40道巧构导数题
专题一 微重点 导数中的函数构造问题
微重点3 导数中的函数构造问题导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．考点一 导数型构造函数考向1 利用f (x )与x 构造例1 (2022·苏州质检)已知函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.6·f (20.6)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·f ⎝⎛⎭⎫log 218，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．c >a >b答案 B解析 因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数，令g (x )＝x ·f (x )，则g (x )是奇函数，g ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，所以g (x )在x ∈(－∞，0]上单调递减，又g (x )在R 上是连续函数，且是奇函数，所以g (x )在R 上单调递减，则a ＝g (20.6)，b ＝g (ln 2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫log 218， 因为20.6>1,0<ln 2<1，log 218＝－3<0， 所以log 218<0<ln 2<1<20.6， 所以c >b >a .规律方法 (1)出现nf (x )＋xf ′(x )的形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝ f (x )x n . 跟踪演练1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ′(x )－f (x )x －3>0，且f (1)＝0，则不等式f (e x )－3x e x >0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 C解析 设g (x )＝f (x )x－3ln x ， 则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2－3x＝xf ′(x )－f (x )－3x x 2. 因为f ′(x )－f (x )x－3>0，x >0， 所以xf ′(x )－f (x )－3x >0，所以g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增．不等式f (e x )－3x e x >0可转化为f (e x )e x －3ln e x >0， 又g (e x)＝f (e x )e x －3ln e x ， 且g (1)＝f (1)1－3ln 1＝0， 即g (e x )>g (1)，所以e x >1，解得x >0.考向2 利用f (x )与e x 构造例2 (2022·枣庄质检)已知f (x )为定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，且f (x )<f ′(x )恒成立，其中e 是自然对数的底数，则( )A ．f (2 022)<e f (2 023)B ．e f (2 022)<f (2 023)C ．e f (2 022)＝f (2 023)D ．e f (2 022)>f (2 023)答案 B解析 设函数g (x )＝f (x )e x ， 可得g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x， 由f (x )<f ′(x )，可得f ′(x )－f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，则f (2 022)e 2 022< f (2 023)e 2 023， 即e f (2 022)<f (2 023)．规律方法 (1)出现f ′(x )＋nf (x )的形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 跟踪演练2 (2022·成都模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>0，且f (3)＝3，则f (x )>3e 3－x 的解集为________．答案 (3，＋∞)解析 设F (x )＝f (x )·e x ，则F ′(x )＝f ′(x )·e x ＋f (x )·e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0，∴F (x )在R 上单调递增．又f (3)＝3，则F (3)＝f (3)·e 3＝3e 3.∵f (x )>3e 3－x 等价于f (x )·e x >3e 3，即F (x )>F (3)，∴x >3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．考向3 利用f (x )与sin x ，cos x 构造例3 偶函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，其导函数为f ′(x )，若对任意的x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2，有f ′(x )·cos x <f (x )sin x 成立，则关于x 的不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x的解集为__________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2 解析 令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴g (－x )＝f (－x )cos(－x )＝f (x )cos x ＝g (x )，∴g (x )为偶函数，又g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ，∴当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，g ′(x )<0， 即g (x )在⎣⎡⎭⎫0，π2上单调递减， 又g (x )为偶函数，∴g (x )在⎝⎛⎦⎤－π2，0上单调递增， 不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x 可化为f (x )cos x <f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3， 即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫π3，则⎩⎨⎧ |x |>π3，－π2<x <π2，解得－π2<x <－π3或π3<x <π2. 规律方法 函数f (x )与sin x ，cos x 相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)F (x )＝f (x )sin x， F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)F (x )＝f (x )cos x， F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 跟踪演练3 已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6C.3f ⎝⎛⎭⎫－π4<2f ⎝⎛⎭⎫－π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π3<3f ⎝⎛⎭⎫π4 答案 B解析 构造函数F (x )＝f (x )sin x， 由f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立， 即f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，∴F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x (sin x )2>0， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 又F (－x )＝f (－x )sin (－x )＝－f (x )－sin x＝F (x )， ∴F (x )为偶函数，∵π6<π4， ∴F ⎝⎛⎭⎫π6<F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6<f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4，故A 错误；∵偶函数F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递减， ∵－π3<－π6，∴F ⎝⎛⎭⎫－π3>F ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫－π6sin ⎝⎛⎭⎫－π6，∴－f ⎝⎛⎭⎫－π3>－3f ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6，故B 正确； F ⎝⎛⎭⎫－π4<F ⎝⎛⎭⎫－π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4<f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3，∴－3f ⎝⎛⎭⎫－π4<－2f ⎝⎛⎭⎫－π3， ∴3f ⎝⎛⎭⎫－π4>2f ⎝⎛⎭⎫－π3，故C 错误； ∵π3>π4，∴F ⎝⎛⎭⎫π3>F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π3sin π3>f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π3>3f ⎝⎛⎭⎫π4，故D 错误．考点二 同构法构造函数例4 已知a >0，若在(1，＋∞)上存在x 使得不等式e x －x ≤x a －a ln x 成立，则a 的最小值为________．答案 e解析 ∵x a ＝ln ln e e a x a x ＝，∴不等式即为e x －x ≤e a ln x －a ln x .由a >0且x >1得a ln x >0，设y ＝e x －x ，则y ′＝e x －1>0，故y ＝e x －x 在(1，＋∞)上单调递增，∴x ≤a ln x ，即a ≥x ln x， 即存在x ∈(1，＋∞)，使a ≥x ln x， ∴a ≥⎝⎛⎭⎫x ln x min ，设f (x )＝x ln x(x >1)， 则f ′(x )＝ln x －1ln 2x， 当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (e)＝e ，∴a ≥e.故a 的最小值为e.规律方法 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x 变成ln e x ，然后构造函数；另一种是将x 变成e ln x ，然后构造函数．跟踪演练4 已知a >0，b >0，且(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，则( )A ．a >b ＋1B ．a <b ＋1C ．a <b －1D ．a >b －1 答案 B解析 因为(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，a >0，b >0，所以ln (a ＋1)a ＝ln (b ＋3)b ＋1>ln (b ＋2)b ＋1. 设f (x )＝ln (x ＋1)x(x >0)， 则f ′(x )＝x x ＋1－ln (x ＋1)x 2. 设g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)(x >0)， 则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．当x →0时，g (x )→0，所以g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (a )>f (b ＋1)，所以a <b ＋1. 专题强化练1．(2022·咸阳模拟)已知a ＝1e 2，b ＝ln 24，c ＝ln 39，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 B 解析 设f (x )＝ln x x 2，则a ＝f (e)，b ＝f (2)， c ＝f (3)，又f ′(x )＝1－2ln x x 3， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )＝ln x x 2在(e ，＋∞)上单调递减， 注意到e<4＝2<e<3，则有f (3)<f (e)<f (2)，即c <a <b .2．