小学奥数小学五年级奥数秋季班圆和扇形的周长与面积(二)

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五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》[1]

第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。

例1：如下图（1），在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。

(1)(2)解法一：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。

这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。

所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法二：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。

阴影部分的面积是正方形面积的一半。

(3)(4)解法三：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。

阴影部分的面积是正方形的一半。

例2：如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由容斥原理，S阴影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCD=4π×AB2×2－AB2=4π×42×2－42=16×（2π－1）≈16×2214.3-=9.12（平方厘米）。

例3：如下图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米。

求阴影部分的面积。

EB解：S阴景=S扇形ABE＋S扇形CBF－S矩形ABCD=41×π×62＋41×π×42－6×4=41×π（36＋16）－24=13π－24=15（平方厘米）（取π=3）例4：如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。

学而思培优之圆和扇形的周长与面积(二)

3
差不变——化不规则为规则
【例4】(★★★) ( ) 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取 3.14) D A E
B
C
F
等积变形——化不可求为可求
【例5】(★★★★) 【例】( ) 如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6 厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。(π 取3)
圆和扇形的周长与面积(二)
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圆的周长
弓形：弓形弓形一般不要求周长般不要求周长，主要求面积。主要求面积。弓形面积＝扇形面积－三角形面积。
C＝πd 或 C＝2πr
圆的面积
“弯角”：弯角的面积=正方形弯角：弯角的面积=正方形-扇形扇形
S＝πr2 扇形的弧长 C＝2 r
n 360
“谷子”： “谷子”的面积=弓形面积×2
整体考虑——柳暗花明【例6】(★★★) (1)如图，求阴影部分的面积。( π取3)
北大附中“资优博雅杯”数学竞赛) (2)如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”。这8个“月牙形”的总面积为32平方厘米问大正方形EFGH的面积是多少？为32平方厘米，问大正方形 A E H C F B G D
从简单情况入手从特殊到一般【例7】(★★★★★) 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10平方米。每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如下图)。那么，阴影部分的面积是多少平方米？ 12 1 11 2 10
9 8 7 6 5 4

第2讲圆、扇形的面积与周长(二)

第2讲圆形、扇形的面积与周长（二）重点摘要本讲主要讲授利用等积变形，重叠等方法求解圆形、扇形的面积与周长。

以及求解圆形、扇形与其他平面图形所组成的平面组合图形的面积。

精讲精练例题1、有七根直径5cm 的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒成一捆（如图所示），此时橡皮筋的长度是多少？(π取3.14)练习1、如下图所示,圆的周长为15.7分米,圆的面积是长方形面积的32,问图中阴影部分的周长是多少分米?(π=3.14)例题2、如图，图①和图②是两个相同的正方形，图①中阴影部分是4个圆，图②中阴影部分是9个圆。

那么图中阴影部分的面积大？为什么？练习2、下左图是一个圆环，L 是圆环内最长的线段，下右图是以L 为直径的圆。

问：下左图的圆环与下右图的圆相比，谁的面积大？L L例题3、如下图，等边三角形边长是10厘米，那么阴影部分的周长是厘米？(π取3.14)练习3、如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（π取3.14，得数保留两位小数）。

例题4、如图所示,阴影部分的面积是200平方厘米，求两个圆之间的圆环面积。

(π取3.14)练习4、在正方形ABCD中，AC＝6厘米。

求阴影部分的面积。

例题5、如图所示，求图中阴影部分的面积（π取3.14）。

练习5、图中阴影部分的面积是多少平方厘米?（π取3.14）例题6、求图中阴影部分的面积（π取3.14）。

练习6、等腰直角三角形的一腰的长是8厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积共有多少平方厘米?(π取3.14)【拓展题】如图正方形边长为1,则阴影部分面积为多少？。

（结果保留π）【课堂练习】1、求图形中阴影部分的面积（π取3.14）。

2、右图是由五个圆所构成的，其中总共有3种不同长度的直径，且有部分的圆彼此相切，如图所示。

若最大圆内白色部分的总面积是20cm2，则其中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米.AB长40厘米,BC长多少厘米？（π取3.14）4、下图三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心。

五年级奥数圆和扇形的周长与面积二

加油站
C B
答案：1
【例6】（★★★★）（北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）（2）如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形
各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外
各边的中点分别以大正方形各边的一半为直径向外
做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半
圆，形成个月牙形个月牙形
圆，形成8个“月牙形”。

这8个“月牙形”的总面积
为32平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少？
A
H
D
加加点睛
三个转化：化未知为已知；
化不规则为规则；为不可求为可求
四个基本方法：割补、变换、
差不变、整体、
重点例题：例1，例2，例3，例4，例5。

小学五年级奥数圆和扇形的周长与面积(二)

圆和扇形的周长与面积(二)本讲主线1. 不规则图形的求解4. 其他相关扇形:2. 差不变和等积变形弓形＝扇形－△弯角=正方形-扇形.r2. 圆的面积：S=πr2谷子=弓形面积×23. 扇形：在圆的基础上×360120°5 5【例2】(★★★)板块一:不规则图形的常用解法求图中阴影部分的面积。

（π取3）如图， ABCD是正方形，且 FA＝AD＝DE＝1，求阴影部分的面积。

(π取3.14 ) 45°45°20cm1【例4】(★★★)板块二:差不变和等积变形如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分【例3】(★★★☆)面积是多少？(圆周率取 3.14)DE 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。

(圆周率取3 )AC FB【例5】(★★★★)如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。

（π取3）5. 圆中的直角三角形：顶点在圆上，并且经过圆心的三角形是直角三.C△ABC中，∠C＝90°r B【超常大挑战】(★★★★)已知AB、AC、BC分别为3个半圆的直径. 请证明：阴影部分的面积＝△ABC的面积. AB C 2知识大总结【今日讲题】1. 公式：圆＝π×r2n扇形＝圆×3602. 基本模型：弓形，弯角，谷子3. 不规则图形：割补、平移、旋转、对称4. 两个考点：⑴同加同减差不变⑵等积变形5. 一个模型：两个月亮换个三角A例1~超常大挑战【讲题心得】____________________________________________________________【家长评价】______________________________________________________________B C3。

