分段函数在分段点处的导数的求法
分段函数分段点可导性的一个定理及应用_姜海勤
分段函数分段点可导性的一个定理及应用姜海勤,曹瑞成(扬州职业大学,江苏扬州 225009)摘 要:给出分段函数分段点导数存在的一个充要条件:函数在该点连续,导函数在该点左、右极限存在且相等。
并由此得到在分段点导数不存在的一个充分条件以及三种特例分段函数分段点导数存在的充分条件。
举例说明该定理的应用,并指出利用该定理求分段函数分段点导数时的几点注意:函数在该点连续是可导的必要条件,导函数在该点左、右极限存在且相等是充分条件。
关键词:分段函数;可导性;单侧极限中图分类号:O 174文献标识码:A文章编号:1008-3693(2008)02-0042-03A Theore m ofDerivable P iece w ise Functi onSeparation and Its ApplicationJI A NG H a i qin ,CAO Ru i cheng(Y angzhou Po l y technic Co llege ,Y angzhou 225009,Ch i na)Abst ract :In th i s artic le ,a suffic ient and necessary cond ition underw hich the derivative o f piece w ise functionseparati o n ex ists is g i v en:the functi o n at this po i n t is conti n uous ,and the derivative ex ists at the l e ft and righ t li m its and is equa.l As a resu l,t a sufficient condition of non-ex istence o f p i e ce w ise po i n t and the one of ex istence of piece w ise deri v ati v e of three spec ial cases piece w ise function are obtai n ed here .And the app li c ation of this theore m is ill u strated through exa m p les .M eanw hile ,its 'po inted out that attention shou l d be paid to the solution to the separati o n derivative o f piece w ise f u nction w ith this theore m.K ey w ords :piece w ise f u ncti o n;derivability ;unilatera l li m its分段函数在经济、管理及电子技术[1]等方面有较大的应用。
浅析分段函数的求导
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２ 分析 ： ） 静态单链表不仅解决了某些高级语言没有提
嘲
ｎ
ｘ— ０ 一 ） ＋…］＝０ 。 １
３ 典型应用举例
ｆ ｘ）＝ 。 ｌ （） ｌ ｆ ｘ， 厂 ） ０ 可导 。 （ ｏ Ａ若 ｉ ｘ ≠ ｉ （） （ 在Ｘ处不 ｍｆ ａ ｒ 则＿
—
， 坷
注： 定理中的条件是充分而非必要的。即若 ｌ 厂（） ｊ ｍ
例讨 ） ｛ ≠在 ＝处 导 。 例讨．） 』 … ０ ：处 可 性 １论（ ： 厂＝ ０的
ｉ ｘ 不存在， ｍｆ（） 则不能断定， ） 。 （ 在 处是否可导。 此 高等数学中初等函数通常定义为： 由常数和基本初等 或 ｌ 函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构 时要用 ２ ）中的方法来解 。 成并可用一个式子表示的函数 ， 称为初等函数。而分段函 证明： Ｖ （， ） ） ｘ 。 上连续， ‰） 对 ｏ 。Ａｘ 在Ｉ， ］ 在（， 数通常是在 自 变量的不同变化范围中， 对应法则用不同式 内 可导， 拉格朗日中 由 值定理： 至少存在一点 （， ， ）使 子来表示的函数。教学 中， 分段 函数是不是初等函数呢？ 厂（）： ＾ ， 二 两边同时取极限， 左边：Ｉ （）： ｉ ， 般的教材中， 没有给出具体的讨论。学生在遇到这类问 ０ 州
Ｅ—ｍ ｉ： ｈ ｎ ｉ ｃｕ １ ３ ｃ ｌ ａｌ ｃ ｅ ｑ ａ ｓ ＠ ６ ． ｏｎ 学 院 学 报
２ ０ 年 第 ２期 ０１
ｒ ｔｍ ； ｅｕ
时只需要修改游标的指向， 不需要移动元素， 使其即具有顺
序表的特性， 也具有动态链表指针的灵活性。
０ ｌ ２ ３ ４ ５ … Ｍ ａ Ｓ ｚ － ｘ ｉｅ Ｉ
Ｌ—
分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨
f ( 0+ ) = li m sinx = 0 , 由于 f ( 0- ) ( f ( 0+ ), 则函数 f ( x )在点
x∀ 0 +
x = 0 处不连续 , 故必不可导 .
