新人教版初一数学(下册)不等式组及应用

合集下载

不等式组及应用知识点总结

不等式组及应用知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是指数之间的大小关系，可以用大于号（>）、小于号（<）、大于或等于号（≥）、小于或等于号（≤）来表示。

2. 不等式的解不等式的解就是使得不等式成立的数的集合。

解不等式时，要注意不等号的方向，同时考虑是否存在特殊情况。

3. 不等式的性质不等式有传递性、反身性、对称性和加法性、乘法性等性质。

利用不等式的性质可以简化不等式的求解过程。

4. 不等式的转化在不等式的求解过程中，经常需要将不等式进行转化，可以通过加减法、乘除法、开方等方式进行不等式的转化。

5. 不等式的应用不等式在数学中有广泛的应用，如在代数、几何、概率统计等领域均有不等式的应用，特别是在最优化问题中，不等式更是起到了关键的作用。

二、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的集合，求解时要求这些不等式同时成立。

2. 一元一次不等式组的解法求解一元一次不等式组时，可以通过图解法、代入法、联立法等方式进行求解。

其中图解法常用于初步研究不等式组的解的位置，而联立法则是最常用的求解方法。

3. 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组在生活中有很多应用，例如在资源分配、经济决策、生产计划等方面都有一元一次不等式组的应用。

三、二元一次不等式组1. 二元一次不等式组的定义二元一次不等式组是由若干个二元一次不等式组成的集合，求解时要求这些不等式同时成立。

2. 二元一次不等式组的解法求解二元一次不等式组时，可以通过图解法、代入法、联立法等方式进行求解。

由于二元一次不等式组有两个未知数，因此其解的形式可能是一个不等式区域。

3. 二元一次不等式组的应用二元一次不等式组在几何中有着重要的应用，如求解平面区域的范围、集合的交并问题等都可以通过二元一次不等式组来描述和求解。

四、不等式的推广与应用1. 不等式的推广不等式的推广可以包括多元不等式、高次不等式、不等式组等。

人教版七年级下册数学不等式与不等式组应用题专项训练(含答案)

人教版七年级下册数学不等式与不等式组应用题专项训练1．某班开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．(1)求购买的甲、乙两种树苗的单价．(2)经商量、决定用不超过1600元的费用购买甲、乙两种树苗共40棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的13，求购买的甲种树苗数量的取值范围．2．为满足广大居民的常态性防疫需求，我市某药店需储备一定数量的医用酒精和医用口罩．已知每箱医用酒精比每箱医用口罩的进价多100元．该药店用3600元去购买医用酒精的箱数恰好与用2700元去购买医用口罩的箱数相同．(1)求每箱医用酒精和每箱医用口罩的进价各是多少元？(2)由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，决定再次购买医用酒精和医用口罩共50箱用于储备，此时，每箱医用口罩的进价已经增长了20%，每箱医用酒精的进价也已经增长了10%，如果再次购买两种防护用品的总费用不超过19400元，那么该药店最多可购进多少箱医用酒精？3．某商店需要购进甲、乙两种商品共120件，其进价和售价如下表：(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1000元，请问甲、乙两种商品应分别购进多少件？(2)若商店计划投入资金少于4000元，且销售完这批商品后获利多于1135元，请问有哪几种购货方案？并指出获利最大的购货方案．4．红星中学计划从某公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．(1)求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元?(2)根据红星中学实际情况，需从某公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的13．请你通过计算，求出红星中学从某公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案?5．某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若医院计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1530元，那么最多租用甲型客车多少辆？6．某工人制造机器零件，如果每天比预定的多做一件，那么80天所做的零件数超过1000件；如果每天比预定的少做一件，那么80天所做的零件数不到900件，这个工人预定每天做几件零件？7．为了防控“新冠肺炎”疫情，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种8元/瓶，乙种12元/瓶．(1)如果购买这两种消毒液共用1040元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？(2)该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍少4瓶，且所需费用不多于1200元，求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？8．在某官方旗舰店购买3个冰墩墩和6个雪融融毛绒玩具需1194元；购买1个冰墩墩和5个雪融融毛绒玩具需698元．(1)求冰墩墩、雪融融毛绒玩具单价各是多少元？(2)某单位准备用不超过3000元的资金在该官方旗舰店购进冰墩墩、雪融融两种毛绒玩具共20个，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？9．要开学了，学校计划购买一些篮球、足球．若购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．(1)求购买一个篮球，一个足球各需多少元；(2)今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用低于1150元，则最多可购买多少个篮球？10．截至12月25日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，每个大车间生产1万剂疫苗的平均成本为90万元，每个小车间生产1万剂疫苗的平均成本为80万元．(1)该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？(2)若投入的10个车间每周生产的疫苗不少于135万剂，请问一共有几种投入方案，并求出每周生产疫苗的总成本最小值？11．嘉琪到某水果店购买苹果梨，他发现购买1千克苹果和2千克梨需要26元，购买3千克苹果和1千克梨需要28元．(1)妈妈让嘉琪去购买苹果和梨各1千克，给他发了20元红包，够用吗？说明理由；(2)到家后妈妈问嘉琪：“如果给你100元购买苹果和梨，当购买的苹果重量是梨的2倍时，最多能买多少千克苹果（千克只取整数）？”请用不等式的知识帮助嘉琪解决这个问题．。