学而思-----第二讲圆和扇形的周长与面积

D
E
D
E
A
A
B
C
F
B
C
F
4、旋转法（例 6）旋转法是本讲的重点与难点，对于“羊吃草”的问题还是比较简单的。关键是直线型旋转面积，学员无法想到
直线旋转后所扫发到过的面积，其实，由教师讲解后你会发现，一般情况下直线所扫过一周的面积（有特例，如：钝
角三角形的长边绕钝角顶点旋转时）就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以即可。
够活动的最大范围是多少？（
）
分析：如图，羊活动的范围是受绳子的牵制的，所以羊活动的最大范围即绳子 AE 所扫过的总面积。（三部分）
（1）红色部分为按绳长 30 米所能达到的最大范围（绳子不受任何牵制），此图形为半径 30，
圆心角 270 度的扇形。
（2）黄色部分为按绳长 10 米所能达到的最大范围（绳子受点 D 牵制），所以之后只能按半径
由第三个图可知：所求面积已转化为扇环的面积，圆心角度数为 120 度。所以阴影=
（
）
S=
E
E
E
C
C
G
C
G
A
B
D
A
F
B
D
A
F
B
D
第二讲圆和扇形的周长和面积 2.2
五年级秋季班第二讲圆和扇形的周长与面积
曹威
拓展练习：“羊吃草 ”问题
草场上有一个长 20 米，宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈外的一角，用长 30 米的绳子拴着一只羊，问这只羊能
B
C
C
B
O
A
O
A
分析：与丄题同理 A 点移到 O 点，阴影面积变为扇形 OBC 的面积，注意：圆心角 COB=60 度。

扇形的周长公式和面积公式是什么

扇形的周长公式和面积公式是什么
扇形也是一种图形，那么扇形的周长公式和面积公式是多少呢?有些同学需要这种问题的解答。

下面是由小编为大家整理的“扇形的周长公式和面积公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。

扇形的周长公式和面积公式是什么
1、扇形周长公式为：扇形周长=扇形半径×2+弧长，即C=2r+ (n÷360) πd=2r+(n÷180)πr。

扇形面积公式是S=(lR)/2 或S=(1/2)θR²，R是底圆的半径，l为扇形弧长，θ为圆心角。

2、一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。

拓展阅读：如何计算扇形圆心角的度数
计算扇形圆心角的度数的方法：
1、用弧长除以周长，用这个比值乘以圆周角360度;
2、用扇形面积除以圆的面积，用所得比值乘以圆周角360度即可。

扇形是什么图形
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。

《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。

扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成，在较小的区域被称为小扇形，较大的区域被称为大扇形。

在右图中，θ是扇形的角弧度，r是圆的半径，L是小扇形的弧长。

圆弧为180°的扇形称为半圆。

其他圆弧角的扇形有时给予其特别的名字，其中包括象限角(90°)、六分角(60°)以及八分角(45°)，它们分别是整圆的1/4、1/6、1/8。

小学奥数全国推荐最新五年级奥数通用学案附带练习题解析答案40圆与扇形(二)

年级五年级学科奥数版本通用版课程标题圆与扇形（二）有时竞赛题中会考查一些关于无滑滚动、杠杆原理等物理知识，其中要用到关于圆的计算。

这类题要求我们知道一些简单的物理常识，因此平时就要注意积累。

最后我们举两个关于圆的、设而不求的例子，以提高同学们的思维水平。

无滑滚动硬币在支撑面上滚动，硬币边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面无相对滑动，称硬币做无滑滚动。

这时，硬币边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的速度为0。

一个硬币沿一条直线滚动，并且没有滑动。

此时圆心运动的距离与硬币周长的比值就是硬币滚动的圈数。

硬币沿着曲线型边缘滚动，比如沿着另一个硬币边缘滚动，这种情况下若直接计算硬币自转多少圈容易算错，这时我们可以假定硬币边缘上有一红点，利用这个红点的指向间接判断硬币自转多少圈。

例1直径l厘米的圆沿边长为4.14 厘米的正方形内侧无滑动地滚动l圈(见图)，则圆绕自己的圆心转了______圈。

分析与解：把整个过程分为4段，根据对称性知道，只要计算一段的情况就行了。

在一条边上滚动，是直线上的无滑动滚动。

用滚动距离除以圆周长就是滚动的圈数。

.4(=14÷-，故在一条边上旋转一周。

所以整个过程中圆绕自己的圆心转了4圈。

.3114)1例2半径为1的圆片绕着边长为6、7、8的三角板滚动一周，回到原位置。

圆片扫过的面积多大？分析与解：把扫过的区域分成六块，其中三块是长方形，总面积为42)876(2=++⨯；另外三块是扇形，能拼成半径是2的圆，面积是56.1214.34=⨯，所以圆片扫过的总面积是54.56。

