10、握手次数的研究
找规律例子
例1：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。
问：这时盒子里共有多少只球？分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数；③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。
这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律：操作次数1 2 3 (10)取出球数1 2 3 (10)盒中剩球数0 2 7 … A放回的球数4 8 12 … B盒中增加球数3 6 9 … C总球数 4 10 19 … D在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。
从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。
因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31……1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。
即D为166。
说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。
例2：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。
3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。
则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人握7次手；……A9与A10握1次手。
因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。
《标准理念下的初中代数教与学》
5.“数与代数”关键问题之一—— 代数概念的引入
代数不仅仅和x、y有关，它也不仅仅在化简表 达式、替代或者解方程这类的练习中得到反映。这 些仅仅是和代数符号有关的操作性技术。代数也包 括一种思维，这种思维可以改善符号，然后改善符 号所代表的数学对象之间的关系。当然，不介绍必 要的对代数的理解，教授学生这些操作是相当可能 的。斯根普所说的工具性理解就是一个例子。然而， 当渐渐运用代数来解决实际问题的时候，这种类型 的学习会让学生觉得高高在上而又枯燥无味。这就 是为什么这么多学生，甚至成年人都觉得掌握代数 语言是很困难的原因之一。
准变量表达式是算术中潜在的代数性质，它在由 算术思维过渡到代数思维的过程当中具有不可替代
的作用和意义。
准变量表达式不仅可以使我们更加关注 算术中的关系，而且还能为学生学习后续的 代数内容建构一个强有力的桥梁；同时，它 还能够加深对算术基础的理解。在小学阶段， 可以而且应该为学生提供特殊的代数推理的 机会，以发展他们的代数思维。
4.注意“关系—结构”的教学分 析
对11年级的学生（17岁左右）研究发现：很少有学 生使用结构意识，并且那些使用结构意识的学生也 不是一致的。括号的出现似乎有助于学生观察到结 构，帮助他们把注意力集中在同类项和分解较长的 符号链上面。 在变换代数表达式的时候，学生并不擅长辨别结构， 尤其不擅长辨别代数结构的性质。而且学生在观察 诸如(x-3）4﹣(x+3）4这类代数表达式的过程中所 体验到的困难可能是，他们会把这个式子看成不同 于平方差公式的另一个表达式。
握手问题
有n个人聚会，要求每个人都要与其他 人握手（一次）以示友好，请问：这n个人 一共握手多少次？对于小学低年级学生而 言，我们不可能要求他们给出一般化的结 论：n(n-1)/2
离散数学第8,9章课后习题答案
第8章 习题参考答案1. 在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的次数之和，应该如何建立该问题的图论模型？解：将每个同学分别作为一个节点，如果两个人握过一次手就在相应的两个节点之间画一条无向边，于是得到一个无向图。
一个人握手的次数就是这个节点与其他节点所连接的边的条数，进而可得出所有人握手的次数之和。
2. 在一个地方有3户人家，并且有3口井供他们使用。
由于土质和气候的关系，有些井中的水常常干枯，因此各户人家要到有水的井去打水。
不久，这3户人家成了冤家，于是决定各自修一条路通往水井，打算使得他们在去水井的路上不会相遇。
试建立解决此问题的图论模型。
解：将3户人家分别看做3个节点且将3口井分别看做另外3个节点，若1户人家与1口井之间有一条路，则在该户人家与该口井对应的节点之间连一条无向边，这样就得到一个无向图。
3. 某人挑一担菜并带一条狼和一只羊要从河的一岸到对岸去。
由于船太小，只能带狼、菜、羊中的一种过河。
由于明显的原因，当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃菜。
通过建立图论模型给出问题答案。
解：不妨认为从北岸到南岸，则在北岸可能出现的状态为24=16种，其中安全状态有下面10种：（人，狼，羊，菜），（人，狼，羊），（人，狼，菜），（人，羊，菜），（Φ），（人，羊），（菜），（羊），（狼），（狼，菜）；不安全的状态有下面6种：（人）（人，菜）（人，狼）（狼，羊，菜）（狼，羊）（羊，菜）。
线将北岸的10种安全状态看做10个节点，而渡河的过程则是状态之间的转移，这样就得到一个无向图，如图8-1所示。
图8-1从上述无向图可以得出安全的渡河方案有两种：第1种：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（狼）→（人，狼，羊）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。
