等差数列求和公式课件
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等差数列前n项求和ppt
公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和，其中首项为 a1，公差为d，项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成，反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项， 公差d表示相邻两项的差，项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是第一项，d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值，再利用等差数列的通项公式， 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式，将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2，同样利用等差数列的通 项公式，推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时，等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价，以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中，等差数列求和公式可用于计算工资 总额，以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中，等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。
等差数列课件ppt课件
等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
等差数列求和公式讲义PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
2Sn n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 1) 2
d
观察公式旳形式，回忆我们所学过旳知识，你 是否发觉了什么？它旳形式是不是跟我们学过 旳梯形面积公式相同？
学以致用
例1： 2023年11月14日教育部下发了《有关小学 “校校通”工程旳告知.某市据此提出了实施 “校校通”工程旳总目旳：从2023年起用23年旳 时间，在全市中小学建成不同原则旳校园网. 据测算，2023年该市用于“校校通”工程旳经费 为500万元. 为了确保工程旳顺利实施，计划 每年投入旳资金都比上一年增长50万元. 那么 从2023年起旳将来23年内，该市在“校校通”工 程旳总投入是多少？
+)sn = n +（ n-1 ）+（n-2）+… + 2 + 1
∴2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
=n(n+1)
—— 倒序相加法
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
思索：这种措施能否推广到求一般等
差数列前n项求和呢？
探究发觉
倒序相加法
如何求等差数列an的前n项和Sn ?
总结：实际问题，建立数学模型，利用数学旳观点 处理问题，然后再回归问题实际
解：根据题意，从2001-2023年，该市每年投入“校校通” 工程旳经费都比上一年增长50万元，所以，能够建立一种等 差数列｛ an ｝，表达从2023年起各年投入旳资金，其中，
a1 =500，d=50 那么，到2023年（n=10）,投入旳资金总额为
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她 宏伟壮观，纯白大理石砌建而成旳主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵 寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一种三角形图案，以相同大小旳圆 宝石镶饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。你懂得这个图案一共花 费了多少宝石吗？
等差数列求和(共24张PPT)
例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
等差数列求和公式课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2.2
等差数列的前n项和
主讲人：
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，那么这个数列叫做等差数
列。这个常数叫做等差数列的公差，
公差常用字母d表示。
= 1 + − 1 , ∈ +
等差数列的前n项和
古算书《张邱建算经》中有一问：今有与人钱，初一人与一钱，次一
则4 =3 + = 5, 首项1 =2 − =-1
4 =4× （4 +1 ）/2=8
总结
等差数列前n项和公式
首尾相加法
(1 + )
=
2
(−1)
=1 +
2
倒序相加法
(1)
= +−1 +−2 +…+3 +2 +1
(2)
2
= 1 + + 2 + −1 + 3 + −2 + ⋯ + −2 + 3 + −1 + 2
+ + 1
2 = (1 + )
(1 + )
=
2
练一练
解：公差=3 − 2 =2,
人与二钱，次一人与三钱，以次为之，转为一钱，共有百人，问共与
几钱？
…
我是第100
个人
× 100
1+2+3+…+100=？
计算1+2+3+…+100
1+2+3+4+…+97+98+99+100
等差数列的前n项和
主讲人：
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，那么这个数列叫做等差数
列。这个常数叫做等差数列的公差，
公差常用字母d表示。
= 1 + − 1 , ∈ +
等差数列的前n项和
古算书《张邱建算经》中有一问：今有与人钱，初一人与一钱，次一
则4 =3 + = 5, 首项1 =2 − =-1
4 =4× （4 +1 ）/2=8
总结
等差数列前n项和公式
首尾相加法
(1 + )
=
2
(−1)
=1 +
2
倒序相加法
(1)
= +−1 +−2 +…+3 +2 +1
(2)
2
= 1 + + 2 + −1 + 3 + −2 + ⋯ + −2 + 3 + −1 + 2
+ + 1
2 = (1 + )
(1 + )
=
2
练一练
解：公差=3 − 2 =2,
人与二钱，次一人与三钱，以次为之，转为一钱，共有百人，问共与
几钱？
…
我是第100
个人
× 100
1+2+3+…+100=？
计算1+2+3+…+100
1+2+3+4+…+97+98+99+100
3.3.2等差数列求和名师课件
Sn 3n2 n. 对比两种解法,发现公式的应用是很灵活的,对有些题而 言选择适当的公式可以简化求解的计算量.
