大学物理学振动与波动习题问题详解

大学物理学（上）第四，第五章习题答案第4章振动P174．4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t= T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T= π．当t = 0时，x = 0.06m，所以cosφ = 0.5，因此φ= ±π/3．物体的速度为v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)．当t = 0时，v = -ωA sinφ，由于v > 0，所以sinφ < 0，因此φ = -π/3．简谐振动的表达式为x= 0.12cos(πt –π/3)．（2）当t = T/4时物体的位置为x= 0.12cos(π/2–π/3)= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)．速度为v = -πA sin(π/2–π/3)= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．加速度为a = d v/d t = -ω2A cos(ωt + φ)= -π2A cos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m 时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5，因此πt1 - π/3 = ±2π/3．由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0，可得πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 > 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2，可得t2 = 11/6 = 1.83(s)．所需要的时间为Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x= 0.06m，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得πt - π/3 = π/2，解得t = 5/6 = 0.83(s)．[注意]根据振动方程x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π），初位相的取值由速度决定．由于v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωA sinφ，当v > 0时，sinφ < 0，因此φ = -arccos(x0/A)；当v < 0时，sinφ > 0，因此φ = arccos(x0/A)．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ= π．4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图．[解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x = A cosΦ，其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．由于x a = A，所以cosΦa = 1，因此Φa = 0．由于x b = A/2，所以cosΦb = 0.5，因此Φb = ±π/3；由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此Φb = π/3．由于x c = 0，所以cosΦc = 0，又由于c点位相大于b位相，因此Φc = π/2．同理可得其他两点位相为Φd = 2π/3，Φe = π．c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O 时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为t a = T/6．到达b点的时刻为t b = 2t a = T/3．到达c点的时刻为t c = t a + T/4 = 5T/12．到达d点的时刻为t d = t c + T/12 = T/2．到达e点的时刻为t e = t a + T/2 = 2T/3．（2）设振动表达式为x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，x = A/2时，所以cosφ = 0.5，因此φ =±π/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ = -π/3，因此振动表达式为cos(2)3tx ATπ=π-．另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．（3）如图旋转矢量图所示．方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于x f= 0，根据运动方程，可得cos(2)03tTππ-=所以232ftTπππ-=±．显然f点的速度大于零，所以取负值，解得图6.2t f = -T /12．从f 点到达a 点经过的时间为T /4，所以到达a 点的时刻为t a = T /4 + t f = T /6，其位相为203a a t T Φπ=π-=．由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．4．3如图所示，质量为10g 的子弹以速度v = 103m·s -1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数k= 8×103N·m -1，木块的质量为4.99kg ，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅； （2）振动方程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即mv = (m + M )v 0．解得子弹射入后的速度为v 0 = mv/(m + M ) = 2(m·s -1)，这也是它们振动的初速度．子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得(m + M ) v 02/2 = kA 2/2，所以振幅为A v =10-2(m)． （2）振动的圆频率为ω=s -1)．取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x 的正方向，振动方程可设为x = A cos(ωt + φ)．当t = 0时，x = 0，可得φ = ±π/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)． 4．4 如图所示，在倔强系数为k 的弹簧下，挂一质量为M 的托盘．质量为m 的物体由距盘底高h 处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．[解答]物体落下后、碰撞前的速度为v =物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为0m v v m M ==+这也是它们振动的初速度． 