(人，狼，羊，菜)(人，狼，羊)(人，狼，菜)(人，羊，菜)(人，羊) (狼，菜) (羊) (狼) (菜) (Φ)第2中：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（菜）→（人，羊，菜）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。
专题04一元二次方程握手问题、传染问题、平均增长率、图形问题(解析版)
专题04握手问题、传染问题、平均增长率、图形问题【1】握手问题解题技巧：有2种类型（1）重叠类型：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分∴m=12n（n−1）（2）不重叠类型：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠∴m=n（n−1）【2】传染问题解题技巧：有2种类型（1）个体传播一轮后，依旧传染。
设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
发现规律：传播人数：b=a（1+p）n，与增长率问题公式一致。
见例1.【3】平均增长率问题解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。
2a（1±p）a（1±p）p a（1±p）±a（1±p）p=a（1±p）23a（1±p）2a（1±p）2p a（1+p）2±a（1±p）2x=a（1±p）3发现规律：①增长时：b=a（1+p）n；②减少时：b=a（1−p）n注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2；②通常设增长（下降）率为x；③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。
【4】图形问题解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。
初中数学课件《握手问题的探究与应用》
【小结】
自我体会有何收获？
特殊 一般
实 际 问 题
抽象 应用
数 学 模 型
活学活用
用今天建立的数学模型解决实际问题
合作交流：
小组内交流： _？_相当于“握手问题”中的人； _?_相当于两人之间的握手； _？_相当于握手次数。
数线段
小明在纸上画了一条直线，小红又拿 起了笔，在小明画的直线上点了8个点， 你知道现在这条线段上有多少条线段吗？ 同学们，你能帮小明快速回答这个问题 吗？
方形，就要求“握手”的两 条线段必须相等。如下表：
AF上的线 段条数
线段长度 (边长）
AJ上的线 段条数
“握手”次数 （正方形个数）
1 2 3
5 4 3
4 3 2
5×4=20 4×3=12 3×2=6
分 类 讨 论
4
2
1
2×1=2
由表中可得，共“握手”20+12+6+2=40次， 即图中共有40个正方形。
实 【思考1】 数线段 际 应 小明在纸上画了一条直线， 用
小红又拿起了笔，在小明画的直 线上点了8个点，“你知道现在 这条直线上有多少条线段吗？” 同学们，你能帮小明快速回答这 个问题吗？
【思考1】
小明在纸上画了一条直线，小红又拿起了笔， 在小明画的直线上点了8个点，“你知道现在这条 直线上有多少条线段吗？” 同学们，你能帮小明 快速回答这个问题吗？
分析： （1）根据上一题（1）的结论，矩形 ABCD中共有150个长方形； AE上有4个点，共有 4 3 =6条线段。
2
而矩形ABCD中的任一个矩形与AE上的任一条线段 “握手”，都可构成一个长方体，即共可构 150×6=900个长方体。
小升初_握手问题_B_1
小升初-握手问题-B-11.10个学生，每两人之间握一次手，一共握手次．2.有8名运动员，A、B、C、D、E、F、G和H，如果每两名运动员之间握一次手，共握次手．3.李老师与8个同学聚会，如果每2人间都要握一次手，一共要握手次．4.学校举行篮球赛，五年级共有6个班，如果每两个班都要进行一场比赛，五年级一共要进行场比赛．5.有8名运动员进行一次单打淘汰赛，最后决出总冠军，共需要打场比赛；如果每两名球员之间都要进行一场比赛，一共需要打场．6.甲乙两城的铁路上有9个（包括甲乙）车站，一共有种不同的票价．7.如果一条路上有7个公共汽车站，单程需要准备种不同的车票．8.一辆往返于杭州和上海的班车，除起点和终点外，途径A、B、C、D这4个站点，如果你是售票员，请你想一想，需要准备多少种不同的车票？（可以画画图，也许你会更清楚）9.在四种蔬菜中，妈妈准备买其中的两样，有种不同的买法．数一数．10.11.数一数图中一共有12.10个点可以连条线段．13.（2017秋•鄄城县期末）两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么7条线段最多．14.（2017春•武清区期中）平面内三条直线的交点个数可能有．15.纸上有5个点，经过任意2点画一条直线，最多能画条直线．第1页（共13页）16.（2017秋•潮南区月考）观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有．17.已知同一平面上有21个点，那么最多能确定条直线．18.（2017秋•新罗区校级月考）以点O为端点引3条射线时，共有个角，引4条射线时，共有个角，以点O为端点引n条射线时，共有个角（用含n的字母表示）．19.（2017秋•定州市期中）某中学八年级（1）班数学课外兴趣小组在探究：“n边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：多边形的边数45678……从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数多边形对角线的总条数…（1）探究：假若你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表；（2）猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从n边形的一个顶点出发可引的对角线条数为，n边形对角线的总条数为．（3）应用：10个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？20.n边形有多少条对角线？（连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线）21.（2013•长沙模拟）一条直线分一个平面为两部分，二条直线最多分一个平面为四部分，那么六条直线最多分一个平面部分．第2页（共13页）。
