自动控制原理 第五章 频域分析法

二、频率特性的定义
线性定常系统，在正弦信号作用下， 稳态输出振幅与输入振幅之比，称为 系统的幅频率特性；稳态输出相位与 输入相位之差，称为系统的相频率特 性。 Ac j Ar A j
t j t j
第5章
基本要求 5－1 频率特性
频域分析法
5－2 典型环节的频率特性 5－3 系统的开环频率特性 5－4 频率稳定判据 5－5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 5－6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
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基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。
2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲 线及对数频率特性曲线。
n
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
拉氏反变换 c(t ) Ci e s t ( De jt Be jt ) i 1 得
i
n
ct (t ) cs (t )
ct t
是系统的瞬态分量，最后趋于零。
cs t 是系统的稳态分量。
同理：
D
jw
2
Ar e
j j

2

将B、D代入（5－5）则
cs (t )
( j )
2 ( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
Ar (e
2 2 L( ) 20 lg 1 ( ) (2 ) n n
对数相频特性
2
2 n ( ) arctan 2 1 ( n )
图5－13 振荡环节的对数幅 频渐进特性
2.对数频率特性
振荡环节的对数幅频特性不仅与 n 有关，而且与阻尼比 有关，因此在转折频率附近一般不能简单地用渐近线近似代 替，否则可能引起较大的误差。
( ) 90

积分环节对数幅频曲线在 1 处通过 0dB 线，斜率为
20 dB / dec ；对数相频特性为
90 直线。
三、惯性环节（一阶系统）
传递函数
幅相特性
1 G(s) Ts 1
1 1 j tan1 T G( j ) e Tj 1 (T )2 1
5－ 1
频率特性
输入信号：
其拉氏变换式
r (t ) Ar sin t
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A R( s) 2 2 s
输出
b0 s m bm A C s s Rs 2 r 2 s s1 s s n s Cn C1 B D s s1 s sn s j s j
7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定 性关系。
8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的 概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与 比较。
一、控制系统在正弦信号作用下的 稳态输出
闭环传递函数： b0 s m bm C s b0 s m bm s n s s1 s sn Rs s an
G( s) s
j

2
图5－15
六、一阶微分环节
G( s) s 1
G ( j ) j 1 ( ) 1 e
2
j tan1
图5－16
七、二阶微分环节
s s G ( s) 2 1 n n
Matlab程序 ks=[0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0]; om=10; for i=1:length(ks) num=om*om; den=[1 2*ks(i)*om om*om]; bode(num,den);hold on; end
五、微分环节
G( j ) j e
图5－11
谐振峰值
Am ( m ) 1 2 1 2
2 arctan
n

2
G j
1 1 n
2
2 n
2
e
2
1 n
图5－12 振荡环节的幅相特性
Matlab程序
ks=[0.4 0.6 0.8];om=10; for i=1:3
num=om*om;
den=[1 2*ks(i)*om om*om]; nyquist(num,den); axis('square');hold on; end
2.对数频率特性
对数幅频特性
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G tan1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
图5－9 惯性环节的对数频率特性曲线
四、振荡环节（二阶系统）
一、比例环节（放大环节）
传递函数： 幅相特性：
5－2 典型环节的频率特性
G( s) K
G ( j ) K K e
j 0
1)幅频特性 2)相频特性
A( ) K
( ) 0
L( ) 20 lg K
3)对数幅相特性
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图5－5 比例环节的频率特性曲线
二、积分环节
采用对数坐标图的优点较多，主要表现在： ① 由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频 段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意 义)，而将高频段相对压缩了。可以在较宽的频段范围中研 究系统的频率特性。 ② 由于对数可将乘除运算变成加减运算。当绘制由多个环 节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标 图的纵坐标相加、减即可，从而简化了画图的过程。 ③ 在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系 统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有 相当的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特 性曲线。 ④ 若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对 数频率特性，很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递 函数。
3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数 幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频 特性曲线求开环传递函数的方法。
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5. 熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其 它们的应用。
6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
幅频特性和相频特性曲线
图5－2
RC网络的幅
频特性和相 频特性
幅相频率特性曲线又称奈奎斯特(Nyquist)曲线
图5－3 RC网 络的幅相特性 曲线
2。对数频率特性
• 对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
传递函数
1 G (s) s
1 j2 G ( j ) e

幅相特性
幅频特性
相频特性
1 A( ) ( ) 90
图5－6 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线
对数频率特性
积分环节的对数幅频特性与对数相频特性分别为：
L( ) 20 lg
Ar Ar
二、频率特性的定义
线性定常系统，在正弦信号作用下， 输出的稳态分量与输入的复数比，称 为系统的频率特性（即为幅相频率特 性，简称复相特性）。
频率特性表达式为
(s) |s j ( j) | ( j) | e
j ( j )
例子 以RC网络为例
• 其传递函数
1 G(s) Ts 1
G( j ) G( s) s j 1 Tj 1
频率特性
G ( j ) G ( s) s j 1 Tj 1

1 (T ) 1
2
e
j tan1 (T )
例子 以RC网络为例
频率特性
G ( j ) G ( s) s j 1 Tj 1
1
2 1 2 n n 2 2
( ) t an1
2 n
1 n
2
谐振频率
m 和谐振峰值 Am
dA 0 d
谐振频率
m n 1 2 2
幅频特性：
相频特性：
A( ) 2 2 1 T ( ) arctan T 1
图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
惯性环节幅相特性曲线是一个以(1／2，j0)为圆心、1／2为半径的半圆。 证明如下：
G( j )
其中
1 1 jT X jY 2 2 1 jT 1 T
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
对数相频特性:
( ) ~ (lg )
图5－4 对数坐标刻度图
注意
– 纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；
横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。
– 在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称 为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有 十倍频程的长度都是相等的。 – 为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概 念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对 应的纵坐标分贝数的变化量。
j [ t ( j ) ] 2

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱe
j [ t ( j ) ] 2

Ac sin(t )