第五章线性系统的频域分析法
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长安大学：自动控制原理第五章 线性系统的频域分析
A() 1
A () 1 0 T
() 0
() 90
V() A() sin ()
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第五章
二、研究频率特性的意义 1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自 动控制系统的另一种工程方法。 2、根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特 性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响， 指出系统改进的方向。 3、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系 统来说，很有用处。 三、频率特性的求取方法 1、已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输 出稳态分量和输入正弦的复数比； 2、根椐传递函数来求取； 3、通过实验测得。
设
x c (t) ae jt ae jt b1es1t b2es2t ... b1esn t
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
( t 0)
对于稳定的系统, -s1,s2,…,sn 其有负实部
x c (t) ae jt ae jt
a G(s)
a G (s)
CHANG’AN UNIVERSITY
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第五章
a
AG( j) 2j
AG( j) a 2j
G( j) | G( j) | e jG( j) | G( j) | e jG( j)
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
CHANG’AN UNIVERSITY
A() | G ( j) | U 2 () V 2 () 1 V() () G( j) tg U () U() A() cos()
A () 1 0 T
() 0
() 90
V() A() sin ()
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自动控制理论
第五章
二、研究频率特性的意义 1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自 动控制系统的另一种工程方法。 2、根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特 性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响， 指出系统改进的方向。 3、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系 统来说，很有用处。 三、频率特性的求取方法 1、已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输 出稳态分量和输入正弦的复数比； 2、根椐传递函数来求取； 3、通过实验测得。
设
x c (t) ae jt ae jt b1es1t b2es2t ... b1esn t
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
( t 0)
对于稳定的系统, -s1,s2,…,sn 其有负实部
x c (t) ae jt ae jt
a G(s)
a G (s)
CHANG’AN UNIVERSITY
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
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自动控制理论
第五章
a
AG( j) 2j
AG( j) a 2j
G( j) | G( j) | e jG( j) | G( j) | e jG( j)
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
CHANG’AN UNIVERSITY
A() | G ( j) | U 2 () V 2 () 1 V() () G( j) tg U () U() A() cos()
四、线性系统的频域分析法
其中： A()Ac (j) 幅频特性
A
() (j) 相频特性
RC网络频率特性的物理意义：
1 A()
0.707
频带宽度
b
01 2 3 4 5
TTTT T
() 0
相角迟后
90
01 2 3 4 5
TTTT T
对稳定的线性系统，其频率特性如下：
设： (s)C R ((s s))b a 0 0 ssm n b a 1 1 s sm n 1 1 .... a .b .m n 1 1 s s a b n m
微分环节： s 惯性环节： 1/(Ts1) 一阶微分环节： Ts1
振荡环节： 1 /s (2/ n 2 2s/ n 1 )0 , 1
二阶微分环节： s2/n22 s/n 1 ,01
例如：G(s)s(0.5s K 1()ss( 21 )2s5) 由上述的5个环节组成。
A()1/ ()900
db 60 40 20 0 900
[20]
0.1
1
j
0
幅相曲线
对数频率特性曲线
L()2l0g A()
20lg () 900
10
3）微分环节： s 由 G(s)s