四年级握手问题练习题
四年级握手问题练习题1. 小明和小红握手，他们一共握手了几次？解答：小明和小红握手是一次握手，所以他们一共握手了1次。
2. 五个人一起握手，每个人都握了其他人一次，请问一共进行了多少次握手？解答：假设这五个人分别是A、B、C、D、E。
A握手了B、C、D、E，共4次握手；B握手了C、D、E，共3次握手；C握手了D、E，共2次握手；D握手了E，共1次握手。
所以，一共进行了4+3+2+1=10次握手。
3. 有10个人参加会议，每个人都与其他人握手一次，会议结束后共进行了多少次握手？解答：假设这10个人分别是A、B、C、D、E、F、G、H、I、J。
A握手了B、C、D、E、F、G、H、I、J，共9次握手；B握手了C、D、E、F、G、H、I、J，共8次握手；C握手了D、E、F、G、H、I、J，共7次握手；D握手了E、F、G、H、I、J，共6次握手；E握手了F、G、H、I、J，共5次握手；F握手了G、H、I、J，共4次握手；G握手了H、I、J，共3次握手；H握手了I、J，共2次握手；I握手了J，共1次握手。
所以，一共进行了9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次握手。
4. 有20个人参加团体活动，每个人都需要与其他人握手，如果每个人都握的一次性完成，一共需要进行多少次握手？解答：假设这20个人分别是A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T。
A握手了B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T，共19次握手；B握手了C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T，共18次握手；C握手了D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T，共17次握手；...以此类推，最后一个人T握手了0次。
因为他已经和其他19个人都握过手了。
所以，一共需要进行19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=190次握手。
握手问题例题
握手问题是一种典型的组合数学问题，通常涉及在特定条件下计算不同个体之间可能的握手或配对方式的数量。
以下是一个关于握手问题的例题及其解答：
例题：在一个聚会上，有10个人。
每个人都要与其他人握一次手。
请问总共会有多少次握手？
解答：
1. 定义问题：首先，我们要明确问题的目标是计算总共的握手次数。
2. 考虑个体：在这个问题中，个体是参加聚会的10个人。
3. 计算配对方式：
第一个人需要与其他9个人握手，所以有9次握手。
第二个人已经和第一个人握过手，所以他还需要和剩下的8个人握手，即8次。
以此类推，第三个人需要握7次手，第四个人需要握6次手，依此类推，直到最后一个人不需要再握手。
4. 求和：将上述所有握手次数相加，即9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1。
5. 简化计算：这是一个等差数列的求和问题，其和为\(\frac{n(n-1)}{2}\)，其中n为人数。
将n=10代入公式，得到\(\frac{10 imes 9}{2} = 45\)。
所以，在这个聚会上，总共会有45次握手。
这类问题也可以扩展到其他场景，如计算在一个团队中所有成员之间可能的通信次数，或者计算一个班级中所有学生之间可能的配对方式等。
关键是理解每个个体都需要与其他所有个体进行一次交互，并且这种交互是双向的（例如，A与B的握手和B与A的握手是同一次握手）。
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课题握手次数的研究课时第1课时
教学目标1.通过“握手次数的研究”的探索学习活动，激发学生对数学知识的学习兴趣，在活动中锻炼思考问题的能力，养成严谨踏实的学习态度。
2.通过活动，培养学生善于发现生活中的问题，并能积极思考，探究其中原因的兴趣。
3.通过学习，使学生初步掌握一些“等差级数”“等差数列”的相关知识。
教学重点多人不重复握手次数的计算规律。
教学难点通过五位同学演练握手次数，分析推导出计算规律的过程。
教具学具准备幻灯片课型
教学过程设计意图一、引言导入：
与人初次见面，往往以握手示礼。
在一次座谈会上，主持人为了让大家互相认识，要求出席座
谈会的5位同学，互相握手后彼此介绍自己（不重复握手）。
他们共握手多少次？你算得出来吗？如果人多的话，你又怎
样计算呢？
二、出示探索问题：
多人不重复握手次数是怎样计算的呢？
三、探索活动：
实验：探索多人不重复握手次数的规律
（1）小组内研究并实践：分2人、3人、4人、5人四种情况，
统计握手的次数。
（2）“监督员”监督每种情况的握手是否符合活动要求。
（3）“记录员”画出下表，统计每种情况握手次数的总数。
四、得出结论：
n(n为握手次数总和)=P*（P-1）/2 （P为参与握手人数）板书设计
作业设计
课后小结。