(2022·哈尔滨模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 B解析 令g (x )＝f (x )－x 2，则g (－x )＝f (－x )－(－x )2＝g (x )，所以函数g (x )也是偶函数，g ′(x )＝f ′(x )－2x ，因为当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，所以当x ≥0时，g ′(x )＝f ′(x )－2x >0，所以函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增，不等式f (x )>x 2＋2即为不等式g (x )>2，由f (1)＝3，得g (1)＝2，所以g (x )>g (1)，所以|x |>1，解得x <－1或x >1，所以f (x )>x 2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．(2022·南京质检)设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若a e a <b ln b ，则( )A ．ab >eB ．b >e aC ．ab <eD ．b <e a解析 由已知a e a <b ln b ，则e a ln e a <b ln b .设f (x )＝x ln x ，则f (e a )<f (b )．∵a >0，∴e a >1，∵b >0，b ln b >a e a >0，∴b >1.当x >1时，f ′(x )＝ln x ＋1>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以e a <b .4．(2022·常州模拟)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且当x >0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，则下列说法正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 B ．－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 C ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6 D ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6 答案 D解析 令g (x )＝f (x )sin x ，因为f (x )为奇函数，则g (x )为偶函数，又当x >0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，即g ′(x )>0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有g ⎝⎛⎭⎫－π6＝g ⎝⎛⎭⎫π6<g ⎝⎛⎭⎫5π6<g ⎝⎛⎭⎫7π6， 即－12 f ⎝⎛⎭⎫－π6<12 f ⎝⎛⎭⎫5π6<－12 f ⎝⎛⎭⎫7π6， 即－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6. 5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析 构造函数g (x )＝e x f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x f (x )－e x 在R 上单调递增．又因为g (0)＝e 0f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为e x f (x )－e x >1，即g (x )>g (0)，解得x >0.所以原不等式的解集为{x |x >0}．6．(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x >1，不等式λe λx ≥ln x 恒成立，则λ的取值可能是( )A ．e B.12e C.1e D.2e答案 ACD解析 由题设，e λx ·λx ≥x ln x ＝e ln x ·ln x ，令f (t )＝t ·e t (t >0)，则f ′(t )＝(t ＋1)·e t >0，所以f (t )单调递增，又f (λx )≥f (ln x )，即当x ∈(1，＋∞)时，λx ≥ln x ，即λ≥ln x x 恒成立，令g (x )＝ln x x，x ∈(1，＋∞)， 则g ′(x )＝1－ln x x 2， 所以在(1，e)上，g ′(x )>0，即g (x )单调递增；在(e ，＋∞)上，g ′(x )<0，即g (x )单调递减，则g (x )≤g (e)＝1e ，故λ≥1e. 7．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是________．答案 (2，＋∞)解析根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)的图象在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2.所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则m2n＝________. 答案 1解析由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n，令g(x)＝log2x＋2x(x>0)，则g′(x)＝1x ln 2＋2>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，所以m＝2n，所以m2n＝1.。
求导练习题带答案
求导练习题带答案求导是微积分中的一项基本技能，它可以帮助我们理解函数的变化率以及找到函数的极值点。
以下是一些求导的练习题及其答案，适合初学者练习。
练习题1：求函数 f(x) = x^3 的导数。
解：根据幂函数的求导法则，对于函数 f(x) = x^n，其导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。
因此，对于 f(x) = x^3，我们有 f'(x) = 3 *x^(3-1) = 3x^2。
练习题2：求函数 g(x) = sin(x) 的导数。
解：根据三角函数的求导法则，sin(x) 的导数是 cos(x)。
所以，g'(x) = cos(x)。
练习题3：求函数 h(x) = 2x^2 + 3x - 1 的导数。
解：根据多项式的求导法则，我们可以分别对每一项求导，然后将结果相加。
对于 h(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们有 h'(x) = 2 * 2x^(2-1) + 3 * 1x^(1-1) - 0 = 4x + 3。
练习题4：求函数 k(x) = (x^2 - 1)^3 的导数。
解：这里我们使用链式法则和幂函数的求导法则。
首先，设 u = x^2- 1，那么 k(x) = u^3。
u 的导数是 u' = 2x，而 u^3 的导数是3u^2。
应用链式法则，我们得到 k'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^2 - 1)^2 * 2x = 6x(x^2 - 1)。
练习题5：求函数 m(x) = e^x 的导数。
解：根据指数函数的求导法则，e^x 的导数是它自身。
所以，m'(x) = e^x。
练习题6：求函数 n(x) = ln(x) 的导数。
解：自然对数函数 ln(x) 的导数是 1/x。
因此，n'(x) = 1/x。
练习题7：求函数 p(x) = (3x - 2)^5 的导数。
解：使用链式法则和幂函数的求导法则。
高考数学导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)
导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造f x =ln xx比较大小此函数定义域为0,+∞，求导f x =1−ln xx2，当x∈0,e时，f x >0，故f x 为增函数，当x∈e,+∞时，f x <0，故f x 为减函数，当x=e时，f x 取得极大值为f e =1e，且f4 =ln44=2ln2 4=ln22=f2 ，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)若a=1e,b=ln22,c=ln33，则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c 【答案】A【解析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数f x =ln xx，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：a=1e=ln ee,b=ln22=ln44,c=ln33，设f x =ln xx,f x =1-ln xx2，则x>e时，fx <0，故f x 在e,+∞上单调递减，则f e >f3 >f4 ，即ln ee>ln33>ln44，所以a>c>b．故选：A.【例2】(2023·全国·高三专题练习)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=1e，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a 【答案】C【解析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数f x =ln xx,然后结合导数与单调性关系分析出x=e时,函数取得最大值f e =1e,可得c最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当x>e时,f x <0,函数单调递减,当0<x<e时,f x >0,函数单调递增,故当x=e时,函数取得最大值f e =1 e,因为a=22-ln2e2=ln e22e22=f e22,b=ln22=ln44=f4 ,c=1e=f e ,∵e<e22<4,当x>e时,f x <0,函数单调递减,可得f4 <fe22<f e ,即b<a<c.故选:C【例3】(2022·吉林·高二期末)下列命题为真命题的个数是( )①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2>42．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】本题首先可以构造函数f x =ln xx，然后通过导数计算出函数f x =ln xx的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数f x =ln xx的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，x>e时，f x <0，所以函数f x =ln xx在0,e上递增，在e,+∞上递减，所以当x=e时f x 取得最大值1 e，ln3<3ln2⇔2ln3<3ln2⇔ln33<ln22，由3<2<e可得f3<f2 ，故①正确；lnπ<πe⇔lnππ<ln ee，由e<π<e，可得f e<fπ，故②错误；215<15⇔15ln2<ln15⇔ln22<ln1515⇔ln44<ln1515，因为函数f x =ln xx在e,+∞上递减，所以f4 <f15，故③正确；因为22>e，所以f22<f e ，即ln2222<ln e e，即3ln222<1e，则3e ln2<22，即3e ln2<42，故④错误，综上所述，有2个正确.故选：B．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】(2021·陕西汉中·高二期末(理))已知a，b，c均为区间0,e内的实数，且a ln5=5ln a，b ln6= 6ln b，c ln7=7ln c，则a，b，c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =ln xx，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，函数F(x)在0,e上单调递增，当x>e时，f x <0，函数f x 在e,+∞上单调递减，因为7>6>5>e，所以f7 <f6 <f5 ，因为a，b，c均为区间0,e内的实数，且ln55=ln aa，ln66=ln bb，ln77=ln cc，所以f a >f b >f c ，所以a>b>c，故选：B.