A() ()900
db 60 40 20 0 90 0 00
uc
ur
ur Asi nt c u c
设初值为0， 对上式拉氏变换，设A=1，得：
Uc(s)RC 1s1Ur(s) s1/1T/Ts2 2
RC网络
TRC
s1x/Tsy2sz2 (xy)s2( s (z1 /T y)/T s(2) s x 2 )2z/T
第5章-线性系统的频域分析法
0.1 0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
（） -96.3 -102.5 -116.6 -140.7 -164.7 -195.3 -219.3 -240.6 -257.5
5-4 频率域稳定判据
一、奈氏判据的数学基础 1、幅角原理
设F(s)为复变函数，F(s)
在s平面上任一点 K*(s z1)(s z2) (s zm)
G( j) j L() 20lg () 90
L(dB) 40 20
0 0.01 0.1
1
20
20dB / dec
10
-40
( ) 90
0 0.01 0.1
1
90
10
4、一阶惯性环节
G(
j)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 22
L() 20 lg 1 T 22
() arg tgT
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法，它 反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以 间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性 法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学 模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过 实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次， 应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结 论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分 析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此， 用频率特性法分析系统是很方便的。
1
T
() 45
L(dB) 0
20
40
60 ( )
0
1 T
精确特性
45
90
渐进特性
20dB/ dec
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
线性系统的频域分析法
转折频率：
n 1 T
+20dB/dec
2 2
L( ) 20 lg 1 T
20 0 -20
1 T
• 低频段：T 1时，
G ( j ) j T 1 1 2T 2 e j arctanT
0
幅相曲线：
Im
∞
ω=0
1 Re
A( ) 1 T 幅频特性：
2
2
( ) arctanT 相频特性：
伯德图：
1）对数幅频图
A( ) 1 2T 2
L(ω)/dB
L( ) 20 lg
20dB/dec
ω
( )
90 0 0.1 1 10
2）对数相频图
( ) G( j ) 90
ω
微分环节的对数坐标图
（4）惯性环节
1 传递函数： G ( s ) Ts 1
频率特性： G ( j )
1 1 j T j T 1 1 2 T 2 1 e j arctanT 1 2T 2 1 幅频特性： A( ) 1 2T 2
1 G( s ) Ts 1
解: 将s=jω代入，求得频率特性为：
1 G( j ) G( s ) s j jT 1 1 T j 2 2 2 2 1 T 1 T
1 1 2T 2
11
e j arctanT
2 2T 22 1 1 T ( ) G( j ) arctan T 相频特性： T 虚频特性： Q( ) Im[ G ( j )] 1 2T 2
R(s) C(s)
G(s)
结论： 稳定的系统，在正弦信号作用下其稳态 输出也是同频率的正弦信号，但振幅和相 位不同。
自动控制原理课件：线性系统的频域分析
曲线顺时针方向移动一周时，在 平面上的映射曲线按逆时针方向
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法
第四象限
第三象限
Mr
注意： （特殊点与趋势） 1. A(0) 1, (0) 0; A() 0, () 180 2. 与虚轴的交点 （转折点，是阻尼比的减函数） 2 (0 ) 3.有谐振时， 2 r , M r 为 的减函数 。当 2 0.707 时，谐振峰值 M r 1 。 2
7.延迟环节和延迟系统
1.典型环节
2.最小相位环节的频率特性
（考试、考研重点，nyquist图与bode图必须会画，概率图）
考试的标准画法
L(dB)
20
10
20 lg k
0
10
1
10
100
1000
o
( )
10
0
1
10
100
1000
10
比例环节的nyquist图与bode图
本节目录 1.典型环节 2.最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图）
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。 6.传递函数的频域实验确定
考试的标准画法
o
注意考察几个特殊点： A(0), (0);
积分环节的nyquist图与bode 图
A(), ()
与横轴的交点。 注意横竖坐标交点处的的横坐标值（如果交点处没标横坐标值，则斜线不到头）
