3,27-、()62,7--在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得928172491m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得175125m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此所求双曲线的方程为2212575y x -=.【点睛】本题考查抛物线与双曲线的标准方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．求证：（1）1BD ⊥平面1AB C ；（2）平面EAC ⊥平面1AB C .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面1AB C 的法向量m u r ，通过证明1//BD m u u u u r u r，可得出1BD ⊥平面1AB C ；（2）结合（1），平面1AB C 的法向量是m u r ，然后求出平面EAC 的法向量n r，进而可证明m n ⊥u r r，从而可知平面EAC ⊥平面1AB C .【详解】（1）以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,1E ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，所以()2,2,0AC =-u u u r，()2,0,1AE =-u u u r ，()10,2,2AB =u u u r ，()12,2,2BD =--u u u u r ，设平面1AB C 的法向量(),,m x y z =u r，则1220220m AC x y m AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1x =，得()1,1,1m =-u r ．因为12BD m =-u u u u r u r ，所以1//BD m u u u u r u r，所以1BD ⊥平面1AB C ；（2）设平面AEC 的法向量(),,n x y z '''=r，则20220n AE x z n AC x y ⎧''⋅=-+=⎪⎨''⋅=-+=⎪⎩r u u u r r u u u r ，取1x '=，得()1,1,2n =r ， 1120m n ⋅=+-=Q u r r， ∴平面EAC ⊥平面1AB C.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于基础题.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知12AA =，1AC BC ==，且AC BC ⊥，M 是11A B 的中点．（1）求证：1//CB 平面1AC M ；（2）设AC 与平面1AC M 的夹角为θ，求sin θ．【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】【分析】（1）易知1,,CA CB CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，求得平面1AC M 的法向量n r，从而可证明1n CB ⊥u u u r r ，又1CB ⊄平面1AC M ，即可证明1//CB 平面1AC M ；（2）由（1）可得AC u u u r 及平面1AC M 的法向量为n r ，设AC u u u r 和n r的夹角为α，可得sin cos A nnC AC θα==⋅⋅u u u r r u u u r r ，求解即可.【详解】（1）由题易知，1,,CA CB CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()10,0,2C ，()1,0,0A ，()10,1,2B ，()11,0,2A ， M Q 是11A B 的中点，11,,222M ⎛⎫∴⎪⎝⎭．由此可得，11,,222AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，()10,1,2CB =u u u r，设向量(),,n x y z =r为平面1AC M 的一个法向量，则1112211222n C M x yn AM x y z⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩u u u u rru u u u rr，取2x=，得2y=-，1z=，()2,2,1n∴=-r为平面1AC M的一个法向量．1·2021120n CB=⨯-⨯+⨯=u u u rrQ，1n CB∴⊥u u u rr，1CB⊄Q平面1AC M，1//CB∴平面1AC M.（2）()1,0,0AC=-u u u r，平面1AC M的一个法向量为()2,2,1n=-r，AC与平面1AC M的夹角为θ，设AC u u u r和n r的夹角为α，则()222212sin cos312(2)1ACACnnθα⨯-====⨯+-⋅+⋅u u u r ru u u r r.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.20.一个圆经过点()2,0F，且和直线20x+=相切．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点()1,0B-，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P Q、，若x轴是PBQ∠的角平分线，证明直线l过定点．【答案】（1）28y x=；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）圆心到定点()2,0F 与到定直线2x =-的距离相等，可知圆心的轨迹是以点F 为焦点的抛物线，求出方程即可；（2）易知直线l 斜率存在且不为零，可设直线():0l my x n m =+≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线l 与抛物线方程，可得关于y 的一元二次方程，由x 轴是PBQ ∠的角平分线，可得121211y y x x -=++，整理可求得128y y =-，再结合韦达定理128y y n =，从而可求得n 的值，进而可求得直线l 过定点.【详解】（1）由题意，圆心到定点()2,0F 与到定直线2x =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹是以点F 为焦点的抛物线，其方程为28y x =. （2）由题可知，直线l 与C 有两个交点且不垂于于x 轴，所以直线l 斜率存在且不为零，设直线():0l my x n m =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立28my x n y x=+⎧⎨=⎩，可得2880y my n -+=，则264320m n ∆=->，且1280y y m +=≠，128y y n =，又2118y x =，2228y x =，x 轴是PBQ ∠的角平分线，所以12122212121188y y y y x x y y --=⇒=++++，整理可得128y y =-，所以1288y y n ==-，即1n =-，此时满足>0∆，故l ：1my x =-，所以，直线PQ 过定点()1,0.【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查直线恒过定点问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=o ，M 是AB 的中点．（1）求证:EM AD ⊥;（2）求二面角A BE C --的余弦值;（3）在线段EC 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ，若存在，求出EPEC的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）5 ；（3）在线段EC 上存在点P ,理由见解析. 【解析】【分析】（1）推导出EM AB ⊥，从而EM ⊥平面ABCD ，由此能证明EM AD ⊥．（2）推导出EM MC ⊥，MC AB ⊥，从而MB 、MC 、ME 两两垂直，建立空间直角坐标系M xyz -，利用向量法能求出二面角A BE C --的余弦值．