【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))设a=ln28，b=1e2，c=ln612，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b 【答案】B【解析】根据a、b、c算式特征构建函数f x =ln xx2，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.【详解】令f x =ln xx2，则fx =x-2x ln xx4=0⇒x=e，因此f x =ln xx2在[e,+∞)上单调递减，又因为a=ln28=ln416=f(4)，b=1e2=ln ee2=f(e)，c=ln612=ln66=f(6)，因为4>e>6>e，所以a<b<c．故选：B．【题型专练】1.(2022·四川省资阳中学高二期末(理))若a=ln22,b=1e,c=2ln39，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b【答案】A【解析】令f x =ln xx，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a、c，即可得解；【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，所以当0<x<e时fx >0，当x>e时f x <0，所以f x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，所以f x max=f e =ln ee=1e，所以1e>ln22又ln22-2ln39=9ln2-4ln318=ln29-ln3418=ln512-ln9118>0所以ln22>2ln39，即b>a>c.故选：A2.(2022·浙江台州·高二期末)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=ln33，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a 【答案】B【解析】由题设a=ln e22e22，b=ln44，c=ln33，构造f(x)=ln xx并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小.由题设，a =4-ln4e 2=ln e22e22，b =ln22=ln44，c =ln 33=ln33，令f (x )=ln x x 且x >0，可得f (x )=1-ln xx 2，所以f (x )>0有0<x <e ，则(0,e )上f (x )递增；f (x )<0有x >e ，则(e ,+∞)上f (x )递减；又4>e 22>3>e ，故c >a >b .故选：B3.(2022·四川广安·模拟预测(理))在给出的(1)e ⋅ln3>3(2)e 43ln3<4(3)e π>πe .三个不等式中，正确的个数为( )A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】根据题目特点，构造函数f x =ln x x ，则可根据函数f x =ln xx的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx 2，令f x >0,解得0<x <e ，令f x <0,解得x >e ，故f x =ln xx在区间0,e 上单调递增，在区间e ,+∞ 单调递减，所以，(1)f e <f 3 ，即ln e e <ln 33，即e ⋅ln3>3，则正确；(2)f e 43<f 3 ，即ln e43e 43<ln33，即e 43⋅ln3>4，则错误；(3)f e >f π ，即ln e e >lnππ⇒πln e >e lnπ⇒ln e π>lnπe ，所以，e π>πe ，则正确故选：C .4.(2022·四川资阳·高二期末(文))若a =ln33，b =1e ，c =3ln28，则( )A.b >a >cB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b【解析】设函数f(x)=ln xx,(x>0)，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设f(x)=ln xx,(x>0)，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<e时，f (x)>0，f(x)递增，当x>e时，f (x)<0，f(x)递减，当x=e时，函数取得最小值，由于e<3<8 ，故ln ee>ln33>ln88，即b>a>c，故选：A5.(2022·山东日照·高二期末)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，33，e e，eπ，π3，3π，πe八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】 e e 3π【解析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数f x =ln xx的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e.∵函数y=3x是增函数，且e<3<π，∴3e<33<3π；函数y=e x是增函数，且e<3<π，e e<e3<eπ；函数y=πx是增函数，且e<3<π，πe<π3；函数y=x e在0,+∞是增函数，且e<3<π，e e<3e<πe，则八个数中最小的数是e e 函数y=xπ在0,+∞是增函数，且e<3，eπ<3π，八个数中最大的数为π3或3π，构造函数f x =ln x x，求导得f x =1-ln xx2，当x∈e,+∞时f x <0，函数f x 在e,+∞是减函数，f3 >fπ ，即ln33>lnππ，即πln3>3lnπ，即ln3π>lnπ3，∴3π>π3，则八个数中最大的数是3π.故答案为：e e；3π．6.(2022·安徽省宣城中学高二期末)设a=4-ln4e2,b=1e,c=ln2，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b【答案】D设f(x)=ln xx(x>0)，利用导数求得f(x)的单调性和最值，化简可得a=fe22，b=f(e)，c=f(2)，根据函数解析式，可得f(4)=ln44=f(2)且e<e22<4，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设f(x)=ln xx(x>0)，则f (x)=1x⋅x-ln xx2=1-ln xx2，当x∈(0,e)时，f (x)>0，则f(x)为单调递增函数，当x∈(e,+∞)时，f (x)<0，则f(x)为单调递减函数，所以f(x)max=f(e)=1 e，又a=4-ln4e2=2(ln e2-ln2)e2=ln e22e22=f e22，b=1e=f(e)，c=ln2=12ln2=f(2)，又f(4)=ln44=ln224=ln22=f(2)，e<e22<4，且f(x)在(e,+∞)上单调递减，所以f(2)=f(4)<fe22 ，所以b>a>c.故选：D7.(2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末)已知实数a，b，c满足ln ae a=ln b b=-ln c c<0，则a，b，c的大小关系为( )A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】判断出0<a<1,0<b<1,c>1，构造函数f(x)=ln xx,(x>0)，判断0<x<1时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.【详解】由ln ae a=ln b b=-ln c c<0，得0<a<1,0<b<1,c>1 ，设f(x)=ln xx,(x>0) ，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<1时，f (x)>0，f(x)单调递增，因为0<a<1，所以e a>1>a，所以ln a e a >ln a a ，故ln a ea =lnb b >ln aa ，∴fb >f a ，则b >a ，即有0<a <b <1<c ，故a <b <c .故选：C .题型二：利用常见不等式关系比较大小1.常见的指数放缩：e x ≥x +1(x =0);e x ≥ex (x =1)证明：设f x =e x −x −1，所以f x =e x −1，所以当x ∈−∞,0 时，f x <0，所以f x 为减函数，当当x ∈0,+∞ 时，f x >0，所以f x 为增函数，所以当x =0时，f x 取得最小值为f 0 =0，所以f x ≥0，即e x ≥x +1 2.常见的对数放缩：1−1x ≤ln x ≤x −1(x =1);ln x ≤xe(x =e )3.常见三角函数的放缩：x ∈0,π2,sin x <x <tan x 【例1】(2022·湖北武汉·高二期末)设a =4104，b =ln1.04，c =e 0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a >b >c B.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】D 【解析】分别令f x =e x -1-x x >0 、g x =ln 1+x -x x >0 、h x =ln 1+x -x1+xx >0 ，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x -1-x x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x -1>x ，则e 0.04-1>0.04；令g x =ln 1+x -x x >0 ，则g x =11+x -1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞ 上单调递减，∴g x <g 0 =0，即ln 1+x <x ，则ln1.04<0.04；∴e 0.04-1>ln1.04，即c >b ；令h x =ln 1+x -x 1+x x >0 ，则h x =11+x -11+x 2=x 1+x2>0，∴h x 在0,+∞ 上的单调递增，∴h x >h 0 =0，即ln 1+x >x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b >a ；综上所述：c >b >a .故选：D .【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】(2022·山东菏泽·高二期末)已知a=910，b=e-19，c=1+ln1011，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b 【答案】B【解析】首先设f x =e x-x-1，利用导数得到e x>x+1x≠0，从而得到1b>1a，设g x =ln x-x+1，利用导数得到ln x<x-1x≠1，从而得到ln 1110<110和c>a，即可得到答案.【详解】解：设f x =e x-x-1，f x =e x-1，令f x =0，解得x=0. x∈-∞,0，f x <0，f x 单调递减，x∈0,+∞，f x >0，f x 单调递增.所以f x ≥f0 =0，即e x-x-1≥0，当且仅当x=0时取等号.所以e x>x+1x≠0.又1b=e19>19+1=109=1a，a>0,b>0，故1b>1a，所以b<a；设g x =ln x-x+1，g x =1x-1=1-xx，令g x =0，解得x=1.x∈0,1，g x >0，g x 单调递增，x∈1,+∞，g x <0，g x 单调递减.所以g x ≤g1 =0，即ln x-x+1≤0，当且仅当x=1时取等号.所以ln x<x-1x≠1，故ln 1110<1110-1=110，又c-a=ln 1011+110>ln1011+ln1110=ln1=0，所以c>a，故b<a<c.故选：B.【例3】(2022·四川凉山·高二期末(文))已知a=e0.01，b=1.01，c=1-ln 100101，则( )．A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c 【答案】C【解析】构造函数f(x)=e x-1-x，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设f(x)=e x-1-x，则f (x)=e x-1>0，在x>0时恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以e x-1-x>f(0)=0，即e x>1+x，x>0，∴e0.01>1.01，又ln1.01>0，∴e ln1.01>1+ln1.01，即1.01>1-ln100101，所以a>b>c．