2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网

上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的

资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参

考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规

则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展

示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员 (打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

机器人避障问题

一、摘要

随着社会科学技术的发展及社会效率的提高，最优化问题也就变成了急需要解决的

问题，本文所求的最短路程和最短时间问题就属于最优化问题。

问题一运用非线性规化求得最优化结果。在机器人不碰到障碍物限定区域范围的前

提下确保路线的最优。由于路线的不确定性，为了避免大量的反复计算，先通过AutCAD

软件初步比较其各路线的距离。通过数学证明可以得出：最短路径是由两部分组成：一

部分是平面上的自然最短路径直线，另一部分是圆弧，这两部分是“相切连接的”。依

据这个结果，我们就可以认为最短路径是由直线和圆弧共同组成，因此我们建立了线圆

结构，这样当求解的路程过多个拐点时我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来

求解。在运用LINGO软件求解时，可直接得出直线与圆弧相切的切点坐标，从而得出最

优解。并对软件得出的最优解进行检验，从而可以得出其各路程的最短距离如下: O→A最短距离： 471.0372

O→B 最短距离： 815.5120

O→C 最短距离： 1048.802

O→A→B→C→O最短距离 2678.2800

对于问题二，从三个方面建立三组不同的模型。第一个模型是当路径最短时，求其

所有的时间。第二个模型是将圆心固定在点（80,210）处保持不变，讨论半径的变化对

时间的影响，并得出这种情况下时间最短所对应的圆弧半径及最短时间。第三个模型是

确保障碍物端点（80,210）到圆弧的十个单位长度保持不变，这样可使半径在任何值时，

机器人所走的曲线总是最短的，建立数学模型并利用LINGO软件求解，得出此时所对应

的半径、圆弧所对应的圆心坐标及最短时间。得出三组模型所对应的时间如下：

第一个模型所用时间： 96.01764

第二个模型所用时间： 94.56434

第三个模型所用时间： 94.22825

得出问题二O→A路径所用的最短时间为94.22825。

关键词：AutCAD软件 LINGO11.0软件解析几何最优化求解非线性

规划模型限定区域

二、问题重述

图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍

障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。

机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为

2

1.0100

e

1)(ρ

ρ-+=

=v v v ，其中ρ是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧

翻，无法完成行走。

请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：

(1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。

注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。

图1 800×800平面场景图

三、问题分析

第一个问题是求各点间的最短路径的优化，其中O→A有两个方向，通过数学证明可以得出路径方向，又因方向中有多个方案，于是本文通过CAD的准确测量得出路径的范围，然而路径中O→B或O→C出现了多个拐点，当出现多个拐点时，就会出现两种情况，一种是和O→A情况一样，选障碍物的端点为圆心，另一种是让圆心有所移动从而使其结果达到最优化。这样的优化问题，可以先规定好区域和两线段与圆弧相切的条件，然后用LINGO软件来求解，这样就可以准确计算出坐标值和路径长度。在LINGO的参数取定的时候，可以使用二分法来合理取值，从而符合最优化。

第二个问题是求到达两点间的最短时间，由于其圆弧转弯时的速度会随着半径的增大而增大，但是路径的长度也会随着半径的增大变大，从而不能通过简单的数学运算得出最短时间的路径，在第一个问题所求OA路径最短的基础上，用最大速度通过最短的路程的方法，建立一个模型得出一个区域范围，并运用线性规划模型求解。对此再建立两个模型求解，第一个模型：确定圆心但不确定半径来求解最短时间问题，可通过改变其圆弧的半径使机器人最短时间到达。第二个模型：确保其端点（80,210）到圆弧的十个单位长度不改变，半径改变，并用LINGO11.0对这两个模型进行编程求解出最优解。问

题二可通过CAD软件制图来验证所求的解是否是最优解。