（3）求出AP u u u r和平面ABE 的法向量，利用向量法能示出在线段EC 上存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ，且23EP EC =．【详解】证明：(Ⅰ)EA EB =Q ，M 是AB 的中点，EM AB ∴⊥，Q 平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD AB =，EA ⊂平面ABE ，EM ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，.EM AD ∴⊥解：（2） EM ⊥Q 平面ABCD ，EM MC ∴⊥，ABC QV 是正三角形，.MC AB MB ∴⊥∴、MC 、ME 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系.)M xyz -则(0,M 0，0)，(1,A -0，0)，(1,B 0，0)，()C ，(0,E 0，()BC =-u u u r ，(1,BE =-u u u r，设(,m x =ry ，)z 是平面BCE 的一个法向量，则0m BC x m BE x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v r u u u v r ，令1z =，得)m =r，y Q 轴与平面ABE 垂直，(0,n ∴=r1，0)是平面ABE的一个法向量.cos ,5m n m n m n ⋅===⋅r rr rr r ，∴二面角A BE C --（3）假设在线段EC 上存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ．(1,AE =u u u r0，(EC =u u u r ，设(),EP EC λ==u u u r u u u r，()001λ≤≤，则()AP AE EP =+=u u u r u u u r u u u r，Q 直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ，sin 45,2AP n cos AP n AP n ⋅∴====⋅ou u u r ru u u r r u u u r r ，由01λ≤≤，解得23λ=， ∴在线段EC 上存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ，且2.3EP EC =【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．22.已知()13,0F -是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，O 为坐标原点，22,2P -⎭为椭圆上的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,A B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上，求AOB V 面积的最大值，及此时直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）AOB V 面积的最大值为1，此时直线AB 的方程为112y x =- 【解析】【分析】（1）依题意可得222221123a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，求出,a b ，即可得到椭圆C 的标准方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，易知直线AB 的斜率存在，设为k ，将,A B 两点坐标分别代入椭圆方程，所得两式相减，可得到004x y k +⋅=，进而可求出k 的值，从而设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，分别表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离d ，从而可求得AOB V 面积的表达式，进而求出最大值，并求得此时直线的方程.【详解】（1）依题意可得222221123a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，即42230b b +-=，解得21b =，则24a =．故椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，依题意可知，直线AB 的斜率存在，设为k ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2222121204x x y y -+-=，即()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，2121y y k x x -=-，所以0004x y k +⋅=，又直线OP ：12y x =-，M 在线段OP 上，所以0012y x =-，所以12k =．设直线AB 的方程为12y x m =+，联立方程221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得222220x mx m ++-=，，122x x m +=-，21222x x m =-，且12002x x ∆>⎧⎪⎨<<+⎪⎩，即()()22024220m m m ⎧∆=--><-<⎪⎨⎪⎩，解得0m <<，21 所以12x x -====，122AB x x =-== 又点O 到直线AB的距离d ==所以221121222OAB m m S AB d -+=⨯⨯==≤=V ，当且仅当222m m -=，即1(1m m =-=舍去)时，等号成立，此时直线方程为112y x =-. 所以AOB V 面积的最大值为1，此时直线AB 的方程为112y x =-. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于难题.。

辽宁省沈阳市第一二六中学2022-2023学年七年级数学上学期月考数学试题

辽宁省沈阳市第一二六中学2022-2023学年七年级数学上学期月考数学试题一、单选题1．已知x ＝4是关于x 的方程2x +a ＝x ﹣3的解，则a 的值是（） A ．﹣7B ．﹣6C ．﹣5D ．﹣42．下列调查中，最适合采用全面调查的是（） A ．了解全国中学生的睡眠时间 B ．了解某河流的水质情况 C ．调查全班同学的视力情况 D ．了解一批灯泡的使用寿命3．如图，下列说法中错误的是（）A ．OA 方向是北偏东30°B ．OB 方向是北偏西15°C ．OC 方向是南偏西25°D ．OD 方向是东南方向4．下列解方程的步骤正确的是（） A ．由2431x x +=+，得2314x x +=+B ．由0.50.75 1.3x x -=-，得57513x x -=-C ．由()()3223x x -=+，得3626x x -=+D ．由12236x x -+-=，得22212x x --+= 5．如图，长方形纸片ABCD 折叠后，A 与A '重合，B 与B '重合，折痕为EF ，已知40CFB '∠=︒，则A EF '∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒6．为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（） A ．400B ．被抽取的400名考生C ．被抽取的400名考生的中考数学成绩D ．内江市2018年中考数学成绩 7．下列说法中，正确的有（）个 ①过两点有且只有一条直线； ②连接两点的线段叫做两点间的距离； ③两点之间，线段最短；405040.5'︒=︒④；⑤直线AB 和直线BA 是同一条直线； ⑥若12AB AC =，则点B 是线段AC 的中点． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8．八边形一共有（）条对角线． A ．5B ．6C ．20D ．409．一套仪器由一个A 部件和三个B 部件构成，用31m 钢材可做40个A 部件或240个B 部件．现要用36m 钢材制作这种仪器，为了使制作的A 、B 部件恰好配套，设应用3m x 钢材制作A 部件，则可列方程为（） A ．