比较交点不标记的情况
0
0
纯微分环节的Bode图
半对数坐标系中的直线方程（重要，bode图解计算时经常用到）
自动控制原理的MATLAB仿真与实践第5章 线性系统的频域分析
MATLAB提供了许多用于线性系统频率分析 的函数命令，可用于系统频域的响应曲线、参数分析 和系统设计等。常用的频率特性函数命令格式及其功 能见表5-1。 bode (G)：绘制传递函数的伯德图。其中：G为传递
函数模型，如：tf(), zpk(), ss()。 bode(num,den)：num,den分别为传递函数的分子与
margin(G)；[Gm,Pm,Wcg,Wcp]= margin(G)： 直接求出系统G的幅值裕度和相角裕度。 其中：Gm幅值裕度；Pm相位裕度；Wcg幅值裕度 处对应的频率ωc；Wcp相位裕度处对应的频率ωg。
nichols(G);nichols(G,w)：绘制单位反馈系统开环传 递尼科尔斯曲线。
20
>>clear; num=[2, 3];den=[1, 2, 5, 7]; %G(s)的分子分母 多项式系数向量
p=roots(den) 求根结果：
%求系统的极点
p=
-0.1981 + 2.0797i
-0.1981 - 2.0797i
-1.6038 可见全为负根，则s右半平面极点数P=0。 绘制Nyquist曲线： >> nyquist(num,den) %绘制Nyquist曲线
本节分别介绍利用MATLAB进行频域绘图和频 率分析的基本方法。
6
5.2.1 Nyquist曲线和Bode图
MATLAB频率特性包括幅频特性和相频特性。 当用极坐标图描述系统的幅相频特性时，通常称为 奈奎斯特（Nyquist）曲线；用半对数坐标描述系 统的幅频特性和相频特性时，称为伯德（Bode） 图；在对数幅值-相角坐标系上绘制等闭环参数（ M和N）轨迹图，称为尼克尔斯（Nichols）图。
函数模型，如：tf(), zpk(), ss()。 bode(num,den)：num,den分别为传递函数的分子与
margin(G)；[Gm,Pm,Wcg,Wcp]= margin(G)： 直接求出系统G的幅值裕度和相角裕度。 其中：Gm幅值裕度；Pm相位裕度；Wcg幅值裕度 处对应的频率ωc；Wcp相位裕度处对应的频率ωg。
nichols(G);nichols(G,w)：绘制单位反馈系统开环传 递尼科尔斯曲线。
20
>>clear; num=[2, 3];den=[1, 2, 5, 7]; %G(s)的分子分母 多项式系数向量
p=roots(den) 求根结果：
%求系统的极点
p=
-0.1981 + 2.0797i
-0.1981 - 2.0797i
-1.6038 可见全为负根，则s右半平面极点数P=0。 绘制Nyquist曲线： >> nyquist(num,den) %绘制Nyquist曲线
本节分别介绍利用MATLAB进行频域绘图和频 率分析的基本方法。
6
5.2.1 Nyquist曲线和Bode图
MATLAB频率特性包括幅频特性和相频特性。 当用极坐标图描述系统的幅相频特性时，通常称为 奈奎斯特（Nyquist）曲线；用半对数坐标描述系 统的幅频特性和相频特性时，称为伯德（Bode） 图；在对数幅值-相角坐标系上绘制等闭环参数（ M和N）轨迹图，称为尼克尔斯（Nichols）图。
第五章 线性系统的频域分析法-5-2——【南航 自动控制原理】
)2
A(0) 1 (0) 0
G(jn )
A() 0 () 180
j
G(j0)
●
0
G(jn )
共振点
G( jn ) (n ) 0 G( jn ) (n ) 180
变化趋势 0 n () 0 , A() :1
n () 180 , A() : 0
零阻尼振荡环节在自然振荡频率处，相角突变180°。
A()
谐振现象是振荡系统的 特性，谐振频率 r 与系 统固有频率 n 和阻尼比
有关。当谐振频率等于
频率响应峰值
Mr 1/ (2 1 2 )
阶跃响应超调
p exp( / 1 2 )
固有频率时，则发生共振。
共振的危害巨大。
当阻尼比较小，且系统谐振频率处于输入信号的
频率范围时，系统输出会出现很大的振荡，影响系
5.2 典型环节与开环系统的频率特性
环节是系统的基本组成单元。將环节进行分类形成 典型环节。典型环节的频率特性是开环系统频率特性 的分解，而开环系统频率特性是闭环系统分析与设计 的基础。
一、典型环节的频率特性
1.典型环节的分类
环节：系统增益、零点或极点对应的因式
分类：按照增益的正负性、零点或极点的位置（实数 或复数、位于左半平面或右半平面）进行划分，共分 为最小相位、非最小相位两大类、12种典型环节。
设互为倒数的典型环节频率特性为
G1(j)=A1()e j1() G2 (j) =A2 ()e j2 ()
则由 G1(s) 1/ G2 (s) 得
A1()e j1 ( ) =A21()e j2 ( )
L1() L2 ()
互为倒数典型环节的对数相频曲线关于0°线对称， 对数幅频曲线关于0dB线对称。
线性系统的频域分析法
第五章线性系统的频域分析法5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。
图5-1 问5-1图称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。
稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。
5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。
证若系统的传递函数为，则相应系统的频率特性为，即将传递函数中的s用代替。
证明如下。
假设系统传递函数为：输入时，经拉氏反变换，有：稳态后，则有：其中：将与写成指数形式：则：与输入比较得：幅频特性相频特性所以是频率特性函数。