故选：C．【例4】(2022·四川绵阳·高二期末(理))若a=ln 87，b=18,c=ln76，则( )A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c 【答案】D【解析】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，利用导数分析函数f x 的单调性，可比较得出a、b的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c、a的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，则f x =1x-1x2=x-1x2>0，所以，函数f x 在1,+∞上为增函数，故f x >f1 =0，则f 87 =ln87+78-1=ln87-18>0，即a>b，∵ln76>ln87，因此，b<a<c.故选：D.【例5】(2022·全国·高考真题(理))已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 【答案】A【解析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，利用导数可得b>a，即可得解.【详解】因为cb=4tan14,因为当x∈0,π2,sin x<x<tan x所以tan 14>14,即cb>1,所以c>b；设f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，f (x)=-sin x+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f 14 >f(0)=0,所以cos14-3132>0，所以b>a,所以c>b>a，故选：A【题型专练】1.(2022·福建·莆田一中高二期末)设a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，证明ln x≤x-1，令x=1.01，排除选项A,B,再比较a,b大小，即得解.【详解】解：构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，f1 =0，f x =1x-1=1-xx，所以f x 在0,1上f x >0，f x 单调递增，f x 在1,+∞上f x <0，f x 单调递减，所以f (x)max=f(1)=0,∴ln x-x+1≤0,∴ln x≤x-1，令x=1.01，则 a=ln x，b=x30e，c=1-1x，考虑到ln x≤x-1，可得ln1x≤1x-1，-ln x≥1-1x等号当且仅当 x=1时取到，故x=1.01时a>c，排除选项A，B.下面比较a,b大小，由ln x≤x-1得ln1.01<1.01<1.0130e，故b>a，所以c<a<b.故选：D.2.(2022·吉林·长春市第二中学高二期末)已知a=cos15，b=4950，c=5sin15，则( )A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b 【答案】D【解析】构造函数f(x)=cos x+12x2-1，利用导数求解函数f(x)的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设f(x)=cos x+12x2-1,(0<x<1)，则f (x)=x-sin x，设g(x)=x-sin x,(0<x<1)，则g (x)=1-cos x>0，故g(x)在区间(0,1)上单调递增，即g(x)>g(0)=0，即f (x)>0，故f(x)在区间(0,1)上单调递增，所以f 15 >f(0)=0，可得cos15>4950，故a>b，利用三角函数线可得x∈0,π2时，tan x>x，所以tan 15>15，即sin15cos15>15，所以5sin 15>cos15，故c>a综上，c>a>b故选：D.3.(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】D【解析】分别令f x =e x-1-x x>0、g x =ln1+x-x x>0、h x =ln1+x-x1+x x>0，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x-1-x x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴f x >f0 =0，即e x-1>x，则e0.04-1>0.04；令g x =ln1+x-x x>0，则g x =11+x-1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞上单调递减，∴g x <g0 =0，即ln1+x<x，则ln1.04<0.04；∴e0.04-1>ln1.04，即c>b；令h x =ln1+x-x1+x x>0，则h x =11+x-11+x2=x1+x2>0，∴h x 在0,+∞上的单调递增，∴h x >h0 =0，即ln1+x>x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b>a；综上所述：c>b>a.故选：D.题型三：构造其它函数比大小(研究给出数据结构，合理构造函数)【例1】(2022·河南河南·高二期末(理))已知a-12=ln2a，b-13=ln3b，c-e=lnce，其中a≠12，b≠13，c≠e，则a，b，c的大小关系为( )．A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【答案】A 【解析】构造函数f x =x -ln x x >0 ，并求f x ，利用函数f x 的图象去比较a 、b 、c 三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得a -ln a =12-ln 12，b -ln b =13-ln 13，c -ln c =e -ln e ，构造函数f x =x -ln x x >0 ，f x =1-1x =x -1x，令f x =0，得x =1，所以f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，函数f x 的大致图象如图所示．因为f a =f 12，f b =f 13 ，f c =f e ，且a ≠12，b ≠13，c ≠e ，则由图可知b >a >1，0<c <1，所以c <a <b ．故选：A ．【例2】(2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)设a =e 1.01，b =3e，c =ln3，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.b >a >c B.c >a >bC.a >c >bD.a >b >c【答案】D 【解析】可判断a =e 1.01>2，b =3e <2，c =ln3<2，再令f (x )=ln x -x e ，x ∈[e ，+∞)，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解：a =e 1.01>2，b =3e<2，c =ln3<2，令f (x )=ln x -x e，x ∈[e ，+∞)，f (x )=1x -1e =e -xex <0，故f (x )在[e ，+∞)上是减函数，故f 3 <f e ，即ln3-3e <0，故ln3<3e <e 1.01，即c <b <a ，故选：D ．【例3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=ln32，b=1e-1，c=ln43，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a 【答案】A【解析】根据给定条件构造函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，求导得f (x)=1-ln x-1xx-12，令g x =1-ln x-1x，则g x =1-xx2<0,(x≥e)，故g x =1-ln x-1x，(x≥e)单调递减，又g1 =1-ln1-11=0，故g x <0,(x≥e)，即f (x)<0,(x≥e)，而e<3<4，则f(e)>f(3)>f(4)，即1e-1>ln32>ln43，所以b>a>c，故选：A【例4】(山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题)设a=110，b=ln1.1，c=e-910，则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】D【解析】利用指数函数的性质可比较a,c的大小，再构造函数f(x)=x-ln(1+x)，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出a,b，从而可比较出三个数的大小【详解】因为y=e x在R上为增函数，且-1<-9 10，所以e-1<e-910，因为110<e-1，所以110<e-910，即a<c，令f(x)=x-ln(1+x)(x>0)，得f (x)=1-11+x=x1+x>0，所以f(x)在(0,+∞)上递增，所以f(x)>f(0)=0，所以x>ln(1+x)，令x=0.1，则0.1>ln1.1，即110>ln1.1，即a>b，所以b<a<c，故选：D【例5】(2022·四川南充·高二期末(理))设a=0.01e0.01，b=199，c=-ln0.99，则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b 【答案】A【解析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.【详解】令函数y=xe x,t=x1-x,u=-ln(1-x)，x∈(0,2-1)，显然y>0,t>0，则ln y-ln t=ln x+x-[ln x-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令f(x)=x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，求导得f (x)=1+1x-1=xx-1<0，即f(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，f(x)<f(0)=0，即ln y<ln t⇔y<t，因此当x∈(0,2-1)时，xe x<x1-x，取x=0.01，则有a=0.01e0.01<0.011-0.01=199=b，令g(x)=y-u=xe x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，g (x)=(x+1)e x+1x-1=(x2-1)e x+1x-1，令h(x)=(x2-1)e x+1，x∈(0,2-1)，h (x)=(x2+2x-1)e x<0，h(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，h(x)<h(0)=0，有g (x)>0，则g(x)在(0,2-1)上单调递增，∀x∈(0,2-1)，g(x)>g(0)=0，因此当x∈(0,2-1)时，xe x>-ln(1-x)，取x=0.01，则有a=0.01e0.01>-ln(1-0.01)=-ln0.99=c，所以c<a<b.故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.3π，b=0.9π2，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c 【答案】B【解析】作差法比较出a>b，构造函数，利用函数单调性比较出c>a，从而得出c>a>b.【详解】a-b=0.3π-0.9π2=0.3π-0.9π2>0.3×3-0.9π2=0，所以a-b>0，故a>b，又f x =πsin x-3x，则f x =πcos x-3在x∈0,π6上单调递减，又f 0 =π-3>0，f π6 =3π2-3<0，所以存在x0∈0,π6，使得f x0 =0，且在x∈0,x0时，f x >0，在x∈x0,π6时，f x <0，即f x =πsin x-3x在x∈0,x0上单调递增，在x∈x0,π6单调递减，且f π12 =6+24π-3>0，所以x0>π12，又因为f0 =0，所以当x∈0,x0时，f x =πsin x-3x>0，其中因为110<π12，所以110∈0,x0，所以f110=πsin0.1-0.3>0，故sin0.1>0.3π，即c>a>b.