2009年高考数学二轮复习专题讲座3——函数与导数(孙居国)
高中数学复习专题讲座(第10讲)函数图象及图象性质的应用
题目 高中数学复习专题讲座函数图象及图象性质的应用高考要求函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质 重难点归纳1 熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线；(2)图象变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等2 高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视典型题例示范讲解例1对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ), (1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和命题意图 本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题 知识依托 把证明图象对称问题转化到点的对称问题错解分析 找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化技巧与方法 数形结合、等价转化(1)证明 设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0),∵2)2(00x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称，又f (a +x )=f (a －x ),∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0, ∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(2)解 由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根， 若x 1是f (x )=0的根，则4－x 1也是f (x )=0的根， ∴x 0+(4－x 0)+ x 1+(4－x 1)=8 即f (x )=0的四根之和为8例2如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2 又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a )(1)求函数f (a )和g (a )的表达式；(2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论命题意图 本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等知识依托 充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口错解分析 图形面积不会拆拼技巧与方法 数形结合、等价转化 解 (1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f (a )=S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B =21(A ′A +C ′C )=21(2++a a ),g (a )=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B =B ′B1(2)()()2f a g a -=12=--102=-<∴f (a )<g (a )例3已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围解法一 观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ① 又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0 ② ①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0)解法二 如图f (0)=0有三根0,1,2，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ,∴b =－3a ,∵当x>2时，f (x )>0，从而有a >0,∴b ＜0 学生巩固练习1 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax的图象只可能是( )2某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()3已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________三、解答题4如图，在函数y=lg x的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1)(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);(2)判断S=f(m)的增减性5如图，函数y=23|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>23)是△ABC的BC边的中点(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标6已知函数f(x)是y=1102+x－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－21-x的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x)(1)求函数F(x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB 恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由7已知函数f1(x)=21x-,f2(x)=x+2,(1)设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，求b 的值8 设函数f (x )=x +x1的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )(1)求g (x )的解析表达式；(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标； (3)解不等式log a g (x )<log a 29 (0<a <1)参考答案1 解析 ∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数 仔细观察题目中的直线方程可知 在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a >1 故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x 的图象不符合答案 A2 解析 由题意可知，当x =0时，y 最大，所以排除A 、C 又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降答案 D3 解析 g (x )=2log 2(x +2)(x >－2)F (x )=f (x )－g (x )=log 2(x +1)－2log 2(x +2)=log 21441log441log)2(122222+++=+++=++x x x x x x x x)1(21111log2->++++=x x x ∵x +1>0,∴F (x )≤41log211)1(21log 22=++⋅+x x =－2当且仅当x +1=11+x ,即x =0时取等号∴F (x )max =F (0)=－2答案 －24 解 (1)S △ABC =S 梯形AA ′B ′B +S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C(2)S =f (m )为减函数5 解 (1)依题意，设B (t ,23 t ),A (－t ,23t )(t >0),C (x 0,y 0)∵M 是BC 的中点 ∴2x t +=1,2230y t + =m∴x 0=2－t ,y 0=2m －23t在△ABC 中，|AB |=2t ,AB 边上的高h AB =y 0－23t =2m －3t∴S =21|AB |·h AB =21·2t ·(2m －3t ),即f (t )=－3t 2+2mt ,t ∈(0,1)(2)∵S =－3t 2+2mt =－3(t －3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ，即23＜m ≤3,当t =3m 时，S max =32m ,相应的C 点坐标是(2－3m ,23m ),若3m >1,即m >3 S =f (t ) 在区间(0，1］上是增函数，∴S max =f (1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3)6 解 (1)y =1102+x－1的反函数为f (x )=lg xx +-11(－1＜x ＜1)由已知得g (x )=21+x ,∴F (x )=lgxx +-11+21+x ,定义域为(－1，1)(2)用定义可证明函数u =xx +-11=－1+12+x 是(－1，1）上的减函数，且y =lg u 是增函数∴f (x )是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B7 解 (1）y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x 的图像如图所示y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成，其表面积为(2+2)π(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，则可解得b8 (1)g (x )=x －(2)b =4时，交点为(5，4)；b =0时，交点为(3，0)(3)不等式的解集为{x |4＜x ＜29或x >6}课前后备注。
09年高考数学数列公开课共30页PPT资料
(1)求证：数列{an}为等差数列
（2）bn
1 2
an
30,
求数列{bn}的前n项和的最小值
例1：已知{数 an}的 列前 n项和sn为 , anN*,且sn 81(an2)2
(1)求证：{数 an}为 列等差数列
1）如何证明数列为等差数列——利用定义
2）条件转化得到什么 能使得问题得以解决？
ana1(n1)d
sn
na1
n(n 1) 2
d
sn
n(a1 2
an )
等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公比为q，则有
an a1qn1
sn a11aqnqa1(11qqn) na1
(q1) (q1)
例题讲解
例1：已知{数 an}的 列前 n项和sn为 , anN*,且sn 81(an2)2
例3:数列 {an}中， sn是其n前 项的和 当t 0时3， tsn (2t3)sn1 3t
(1)求证：{数 an}为 列等比数 n1,n列 N*
1、如何证明数列为等比数列？ 条件如何运用？
2、条件运用时n的范围
(2)设数{a列 n}的公比 f(t)为 ,作数{b列 n},
使得 b11,bn f(3b1n1)
1、条件给了什么？ 数{列 b cn n}的n前 项的 Tn和 an1
2、所求的是什么？ 数列{cn}中的部分项的和
3、条件和所求之间的转换 研究数列 {cn}
分析
由 c1c2 b1 b2
c3 b3
.....c.n bn
an1可以知道
数列{bcnn}的前n项的和 Tn an1
则有： Tn Tn1
高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节第1课时导数与函数的单调性课件文2
►名师点津 ——————————————————— 求函数单调区间的步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求 f′(x)； (3)在定义域内解不等式 f′(x)>0，得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式 f′(x)<0，得单调递减区间．
考点一 含参数函数的单调性 【例 1】 已知函数 f(x)＝12x2－2aln x＋(a－2)x，当 a＜0 时，讨论函数 f(x)的单调性．
解析：选 C 由图象可知，当 x∈(4，5)时，f′(x)＞0，故 f(x)在(4，5)上是增函数．
3．(选修 1－1P93 练习 T1(2)改编)函数 y＝x－ex 的单调递减区间为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：选 B 由 y′＝1－ex＜0，得 x＞0.故选 B.
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数
研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中 考查函数的单调性、极
多项式函数一般不超过三次).
