(整理)高中数学专题训练

导数知识点考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景 （2）理解导数的几何意义 （3）掌握函数的导数公式（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．知识要点)(x f y =1.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-2． 导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 3.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间可导， 如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数； 如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.4. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.5. 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.6. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-=II. x x 1)(ln '=e xx a a log 1)(log '=x x e e =')( a a a x x ln )('=1、(卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)2.（全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）（A ）2（B ）3 （C ）4 （D ）53. （卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 4．()已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数(f x 函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( C ）5.()函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )(A)18 (B)41 (C) 21(D)1 6. (卷)曲线y =x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为______8/3____。

7.（卷）（14）曲线31y x x =++在点（1,3）处的切线方程是41y x =- 8. ( 全国卷III )曲线32y x x=-在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0D9. （卷）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e )； ，切线的斜率为e ．高中数学专题训练—二次函数与幂函数一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－ba <0，不符合，∴选C.3．函数y ＝x α(x ≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A ．α<－1B ．－1<α<0C ．0<α<1D ．α>1 答案 C解析 类比函数y ＝x 12即可．4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定答案 C解析∵f(4)＝f(1)∴对称轴为52，∴f(2)＝f(3)．5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值围是()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．[1,2] D．(－∞，2]答案 C解析由函数的单调性和对称轴知，1≤m≤2，选C.6．(2010·卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是() 答案 D解析若a＞0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－b2a＞0，函数f(x)的图象与y轴的交点(c,0)在x轴下方．故选D.7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则() A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案 B解析解法1：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，∵x1＋x22＝1－a2∈(－1，12)，又对称轴x＝－1，∴AB中点在对称轴右侧．∴f(x1)<f(x2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f(x1)－f(x2)＝(ax21＋2ax1＋4)－(ax22＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(3－a)又0<a<3，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故选B.二、填空题8．已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y 取最小值，则a的围是________．解析 由题意知⎩⎨⎧－a ≤0－1≤a ≤1∴0≤a ≤19．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10．(2010·调研)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________.答案 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0∴f (x )有最大值，最大值为c －b24a ＝－3.12．已知幂函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a ＝________.答案 313．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值围是________．答案 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知⎩⎨⎧f (1)<0f (2)>0⇒2<m <52.三、解答题14．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72， ∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减． 15．(2011·省实验中学)已知对于任意实数x ，二次函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋12(a ∈R )的值都是非负的，求函数g (a )＝(a ＋1)(|a －1|＋2)的值域．答案 [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a ≤2.①当－32≤a <1时，g (a )＝(a ＋1)(－a ＋3)＝－a 2＋2a ＋3＝－(a －1)2＋4， ∴由二次函数图象可知， －94≤g (a )<4.②当1≤a ≤2时，g (a )＝(a ＋1)2， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝4； 当a ＝2时，g (a )max ＝9； ∴4≤g (a )≤9.综上所述，g (a )的值域为[－94，9]．1．若函数f (x )＝log 12(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞) 答案 D解析 f (x )的减区间为(5，＋∞)，若f (x )在(a ，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.2．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列图象之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52答案 B解析 ∵b >0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a >0，∴a <0. 故应是第3个图形．∵过原点，∴a 2－1＝0.结合a <0.∴a ＝－1. 3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则|OA |·|OB |等于( ) A.c a B ．－c aC ．±c a D ．无法确定 答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－ca (∵a <0，c >0)．4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析 函数在[1，＋∞)上单增∴b ＝b 2－2b ＋2解之得：b ＝2或1(舍)．5．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值围是( ) A ．0≤a ≤1 B ．0≤a ≤2 C ．－2≤a ≤0 D ．