例3 三个相同的硬币，将其中两个紧挨着固定在桌面上。

另外一个紧贴着这两个硬币滚动一周，没有滑动。

问，这个硬币自身转动几圈?分析与解：利用对称性知，只要计算滚动半周，硬币自转的圈数就可以知道了。

假设固定的两个硬币是左右相邻的，在右半周，滚动半周，硬币旋转34圈。

滚动一周，则硬币旋转38圈。

例4 试说明图中阴影部分面积与图中直角三角形面积相同。

小学奥数圆与扇形(二) 精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块二曲线型面积计算【例 1】如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍，则角CAB 的度数是________．例题精讲圆与扇形DCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC的面积为2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．【答案】60度【例 2】如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.【答案】60度【例 3】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【答案】7.5【例4】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和．将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒，所以BC弧所对的圆心角是60︒，6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【答案】45【例5】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以AB CB=，同理CB AC=，则ABC∆是正三角形，同理，有CDE∆是正三角形．有60ACB ECD∠=∠=，正五边形的一个内角是1803605108-÷=，因此60210812ECA∠=⨯-=，也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm360⨯⨯⨯⨯=．【答案】12.56【例6】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的14，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例 7】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，2212S r r π=-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例 8】用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=，边角料面积36288=-=(平方厘米)．【答案】8【例 9】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍，那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【答案】2.5【例 10】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2π360n R S =扇．可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么120AOC ∠=︒，又知四边形ABCO 是平行四边形，所以120ABC ∠=︒，这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)．【答案】412【例 11】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC CD DB ==，M 是CD的中点，H 是弦CD 的中点．若N 是OB 上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示，连接OC 、OD 、OH ．本题中由于C 、D 是半圆的两个三等分点，M 是CD 的中点，H 是弦CD 的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD 与AB 平行．由此可得CHN ∆的面积与CHO ∆的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以阴影部分面积等于半圆面积的16，为11226⨯=平方厘米．【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC∆和COD∆都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846⨯⨯=．【答案】18.84【例12】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)O【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC．剩下的图形中，容易看出来AB与CD是平行的，所以BCD∆与ACD∆的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的面积相等，而扇形ACD的面积为260π10.5360⨯⨯=，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．【答案】0.5【例13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△，所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【答案】113.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【答案】39【例 14】如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)DD【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和． ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=；阴影部分面积为：257.12532.125+=．【答案】32.125【例 15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为；(π 3.14=)A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】连接小正方形AC ,有图可见ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯ ∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△∴2412.56828.56S =+-=阴影【答案】28.56【例 16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】假设最小圆的半径为r ，则三种半圆曲线的半径分别为4r ，3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=，空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=，则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．【答案】5:11【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方厘米)；⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9⨯=(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=(平方厘米)．【答案】4.1【例 18】已知正方形ABCD 的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】 39.25 【答案】39.25【例 19】如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBAaDCBAa【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【答案】12a【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)D BA DB【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【答案】8【例 20】 (四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的面积之差，所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm )．【答案】3.85【例 21】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和是平方厘米.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】根据容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影，所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方厘米）【答案】72【例 22】如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数)，请问m n +之值为何？S 2S 1G HFEDC B AS图1S 2S 1G HF E DCBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】国际小学数学竞赛【解析】 (法1)2248cm FCDES=⨯=，21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm )，21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm )，而124ππ8FCDE BCD BFH S S S S S -=--=--扇形扇形3π8=-2(cm )，所以3m =，8n =，3811m n +=+=．(法2)如右上图，1S S +=BFEA BFH S S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )， 24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，所以，12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，故3811m n +=+=．【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=．【答案】1.42【例 23】如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)CB A【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米)，再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积，则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=．【答案】41.04【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了．因为45ADB ∠=︒，所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)，那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米)，又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米)，所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．【答案】7.125【例 24】如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)33B A33A1.51.51.545︒45︒B33【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中A 、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的A 、B 的面积．所以()()229271.5π 1.5343π3328498416A B S S +=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=．【答案】2716【巩固】图中阴影部分的面积是．(π取3.14)33【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积．所分成的弓形的面积为：22131199π3π2242168⎡⎤⎛⎫⨯-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；另一部分的面积为：221199π33π8484⨯-⨯=-；所以阴影部分面积为：99992727πππ 1.92375 1.9216884168-+-==-=≈．【答案】1.92【例 25】已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心，求阴影部分的面积．(π3=)O3【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个90︒扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：()()()2142020π202020100π4754S S S S ⎡⎤---÷=⨯-⨯-⨯-÷=⎡⎤⎣⎦⎣⎦圆正方形正方形扇形(平方厘米)，所以阴影部分的面积为752150⨯=(平方厘米)．【答案】150【例 26】一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3) 【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为290111π13604⨯-⨯⨯=；那么圆无法运动到的部分面积为 1414⨯=方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为222311⨯-⨯=【答案】1【例 27】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14=)B【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以262.8 3.1420OA =÷=．因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方厘米)．由于AOB ∆是等腰直角三角形，所以220240AB =⨯=．因此：扇形ABC 的面积24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)．所以，阴影部分的面积等于：15.710 5.7-=(平方厘米)．【答案】5.7【例 28】如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即11010502S =⨯⨯=扇形，则圆的面积为508400⨯=【答案】400【例 29】如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长．(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=，则直角三角形的面积为157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15．【答案】15【巩固】三角形ABC 是直角三角形，阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，8cm AB =，求BC 的长度．I IABCI【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，根据差不变原理，直角三角形ABC 面积减去半圆面积为225cm ，则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )，BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【答案】12.53【巩固】如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】图中半圆的直径为AB ，所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28=，所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【答案】32.8【例 30】图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】十三分，入学测试题【解析】如下图，设半圆的圆心为O ，连接OC ．从图中可以看出，20OC =，20416OB =-=，根据勾股定理可得12BC =．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．【答案】244【例 31】如图，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅=6【答案】6【例 32】如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？68【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】S S S =-阴影直角三角形半圆，设半圆半径为r ，直角三角形面积用r 表示为：610822r rr ⨯⨯+= 又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为168242⨯⨯=，所以824r =，3r =所以1249π=24 4.5π2S =-⨯-阴影【答案】24 4.5π-【例 33】大圆半径为R ，小圆半径为r ，两个同心圆构成一个环形．以圆心O 为顶点，半径R 为边长作一个正方形：再以O 为顶点，以r 为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是2250R r -=平方厘米，那么环形的面积为： 2222πππ()π50=157R r R r -=-=⨯(平方厘米)．【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是225cm ，求圆环的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】设大圆半径为R ，小圆半径为r ，依题有222522R r -=，即2250R r -=．则圆环面积为：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==．【答案】157【例 34】已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是．(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【关键词】101中学，考题【解析】设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：22π:π:2r a =，所以大圆面积为：202π10π÷⨯=；小圆的面积与正方形的面积之比为：22π():π:42aa =，所以小圆的面积为：204π5π÷⨯=；两个圆的面积之和为：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方厘米)．【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是平方厘米．(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===，即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30260⨯=(平方厘米)．【答案】60【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a ，小正方形的面积是．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设图中小正方形的边长为b ，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a ，而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以22222a b b b =+=，故2212b a =，即小正方形的面积为212a ．【答案】212a【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm ，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取22π7=)。