值、最值，利用函数的性质
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 求参数范围；与方程、不等
条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中 式等知识相结合命题，强化 1.数学运算
►名师点津 ——————————————————— 根据函数单调性求参数的一般解题思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区 间的子集．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非 空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
09年高考数学专题讲解：导数的运算法则
题目 高中数学复习专题讲座导数的运算法则及基本公式应用 高考要求导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式 四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导重难点归纳1 深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数 xy ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=x y x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆2 求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键3 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误4 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系 典型题例示范讲解例1求函数的导数 )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 命题意图 本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 知识依托 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数 错解分析 本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与方法 先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导 22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x =f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′ =f ′(12+x )·21(x 2+1) 21-·2x =12+x xf ′(12+x )例2利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,(n ∈N *) 命题意图 培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力 知识依托 通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维 由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通项的形式结构 错解分析 本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想 技巧与方法 第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导 解 (1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时， ∵x +x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11, 两边都是关于x 的函数，求导得 (x +x 2+x 3+…+x n)′=(x x x n --+11)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+(2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n ,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1, 令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1例3 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标 解 由l 过原点，知k =00x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴00x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2又k =00x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83 ∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 学生巩固练习 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程6 求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31x x - 7 有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1 4 m 时，梯子上端下滑的速度8 求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1 ,(x ≠0,n ∈N *)参考答案1 解析 y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1答案 B 2 解析 设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =00x y , 另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x , 故y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0 得x 0(1)=－3, x 0 (2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-, 因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53), 从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )= 251)515(42-=+-- , 由于切线过原点，故得切线 l A :y =－x 或l B :y =－25x 答案 A3 解析 根据导数的定义 f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim 000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案 －14 解析 设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案 n !5 解 设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1 y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为 y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①对于C 2 y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为 y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0∴直线l 方程为y =0或y =4x －4 6 解 (1)注意到y ＞0,两端取对数，得ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2x xx e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴ (2)两端取对数，得ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311x x x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅ 7 解 设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -, 当下端移开1 4 m 时，t 0=157341=⋅, 又s ′=－21 (25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t -, 所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0 875(m/s) 8 解 (1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1), 当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nxn -1 =21)1()1(1x nx x n n n -++-+, 两边同乘以x ,得 x +2x 2+3x 2+…+nx n =221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1 =322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++ 课前后备注。
高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用
高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用 高考要求 函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系 重难点归纳 1 深刻明白得函数f (x )在x 0处连续的概念等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，那个地点隐含着f (x )在点x =x 0邻近有定义； (3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的 2 函数f (x )在点x 0不连续，确实是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的 其情形(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，能够得到运算函数极限的一种方法 假如函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就能够了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解例1函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数 命题意图 函数的连续性，专门是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映 因而画函数图象去直观反映题目中的连续性咨询题也就成为一种最重要的方法知识依靠 此题是分式函数，因此解答此题的闪光点是能准确画出它的图象错解分析 第(3)咨询是此题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 应明确明白第(3)咨询是求的分数函数解析式技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观看图象进行解答 解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2, 其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,因此)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x那么函数f (x )在R 上是连续函数例2求证 方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b 命题意图 要判定方程f (x )=0是否有实根 即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此依照连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可 此题要紧考查这种解题方法知识依靠 解答此题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正错解分析 因为此题为超越方程，因而考生最易想到画图象观看，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用证明 设f (x )=a sin x +b －x ,那么f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0, 又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，因此存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也确实是方程x =a ·sin x +b 的根因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b例3函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间 解 (1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,因此lim 1-→x f (x )不存在， 因此f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1), 因此f (x )在x =－1处右连续，左不连续lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，因此lim 1→x f (x )不存在， 因此f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续又lim 0→x f (x )=f (0)=0,因此f (x )在x =0处连续(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数差不多上初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，因此f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5] 学生巩固练习 1 假设f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，那么f (0)等于( ) A 23 B 32 C 1 D 0 2 设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 那么f (x )的连续区间为( ) A (0，2) B (0，1) C (0，1)∪(1，2) D (1，2) 3 x x x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________ 4 假设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，那么a 的值为_________ 5 函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x(1)f (x )在x =0处是否连续？