人教版七年级数学下册教学课件(人教版) 第九章不等式与不等式组第1课时解一元一次不等式

归纳总结
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，其步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为 1．
针对训练
1.解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 5x＋15＞4x－1；
(2) 2(x＋5)≤3(x－5)；
(3) x 1＜ 2x 5；
知识点三一元一次不等式的特殊解
例3 求不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解．
解析：求不等式的非负整数解，即在原不等式的解集中找出它所包含的“非负整数”特殊解；因此先需求出原不等式的解集．
解：∵解不等式3(x＋1)≥5x－9得x≤6. ∴不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解为 0，1，2，3，4，5，6.
等式；(4)是一元一次不等式．
归纳总结
判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤：先对所给不等式进行化简整理，再看是否满足： (1)不等式的左、右两边都是整式； (2)不等式中只含有一个未知数； (3)未知数的次数是1且系数不为0. 当这三个条件同时满足时，才能判定该不等式是一元一次不等式．
针对练习
课堂小结
解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：
步骤
根据
1
去分母
不等式的基本性质 3
2
去括号
单项式乘以多项式法则
3
移项
不等式的基本性质 1
合并同类项，得 4 ax>b，或ax<b (a≠0)
合并同类项法则
5 系数化为1
不等式的基本性质 3
归方F纳法法正确理解关键词语的含义是准确解题的关键，
“非负整数解”即0和正整数解．
当堂练习
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是( C )

人教版七年级下册数学第九章不等式与不等式组不等式不等式的性质(第一课时)

< 不等式性质1
探究新知
知识点 2 不等式的性质2 用不等号填空：（1）5 > 3 ；
5×2 > 3×2 ； 5÷2 > 3÷2 . （2）2 < 4 ；
2×3 < 4×3 ；2÷4 < 4÷4 . 自己再写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一个正数，看看有怎样的结果？与同桌互相交流，你们发现了什么规律？
解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得 x-7+7 ＞ 26+7，
x ＞ 33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
探究新知
（2）为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据
__不__等__式__性__质__1_，不等式两边都减去_2_x__，不等号的方向
探究新知
（3）已知 a<b，则 -a3
由不等式基本性质3，得
-a 3
>
-b 3
,
因为
-a 3
>
-b 3
，两边都加上2，
由不等式基本性质1，得
-a 3
+2
>
-b3+2
.
巩固练习
若 a>b, 用“>”或“<”填空： a-5 > b-5（根据不等式的性质 1 ）
探究新知
如果_a_>_b_且__c_>_0_, 那么_a_c_>_b_c__
(或 a b ) cc
探究新知
不等式基本性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

