自动控制原理第5章(3)

故对数幅频特性为 L (ω ) = 20 lg
1 (Tω ) 2 + 1
= −20 lg (Tω ) 2 + 1
在时间常数T已知时，可以在ω从0变化到∞的范围内，逐点求出L(ω) 值，从而绘制出精确的对数幅频特性曲线，但十分费时。在工程中，一 般采用渐近线近似的方法，这已经满足大多数情况下的要求。
1.低频段 在Tω<<1(或ω<<1/T)的区段,可以近似地认为Tω≈0, 从而有 L (ω ) = −20 lg (T ω ) 2 + 1 ≈ −20 lg1 = 0 故在频率很低时,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示, 这称为低频渐近线。
对数相频特性为ϕ(ω) = -arctanTω。 为了近似绘制相频特性,选择确定以下几个点。
同时，由于惯性环节的 相位与频率呈反正切函数 关系，所以，对数相频特 性曲线将对应于ω=1/T及 ϕ (ω)=-45° 这 一 点 对 称，可以清楚地看出在整 个频率范围内，ϕ(ω)呈滞 后持续增加的趋势，极限 为-90°。
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg (τω ) 2 + 1
对数相频特性为
ϕ(ω)=arctan(τω)
按照与惯性环节相似的作图方法画图。
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg (τω ) 2 + 1
1. 低频段 在Tω<<1(或ω<<1/T) 的区段,对数幅频特性可以近 似用零分贝线表示,为低频渐 近线。 2.高频段 在Tω>>1(或 ω >>1/T) 的区段,可以近似地认为高频 渐近线是一条斜线, 斜率为 20dB/dec, 当 频 率 变 化 10倍频时,L(ω)变化20dB。 转折频率为ωT=1/T。
1 (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ζTω ) 2
幅频特性为
A(ω ) =
对数幅频特性为
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = −20 lg (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ζTω ) 2
1.低频段： Tω<<1(或ω<<1/T)时, L(ω)≈20lg1=0dB，低频渐近线与0dB 线重合。 2.高频段： Tω>>1(或ω>>1/T)时,并 考虑到（0≤ζ≤1），有
可知,一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相 应特性互以横轴为镜像。精确曲线的修正方法也与惯性环节相 同。但需要注意到修正值的符号相反。如转折频率处ωT对应的 精确值是L（ωT）=0+3=3dB。
六、二阶振荡环节 振荡环节的频率特性为
G ( jω ) = 1 1 + 2ζTjω − T 2ω 2
ωr = ωn 1 − 2ξ 2
Ar = 1 2ξ 1 − ξ 2
L (ω )
振荡环节
1 2ξ 1 − ξ 2
40db
20 lg
20 lg
1 2ξ
1 G (s) = 2 s + 2ξ s + 1
20db 0db 0.1 1 10 100
ω
-20db
-40db
-40db
当0﹒4≤ζ≤0﹒7时，误差小于3分贝，这时可以不对 渐近线进行修正；但当ζ<0.4或ζ>0.7，误差很大，应 该对渐近线进行修正。
对数频率特性的横坐标采用对数比例尺(或称对数标度), 横坐标即频 率坐标是按ω的对数值1gω进行线性分度的，如ω=1,lg1=0； ω=2,lg2=0.301；ω=3,lg3=0.477；ω=4,lg4=0.602； ω=5,lg5=0.699；ω=6,lg6=0.778；ω=7,lg7=0.845； ω=8,lg8=0.903；ω=9,lg9=0.954；ω=10,lg10=1。
对数幅频特性曲线的纵坐标是将A(ω)取常用对数，并乘上 20倍，变成对数幅值L(ω) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg A(ω ) ,单位为dB （分贝）。由于直接标注L(ω)的数值，纵坐标是均匀的普通比 例尺。A(ω)每变大十倍,L(ω)增加20dB。 至于对数相频特性,其横坐标与幅频特性的横坐标相同,不是 均匀的线性刻度；其纵坐标直接表示相角位移,单位为“度”(°), 采用普通比例尺。
L (ω )
惯性环节
40db 20db 8db 0db -20db -40db
ω
0.1 0.2 1 2 10 20
-20db
1 0 .5 s + 1 10 s+4
G(s) =
G(s) =
w
五、一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为
G ( jω ) = ( jτω + 1)