数学学习与研究
2010 19
s inx, x > 0 , ex , x % 0, cosx, x > 0 , ex , x% 0,
讨 论函数 f ( x ) 在点 x = 0
f# m e = 1, f # m cosx = 1, - ( 0 ) = li + ( 0 ) = li
x ∀ 0+
∋ f# . - ( 0) = f# + ( 0) = 1 ∋ 函数 f ( x )在点 x = 0 处可导 . 分析 错解产生的根本原因 是对导函 数的定义 理解不 透彻 , 将函数左、 右导 数 同函 数 左、 右 极 限混 为 一谈 . 事实 上 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处是不可导的 . 根据 函 数 左、 右 极 限 的 定 义 : & f ( 0- ) = li m ex = 1,
x∀ 0
二、 如果函数在给定点 连续 , 则在 该点处的 可导性 需要 进一步讨论 讨论函数 f (x )在点 ex , x% 0, x= 0 处的连续性及可导性 . 分析 该题的解答需要深入了 解函数的连 续与可 导的 定义 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处连续 , 要求函数在 点 x = 0 处的 极限存在且等于它在该点的函数值 , 即 函数在 点 x = 0 处有 定义 , 该点的左、 右极 限存 在又相 等 , 且极 限等 于函 数在 该 点的函数值 ( f ( 0 - ) = f ( 0+ ) = f ( 0 ) ); 函数 f ( x ) 在点 x = 0 处可导 , 要 求函 数 在 点 x = 0 处 的 左、 右 导数 存 在 且 相 等 ( f# - ( 0) = f# + ( 0 ) ), 其前提是函数在该点连续 . 解 先讨论函数的连续性 . & f ( 0 - ) = li m f ( x ) = li m ex = 1,
分段函数在分段点处导数的一种求法
参考文献(2条) 1.华宏祖 微积分解疑 1982 2.丁家泰 微积分解题方法 1985
相似文献(10条)
1.期刊论文 刘其林.唐亮.LIU Qi-lin.TANG Liang 一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题 -株洲师范高等
专科学校学报2007,12(2)
提供一种分段函数的分段点求导的方法,即利用分段点两侧导数取极限来求分段点的导数,并提出两个应当特别注意的问题,一是在利用该法求导时应 先判断函数在分段点处的连续性,二是当函数在分段点连续时分段点两侧导数的极限存在是分段点可导的充分而非必要条件.
５５
万方数据
所以ｆ（ｘ）在（一，０】上连续。
２）在（一，０）内，Ｐ（ｘ）Байду номын сангаас２ｘ。
３）ｌｉｍ ｆ’（工）＝ｌｉｍ ２ｘ＝０，
Ｊ—÷０一
Ｊ—÷０一
根据命题得
，二（０）＝ｌｉｍ
ｚ＿÷０
（２）
ｆ ７（工）＝０．
１）ｌｉｍ ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ ｘｅ。＝０＝ｆ（０），
所以ｆ（ｘ）在［Ｏ，斗一止连续。
２）在（０，枷）内，，’（ｘ）＝（１＋ｘ）ｅ。。
（Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｔｅａｃｈｉｎｇ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｗｕｘｉ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｃｏｍｍｅｒｃｉａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｘｉ ２１４０６３，Ｃｈｉｎ日） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｆａｌｓｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｓｕｂｓｅｃ—
本文给出了在满足一定的条件下,分段函数分段点的导数不用定义求的方法,并举例应用,教学有一定的指导作用.
关于分段函数求导方法的研究
１ ． 利 用 可 导 的 必 要 条 件 来 判定 不 可 导 高 等 数 学 的 教 材 中都 给 出 了 可 导 的必 要 条 件 ， 即“ 可 导
必连续 ， 但连Biblioteka 不一 定可 导” ． 它 的另 一解 释就是 ： “ 不 连 续 定 不可导． ”
一
ｌ ｉ ａ ｒ
—
： － ！ ： ！ — ： ！
的左 、 右导数 ：
ｆ ｇ （ ） ， ＞ 。
设， （ ）＝｛ ｃ ， ＝ ‰ 在 ‰ 处 连续 ， 且ｇ （ ） ， ｈ （ ） 在
Ｌ （ ） ， ＜ ０