【小奥】五年级寒假同步课程圆与扇形初步(修改版公式割补法容斥原理等应用)

圆与扇形初步1. 圆与扇形的定义：平面上到定点的距离为定长的所有点组成的图形叫圆．扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．扇形是圆的一部分． 2. 圆与扇形的基本计算：（1）圆形的周长：圆周长C=2r d ππ⨯⨯=⨯ （2）圆的面积：2S r π=⨯圆的面积公式可以由周长公式推导出来，结合此图，想一想这是为什么：（3）扇形的周长或弧长：扇形弧长=2360nr π⨯ （4）扇形的面积：扇形面积=2360nr π⨯⨯ 3. 割补法求不规则图形的面积．【解答】地球赤道长：22 3.14640040192r π=⨯⨯=（千米），所以绳长40192千米；一般我们可能会想：对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也是极小的，肉眼都看不出来吧；这里我们先不急着下结论，让我们实际算一下：绳长加上1米变为40192001米，则有：40192001264000000.159π÷-≈（米），即大约16厘米，还真不小呢！距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为本讲中题目如不做特殊说明，则π近似取3.14例1.已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为厘米，面积为平方厘米．练习1：已知一个圆的周长为50.24厘米，那么这个圆的直径为厘米．例2.已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是45，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是厘米．（2）这个扇形面积是平方厘米，占它所在圆的面积的．练习2：（1）已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为6.28厘米，这个扇形的面积是多少？（2）已知一个半圆形的面积是25.12平方厘米，求这个半圆的周长．例3.如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆．已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）例4.求下三个半径为100厘米且圆心角为60º的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是________厘米．（π取3.14）练习3：分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到右图；那么，阴影图形的周长是_______厘米．(π取3.14)例题5：夏天到了，爸爸从商店买了4瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起，如图7所示，捆4圈至少用绳子多少厘米？（接头处忽略不计）练习5：有7根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们捆成一捆（如下图），此时橡皮筋的长度是多少？练习6：如图，正六边形的边长为2，以它各顶点为圆心，边长的一半为半径画弧，得到图中实线围城的图形，该图形的周长为。

五年级奥数思维训练圆与扇形的周长与面积计算

练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2 3 4
直径（d） 2 4 6 8
周长（C） 2π 4π 6π 8π
面积（S） 1π 4π 9π
25π
通过观察此表，回答：圆的半径扩大n倍，周长和面积分别扩大几倍？
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
直径（d） 2 4 6
周长（C） 2π 4π 6π 8π
面积（S） 1π 4π
25π
通过观察此表，回答：圆的半径扩大n倍，周长和面积分别扩大几倍？
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2 3
直径（d） 2 4 6
周长（C） 2π 4π 6π 8π
面积（S） 1π 4π 9π
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2
直径（d） 2 4 6
周长（C） 2π
8π
面积（S） 1π
25π
通过观察此表，回答：圆的半径扩大n倍，周长和面积分别扩大几倍？
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2
直径（d） 2 4 6
ห้องสมุดไป่ตู้
半径（r） 1 2
直径（d） 2
6
周长（C） 2π
8π
面积（S） 25π
通过观察此表，回答：圆的半径扩大n倍，周长和面积分别扩大几倍？
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2
直径（d） 2

