5 函数、导数、不等式的综合问题

1．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13
x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )．
A.13
B ．－13 C.73
D ．－13或53 2．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小
时t 的值为( )．
A ．1 B.12 C.52 D.22
3．已知函数f (x )＝12
x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．
A.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 4．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函
数，则a 的值等于( )．
A ．1
B ．2
C ．0 D. 2
5．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )．
A ．a ＞－3
B ．a ＜－3
C ．a ＞－13
D ．a ＜－13
6．(2012·衡阳模拟)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，
则ab 的最大值等于________．
7．函数f (x )＝13
x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的范围是________．
8．关于x 的方程x 3－3x 2
－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．
9．已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12
x 2＋bx ＋a .(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )的图象过原点． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程；
(2)若存在x ＜0，使得f ′(x )＝－9，求a 的最大值．
10．已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)求实数b 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间；
(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M (m ＜M )，使得对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．
11．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.
(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；
(2)对一切的x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x
.。