知识讲解 生活中的圆周运动 提高

生活中的圆周运动编稿：周军 审稿：吴楠楠【学习目标】1、能够根据圆周运动的规律，熟练地运用动力学的基本方法解决圆周运动问题。

2、学会分析圆周运动的临界状态的方法，理解临界状态并利用临界状态解决圆周运动问题。

3、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。

【要点梳理】要点一、静摩擦力提供向心力的圆周运动的临界状态 要点诠释：1、水平面上的匀速圆周运动，静摩擦力的大小和方向物体在做匀速圆周运动的过程中，物体的线速度大小不变，它受到的切线方向的力必定为零，提供向心力的静摩擦力一定沿着半径指向圆心。

这个静摩擦力的大小2f ma mr ω==向，它正比于物体的质量、半径和角速度的平方。

当物体的转速大到一定的程度时，静摩擦力达到最大值，若再增大角速度，静摩擦力不足以提供物体做圆周运动所需要的向心力，物体在滑动摩擦力的作用下做离心运动。

临界状态：物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。

此时物体的角速度rgμω=（μ为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。

2、水平面上的变速圆周运动中的静摩擦力的大小和方向无论是加速圆周运动还是减速圆周运动，静摩擦力都不再沿着半径指向圆心，静摩擦力一定存在着一个切向分量改变速度的大小。

如图是在水平圆盘上的物体减速和加速转动时静摩擦力的方向：（为了便于观察，将图像画成俯视图）要点二、竖直面上的圆周运动的临界状态 要点诠释：1.汽车过拱形桥在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。

对于变速圆周运动，需要特别注意几种具体情况下的临界状态。

例如：汽车通过半圆的拱形桥，讨论桥面受到压力的变化情况（1）车在最高点的位置Ⅰ时对桥面的压力对车由牛顿第二定律得： Rv m F mg N 2=-为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即0N F > 所以车的速度应满足关系gR v <临界状态：汽车在最高点处桥面对汽车的支持力为零，此时汽车的速度gR v =。

如果gR v =，在不计空气阻力的情况下，汽车只受到重力的作用，速度沿着水平方向，满足平抛运动的条件，所以从此位置开始，汽车将离开桥面做平抛运动，不会再落到桥面上。

（2）汽车沿着拱形桥面向下运动时车对于桥面的压力当汽车在跨越最高点后的某一位置Ⅱ时由牛顿第二定律得2N v mg sin F m Rθ'⋅-=解得汽车对于桥面压力的大小2N v F mg sin m Rθ'=⋅-可见在汽车速度大小不变的情况下，随着角θ的不断减小，汽车对桥面的压力不断减小。

临界状态：当2arc v sin Rgθ=时，汽车对桥面的压力减小到零。

从此汽车离开桥面做斜下抛运动。

所以要使得汽车沿着斜面运动，其速度必须满足：0NF '>，即车的速度v gR 'sin <θ。

2.细线约束的小球在竖直面上的变速圆周运动例如，用长为R 的细绳拴着质量是m 的物体，在竖直平面内做圆周运动。

在最高点处，设绳子上的拉力为T根据牛顿第二定律列方程得：2mv T mg R+=V由于绳子提供的只能是拉力，0T ≥ 所以小球要通过最高点，它的速度值v gR ≥。

临界状态：在最高点处，当只有重力提供向心力时，物体在竖直面内做圆周运动的最小速度是v =若在最高点处物体的速度小于Rg v =这个临界速度，便不能做圆周运动。

事实上，物体早在到达最高点之前，就已经脱离了圆周运动的轨道，做斜上抛运动。

3.轻杆约束小球在竖直面上的变速圆周运动例如，一根长度为R 轻质杆一端固定，另一端连接一质量为m 的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。

在最高点，设杆对球的作用力为F N ，规定向下的方向为正方向，根据牛顿第二定律列方程得：2N mv F mg R+=因为杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以00N N F F ≥<，也可以 当0N F <时，杆对球提供向上的支持力，与重力的方向相反； 当0N F ≥时，这与绳子约束小球的情况是一样的。