高斯小学奥数五年级下册含答案第02讲_圆与扇形进阶

第二讲圆与扇形进阶- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -自然界中，圆与方是最基本的两种图形．古人认为“天圆地方”，宇宙就像一个圆形的大锅盖在一个方形的棋盘上．中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案．而在面积计算中，圆与正方形也有很大的关系．关于正方形和圆，有以下的面积关系：由此我们可以进一步推断：圆外切正方形面积是内接正方形面积的______倍；正方形外接圆面积是内切圆面积的______倍．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1．（1）左图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取3.14）（2）右图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取3.14）分析：利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解．练习1．如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积．（π取3.14）圆的外切正方形与内接正方形正方形的外接圆与内切圆方中圆圆中方例题2．计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小．（π取3.14）分析：利用方中圆的比例关系可以轻松求解．练习2．如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）- - - - - - - - - - - - - -小故事圆与方有一天，圆形和方形碰到了一起，它们一见面就吵了个面红耳赤，不管谁劝都不听．圆形说：“我们圆形就是比你们方形用处大，人们日常生活中用的锅呀、碗呀，体育中的蓝球、排球，水果里的苹果、桔子，大到汽车轮胎、自行车轮胎，都是我的家族．瞧，我们是不是比你们用处大！”圆形得意洋洋地说完．方形“哼”了一声说：“我们方形家族才是无处不在呢，人们用的电器、冰箱、彩电、电脑，就连学生用的课本都是我们方形的哟！”方形也自豪地说．它们谁也无法说服谁，都来到大街上．望着街上的车，方形对着圆形的车轮喊了声：“变！”转眼间车轮变成了方形．正当方形喜笑颜开时，人群出现了混乱，汽车开不了，自行车也只能扛着了，大家都在说：“这是谁干的呀！真是害人呀！”而圆形来到一座刚建好的大楼前，望着由一块块方形红砖盖成的大楼，圆形生气地大声喊了声“变！”呀，方形红砖变成圆形了．圆形还没来及高兴呢，就听“轰”一声大楼倒了下来．看到这个情景，圆形呆住了：“这是怎么回事？” 只见混乱的人群里走出了一位老人，他来到方形和圆形面前对它们说：“其实你们都很棒，只是你们分工不同而已，只要你们齐心协力，一定会为人类作更大的贡献．在上一讲中，我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积．而对于一些比较特殊8的形状，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分，利用容斥原理计算出它的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．如图，求下面各图中阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是哪些图形的重叠部分？练习3．已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）在生活当中，有很多旋转的物体，比如车轮、方向盘等．这些物体在运动的过程中，扫过的图形都是曲线形．这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢？例题4．图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）分析：要求扫过的面积，关键在于弄清扫过的区域；而要弄清扫过的区域，关键在于弄清区域的边界．你能通过合理动态想象，画出边界来吗？练习4．如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）例题5．如图，求阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分，但是扇形的半径图中并没有给出，那么应该怎么计算扇形的面积呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6．（1）如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地．绳长8米．小狗的活动范围是多少平方米？（2）如果小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）分析：如果没有建筑物的阻挡，小狗的活动范围应该是一个圆．有建筑物的话，活动范围会受到什么样的影响呢？A含有“圆”字的成语圆首方足：出自《淮南子·精神训》：“头之圆也象天，足之方也象地．”用来代指人类．戴圆履方：出自《淮南子·本经训》：“戴圆履方，抱表怀绳．”履：踩着；圆、方：古人以为天圆地方．头顶着天，脚踩着地．指生活在人间．方枘圆凿：出自战国时楚国宋玉的《九辨》：“圆凿而方枘兮，吾固知其龃龉而难入．”凿：榫眼；枘：榫头．方枘装不进圆凿．比喻格格不入，不能相合．这三个成语之外，还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字，如圆孔方木、圆颅方趾、外圆内方等．这说明古人对于圆和方的认识非常深刻，已经将其应用到了生活中的很多方面．而我们在圆与扇形的学习中，也要注意圆形与正方形之间的联系．元方，你怎么看？破镜重圆：这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的．杨素，字处道，在辅佐隋文帝杨坚结束割据，统一天下，建立隋朝江山方面立下了汗马功劳．他不仅足智多谋，才华横溢，而且文武双全，风流倜傥．在朝野上下都声势显赫，颇著声名．隋开皇九年（公元589年）杨素与文帝杨坚的两个儿子陈后主叔宝的嫔妃、亲戚，其中有陈叔宝的妹妹枣陈太子舍人徐德言之妻，也就是陈国的乐昌公主．由于杨素破陈有功，加之乐昌公主才色绝代，隋文帝就乱点鸳鸯，将乐昌公主送进杨素中，赐为杨素小妾．杨素既仰慕乐昌公主的才华，又贪图乐昌公主的美色，因此就更加宠爱，还为乐昌公主专门营造了宅院．然而乐昌公主却终日郁郁寡欢，默无一语．原来，乐昌公主与丈夫徐德言两心相知，情义深厚．陈国将亡之际，徐德言曾流着泪对妻子说：“国已危如累卵，家安岂能保全，你我分离已成必然．以你这般容貌与才华，国亡后必然会被掠入豪宅之家，我们夫妻长久离散，名居一方，唯有日夜相思，梦中神会．倘若老天有眼，不割断我们今世的这段情缘，你我今后定会有相见之日．所以我们应当有个信物，以求日后相认重逢．”说完，徐德言把一枚铜镜一劈两半，夫妻二人各藏半边．徐德言又说：“如果你真的被掠进富豪人家，就在明年正月十五那天，将你的半片铜镜拿到街市去卖，假若我也幸存人世，那一天就一定会赶到都市，通过铜镜去打问你的消息．”一对恩爱夫妻，在国家山河破碎之时，虽然劫后余生，却受尽了离散之苦．好容易盼到第二年正月十五，徐德言经过千辛万苦，颠沛流离，终于赶到都市大街，果然看见一个老头在叫卖半片铜镜，而且价钱昂贵，令人不敢问津．徐德言一看半片铜镜，知妻子已有下落，禁不住涕泪俱下．他不敢怠慢，忙按老者要的价给了钱，又立即把老者领到自己的住处．吃喝已罢，徐德言向老者讲述一年前破镜的故事，并拿出自己珍藏的另一半铜镜．颤索索两半铜镜还未吻合，徐德言早已泣不成声……卖镜老人被他们的夫妻深情感动得热泪盈眶．他答应徐德言，一定要在他们之间传递消息，让他们夫妻早日团圆．徐德言就着月光题诗一首，托老人带给乐昌公主．诗这样写道：镜与人俱去，镜归人不归．无复嫦娥影，空留明月辉．乐昌公主看到丈夫题诗，想到与丈夫咫尺天涯，难以相见，更是大放悲声，终日容颜凄苦，水米不进．杨素再三盘问，才知道了其中情由，也不由得被他二人的真情深深打动．他立即派人将徐德言召入府中，让他夫妻二人团聚．府中上下都为徐陈二人破镜重圆和越国公杨素的宽宏大度、成人之美而感叹不已．在欢庆的感激之情．宴罢，夫妻二人携手同归江南故里．这段佳话被四处传扬，所以就有了破镜重圆的典故，一直流传至今．作业1. 如图，图中较小圆的面积是3.14，较大圆的面积是多少？作业2. 如图，正方形的面积是8，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业3. 如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都很空旷．绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，山羊的活动范围有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π取3）作业4. 如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业5. 如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）第1题图第2题图第3题图第4题图ABCD E HF第二讲圆与扇形进阶例题1.答案：（1）6.28；（2）25.12详解：（1）方中圆，方与圆的比为4:π，可求出圆的面积是6.28；（2）圆中方，圆与方的面积之比是π:2，可求出圆的面积是25.12．例题2.答案：面积都是12.56详解：左图中阴影部分的面积为24π112.56⨯⨯=，右图中阴影部分的面积为2π212.56⨯=．例题3.答案：（1）2.28；（2）2.28详解：（1）可利用重叠求出阴影部分面积，阴影面积等于两个圆心角为90°、半径为2的扇形面积减去边长为2的正方形面积．即212222 2.284S π=⨯⨯⨯-⨯=；（2）将四个半径为1厘米的半圆叠加起来，恰好将每块阴影各算了两遍，每块空白各算了一遍．所以阴影部分面积等于4个半径为1厘米的半圆面积之和减去边长为2厘米的正方形面积，即21412224 2.282ππ⨯⨯⨯-⨯=-=平方厘米．例题4.答案：44.56详解：扫过的区域如图中阴影所示，由两类图形组成：4个长为4厘米、宽为2厘米的长方形，4块半径为2厘米、圆心角为90度的扇形（恰好拼成一个圆）．所以扫过的面积是2424π244.56⨯⨯+⨯=平方厘米．例题5.答案：2.28详解：阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构成一个整圆．圆的直径等于正方形的对角线．设正方形对角线为l ，圆的直径为d ，则242l =，28l =，28d =，圆的面积为22 6.284d S ππ===．=6.284=2.28S -．例题6.答案：（1）175.84平方米；（2）163.28平方米详解：（1）如下左图，小狗的活动范围为圆心角为270°、半径为8米的扇形，和两个圆心角为90°、半径为4米的扇形．总大小为223184256175.8444πππ⨯⨯+⨯⨯⨯==平方米．（2）如下右图，小狗的活动范围为半径是8米的半圆，和两个圆心角为90°、半径为6米的扇形，以及两个圆心角为90°、半径为2米的扇形．总大小为2221118622252163.28244ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==平方米．练习1.答案：6.28，3.14简答：方中圆，方和圆的面积比为4:π，可求出小圆的面积是3.14．大圆的面积是小圆面积的2倍，是6.28．练习2.答案：2.58简答：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为4:π，可求出小圆的面积是1.5π．那么阴影部分的面积是12 1.5π2 2.58-⨯=．练习3.答案：9.12简答：21π42169.124⨯⨯⨯-=．练习4.答案：28.56简答：扫过的区域如图所示．正方形的边长是2厘米，四个正方形的面积之和是16平方厘米．四个扇形正好可以拼成一个半径为2厘米的圆，圆的面积是12.56平方厘米．最后的结果是28.56平方厘米．作业1.答案：6.28简答：较大圆、正方形和较小圆之间的比是2π：4：π，即较大圆的面积是较小圆的2倍．作业2. 答案：4.56简答：四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积．四个半圆可以拼成两个相同的圆．而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是6.28．那么阴影部分的面积就是6.2828 4.56⨯-=．作业3.答案：98简答：山羊的活动范围如图所示，绳长为6米，面积为2230012098ππ62π2983603603⨯⨯+⨯⨯⨯==平方米．作业4. 答案：23.55 简答：阴影部分的面积是2221113.141 3.142 3.143444⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 213.14423.554+⨯⨯=平方厘米．作业5. 答案：44.56简答：扫过的区域如图所示，面积为2226222π244.56⨯⨯+⨯⨯+⨯=平方厘米．。