， ＋ （ 。 ）：ｌ ｉ ｍ
， ＿ ）：
… Ｏ － ０
，
＞ ｏ 和 ＜ ０ 时分别可导． 若ｌ ｉ ａｇ ｒ （ ） 和ｌ ｉ ａ ｒ ｈ （ ） 都存在且相等 ， 则， （ ） 在 处
由导数定义， 厂 （ Ｘ Ｏ ） ： ｌ ｉ ａ ｒ 丛 一 二
０ — ０
以及极限存在的
由定 理 １和 定 理 ２ ， 可 以得 到 如 下 定 理 ３ ．
定理 ３ （ 导数极限定理 ）
充要 条件 ， 函数 ， （ ） 在 。处 可 导 的 充 分 必 要 条 件 是 相 应 的 左、 右极限都存在并 相等 ， 并 把 它们 分 别 称 为 函数 ， （ ） 在 ‰
●
解题 技巧 与 方法
姆 ●
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●
号分段函数求导方法 罐兔
◎ 房 小 栋 （ 天 津 现代 职 业 技 术 学 院 思政 与基 础 教 学部 ， 天津 ３ ０ ０ ３ ５ ０ ）
【 摘要 】 分 段 函数 的 可 导 性 问 题 是 高 等 数 学 中的 重 点 和 难 点 问题 ， 文 章 总 结 了分 段 函 数 在 分 界 点 处 判 定 可 导 性 的
关于分段函数的求导问题
厂（） ｌ ． ２ ０ ：ｉ ｍ
：ｌ — ｎ￣ ｉ ｘｓ ｍ ｚｉ＿ ＿
：
ｌｍ ｓｎ ｉ ｉ
： ０．
３ 左 、 导数 （ 、 （ｏ与厂（） ． 右 ‰） ２） ； 的左 、 右极 限并 不 是 一 回事 ， 般 来 说 ， 厂（） Ｘ 处 左 连 续 时 有 ｆ ） 一 当＿ 在 Ｏ －（ｏ ＝ ｌ ｉ ， ｍｆ（ ） 当，（ 在 粕处右连续时有 （ ：ｌ 厂（ ． ） ‰） ｉ ） ａ ｒ
＃ 姆 穆
专 题
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● 荟・ ．。 － Ｉ ≥
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矛努 函数蚴露导 雹
◎ 张新 燕 （ 吉林 广播 电视 大 学 长 春 １０ ２ ） ３０ ２
【 要 】 分 段 函数 ， 们 常 见 的一 类 问题 是 讨 论 它在 摘 对 我
分 界 点 的可 导 性 ． 常 规 的做 法 ， 段 函数 在 分 界 点 处 的导 按 分
例１ 函 ） ， ０ ．ｏ 否 在 设 数 ｛ 问 （是 存 ？ ＞ 厂）
ｔ
解 法一
按 导 数 定 义 （ ） 厂 在 ＝０处 的 左 、 导 数 分 右
，
别 为 ．，０ ：ｌ ） ￣ Ｏ ：ｌ ：ｌ ：０ （ ） ｉ ｆ － ＬＡ ｉ ｍ ａｘ （ ｍ ｉ ｍ
ｒ
这表 明，（ ） ０ 存在 ， 且厂（ ） ． ０ ＝０ 但是 ， 当 ≠ ０时 ）
的导 函数 为
二 、 段 函 数 的 导 数 实例 分
厂）（ｉ ）２ｉ ｃ ． （＝２｝’ｘ 一ｓ ｎ ＝ 。 ｓ ｓ ｎ
显然 （ 在 ＝０处的极限不存 在 ， ） 而厂（ ） ０ 却存 在 ，
ｘ －Ｏ－ ＇ —
例 ， ： ．ｏ０ ＞， （ 否 在 ４（ ｛ ｏ 厂） 存 ？ 【 ≤ 问 ０ ） ｝ ｃ 是 ０
分段函数f(x)在分段点处的导数的求法浅探
8
事实上 ! " # $ % 0" # ) % $ 6 ; ?$ 03 &: &G 不存在 2 ; < $ =0) $ 错因就是题设不满足 " 在$ # % &)处连续这一条 2 $ ) % &: ; < " 0#
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8
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H 第二种情形
若 I# 在$ 如何求形如 % $ ) 处无定义 ! -I# $ % ! $ C$ ) # % &, " $ ! $ &$ .E ) 的分段函数在分段点 $ 对此做如下分析 2 ) 处的导数 ! 利用导函数无可去间断点的性质 ! 可得如下命题 2 命题 7 若函数 " 在点 $ # % $ ) 的某一邻域内连续 ! / 在$ 且: 则 % &J 存 在! ; <" # $ ) 的 该 去 心 邻 域 内 可 导!
第2 (卷 第 5期
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分段函数在分段点处的可导性研究
分段函数在分段点处的可导性研究分段函数是指定义域内分段不同的函数表达式的函数。
在分段点处，由于不同函数表达式的定义和性质可能存在差异，因此分段函数在分段点处的可导性是一个重要的研究课题。
首先，我们介绍一下可导性的定义。
在数学中，函数在其中一点可导意味着它在该点处的导数存在。
导数可以理解为函数在该点处的局部变化率，或者是函数图像在该点处的切线斜率。
如果函数在其中一点处的导数存在，那么该函数在该点处是可导的；反之，如果函数在其中一点处的导数不存在，那么该函数在该点处是不可导的。