5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。
答频率特性的几何表示一般有3种方法。
⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。
它以频率为参变量，以复平面上的矢量来表示的一种方法。
由于与对称于实轴，所以一般仅画出的频率特性即可。
⑵对数频率特性曲线（伯德图）。
此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的频率特性。
横坐标为，但常用对数分度。
对数幅频特性的纵坐标为，单位为dB。
对数相频特性的纵坐标为，单位为“。
”（度）。
和都是线性分度。
横坐标按分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用可给作图带来很大方便。
⑶对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。
这种方法以为参变量，为横坐标，为纵坐标。
5-4 什么是典型环节？答将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为典型环节。
①比例环节k(k>0) ；②积分环节；③微分环节s；④惯性环节；⑤一阶微分环节；⑥延迟环节；⑦振荡环节；⑧二阶微分环节 ；⑨不稳定环节。
典型环节频率特性曲线的绘制是系统开环频率特性绘制的基础，为了使作图简单并考虑到工程分析设计的需要，典型环节对数幅频特性曲线常用渐近线法近似求取。
自动控制原理 第五章(第一次课)
autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
线性系统的频域分析_自动控制原理
X G(-j )X d 1 G(s) 2 (s j ) S -j 2 2j s X G(j )X d 2 G(s) 2 (s - j ) S j 2 2j s G(j ) | G(j ) | e j G(-j ) | G(-j ) | e - j | G(j ) || G(-j ) |
第五章 线性系统的频域分析 §1 频率响应及其描述
一．频率特性 1.频率特性的基本概念 a.RC网络
右图所示的RC 网络的微分方程为
0 T dU dt U 0 U i
R UI C U0
式中
T RC 则
U 0 (S) U i (S)
1 TS 1
设 U i Asin t U 0 (S)
说明: 1.在稳态求出的输出信号 与输入信号的幅值比是 的非 线性函数, 称为幅频特性 Y/X | j ) | 2.输出信号与输入信号的 相位差是的非线性函数 ,称 为相频特性 .它描述在稳态情况下 ,当系统输入不同频率 的谐波信号时 , 其相位产生超前 ( 0 )或滞后( 0 )的 特性. 3.幅频特性和相频特性总 称为频率特性 , 记为 G(j ) G(j ) e jG(j ) 4.频率特性的求取 G(j ) G(s) s j
X(t) xsint Y(S)
B( s ) x ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) (s j )(s - j ) d1 d2 c1 cn s j s j s s1 s sn
y(t) d1e - jt d 2e jt c1e s1t c n e sn t 对于稳定系统 ,由于极点S1 , S2 , , Sn都有负实部 , 所以当t 时 y ss ( t ) d1e jt d 2e jt
自动控制原理 第五章-2
Determine the stability of the system for two cases (1)K is small(2) K is large
G ( j ) H ( j )
K (1 jT1 )(1 jT2 )( j ) (1 T12 2 )(1 T22 2 ) K ((T1 T2 ) j (1 T 1T2 2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
0 ~ 90
K ( j 3) G ( j ) H ( j ) j ( j 1) K [4 j (3 2 )] (1 2 )
Im[G( j ) H ( j )] 0
c 3
G ( j ) H ( j )
K ( j 3) j ( j 1)
越(－∞，－1)区间一次。 开环频率特性曲线逆时针穿越(－∞，－1)区间时，随ω增加，频 率特性的相角值增大，称为一次正穿越N’+。 反之，开环频率特性曲线顺时针穿越(－∞，－1)区间时，随ω增 加，频率特性的相角值减小，则称为一次负穿越N’－。 频率特性曲线包围(－1，j0)点的情况，就可以利用频率特性曲线 在负实轴(－∞，－1)区间的正、负穿越来表达。
除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据 为奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯 特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判 据。奈氏判据的主要特点有
1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而 不必求闭环特征根；
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。 3.可分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
N(s)=0 的根为开环传递函数的极点。