小学奥林匹克数学竞赛数学五年级第15讲-+圆与扇形

圆：到定点距离等于定长的几何图形。

2C πr=2πS r =O r 圆的周长：圆的面积：扇形：圆的一段弧与两条半径围成的图形。

它是圆的一部分。

22360C πn r r =+⨯2360πn S r =⨯扇形的周长：扇形的面积： O 2弧长半径÷×S =割补法求不规则图形的面积：通过割补，化不规则为规则。

（1）已知一个扇形的半径为2厘米，弧长为3.14，这个扇形的面积是多少？（2）已知一个半圆形的面积是56.52平方厘米，求这个半圆形的周长．（π取3.14）弧长=2π×半径×n 360（1） 3.14=3.14×4×n 360 n =90°面积=3.14×4×14=3.14122扇形弧长半径÷×S （2） 56.52×2÷3.14=36 半径=62×3.14×6÷2+6×2=30.84已知一个扇形的面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的半径和周长各是多少？（π取3.14）18.84×6=113.04平方厘米113.04÷3.14=36半径=6厘米3.14×6×2÷6=6.28厘米周长：6.28+12=18.28厘米求各图中阴影部分的面积。

(图中长度单位为厘米，π取近似值3.14) 10 10 ⑴2⑵ 10×10÷2÷2=25 3.14×1×1=3.142×2÷2=2 3.14-2=1.141.14×2=2.28如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B、C为圆心，3为半径画圆。