接下来，我们研究分段函数在分段点处的可导性。
为了简化讨论，我们假设分段函数是一元函数，定义域是实数集。
对于分段函数f(x)，假设其定义域中存在一个分段点a。
一种可能的情况是，分段函数f(x)在点a的左右两侧都存在导数。
这种情况下，我们需要关注点a处的左导数和右导数。
左导数指的是当自变量趋向于分段点a时，函数的局部变化率的极限值；右导数则是指当自变量从a的右侧趋向于a时，函数的局部变化率的极限值。
如果左导数和右导数都存在，并且相等，那么分段函数在点a处是可导的。
然而，当左导数和右导数不相等时，分段函数在点a处是不可导的。
这是因为左导数和右导数分别对应了函数在a的左侧和右侧的局部变化率，如果两者不相等，则表示函数在点a处的左侧和右侧的变化趋势不一致，没有一个确定的切线可以用来描述该函数在点a处的局部性质。
在这种情况下，分段函数在点a处是不可导的。
除了上述情况，还存在一些特殊的分段函数。
例如，在分段点a处，如果左导数和右导数都存在，但是它们的值不同，那么分段函数在点a处是间断可导的。
间断可导的意思是存在左右导数，但是该点处没有一个确切的切线，因为左导数和右导数的差异导致函数图像在该点处出现了间断。
另一个特殊情况是，分段函数在分段点a处的左导数或右导数不存在，但是函数在点a处的局部切线斜率存在。
这种情况下，我们称分段函数在点a处是唯一可导的。
分段函数matlab求导
分段函数matlab求导分段函数是这样一个函数，它在不同的区间内有不同的表达式。
在分析分段函数的性质和变化时，通常需要进行求导操作。
本文将指导如何用Matlab在分段函数上进行求导，以此帮助读者更好地理解分段函数的性质和行为。
步骤1：定义分段函数首先，我们需要定义分段函数。
假设我们想对下面的分段函数进行求导：f(x) = { sin(x), 0 <= x <= pi/2,cos(x), pi/2 < x <= pi,0, pi < x }我们可以按照以下命令进行定义：syms xf1 = piecewise(x >= 0, x <= pi/2, sin(x), x > pi/2, x <= pi, cos(x), x > pi, 0)这个命令定义了一个符号函数f1，它表示上面的分段函数。
我们使用Matlab的piecewise()函数来定义分段函数，其中x >= 0表示第一个区间，x <= pi/2表示第二个区间，以此类推。
步骤2：使用diff()函数求导接下来，我们可以使用Matlab的diff()函数求导。
我们可以将diff()函数应用到我们定义的符号函数f1上。
df = diff(f1, x)这个命令将求导f1关于x的导数df。
步骤3：绘制函数和导数最后，我们可以绘制原函数和其导数的图像。
我们可以使用Matlab的fplot()函数来绘制分段函数和其导数。
我们将分别绘制原函数f1和其导数df的图像。
fplot(f1, [-2*pi, 2*pi]);hold on;fplot(df, [-2*pi, 2*pi]);grid on;legend('f(x)', 'df(x)/dx');xlabel('x');ylabel('y');title('分段函数及其导数');这个命令将绘制一个包含原函数和其导数的图像。
八年级上册分段函数知识点
八年级上册分段函数知识点分段函数是高中数学中比较重要的一部分，而在八年级上册课程中，也会涉及一些基础的分段函数知识点。
下面我们就来一起看看，八年级上册分段函数的相关知识点。
1. 分段函数的定义分段函数是指一个函数，它根据自变量的范围可以被分成多个部分。
每个部分都可以用一个函数式来表示，因此整个函数也可以用若干个函数式表示。
其中，每个函数式称为一个分段函数的部分。
2. 分段函数的图像分段函数的图像常常是由多个线段构成的折线。
每个线段的斜率和截距分别与该线段所对应的函数式有关。
3. 分段函数的性质分段函数的定义域和值域都是由该函数的各部分共同决定的。
在不同的自变量范围内，这些部分以不同的方式组合起来，因此函数的图像也相应地发生变化。
此外，由于每个部分都是连续的函数，因此分段函数的图像也是连续的。
这就意味着，在一段区间内，任何一个点的邻域内都存在函数值。
然而，这并不意味着分段函数是可导的。
因为在分段的交界处，函数的导数可能会发生突变。
4. 求解分段函数求解分段函数最基本的方法就是将自变量代入相应的函数式中，并计算出函数值。
通常情况下，我们需要在不同区间内使用不同的函数式进行计算。
这样，我们就可以得到整个函数的值。
需要注意的是，当自变量处于多个区间的交界处时，我们需要对交界点的函数值进行比较。
具体来说，如果交界点处的函数值相等，那么该点就是分段函数的连续点；反之则是分段函数的不连续点。
5. 常见的分段函数在八年级上册的课程中，我们会遇到一些比较简单的分段函数。