－1≤a ≤0 答案 D解析 f (x )＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2 若f (x ) 在[0,1]上最大值是a 2，则0≤－a ≤1，即－1≤a ≤0，故选D.1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝________.答案x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b ＝2x∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是()A．减函数B．增函数C．常函数D．可能是减函数，也可能是常函数答案 D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b答案 A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.4．设f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则()A．f(1)＞c＞f(－1)B．f(1)＜c＜f(－1)C．f(1)＞f(－1)＞c D．f(1)＜f(－1)＜c答案 B解析由f(－1)＝f(3)得－b2＝－1＋32＝1，所以b＝－2，则f(x)＝x2＋bx＋c在区间(－1,1)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．5．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值围是()A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1答案 A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f (t )＝t 2＋(a －1)t ＋1 则f (0)＝1>0(1)当－a －12≤0即a ≥1时恒成立(2)当－a －12>0即a <1时．由Δ＝(a －1)2－4≤0 得－1≤a ≤3 ∴－1≤a <1 综上：a ≥－1.6．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________．答案 c解析 ∵f (x 2)＝f (x 1)，∴x 2＋x 1＝－b a ，∴f (x 1＋x 2)＝f (－ba )＝c .高中数学专题训练—变化率与导数一、选择题1．若f ′(x 0)＝a ≠0，则li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝( )A ．aB ．－a C.1a D ．－1a 答案 A 2．(2010·调研)已知函数f (x )＝－cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．sin1－1 B ．1－sin1C ．1＋sin1D ．－1－sin1 答案 C解析 ∵f (x )＝－cos x ＋ln x ，∴f ′(x )＝1x ＋sin x ，∴f ′(1)＝1＋sin1.3．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 答案 B解析 切线方程为y ＝－2x ＋1，∴f ′(x 0)＝－2<0 4．(2010·新课标全国)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2 答案 A解析 由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得在点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.5．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数 答案 C6．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( ) A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 答案 A解析 求导得y ′＝－12x －32(x >0)，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝－12a －32，由点斜式得切线l 的方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.7．(2010·卷)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π) 答案 D解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x (1＋e x )2＝－4e x ＋1e x ＋2，因为e x ＞0，所以由均值不等式得k ≥－42e x ×1e x ＋2，又k ＜0，∴－1≤k ＜0，即－1≤tan α＜0，所以3π4≤α＜π.8．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 答案 B解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图象∵由图象知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0.∴a2－1＝0，a<0 ∴a＝－1∴y＝f(x)＝13x3－x2＋1∴f(－1)＝－13选B.二、填空题9．曲线y＝tan x在x＝－π4处的切线方程为______答案y＝2x＋π2－1解析y′＝(sin xcos x)′＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x，所以在x＝－π4处的斜率为2，曲线y＝tan x在x＝－π4处的切线方程为y＝2x＋π2－1.10．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.答案－2解析由题意，得f′(x)＝2x＋3f′(2)∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.11．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案3x－y－11＝0解析y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1时y＝－14∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)即3x－y－11＝012．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝______ 答案 3解析在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，∴点M在y＝12x＋2上．∴f(1)＝12·1＋2＝52.f′(1)＝12，∴f(1)＋f′(1)＝3.13．(09·)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．答案 4解析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.三、解答题14．(2011·统考)点P是曲线x2－y－2ln x＝0上任意一点，求点P到直线y ＝x－2的最短距离．答案 2解析y＝x2－2ln x＝x2－ln x(x>0)，y′＝2x－1x，令y′＝1，即2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y＝x，其到直线y＝x－2的距离2即为所求．15．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．答案y＝－14x，(32，－38)解析∵直线过原点，则k＝y0x0(x0≠0)．由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝x30－3x20＋2x0，∴y0x0＝x2－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.∴x20－3x0＋2＝3x20－6x0＋2.整理得2x20－3x0＝0.解得x0＝32(x0≠0)．这时，y0＝－38，k＝－14.因此，直线l的方程为y＝－14x，切点坐标是(32，－38)．1．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2011(x)＝()A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x答案 D解析f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4.∴f2011(x)＝f3(x)＝－cos x.2．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为()A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20切线方程为：y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)∵P(2,2)在切线上∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)即x 30－3x 20＋2＝0(x 0－1)(x 20－2x 0－2)＝0 由x 0－1＝0得x 0＝1由x 20－2x 0－2＝0得x 0＝1±3.∵有三个切点，∴由P 向S 作切线可以作3条．3．(09·)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值围是________．答案 [2，2]解析 ∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)．