讲明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性 6 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续 7 求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根 8 求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间 参考答案 1 解析 ]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x 答案 A 2 解析 11lim )(lim 11==++→→x x x f 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续 答案 C 3 解析 利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案 π121,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析 答案 21 5 解 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x (1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,因此lim 0→x f (x )不存在， 故f (x )在x =0处不连续(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，因此f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数6 解 (1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续， lim 0-→x f (x )= lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a , 因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )=f (0),因此a =21 7 证明 设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续， 且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,因此必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,因此f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根 8 解 不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)课前后备注。
高三数学备考研讨会课件
对教学的启发 注重能力培养，不搞题海战术， 避免“眼高手低”．
三、加强联系 ——时代的象征 1．向量与解析几何
2．向量与平面几何 3．向量与函数
4．导数与三角函数 5．函数与不等式 6．数列与不等式
对教学的启发 注意综合训练，不 要象上新课那样复 习，避免“简单重 复”．
四、追求亮点 ——永远的渴望
2008年高考（全国卷Ⅰ）数学试题分析
一、重视基础 ——永恒的主题
二、能力立意 ——不变的旋律
三、加强联系 ——时代的象征
四、追求亮点 ——永远的渴望
一、重视基础 ——永恒的主题 1 ．基础题容易题占有较大的比例
2 ．覆盖面大 3 ．强调数学思想
函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、转化与化归的
对教学的启发 以不变应万变，不要猜题压题，避 免“误入歧途”．
2008年高考数学试题（全国卷Ⅰ）分析
在主干知识中，三角函数、立体几何、 概率与统计、函数与导数、向量与解析几何、 数列与不等式等仍将是明年高考重点考查的 内容。对这些重点内容必须重点突破，其策 略是：总结规律，明确步骤；强化训练，熟 练掌握.
演 稿
示
文
1 2 3 后
等
费洛蒙香水
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今年数学试题以中等题为主，符合考试大纲的要 求. 难题是1道填空题和 3道解答题，分别是：填空 题文（14），考查解析几何；解答题文（18），考 查立体几何；解答题文（20），考查概率；解答题 文（22），考查解析几何；填空题理（ 16），考查 立体几何；解答题理（ 20），考查概率；解答题理 （21），考查解析几何；解答题理（22），综合考 查函数、数列、不等式 .尤其是文（20）、文（22） 两题过难，难度分别是 0.02、0.04，是多年来的最 低. 与往年不同，今年概率题是难题，主要原因是 题目不常见，题意不容易理解.
第29讲导数的综合应用(3)-曲线的切线王连笑2009年新课标高考数学专题讲座
第13讲导数的综合应用（3）—曲线的切线3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题：曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展理性思维.【例1】已知函数()y f x =在R 上是一个连续函数, 函数()y f x =的图象是曲线C ,以C 上一点()00,A x y 为切点的切线l ,对应的一次函数为()y g x =,记()()()F x f x g x =-,若切线l 在点A 处穿过曲线C （即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧）,则( ).①()00F x '=； ②()00F x '≠；③函数()F x 在0x x =处一定没有极值；④函数()F x 在0x x =处可能有极值 其中正确的是（ ）.（A ）①, ④ （B ）①, ③ （C ）②, ④ （D ）②, ③【分析及解】这是一个切线穿过曲线的问题,主要研究在切线方程()y g x =与曲线方程()y f x =的差所形成的函数()()()F x f x g x =-在0x x =的状态.因为()()()000F x f x g x '''=-，而以()00,A x y 为切点的切线l 的斜率为()0f x ',也为()0g x ',即()()00f x g x ''=,所以, ()00F x '=,因此①正确;因为切线l 在点A 处穿过曲线C ，则当0x x <和0x x >时，()F x 异号，所以，函数()F x 在0x x =处一定没有极值，因此③正确。
故选B.【例2】 (2005湖南卷,文)设0≠t ，点(),0P t 是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线. （Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在()1,3-上单调递减，求t 取值范围.【分析及解】（I ）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点(),0t ，所以0)(=t f ， 即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=. .,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即又因为)(x f ，)(x g 在点(),0t 处有相同的切线，所以).()(t g t f '='而.23,2)(,3)(22bt a t bx x g a x x f =+='+='所以将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =， （II ）解法1.))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.当0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减.由0<'y ，若t x t t <<->3,0则；若.3,0tx t t -<<<则由题意，函数)()(x g x f y -=在()1,3-上单调递减，则(1,3)(,)(1,3)(,).33t tt t -⊂--⊂-或所以.39.333≥-≤≥-≥t t tt 或即或 又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在()1,3-上单调递减.所以t 的取值范围为(,9][3,).-∞-+∞ 解法2.3223()(),y f x g x x t x tx t =-=--+ 2232(3)()y x tx t x t x t '=--=+-因为函数)()(x g x f y -=在()1,3-上单调递减，且))(3(t x t x y -+='是()1,3-上的抛物线，所以⎩⎨⎧≤'≤'=-=.0|,0|31x x y y即(3)(1)0,(9)(3)0.t t t t -+--≤⎧⎨+-≤⎩解得.39≥-≤t t 或所以t 的取值范围为(,9][3,).-∞-+∞【例3】(2007湖北卷,理)已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+,2()3ln g x a x b =+, 其中0a >．设两曲线()y f x =,()y g x =有公共点,且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 【分析及解】（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意, ()y f x =和()y g x =在公共点处的函数值相同,切线的斜率也相同.0000()(),()().f x g x f x g x =⎧⎨''=⎩， 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得0x a =，或03x a =-（舍去）．即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．把b 看作a 的函数.令225()3ln (0)2h a a t a a =->，则()2(13ln )h a a a '=-．于是当(13ln )0a a ->，即130a e <<时，()0h a '>； 当(13ln )0a a -<，即13a e >时，()0h a '<．故()h a 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞为减函数，于是()h a 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即23max 3.2b e = （Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，只需证明()F x 的最小值等于0即可.则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是 000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．【例4】（2008海南、宁夏卷, 文）设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点()()2 2f ，处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【分析及解】(Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =-．当2x =时，()122y f ==．又()2bf x a x'=+， 于是 ()()12,272.4f f ⎧=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ 即12 227 44b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得 1 3 a b =⎧⎨=⎩，，故3f (x )x x =-．（Ⅱ）设()00P x y ，为曲线上任一点，由231y x '=+知曲线在点()00P x y ，处的切线方程为()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060 x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002 2x x ，．