比如：y = { x - 1 (x ≤ 2){ -x + 3 (x > 2)这是一个关于自变量 x 的分段函数。
当x ≤ 2 时，函数的部分为 y = x - 1；当 x > 2 时，函数的部分为 y = -x + 3。
在 x = 2 时，两部分的函数值相等，因此该点是分段函数的连续点。
6. 总结通过以上的介绍，我们可以看出，八年级上册的分段函数知识点是比较简单的。
分段函数分界点处的可导性同题
分段函数分界点处的可导性同题在计算分段函数的导数时，我们可以将函数划分成多个区间。
在每个区间内，可以确定函数的导数。
在区间间断点处，我们需要单独考虑导数的存在性。
具体来说，假设我们有一个分段函数f(x)，定义域为实数集R。
在一些点x=a处，函数f(x)的定义发生了改变。
我们可以将定义域分成两个区间：(-∞, a)和(a, +∞)。
在每个区间内，我们可以确定函数f(x)的导数fx'(a-)和fx'(a+)。
分别表示在x=a的左侧和右侧的导数。
如果在x=a处f(x)是可导的，那么满足以下条件：1. fx'(a-)存在且fx'(a+)存在2. fx'(a-) = fx'(a+)这个条件也可以简化为以下表达式：lim(x->a-)f'(x) = lim(x->a+)f'(x)。
也就是说，如果在x=a处f(x)是可导的，那么左侧和右侧的导数的极限是相等的。
现在我们来看一些具体的例子。
例子1：f(x)=，x在x=0处，函数f(x)的定义发生了改变。
我们可以将定义域分为两个区间：(-∞,0)和(0,+∞)。
在每个区间内，函数的导数可以通过求导来确定。
对于x<0：f'(x)=-1对于x>0：f'(x)=1我们可以看到，在x=0处，左侧和右侧的导数不相等。
这意味着在x=0处，f(x)不可导。
例子2：f(x)=x^2,当x≠3；f(x)=5,当x=3在x=3处，函数f(x)的定义发生了改变。
我们可以将定义域分为两个区间：(-∞,3)和(3,+∞)。
在每个区间内，函数的导数可以通过求导来确定。
对于x<3：f'(x)=2x对于x>3：f'(x)=2x在x=3处，我们可以通过求导来确定导数。
f'(3-) = lim(x->3-)2x = 2(3) = 6f'(3+) = lim(x->3+)2x = 2(3) = 6我们可以看到，在x=3处，左侧和右侧的导数相等。
分段函数在间断点可导的充要条件
分段函数在间断点可导的充要条件
分段函数是一种在某一个间断点可导的函数，它在每一个间断点处都有一个定义域，而且在每一个定义域内都有一个连续的函数。
分段函数的充要条件是，它在每一个间断点处都必须是可导的，也就是说，它的导数必须存在，而且它的导数必须是连续的。
分段函数的可导性是由它的定义域决定的，它的定义域必须是连续的，也就是说，它的定义域必须是一个连续的区间，而且它的定义域必须是一个连续的函数。
另外，分段函数的可导性还取决于它的导数，它的导数必须是连续的，也就是说，它的导数必须是一个连续的函数。
因此，分段函数在间断点可导的充要条件是：它的定义域必须是一个连续的区间，它的导数必须是一个连续的函数，而且它的导数必须是连续的。
只有满足这些条件，分段函数才能在间断点处可导。
分段函数求导的例题
分段函数求导的例题
分段函数求导例题
一、概述
分段函数求导是在一定条件下，求出函数的偏导数的一个过程。
通常函数存在不同的分段，若要求出函数在每个段上的偏导数，则需要采用分段函数求导的方法。
二、原理
分段函数求导原理是指当分段函数的不同段的函数表达式相同时，求出单一段的偏导数就可以得出分段函数的偏导数；当函数表达式不同时，若两段的函数表达式的偏导数存在的话，就可以直接求出相应段的偏导数，从而得出分段函数的偏导数；当函数表达式不同，且函数偏导数不存在时，则可以求出一个临界点使得该点处的函数表达式及偏导数存在，而且需要满足夹逼原理，最终从而求得分段函数的偏导数。
三、例题
例：求函数f(x)=3x-3, x<=2;2x, 2<x<=4; x+2, x>4的导数
解：根据分段函数求导的原理：
第一段函数为y1=3x-3，其导数为y1'=3
第二段函数为y2=2x，其导数为y2'=2
第三段函数为y3=x+2，其导数为y3'=1
由此可以得出函数f(x)的导数f'(x)=3,x<=2;2, 2<x<=4;1, x>4
四、结论
分段函数求导是一种求出函数偏导数的方法，主要原理是当函数在不
同段中表达式相同时，可以直接求得该段函数的偏导数；若不同段的
函数表达式不同，但是偏导数存在的话，可以在满足夹逼原理的情况下，直接求出表达式的偏导数；当函数表达式及其偏导数均不存在时，需要找出一个临界点使得既有函数表达式及偏导数，从而得出分段函
数求导的结果。
分段函数求导的几种解法
分段函数求导的几种解法
金凌辉;郭丽莎
【期刊名称】《高等继续教育学报》
【年(卷),期】2010(023)003
【摘要】本文探讨了分段函数在分段点处求导的几个常见问题,并列举了几个较为实用的分段函数求导方法.