第5章线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念1.频率特性的
·145·第5章 线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念 1. 频率特性的定义设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比)(ωA 称为幅频特性，其相位与输入正弦信号的相位之差)(ωϕ称为相频特性。
系统频率特性与传递函数之间有着以下重要关系：ωωj s s G j G ==|)()(2. 频率特性的几何表示用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法：（1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist ）曲线或极坐标图。
它是以ω为参变量，以复平面上的矢量表示)(ωj G 的一种方法。
（2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode ）图。
这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。
横坐标为ω，按常用对数lg ω分度。
对数相频特性的纵坐标表示)(ωϕ，单位为“°”（度）。
而对数幅频特性的纵坐标为)(lg 20)(ωωA L =，单位为dB 。
（3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。
该方法以ω为参变量，)(ωϕ为横坐标，)(ωL 为纵坐标。
3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 （1）惯性环节：惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G 其频率特性 11)()(+===j T s G j G j s ωωω·146·对数幅频特性 2211lg20)(ωωT L +=(5.1)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1 )lg(2010)(ωωωωT T T L a (5.2) 在ωT =1处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为3dB 。
对数相频特性)(arctg )(ωωϕT -= (5.3)其渐近线为⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤+<=10 90101.0 )lg(1.0 0)(ωωωωωϕT T T b a T a (5.4)当ωT =0.1时，有b a b a -=+=1.0lg 0 (5.5)当ωT =10时，有b a b a +=+=︒-10lg 90 (5.6)由式（5.5）、式（5.6）得︒=︒-=45 45b a因此：⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤︒-<=10 90101.0 )10lg(451.0 0)(ωωωωωϕT T T T a (5.7)（2）振荡环节：振荡环节的传递函数为10 121)(22<<++=ξξTs S T s G·147·其频率特性)1(21|)()(22ωωξωωT j Ts s G j G j s -+=== 对数幅频特性2222224)1(lg 20)(ωξωωT T L +--= (5.8)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1)lg(4010)(ωωωωT T T L a (5.9) 当707.0<ξ时，在221ξω-=T 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为2121lg20ξξ-。
第5章线性系统的频域分析方法
最小相位环节：
特点:某个参数的符号相反
除积分微分外，最小相位环 节有对应的非最小相位环节
非最小相位环节:
非最小相位环节和与之相对 应的最小相位环节的区别在 于其零极点在s平面的位置。
不稳定环节
设有两个系统
1 Ts G1 ( s ) 1 10Ts
和
1 Ts G2 ( s) 1 10Ts
1 典型环节 根据零极点，将开环传递函数的分子和分母多项式分解 成因式，再将因式分类，得到典型环节。 开环系统可表示为若干典型环节的串联形式
设典型环节的频率特性为
幅值相乘， 相角相加
则系统开环频率特性
系统的开环幅频特性和相频特性
系统开环频率特性为组成系统的各典型环节频率特性的合成 系统开环对数幅频特性
A 1 U o (s) [U i ( s ) Tuo 0 ] 代入 U i ( s ) L[ A sin t ] 2 s 2 Ts 1
U o ( s) Tu 1 A A [ 2 Tuo 0 ] o 0 再由拉氏逆变换 Ts 1 s 2 (Ts 1)(s 2 2 ) Ts 1
(1) 幅相频率特性曲线 (Nyquist图，极坐标图)
将频率特性表示为复平面上的向量，其长度为A(ω) ， 向量与正实轴夹角为 (ω)，则ω变化时，相应向量的矢端 曲线即为幅相曲线。
G( jω)=A(ω)e j(ω) ，G(-jω)=A(ω)e -j(ω)
A(ω)偶, (ω)奇
ω：0→+∞和ω：0→ -∞的幅相曲线关于实轴对称 只绘制ω从零变化至+∞的幅相曲线。 用箭头表示ω增大时幅相曲线变化方向 对于RC网络 G ( j )
j
cos j sin
自动控制原理第五章 线性系统的频域分析法-5-6
自 动
5.6 控制系统的频域校正方法
控
结合校正装置，简要介绍串联校正的设计方法。常
制 原
用校正装置分为无源和有源两大类。