所以点()00P x y ，处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为0016262x x -=．故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．【例5】(2007湖南卷,文) 已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．【分析及解】（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立． 故24a b -的最大值是16．（II ）解法1.由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处穿过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-， 故321()3f x x x x =--． 解法2.同解法1得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由(1)0h =,则()h x 在1x =两边附近的函数值同号，因此，1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah '=⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 【例6】已知函数()()0,012>>-=x a ax x f ,该函数图象在点()()00,x f x P 处的切线为l ,设切线l 交x 轴,y 轴分别为()()21,00,y N x M 和两点.（Ⅰ）将O MON (∆为坐标原点)的面积S 表示为0x 的函数()0x S ;（Ⅱ）若函数()x f y =的图象与x 轴交于点()0,t T ,则1x 与t 的大小关系如何?请证明你的结论;（Ⅲ）若在210=x 处, ()0x S 取得最小值,求此时a 的值及()0x S 的最小值. 【分析及解】(Ⅰ) ()ax x f 2-='.切线l 的方程为()002021x x ax ax y --=+-,20012ax x ax y ++-=.令0=y 得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0,21020ax ax M , 令0=x ,得 ()201,0ax N +.所以，()()()22000011024ax S x OM ON x ax +=⋅=>.（Ⅱ）由 ()012=-=ax x f 及0>x 得 a x 1=,即at 1=. 于是 t a x ax x ax ax ax x ==⋅≥+=+=122122212100000201.所以，1x t ≥,当且仅当ax 10=时取等号. （Ⅲ）()()()220202020402041134123ax ax ax ax ax x a x S +-=-+=', 由 ()0,0,000>>='x a x S 得ax 310= .当 01320>-ax 即 a x 310>时, ()00>'x S ; 当 01320<-ax 即 ax 3100<<时, ()00<'x S , 所以 ax 310=时,()0x S 取得最小值为a a934,由 21310==ax 得 34=a , 此时32934min ==a a S .【例7】(2005辽宁卷)函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）的切线方程， 并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中,a b 为实数求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.【分析及解】（Ⅰ）曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()()()0000y f x x x f x f x ''=-+， 对照切线方程y kx m =+，则).()(000x f x x f m '-=（Ⅱ）令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时； 当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0， 因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥（Ⅲ）0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 若0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立,设()2(1)u x x ax b =-+-，则当0a >,2ax =时，()()2min 414b a u x --=，于是，()()2min 4104b a u x --=≥，()241a b ≤-，所以有1b ≤,且a ≤ 若2332ax b x +≥,即23302ax b x +-≥对任意),0[+∞∈x 成立,设233()2x ax b x ϕ=+-,则由133()0.x a x x a ϕ--'=-==得当30-<<a x 时()0;x ϕ'<当3->a x 时，()0x ϕ'>，所以，当3-=a x 时，()x ϕ取最小值. 于是,()()32min 102x a b a ϕϕ--==-≥,所以有a ≥. 综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是a ≤≤ ①显然，存在,a b 使①式成立的充要条件是：不等式≤ ②有解.解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，.422422+≤≤-b①式即为实数在a 与b 所满足的关系.a ≤≤【例8】已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=221，0≠a . （Ⅰ）若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()x f 的图象1C 与函数()x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x轴的垂线分别交1C ，2C 于点M 、N ，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.【分析及解】（I ）x ax x x h b 221ln )(,22--==时， 则.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--=' 因为函数h (x )存在单调递减区间，所以)(x h '<0有解. 由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0 ,因此,()0<'x h 有解等价于()0<'x h 在区间()+∞,0能成立,即x x a 212->, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min >成立,其中()x x x u 212-=.由()x xx u 212-=1112-⎪⎭⎫⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1 .（II ）证法1. 设点P 、Q 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ，120x x <<.则点M 、N 的横坐标为,221x x x +=1C 在点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+=2C 在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+= 假设1C 在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则12k k =.即b x x a x x ++=+2)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bx x abx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-2121ln ln .y y x x =-=-所以.1)1(2ln 121212x x x x x x +-=设,12x x t =则.1,1)1(2ln >+-=t t t t ① 令.1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='t t t t t t r 因为1>t 时，0)(>'t r ，所以)(t r 在+∞,1[）上单调递增. 故.0)1()(=>r t r则tt t +->1)1(2ln . 这与①矛盾，假设不成立.故1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行. 证法2.同证法一得).(2)ln )(ln (121212x x x x x x -=-+因为01>x ，所以).1(2ln )1(121212-=+x xx x x x令12x xt =，得.1),1(2ln )1(>-=+t t t t ②令.11ln )(,1),1(2ln )1()(-+='>--+=tt t r t t t t t r 则因为221111ln t t t t t t '-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，所以1>t 时，1ln 0.t t '⎛⎫+> ⎪⎝⎭故t t 1ln +在[1，+)∞上单调递增.从而011ln >-+tt ，即.0)(>'t r于是)(t r 在[1，+)∞上单调递增.故.0)1()(=>r t r 即).1(2ln )1(->+t t t 这与②矛盾，假设不成立.故1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.【例9】(2008天津卷,理)已知函数(),.(0),a b af x x b x x∈=++≠R 其中(Ⅰ) 若曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为31y x =+,求函数()f x 解析式;(Ⅱ) 讨论函数()f x 的单调性;(Ⅲ) 若对于任意的1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,不等式()10f x ≤在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求b 的取值范围.【分析及解】(Ⅰ) ()21a f x x'=-, 由导数的几何意义得()23,f '=于是8.a =-由切点()()2,2P f 在直线31y x =+上可得27,b -+=解得9.b =所以,函数()f x 解析式为().89.f x x x=-+ (Ⅱ) ()21a f x x'=-当0a ≤时,显然()()00f x x '>≠,这时()f x 在()(),0,0,-∞+∞内是增函数. 当0a >时,显然()0f x '=,解得x =当x 变化时, ()(),f x f x '的变化情况如下:所以()f x 在区间,-∞和+∞内是增函数,在和内是减函数.(Ⅲ) 由(Ⅱ)知, ()f x 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()114f f ⎛⎫⎪⎝⎭与的较大者, 对于任意的1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,不等式()10f x ≤在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,当且仅当()110,4110,f f ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩即394,49,b a b a ⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩对任意的1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立. 由于3944a -和9a -均为a 的减函数,所以,2a =时, 3944a -和9a -均取得最小值.即39742,44927.b b ⎧≤-⨯=⎪⎨⎪≤-=⎩从而得7,4b ≤所以满足条件b 的取值范围是7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【例9】(2008重庆卷,理)设函2()(0)f x ax bx c a =++≠，曲线()y f x =通过点(023)a +，，且在点(1(1))f --，处的切线垂直于y 轴．（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数()()xg x f x e-=-的单调区间．【分析及解】（Ⅰ）因为2()f x ax bx c =++，所以()2f x ax b '=+．又因为曲线()y f x =通过点(023)a +，， 故(0)23f a =+，而(0)f c =，从而23c a =+．又曲线()y f x =在(1(1))f --，处的切线垂直于y 轴， 故(1)0f '-=，即20a b -+=，因此2b a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2392(23)444bc a a a ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故当34a =-时，bc 取得最小值94-． 此时有32b =-，32c =．从而2333()422f x x x =--+，33()22f x x '=--．2333()()422x x g x f x e x x e --⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，所以23()(()())(4)4xx g x f x f x ex e --''=-=--．令()0g x '=，解得12x =-，22x =．当(2)x ∈-∞-，时，()0g x '<， 故()g x 在(2)x ∈-∞-，上为减函数； 当(22)x ∈-，时，()0g x '>， 故()g x 在(22)x ∈-，上为增函数． 