大学物理第7章 波动

例1：如图所示为一平面简谐波在t=0时的波形图，则波动方程为
Answer: A
例2. 有一横波沿弦线传播，其方程为 y 0.3cos 0.5x 50t 。 式中 y、x 的单位是 m， t 的单位是 s 。试求：（1）波的振幅、
波长、频率、周期及波速；（2）弦线中任一质点的最大振动 速度；（3） x 2m 处质点的初相。
平面波的传播
球面波的传播
波动绕过障碍物传播的现象，称为波的衍射或波的绕射。 衍射是波动的基本特性。 对于一定的狭缝，波长越长， 衍射现象越显著。 对于一定的波长，缝的宽度 a越小，衍射现象越显著。衍射 程度取决于缝宽a与波长 之比。
a 衍射现象不明显 a ~ 可以看到衍射现象 a 衍射现象十分明显
解:
（ ）把波函数改写为 1 x y 0.3 cos 0.5 x 50t 0.3 cos 2 25t 4 1 1 A 0.3m, 4m, 25s , T 0.04s,
u 25 4 100 m s
课堂练习
已知t=T/4时刻的波形图，且波沿x轴正方向传播，
Y
u
o
X
1
2 3 t=0
t=T/4
求：
o点的初相 1 点的初相 2点的初相 3点的初相
0 1 2 3
解：o点在t T / 4时刻过平衡位置向y轴正向运动， 其相位为3 / 2，即 T / 4 0 3 / 2 0
dV

u
4、平均能量密度w
1 T 1 x 2 2 2 w A sin t dt 2 A2 T 0 2 u
5、理解动能与势能同相变化
Y
E C’ A D A’ B’ C
u
o
X
B
以横波为例，考察某时刻波形图上的许多质元，位移最大处
的质元C,C’由于dy/dx=0,没有形变，波动势能最小（为0）；而位 移为0处的质元A,A’，dy/dx最大，形变最大，波动势能最大。

2 )
3、由波形曲线及传播方向判断波形图上各质点振动速 度方向
Y
u
t+dt时刻 t时刻 Y
X
u
V<0
V<0
t+dt时刻 t时刻
X
o
V>0
o
V>0
沿x轴正向传播的波，曲线上 升段各质点速度为负，曲线 下降段各质点速度为正
沿x轴负向传播的波，曲线上 升段各质点速度为正，曲线 下降段各质点速度为负
2
1 Ys 2 1 dy dE p dy Ys dx 2 dx 2 dx
y A x 而 sin t x u u
Y
且 u

1 2 A2 2 x 1 x 2 2 2 dE p Ys 2 sin t dx dV A sin t 2 2 u u u x 2 2 2 dE dEk dE p dV A sin t u
o
x
P
X
p点相位超前o点，超前量
x

2
则p点振动方程（波函数）为： 2 y A cos(t x )
2、已知x0点振动方程，求波函数
Y
u
o
x
x0
P
X
x0 :
y0 A cos( t )
p点相位超前x0 x x0

2
则波动函数为： y A cos( t x x0
比较两个二阶偏导数方 程，得波动方程为
2 y 1 2 y 2 2 0 2 x u t
以沿直杆传播的纵波为例讨论
体元 dV Sdx
其质量 dm dV
A A
B
B
x 设一平面波 y A cos t u 则dV速率 v y x A sin t t u
对于某一时刻 t, 各质点位移情况由y-x曲线表示， 我们称之为波形曲线 横波：波峰，波谷
纵波：疏区，密区
波传播特点：波线上各质点依次重复波源的振动； 各质点振动相位沿传播方向依次滞后（落后）
波面：振动相位相同的质点联结起来所构成的同相面。
（b）
（a）
（c）
1、振动速度 v ：质点位移随时间的变化率。

x1
x2 x1

2 ) (t
2 2
x2


2 )


x
x称为波程差
即相位差
2

波程差
2. 已知波线上一点x0的振动方程，求波函数
y
u
参考点x0 : y0 A cos( t )
x x
x0
X点相位滞后 波程差 相位差
2 )
y1
A A B
y2
B
dV的动能为 dEk
1 dmv 2 1 dV 2 A2 sin 2 t x 2 2 u
dV的纵向伸长量 dy y2 y1
f 由于 Y s
dy ; f kdy dx
1 dV的弹性势能 dE p kdy2 2 f Ys k dy dx
y A cos( t
x x0
x x0 2 ( x x0 )