设振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中圆频率为ω=物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x 1，则x 1 = Mg/k ．物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x 2，则x 2 = (M + m )g/k ．取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x 0 = x 1 - x 2 = -mg/k ． 因此振幅为A ===图4.3图4.4初位相为00arctanv x ϕω-==4．5重量为P 的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．[解答]（1）可以证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k = k 1k 2/(k 1 + k 2)，因此固有频率为2πων===．（2）因为当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为2πων===4．6 一匀质细圆环质量为m ，半径为R ，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面作小幅度摆动，求摆动的周期．[解答]方法一：用转动定理．通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为 I c = mR 2． 根据平行轴定理，环绕过O 点的平行轴的转动惯量为I = I c + mR 2 = 2mR 2．当环偏离平衡位置时，重力的力矩为M = -mgR sin θ，方向与角度θ增加的方向相反．根据转动定理得Iβ = M ，即 22d sin 0d I mgR tθθ+=，由于环做小幅度摆动，所以sin θ≈θ，可得微分方程22d 0d mgRt Iθθ+=． 摆动的圆频率为ω=周期为2πT ω=22==方法二：用机械能守恒定律．取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度θ时，重力势能为E p = mg (R - R cos θ)， 绕O 点的转动动能为212k E I =ω， 总机械能为21(cos )2E I mg R R =+-ωθ． 环在转动时机械能守恒，即E 为常量，将上式对时间求导，利用ω = d θ/d t ，β = d ω/d t ，得0 = Iωβ + mgR (sin θ) ω，由于ω ≠ 0，当θ很小有sin θ≈θ，可得振动的微分方程22d 0d mgRt Iθθ+=， 从而可求角频率和周期．[注意]角速度和圆频率使用同一字母ω，不要将两者混淆．4.7 横截面均匀的光滑的U 型管中有适量液体如图所示，液体的总(b)图4.5yy长度为L ，求液面上下微小起伏的自由振动的频率。

解：建立竖直坐标如图，令微小振动中，两臂水银面相平时，水银面坐标为0，水银的重力势能为0，则以右臂水银面的坐标为准，在振动中任一时刻，水银的运动速度t y d d =υ．这时振动中水银的动能为221v m ，水银的势能（看作两水银面相平的状态下，从右臂移高度为y 的一段水银柱到左臂，则有质量为S ρy 的水银升高了高度y ）为S ρgy 2．因振动中机械能守恒=+2221gy S m ρυ常量 对t 求导数可得02d d v=+υρυgy S tm 化简 02d d 22=+gy S ty m ρ 这就是简谐振动的微分方程． 由此可得振动角频率 mgS ρω2= L gL S g S 22==ρρω 4．8 质量为10×10-3kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3x t π=π+的规律作振动，式中t 以秒(s)计，x 以米(m)计．求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值； （3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能； （4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t 为1，2，10s 等各时刻的矢量位置． [解答]（1）比较简谐振动的标准方程 x = A cos(ωt + φ)， 可知：圆频率为 ω =8π，周期T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，振幅为A = 0.1(m)，位相为φ = 2π/3．（2）速度的最大值为v m = ωA = 0.8π = 2.51(m·s -1)；加速度的最大值为 a m = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s -2)． （3）弹簧的倔强系数为 k = mω2， 最大回复力为 f = kA = mω2A = 0.632(N)； 振动能量为E = kA 2/2 = mω2A 2/2 = 3.16×10-2(J)，平均动能和平均势能为 k p E E == kA 2/4 = mω2A 2/4 = 1.58×10-2(J)．（4）如图所示，当t 为1，2，10s 等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．4．9 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m =1.68×10-27kg ，振动频率v = 1.0×1014Hz ，振幅A = 1.0×10-11m ．试计算：（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量．[解答]（1）氢原子的圆频率为ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s -1)， 最大速度为v m = ωA = 6.28×103(m·s -1)． （2）氢原子的能量为 212m E mv == 3.32×10-20(J)． 4．10 质量为0.25kg 的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k =25N·m -1，如果开始振动时具有势能0.6J ，和动能0.2J ，求：（1）振幅；（2）位移多大时，动能恰等于势能？ （3）经过平衡位置时的速度． [解答]物体的总能量为E = E k + E p = 0.8(J)． （1）根据能量公式E = kA 2/2，得振幅为A =．（2）当动能等于势能时，即E k = E p ，由于E = E k + E p ，可得E = 2E p ， 即 2211222kA kx =⨯， 解得/2x == ±0.179(m)．（3）再根据能量公式 E = mv m 2/2，得物体经过平衡位置的速度为m v == ±2.53(m·s -1)．4.11 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．[解答]设它们的振动方程为x = A cos(ωt + φ)，当x = A /2时，可得位相为ωt + φ = ±π/3．