当(2)x ∈+∞，时，()0g x '<， 故()g x 在(2)x ∈+∞，上为减函数． 由此可见，函数()g x 的单调递减区间为(2)-∞-，和(2)+∞，；单调递增区间为(22)-，. 【练习题】1.偶函数()e dx cx bx ax x f ++++=234的图象过()1,0P 点,且在1=x 处的切线方程为2-=x y .(Ⅰ) 求()x f 的解析式;(Ⅱ) 若存在实数x ,使不等式()a x f <成立,求a 的取值范围(Ⅲ) 证明存在方程()0f x =的两个根12,x x 使122x x -<.2.已知0,1>->c b ,函数()b x x f +=的图象与函数c bx x x g ++=2)(的图象的相切.（Ⅰ）求b 与c 的关系式（用c 表示b ）；（Ⅱ）设函数),()()()(+∞-∞=在x g x f x F 内有极值点，求c 的取值范围.3. (2007四川卷,理) 已知函数2()4f x x =-,设曲线)(x f y =在点()(),n n x f x 处的切线与x 轴的交点为()()1,0n x n *+∈N ,其中n x 为正实数（Ⅰ） 用n x 表示1n x +;（Ⅱ）求证对一切正整数1,n n n x x +≤的充要条件是12x ≥; （Ⅲ）若14x =，记2lg2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式；【练习题参考答案】1.(Ⅰ)()x f 是偶函数,()()x f x f =-∴,.0==∴d b又()x f 的图象过()1,0P ,则(),10=f 即.1=e 此时()()cx ax x f cx ax x f 24,1324+='++=.因为在1=x 处的切线为2-=x y ,则(),11='f 即124=+c a . 此时切点为()1,1-,又有()11-=f ,即由此可得,.29,25-==c a 于是()x f 的解析式为().1292524+-=x x x f (Ⅱ) (),09103=-='x x x f 解得0=x 或10103±=x . 所以, ,⎛-∞ ⎝和⎛ ⎝为减区间, ⎛⎫⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎭为增区间. 于是, 当 10103±=x 时,()f x 有极小值404110103-=⎪⎭⎫ ⎝⎛±f .若存在实数x ,使不等式()a x f <成立,则()min f x a <成立,即.4041->a (Ⅲ) 由(Ⅱ), 当0x =时, ()f x 有极大值()010f => 当 10103±=x 时,()f x有极小值41040f ⎛=-< ⎝.因此, 方程()0f x =在区间⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝各有一根,设为12,x x ,则122x x ⎛-<= ⎝.)(,40,2)(,04x f a x f a a 时当个极值点有时或≤≤<>无极值点.2. （Ⅰ）依题意，令.21,12),()(bx b x x g x f -==+'='故得 11222b b f g --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得2(1)4.b c +=1,0,1b c b >->∴=-+（Ⅱ）322()()()2().F x f x g x x bx b c x bc =⋅=++++22()34.F x x bx b c '=+++:)(,0)(,0).3(4)(1216.043,0)(022222的变化如下且有一个实根则若则即令x F x x F c b c b b c b bx x x F '='=∆-=+-=∆=+++='于是0x =不是函数的极值点.''的变化如下：由此，21的极小值点. 综上所述，当且仅当.),()(,0上有极值点在函数时+∞-∞>∆x F).,347()347,0(.3473470.321321,21.330)3(42+∞+⋃-+>-<<>+-<+-∴+-=>-<>-=∆的取值范围是故所求或解之得或或得由c c c c c c c c b c b c b c b3．（Ⅰ）由题可得()'2f x x =所以过曲线上点()(),n n x f x 的切线方程为()()()n n n y f x f x x x '-=-， 即()()42n n n y x x x x --=-令0y =，得()()2142n n n n x xx x +--=-，即2142n n n x x x ++=显然0n x ≠ ∴122n n nx x x +=+ （Ⅱ）证明：（必要性）若对一切正整数1,n n n x x +≤，则21x x ≤，即11122x x x +≤，而10x >，∴214x ≥，即有12x ≥（充分性）若120x ≥>，由122n n nx x x +=+ 用数学归纳法易得0n x >，从而()12212n n n x x n x +=+≥=≥， 即()22n x n ≥≥又12x ≥ ∴()22n x n ≥≥于是214222n n n n n n n x x x x x x x +--=+-=()()2202n n nx x x -+=≤， 即1n n x x +≤对一切正整数n 成立（Ⅲ）由122n n nx x x +=+，知()21222n n n x x x +++=，同理，()21222n n n x x x +--=故2112222n n n n x x x x ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭从而1122lg 2lg 22n nn n x x x x ++++=--，即12n n a a += 所以，数列{}n a 成等比数列，故111111222lg2lg32n n n n x a a x ---+===-， 即12lg 2lg32n n n x x -+=-，从而12232n n n x x -+=-，所以()112223131n n n x --+=-.。
变化率与导数的概念
割线，求割线的斜率 .
(1) xA 1，xB 2 ; (2) xA 1，xB 1.5 ; (3) xA 1，xB 1.1 .
k AB 3 k AB 2.5 k AB 2.1
注：最好不画图求出割线斜率，培养抽象思维能力，如果考 试能争取时间。
练习
（1）质点运动规律为 s t 2 3，则在时间
•
1.函数的平均变化率
f (x) x
f(x2 ) f (x1)
x2 x1
❖ 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率 f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
3.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略
的刻画 --------导数
2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等。 以上有物理问题和几何问题，牛顿从物理角度发明微积分，莱 布尼兹从几何角度发明微积分。
学习微积分先从哪里开始？ 先学习导数，要学习导数先学习什 么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。
对于四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可以求最 大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二 次曲线围成的面积原来方法就不行），如果大于二次那原来方法就 力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单
位: C)为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油
温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
孙老师初高中衔接数学讲义
孙老师高考数学复习讲义联系微信：364101857孙老师数学孙老师数学初高中衔接讲义目录第01 章乘法公式与因式分解 (1)第02 章分式运算 (5)第03 章一次函数与一次不等式 (10)第04 章分式不等式 (16)第05 章一元二次方程 (20)第06 章一元二次函数 (24)第07 章二次函数的最值问题 (32)第08 章一元二次不等式与特殊的高次不等式的解法 (38)第09 章绝对值和绝对值不等式的解法 (42)第10 章简单的二元二次方程的解法 (45)第11 章集合及其运算 (48)第12 章函数及其表示 (52)第13 章函数的单调性与最值 (58)第14 章函数的奇偶性 (63)第15 章图象变换 (68)第16 章三角形的“四心” (76)第17 章几种特殊的三角形 (81)第18 章圆 (87)第19 章相似形 (94)第20 章点的轨迹 (101)第21 章数学思想方法 (108)第 1 章乘法公式与因式分解【知识衔接】————初中知识回顾————1．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式(a +b)(a -b) =a 2 -b 2 ；（2）完全平方公式(a ±b)2 =a2 ± 2ab +b2 ．2．因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，初中课本涉及到的常用方法主要有：提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），因式分解与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．————高中知识链接————我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：（3）立方和公式(a +b)(a2 -ab +b2 ) =a3 +b3 ；（4）立方差公式(a -b)(a2 +ab +b2 ) =a3 -b3 ；（5）三数和平方公式（6）两数和立方公式(a +b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 ；（7）两数差立方公式(a -b)3 =a3 - 3a2b + 3ab2 -b3 ．我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：证明：(a +b)(a 2 -ab +b 2 ) =a 3 -a 2 b +ab 2 +a 2 b -ab 2 +b3 =a 3 +b3因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．【经典题型】初中经典题型1．如果，那么代数的值是（）A．6 B．2 C．-2 D．-62．若n满足（n-2011）2+（2012-n）2=1,则（2012-n）（n-2011）等于（）A．－1 B．0 C． D． 13．已知，则代数的值是．4．已知x2﹣2x﹣1=0．求代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．5．把下列各式分解因式：（1）4x 2 -y 2（2）x3 - 8 y 3（2）3x3 -12x 2 y +12xy 2 （4）m 2 + 2mn - 3n 2（5）a 2 - 2a - 4b 2 + 4b （6）ax 2 +ay 2 - 2axy -ab 26．把下列各式因式分解：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2 - (a +b)xy +aby2 ；（4）xy -1+x -y ．7．求证：四个连续正整数n, n + 1, n + 2, n + 3 （其中n 表示正整数）的积与1 的和是完全平方数．高中经典题型1．计算：（1）(4 +m)(16 - 4m +m 2 ) （2）(1m -51n)(1m 22 25+1mn +101n 2 )4（3）(a + 2)(a - 2)(a 4 + 4a 2 + 16) （4）(x 2 + 2xy +y 2 )(x 2 -xy +y 2 )22．已知6x 2 - 7xy - 3y 2 + 14x +y +a = (2x - 3y +b)(3x +y +c) ，试确定a, b, c 的值．3．把2ax -10ay + 5by -bx 分解因式．4．把ab(c2 -d 2 ) - (a2 -b2 )cd 分解因式．5．把x2 -y2 +ax +ay 分解因式．6．把2x2 + 4xy + 2 y2 - 8z2 分解因式．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．如果多项式x2 -mx + 9 是一个完全平方式，则m 的值是2．如果多项式x2 + 8x +k 是一个完全平方式，则k 的值是3．(a+b)2-(a-b)2=a2+b2=(a+b)2-4．已知x +y = 17 ，xy = 60 ，则x2 +y2 =5．把下列各式因式分解(1)x2 - 7x + 6 (2)x2 + 13x + 36 (3)x2 + 5x - 24 (4)x2 - 2x - 15 6．把下列各式因式分解：(1)x2 +xy - 6y2(2)(x2 +x)2 - 8(x2 +x) + 124b )( a 1 1 ————再战高中题 —— 能力提升————B组1．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：（1） (x - 3)() = x 3 - 27 ； （2） (2x + 3)( ) = 8x 3 + 27（5） (x + 2)3= () ； （6） (2x - 3y )3 = ( )2（1） ( y + 3)( y 2- 3y + 9)（2） (x 2- y 2)(x 4+ x 2 y 2+ y 4)3．计算：(1)(3) (x - 3y - 4z )2(a + b )(a 2- ab + b 2) - (a + b )2(2)(4) (2a + 1 - b )2- (a - b )(a + 2b )(a - 1 2 + 4b 2+ ab )44．若 - = 2 ，则 x y3x + xy - 3y x - xy - y 的值为() A ．3B ． - 355C ． -5 D ． 5335．若 x 2+ 2x -1 = 0 ，则 x 2+1= x 2； x 3- 1=x 36．已知 x 2 - 3x +1 = 0 ，求 x 3+7．展开(x - 2)31 + 3的值．x38．