人教版七年级数学下册课件第九章不等式与不等式组一元一次不等式第2课时一元一次不等式的应用

购买数量(件)
A
第一次第二次
B
购买总费用(元)
2
1
55
1
3
65
解：(1)设 A 种商品的单价为 x 元，B 种商品的单价为 y 元，根据题意，可得2xx＋＋3yy＝＝5655，，解得xy＝＝1250，，
答：A 种商品的单价为 20 元，B 种商品的单价为 15 元
(2)设第三次购买商品A种a件，则购买B种商品(12－a)件，根据题意，可得a≥2(2y＝y＝59940000，，
解得xy＝＝13
500， 200，
答：每台 A 型电脑
的价格为 3 500 元，每台 B 型打印机的价格为 1 200 元
(2)设学校购买 a 台 B 型打印机，则购买 A 型电脑为(a－1)台，根据题意，得 3 500(a－1)＋1 200a≤20 000，解得 a≤5.答：该学校至多能购买 5 台 B 型打印机
9．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高( B )
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
10．马师傅计划用10天时间加工320个零件，前两天每天加工20个零件，后改进了工作方式，结果提前一天完成了加工任务，马师傅在两天后每天至少加工__4_0_个零件．
∵m＝20a＋15(12－a)＝5a＋180，∴当a＝8时所花钱数最少，即购买 A商品8件，B商品4件
(1)求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？ (2)如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20 000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？

人教版七年级数学下册_9.1.1不等式及其解集

A.5
B.4
C.3
D.2
感悟新知
知识点 3 不等式的解集的表示方法
在数轴上表示不等式的解集：
特别提醒在数轴上表示不等式的解集时，
大于向右画，小于向左画；界点处用空心圆圈圈住该点.
知3－讲
感悟新知
知3－讲
不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等
式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数
C. 3
D. 2
感悟新知
例2 用不等式表示： (1)a 的一半与3 的和大于5； (2)x 的3 倍与1 的差小于2； (3)a 的 1 与1 的差是正数；
2
(4)m 与2 的差是负数.
知1－练
解题秘方：紧扣不等关系中的关键词语列出不等式.
感悟新知
解：(1) 1 a+3>5.
2
(2)3x－1<2.
第9章不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
不等式不等式的解与解集不等式的解集的表示方法
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
感悟新知
知识点 1 不等式
知1－讲
1. 定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等
式. 用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)：
不等式的解集 x>a
x>－4a
x<a
x<－a
数轴表示
感悟新知
知3－练
例4 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x>2 (2)x<－2 解题秘方：紧扣不等式解集在数轴上的表示方法，看清不等号和端点值是解决问题的关键.

人教版七年级数学下第9章不等式与不等式组9

名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
七年级数学下册人教版
知识点 1：一元一次不等式的简单应用
1．小明准备用 22 元钱买笔和笔记本，已知每支笔 3 元，每本笔记本 2
元，他买了 3 本笔记本后，用剩余的钱来买笔，那么他最多可以买（ C ）
A．3 支笔
B．4 支笔
C．5 支笔
D．6 支笔
名师点拨
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
七年级数学下册人教版
10．(益阳中考)某职业高中机电班共有学生 42 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人． (1)该班男生和女生各有多少人？ (2)某工厂决定到该班招录 30 名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为 50 个和 45 个，为保证他们每天加工的零件总数不少于 1 460 个，那么至少要招录多少名男学生？
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
七年级数学下册人教版
解：设 A 酒店本月对这种水果的需求量为 x kg，由题意得 10x－6(2 600－x)≥22 000，解得 x≥2 350. 答：当 A 酒店本月对这种水果的需求量至少为 2 350 kg 时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于 22 000 元．
(2)所列的不等式解完后，应根据题意，把实际问题的解取出来．
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
七年级数学下册人教版
2．用一元一次不等式解决实际问题的关键是：找出题中各量之间的不等关系，列出正确的不等式．
名师点拨
预习反馈