()3402406x x ⨯=- B ．()4032406x x =⨯- C ．()3406240x x ⨯-=D ．()4063240x x -=⨯10．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为18，我们发现第1次输出的结果为9，第2次输出的结果为12，……则第2023次输出的结果为（）A ．3B ．6C ．9D ．18二、填空题11．若方程（m ﹣2）x |m|﹣1+2=m 是关于x 的一元一次方程，则m=． 12．北京时间下午2:40时，时钟上分针与时针的夹角是度． 13．已知代数式3x y -的值是5，则代数式261x y -+-的值是14．甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量分别制作统计图如下：从2017年到2019年的变化趋势可以得出，这两家公司销售量增长较快的是公司． 15．如图所示，一个长方体体容器里装满了果汁，长方体的长为12cm ，宽为8cm ，高为24cm ，用果汁将旁边的圆柱体玻璃杯倒满后按原来位置摆放，已知杯子的内径为6cm ，高为18cm ，这时长方体容器内的果汁高度是cm （结果保留π）16．如图，有公共端点P 的两条线段MP ，NP 组成一条折线M P N --．若该折线M P N --上一点Q 把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q 叫做这条折线的“折中点”，已知点D 是折线A C B --的“折中点”，点E 为线段AC 的中点，5CD =，7CE =，则线段BC 的长为．三、解答题 17．计算：()()2200334215293⎛⎫-⨯--÷⨯- ⎪⎝⎭．18．先化简，再求值：()()()22243521a b ab a b ab ba -+-+---，其中2a =，12b =. 19．解方程： (1)52318x x -=+； (2)21103136x x +--=． 20．列一元一次方程解应用题：甲列车从A 地开往B 地、速度是60km /h ，乙列车同时从B 地开往A 地，速度是90km /h ．已知A ，B 两地相距300km ，两车相遇的地方离A 地多远？21．小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．(1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留π）(2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留π）(3)当3a =米，2b =米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（π取3）22．由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A 网上自测，B 网上阅读，C 网上答疑，D 网上讨论，为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生；(2)在扇形统计图中，m 的值是______，D 对应的扇形圆心角的度数是______； (3)请补全条形统计图；(4)若该校共有3000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D 的学生人数． 23．已知90AOB ∠=︒，(1)如图1，OE 平分AOB ∠，OD 平分BOC ∠，若60EOD ∠=︒，则DOC ∠是 ︒； (2)如图2，OE OD 、分别平分AOC ∠和BOC ∠，若30DOC ∠=︒，求EOD ∠的度数． (3) 若OE OD 、分别平分AOC ∠和BOC ∠，()0180DOC αα∠=︒<<︒，则E O D ∠的度数是（直接填空）．24．某社区惠民水果店第一次用970元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的3倍多10千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：(1)惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？(2)惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的4倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为1290元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售． 25．已知一副三角尺，使其直角边BC 与DF 落在数轴上，90ACB EDF ∠=∠=︒．(1)已知数轴上的点M 表示的数为18-，N 点表示的数为6，三角尺如图1摆放，4BC =，6DF =，BC 与DF 都在数轴上，ABC V 从图1的位置以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向移动，同时DEF V 从图1的位置以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向移动，时间记为t 秒，()08t <<①当C 与M 重合，D 与N 重合时，点B 表示的数为________ BF 的长为__________②两三角尺在移动过程中，DM 的长为________（用含t 的代数式表示）当5BF =时，t 的值为________(2)两三角尺如图2摆放，此时C 与D 重合，在平面内将ABC V 绕C 点以每秒20︒的速度沿逆时针方向旋转一周，同时DEF V 绕着C 点以每秒10︒的速度沿着顺时针的方向旋转一周，当30BCE ∠=︒时，两三角尺转动所需时间为____________秒。

辽宁省沈阳市第七中学2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷及参考答案

15. 乐乐去文具店，买了单价为2元的红笔和单价为3元的随意贴，如果买这几样文具一共花了10元，那么她买了____ ____只红笔.
16. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的负半轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点C.若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为________
三、解答题 19. 计算（1）（2） 20. 解方程组： 21. 在平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，-4）、C（1，0）
（1） ①在坐标系中描出各点，并作出△ ； ②请在同一坐标系中作出△ 关于y轴对称的△A1B1C1 ，使点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（2）延长B1C1 ，与线段BA的延长线交于点P，则△B1PB面积=________° 22. 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，试求出玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为多少米？
辽宁省沈阳市第七中学2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1. 下列实数中，属于无理数的是（） A . 0 B . C . 2.0101010（相邻两个0之间有1个1） D . 2. 下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（） A . 1，2，3 B . 2，3，4 C . 1，， D . ，，， 3. 已知是二次根式，则a的值不能是（） A . B . 3.14 C . -2 D . 6 4. 下列等式成立的是（） A . ＝ 1 B . ＝ 2 C . ＝6 D . ＝3 5. 一个正方体的体积为16，那么它的棱长在（）之间 A . 1和2 B . 2和3 C . 3和4 D . 4和5 6. 如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离