理 1. 串联无源校正 包括无源超前、无源滞后和无源滞
后-超前校正三种。无源校正网络由电阻、电容构成。
⑴ 串联无源超前校正
超前校正网络实现形式
Gc
(s)
U U
c r
( (
s s
) )
a4
制 校验相角裕度
原 理
m
arctan
a 21 a=源自arctan3 4
=36.9
=180 +(c)+m 180 167.2 36.9 49.7
达到相角裕度的要求。由于选择超前校正，校正后开
环幅相曲线与负实轴仍无交点，故幅值裕度无穷大，
自然满足要求。
再由
m
T
1 a
=4.4
T 0.114 s
串联超前校正设计步骤
R(s)
K C(s)
例5.6-1 图示反馈系统
-
s(s 1)
要求系统在 r(t)=t 1(t) 时,
稳态误差 e ss 0 .1 ra d ,截止频率 c 4 .4 ra d / s 相角
裕度 4 5 幅值裕度 h d B 1 0 d B ,试设计串联无
源超前网络。
5
Page: 5
自 解：① 设计开环增益，满足稳态要求
动
控 未校正系统为Ⅰ型系统。在单位斜坡输入下，由
制
1
原 理
ess K 0.1
K 10
T 为a的减函数 m 为a的增函数
② 校验待校正系统频域指标 由 L(m) 为a的增函数
5.6 控制系统的频域校正方法
控
结合校正装置，简要介绍串联校正的设计方法。常
制 原
用校正装置分为无源和有源两大类。
理 1. 串联无源校正 包括无源超前、无源滞后和无源滞
后-超前校正三种。无源校正网络由电阻、电容构成。
⑴ 串联无源超前校正
超前校正网络实现形式
Gc
(s)
U U
c r
( (
s s
) )
a4
制 校验相角裕度
原 理
m
arctan
a 21 a=源自arctan3 4
=36.9
=180 +(c)+m 180 167.2 36.9 49.7
达到相角裕度的要求。由于选择超前校正，校正后开
环幅相曲线与负实轴仍无交点，故幅值裕度无穷大，
自然满足要求。
再由
m
T
1 a
=4.4
T 0.114 s
串联超前校正设计步骤
R(s)
K C(s)
例5.6-1 图示反馈系统
-
s(s 1)
要求系统在 r(t)=t 1(t) 时,
稳态误差 e ss 0 .1 ra d ,截止频率 c 4 .4 ra d / s 相角
裕度 4 5 幅值裕度 h d B 1 0 d B ,试设计串联无
源超前网络。
5
Page: 5
自 解：① 设计开环增益，满足稳态要求
动
控 未校正系统为Ⅰ型系统。在单位斜坡输入下，由
制
1
原 理
ess K 0.1
K 10
T 为a的减函数 m 为a的增函数
② 校验待校正系统频域指标 由 L(m) 为a的增函数
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() arctgT
(o)
动画续看
90
0 0.1
1
-90
10 ω
图5.9 1+jT和1/(1+j T)的对数坐标图
• G(s)=Ts+1， 频率特性G( j) 1 jT 1 2T 2 e jarctgT
j
ω
ω=0
0
1
图5.10 一阶微分环节幅相曲线
➢振荡环节 G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0
ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT
() -arctgT
➢一阶微分环节 G(s)=Ts+1
(dB)
20
0 0.1
-20
1/T 1
20dB/dec
10 ω -20dB/dec
L( ) 20lg 1 2T 2 ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT
个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之ω对=∞应，幅值与ω=0相角在复 平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时0，相-45应o 向量1 的矢端
就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线
(即极坐标图)。 动画演示
ω=1/T
幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图(Bode diagram)，其横 坐标(为频率ω)采用对数分度。对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝， 记作dB；对数相频曲线的单位是度。
0
j ω=∞
ω=0
G( j )
1
1
2 n2
j2
n
ζ=0.2—0.8 -0.5
-1
0,G( j0) 10o
动画续看
n ,G(
jn )
1
2
90o
,G( j) 0 180o
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5
图5.11 振荡环节的幅相曲线
L( ) 20lg (1 2 / n2 )2 4 2 ( / n )2
传 递 函 数 由 典 型 环 节 构成, 如 :
•积分环节：1/s •微分环节：s
G(s) K (2s 1) s(0.1s 1)
•惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0
K (2s 1) 1 1 s 0.1s 1
•一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0
•振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 式中ωn>0，0<ζ<1 •二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ωn>0，0<ζ<1 •延迟环节：e-τs