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n,
即Sn
an2
bn
1.当公差d <0即a<0时,Sn 有最大值
y
(至于是否在顶点处取得,要看顶点
处所对应的横坐标距离它最近的正
整数处取得,一般情况下或一,或两个
d
nan
（n n 1) 2
d
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
3. 等差前n项和Sn公式的理解.
解：方法二 S39 0 d 0
S38 0, S40 0
s38
38(a1 2
a38 )
0
a19 a20 0
s39 s40
39(a1 2
40(a1 2
a39 ) a40 )
0 0
a20 a20
0 a21
Sn
n(a1 2
an )
n(15 17 2n) 2
(n 8)2 64
n 8时，Sn最大。
已知等差数列an的前n项和为sn，
其中a3 =12，s12>0，s13<0. （1）求公差d的取值范围 （2）指出s1,s2 L s12中哪个值最大， 并说明理由。
(1)解法一: Q a3 12, S12 0, S13 0
（a, b为常数）那它是不是等差数列呢？
(2)如果一个数列{an}的前n项和公式为 Sn an2 bn c
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n,
即Sn
an2
bn
1.当公差d <0即a<0时,Sn 有最大值
y
(至于是否在顶点处取得,要看顶点
处所对应的横坐标距离它最近的正
整数处取得,一般情况下或一,或两个
d
nan
（n n 1) 2
d
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
3. 等差前n项和Sn公式的理解.
解：方法二 S39 0 d 0
S38 0, S40 0
s38
38(a1 2
a38 )
0
a19 a20 0
s39 s40
39(a1 2
40(a1 2
a39 ) a40 )
0 0
a20 a20
0 a21
Sn
n(a1 2
an )
n(15 17 2n) 2
(n 8)2 64
n 8时，Sn最大。
已知等差数列an的前n项和为sn，
其中a3 =12，s12>0，s13<0. （1）求公差d的取值范围 （2）指出s1,s2 L s12中哪个值最大， 并说明理由。
(1)解法一: Q a3 12, S12 0, S13 0
（a, b为常数）那它是不是等差数列呢？
(2)如果一个数列{an}的前n项和公式为 Sn an2 bn c
等差数列求和PPT优秀课件1
an
Sn
S1(n 1) Sn1(n 2)
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁 时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在 给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6； 4+6=10… 算 得 不 亦 乐 乎 时 ， 高 斯 站 起 来 回 答 说 ：
解得
a4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 a n 的 n
( ( (1 S 2 3 ) 5 ) )a a a S 0 1 1 1 15 0 5 1 0 1 3 2 ,1 a ,0 n a 0 ,(0 d n 5 25 0 9 （ 9 5 0 0 ,2 )5 n 2 5 2 3 0 ,1 ,n 5 )n 1 0 ( .;5 1 2 0 0 ); ;40 2S5 nSSnnn5 1ann0 （ （ n（ aan211221)aadnn))
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ，
为回避个数问题，做一个改写
S n a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n ，
S n a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 1 ，
(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
等差数列的求和PPT优秀课件
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即： Sn=a1+a2+…+an
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
Sn=(a1+an)n/2
S100=(1+100)×100/2=5050
等差数列求和公式
等差数列{an}首项为a1，第n项为an.
Sn=
n(a1+an) 2
Sn
=na1+
n(n-1) 2
d
练一练
Sn==nn(aa112++na(nn)2-1) d
自己动手编一道有关等差 数列求和的练习题. 要求：
1. 已知……，求Sn ； 2. 已知……，求a1 ； 3. 已知……，求dan ； 4. 已知……，求n ；
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
Sn=(a1+an)n/2
S100=(1+100)×100/2=5050
等差数列求和公式
等差数列{an}首项为a1，第n项为an.
Sn=
n(a1+an) 2
Sn
=na1+
n(n-1) 2
d
练一练
Sn==nn(aa112++na(nn)2-1) d
自己动手编一道有关等差 数列求和的练习题. 要求：
1. 已知……，求Sn ； 2. 已知……，求a1 ； 3. 已知……，求dan ； 4. 已知……，求n ；
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
等差数列的前n项求和公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
1指出S1，S2 S12中哪个最大，并说明理由；
2求公差d的取值范围.