所以轻杆约束的情况可以存在两个临界状态：①在最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力，大小等于小球的重力；②在最高点处的速度是Rg v =时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力。

球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力；球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。

要点三、物体做离心与向心运动的条件外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动要点四、处理圆周运动的动力学问题时应注意的问题 （1）确定向心力的来源。

向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力。

（2）确定研究对象的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。

例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图所示，小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O ′点，而不是在球心O ，也不在弹力F N 所指的PO 线上。

（3）物体在静摩擦力作用下做匀速圆周运动时，相对滑动的临界条件是恰好达到最大静摩擦力。

（4）物体在不同支承物（绳、杆、轨道、管道等）作用下，在竖直平面做圆周运动，通过最高点时的临界条件。

①轻绳模型如图所示没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：2mv mg R=得 v =临界转不过的速度）能过最高点的条件：v v ≥临界，当V v 临界＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． 不能过最高点的条件：V V 临界＜，实际上球还没到最高点时就脱离了轨道.②轻杆模型（2）如图（a ）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，管壁支撑情况与杆一样。

当v ＝0时，N ＝mg （N 为支持力）当 0v ＜ N 随v 增大而减小，且mg N 0＞＞，N 为支持力． 当v=Rg 时，N ＝0当v ＞Rg 时，N 为拉力，N 随v 的增大而增大若是图（b ）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力．【典型例题】类型一、生活中的水平圆周运动 例1、（2015 安阳二模）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A 、B 两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）A ．B 的向心力是A 的向心力的2倍B ．盘对B 的摩擦力是B 对A 的摩擦力的2倍C ．A 、B 都有沿半径向外滑动的趋势D ．若B 先滑动，则B 对A 的动摩擦因数A μ小于盘对B 的动摩擦因数B μ 【答案】BC【解析】因为A 、B 两物体的角速度大小相等，根据2n F mr ω=，因为两物块的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，则向心力相等；对A 、B 整体分析，22B f mr ω=，对A 分析，有2A f mr ω=，知盘对B 的摩擦力是B 对A 的摩擦力的2倍，则B 正确；A 所受的摩擦力方向指向圆心，可知A 有沿半径向外滑动的趋势，B 受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故C 正确；对AB 整体分析，222B B mg mr μω=，解得：B ω=A 分析，2A A mg mr μω=，解得A ω=B先滑动，可知B 先到达临界角速度，可知B 的临界角速度较小，即B A μμ<，故D 错误。

【总结升华】解决本题的关键知道A 、B 两物体一起做匀速圆周运动，角速度大小相等，知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解。

例2、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示．长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ．不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．【思路点拨】座椅在水平面内做匀速圆周运动，其半径是它到转轴之间的水平距离。

【答案】ω=【解析】对座椅进行受力分析，如图所示．y 轴上：cos F mg θ=， ①x 轴上：2sin (sin )F m r L θωθ=+， ②则由②①得：2(sin )tan r L g ωθθ+=，因此ω=【总结升华】本题是一道实际应用题，考查了学生用物理知识解决实际问题的能力，解答这类问题的关键是把实际问题转化成物理模型，用物理知识解决实际问题，这是学习物理的最高境界，也是近几年高考命题一个非常明显的趋向． 类型二、生活中的竖直圆周运动例3、（2016 沈阳市东北育才学校三模）如图所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合。

转台以一定角速度甜匀速转动。

一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线与OO ＇之间的夹角θ为60°。

重力加速度大小为g 。

（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；（2）ω=(1±k) ω0，且0＜k ＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向。

【思路点拨】若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小。

当ω〉ω0，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小；当ω〈ω0，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小。

【解析】（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtan θ=mRsin θω02，解得0ω=（2）当ω=（1+k ）ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律得，fcos60°+Ncos30°=mRsin60°ω2， fsin60°+mg=Nsin30°。

联立两式解得(2)2k f mg +=当ω=（1－k ）ω时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律得， Ncos30°－fcos60°=mRsin60°ω2， mg=Nsin30°+fsin60°联立两式解得(2)2k f mg -=。