计算(x -1)(x - 2)(x - 3)9．计算(x + y + z )(-x + y + z )(x - y + z )(x + y - z )10．把下列各式分解因式：(1) ab (c 2 - d 2 ) + cd (a 2 - b 2) (2) x 2 - 4mx + 8mn - 4n2(3) x 4+ 64(4) x 3 - 11x 2+ 31x - 21(5) x 3- 4xy 2- 2x 2 y + 8y311．已知 a + b = 2, ab = 2 ，求代数式 a 2b + 2a 2b 2+ ab 2的值．312．证明：当 n 为大于 2 的整数时， n 5- 5n 3+ 4n 能被 120 整除．13．已知a +b +c = 0 ，求证：a3 +a2 c +b2 c -abc +b3 = 0 ．第 2 章分式运算【知识衔接】（一）分式的运算规律1、加减法同分母分式加减法：a±b=a ±bc c c异分母分式加减法：a±d=ac ±bd b c bc2、乘法：a⋅c=ac b d bd3、除法：a÷c=a⋅d=ad b d b c bc a n a n4、乘方：( )b = b n（二）分式的基本性质1、ab =ambm(m ≠ 0) 2、ab=a ÷mb ÷m(m ≠ 0)————高中知识链接————比例的性质（1）若a=c则ad =bc b d（2）若a=c则a ±b=c ±d （合比性质）b d b d（3）若a=c（b -d ≠ 0）则a +c=b +d（合分比性质）b d a -c b -d（4）若a=c＝…＝m，且b +d + +n ≠ 0 则a +c + +m=a（等比性质）b d n b +d + +n b分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入2 ++ 6、整体代入7、引入参数【经典题型】初中经典题型1．若代数式xx - 4有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4 2．化简，结果正确的是（）A ． 1B ．C ．D ．3．当 x = 时，分式x - 5 2x + 3的值为零．4．先化简，再求值： ⎛x - 2x ⎫ ÷x ，其中 x = 2 ．x +1 ⎪ x 2 + 2x +1 ⎝ ⎭高中经典题型1 - x - x2 + x3 例 1：化简1 -2 | x | + x 2例 2：化简：a + a 3 + a 2b + ab 2 + b 3ba 3 - a 2b + ab 2 - b 3+ 1 a 2 - b 2 - 1 b 2 + a 2- a 2 + 3b 2 a 4 - b 4例 3：计算n 2 m 2m 2 n 2 2n + m÷ m n n 3 - m 3 -n - mn 2 + m 2 -m 3 n 3 3( m n ) m 2 n 2 2例 4：计算b -c a 2 - ab - ac + b c- c - a b 2 - bc - ab + ac+ a - b c 2 - ac - bc + ab2⎝ ⎭ 2 ⎭ ⎝ 例 5：若 abc = 1，求a + ab + a + 1 b +bc + b + 1 cac + c + 1例 6：已知 x + y - z = x - y + z = - x + y + z 且 xyz ≠ 0，求分式 (x + y )( y + z )(z + x ) 的值z y x xyz【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————1．化简 A组a +1÷ ⎛1+ 2 ⎫ 的结果是( )a 2-2a +1 a -1 ⎪⎝ ⎭A ．1a -1B ．1a +1 ⎛ C ． 1 a 2-1x ⎫ y1 D ． a 2+1⎛ 1 ⎫-12．先化简，再求值：x - y -1⎪ ÷ x 2 - y2 ，其中 x = - 2 ，y = ⎪ ． ⎝ ⎭⎛ a 2 - 5a + 2 +⎫a 2 - 43．（7 分）先化简再求值：a + 21⎪ ÷ a 2 + 4a + 4，其中 a = 2 +．4．化简： (a - a - 24 a 2 - 2a ⎝⎭ ) ÷ a + 2 ．a5．化简： x + 3 + 1 ．x 2 - 9 x - 36．先化简再求值： ⎛x + 1 - 3 ⎫ ⋅ x - 1 ,其中 x = 2 + ．x - 1⎪ x - 2————再战高中题 —— 能力提升————1、已知1 =xy x + y， z =yzy + z ， 3 =xzx + zB 组，则 x ＝；2、若 x =x则分式= x 4 - 6x 3 - 2x 2 + 18x + 23 x 2- 8x + 15x 3＝ ；3、设 x 2 - mx + 1 1，则 x 6 - m 3 x 3 + 1＝；4、若 abc ≠ 0 ，且a +b = b +c = c + a ，则 (a + b )(b + c )(a + c )＝；3 3 19 -4 3c a b abc5、设x 、y 、z 为有理数，且x +y +z ≠ 0 ，=a ，y +zy=b ，z +x=c ，则x +ya1 +a+ b1 +b+ c1 +c＝；6、已知a 、b 、c 均不为0，且a +b +c = 0，则1b2 +c2 -a2+1c2 +a2 -b2+1＝a2 +b2 -c2x zb b 第 3 章一次函数与一次不等式【知识衔接】————初中知识回顾————1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。
2009年高考数学二轮复习专题讲座4——三角函数(张松年)
基本题型二： 基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性 质．
例 6 计 算 ： tan70ocos10o ＋ 3 sin10otan70o － 2cos40o ＝ ________________． 说明： 说明：提取 tan70o，利用辅助角公式． π 1 2π 例 7 若 sin( －α)＝ ，则 cos( ＋2α)＝___________． 6 3 3 π π 2π 说明： 说明：设 －α＝β，则 α＝ －β，从而 ＋2α＝π－2β．利 6 6 3 用倍角公式． π 例 8 函数 f(x)＝sin(πx－ )－1 的奇偶性为___________； 2 说明： 说明：f(x)＝－cosx－1．
基本策略： 基本策略：(1)单角的“切”给出了“弦”的比例 关系，是“明线”，而“弦”的平方关系是“暗 线”，利用这两个关系，可以求出单角“弦”的 平方，从而求出倍角的“弦”；(2)利用恒等变形， 化为“一个角的一个三角函数的一次式y＝ Asin(ωx＋φ)＋k(ω＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三 角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f(x) ＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整 体化的观点，将ωx＋φ看作是一个角的大小，结 合y＝sinx的单调区间和ωx＋φ关于基本题型一： 基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函 数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、 周期性、图像的对称性)为主． 基本题型二： 基本题型二：考查经过简单的三角恒等变形、化简 后，求值、研究性质． 基本题型三： 基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的 基本性质． 基本题型四： 基本题型四：考查三角函数的图像变换与解析式． 基本题型五： 基本题型五：考查三角形中的三角函数与正弦定理、 余弦定理的应用． 基本题型六： 基本题型六：考查三角知识与向量、数列、不等式 等知识的综合应用． 基本题型七： 基本题型七：三角函数性质的一般化．
一道高考题解法的探讨与思考
的一个交点，则ＬＦｌＰＲ＝——；ＡＰＦＩＦ２ 的面积是——．
求出使么Ｆ１ＰＦ２为直角时的Ｐ点的横坐标，再 考虑椭圆的对称性，使张角么Ｆ１ＰＦ２为钝角时
分析：由于椭圆与双曲线有相同的焦点三 的点Ｐ横坐标的取值范围自然可得．
角形，故利用两个焦点三角形面积相等，可求得
解：设Ｐｏ（ｚｏ，Ｙｏ）是椭圆上的点，且
圆的几何性质，Ｐ点横坐标的取值范围是
（一学，学，．
点评：本题也可利用椭圆的焦半径公式 ＰＦｌ Ｉ＝ａ＋红，Ｉ ＰＦ２ Ｉ＝ａ一红，（Ｆｌ，Ｆ２分别 为椭圆的左、右焦点）和余弦定理，再考虑到 一ｌ＜ｃｏｓＺＦｌＰＦ２＜０，求得．２７的取值范围，这 种解法有一定的计算量．通过ＰＦｌｊ－ＰＦ２，利用
椭圆焦点三角形面积公式Ｓ△腰．Ｆ’＝ｂ２ ｔａｎ号，
０，再由焦点三角形面积公式可９９得ＡＰＦＩＦ２ 的面积．
解：设椭圆的短半轴长为ｂ１，双曲线的虚
么Ｆ１ＰｏＦ２＝９０。，焦距Ｉ Ｆ１Ｆ２ Ｉ＝２√９—４＝
２４３，ＳＡＰｏＦＩＦ２号Ｉ Ｆ。Ｆ２…ｙ扣６２ｔａｎ警令
半轴长为ｂ２）ＬＦｌ尸！Ｆ２＝口，由椭圆￡ｍ＋ｙ２＝１ 丢·２４３１ｙｏｌ－４’．．圳＝学玳入菩＋萼＝
找出这时Ｐ点横坐标的值，此种解法比较简 捷．类似问题在高考命题中反复出现，本题只是 改变了叙述方式．
由于椭圆、双曲线有着统一的内在规律，所 以它们之间还存在着很多类似的对偶性质．由 以上几例我们不难发现，利用椭圆、双曲线的焦 点三角形的面积公式去解一类有关问题，能降 低思维强度，简化推理和运算过程，具有直观、 简捷、明快的特点，解题方法新颖独到！
０）的两渐近线分别为￡１，Ｚ２，右准线为ｌ，ｚｌ与ｌ 的交点Ｐ在第一象限，经右焦点Ｆ作１２的平 行线交双曲线于点Ｑ，且ＰＱ∥ｚ轴．求：
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第三章 素能培优 巧用函数性质的二级结论解客观题
[解析]方法一：由结论1.5与1.6可得 = .
方法二：由题意得 − = ，即
−
++ =
−
+ − 对 ∈ 恒成立.整理得
− = ，故 = , = .故答案为1.
例2（1）已知函数 = 3 + sin + 2 022，若 = 2 021，则 − =()
因为 − ( − ) = ，所以 + − − = ，即
+ = + − ，因为 + − = ，所以 + + = ，代
入得 + [ + − ] = ，即 + − = −，所以
, ∈ ∗ ，则 ∑ + =() D
=1
A.6
B.8
C.10
D.14
[解析]由 + = − 及结论3.2得，函数 是以4为周期的周期函数.又 是
奇函数，所以 + = − = − ，由结论2.5得，直线 = 是函数 图象
=
+ + ⋯ + ] = − − − − = −.故选D.
例5(2023常州检测)设函数 的定义域为， 2 + 1 为奇函数， + 2 为偶函
数，当 ∈ [0,1]时， = + .若 0 + 3 = −1，则() C
例3(2023南通检测)已知 = + 4 是定义域为的奇函数， = − 2 是定义域
2009年江苏高考数学命题分析及走向研究
２００９年江苏高考数学命题分析及走向研究作者：赵伟来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2009年第05期赵伟,徐州三十五中校长、徐州市名校长,江苏省数学特级教师,曾任铁道部济南铁路局中学高级教师评委会主任。
现任徐州市数学会常务理事、徐州市中学数学教学专业委员会副主任,徐州师范大学数学科学院兼职教授、硕士生导师。
北京师范大学教育博士班学员。
曾荣获济南铁路局“首批教学能手”、“济南铁路局十大青年标兵”、“济南铁路局十大优秀知识分子标兵”, 徐州市名校长称号。
现主持江苏省教育科学“十一五”规划课题:《中学数学教学与中学生数学素养的形成》。
2009年高考数学试题从整体看,在保持08年“总体平稳、体现创新” 特点的同时体现“重视基础、突出能力,基础、方法与能力并重”,的特点,题目平和、无偏怪题,难度控制理想,试卷难易比例恰当,具有较高的信度和效度及有效的区分度。
有利于高校人才的选拔,有利于中学数学教学改革,有助于“素质教育”的深入实施。
达到了考能力、考基础、考素质、考潜能的考试目的。
一、2 0 0 9年江苏高考数学命题分析1.体现新课标理念,紧扣《考试说明》。
以《普通高中课程标准教学要求》和2009年《考试说明》为依据,知识点覆盖面比较广,可以说考试说明中的B级、C级要求的内容几乎全部考查到了,支撑学科的重点知识更是进行了重点考查, B级要求的36个考了32个,C级要求的8个全部考到。
见下表:2.起点设置较低,入手比较容易。
填空题比较平和,不需太繁的计算,考生应该感觉顺手。
许多试题源于课本,略高于课本,如第1、2、3、4、5、7、11、15题等,都由课本例题、习题进行恰当变更、迁移、综合、创新整合而成,给人以似曾相识的感觉。
最后6个解答题由易到难,涉及的知识内容基础、常规,入手容易,但深入有一定困难。
附加题部分,选做题对知识点的考查单一,结论要求明确,学生入手较易。
两道必做题对数学语言的转化以及数学思想方法有一定的要求,相对较难。
高中数学高考复习系列专题讲座 导数的应用 人教版选修II
高中数学高考复习系列专题讲座 导数的应用 人教版选修II苍南龙港高中 吕存于【考点解读】1．导数（选修II ）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。
2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。
3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。
4．体系整合5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。
②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。
热点一：导数的几何意义函数y=f (x) 在点x 0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x 0, f(x 0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x 0, f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)，于是相应的切线方导数 导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义两函数和、差、积、商的导数复合函数的导数基本导数公式导数的应用函数的单调性函数的极值 函数的最值程为y －y 0=f ′(x 0) (x －x 0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。