人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组一元一次不等式第2课时实际问题与一元一次不等式

A．58 B．59 C．60 D．61 4．(舞钢市期末)小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是 _5_x_＋__2_(_3_0_－__x_)≤_1_0_0__．
5．(2021·焦作期末)一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为__2__元，才能避免亏本．
解：因为1.5×10＝15＜25，所以小明家这个月的用水量超过10立方米．设小明家这个月的用水量至少为x立方米，根据题意有15＋2(x－10)≥25，解得x≥15，答：他家这个月的用水量至少是15立方米
11．(2021·河北)已知训练场球筐中有A，B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．
(1)淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101－x＝2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．
解：(1)嘉嘉所列方程为 101－x＝2x，解得 x＝3323 ，又∵x 为整数，∴x＝3323 不合题意，∴淇淇的说法不正确 (2)设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有(101－x)个，依题意，得101－x－ x≥28，解得x≤36.5，又∵x为整数，∴x可取的最大值为36.答：A品牌球最多有36 个
8．红旗中学组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用11辆甲、乙两种型号的大客车(每种型号至少一辆)送549名学生和11名教师参加此次实践活动．
甲、乙两种型号的大客车的载客量如表所示：
则最多可以租用多少辆甲种型号大客车？有几种租车方案？
解：设租用x辆甲种型号大客车，则租用(11－x)辆乙种型号大客车，依题意得： 40x＋55(11－x)≥549＋11，解得x≤3，∴x可以取的最大值为3.∵x为正整数，∴x＝ 1或2或3，∴有3种租车方案．答：最多可以租用3辆甲种型号大客车．有3种租车方案，方案1：租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；方案2：租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；方案3：租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车

2022--2023学年人教版数学七年级下册期末复习——不等式与不等式组应用

人教版数学七下期末复习——不等式与不等式组应用一、选择题1.某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为( )A．3×5+3×0.8x≤27B．3×5+3×0.8x≥27C．3×5+3×0.8(x−5)≤27D．3×5+3×0.8(x−5)≥272.满足其和小于13的三个连续正整数有( )A．一组B．二组C．三组D．四组3.菏泽曹县是国内汉服生产基地之一，某厂家计划在一周内制作1200件汉服，该厂家在最初两天里每天制作150件，后来想在剩下的时间内超额完成计划，则以后每天至少生产汉服( )A．179件B．180件C．181件D．182件4.某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量．若设原来每天能生产x辆，则关于x的不等式为( )A．15x>20(x+6)B．15(x+6)≥20xC．15x>20(x−6)D．15(x+6)>20x5.某抢险地段实行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过( )A．66厘米B．76厘米C．86厘米D．96厘米6.某种商品的进价为1200元，标价为1575元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则所打折扣至多是( )A．六折B．七折C．八折D．九折7.现用甲、乙两种运输车将46t抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t，乙种运输车载重4t，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )A．4辆B．5辆C．6辆D．7辆8.在芦山地震抢险中，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是( )A．10人B．11人C．12人D．13人二、填空题9.某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，请写出原来每天生产汽车x辆应满足的不等式．10.某射击运动爱好者在一次比赛中共射击10次，前6次射击共中55环（环数均是整数，最高10环）．如果他想取得超过89环的成绩，那么第7次射击不能少于环．11.国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8:11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm12.某工厂为在规定期限内完成2160个零件的加工任务，安排了15名工人每人每天加工x个零件（x为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成加工任务，由此可知x的值至少为．13.将不足40只鸡放人若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只．则有鸡只．三、解答题14.为传承读书日理念，鼓励学生们多读书，好读书，读好书，某校图书馆计划从书店购买A，B两类图书供学生使用．已知A类图书每本50元，B类图书每本80元．(1) 若购买A类图书的数量是B类图书数量的2倍，购买A类图书比购买B类图书多花500元，求购买A类图书和B类图书分别花了多少元；(2) 为了响应“书香进校园”的号召，该校决定再次从该书店购进A，B两类图书共50本，此时恰逢书店对这两类图书的售价进行调整：A类图书售价比第一次购买时提高了8%，B类图书按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买这两类图书的总费用不超过3240元，且B类图书的数量比A类图书的数量多，那么该校此次如何购买才能使得总费用最少？15.某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元．该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元；销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．(1) 销售1台A型、1台B型新能源汽车的利润各是多少万元？(2) 该公司准备用不超过300万元资金，采购A，B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？16.某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为x吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．(1) 求该车间的日废水处理量x；(2) 为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．17.某小区积极创建环保示范社区，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，已知温馨提示牌的价格为每个30元，垃圾箱的价格为每个90元，共需购买温馨提示牌和垃圾箱共100个．(1) 若规定温馨提示牌和垃圾箱的个数之比为1:4，求所需的购买费用；(2) 若该小区至多安放48个温馨提示牌，且费用不超过6300元，请列举出所有的购买方案，并说明理由．18.某校举行“庆祝十一”文艺汇演，安排师生表演12个歌唱类节目，8个舞蹈类节目和若干个小品类节目．已知在歌唱，舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟，6分钟和8分钟，预计节目间主持用时共用15分钟．若汇演从20:00开始，22:30之前结束，问小品类节目最多能有多少个？19.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．(1) 求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；(2) 某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．20.某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话（如图所示）：(1) 结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？(2) 学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品．两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给子8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？。