故选：B【例7】(2022·河南洛阳·三模(理))已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】构造函数f x =18-xln x，x≥8，求其单调性，从而判断a，b，c的大小关系.【详解】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】(2022·河南·模拟预测(理))若a=e0.2，b= 1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =e x-x-1x>0，利用导数可得a=e0.2>1.2>b，进而可得e1.2>3.2，可得a>c，再利用函数g x =ln x-2x-1x+1，可得ln3.2>1.1，即得.【详解】令f x =e x-x-1x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴a=e0.2>0.2+1=1.2> 1.2=b，a=e0.2>1.2=ln e1.2，c=ln3.2，∵e1.25=e6> 2.76≈387.4,3.25≈335.5，∴e1.2>3.2，故a>c，设g x =ln x-2x-1x+1，则g x =1x-2x+1-2xx+12=x-12x x+12≥0，所以函数在0,+∞上单调递增，由g1 =0，所以x>1时，g x >0，即ln x>2x-1x+1，∴ln3.2=ln2+ln1.6>22-12+1+21.6-11.6+1=1539>1550=1.1，又1<1.2<1.21,1<b= 1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式e x>x+1x>0与ln x>2x-1x+1(x>1)进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1.(2022·山东烟台·高二期末)设a=0.9，b=0.9，c=ln910e，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】构造函数f(x)=x-ln x-1，g(x)=x-x，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.【详解】令f(x)=x-ln x-1，因为f (x)=1-1x=x-1x所以，当0<x<1时，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f (0.9)=0.9-ln0.9-1>f (1)=0，即0.9>ln0.9+1=ln 910e，a >c ；令g (x )=x -x ，因为g (x )=1-12x=2x -12x所以，当14<x <1时，g (x )>0，g (x )单调递增，所以g (0.9)<g (1)，即0.9-0.9<0，0.9<0.9，即a <b .综上，c <a <b .故选：B2.(2022·山东青岛·高二期末)已知a =ln π3，b =2π3-2，c =sin0.04-12π3-1，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c >b >a B.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b【答案】C 【解析】构造函数得出a ,b 大小，又c <0即得出结论.【详解】构造函数f x =2ln x -2x -1 =2ln x -x +1 ，则a -b =f π3，f x =21x-1<0在1,+∞ 上恒成立，则y =f x 在1,+∞ 上单调递减，故a -b =f π3<f 1 =0，则b >a >0，π3=1+x x >0 ，则1+x -1=π-33>0.123=0.04，由对于函数g x =sin x -x 0<x <π2 ，g x =cos x -1<0,0<x <π2恒成立，所以， g x =sin x -x <g 0 =0即sin x <x 在0,π2上恒成立.所以，sin0.04-121+x -1<sin x -121+x -1=sin x -12x <x -12x =x x -12 <0(注：0.04<x <0.09,0.2<x <0.3<0.5)所以，b >a >c 故选：C3.(2022·湖北襄阳·高二期末)设a =34e 25，b =25e 34，c =35，则( )A.b <c <a B.a <b <cC.c <b <aD.c <a <b【答案】C 【解析】根据式子结构，构造函数f x =e x x ,0<x <1 ，利用导数判断单调性，得到f 25 >f 34，即可判断出a>b.记g x =e x-2x,0<x<1，推理判断出b>c.【详解】a b=34e2525e34=e2525e3434.记f x =e xx,0<x<1，则f x =e x x-1x2<0，所以f x =e x x在0,1上单调递减.所以f 25 >f34 ，所以a>b.b-c=25e34-35=25e34-2×34.记g x =e x-2x,0<x<1，则g x =e x-2.所以在x∈0,ln2上，g x <0，则g x 单调递减；在x∈ln2,1上，g x >0，则g x 单调递增；所以g x min=g ln2=e ln2-2×ln2=21-ln2>0，所以g 34 >g x min>0，即b-c=25e34-2×34>0.所以b>c.综上所述：c<b<a.故选：C4.(2022·福建宁德·高二期末)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )A.e a-e b<ln a-ln bB.b ln a<a ln bC.b a>e a-bD.sin a-sin ba-b<1【答案】D【解析】由题设有a>b>0，分别构造y=e x-ln x、y=ln xx、y=xe x、y=x-sin x，利用导数研究在x∈(0,+∞)上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由2a>2b>1，即a>b>0，A：若y=e x-ln x且x∈(0,+∞)，则y =e x-1x，故yx=12=e-2<0，yx=1=e-1>0，即y 在12,1上存在零点且y 在(0,+∞)上递增，所以y在(0,+∞)上不单调，则e a-ln a<e b-ln b不一定成立，排除；B：若y=ln x x且x∈(0,+∞)，则y =1-ln xx2，所以(0,e)上y >0，y递增；(e,+∞)上y <0，y递减；故y在(0,+∞)上不单调，则ln aa<ln bb不一定成立，排除；C：若y=xe x且x∈(0,+∞)，则y =e x(x+1)>0，即y在(0,+∞)上递增，所以ae a>be b，即ba<e a-b，排除；D：若y=x-sin x且x∈(0,+∞)，则y =1-cos x≥0，即y在(0,+∞)上递增，所以a-sin a>b-sin b，即sin a-sin ba-b<1，正确.故选：D5.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))设a=e1.01，b=3e，c=ln3，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】分析可得a>2，b∈(1,2)，c∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，利用导数可得f(x)的单调性，根据函数单调性，可比较ln3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得a=e1.01>e1>2，b=3e∈(1,2)，c=ln3∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，则f (x)=1x-1e=e-xxe≤0，所以f(x)在[e,+∞)为减函数，所以f(3)<f(e)，即ln3-3e<ln e-ee=0，所以ln3<3e，则e1.01>3e>ln3，即a>b>c.故选：D6.(2022·重庆南开中学高二期末)已知a=65ln1.2，b=0.2e0.2，c=13，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】A【解析】b=0.2e0.2=e0.2ln e0.2，令f x =x ln x，利用导数求出函数f x 的单调区间，令g x =e x-x-1，利用导数求出函数g x 的单调区间，从而可得出e0.2和1.2的大小，从而可得出a,b的大小关系，将b,c两边同时取对数，然后作差，从而可得出b,c的大小关系，即可得出结论.【详解】解：b=0.2e0.2=e0.2ln e0.2，a=65ln1.2=1.2ln1.2，令f x =x ln x，则f x =ln x+1，当0<x<1e时，f x <0，当x>1e时，f x >0，所以函数f x 在0,1 e上递减，在1e,+∞上递增，令g x =e x-x-1，则g x =e x-1，当x<0时，g x <0，当x>0时，g x >0，所以函数g x 在-∞,0上递减，在0,+∞上递增，所以g0.2>g0 =0，即e0.2>1+0.2=1.2>1 e，所以f e0.2>f1.2，即e0.2ln e0.2>1.2ln1.2，所以b>a，由b=0.2e0.2，得ln b=ln0.2e0.2=15+ln15，由c=13，得ln c=ln13，ln c-ln b=ln13-ln15-15=ln53-15，因为535=625×5243>10>e，所以53>e15，所以ln53>15，所以ln c-ln b>0，即ln c>ln b，所以c>b，综上所述a<b<c.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.(2022·湖北恩施·高二期末多选)已知a2-14=2ln2a>0，b2-1e2-2=2ln b>0，c2-13=ln3c2> 0，则( )A.c<bB.b<aC.c<aD.b<c【答案】AC【解析】根据题意可将式子变形为a2-ln a2=14-ln14，b2-ln b2=1e2-ln1e2，c2-ln c2=13-ln13，构造函数f x =x-ln x，利用导数求解函数f x 的单调性，即可求解.【详解】解：由题意知，a>12,b>1,c2>13，对三个式子变形可得a2-ln a2=14-ln14，b2-ln b2=1e2-ln1e2，c2-ln c2=13-ln13，设函数f x =x-ln x，则f x =1-1x=x-1x.由f x >0，得x>1；由f x <0，得0<x<1,则f x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，因为0<1e2<14<13<1，所以b2>a2>c2,所以c<a<b.故选：AC.8.(2022·安徽·歙县教研室高二期末)已知x、y、z∈(0，1)，且满足e2x=2e x，e3y=3e y，e4z=4e z，则( )A.x<y<zB.x<z<yC.z<y<xD.z<x<y【答案】C【解析】先对已知条件取对数后得到ln x-x=ln2-2，ln y-y=ln3-3，ln z-z=ln4-4.根据式子结构，构造函数m x =ln x-x，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由e2x=2e x得2+ln x=ln2+x,即ln x-x=ln2-2.同理得：ln y-y=ln3-3，ln z-z=ln4-4.令m x =ln x-x,则m x =1x-1=1-xx.故m x 在0,1上单调递增，(1，+∞)上单调递减.所以z<y<x.故选：C.。
《导数-深度·拔高系列讲义》 构造函数解决函导压轴小题(内附：万能积分法+不定积分详解)
导剧-深度•兹龙系列锦义第M篇构造晶数解决晶导及抽小墨（内附：万能积分法+不定积分详解）目录一、技能储备 (2)情境一.常规构造 (2)题型①：指幕型 (2)题型②：三角型 (3)题型③：对数型 (3)情境二.非常规构造 (4)题型1：在常规构造的基础上，导数相关式中存在独立于/（x）和/'（X）之外的项心） (4)题型2：若干常规构造模型组合（附：万能积分法） (6)二、拓展：不定积分 (8)一、原函数与不定积分 (8)二、基本积分表 (8)三、不定积分的性质 (9)四、计算方法 (9)NO.1第一类换元积分法（凑微分法） (9)NO.2第二类换元法 (10)N0.3分部积分法（凑微分法） (11)三、典型例题 (12)一、技能储备【引例】已知函数丁= /(工)的图象关于y轴对称,且当x£ (-oo,0),/(x) + xf\x) < 0成立，。
=2%/(2°2), b = log,3./(lo g;r3), c = k)g3 9・7(k)g3 9),则的大小关系是()A.a >h>cB.a >c>hC.c>b>aD.h>a>c类似于引例，在已知/(x) + 0"(x)<O这种导数相关式(等式或不等式)的前提下，让我们解与/(X)相关的不等式或比较大小的题目，这种问题的难点是如何通过旻数担差式构造出与/(X)相关的单调性可推算的新函数(有时也直接求出/(X)的解析式)进而求解问题构造新函数是解决这类问题的通法也是难点，下面我们就以曼效也去式的种类为依据进行分类，分别介绍不同类型下如何构造新函数.情境一.常规构造【解题模型】1. 若/(X)+.尸(X)> 0，则可构造函数G(x)=若• /(%)；2. 若/(x)—r(x)>。
