《2011年高考数学试题分类汇编三角函数》

A. o （14）已知 ∆ABC 的一个内角为 120 ，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 ∆ABC 的面 积为_______________ （14) 15 3 【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求 三角形面积. 【 解 析 】 设 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a − 4, a , a + 4 ， 最 大 角 为 θ ， 由 余 弦 定 理 得
a3 ，求函数 f ( x) 的解析式． 13 1 解： (Ⅰ )由 q = 3, S 3 = 得 a1 = ，所以 an = 3n− 2 ； 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a3 = 3 ，因为函数 f ( x) 最大值为 3，所以 A = 3 ， π π π 又当 x = 时函数 f ( x) 取得最大值，所以 sin( + ϕ ) = 1 ，因为 0 < ϕ < π ，故 ϕ = ， 6 3 6 π 所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) = 3sin(2 x + ) 。 6
(a + 4) 2 = a 2 + (a − 4)2 − 2a (a − 4) cos120� ，则 a = 10 ，所以三边长为 6,10,14.△ABC 的面 1 积为 S = × 6 × 10 × sin120� = 15 3 . 2 π 安徽文(15)设 f ( x) = a sin 2 x + b cos 2 x ，其中 a，b ∈ R，ab ≠ 0，若 f ( x ) ≤ f ( ) 对一切则 6 7π π 11π x ∈ R 恒成立，则① f ( ② f( ) ＜ f ( ) ③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 )=0 10 5 12 π 2π ⎤ ⎡ ④ f ( x) 的单调递增区间是 kπ + , kπ + (k ∈ Z ) ⎢ 6 3 ⎥ ⎣ ⎦ ⑤存在经过点（a ，b）的直线与函数的图 f ( x) 像不相交
π π f ( ) = sin( + ϕ ) = 1 ， 所 以 6 3
π π π π + ϕ = kπ + , k ∈ Z ， ϕ = kπ + , k ∈ Z . 由 f ( ) > f (π ) ，（ k ∈ Z ）， 可 知 3 2 6 2 π 即 sin ϕ < 0 ， 所以 ϕ = 2kπ + , k ∈ Z ， 代入 f ( x) = sin(2 x + ϕ ) ， sin(π + ϕ ) > sin(2π + ϕ ) ， 6 π π π π π π f ( x) = sin(2 x + ) 得 6 ，由 2kπ − � 2 x + � 2k π + ，得 kπ − � x � kπ + ，故选 2 6 2 3 6
④由①知 f ( x) = 3b sin 2 x + b cos 2 x = 2b sin ⎜ 2 x +
⎛ ⎝
轴平行，又 f ( x) 的振幅为 2b > 3b ，所以直线必与 f ( x) 图像有交点.⑤不正确 . （ 16 ）在 △ ABC 中，a ， b ， c 分别为内角 A， B， C 所对的边长， a= 3 ， b= 2 ， 1 + 2 cos( B + C ) = 0 ，求边 BC 上的高 . （16 ）解：∵A＋B＋C＝180°，所以 B＋C＝A， 又 1 + 2 cos( B + C ) = 0 ，∴ 1 + 2 cos(180 − A) = 0 ，
2
16 ．(本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q = 3 ，前 3 项和 S3 = (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式； (Ⅱ) 若函数 f ( x) = A sin(2 x + ϕ )( A > 0, 0 < ϕ < π ) 在 x =
13 ． 3
π 处取得最大值，且最大值为 6
�
1 ，又 0°<A<180 °，所以 A＝60°. 2 a b 在 △ ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 得 = sin A sin B b sin A 2 sin 60� 2 sin B = = = ， a 2 3 又∵ b < a ，所以 B＜ A，B＝45°， C＝75°， ∴BC 边上的高 AD ＝AC· sinC＝ 2 sin 75� = 2 sin(45� + 30� )
且 f ( ) > f (π ) ，则 f ( x) 的单调递增区间是 （B） ⎢ kπ , kπ +
π⎤ (k ∈ Z ) 2⎥ ⎦ π ⎡ ⎤ （D） kπ − , kπ ( k ∈ Z ) ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦
