高中数学

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手来分析它们之间的关系，则比较抽象，而用列举法来表
示两个集合，则它们之间的关系就一目了然．即A＝{„， －1,1,3,5，„}，而B＝{„，－1,1,3,5„} ∴A与B是同一集合．
第一章
集合与函数概念
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第一章
集合与函数概念
[例1] 下列各组对象：
①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体；
集合与函数概念
(2)集合中的元素必须是互不相同的，由1，－1,1,3组 成的集合为
{1，－1,3}
；若a∈{a2,1}则a＝ 0 .
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(3)若构成两集合的元素是一样的，则称两集合相等 ，
若集合{1,2}与集合{a,1}相等，则a＝ 2 . 4．常见的数集符号：自然数集：N ；正整数集：N＋ ； 整数集： Z ；有理数集： Q ；实数集： R . 5．把集合中的元素一一列举出来．
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⑤
的近似值的全体．
( )
其中能构成集合的组数是 A．2组 C．4组 B．3组 D．5组
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集合与函数概念
[分析] 集合中的元素必须是确定的． [解析] “ “接近于0的数”、“比较小的正整数”标准
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不明确，即元素不确定，所以①、②构不成集合．同样，
的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入 法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数，因此很难判定 一个数，比如1.5，是不是它的近似值，所以⑤也不是一个 集合．③、④能构成集合．∴选A.
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要方法是，在观察任意一个对象时，应该可以确定这一对
象要么属于这一集合，要么它不属于这一集合．
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集合与函数概念
例如：给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是： 太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其它对象都不属 于这个集合．如果说“由接近 3的数组成的集合”这 里“接近 3的数”是没有严格标准、比较模糊的概 念．它不能构成集合．如“好人”、“较大的树”等 都不能成为集合．
①解不等式2x－1＞3得x＞2，所有大于2的实数集在一
起称为这个不等式的解集． ②平面几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集 合． ③自然数的集合0,1,2,3，„„
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④高一(5)班全体同学组成一个集合．
请想一想，集合这个概念应该怎样描述？
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集合与函数概念
一般地，我们把所研究的对象如点、自然数、高一(5) 班的同学统称为 元素 ，把一些 元素 组成的总 体 叫做 集合 ，通常用 大写拉丁字母A、B、C，„ 2．元素与集合的关系用符号 ∈、∉ 表示． 3．集合中元素的性质(或称三要素)： 确定性、互异性、无序性 ．
{x|3x＋2>0} ．
(3)大于1小于5的整数组成的集合为 {x∈Z|1<x<5} ． 2°用列举法表示下列集合： (1)6的正约数组成的集合．________ (2)不等式2x－1＜5的自然数解组成的集合．________
(3)古代我国的四大发明组成的集合．________
(4)A＝{x|0<x≤5且x∈N}．________ (5)B＝{x|x2－5x＋6＝0}．________
并用 列举法
示为
花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做 ，如大于－1且小于10的偶数构成的集合可表 ．
{0,2,4,6,8}
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集合与函数概念
用列举法表示下列集合： (1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为 {－1,1，－4,2} ． (2)方程|x－1|＝3的解集为 {－2,4} ． (3)绝对值小于3的整数的集合为 {－2，－1,0,1,2} ．
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1．1 集
合
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1．1.1 集合的含义与表示
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集合与函数概念
1．我们在初中接触过“正数的集合”、“负数的集合” 等，集合的含义又是什么呢？
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2
3
x4、 x4所组成的集合 M，最多含有元素的个数为( A．3 个 C．6 个 B．4 个 D．7 个
[分析] 本题重在考查元素的互异性，需要结合实数
的性质去思考，尤其是要准确认识根式的意义．
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集合与函数概念
[解析]
由算术根的概念，|x|＝ x2对任意的实数 x 都
2
成立，所以在集合 M 中|x|与 x 只能出现一个，又－ x3＝ －x 也是恒成立的，所以集合 M 中－x 与－ x3也只能出现 一个，又|x|必等于 x 与－x 中的一个，而－ x4＝－|x|，也 必等于 x 与－x 中的一个， 且当 x≠0 时， x≠－x， 一般地 x4 ＝x2≠x，x2≠－x，所以集合 M 中的元素最多时有 3 个，故 选 A. 4 3
2．深刻认识集合中元素的四种属性 (1)任意性：集合中的元素可以是任意的对象，无论是
数、式、点、线、人，还是其它的某种事或物，只要它们
具有某种共同属性，集中在一起就能组成一个集合，我们 把集合的这一性质称为元素的任意性；在中学，我们主要 研究对象是一系列的数的集合或点的集合． (2)确定性：判断一些对象是否可以组成一个集合，主
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据集合中元素的互异性，就已经得到了关于这个集合的几
点信息，即这一集合中有两个不同的元素，其中的一个是 实数1，而另一个一定不是1，所以a≠1，且a≠－1.
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3．正确理解列举法 (1)元素间用分隔号“，”隔开；
(2)元素不重复；
(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有 明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清 楚后才能用省略号． 4．合理选用集合的表示方法
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集合与函数概念
[例3]
值． [解析]
若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的
∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等，∴两集合
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含有相同的元素 即{x，x2}一定含有－1这个元素
由于x2≥0，∴x＝－1.
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[例4] 将下列集合改为用符号语言描述：
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集合与函数概念
本节重点：集合的概念，集合中元素的三个特性及集 合的表示方法．
本节难点：集合中元素的性质的理解．
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集合与函数概念
正确理解概念，准确使用符号，熟练进行集合不同表 示方法的转换是学好本节的关键．
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合条件“p(x)”时，x才是该集合中的元素，此法具有抽象
概括、普遍性的特点，当元素个数较多时，一般选用此 法．
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集合与函数概念
1°试用描述法表示下列集合： (1)方程x2－3x＋2＝0的解集为 {x|x2－3x＋2＝0} ．
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(2)不等式3x＋2>0的解集为
1．要辩证理解集合和元素这两个概念：
(1)符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的，不能用 来表示集合之间的关系．元素与集合之间是个体与整体的 关系，不存在大小与相等关系． (2)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象
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都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
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集合与函数概念
(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)等．(2)元
素具有怎样的属性？ 用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可 选用联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素 记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值
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范围．
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6．特别注意以下几种集合，这是我们研究集合时的主 要研究对象．
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3
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集合与函数概念
若x∈{1,3，x3}，则有
(
)
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A．x＝0或x＝－1
B．x＝－1或x＝3 C．x＝0或x＝－1或x＝3 D．x＝0或x＝3 [答案] C
[解析] ∵x∈{1,3，x3} ∴x＝1或3或x3
当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3， ∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C.
(3){(x，y)|xy＞0}；
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[点评]
大有裨益.
要重视同一数学对象的不同形态语言的表达
方法及互译练习(如，普通语言符号语言)，这对今后学习
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集合与函数概念
[例5] 用适当的方法表示下列集合：
(1)24的正约数组成的集合； (2)大于3小于10的整数组成的集合； (3)方程x2＋ax＋b＝0的解集； (4)平面直角坐标系中第二象限的点集； 首先搞清楚集合的元素是什么，然后选用适
(1)非负奇数集 (2)能被3整除的整数的集合 (3)第一象限和第三象限内的点的集合 (4)一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2的图象交点的集
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合．
[分析] 从集合中元素(数或点)所满足的条件、具有的 属性入手，联想有关的数学表达形式．
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[解析] (1){x|x＝2k－1，k∈N*}； (2){n|n＝3k，k∈Z}；