已知图中阴影部分的面积是35.58。

请问：角A是多少度？(π取近似值3.14)A B C45-35.58=9.423.14×3×3=28.269.42÷28.26=13∠B +∠ C=360÷3=120度∠ A=180-120=60度图⑴是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图⑵所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？(π取近似值3.14)⑴ A B A BC60 ⑵ 3.14×3×3÷6=4.71平方厘米如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？36÷9=4平方厘米4×7=28平方厘米36-28=8平方厘米【例7】高思教育竞赛数学导引第15讲图中4个圆的圆心是恰好是正方形的4个顶点，而它们的公共点恰好是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？正方形对角线：2+2=4厘米4×4÷2=8厘米图中有一个等腰直角三角形ABC ，一个以AB 为直径的半圆，和一个以BC 为半径的扇形．已知厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）10AB BC ==25×π÷2=12.5π平方厘米10×10×π×45360=12.5π平方厘米10×10÷2=50平方厘米12.5π+12.5π-50≈28.5平方厘米下图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4．图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）π×4×4÷4 - 4×4÷2=4.564【例10】高思教育竞赛数学导引第15讲（1）如图，已知外面大圆的半径是4，求正方形以及里面小圆的面积．（答案用π表示）（2）已知图7-18中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积．（答案用π表示）正方形面积：8×8÷2=32（2r ）2=32 r 2=8小圆的面积=8π（2r ）2÷2=4 r 2=2小圆的面积=2π阴影面积=2π-4图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形．请问：两个阴影部分的面积之差是多少？（π取3.14）大扇形的面积=5×5×π÷4=6.25π小扇形的面积=2×2×π÷4=π长方形的面积=5×3=156.25π-15-π=1.485（1）根据图中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．（π取3.14）（2）如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取3.14） 6 直径=6÷3=2 圆的周长=2π周长2π+6×2=18.28 圆的面积=π4×2+2×1×2+4×1×2=20 图形的面积20+3.14=23.14 5π+5×6=45.7厘米如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）狗4+4+2=10米(5-2)×180÷5=108度360-108=252度222521070360=mππ⨯⨯2218010872636052=m ππ-⨯⨯⨯22728236052=mππ⨯⨯⨯70π+725π+85π≈270平方米（1）图7-23中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）2π⨯212.56=平方厘米2×4×4=32平方厘米12.56+32=44.56平方厘米（2）图中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）360-90-90-60=120度120+120+120=360度3×2×3=18平方厘米2π⨯=212.5612.56+18=30.56平方厘米本讲知识点汇总一、圆的周长和面积：圆面积二、扇形的弧长和面积：扇形弧长= ；扇形面积= 。

爱提分圆和扇形的周长及面积公式(五年级)

一：周长与面积公式知识精讲在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．点O就称为该圆的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA）叫做半径；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母表示．圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值3.14．一．圆的周长与面积公式1．直径长度通常用字母d表示，半径长度通常用r表示，圆周长通常用C表示，圆面积通常用字母S表示．2．圆周长公式：蜜蜂飞行：无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么它们的周长之和也等于大圆的周长．3．圆面积公式：二．扇形的周长与面积公式扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以了．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．1．扇形弧长公式：2．扇形面积公式：3．温馨提示：扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径．三点剖析重难点：扇形周长公式，需要加上两条半径题模精讲题模一圆的周长与面积公式例1.1.1、已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为_________厘米，面积为_________平方厘米．答案：；解析：周长为厘米，面积为平方厘米．例1.1.2、已知一个圆的周长为50.24厘米，那么这个圆的直径为_________厘米．答案：16解析：直径为厘米．例1.1.3、有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（取3.14）答案：（1）62.8米（2）62.8米解析：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆．例1.1.4、如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（取3.14）答案：2.58解析：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为，可求出小圆的面积是，那么阴影部分的面积是．例1.1.5、如图，在一块面积为28.26平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（取3.14）答案：6.28平方厘米解析：，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为平方厘米．例1.1.6、已知大圆的直径为10厘米，有四个大小不等的圆，圆心都在大圆的一条直径上，并且它们的直径之和与大圆相等．那么4个小圆的周长之和是________厘米．（取3.14）答案：31.4解析：假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d，则有，4个小圆的周长之和为厘米．例1.1.7、如图，直角三角形的面积是40平方厘米，圆的面积是________平方厘米（π取3）．答案：240解析：直角三角形的直角边即为圆的半径，所以，，圆的面积是平方厘米．题模二扇形的周长与面积公式例1.2.1、如图3，圆P的直径OA是圆O的半径，，，则阴影部分的面积是__________．（π取3）答案：75解析：阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积，即．例1.2.2、一个扇形的半径为6平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的周长是__________厘米．（取3.14）答案：18.28解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个扇形的弧长是cm，扇形的周长是厘米．例1.2.3、一个扇形的面积为6.28平方厘米，圆心角为45°，这个扇形的周长是_______厘米．（取3.14）答案：11.14解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个圆的半径的平方是，所以这个圆的半径是4厘米，所以扇形的半径是4厘米，扇形的周长是厘米．例1.2.4、在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为24.2m，19.3m，4.9m．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即下图中阴影部分所示的图形．那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为__________（圆周率用π表示）答案：24.2πm解析：鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成，所以周长为m．例1.2.5、如图，等边三角形ABC的边长是1，依次以A、C、B为圆心，以BA、CD、BE为半径画扇形，那么三个扇形的面积和是多少？（结果保留π）答案：解析：各扇形圆心角均为，半径分别为1、2、3，因此三个扇形的面积和是．例1.2.6、一个半径为3分米的扇形，面积为6.28平方分米，那么它的圆心角是__________，它的弧长又是__________分米．答案：80°，4.15解析：根据题意得，，所以，所以圆心角是度．弧长为．例1.2.7、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是________（结果保留π）．答案：解析：连结AC、FB．易知，故，．例1.2.8、如图，有三个同心半圆，它们的直径分别为2，6，10，用线段分割成9块，如果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母代表相同的面积，那么(A＋B)：C＝_______答案：55：48解析：设A的半径为，B的半径为，C的半径为A的面积：B的面积：3B=，．C的面积：5C=，．．题模三捆圆的周长和面积例1.3.1、已知下图中的每个小圆的半径均为1，这个图形的面积是__________．（取3.14）答案：35.14解析：如图，对图形进行分割后可知这个图形的面积相当于8个边长为2的正方形和一个半径为1的圆的面积的和．面积为．例1.3.2、如图，有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？答案：周长，面积解析：如图，做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个半圆弧，所以周长为；而面积为正方形减去4个半圆加上4个圆，即．如图，每个圆的面积都为12.56，求该图形的外周长．答案：解析：圆半径为2．图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆弧，则外周长为．例1.3.4、如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？答案：解析：如图，作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角的圆弧组成，所以皮筋长度为．随堂练习随练1.1、已知一个圆的直径是12厘米，那么这个圆的面积为__________平方厘米？（取3.14）答案：113.04解析：直径为12厘米，那么半径为6厘米，面积是平方厘米．随练1.2、已知一个圆的面积为314平方厘米，那么这个圆的直径为_______厘米？（取3.14）答案：20这个圆的半径为平方是，所以这个圆的半径是10厘米，直径是20厘米．随练1.3、半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（取3.14）答案：62.8厘米解析：圆的周长公式为，周长之和为厘米．随练1.4、如图，在一块面积为12.56平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（取3.14）答案：6.28平方厘米解析：大圆的面积是12.56平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1厘米，面积是3.14平方厘米．阴影部分的面积是平方厘米．随练1.5、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为3、1、2厘米，则大圆周长为多少厘米？（π取近似值3.14）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．随练1.6、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留π）．答案：解析：阴影部分面积为梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积，易得为．随练1.7、已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是_________厘米，扇形的圆心角占圆周角的_________，它的弧长占圆周长的_________，这个扇形的弧长是_________厘米，周长是_________厘米．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的_________，是_________平方厘米．答案：（1）62.8；；；7.85；27.85（2）39.25；解析：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的，面积是平方厘米．随练1.8、半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的__________倍．答案：5解析：为，为，所以是的5倍．随练1.9、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值3.14）答案：92.56解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是4，因此整个圆角矩形的面积就是．随练1.10、如图，有七根直径为4厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取近似值3.14）答案：36.56解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．课后作业作业1、已知圆的直径为20米，那这个圆的周长为多少米？（π取近似值3.14）62.8解析：圆周长的计算公式为：C圆=π×D．作业2、把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起，如果捆绑处不计，至少要用铁丝____________厘米．答案：102.8解析：厘米．作业3、一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽1.6米，直径是0.8米．前轮转动一周，压路的面积是______平方米．答案：3.84平方米解析：轮子压一周，周长为米，即压在路面上的长是2.4米，压路的面积=长×宽平方米．作业4、已知圆的面积是314平方米，那圆的周长是多少米？（π取近似值3.14）答案：62.8由圆的面积可以求出半径的平方，算出半径后可由公式计算圆的周长，为62.8．作业5、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为1、2、3厘米，则大圆周长为多少厘米？（π取近似值3.14）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．作业6、如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？答案：8平方厘米解析：小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为平方厘米；大圆去掉7个小圆后剩下的面积是平方厘米．作业7、已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积是________，周长是________（π取3.14）．答案：面积，周长解析：扇形的面积；周长．作业8、如图，求各图中阴影部分的面积．（取3.14）答案：9.12解析：阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面积．阴影部分面积为．作业9、已知扇形的半径为3米，面积为14.13米，那扇形的圆心角为多少度？（π取近似值3.14）答案：180解析：扇形所在圆的面积≈3.14×32=28.26平方米，由此可知该扇形是它所在圆的．那么圆心角应该是360°的二分之一．作业10、已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为6.28厘米，这个扇形的面积是多少？答案：15.7解析：因为扇形的弧长为厘米，所以，可得．扇形面积为平方厘米．作业11、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值3.14）答案：23.14解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是，因此整个圆角矩形的面积就是．作业12、如图，三个圆的半径都是4，那整个图形的外周长是多少？（π取近似值3.14）答案：49.12解析：整个外周长可以分为3段直线和3段弧形．作业13、如图，有七根直径为10厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取近似值3.14）答案：91.4解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．。