，则可构造函数G(x) = /区;e x3. ①若/(x) + 2/”(x) > 0 , 则可构造函数G(x)=「1/(x)；\_则可构造函数G(x) = /' • /(x)， (nsN* ).4. ①若/。
(完整版)导数的运算经典习题
（完整版）导数的运算经典习题1. 概述本文档列举了一些有关导数的运算的经典题，以帮助读者巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。
2. 题集2.1 一阶导数1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \sqrt{x}$ 的导数 $g'(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x - \sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数 $h'(0)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x)$ 的导函数 $k'(x)$。
2.2 高阶导数1. 计算函数 $f(x) = \cos(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 的二阶导数 $g''(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x \cos(x)$ 的二阶导数 $h''(x)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x^2)$ 的二阶导数 $k''(x)$。
2.3 乘积法则和商积法则1. 使用乘积法则计算函数 $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)(4x + 1)$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 使用商积法则计算函数 $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 的导数$g'(x)$。
2.4 链式法则1. 使用链式法则计算函数 $f(x) = \sin(3x^2 + 2x + 1)$ 的导数$f'(x)$。
2. 使用链式法则计算函数 $g(x) = e^{2x^3}$ 的导函数 $g'(x)$。
3. 总结本文档提供了一些有关导数的运算的经典习题，涵盖了一阶导数、高阶导数、乘积法则和商积法则、链式法则等知识点。
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破解题设陷阱,构造函数巧解导数小题
破解题设陷阱，构造函数巧解导数小题作者：石勇来源：《师道·教研》2019年第02期构造函数是解导数问题的基本方法，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，本文详细介绍了导数小题中构造函数的常见方法.例1.已知函数f（x）=lnx-（x-1）22.求证：当x>1时，f（x）证明：令F（x）=f（x）-（x-1），x∈（0，+∞）.则有F′（x）=1-x2x.当x∈（1，+∞）时，F′（x）<0，所以F（x）在[1，+∞）上单调递减，故当x>1时，F（x）1时，f（x）解题技巧：构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.例2.函数f（x）的导函数为f ′（x），满足xf ′（x）+2f（x）=lnxx，且f（e）=12e，则f （x）的极值情况为（）A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【解析】∵xf ′（x）+2f（x）=lnxx∴x2f ′（x）+2xf（x）=lnx，∴x2f（x）′=lnx∴x2f（x）=xlnx-x+c，将x=e代入可得：e2f（e）=elne-e+c∵f（e）=12e，∴c=e2则x2f（x）=xlnx-x+e2，得f（x）=2xlnx-2x+e2x2∴f ′（x）=-xlnx+2x-ex3令g（x）=-xlnx+2x-e则g′（x）=1-lnx，当x∈（0，e）时，g′（x）>0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）<0，故当x=e时，g（x）取最大值0，故g（x）0恒成立，故f ′（x）0恒成立，故既无极大值也无极小值，故选D.解题技巧：这类问题在构造函数时，注意逆向思维，构造出的函数的导函数与已知条件相同，或者能够利用已知条件求解.例3.已知函数y=f（x）对于任意x∈-π2，π2满足f ′（x）cosx+f（x）sinx>0（其中f ′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（）A.2f π3<f π4B.2f -π3<f -π4C.f（0）<2f π4D.f（0）<2f π3【解析】构造函数F（x）=f（x）cosx，则F ′（x）=f ′（x）cosx+f（x）sinxcos2x，导函数f ′（x）满足f ′（x）cosx+f（x）sinx>0，则F′（x）>0，F（x）在（-π2，π2）上单调递增，把选项转化后可知选B.解题技巧：sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，常考的几种形式.F（x）=f（x）sinx，F′（x）=f ′（x）sinx+f（x）cosx;F（x）=f（x）sinx，F′（x）=f ′（x）sinx-f（x）cosxsin2x;F（x）=f（x）cosx，F′（x）=f ′（x）cosx-f（x）sinx;F（x）=f（x）cosx，F′（x）=f ′（x）cosx+f（x）sinxcos2x.构造函数时注意正弦、余弦的导数公式，尤其注意余弦的导数公式的符号.例4.α，β∈-π2，π2，且αsinα-βsinβ>0，则下列结论正确的是（）A.α>βB.α2>β2C.α<βD.α+β>0【解析】构造f（x）=xsinx形式，则f ′（x）=sinx+xcosx，x∈0，π2时导函数f ′（x）0，f（x）单调递增;x∈-π2，0时导函数f ′（x）<0，f（x）单调递减.又∵f（x）为偶函数，根据单调性和图象可知选B.解题技巧：这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式和求值问题.。
导数构造函数解决问题类型总结(解析版)
导数构造函数解决问题类型总结一、重点题型目录【题型一】构造函数x n f (x )型【题型二】构造函数e nx f (x )型【题型三】构造函数f (x )x n 型【题型四】构造函数f (x )e nx型【题型五】构造函数sin x 与函数f (x )型【题型六】构造函数cos x 与函数f (x )型【题型七】构造e n 与af (x )+bf (x )型【题型八】构造kx +b 与f (x )型【题型九】构造ln kx +b 型【题型十】构造综合型二、题型讲解总结【题型】一、构造函数x n f (x )型例1.(2022·四川·盐亭中学模拟预测(文))已知定义在0,+∞ 上的函数f x 满足2xf x +x 2f x <0，f 2 =34，则关于x 的不等式f x >3x 2的解集为( )A.0,4B.2,+∞C.4,+∞D.0,2 【答案】D【分析】构造函数h x =x 2f x ，得到函数h x 的单调性，根据单调性解不等式即可.【详解】令h x =x 2f x ，则h x =2xf x +x 2f x <0，所以h x 在0,+∞ 单调递减，不等式f x >3x 2可以转化为x 2f x >4×34=22f 2 ，即h x >h 2 ，所以0<x <2.故选：D .例2.(2022·河北·高三阶段练习)已知奇函数f x 的定义域为R ，导函数为f x ，若对任意x ∈0,+∞ ，都有3f x +xf x >0恒成立，f 2 =2，则不等式x -1 3f x -1 <16的解集是__________.【答案】-1,3【分析】构造新函数g x =x 3f x ，根据f (x )的性质推出g (x )的性质，最后利用g (x )单调性解不等式.【详解】设g x =x 3f x ，x ∈R ，f x 为奇函数，∴g -x =-x 3f (-x )=x 3f (x )=g x ，即g x 是偶函数，有g (x )=g (-x )=g x ，∵∀x ∈0,+∞ ，3f x +xf x >0恒成立，故x ∈0,+∞ 时，g x =3x 2f x +x 3f x =x 23f x +xf x ≥0，∴函数g x 在0,+∞ 上为增函数，∵f 2 =2，∴g 2 =g -2 =16，x -1 3f x -1 <16等价于g x -1 <16=g (2)，g (x -1)=g x -1 <g (2)，且函数g x 在0,+∞ 上为增函数，∴x -1 <2，解得-1<x <3.故答案为：-1,3【题型】二、构造函数e nx f (x )型例3.(2022·河南·襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数f x 的定义域为R ，其函数图象连续不断，当x >0时，x +2 f x +xf x >0，则( )A.f 1 4e >f 2 B.f 2 <0 C.f -3 ⋅f 1 >0 D.f -1 e>4f -2 【答案】D【解析】令g x =x 2e x f x ，根据导数可知其在0,+∞ 上单调递增，由g 2 >g 1 >g 0 =0可知AB 错误，同时得到f 1 e<4f 2 ，f 1 >0，f 3 >0，结合奇偶性知C 错误，D 正确.【详解】对于AB ，令g x =x 2e x f x ，则g 0 =0，g x =x x +2 e x f x +x 2e x f x ，当x ≥0时，g x =xe x x +2 ⋅f x +xf x ≥0，∴g x 在0,+∞ 上单调递增，∴g 0 <g 1 <g 2 ，即0<ef 1 <4e 2f 2 ，∴f 2 >0，f 1 4e <f 2 ，AB 错误；对于C ，由A 的推理过程知：当x >0时，g x =x 2e x f x >0，则当x >0时，f x >0，∴f 1 >0，f 3 >0，又f x 为奇函数，∴f -3 =-f 3 <0，∴f -3 ⋅f 1 <0，C 错误．对于D ，由A 的推理过程知：f 1 e <4f 2 ，又f -1 =-f 1 ，f -2 =-f 2 ，∴-f -1 e <-4f -2 ，则f -1 e>4f -2 ，D 正确．故选：D .例4.(2022·江苏·南师大二附中高二期末)已知f (x )为R 上的可导函数，其导函数为f x ，且对于任意的x ∈R ，均有f x +f x >0，则( )A.e -2021f (-2021)>f (0)，e 2021f (2021)<f (0)B.e-2021f(-2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e-2021f(-2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0)D.e-2021f(-2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)【答案】D【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数F x =e x⋅f x ,F x =f x +f x⋅e x>0，所以F x 在R上递增，所以F-2021<F0 ,F0 <F2021，即e-2021⋅f-2021<f0 ,f0 <e2021⋅f2021.故选：D例5.(2022·辽宁·大连二十四中模拟预测)已知函数y=f x ，若f x >0且f x +xf x >0，则有( )A.f x 可能是奇函数，也可能是偶函数B.f-1>f1C.π4<x<π2时，f(sin x)<e cos2x2f(cos x)D.f(0)<e f(1)【答案】D【解析】根据奇函数的定义结合f x >0即可判断A；令g x =e x22f x ，利用导数结合已知判断函数g x 的单调性，再根据函数g x 的单调性逐一判断BCD即可得解.【详解】解：若f x 是奇函数，则f-x=-f x ，又因为f x >0，与f-x=-f x 矛盾，所有函数y=f x 不可能时奇函数，故A错误；令g x =e x22f x ，则g x =xe x22f x +e x22f x =e x22xf x +f x，因为e x22>0，f x +xf x >0，所以g x >0，所以函数g x 为增函数，所以g-1<g1 ，即e 12f-1<e12f1 ，所以f-1<f1 ，故B错误；因为π4<x<π2，所以0<cos x<22，22<sin x<1，所以sin x>cos x，故g sin x>g cos x，即e sin2x2f sin x>e cos2x2f cos x，所以f sin x>e cos2x-sin2x2f cos x=e cos2x2f cos x，故C错误；有g0 <g1 ，即f0 <e f1 ，故D正确.