【错题分析】[错例1] （2004天津卷20（2））曲线f(x)=x 3－3x ，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，求曲线的切线方程。
高考数学二轮复习专题讲座3——函数与导数(孙居国)
函数与导数二轮复习建议南师大附中 孙居国 徐昌根函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题．通过对江苏及全国各地的高考题的分类研究，对高考函数与导数问题有如下认识二．考查函数的基本知识，如定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等．有的考题只考查函数的某一个方面的知识，而有的则体现出对函数知识的综合考查，常常涉及数形结合、特殊与一般（特殊化与一般化）、存在性与全称性问题等思想与方法． 1．考查函数的三要素（定义域、值域、解析式）． （1）函数f (x )＝x 21-的定义域是 （－∞，0] ． （2）函数21(),()1f x x R x=∈+的值域是 (0,1] ． （3）设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， 2 ． （4）若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = 224x -+ ． 2．考查函数的性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性，最值等）． （1）已知函数()1,21x f x a =-+若()f x 为奇函数，则a =____21____. （2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (-2,2) ．（3）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 0 ． （4）函数f (x的最大值为 12 ．（5）（07年江苏）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则123,,332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是 231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．3．考查抽象函数（1）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于 2 ．（2）函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =132． 4．考查函数性质的综合运用．（1）若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的最小值是 -52． （综合考查一元二次不等式，数形结合，恒成立的不等式，分离变量的方法等）（2）函数21()2f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n +=_－2__． （3）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是 )1,43[ ．（综合考查函数的定义域，函数的单调性等） （4）方程223xx -+=的实数解的个数为 2 .（考查函数的图像，二分法等） （5）（07年江苏）设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 (10)-， ．（6）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)③1212()()f x f x x x -->0；④1212()()()22x x f x f x f ++<.当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 ② .（7）设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()()(2f x f x C C +=为常数）成立，则称函数()f x 在D 上均值为C ，给出四个函数①3y x = ②4sin y x = ③lg y x = ④2x y =．则满足在其定义域上均值可以为2的函数是 ①③ ．（把你认为符合条件的函数的序号填上）三．导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常常运用导数确定函数的单调性，进而研究函数的最值、极值，方程及不等式的解等． 1．考查导数的意义，运用导数求极值，单调性，最值．（1）二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限．（考查导数的几何意义，数形结合等）（2）（07年江苏）已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=___32__．（3）（08年江苏）3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a = 4 ． （4）（07年江苏）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 2 ． 2．运用导数求切线，包括由切点求切线，由经过点求切线． （1）（08江苏）直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b l n 21- ．（2）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e ) ．（由曲线外一点求切线，关键是先设切点，由切点写切线，再过定点定参数） 3．主动构造函数解题．(1)已知函数()f x ,x ∈R 满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足/()10f x -<，则不等式22()1f x x <+的解集为__ (,)(2,)-∞+∞ __.（构造函数()()g x f x x =-）（2）函数3(),f x x x x R =+∈，当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 )1,(-∞ ．（撇开函数的具体解析式，利用函数的奇偶性和单调性解决问题） 四．应用题，探索性考题． 1．函数应用题．（1）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为1m 11- ．（2）一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 5 米/秒． ''()21,(3)2315s t t s =-=⨯-=2．探索性问题．所谓探索性，指这类问题的指向不明确，需要通过尝试、类比、联想、一般化与特殊化等手段摸索解题思路．(1)若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = 11 ；(通过尝试，发现周期性的规律解决问题，本题属于中等题)（2）规定记号“∆”表示一种运算，即+∈++=∆R b a b a b a b a 、， 若31=∆k ，则函数()x k x f ∆=的值域是___),1(+∞____（研究新定义的运算的规律解题，本题属于中等题）（3）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
高三数学第二轮专题讲座复习：导数的应用问题
高三数学第二轮专题讲座复习：导数的应用问题 高考要求 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a ,b ］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点 本节内容主要是指导考生对这种方法的应用 重难点归纳1 f (x )在某个区间内可导，若f ′(x )＞0,则f (x )是增函数；若f ′(x )＜0,则f (x )是减函数2 求函数的极值点应先求导，然后令y ′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如 y =x 3,当x =0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y ′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为03 可导函数的最值可通过(a ,b )内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y =|x |,在x =0处不可导，但它是最小值点典型题例示范讲解例1已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值，且f (1)=－1(1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由命题意图 利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解知识依托 解题的成功要靠正确思路的选择 本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化 这是解答本题的闪光点错解分析 本题难点是在求导之后，不会应用f ′(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍技巧与方法 考查函数f (x )是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x =±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值 解 (1)f ′(x )=3ax 2+2bx +c∵x =±1是函数f (x )的极值点，∴x =±1是方程f ′(x )=0,即3ax 2+2bx +c =0的两根 由根与系数的关系，得203 1 3b a c a⎧-= ⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②又f (1)=－1,∴a +b +c =－1,③ 由①②③解得a =23,0,21==c b , (2)f (x )=21x 3－23x , ∴f ′(x )=23x 2－23=23(x －1)(x +1) 当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0∴函数f (x )在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数 ∴当x =－1时，函数取得极大值f (－1)=1, 当x =1时，函数取得极小值f (1)=－1例2在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？ 命题意图 学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力知识依托 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解错解分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式技巧与方法 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系解法一 根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km,则∵BD =40,AC =50－x , ∴BC =222240+=+x CD BD又设总的水管费用为y 元，依题意有 y =30(5a －x )+5a 2240+x (0＜x ＜50)y ′=－3a +22405+x ax,令y ′=0,解得x =30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x =30(km)处取得最小值，此时AC =50－x =20(km)∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省解法二 设∠BCD =Q ,则BC =θsin 40,CD =40cot θ,(0＜θ＜2π),∴AC =50－40cot θ 设总的水管费用为f (θ),依题意，有f (θ)=3a (50－40·cot θ)+5a ·θsin 40=150a +40a ·θθsin cos 35- ∴f ′(θ)=40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′(θ)=0,得cos θ=53根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值， 此时sin θ=54,∴cot θ=43,∴AC =50－40co t θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省例3已知f (x )=x 2+c ,且f ［f (x )］=f (x 2+1)(1)设g (x )=f ［f (x )］,求g (x )的解析式；(2)设φ(x )=g (x )－λf (x ),试问 是否存在实数λ,使φ(x )在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数解 (1)由题意得f ［f (x )］=f (x 2+c )=(x 2+c )2+cf (x 2+1)=(x 2+1)2+c ,∵f ［f (x )］=f (x 2+1)∴(x 2+c )2+c =(x 2+1)2+c ,∴x 2+c =x 2+1,∴c =1∴f (x )=x 2+1,g (x )=f ［f (x )］=f (x 2+1)=(x 2+1)2+1(2)φ(x )=g (x )－λf (x )=x 4+(2－λ)x 2+(2－λ)若满足条件的λ存在，则φ′(x )=4x 3+2(2－λ)x ∵函数φ(x )在(－∞,－1)上是减函数， ∴当x ＜－1时，φ′(x )＜0 即4x 3+2(2－λ)x ＜0对于x ∈(－∞,－1)恒成立∴2(2－λ)＞－4x 2, ∵x ＜－1,∴－4x 2＜－4 ∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4又函数φ(x )在(－1,0)上是增函数 ∴当－1＜x ＜0时，φ′(x )＞0即4x 2+2(2－λ)x ＞0对于x ∈(－1,0)恒成立 ∴2(2－λ)＜－4x 2,∵－1＜x ＜0,∴－4＜4x 2＜0 ∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4故当λ=4时φ(x )在(－∞,－1)上是减函数，在(－1,0)上是增函数，即满足条件的λ存在 学生巩固练习 1 设f (x )可导，且f ′(0)=0,又xx f x )(lim 0'→=－1,则f (0)( )A 可能不是f (x )的极值B 一定是f (x )的极值C 一定是f (x )的极小值D 等于02 设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( )A 0B 1C n n)221(+- D 1)2(4++n n n 3 函数f (x )=log a (3x 2+5x －2)(a ＞0且a ≠1)的单调区间_______4 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大5 设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间参考答案1 解析 由x f x )0(lim 0'→=－1,故存在含有0的区间(a ,b )使当x ∈(a ,b ),x ≠0时xf )0('＜0,于是当x ∈(a ,0)时f ′(0)＞0,当x ∈(0,b )时，f ′(0)＜0,这样f (x )在(a ,0)上单增，在(0,b )上单减答案 B2 解析 ∵f ′n (x )=2xn 2(1－x )n －n 3x 2(1－x )n -1=n 2x (1－x )n -1［2(1－x )－nx ］,令f ′n (x )=0,得x 1=0,x 2=1,x 3=n+22, 易知f n (x )在x =n+22时取得最大值， 最大值f n (n +22)=n 2(n +22)2(1－n +22)n =4·(nn +2)n +1答案 D 3 解析 函数的定义域是x ＞31或x ＜－2, f ′(x 253log 2-+x x e a (3x 2+5x －2)′=)2)(13(log )56(+-⋅+x x e x a , ①若a ＞1,则当x ＞31时，log a e ＞0,6x +5＞0,(3x －1)(x +2)＞0, ∴f ′(x )＞0,∴函数f (x )在(31,+∞)上是增函数，x ＜－2时，f ′(x )＜0 ∴函数f (x )在(－∞,－2)上是减函数②若0＜a ＜1,则当x ＞31时，f ′(x )＜0,∴f (x )在(31,+∞)上是减函数，当x ＜－2时，f ′(x )＞0,∴f (x )在(－∞,－2)上是增函数 答案 (－∞,－2) 4 解析 设圆内接等腰三角形的底边长为2x ,高为h ， 那么h =AO +BO =R +22x R -,解得x 2=h (2R －h ),于是内接三角形的面积为S =x ·h =,)2()2(432h Rh h h Rh -=⋅- 从而)2()2(21432143'--='-h Rh h Rh S 32322143)2()23()46()2(21h h R h R h h Rh h Rh --=--=- 令S ′=0,解得h =23R ,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R )上列表如下 h (0,23R ) 23R (23,2R ) S ′ + 0 －S 增函数 最大值 减函数由此表可知，当x =23R 时，等腰三角形面积最大 答案 23R 5 解 f ′(x )=3ax 2+1若a ＞0,f ′(x )＞0对x ∈(－∞,+∞)恒成立，此时f (x )只有一个单调区间，矛盾若a =0,f ′(x )=1＞0,∴x ∈(－∞,+∞),f (x )也只有一个单调区间，矛盾 若a ＜0,∵f ′(x )=3a (x +||31a )·(x －||31a ),此时f (x )恰有三个单调区间∴a ＜0且单调减区间为(－∞,－||31a )和(||31a ,+∞)， 单调增区间为(－||31a , ||31a ) OA B C D。
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函数与导数二轮复习建议南师大附中 孙居国 徐昌根函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题．通过对江苏及全国各地的高考题的分类研究，对高考函数与导数问题有如下认识二．考查函数的基本知识，如定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等．有的考题只考查函数的某一个方面的知识，而有的则体现出对函数知识的综合考查，常常涉及数形结合、特殊与一般（特殊化与一般化）、存在性与全称性问题等思想与方法． 1．考查函数的三要素（定义域、值域、解析式）． （1）函数f (x )＝x 21-的定义域是 （－∞，0] ． （2）函数21(),()1f x x R x=∈+的值域是 (0,1] ． （3）设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， 2 ． （4）若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = 224x -+ ． 2．考查函数的性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性，最值等）． （1）已知函数()1,21x f x a =-+若()f x 为奇函数，则a =____21____. （2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (-2,2) ．（3）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 0 ． （4）函数f (x的最大值为 12 ．（5）（07年江苏）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则123,,332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是 231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．3．考查抽象函数（1）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于 2 ．（2）函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =132． 4．考查函数性质的综合运用．（1）若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的最小值是 -52． （综合考查一元二次不等式，数形结合，恒成立的不等式，分离变量的方法等）（2）函数21()2f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n +=_－2__． （3）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是 )1,43[ ．（综合考查函数的定义域，函数的单调性等） （4）方程223xx -+=的实数解的个数为 2 .（考查函数的图像，二分法等） （5）（07年江苏）设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 (10)-， ．（6）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)③1212()()f x f x x x -->0；④1212()()()22x x f x f x f ++<.当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 ② .（7）设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()()(2f x f x C C +=为常数）成立，则称函数()f x 在D 上均值为C ，给出四个函数①3y x = ②4sin y x = ③lg y x = ④2x y =．则满足在其定义域上均值可以为2的函数是 ①③ ．（把你认为符合条件的函数的序号填上）三．导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常常运用导数确定函数的单调性，进而研究函数的最值、极值，方程及不等式的解等． 1．考查导数的意义，运用导数求极值，单调性，最值．（1）二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限．（考查导数的几何意义，数形结合等）（2）（07年江苏）已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=___32__．（3）（08年江苏）3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a = 4 ． （4）（07年江苏）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 2 ． 2．运用导数求切线，包括由切点求切线，由经过点求切线． （1）（08江苏）直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b l n 21- ．（2）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e ) ．（由曲线外一点求切线，关键是先设切点，由切点写切线，再过定点定参数） 3．主动构造函数解题．(1)已知函数()f x ,x ∈R 满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足/()10f x -<，则不等式22()1f x x <+的解集为__ (,)2,)-∞+∞ __.（构造函数()()g x f x x =-）（2）函数3(),f x x x x R =+∈，当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 )1,(-∞ ．（撇开函数的具体解析式，利用函数的奇偶性和单调性解决问题） 四．应用题，探索性考题． 1．函数应用题．（1）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为1m 11- ．（2）一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 5 米/秒． ''()21,(3)2315s t t s =-=⨯-=2．探索性问题．所谓探索性，指这类问题的指向不明确，需要通过尝试、类比、联想、一般化与特殊化等手段摸索解题思路．(1)若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = 11 ；(通过尝试，发现周期性的规律解决问题，本题属于中等题)（2）规定记号“∆”表示一种运算，即∈++=∆R b a b a b a b a 、， 若31=∆k ，则函数()x k x f ∆=的值域是___),1(+∞____（研究新定义的运算的规律解题，本题属于中等题）（3）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○2，○2式可以用语言叙述为： ． 解：V 球＝343R π，又32443R R ππ'（）＝ 故○2式可填32443R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数．”（本题考查类比的思想方法，本题属于中等题）（4）已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 (,4)-∞ ．（考查对存在性与全称性问题的认识，本题属于难题）（5）已知奇函数()f x 满足：1）定义在R 上；2）()f x a <（常数0a >）；3）在(0,)+∞上单调递增；4）对任意一个小于a 的正数d ，存在一个自变量0x ，使0()f x d >． 请写出满足以上所有条件的一个函数的解析式： ．解：2||,1ax x x ⋅+等，分段函数也可． (本题需要熟练掌握常见的函数的图像与性质，并能根据要求主动构建函数，本题属于难题)五．函数的综合问题这类问题涉及的知识点多，与数列、不等式等知识加以综合。
主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.1．已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值. 解：（1）由函数f (x )图象过点（－1，－6），得m -n =-3, ……① 由f (x )=x 3+mx 2+nx -2，得f ′（x ）=3x 2+2mx +n , 则g (x )=f ′(x )+6x =3x 2+(2m +6)x +n ; 而g (x )图象关于y 轴对称，所以－3262⨯+m ＝0，所以m =-3, 代入①得n =0.于是f ′(x )＝3x 2-6x =3x (x -2). 由f ′(x )>得x>2或x <0,故f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f ′(x )<0得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f ′(x )＝3x (x -2), 令f ′(x )＝0得x =0或x=2.由此可得：当0<a <1时，f (x )在（a -1,a +1）内有极大值f (0)=-2,无极小值； 当a =1时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值；当1<a <3时，f (x )在（a -1,a +1）内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值.综上得：当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f (x )无极值.2．已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。