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弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积。一般来说，弓形面积＝扇形面积－三角形面积。(除了半圆)
“弯角”：弯角的面积＝正方形－扇形
“谷子”：“谷子”的面积＝弓形面积×2
(第 6 届“迎春杯”决赛试题)
如图中扇形的半径 OA＝OB＝6 厘米，∠AOB＝45°，AC 垂直 OB 于 C，那么图中阴影部分
积是( )cm2 ( 取 3)
A．30
B．31.4
C．43.5
D．60
4．如下图所示，大半圆半径为 4 cm ，小半圆直径为 4 cm ，那么图中阴影部)
A．5
B．6
C．10
D．18
5．如下图所示，大圆半径为 6，那么阴影部分的面积是(
A．36
B．48
C．60
)( 取 3) D．72
2
1．圆的周长与面积 2．扇形的周长与面积 3．常用的数学思想
常用的思想：转化思想等积变形借来还去容斥外围入手
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．如下图所示，扇形的半径 OA＝OB＝6 cm ，∠AOB＝45°，AC 垂直 OB 于 C，那么途中阴
影部分的面积是(
) cm2 ( 取 3)
A．3
B．4.5
C．6
D．9
2．如下图所示，甲比乙的面积大 50cm2 ， AB 20cm ，那么 BC 的长为( ) cm ( 取 3)
A．5
B．8
C．10
D．15
3
3．下图是由直径分别为 4 cm ，6 cm 和 10 cm 的三个半圆所组成的图形，图中阴影部分的面
(2008 年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛) 如下图，在以 AB 为直径的半圆上取一点，分别以 AC 和 BC 为直径在△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC。已知 AC 的长度为 4，BC 的长度为 3，AB 的长度为 5。试求阴影部分的面积。
(2008 年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛) 如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形 EFGH 各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成 8 个“月牙形”。这 8 个“月牙形”的总面积为 32 平方厘米，问大正方形 EFGH 的面积是多少平方厘米？
4
圆和扇形的周长与面积（二）
扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。扇形是圆的一部分扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几扇形的弧长 C＝ 2 r n
360 扇形的面积 S＝ r2 n
360 扇形的周长＝ 2 r n ＋2×半径
360 (易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)
的面积是
平方厘米。(π≈3.14)
1
如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB＝20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大 7，求 BC 长。(π取 3.14)
如图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方向旋转 60°，此时 B 点移动到 B＇点，求阴影部分的面积。(图中长度单位为 cm，圆周率按 3 计算)。