第五章 频率响应法
5.1 频 率 特 性 5.2 典型环节和开环频率特性 5.3 奈奎斯特判据 5.4 稳 定 裕 度 5.5 闭环频率特性 本章作业
End
5.1 频率特性
动画演示
动画演示
基本概念（物理意义）
5.2 5.3 5.4 5.5
➢ A(ω) 称为幅频特性，φ(ω)称为相频特性。 二者统称为频率特性 (frequency response characteristics) 。
对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性 曲线图。 动画演示
5.2 典型环节和开环频率特性
5.1 5.3 5.4 5.5
5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制 5.2.2 5.2.3
❖ 典型环节
•比例环节：K
G(S)H(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm a0 s n a1s n1 an1s an
(dB)
20 1/jω 20dB/dec
0
0.1 1
10 ω
-20 jω
-20dB/dec
(o)
90 0 0.1
-90
∠jω
1 ∠1/jω
10 ω
图5.6 1/jω和jω的对数坐标图
✓ 积分环节的对数幅频特性是 L(ω)=-20lgω,
✓ 而相频特性是 φ(ω)=-90o。
➢微分环节 G(s)=s 和 G(jω)= jω=ω∠π/2
稳 态 分 量 A Sin(t arctgT ) 1 2T 2
根据定义 A() 1 / 1 2T 2 , () arctgT
频率特性写成一个式子 1
e jarctgT
1
1
1 2T 2
1 jT 1 Ts s j
❖常用于描述频率特性的两种曲线
▪ 幅相曲线(magnitude and phase diagram) ：对于一个确j 定的频率，必有一
由前推导得: A(ω)= | G(jω)|，φ=arctg[Im G(jω)/Re G(jω)];
绘对数幅频曲线，用L(ω)=20lg A(ω)
➢比例环节 动画演示
✓ 比例环节的频率特性是G(jω)=K， 幅相曲线如下图。
j
(dB) 20lgK
0 (o)
1 10 ω
0
k·
图5.3 比例环节K的幅相曲线
• ω<<ωn 时 L(ω)≈0
• ω>>ωn 时 L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lg ω-lgωn)来自( )arctg
1
2 (
/ /
n n )2
(dB)
40 20
40dB/dec
0 0.1 1 -20
10 ω/ωn -40dB/dec
(o) 180
0 0.1 1
10 ω/ωn
-180
图5.12 振荡与二阶微分环节 的对数坐标图
j ω
0 ω=0
L(ω)=20lgω, 而相频特性是φ(ω)=90o。 图5.7 微分环节幅相曲线
➢惯性环节
j
G(s)=1/(Ts+1)
G( j) 1
1
e jarctgT
1 jT 1 2T 2
ω=∞
ω=0
0 -45o 1
ω=1/T
L() 20lg 1 2T 2
图5.8 惯性环节幅相曲线
❖数学本质 动画演示
G(s) Uo(s) 1 1
i1(t) R1
Ui (s) R1C1s 1 Ts 1
C1
设ui
ASint
,
则Ui (s)
Aω s2 ω2
1 A Uo(s) Ts 1 s2 2
u0 (t)
At 1 2T 2
et /T
A Sin(t arctgT ) 1 2T 2
20 lg Mr
谐振频率ωr与谐振峰值Mr：
当阻尼比比较小时，在ω= ωn附近将出现谐振峰值。
令 d A() 0 有：
0
1 10 ω
图5.4 比例环节的 对数频率特性曲线
✓比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是： • L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0 • 相应曲线如上右图。
➢积分环节
动画续看
G(s) 1 , G( j) 1 1
s
j 2
j
0 ω
图5.5 积分环节的幅相曲线
(o)
动画续看
90
0 0.1
1
-90
10 ω
图5.9 1+jT和1/(1+j T)的对数坐标图
• G(s)=Ts+1， 频率特性G( j) 1 jT 1 2T 2 e jarctgT
j
ω
ω=0
0
1
图5.10 一阶微分环节幅相曲线
➢振荡环节 G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0
ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT
() -arctgT
➢一阶微分环节 G(s)=Ts+1
(dB)
20
0 0.1
-20
1/T 1
20dB/dec
10 ω -20dB/dec
L( ) 20lg 1 2T 2 ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT
个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之ω对=∞应，幅值与ω=0相角在复 平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时0，相-45应o 向量1 的矢端
就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线
(即极坐标图)。 动画演示
ω=1/T
幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图(Bode diagram)，其横 坐标(为频率ω)采用对数分度。对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝， 记作dB；对数相频曲线的单位是度。
0
j ω=∞
ω=0
G( j )
1
1
2 n2
j2
n
ζ=0.2—0.8 -0.5
-1
0,G( j0) 10o
动画续看
n ,G(
jn )
1
2
90o
,G( j) 0 180o
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5
图5.11 振荡环节的幅相曲线
L( ) 20lg (1 2 / n2 )2 4 2 ( / n )2
传 递 函 数 由 典 型 环 节 构成, 如 :
•积分环节：1/s •微分环节：s
G(s) K (2s 1) s(0.1s 1)
•惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0
K (2s 1) 1 1 s 0.1s 1
•一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0
•振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 式中ωn>0，0<ζ<1 •二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ωn>0，0<ζ<1 •延迟环节：e-τs
第五章 频率响应法
5.1 频 率 特 性 5.2 典型环节和开环频率特性 5.3 奈奎斯特判据 5.4 稳 定 裕 度 5.5 闭环频率特性 本章作业
End
5.1 频率特性
动画演示
动画演示
基本概念（物理意义）
5.2 5.3 5.4 5.5
➢ A(ω) 称为幅频特性，φ(ω)称为相频特性。 二者统称为频率特性 (frequency response characteristics) 。
对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性 曲线图。 动画演示
5.2 典型环节和开环频率特性
5.1 5.3 5.4 5.5
5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制 5.2.2 5.2.3
❖ 典型环节
•比例环节：K
G(S)H(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm a0 s n a1s n1 an1s an
(dB)
20 1/jω 20dB/dec
0
0.1 1
10 ω
-20 jω
-20dB/dec
(o)
90 0 0.1
-90
∠jω
1 ∠1/jω
10 ω
图5.6 1/jω和jω的对数坐标图
✓ 积分环节的对数幅频特性是 L(ω)=-20lgω,
✓ 而相频特性是 φ(ω)=-90o。
➢微分环节 G(s)=s 和 G(jω)= jω=ω∠π/2
稳 态 分 量 A Sin(t arctgT ) 1 2T 2
根据定义 A() 1 / 1 2T 2 , () arctgT
频率特性写成一个式子 1
e jarctgT
1
1
1 2T 2
1 jT 1 Ts s j
❖常用于描述频率特性的两种曲线
▪ 幅相曲线(magnitude and phase diagram) ：对于一个确j 定的频率，必有一
由前推导得: A(ω)= | G(jω)|，φ=arctg[Im G(jω)/Re G(jω)];
绘对数幅频曲线，用L(ω)=20lg A(ω)
➢比例环节 动画演示
✓ 比例环节的频率特性是G(jω)=K， 幅相曲线如下图。
j
(dB) 20lgK
0 (o)
1 10 ω
0
k·
图5.3 比例环节K的幅相曲线
• ω<<ωn 时 L(ω)≈0
• ω>>ωn 时 L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lg ω-lgωn)来自( )arctg
1
2 (
/ /
n n )2
(dB)
40 20
40dB/dec
0 0.1 1 -20
10 ω/ωn -40dB/dec
(o) 180
0 0.1 1
10 ω/ωn
-180
图5.12 振荡与二阶微分环节 的对数坐标图
j ω
0 ω=0
L(ω)=20lgω, 而相频特性是φ(ω)=90o。 图5.7 微分环节幅相曲线
➢惯性环节
j
G(s)=1/(Ts+1)
G( j) 1
1
e jarctgT
1 jT 1 2T 2
ω=∞
ω=0
0 -45o 1
ω=1/T
L() 20lg 1 2T 2
图5.8 惯性环节幅相曲线
❖数学本质 动画演示
G(s) Uo(s) 1 1
i1(t) R1
Ui (s) R1C1s 1 Ts 1
C1
设ui
ASint
,
则Ui (s)
Aω s2 ω2
1 A Uo(s) Ts 1 s2 2
u0 (t)
At 1 2T 2
et /T
A Sin(t arctgT ) 1 2T 2
20 lg Mr
谐振频率ωr与谐振峰值Mr：
当阻尼比比较小时，在ω= ωn附近将出现谐振峰值。
令 d A() 0 有：
0
1 10 ω
图5.4 比例环节的 对数频率特性曲线
✓比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是： • L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0 • 相应曲线如上右图。
➢积分环节
动画续看
G(s) 1 , G( j) 1 1
s
j 2
j
0 ω
图5.5 积分环节的幅相曲线