由于它们在相遇时反相，可取Φ1 = (ωt + φ)1 = -π/3， Φ2 = (ωt + φ)2 = π/3，它们的相差为ΔΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3， 或者ΔΦ` =2π –ΔΦ = 4π/3．矢量图如图所示．4．12两个频率和振幅都相同的简谐振动的x-t 曲线如图所示，求：（1）两个简谐振动的位相差；（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程．[解答]（1）两个简谐振动的振幅为A = 5(cm)，周期为T = 4(s)，圆频率为ω =2π/T = π/2，它们的振动方程分别为x 1 = A cos ωt = 5cosπt /2，x 2 = A sin ωt = 5sinπt /2 = 5cos(π/2 - πt /2) 即 x 2 = 5cos(πt /2 - π/2)． 位相差为Δφ = φ2 - φ1 = -π/2．（2）由于x = x 1 + x 2 = 5cosπt /2 + 5sinπt /2= 5(cosπt /2·cosπ/4 + 5sinπt /2·sinπ/4)/sinπ/4 合振动方程为cos()24x t ππ=-(cm)．4．13已知两个同方向简谐振动如下：130.05cos(10)5x t =+π，210.06cos(10)5x t =+π．（1）求它们的合成振动的振幅和初位相；（2）另有一同方向简谐振动x 3 = 0.07cos(10t +φ)，问φ为何值时，x 1 + x 3的振幅为最大？φ为何值时，x 2 + x 3的振幅为最小？（3）用旋转矢量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果．x 以米计，t 以秒计．[解答]（1）根据公式，合振动的振幅为A == 8.92×10-2(m)．初位相为11221122sin sin arctancos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+= 68.22°．（2）要使x 1 + x 3的振幅最大，则cos(φ – φ1) = 1，因此φ – φ1 = 0，所以φ = φ1 = 0.6π．要使x 2 + x 3的振幅最小，则cos(φ – φ2) = -1， 因此φ – φ2 = π，所以φ = π + φ2 = 1.2π．（3）如图所示．44．14 三个同方向、同频率的简谐振动为10.08cos(314)6x t π=+，20.08cos(314)2x t π=+，350.08cos(314)6x t π=+．求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；（2）合振动由初始位置运动到x A =所需最短时间（A 为合振动振幅）．[解答] 合振动的圆频率与各分振动的圆频率相同ω = 314 = 100π(rad·s -1)．各分振动的振幅为A 1 = A 2 = A 3 =0.08m ，初相为φ1 =π/6、φ2 =π/2、φ3 =5π/6．根据振动合成公式可得A x = A 1cos φ1 + A 2cos φ2 + A 3cos φ3 = 0， A y = A 1sin φ1 + A 2sin φ2 + A 3sin φ3 = 2A 1 = 0.16(m)， 合振幅为A =，初位相为φ = arctan(A y /A x ) = π/2． 合振动的方程为x = 0.16cos(100πt + π/2)．（2）当/2x =时，可得cos(100/2)2t π+π=，解得100πt + π/2 = π/4或7π/4．由于t > 0，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = 0.0125s ．4．15 将频率为384Hz 的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz ，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率．[解答]标准音叉的频率为 v 0 = 384(Hz)，拍频为Δv = 3.0(Hz)．如果待测音叉的固有频率v 2比标准音叉的频率大，则得Δv = v 2 - v 0， 可能的频率是v 2 = v 0 + Δv = 387(Hz)．如果待测音叉的固有频率v 1比标准标准音叉的频率小，则得Δv = v 0 – v 1，可能的频率是v 1 = v 0 - Δv = 381(Hz)．在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于ω2 = k/m ，可知其频率将减小．如果待测音叉的固有频率为v 1，加一小块物体后，其频率v`1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率v 2，即387Hz ．4．16 示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用．电子在两个方向上的位移分别为x = A cos ωt 和y = A cos(ωt +φ)．求在φ = 0，φ = 30º，及φ = 90º这三种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程．[解答]根据公式2222212122cos sin x y xy A A A A ϕϕ+-∆=∆， 其中Δφ = φ2 – φ1 = -π/2，而φ1 = 0，φ2 = φ．（1）当Δφ = φ = 0时，可得2222220x y xyA A A+-=， 质点运动的轨道方程为 y = x ，轨迹是一条直线． （2）当Δφ = φ = 30º时，可得质点的轨道方程222214x y A A +=， 即222/4x y A +=，轨迹是倾斜的椭圆．（3）当Δφ = φ = 90º时，可得22221x y A A+=， 即 x 2 + y 2 = A 2， 质点运动的轨迹为圆．4．17 质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动：0.08cos()36x t ππ=+，0.06cos()33y t ππ=-．式中x 和y 以米(m)计，t 以秒(s)计．（1）求运动的轨道方程； （2）画出合成振动的轨迹；（3）求质点在任一位置所受的力． [解答]（1）根据公式2222212122cos sin x y xy A A A A ϕϕ+-∆=∆， 其中位相差为Δφ = φ2 – φ1 = -π/2， 所以质点运动的轨道方程为222210.080.06x y +=． （2）合振动的轨迹是椭圆．（3）两个振动的圆频率是相同的ω = π/3，质点在x 方向所受的力为22d d x x xF ma m t==2π0.08cos()6m t ωω=-+，即 F x = 0.035cos(πt /3 + π/6)(N)． 在y 方向所受的力为22d d y y yF ma m t ==2π0.06cos()3m t ωω=--，即 F y = 0.026cos(πt /3 - π/3)(N)．用矢量表示就是i+j x y F F F =r r r，其大小为F =，与x 轴的夹角为θ = arctan(F y /F x )．4．18 楼空调用的鼓风机如果安装在楼板上，它工作时就会使整个楼产生讨厌的震动。