人教版七年级数学下册《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件

第九章不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
4.(人教7下P119)用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集: (1)x的3倍大于或等于1; (2)x与3的和不小于3; (3)y与1的差不大于0;
(4)y 的1小于或等于－2.
4
(1)3x≥1,即 x≥1
3
(3)y－1≤0,即 y≤1
数轴略.
(2)x＋3≥3,即 x≥0 (4)1y≤－2,即 y≤－8
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
数轴略.
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q

七年级数学人教版下册第九章一元一次不等式组的实际应用分配问题与方案选择问题

讲解答案
解题方法
雄鹰必须比鸟飞得高，因为它的猎物就是鸟。治天下者必先立其志。雄鹰必须比鸟飞得高，因为它的猎物就是鸟。志，气之帅也。强行者有志。沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
贫困能造就男子1气、概。根据题目中的关键词找出不等关系，列不等式（组）.
志不立，如无舵这舟，无衔之马，漂荡奔逸，终亦何所底乎。人无志向，和迷途的盲人一样。
例题讲解-答案
解题方法
1、根据两种商品之间的等量关系，建立方程求解.
2、根据题目中的关键词找出不等关系，列不等式（组）.
3、有几种方案
回答数字几种
有哪几种方案
回答数字，并写出具体方案.
应用练习1
某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
应用练习3
某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．
应用练习3
某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130 万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
应用练习2
某校组织夏令营活动，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则刚好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，而且还有一辆没有坐满，但超过30人，问：（1）该校有多少人参加夏令营活动？

人教版七年级数学下册第九章：不等式(组)和方程(组)的综合应用(含答案)

不等式（组）与方程（组）的综合应用1.方程组或不等式出现字母系数时可将字母当数字，解方程组成不等式的参数解。

2.解决不等式(组)或方程(组)的问题可运用整体思想、转化思想、消元思想。

【例1】若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩解为x ，y ，且2<k <4，则x －y 的取值范围是（） A.102x y -<<B.01x y -<<C.31x y ---<<D.11x y --<<【例2】若关于x ，y 的二元一次方程组323225x y m x y m -=+⎧⎨-=-⎩的解满足x >y ，求m 的取值范围。

【例3】若2a +b =12，其中a ≥0，b ≥=0，又P=3a +2b ，试确定P 的最小值和最大值。

【例4】若关于x ，y 的二元一次方程组25x y a x y +=⎧⎨-=⎩的解满足1x >，1y ≤，其中a 是满足条件的最小整数，求a 2+1的值。

【例5】已知关于x，y的方程组2232 4x y mx y m-=⎧⎨+=+⎩①②的解满足不等式组3050x yx y+≤⎧⎨+⎩>，求满足条件的m的整数值。

1.已知关于x，y的方程组2121x y ax y a-=+⎧⎨+=-⎩的解满足不等式21x y->，求a的取值范围。

2.已知x、y同时满足三个条件：①324x y p-=-，②4x－3y=2+p，③x>y，则（）A.p>－1B.p<1C.1p-< D.1p>3.若30x y z++=，350x y z+-=，x、y、z皆为非负数，求M=5x+4y+2z的取值范围。