【总页数】3页(P26-27,32)
【作者】金凌辉;郭丽莎
【作者单位】武汉科技大学,城市学院公共课部,武汉,430083;武汉科技大学,城市学院公共课部,武汉,430083
【正文语种】中文
【中图分类】O172
【相关文献】
1.分段函数的几种常见题型及解法 [J], 史延芹
2.分段函数的几种常见题型及解法 [J], 李生忠
3.关于求分段函数在分段点处导数的几种解法剖析 [J], 刘浩荣
4.关于分段函数在分段点处可导性的几种解法 [J], 徐厚文
5.分段函数求导问题的多种解法 [J], 程黄金;陈伟
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关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨
关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨分段函数是函数的一种特殊形式，其定义域可以分为多个不相交的区间，每个区间内有不同的表达式来描述函数的值。
在分界点处，存在着连续性和可导性的问题，我们将以数学的角度进行探讨。
在本文中，我们将主要关注一维实数情况下的分段函数。
首先，让我们来定义一个一般的分段函数，假设有一个定义在实数集上的函数f(x)，它在定义域内划分为n个区间I1, I2, ..., In，每个区间内有一个表达式来描述函数的值，即f(x) = f1(x) 在 I1，f(x) =f2(x) 在 I2，...，f(x) = fn(x) 在In。
对于一个分段函数来说，最基本的性质是函数在分界点处的连续性。
若函数在分界点处连续，则称该函数是一个连续的分段函数。
为了研究函数在分界点处的连续性，我们需要探讨两个重要的概念：左极限和右极限。
对于一个分界点c，左极限记作lim┬(x→c⁻) f(x)，表示当 x 从左侧接近 c 时，f(x) 的极限值；右极限记作lim┬(x→c⁺)f(x)，表示当 x 从右侧接近 c 时，f(x) 的极限值。
对于一个分段函数来说，若函数在分界点c处连续，即左极限等于右极限，并且函数值等于极限值，即lim┬(x→c⁻) f(x) = lim┬(x→c⁺)f(x) = f(c)，则我们可以通过函数的定义来求得连续部分的函数值。
然而，对于一个分段函数来说，存在着函数在分界点处不连续的情况。
第一种情况是函数在分界点c处是跳跃不连续的，即左极限和右极限存在，但不相等，此时函数在c处不连续。
例如，考虑函数f(x) = ，x，在x=0处分界，f(0) = 0，lim┬(x→0⁻) ，x， = -x = 0，lim┬(x→0⁺) ，x， = x = 0，左极限和右极限相等，所以f(x)在x=0处连续。
第二种情况是函数在分界点c处是间断不连续的，即左极限和右极限至少有一个不存在，此时函数在c处不连续。
求分段函数导数
求分段函数导数
求分段函数导数，是一个重要的基本技能，它不仅有助于理解数学概念，还可以更好地把紧密数学和实际应用相结合。
意思是通过计算某
一函数在某一点的斜率去理解该函数在该处的变化特点。
下面是具体
步骤：
1. 求取函数在某一处的切线：即取一点x = x0，解出一元二次方程过点(x0,f(x0))的某条切线的斜率为k；
2. 计算切线的斜率：可以利用微分的本质，即将值变化在某点上的斜
率变化作为函数函数在该点的斜率等于函数在该点的值加上一个微小量，求出对应的斜率就是函数在该点的切线斜率；
3. 求取函数的导数：在有了切线的斜率准确求解出函数在每点的斜率，就可以知道函数在每点的变化特点，从而求得函数的导数；
4. 对比函数的变化特点：有了求得的函数的导数值，可以对不同点的
导数值进行对比，可以更准确地分析函数的变化特点，对理解和应用
函数有更好的帮助。
总之，求分段函数导数既是理解数学概念的基础，又是与实际应用交
叉点，因此具有重要的意义。
分段函数在分段点的求导
分段函数在分段点的求导陈佩树【摘要】分段函数的可导性问题是高等数学中的一个重点和难点.本文研究分段函数在分段点的可导性、导数的求法,并给出相应的例子.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2011(013)003【总页数】4页(P124-127)【关键词】分段函数;导数;连续【作者】陈佩树【作者单位】巢湖学院,安徽巢湖238000【正文语种】中文【中图分类】O172.1分段函数是一类常见的函数，虽然有的分段函数在每一段上的表达式都不复杂，但是分段函数在分段点的极限是否存在、是否连续以及是否可导等问题都比一般初等函数复杂的多,常常让初学者感到一片茫然，搞不清其中的关系.由于分段函数在分段点的左右极限之间关系复杂，在分段点可能连续也可能不连续，有可能可导也有可能不可导，下面从三个定理出发，对分段函数在分段点的可导进行研究并给出相应的例子.定理 1[1] 若 f（x）在 x0处可导，则 f（x）在 x0处连续.反之，若 f（x）在 x0处不连续，则 f（x）在 x0处不可导.但即使f（x）在x0处连续，在处也未必可导.（1）满足什么条件时，f（x）在 x=0 连续；（2）满足什么条件时，f（x）在 x=0 可导；（3）满足什么条件时，f′（x）在 x=0 连续.解：（1）由连续的定义，如果 f（x）在 x=0 连续，则必然有也即要求由于所以只需，也即m≥1 时，f（x）在 x=0 连续.