解：1 S12
0, S13
0
aa76
a7 a7
0 0
a6 a7
0 0
S6最大
2
1212 1312
2d 2d
66d 78d
0 0
24 d 3 7
练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20 2、一种项数为36旳数列旳前四项和是21，后四项和是67， 求这个数列旳和。 3、{an}是等差数列，S10>0,S11<0,则求使an<0旳n旳最小值
根据等差数列旳前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
得
SS20102100aa1 12100222100- 11dd
310 1220
解得 a1=4，d=6 将此成果代入上面旳求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n
所以，等差数列旳前n项和旳公式是 Sn 3n2 n
解:根据题意，由7n<100 得 n<100／7
解1： 3a 3d 11a 55d
8a 52d a 13 d 0 d 0
2
Sn
na1
nn 1 d
2
n2
14n 2
d
解2： S3 S11 a1 0
由等差数列构成旳函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
即 n=7
例8.等差数列an 若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列旳前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和旳极值:
等差数列及求和PPT课件
少？30是此数列中的第几项？项数是多少？
有没有更简单的方法计算此题呢？
等差数列的相关公式：
末项＝首项＋（项数－1）×公差
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例3. 2，11，20，29，38， … 是按一定规律排
列的一串数，第21项是多少？
解：从第二项起每一项与前一项的差是9，所 以此数列是等差数列，公差是9，将第21项看 作是末项，
＝（600－2）÷2＋1
＝300.
2＋4＋6＋8＋…＋598＋600
＝(2+600) ×300÷2
＝90300
(2) 项数＝ （399－3）÷4＋1 ＝100.
3＋7＋11＋…＋399 ＝（3＋399）×100÷2 ＝20100
练习： 计算数列的和： （1） 2＋6＋10＋14＋ …… ＋122＋126 （2） 2 ＋ 5 ＋ 8 ＋ 11 ＋ 14 …… ＋ 47
所以d=6 则a8=a6+2 ×d =33+12=45
(2)因为a3=a1+2 × d 又a3=16, 则 a1=16-2 × d
又a11=a1+10 ×d a11=72 所以a1=72-10 ×d
得： 16-2 × d=72-10 ×d，
解出d=7 a1=72-10 ×7=2
可得：a6=2+5 ×7=37
例8、 计算： （1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. （1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. ＝ 1＋（3－2） ＋ （5－4） ＋（7－6）＋ … ＋ （2009－2008） ＝1 ＋1 ＋ … ＋1 共1005个1 ＝1005
练习：计算： 5000 －124 －128 －132 － … －272 －276
有没有更简单的方法计算此题呢？
等差数列的相关公式：
末项＝首项＋（项数－1）×公差
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例3. 2，11，20，29，38， … 是按一定规律排
列的一串数，第21项是多少？
解：从第二项起每一项与前一项的差是9，所 以此数列是等差数列，公差是9，将第21项看 作是末项，
＝（600－2）÷2＋1
＝300.
2＋4＋6＋8＋…＋598＋600
＝(2+600) ×300÷2
＝90300
(2) 项数＝ （399－3）÷4＋1 ＝100.
3＋7＋11＋…＋399 ＝（3＋399）×100÷2 ＝20100
练习： 计算数列的和： （1） 2＋6＋10＋14＋ …… ＋122＋126 （2） 2 ＋ 5 ＋ 8 ＋ 11 ＋ 14 …… ＋ 47
所以d=6 则a8=a6+2 ×d =33+12=45
(2)因为a3=a1+2 × d 又a3=16, 则 a1=16-2 × d
又a11=a1+10 ×d a11=72 所以a1=72-10 ×d
得： 16-2 × d=72-10 ×d，
解出d=7 a1=72-10 ×7=2
可得：a6=2+5 ×7=37
例8、 计算： （1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. （1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. ＝ 1＋（3－2） ＋ （5－4） ＋（7－6）＋ … ＋ （2009－2008） ＝1 ＋1 ＋ … ＋1 共1005个1 ＝1005
练习：计算： 5000 －124 －128 －132 － … －272 －276
等差数列的求和优秀课件
课堂小结
• 等差数列求和公式；
注意两个公式的选用
P 120
• 运用方程思想在a1，n，d， an，Sn五个量中知三求二； • 倒序相加法
抢答题 抢答题
P 122 练习1，3（笔练）
1、等差数列中a1=5， an=95， n=10，Sn= 500； 2、等差数列中a1=100，d=-2， n=50,则Sn = 2550； 3、等差数列中a1 =14.5，d=0.7， an=32，则Sn = 604.5 ； 4、等差数列5，4，3，2，…前 15 项和为-30；
等差数列的求和
授课教师：廖 威
观察归纳
1+2+3+4+…+97+98+99+100= 5050 1+100=101 2+ 99=101 3+ 97=101 …… 50+ 51=101
101×50=5050
公式推导