4.在关于x ，y 的方程组2728x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩中，未知数满足x ≥0，y >0，那么m 的取值在数轴上应表示为（）5.已知关于x ，y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y -⎧⎨-+≥-⎩>，求整数k 的值。

2022-2023学年七年级数学人教版下册：第9章不等式与不等式组小结(2) 教案

2022-2023学年七年级数学人教版下册：第9章不等式与不等式组小结(2) 教案教学目标1.理解不等式和不等式组的概念；2.掌握解一元一次不等式和不等式组的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点1.解一元一次不等式；2.解一元一次不等式组。

教学难点解一元一次不等式组。

教学准备1.教材《数学人教版》下册；2.板书工具；3.教学PPT。

教学过程导入引入老师可以从学生已学内容开始，例如回顾不等式的定义和解不等式的方法。

概念讲解1.回顾不等式的概念，即不等式是带有不等号的算式，用于表示两个数之间的大小关系。

2.引入不等式组的概念，即由多个不等式组成的集合，要求同时满足所有不等式。

解一元一次不等式1.回顾解一元一次不等式的方法，包括原则和步骤。

2.通过教材中的例题，引导学生灵活运用不等式的解法，培养学生的逻辑思维和解题能力。

3.在解题过程中，要强调解不等式时的等价变形，例如：–对等式两边加减同一个数–对等式两边乘除同一个正数–对等式两边乘除同一个负数时，要注意改变不等号的方向解一元一次不等式组1.引入解一元一次不等式组的方法，包括联立不等式组和代入法。

2.通过教材中的例题，引导学生运用不等式组的解法，培养学生的逻辑思维和解题能力。

3.在解题过程中，要强调解不等式组时要先解各个不等式，再根据解的结果来判断整个不等式组的解集。

实际问题应用1.提供一些实际问题，让学生运用所学知识解答，以巩固对不等式和不等式组的理解和应用能力。

2.鼓励学生思考，让他们自己提出一些实际问题，并尝试解答。

小结总结1.对本节课的内容进行小结和总结，回顾重点和难点，澄清学生的疑惑。

2.布置课后作业，巩固所学内容。

课堂练习选择题1.已知不等式x - 3 > 7，下列哪个是解？ A. x > 7 B. x > 10 C. x < 4 D. x > 02.解不等式组{x - 3 > 2，2x - 5 > 7}，则x的解集为： A. x > 7 B. x > 5 C. x > 3 D. x > 2计算题1.解不等式3x + 2 > 17。

人教版数学七年级下册9.1.1《不等式及其解集》教案

新人教版七年级下9.1.1 不等式及其解集教学内容解析：本节知识属于《义务教育课程标准实验教科书·数学》(人教版)七年级下册第九章不等式与不等式组，教材第114-115页。

本章内容是在学生继一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，又一次数学建模思想的学习，是进一步探究现实生活中的数量关系，培养学生用数学知识解决实际问题的重要内容，也是今后学习一元二次方程、函数、以及进一步学习不等式的基础。

本节课的内容主要介绍不等式及不等式的解的概念以及解集的表示方法，是研究不等式的导入课，通过实例引入，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望；经历、感受概念形成的过程，使学生正确抓住不等式的本质特征，为进一步学习不等式的性质、解法及简单应用起到铺垫作用。

相等与不等是研究数量关系的两个重要方面，用不等式表示不等的关系，是代数基础知识的一个重要组成部分，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用。

同时，本节知识涉及到建模、转化、数形结合等思想方法。

教学目标1．知识与技能：（1）感受生活中存在大量的不等关系，了解不等式的意义，能将简单的文字问题转化为不等式；（2）理解不等式的解及解集，会找出一个不等式的几个解并且能检验一个数是否是不等式的解；（3）灵活掌握用数轴表示不等式的解集。