其幅频特性为 A(ω ) = (τω ) 2 + 1 对数幅频特性为
为高频渐近线。 它与低频渐近线的交点为ωT =1/T。高频渐近线和低频渐近线 的交点频率ωT=1/T称为转折频率，转折频率是绘制惯性环节的对数 频率特性时的一个重要参数。
渐近特性和准确特性相比,存在误差:越靠近转折频率,误差越 大，如在转折频率这一点,误差最大，精确值为 L(ω=1/T)=-20lg21/2=-3dB 这说明,在转折频率处,精确值应为用渐近线绘制的对数幅值减 去3dB。 为简化对数频率特性曲 线的绘制，常常使用渐 近对数幅频特性曲线 （特别是在初步设计阶 段）。同时，如需由渐 近对数幅频特性曲线获 取精确曲线，只须分别 在低于或高于转折频率 的一个十倍频程范围内 对渐近对数幅频特性曲 线进行修正就足够了。
比例环节的相频特性仍为ϕ(ω)=0°, 与ω无关，为相频特性图的横轴。
L (ω )
20db
L (ω ) = 20lg K K>1 K=1
ω
0.1
1
10
K<1
90 45
ϕ (ω )
ϕ (ω ) = 0
ω
w
0
比例环节
二、积分环节
积分环节的频率特性为 G ( jω ) =
1 jω
幅频特性为A(ω)=1/ω 其对数幅频特性为 L(ω)=20lgA(ω)=20lg(1/ω) =-20lgω 绘出对数幅频特性曲线上的几个点： 当ω=0.1时,L(0.1)=+20dB ； 当ω=1时,L(1)=0dB； 当ω=10时, L(10)=-20dB。 积分环节的对数相频特性为 ϕ(ω)=-90°。 它与频率无关,在0≤ω≤∞的频率范围 内,为平行于横轴的一条直线。
L (ω )
微分环节
40db 20db
ω
0db -20db -40db 0.1 0.2
20db
1
2
10
20
G ( s ) = s G ( s ) = 0.1s
G ( s ) = 10s
w
四、惯性环节
惯性环节的频率特为 G( jω) = 幅频特性A(ω)=
1 (Tω ) 2 + 1
1 jTω +1
G( jω ) = K / jω
则对数幅频特性为
L(ω)=20lgA(ω)=20lg(K/ω)=20lg K -20lgω
相当于整体斜线高度上升20lg K ，K的变化只影响 对数幅频特性曲线的升降，不改变原有形状与对数 相频特性。 此时L(1)=20lg K，对数频率特性曲线在ω=K这一 点穿过0dB线。
与积分环节类似，L(ω)跟随lgω变 化，二者之间的函数关系是均匀线性的， 斜率为20dB/dec。频率每增加10倍， 幅频特性上升20dB。它在ω=1处穿过零 分贝线。 理想微分环节的相频特性为 ϕ(ω)=90° 在0＜ω＜∞的范围内,它是平行 于横轴的一条直线。
积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，只相差正负号，二者 以ω轴为基准，互为镜象；同理，二者的相频特性互以ω轴为镜象。 G(jω)=jKω, L（ ω）=20lgK+20lgω 斜率：20db（1个对数单位尺度内，上升20db ） 与实轴交点为： ω=1/K 若K值变化将使对数幅频特性曲线上升（K＞1）或下降（0＜K＜1）
L (ω )
积分环节
40db 20db
-20db
0db -20db -40db 0.1 0.2 1 2 10 20
ω
G(s) =
1 10 1 G(s) = G(s) = s s 5s
w
三、微分环节
理想微分环节的频率特性为
G(jω)=jω
幅频特性为A(ω)=ω，对数幅频特性为
L(ω)=20lgA(ω)=20lgω
图5-37 二阶系统渐近线的修正曲线
振荡环节的对数相频特性为
⎛ 2ζTω ⎞ ϕ (ω ) = − arctan ⎜ 2 2 ⎟ ⎝1− T ω ⎠ 当ω=0时，ϕ(ω)=0；
ω=1/T时，ϕ(ω)=-90°； ω→∞时，ϕ(ω)→-180°。
与惯性环节相似，振荡环节的 对数相频特性曲线将对应于 ω=1/T及ϕ(ω)（ω）=-90° 这一点斜对称。 振荡环节的对数相频特性既是ω的函数，又是ζ的函数。随阻 尼比ζ不同，对数相频特性在转折频率附近的变化速度也不同。 ζ越小，相频特性在转折频率附近的变化速度越大，而在远离 转折频率处的变化速度越小。
频率每增加10倍，幅频特性下 降20dB，故积分环节的对数幅频特 性是一条斜率为-20dB/dec的斜线, 并且在ω=1这一点穿过0dB线。 实际上由于lgω相当于自变量， 从对数幅频特性的表达式可以直接 看出，L(ω)跟随lgω变化，二者之间 的函数关系是均匀线性的，斜率为20dB/dec。
当积分环节的比例系数为K时，即频率特性为
5.3对数频率特性及其绘制
5.3.1对数频率特性曲线基本概念 对数频率特性曲线是频率法中应用最广泛的曲线， 常称为波德(Bode)图，分为对数幅频特性曲线和对 数相频特性曲线。 波德图是绘制在以10为底的半对数坐标系中的，它 的横坐标采用对数刻度，因此刻度不是线性均匀的， 而纵坐标则仍采用均匀的线性刻度。