九年级数学第一学期期中知识点梳理

2014-2015九年级第一学期期中知识点梳理一、考试范围：第二十三章到第二十四章，内容分别是：数据分析、一元二次方程、图形的相似、解直角三角形、反比例函数。

二、知识点梳理（按章节进行详细梳理）第二十三章：数据分析 1、加权平均数=权之和权数据权数据⋯⋯+⨯+⨯=⋯⋯⋯⋯总总 (作用：综合考量整组数据) 2、中位数：将数据按大小排列后，处于中间位置的一个数，或处于中间位置的两个数的平均值 （作用：确定某个数据所处位置（中上或中下））3、众数：出现次数最多的数 （作用：确定某种型号或品种最受欢迎）4、极差：一组数据中的最大值减去最小值5、方差：])(...)()[(1222212x x x x x x nSn -++-+-=（极差、方差作用：确定数据的稳定性和波动性）第二十四章：一元二次方程 第一节、 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 02=++c bx ax (a ≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程；（4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0） 第二节、解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：（1）、直接开平方法：用直接开平方法解形如 (n ≥0)的方程，其解为x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.（2）、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

①.转化： 将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）②.系数化1： 将二次项系数化为1 ③.移项： 将常数项移到等号右侧④.配方： 等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 ⑤.变形： 将等号左边的代数式写成完全平方形式 ⑥.开方： 左右同时开平方⑦.求解： 整理即可得到原方程的根 （3）、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=ac b 42-的值，当ac b 42-≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(ac b 42-≥0)就可得到方程的根。

2200(0)040ax bx c a b ac∆>⇔⎧++=≠⎪→∆=⇔⎨∆=-⎪∆<⇔⎩有两个不相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式没有实数根(4)、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

第三节、一元二次方程根与系数的关系12212212121221220(0)00b x x a ax bx c a c x x a x x x x x x x x ax bx c x x x x ⎧+=-⎪⎪++=≠→∆≥→⎨⎪∙=⎪⎩+++∙=++=--一元二次方程以、为根的一元二次方程：（）（）（）第四节、一元二次方程的应用常见题型：（1）、传播问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题①．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？②.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？③.一个正八边形，它有多少条对角线？ (3)、平均率问题 ①.平均增长率问题 ②.平均下降率问题 (4)、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润 一件商品的利润³销售量=总利润 单价³销售量=销售额(5)、面积问题如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?(6)、银行问题王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．(7)、图表信息问题 例：某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积＝该区人口总数该区住房总面积，单位：平方米/人）．该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图12—4，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米?答：_______年比上一年增加的住房面积多，多增加__________万平方米．（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？第二十五章：图形的相似 第一节、比例线段1、两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比2、比例尺=图上距离／实际距离3、比例的基本性质：如果，那么ad=bc4、合比性质、等比性质：合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b mn k++++++++===5、、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长第二节：平行线分线段成比例 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A第三节：相似三角形1、相似三角形,就是形状相同,但大小不一样。

2、定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

第四节：相似三角形的判定1、两角对应相等，两三角形相似。

2、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

3、三边对应成比例，两三角形相似。

第五节：相似三角形的性质 1、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。

2、相似三角形周长的比等于相似比。

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

第六节：相似三角形的应用 例1、如图所示，某人身高1.8米，站在一路灯下时无影子，然后背对路灯向前走了6米，此时他的影长为2米，求灯泡距地面的高度．例2、如图所示，河的两岸边各有一根电线杆A ，B ，怎样在河的一边测得A ，B 间的距离？分析：测量和计算高度或宽度是相似三角形的重要应用．需要构造出两个相似三角形，使其中的一个在河的岸边，三边都可测量，另一个三角形的一边也在这一岸边，可以测量，且AB也是这个三角形的一边，根据比例关系可求出AB．例3、阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=8.7m，窗口高AB=1.8m，那么，窗口底边离地面的高BC等于多少?分析：此题可抽象为下列几何问题：例4、一天的某个时刻，测得1m的竹竿AB（垂直于地面）的影子长AC=0.9m,立即测树高时发现树影的一部分在地面长2.7m，而树影的另一部分留在附近的墙上高1.2m，如图，你能算出树高吗？分析：上述问题可以抽象为如图所示的几何图形，运用相似对应边成比例求解第七节：相似多边形和图形的位似1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.2、这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.3、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形具有相似图形的所有性质.4、画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),第二十六章：解直角三角形1、Rt△ABC中(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边2、特殊值的三角函数：a sina cosa tana cota30°123233345°22221 160°32 123333、互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sin α, tan(90°-α)=cot α, cot(90°-α)=tan α. 4、解直角三角形的应用中的几个概念 ①．仰角、俯角如图1所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的角叫做俯角．②．水平距离、垂直距离、坡面距离如图2所示，BC 代表水平距离，AC 代表垂直距离，AB 代表坡面距离．③．坡度、坡角如图3所示，把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即lh i =，坡度一般写成l h :的形式，如⎪⎭⎫ ⎝⎛==515:1i i 即．坡面与水平的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：αtan ==lhi .坡度越大，则α角越大，坡面越陡. ④．方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于︒90的水平角，叫方向角，如右图，OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东︒60，北偏西︒30，西南方向，南偏东︒205、经典案例：例 1. 如图31—3—7，瞭望台AB 高20m ，瞭望台底部B测得对面塔顶C 的仰角为60°，从瞭望台顶A 测得C 的仰角为45°，已知瞭望台与塔CD 地势高低相同，求塔CD 的高。