∵θ∈[0，5π12]，∴θ＋π3∈[π3，3π4]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]．4．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则二切线之间距离为________．答案 1627 2解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2xy ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1得x 1＝1或x 2＝－13∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0d ＝|1＋527|2＝162275．(2010·卷，文)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R )． 当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．解析 当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2， 即x －y ＋ln 2＝0.1．(2011·海淀区)设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为________．答案 0解析 由题意得f ′(5)＝lim Δx →0f (5＋Δx )－f (5)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝f ′(0)，且f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝－lim －Δx →0 f (0－Δx )－f (0)－Δx＝－f ′(0)，f ′(0)＝0， 因此f ′(5)＝0.高中数学专题训练—函数的单调性和最值一、选择题1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先减后增 D ．先增后减 答案 C解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 答案 A解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A.3．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3 答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1|C ．y ＝ln 2－x2＋xD ．y ＝e x ＋e －x答案 D5．函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞) 答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3) ∴y ＝log a 5>0，∴a >1由复合函数单调性知单减区间须满足⎩⎨⎧x 2＋2x －3>0x <－1，解之得x <－3.6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是( )A ．f (－5)>f (3)B ．f (－5)<f (3)C ．f (－3)>f (－5)D ．f (－3)<f (－5) 答案 C解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.7．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是( )A ．(3,8)B ．(－7，－2)C ．(－2，－3)D ．(0,5) 答案 B解析 令－2<x ＋5<3，得：－7<x <－2.8．(09·)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，故选C.9．(2010·卷)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 答案 B解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.二、填空题10．给出下列命题①y ＝1x 在定义域为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________． 答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立． 11．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞) 解析 函数图象如图12．函数f (x )＝－x 2＋|x |的递减区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 数形结合13．在给出的下列4个条件中， ①⎩⎨⎧ 0<a <1x ∈(－∞，0) ②⎩⎨⎧ 0<a <1x ∈(0，＋∞) ③⎩⎨⎧ a >1a ∈(－∞，0) ④⎩⎨⎧a >1x ∈(0，＋∞)能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________． (把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．14．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.(2010·)若函数h(x)＝2x－kx＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值围是________．答案[－2，＋∞)解析由h′(x)＝2＋kx2≥0，得k≥－2x2，由于－2x2在[1，＋∞)的最大值为－2，于是，实数k的取值围是[－2，＋∞)．三、解答题15．(2011·调研)已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)单调递减，求a的取值围．答案(1)略(2)0<a≤1解析(1)证明任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2)(x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)单调递增．(2)解任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述知0<a≤1.16．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.答案(1)略(2){m|－1<m<4 3}解(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1. f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴原不等式可化为f(3m2－m－2)<f(2)，∵f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2<2，解得－1<m<4 3，故m的解集为{m|－1<m<4 3}．1．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1) 答案 A解析 由已知易得⎩⎨⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数 答案 A解析 当x <0时，－x >0，－(2x ＋1x )＝(－2x )＋(－1x )≥2(－2x )·(－1x )＝22，即2x ＋1x ≤－22，2x ＋1x －1≤－22－1，即f (x )≤－22－1，当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，此时函数f (x )有最大值，选A.3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)<f (1)的实数x 的取值围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得：|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C.4．函数f (x )＝x 2x －1(x ∈R 且x ≠1)的单调增区间是________．答案 (－∞，0)和(2，＋∞)解析 将原函数y ＝x 2x －1变形为y ＝(x －1)＋1x －1＋2显然x －1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)取值时，函数单调递增，即得x 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)取值时，函数单调递增．5．(2011·)函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2＋1，x ≥0(a 2－1)e ax ，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值围是________．答案 (－∞，－ 2 ]∪(1， 2 ]解析 因为f (x )为单调函数，若a >0，则当x ≥0时，f (x )＝ax 2＋1是单调递增函数，故当x <0时，f (x )也是单调递增函数，又a >0时，e ax 为单调递增函数，所以a 2－1>0，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调，故还应满足(a 2－1)·e 0≤a ×02＋1，即需满足⎩⎨⎧a >0a 2－1>0⇒1<a ≤2a 2－1≤1同理，当a <0时，满足⎩⎨⎧a <0a 2－1>0⇒a ≤－2.a 2－1≥1综上得1<a ≤2或a ≤－ 2.。