故选：D.例6.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习)f x 是定义在R上的函数，满足2f x +f x =xe x，f-1=-12e，则下列说法错误的是( )A.f x 在R上有极大值B.f x 在R上有极小值C.f x 在R上既有极大值又有极小值D.f x 在R上没有极值【答案】ABC【分析】先由题意得f -1=0，再构造g x =e2x f x ，得到g x =xe3x，进而再构造h x =e2x f x =xe3x-2g x ，判断出h x >0，即f x >0，由此得到选项.【详解】根据题意，2f x +f x =xe x，故2f-1+f -1=-e-1，又f-1=-12e，得2-12e+f -1 =-1e，故f -1 =0，令g x =e2x f x ，则g x =2e2x f x +e2x f x =e2x2f x +f x=e2x⋅xe x=xe3x，又2e2x f x +e2x f x =xe3x，记h x =e2x f x =xe3x-2e2x f x =xe3x-2g x ，所以h x =e3x+3xe3x-2g x =e3x+3xe3x-2xe3x=e3x x+1，当x<-1时，h x <0，h x 单调递减；当x>-1时，h x >0，h x 单调递增，所以h x >h-1=e-2f -1=0，即e2x f x >0，即f x >0，所以f x 在R上单调递增，故f x 在R上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确.故选：ABC【题型】三、构造函数f(x)x n型例7.(2022·山东·潍坊一中高三期中)设函数f (x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x> 0时，xf (x)-f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(0,1)D.(-1,0)∪(1,+∞)【答案】D【分析】根据题意构造函数g(x)=f(x)x，由求导公式和法则求出g (x)，结合条件判断出g (x)的符号，即可得到函数g(x)的单调区间，根据f(x)奇函数判断出g(x)是偶函数，由f(-1)=0求出g(-1)=0，结合函数g(x)的单调性、奇偶性，再转化f(x)>0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．【详解】由题意设g(x)=f(x)x，则g (x)=xf (x)-f(x)x2∵当x>0时，有xf (x)-f(x)>0，∴当x>0时，g (x)>0，∴函数g(x)=f(x)x在(0,+∞)上为增函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(-x)=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，g(x)在(-∞,0)上递减，由f(-1)=0得，g(-1)=0，∵不等式f(x)>0⇔x∙g(x)>0，∴x>0g(x)>g(1)或x<0g(x)<g(-1)，即有x>1或-1<x<0，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是：(-1，0)∪(1，+∞)，故选：D例8.(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)已知a=ln24，b=1e2，c=lnπ2π则a，b，c的大小关系为( )A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b 【答案】C【分析】构造函数，根据函数的单调性比较大小.【详解】令f x =ln xx2，则fx =x-2x ln xx4，令f x <0，解得x>e，因此f x =ln xx2在e,+∞上单调递减，又因为a=ln24=ln416=f4 ，b=1e2=ln ee2=f e ，c=lnπ2π=lnππ=fπ，因为4>e>π>e，所以a<b<c.故选：C.【题型】四、构造函数f(x)e nx型例9.(2022·陕西·西安中学高二期中)已知定义在R上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x <0，则( )A.ef2 >f1 ，f2 >ef1B.ef2 >f1 ，f2 <ef1C.ef 2 <f 1 ，f 2 <ef 1D.ef 2 <f 1 ，f 2 >ef 1【答案】D 【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数g (x )=f (x )e x ⇒g (x )=f (x )-f (x )ex ，因为f x <f x ，所以g (x )>0，因此函数g (x )是增函数，于是有g (2)>g (1)⇒f (2)e 2>f (1)e ⇒f (2)>ef (1)，构造函数h (x )=f (x )⋅e x ⇒h (x )=e x [f (x )+f (x )]，因为f x <f x <0，所以h (x )<0，因此h (x )是单调递减函数，于是有h (2)<h (1)⇒e 2f (2)<ef (1)⇒ef (2)<f (1)，故选：D例10.(2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习)f x 是定义在R 上的函数，f x 是f x 的导函数，已知f x >f x ，且f (1)=e ，则不等式f 2x -5 -e 2x -5>0的解集为( )A.-∞,-3B.-∞,-2C.2,+∞D.3,+∞【答案】D【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合函数的单调性即可求解.【详解】由f x >f x ，得f x -f x >0,设g x =f x e x ，则g x =f x -f x e x>0，所以函数g x 在-∞,+∞ 上单调递增，因为f 1 =e ，所以g 1 =f 1 e 1=1，所以不等式f 2x -5 -e 2x -5>0等价于f 2x -5 e 2x -5>1即g 2x -5 >g 1 ，所以2x -5>1，解得x >3，所以不等式f 2x -5 -e 2x -5>0的解集为3,+∞ .故选:D .例11.(2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中(理))设f x 是函数f x 的导函数，且f x >3f x x ∈R ，f 13=e (e 为自然对数的底数)，则不等式f ln x <x 3的解集为( )A.0,e 3 B.1e ,e 3 C.0,3e D.e 3,3e【答案】C【分析】构造函数g x =f x e 3x ，由已知可得函数g x 在R 上为增函数，不等式f ln x <x 3即为g ln x <g 13，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令g x =f xe3x，则gx =f x -3f xe3x，因为f x >3f x x∈R，所以g x =f x -3f xe3x>0，所以函数g x 在R上为增函数，不等式f ln x<x3即不等式f ln xx3<1 x>0，又g ln x=f ln xe3ln x=f ln xx3，g13 =f13e=1，所以不等式f ln x<x3即为g ln x<g 13 ，即ln x<13，解得0<x<3e，所以不等式f ln x<x3的解集为0,3e.故选：C.例12.(2022·河北廊坊·高三开学考试)已知定义域为R的函数f x 的导函数为f x ，且f x -f x = 2xe x，f0 =0，则以下错误的有( )A.f x 有唯一的极值点B.f x 在-3,0上单调递增C.当关于x的方程f x =m有三个实数根时，实数m的取值范围为0,4e-1D.f x 的最小值为0【答案】ABC【分析】构造g(x)=f(x)e x，结合已知求g(x)的解析式，进而可得f(x)=x2e x，再利用导数研究f(x)的极值点、单调性，并判断其值域范围，即可判断各选项的正误.【详解】令g(x)=f(x)e x，则g(x)=f (x)-f(x)e x=2x，故g(x)=x2+C，(C为常数)，所以f(x)=e x(x2+C)，而f0 =e00+C=0，故C=0，所以f(x)=x2e x，则f (x)=(x2+2x)e x，令f (x)=0，可得x=-2或x=0，在(-∞,-2)、(0,+∞)上f (x)>0，f(x)递增；在(-2,0)上f (x)<0，f(x)递减；所以f(x)有2个极值点，在-3,0上不单调，A、B错误；由x趋于负无穷时f(x)趋向于0，f(-2)=4e2，f(0)=0，x趋于正无穷时f(x)趋向于正无穷，所以f x =m有三个实数根时m的范围为0,4e-2，f x 的最小值为0，C错误，D正确；故选：ABC【题型】五、构造函数sin x 与函数f (x )型例13.(2022·云南师大附中高三阶段练习)已知a =sin111,b =331,c =ln1.1，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c 【答案】B【分析】根据结构构造函数f (x )=x -sin x ,x ∈0,π2 ，利用导数判断单调性，即可得到a <b ；根据结构构造函数g (x )=ln x +1-x ，利用导数判断单调性，即可得到a <c ；根据结构构造函数h (x )=ln(x +1)-3x 3+x ，利用导数判断单调性，即可得到c <b .【详解】构造函数f (x )=x -sin x ,x ∈0,π2 ，则f (x )=1-cos x ≥0，故函数y =f (x )在0,π2 上单调递增，故f 111 >f (0)=0，即111>sin 111，又331>111，故a <b ．构造函数g (x )=ln x +1-x ，则g (x )=1x-1，易知函数y =g (x )在x =1处取得最大值g (1)=0，故g 1011 <0，即ln 1011+1-1011<0，即111<-ln 1011=ln 1110=ln1.1，由前面知sin 111<111，故a <c ．构造函数h (x )=ln (x +1)-3x 3+x ，则h (x )=1x +1-9(3+x )2=(3+x )2-9(x +1)(x +1)(3+x )2=x (x -3)(x +1)(3+x )2，故知函数y =h (x )在(0,3)上单调递减，故h (0.1)<h (0)=0，即ln1.1<0.33.1=331，故c <b .综上，a <c <b .故选：B ．例14.(2022·全国·高三阶段练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，且f (x )为偶函数，f π6 =-2，3f (x )cos x +f (x )sin x >0，则不等式f x +π2 cos 3x -14>0的解集为( )A.-π3,+∞ B.-2π3,+∞ C.-2π3,π3 D.π3,+∞ 【答案】B 【分析】令g x =f x sin 3x -14，结合题设条件可得g x 为R 上的增函数，而原不等式即为g x +π2>0，从而可求原不等式的解集.【详解】f x +π2 cos 3x -14>0可化为f x +π2 sin 3x +π2 -14>0，令g x =f x sin 3x -14，则g x =f x sin 3x +3f x sin 2x cos x =sin 2x f (x )sin x +3f x cos x ，因为3f (x )cos x +f (x )sin x >0，故g x ≥0(不恒为零)，故g x 为R 上的增函数，故f x +π2 cos 3x -14>0即为g x +π2>0，而g -π6 =f -π6 sin 3-π6 -14=f π6 sin 3-π6 -14=0，故g x +π2 >0的解为x +π2>-π6，故x >-2π3即f x +π2 cos 3x -14>0的解为-2π3,+∞ .故选：B .【题型】六、构造函数cos x 与函数f (x )型例15.已知函数f x 的定义域为-π2,π2，其导函数是f (x ).有f (x )cos x +f (x )sin x <0，则关于x 的不等式3f (x )<2f π6cos x 的解集为()A.π3,π2 B.π6,π2 C.-π6,-π3 D.