⎡ ⎣
（9）A【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【 解 析 】 若 f ( x) ≤ f ( ) 对 x ∈ R 恒 成 立 ， 则
2 5 ，正弦定理可得 a = 2 10 。 5 π 15. 已知函数 f ( x) = 4 cos x sin( x + ) − 1 .（1）求 f ( x) 的最小正周期； 6 π π （2 ）求 f ( x) 在区间 [− , ] 上的最大值和最小值。 6 4 π 解： （1） f ( x) = 2sin(2 x + ) ，函数 f ( x) 的最小正周期为 π ； 6
16． （本小题满分 12 分） π⎞ ⎛1 已知函数 f ( x ) = 2 sin ⎜ x − ⎟ ， x ∈ R ． 6⎠ ⎝3 （ 1）求 f ( 0 ) 的值； ⎡ π⎤ （ 2）设 α , β ∈ ⎢ 0, ⎥ , ⎣ 2⎦
π ⎞ 10 6 ⎛ f ⎜ 3α + ⎟ = , f ( 3β + 2π ) = , 求 sin (α + β ) 的值． 2 ⎠ 13 5 ⎝ π π 解： （ 1） f (0) = 2sin(− ) = − 2sin = − 1 6 6 （ 2） 10 π 1 π π ∵ = f (3α + ) = 2 sin[ × (3α + ) − ] = 2 sinα , 13 2 3 2 6 6 1 π π = f (3β + 2π ) = 2 sin[ × (3β + 2π ) − ] = 2 sin( β + ) = 2 cos β 5 3 6 2 5 3 ∴ sin α = ,cos β = , 13 5 12 ∴ cos α = 1 − sin 2 α = , 13 4 sin β = 1 − cos2 β = 5 5 3 12 4 63 ∴ sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β = × + × = 13 5 13 5 65 湖北理 3.已知函数 f (x ) = 3 sin x − cos x ， x ∈ R ，若 f (x ) ≥ 1 ，则 x 的取值范围为
π 1 福建文 9 ．若α∈(0， )，且 sin2α＋cos2α＝ ，则 tan α＝ D 2 4 2 3 A. B． C． 2 D． 3 2 3 14 ．若△ABC 的面积为 3，BC＝ 2，C＝60°，则边 AB 的长度等于 2 21. （本小题满分 12 分） 设函数 f (θ)＝ 3sinθ ＋ cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重 合，终边经过点 P(x， y)，且 0 ≤θ≤π。 3 1 （Ⅰ）若 P 的坐标是( ， )，求 f(θ)的值； 2 2 x＋y≥1 （Ⅱ）若点 P(x，y)为平面区域 x≤1 上的一个动点，试确定角 θ的取值范围，并求函 y≤1 数 f (θ )的最小值和最大值。 π 21 、 （Ⅰ）f(θ )＝ 2； （Ⅱ） θ＝ 0 时 f(θ )min＝1，θ＝ 时 f(θ)min＝2 。 3 广东理16.（本小题满分12分）
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a 2 + 3b 2 � 2 3ab � 0 恒 成 立 ， 而 a 2 + 3b 2 � 2 3ab ， 所 以 a 2 + 3b 2 = 2 3ab ， 此 时 π⎞ ⎛ a = 3b > 0 .所以 f ( x) = 3b sin 2 x + b cos 2 x = 2b sin ⎜ 2 x + ⎟ . 6⎠ ⎝ 11π ⎛ 11π π ⎞ ① f( ) = 2b sin ⎜ + ⎟ = 0 ，故①正确； 12 6⎠ ⎝ 6 7π ⎛ 7π π ⎞ ⎛ 47π ⎞ ⎛ 13π ⎞ ② f( ) = 2b sin ⎜ + ⎟ = 2b sin ⎜ ⎟ = 2b sin ⎜ ⎟， 10 ⎝ 5 6⎠ ⎝ 30 ⎠ ⎝ 30 ⎠ π ⎛ 2π π ⎞ ⎛ 17π ⎞ ⎛ 13π ⎞ f ( ) = 2b sin ⎜ + ⎟ = 2b sin ⎜ ⎟ = 2b sin ⎜ ⎟， 5 ⎝ 5 6⎠ ⎝ 30 ⎠ ⎝ 30 ⎠
，
又
Hale Waihona Puke π π π 3 1 π f ( ) = a sin + b cos = a + b � 0 ，由题意 f ( x ) ≤ f ( ) 对一切则 x ∈ R 恒成立， 6 3 3 2 2 6
则
a2 + b2 �
3 1 3 1 3 a + b 对 一 切 则 x ∈ R 恒 成 立 ， 即 a2 + b2 � a 2 + b 2 + ab ， 2 2 4 4 2
（2 ） −
6
6
6
北京文（9）在 ∆ABC 中，若 b = 5 ， ∠B = 福建理 3 ．若 tan α = 3 ，则 A．2
π 1 , sin A = ，则 a = 4 3
.
5 2 3
D
sin 2α 的值等于 cos2 a
C．4 D．6