2．过程与方法：（1）经历将生活问题转化为数学问题，渗入建模思想，体会到数学源于生活；（2）经历探究不等式的解与解集的不同涵义的过程，渗入数形结合思想，体会到数学服务于生活；（3）通过观察、操作、类比、概括等活动，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性与必要性。

3．情感态度与价值观：通过对不等式、不等式的解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识和梳理学好数学的自信心。

让学生充分体会到数学源于生活，同时又服务于生活。

学情分析中学生心理学研究指出，初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

人教版-数学-七年级-下册-不等式的性质

C. a<1
D. a<0
a<1
拓展提升
2.将物体“▲”的质量用 a 表示，物体“●”的质量用 b 表示，现已知 a<b，则下列四个天平的倾斜度一定正确的是( B )
b+a
a+a
拓展提升
3.若实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则下列不
等式成立的是( B )
c<0<a<b
A. ab<ac c<b，a>0 B. ac>bc a<b，c<0 C. a+c>b+c b>a，c<0 D. a+b<c+b a>c，b>0
拓展提升
-1 0
拓展提升
3.“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟” 即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物. 2020年，某省谷子种植面积已达 324 万亩，平均亩产量约为 320 kg.2021年，若该省谷子的平均亩产量仍保持 320 kg 不变，则要使谷子的年总产量不低于 108 万吨，该省至少应再多种植多少万亩的谷子？
我们知道解方程需要依据等式的性质，同样解不等式也可以依据不等式的性质进行，本节课我们就来学习怎样利用不等式的基本性质解不等式.
新知探究
知识点：不等式的性质的应用
分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为 x>a 或 x<a (a 为常数)的形式.
新知探究
(1) x-7＞26；解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加 7，不等号的方向不变，所以 x-7+7>26+7，即 x>33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：

人教版七年级数学下册一元一次不等式组(基础) 知识讲解

人教版七年级数学下册一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3xx>⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3xx<⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3xx<⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3xx>⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x>；（2）3x<-；（3）32x-<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1)313112123x xx x+<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x+>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x＜-2解不等式②，得x≥-5故原不等式组的解集为-5≤x＜-2．其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x xx x+>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x<解②得：12 x≥-故原不等式组的解集为14 2x-≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得： 88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。

第九章不等式与不等组：一元一次不等式的应用人教版数学七年级下册

401020
20
总费用(元) 950 700
(1)《论语》和《史记》每本的价格分别是多少元？
解：设《论语》每本的价格是 x 元，《史记》每本的价格是 y 元．根据题意，得4200xx＋＋1200yy＝＝975000，. 解得xy＝＝1250.，答：《论语》每本的价格是 20 元，《史记》每本的价格是 15 元．
2．小明从图书馆借到一本有75页的书，要在10天内读完．设每天读 x页，则列不等式为___1_0_x_≥_7_5__．
知识点1 一元一次不等式的实际应用例1 某校举行以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25 道题，每一题答对得4分，不答或答错扣1分．若小明的总得分不低于92 分，则他至少答对了多少道题？解：设他答对 x 道题．根据题意，得 4x－(25－x)≥92.解得 x≥1157 . 又 x 为正整数，∴x 的最小值为 24. 答：他至少答对了 24 道题．
(2)若学校计划购买《论语》和《史记》两种图书共 110 本，《论语》的数
量至少为《史记》数量的
1 3
，则《论语》最少购买多少本？
解：设购买《论语》m 本，则购买《史记》(110－m)本．
根据题意，得 m≥13 (110－m).解得 m≥525 . 又 m 为正整数，∴m 的最小值为 28. 答：《论语》最少购买 28 本．
例2 (2022资阳)北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1 760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？解：设乙种型号的“冰墩墩”单价是x元，则甲种型号的“冰墩墩” 单价是(x＋20)元．根据题意，得10(x＋20)＋10x＝1 760.解得x＝78. ∴x＋20＝78＋20＝98. 答：甲种型号的“冰墩墩”单价是98元，乙种型号的“冰墩墩”单价是78元．