（2）由导数定义，知f′（0）=所以只需也即m≥2 时，f（x）在 x=0 可导，且有f′（0）=0.要使f′（x）在 x=0 连续，则有由（2）知当m≥2 时，f（x）在 x=0可导，且有f′（0）=0，也即则进一步还需要综上所述，即要求m≥3 时，f′（x）在 x=0 连续.注：从上面例可以看出，当m≥1时，f（x）在x=0连续，但当m≥1时，f（x）在x=0未必可导，只有当m≥2时，f（x）在x=0才可导.即说明了f（x）在x=0处连续并不能确保f（x）在x=0处可导，另一方面也验证了f（x）在x=0处可导，则f（x）在x=0处一定连续.极限、连续、导数的概念是关系到学生能否学好微积分的极其重要、最基本的概念.例 2 设分段函数解：当x≠0 时，f′（x）=3x2，由于则有函数 f（x）在 x=0 处左右极限不相等，显然有f（x）在x=0处不连续.从而f（x）在x=0处不可导.综上所述，当x≠0时，f′（x）=3x2，且 f（x）在 x=0 处不可导.注：如果直接地认为就出错了.在求函数在分段点的导数时,要判断函数在分段点处是否连续，甚至还需要判断在分段点的左右导数是否存在，以及是否存在且相等等若干问题，这将在下面的定理中进行讨论.定理 2[1] 存在当且仅当 f-′（x0），f+′（x0）存在，且有 f-′（x0）=f+′（x0）=f′（x0）注：定理2说明了若分段函数在分段点的左右导数虽然存在但不相等或至少有某一侧导数不存在，那么分段函数在这一分断点的导数就不存在.注：此题是首先判断函数在分段点连续，再通过求分段点两侧导数的极限存在且相等，进一步地有此函数在分段点两侧的导数存在且相等.故有函数在此分段点可导，且求出其导数.但是，分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.从而求得不存在.进一步误认为f′（0）不存在就出错了.分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.这时，只能利用导数的定义来判断.例 5 设函数解：由题目易得进一步考察f（x）在x=2点的导数：所以 f-′（2）≠ f+′（2），即 f（x）在 x=2 处不可导.综上所述，即有，且 f（x）在 x=2 处不可导.注：虽然f（x）在x=2处连续，但是f（x）在x=2处不可导.如果直接地对例5中函数f（x）中的分段函数进行求导，得到进而想当然地认为f′（2）=2，那就出错了.只有当f+′（2）=f-′（2）=2 的情况下，才有f′（2）=2.而实际上 f-′（2）=2；f+′（2）=4.利用左右导数来确定分段函数在分段点处的导数是行之有效的方法，在实际解题中必须小心谨慎.定理3 设分段函数满足（1）f（x）在x=x0处连续；（2）g（x）在（x0-δ，x0）内可导（其中存在，则 f-′（x0）存在且有证明：∀x∈（x0-δ，x0），由于f（x）在x=x0处连续，g（x）在（x0-δ，x0）内可导.所以 g（x）在[x，x0]上连续且在（x，x0）内可导.由微分中值定理知∃ξ∈（x，x0），使得由于当时，必有即 f-′（x0）存在且有同理有：设分段函数满足（1）f（x）在 x=x0处连续；（2）h（x）在（x0，x0+δ）内可导（其中存在，则f+′（x0）存在且有f+′（x0）=limh′（x）.通过该定理我们可以直接求解一些分段函数在分段点的的导数问题.（1）如果分段函数在分段点单侧连续，且在这一侧的导函数的极限存在，则可以直接利用该定理.比如例 2中的分段函数在分段点x=0左连续，且所以有 f-′（0）存在且有但是在分段点 x=0处不右连续，因此f+′（0）只能用定义去求解了.（2）如果分段函数在分段点连续，且在两侧导数的极限均存在，那么左、右导数都可用该定理的求得.比如例 5 中的函数在分段点x=2处连续，且（3）如果函数在分段点的两侧由同一表达式表示，且在分段点连续，如果存在，则有f′比如解：因为所以f（x）在分段点 x=1 处连续.当x≠1 时，f′（x）=【相关文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].高等教育出版社.2003.[2]吉米多维奇,费定晖,周学圣.数学分析习题集题解(2)[M].济南：山东科学技术出版社,1999：58.[3]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2002：78-82.[4]袁文俊,邓小成.极限的求导剥离法则[J].广州大学学报：自然科学版,2006，(3).[5]程黄金,陈伟.分段函数求导问题的多种解法[J].中国科技信息,2006，(16).[6]王大荣,艾素梅.分段函数在分段点处的求导方法刍议[J].沧州师范专科学校校报,2005,21(3).[7]刘其林,唐亮.一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题[J].株洲师范高等专科学校学报,2007,(4).。
分段函数在分界点求导的一种简单的方法
分段函数在分界点求导的一种简单的方法
贺海英
【期刊名称】《兵团教育学院学报》
【年(卷),期】2001(011)001
【摘要】介绍了用多项式根的性质与导数极限定理求分段函数在分界点的导数的简单方法.从而拓广了用导数定义求分界点导数的传统方法.