等差数列{an}中，首项为a1，公差为 d，求证：a1+an=a2+an-1 =a3+an-2 = …… 证明 : 等差数列 {an}中，首项为a1，公差为d， a1+an= a1+a ； 若m+n=p+q ，则 am+an=ap+a 1 +(n-1)d=2a 1 +(n-1)d q a2+an-1= a1+d+a1 +(n-2)d=2a1 +(n-1)d； a3+an-2= a1+2d+a1 +(n-3)d=2a1 +(n-1)d； …… 等差数列的重要性质 ∴a1+an=a2+an-1=a3+an-2 = ……
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S
n
= a 1 + a 2 + a 3 + … + a n －1 + a n
n(a1 an ) an a1 (n 1)d n(n 1) Sn S n na1 d 2 2
等差数列前n项和公式
—— 类比梯形面积公式记忆
a1
n
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
sn = 1 + 2 + 3 + …+(n-1 )+ n +)sn = n +（ n-1 ）+（n-2）+… + 2 + 1
∴2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
—— 倒序相加法 n (n 1) 1 2 3 (n 1) n 2=n(n+1)
a1
（n-1）d
an
练习 根据下列各题中的条件，求相 应的等差数列 an 的前n项和 S n
1)a1 5, an 95, n 10
2)a1 100, d 2, n 50
答案 （1） S10 500
（2） S50 2550
根据条件,选择公式
例1
1、等差数列中a1 =4，d=2， an=32， 270 求 数列的前项和Sn
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大 奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图 案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见 一斑。你知道这个图案一共耗费了多少宝石吗？
总结：实际问题，建立数学模型，利用数学的观点 解决问题，然后再回归问题实际
公式应用
例3
已知等差数列{an}前10项的和是310， 前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗？
列方程组，解方程
例4
(1)求数列an 的通项公式; 的首相与公差分别是什么？
1 已知数列 an 的前 n项和为 S n n n. Sn=n +9n 2
情景
1+2+3+4+…+97+98+99+100=？ 高斯答： 1+2+3+4+…+97+98+99+100=
5050
1+100=101 2+ 99=101 3+ 97=101 … 51=101 50+ …
高斯（1777---1855）， 德国数学家、物理学家和天 文学家。他和牛顿、阿基米 德，被誉为有史以来的三大 数学家。有“数学王子”之 称。
等差数列前n项和公式
—— 类比梯形面积公式记忆
a1
n
an
方法2：等差数列｛ an ｝a1， a2 ， a3 ，…， an ，…的公差为d.
Sn a1 (a1 d ) [a1 (n 1)d ]
Sn an (an d ) [an (n 1)d ]
22
(2)这个数列是等差数列吗？如果是，它
反思：已知Sn如何求通项公式an
等差数列前n项和公式的推导： 倒序相加法
等差数列前n项和公式的应用：
五 个 元 素 : a1, a n , n , d , S n “知 三 求 二 ”
数学思想: 类比思想、方程思想、 数学建模思想，整体思想
作业反馈
课本46页 习题2.3：1、2、
2、等差数列5，4，3，2，…，则前多少项的和
为 -30；
15
五 个 元 素 : a1, a n , n , d , S n “知 三 求 二 ”
巩固与提高
1.
150 在等差数列{an}中，a2+a9=30，求S10= ——— 260 2. 在等差数列{an}中，已知a7=20，S13 = ——
3. 在等差数列{an}中，已知a6+a9+a12+a15=34， 170 S20= ———— 反思总结：
思考：这种方法能否推广到求一般等 差数列前n项求和呢？
探究发现
倒序相加法
如何求等差数列an 的前n项和Sn ?
由
+) S n = a n + a n －1 + a n －2 + … + a 2 + a 1 2S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n －1 ) +…+ ( a n + a 1 ) =n ( a 1 + a n ) 故等差数列的前 n 项求和公式：
101×50=5050
实际上高斯解决了求等差数列
1,2,3,4，…n,…
前100项的和的问题
如何求等差数列
1,2,3,4，…n,… 前n项的和？
定义 一般的，我们称
a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和，用Sn 表示，即
Sn =a1+a2+a3+…+an
求等差数列 1,2,3,…n,…前n项的和？
当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观 察，灵活应用等差数列的性质，看能否用 整体思想求a1+an的值.
学以致用
例2： 2000年11月14日教育部下发了《关于小学 “校校通”工程的通知.某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的 时间，在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费 为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么 从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工 程的总投入是多少？
2Sn n(a1 an )
an a1 (n 1)d
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2