对x0 0及x x0同样适用
问题：x=0点的初位相为多少？
x0


2
x点的初相是多少
1、已知坐标原点O的振动方程，求波函数
任设O点的振动为： y0 A cost Y u
某质元由C点运动到D点的过程中，有能量从左传来，再由
D点运动到E点的过程中，将能量输送给右边质元
Y X o
y A B
势能曲线
X
1、平均能流：单位时间内垂直通过S面的平均能量。
u
S
u
1 P w uS 2 A2uS 2
2、能流密度（波的强度）：单位面积上通过的平均能流。
P 1 I 2 A2u w u S 2
第七章 机械波
波的传播方向称为波线 1、横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。
只能存在于有剪切应力的介质中。（固体、稠液体）
振动方向
传播方向（波线）
2、纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。
存在于固体、液体、气体各种媒质中。
振动方向 传播方向（波线）
在波线上任取一点为坐标原点，沿（逆）波 线方向建立坐标轴 x: 表示波线上各质点的平衡位置 y： 表示各质点离开平衡位置的位移
y是时间 t及空间位置 x的函数，反映了任一点 在任时刻的 振动情况，称为波函数。
问题：
x点的初位相为多少？
x1 （ ）当 x x1为定值时， y A cost 2 1 此方程即为定点 P点（x x1）处的振动方程，且可 知P点 x1 的振动比 O点的振动在相位上落后 了 2 x y （2）当 t t1为定值时， A cost1 2 此方程反映在某一时刻 t t1时，不同质点相对平衡 位置的 分布情况。即某一时刻 的波形图。
可见：波的能量是沿波线并以波速u而流动的。
假设t时刻波动传至波面AA上
各点A1、A2、A3 ，每一点都可看作是
一个新的波源（子波源），由子波源
发射出新的波动（子波）。经t时间,
子波均向前传播了r ut的距离。取 这些子波的包面BB，就是原来的波动 在t t时刻的新波面。
不足: 只能定性地说明。
u

为媒质的容变模量。 为媒质密度。
波长 ：同一时刻沿波线相位差为2 的两质点间的距离。

uT
u



为单位时间内波传播的距离内所包含的波长的个数。 即为波源的振动频率。
波函数描写波线上所有质点的振动方程
y
p0 x
x0
源 波 源 点：波源所在位置（有时不重要） 原
完全由波源的振动规律决定。
2、振动状态的传播速度——波速 u ：(也是相位传播速度）
由媒质的性质和状态决定。
固体中横波波速
u
G
G为媒质的剪切模量。
为媒质密度。
固体中纵波波速
u
Y
Y为媒质的扬氏模量。

为媒质密度。
沿紧张弦传播的横波波速
u
T
T为弦的张力。 为弦的质量线密度。
气体、液体中的纵波波速
u
点： 坐标选择，坐标轴一定要与波的方向一致或反向）
参考点x0: 已知振动方式的点
(u方向与x轴正方向一致)
平面简谐波：在均匀无吸收介质中传播的平面波，波源作谐振动。 1、已知坐标原点O的振动方程，求波函数
波源在O点，其振动 方程为： y0 A cost
Y
u
P
X
o
x
求任一点P点的振动
2 T
相位滞后式 时间滞后式
2、波形沿 - x方向传播的波函数
(x点振动滞后O点振动，滞后时间x/u) 时间周期T,空间周期 表达式 （对称美）
A cos2 t x x y A cos t u t x A cos2 T
P点振幅与o点相同，P点相位滞后于O点。在O点到P点范围内 共有 x x

个波，每个波相位滞后2，则P点滞后于O点的位相为

2 , 则
O点相位
t
P点相位
t
x 2 )
x
所以P点振动方程为：
y A cos(t