【总页数】3页(P57-59)
【作者】贺海英
【作者单位】石河子大学师院/兵团教院,新疆,石河子,832003
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.分段函数于分界点处求导方法之探讨 [J], 王忠英
2.分段函数在分界点求导的一个方法 [J], 张立卓;孙辉
3.分段函数求导的一种新方法——目测法 [J], 金辉
4.一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题 [J], 刘其林; 唐亮
5.一种求分段函数在分界点处导数的新方法 [J], 展丙军;展铭望;隋殿杰
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分段函数在分段点处的导数的求法
摘要：
分段函数又是函数中的一个难点。
利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。
必须用导数的定义来判断该点的可导性。
分段点，分段函数在分段点处的导数的求法。
关键词：分段函数，分段点，导数
高等数学研究的对象是函数，分段函数又是函数中的一个难点。
一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并没有对分段函数进行严格地定义。
对其特征、性质等都没有作出具体说明并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。
正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。
分段函数是指在自变量变化的不同区间上，它有不同的表达式，而在整个自变量的变化区间上，它是一个函数。
分段函数的分段点是指函数自变量的某一取值，函数在该点与在其它部分有不同的表达式。
分段函数有多种形式，但对每一个分段点而言，最常见的分段函数可归结为以下两种形式：
，，
其中为函数的分段点。
在高等数学教学中，分段函数求导是学生学习的一个难点。
对于分段函数的求导，关键在于分段点处导数的计算。
一般高等数学教材在给出导数的定义后，都会给出可导的必要条件，;;可导必连续;;，这一必要条件的另一种说法：不连续一定不可导.利用这一必要条件，往往极易判断出函数在分段点的可导性。
1．若分段函数在分段点处不连续，则在分段点处必不可导。
例1 设，讨论在处是否可导？
解：，，由于，可得在处不连续，则在处不可导。
以下讨论，我们总假定分段函数在分段点处是连续的。
2．利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。
分段函数在分段点处的导数一般通过定义来求解，即讨论在分段点处的左、右导数来获得。
在处可导的充要条件是左导数和右导数均存在且相等，即（为常数）。
例2 设，讨论在处是否可导？
解：，，
由，可得在处可导，且。
论文发表，分段点。
例3 设，讨论在处是否可导？
解：，，
因为，所以在处不可导。
3．利用导数极限定理求导
例4 设，讨论在处是否可导？
解法一：利用导数的定义，
，。
论文发表，分段点。
由，得到在处可导。
在教学过程中，我们常会发现一些学生是按照以下方式来做的。
解法二：
当时，，；当时，，。
于是，因此且有。
论文发表，分段点。
分析: 解法一是正确的，解法二虽然得到了和解法一相同的结论，但是在最后一步，由，推出，学生是将分段连续函数在分段点的导数看作导函数在该点的极限值，这样是否成立呢？我们看下面这个例子。
例5 设，讨论在处是否可导？
错误的解法：
由不存在，故在不可导。
事实上，在处可导，且。
这是因为在处，由导数定义
，故在可导。
显然用不存在来说明在不可导是错误的。
因此，分段连续函数在分段点的导数看作导函数在该点的极限值是有条件的。
我们知道若函数在点处连续，则函数在该点的极限值与函数值相等，即有成立。
所以，当已知的导函数在点处连续时，将函数在点处的导数看作导函数在点处的极限值是成立的。
定理 1 设在分段点处连续，且在的空心邻域内可导，则（1）当(为常数) 时，则在处可导，且;
（2）当与都存在但不相等时，则不存在。
证明：（1）因为分段函数在分段点处连续，且在的空心邻域内可导，由拉格朗日中值定理有：
当时，在开区间内至少有一点，使。
论文发表，分段点。
当时，得到，则。
当时，在开区间内至少有一点，使
，
则。
即在处的左右导数存在且相等，故在处可导，且。
此时在处连续。
（2）由（1）的证明知，与都存在但不相等时，在处的左、右导数存在，但不相等，故在处不可导。
定理 2 设分段函数在处连续，在内可导，若存在，则在分段点处可导，且。
论文发表，分段点。
证明：因为
，
，而存在，即，所以，故在处可导，且。
注意：定理1、2的逆命题不成立。
论文发表，分段点。
即如果分段
函数在分段点处连续，且在的空心邻域内可导，但与至少
有一个不存在或不存在时，可能存在，也可能不存在。
此时应该采用导数的定义判定。
现在我们利用定理1和定理2来分析以上列举的分段连续函数例2-例5在分段点处的可导性。
例2、3和例4都是属于定理1的应用情形。
在例2中，；在例4中，，所以导函数分段点的极限值可看作是在该点的导数。
在例3中，由于，故根据定理1，可判定在不可导。
例5是属于定理2中不存在的情形，此时应用导数的定义判断。
对于分段函数在分段点的求导问题，首先判定函数在分段点处的连续性，若不连续则不可导。
若分段函数在分段点处连续，可应用定理1和定理2来判定。
定理1和定理2具有计算较为简便、实用性强，且这种方法易于被学生接受，对帮助学生开拓思维有一定益处。
在定理的使用中，要注意到定理的局限性，当导函数在分段点两侧左右极限不都存在时，必须用导数的定义来判断该点的可导性。
参考文献
[1]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社，2003.
[2]姜海勤，曹瑞成．分段函数分段点可导性的一个定理及应用[J]扬州职业大学学报，2008,6：42-44.
[3]何彦力.分段函数分段点的有关讨论及证明[J].江苏广播电视大学学报,1999,10(3)：86-87.。