-π2,-π6【答案】B【分析】令F x =f x cos x ，根据题设条件，求得F 'x <0，得到函数F x =f x cos x 在-π2,π2内的单调递减函数，再把不等式化为f x cos x <f π6 cos π6，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数f x 满足f 'x cos x +f x sin x <0，令F x =f x cos x ，则F 'x =f 'x cos x +f x sin x cos 2x<0函数F x =f x cos x 是定义域-π2,π2内的单调递减函数，由于cos x >0，关于x 的不等式3f (x )<2f π6 cos x 可化为f x cos x <f π6 cos π6，即F x <F π6 ，所以-π2<x <π2且x >π6，解得π2>x >π6，不等式3f (x )<2f π6 cos x 的解集为π6,π2 .故选：B 例16.(2021·重庆·高二期末)已知f x 的定义域为(0,+∞)且满足f x >0，f x 为f x 的导函数，f x -f x =e x (x +cos x )，则下列结论正确的是( )A.f x 有极大值无极小值B.f x 无极值C.f x 既有极大值也有极小值D.f x 有极小值无极大值【答案】B【解析】令F x =f xe x，根据题意得到Fx =x+cos x，设g x =x+cos x,x>0，利用导数求得g x 在区间(0,+∞)单调递增，得到F x >0，由f x =e x⋅F x ，得到f x >0，即函数f x 为单调递增函数，得到函数无极值.【详解】令F x =f xe x,x>0，可得F x =f x -f xe x，因为f x -f x =e x(x+cos x)，可得F x =x+cos x，设g x =x+cos x,x>0，可得g x =1-sin x≥0，所以g x 在区间(0,+∞)单调递增，又由g0 =1，所以g x >g0 =1，所以F x >0，所以F x 单调递增，因为f x >0且e x>0 ，可得F x >0，因为F x =f xe x，可得f x =ex⋅F x ,x>0，则f x =e x F x +F x>0，所以函数f x 为单调递增函数，所以函数f x 无极值.故选：B.【题型】七、构造e n与af(x)+bf(x)型例17.(2022·陕西·西安中学高二期中)已知定义在R上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x < 0，则( )A.ef2 >f1 ，f2 >ef1B.ef2 >f1 ，f2 <ef1C.ef2 <f1 ，f2 <ef1D.ef2 <f1 ，f2 >ef1【答案】D【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数g(x)=f(x)e x⇒g (x)=f (x)-f(x)e x，因为f x <fx ，所以g (x)>0，因此函数g(x)是增函数，于是有g(2)>g(1)⇒f(2)e2>f(1)e⇒f(2)>ef(1)，构造函数h(x)=f(x)⋅e x⇒h (x)=e x[f(x)+f (x)]，因为f x <f x <0，所以h (x)<0，因此h(x)是单调递减函数，于是有h(2)<h(1)⇒e2f(2)<ef(1)⇒ef(2)<f(1)，故选：D例18.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知函数f x =ax-e x-k，其中e为自然对数的底数，若k∈-1,e2时，函数f x 有2个零点，则实数a的可能取值为( )A.eB.2eC.e 2D.3e【答案】D【分析】由题意可知方程ax -e x =k ,k ∈-1,e 2 有两个实数根，令g (x )=ax -e x ，则g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，结合导数分析函数g (x )的单调性与极值情况即可解决问题．【详解】由题意可知方程ax -e x =k ,k ∈-1,e 2 有两个实数根，令g (x )=ax -e x ，则g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，g (x )=a -e x ．(1)若a ≤0,g (x )<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上单调递减，g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 至多只有一个交点，不合题意；(2)若a >0，当x <ln a 时，g (x )>0，当x >ln a 时，g (x )<0，所以g (x )的单调递增区间是(-∞,ln a )，单调递减区间是(ln a ,+∞)，所以当x =ln a 时，g (x )取得极大值，也是最大值，为a ln a -a ．当x →-∞时，g (x )→-∞，当x →+∞时，g (x )→-∞，所以要使g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，只需a ln a -a >e 2．a ln a -a =a (ln a -1)，当0<a ≤e 时，a ln a -a ≤0，当a >e 时，a ln a -a >0，所以a ln a -a >e 2,a >e ，设h (a )=a ln a -a ,a >e ，则h (a )=ln a >0，所以h (a )在(e ,+∞)上单调递增，而h e 2 =e 2，所以a ln a -a >e 2的解为a >e 2，而3e >e 2，故选：D ．例19.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的偶函数y =f (x )的导函数为y =f (x )，当x >0时，f (x )+f (x )x <0，且f (2)=-3，则不等式f (2x -1)<-62x -1的解集为( )A.-∞,12 ∪32,+∞ B.32,+∞C.12,32D.-12,12 ∪12,32【答案】A【分析】根据题干中的不等式，构造函数F x =xf x ，结合y =f (x )在在R 上为偶函数，得到F x =xf x 在R 上单调递减，其中F 2 =2f 2 =-6，分x >12与x <12，对f (2x -1)<-62x -1变形，利用函数单调性解不等式，求出解集.【详解】当x >0时，f(x )+f (x )x =xf (x )+f (x )x<0，所以当x >0时，xf (x )+f (x )<0，令F x =xf x ，则当x >0时，F x =xf (x )+f (x )<0，故F x =xf x 在x >0时，单调递减，又因为y=f(x)在在R上为偶函数，所以F x =xf x 在R上为奇函数，故F x =xf x 在R上单调递减，因为f(2)=-3，所以F2 =2f2 =-6，当x>12时，f(2x-1)<-62x-1可变形为2x-1f(2x-1)<-6，即F2x-1<F2 ，因为F x =xf x 在R上单调递减，所以2x-1>2，解得：x>3 2，与x>12取交集，结果为x>32；当x<12时，f(2x-1)<-62x-1可变形为2x-1f(2x-1)>-6，即F2x-1>F2 ，因为F x =xf x 在R上单调递减，所以2x-1<2，解得：x<3 2，与x<12取交集，结果为x<12；综上：不等式f(2x-1)<-62x-1的解集为-∞,12∪32,+∞.故选：A例20.(2022·全国·高三阶段练习(理))已知函数f x =x3-x+2+e x-e-x，其中e是自然对数的底数，若f a-2+f a2>4，则实数a的取值范围是( )A.-2,1B.-∞,-2C.1,+∞D.-∞,-2∪1,+∞【答案】D【分析】构造函数g(x)=f x -2，利用奇偶性的定义、导数的符号变化判定其奇偶性和单调性，再将f (a-2)+f(a2)>4变为g(a-2)>g(-a2)，利用g(x)的单调性进行求解.【详解】构造函数g(x)=f x -2=x3-x+e x-e-x，因为g(x)的定义域为(-∞,+∞)，且g-x= -x3--x+e-x-e x=-x3+x-e x+e-x=-(x3-x+e x-e-x)=-g(x)，即g(x)是奇函数，又g x =3x2-1+e x+e-x≥3x2-1+2e x⋅e-x=3x2+1>0，所以g(x)在 (-∞,+∞)上单调递增；因为f(a-2)+f(a2)>4，所以f(a-2)-2>-[f(a2)-2]，即g(a-2)>-g(a2)，即g(a-2)>g(-a2)，所以a-2>-a2，即a2+a-2>0，解得a>1或a<-2，即a∈(-∞,-2)∪(1,+∞).故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的性质解决不等式问题时，往往要利用题干中的表达式或不等式的结构特点合理构造函数，如本题中，构造函数g(x)=f x -2，将问题转化为利用函数的奇偶性和单调性求g(a-2)>-g(a2)的解集.【题型】八、构造kx+b与f(x)型例21.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知定义在0,+∞上的函数f x 的导函数为f x ，若f x < 2，且f4 =5，则不等式f2x>2x+1-3的解集是( )A.0,2B.0,4C.-∞,2D.-∞,4【答案】C【分析】根据所求不等式f2x>2x+1-3的形式，构造函数g x =f x -2x+3，利用题目中的条件判断出g x 在0,+∞上单调递减，进而将所求转化为g2x>g4 ，再利用单调性求出解集．【详解】设g x =f x -2x+3，则g x =f x -2．因为f x <2，所以f x -2<0，即g x <0，所以g x 在0,+∞上单调递减．不等式f2x>2x+1-3等价于不等式f2x-2×2x+3>0，即g2x>0．因为f4 =5，所以g4 =f4 -2×4+3=0，所以g2x>g4 ．因为g x 在0,+∞上单调递减，所以2x<4，解得x<2．故选：C．例22.(2022·河南·襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数f x 的定义域为R，其函数图象连续不断，当x>0时，x+2f x +xf x >0，则( )A.f14e>f2 B.f2 <0 C.f-3⋅f1 >0 D.f-1e>4f-2【答案】D【解析】令g x =x2e x f x ，根据导数可知其在0,+∞上单调递增，由g2 >g1 >g0 =0可知AB错误，同时得到f1e<4f2 ，f1 >0，f3 >0，结合奇偶性知C错误，D正确.【详解】对于AB，令g x =x2e x f x ，则g0 =0，g x =x x+2e xf x +x2e x f x ，当x≥0时，g x =xe x x+2⋅f x +xf x≥0，∴g x 在0,+∞上单调递增，∴g0 <g1 <g2 ，即0<ef1 <4e2f2 ，∴f2 >0，f14e<f2 ，AB错误；对于C，由A的推理过程知：当x>0时，g x =x2e x f x >0，则当x>0时，f x >0，∴f1 >0，f3 >0，又f x 为奇函数，∴f-3=-f3 <0，∴f-3⋅f1 <0，C错误．对于D，由A的推理过程知：f1e<4f2 ，又f-1=-f1 ，f-2=-f2 ，∴-f-1e<-4f-2，则f-1e>4f-2，D正确．故选：D.【题型】九、构造ln kx+b型例23.(2023·全国·高三专题练习)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf x +1>0,f2 =ln 12，则不等式f(e x)+x>0的解集为( )A.(0，2ln2)B.(0,ln2)C.(ln2，1)D.(ln2，+∞)【答案】D【分析】构造新函数g(x)=f(x)+ln x,(x>0)，利用导数说明其单调性，将f(e x)+x>0变形为g(e x) >g(2)，利用函数的单调性即可求解.【详解】令g(x)=f(x)+ln x,(x>0) ，则g (x)=f (x)+1x=xf x +1x，由于xf x +1>0,故g (x)>0,故g(x)在(0，+∞)单调递增，而g(2)=f(2)+ln2=ln 12+ln2=0 ，由f(e x)+x>0，得g(e x)>g(2) ，∴e x>2 ，即x>ln2 ,∴不等式f(e x)+x>0的解集为(ln2，+∞),故选：D．例24.(2022·河南·高三阶段练习(理))设a=cos 12，b=78，c=ln158，则a，b，c之间的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b 【答案】A【分析】构造函数g x =ln x+1-x，f x =cos x-1-x2 2，借助函数的单调性分别得出c<b与a>b，从而得出答案.【详解】构造函数g x =ln x+1-x，x>-1，则g x =1x+1-1=-xx+1，当-1<x<0时，g x >0，g x 单调递增，当x>0时，g x <0，g x 单调递减，∴g x ≤g 0 =0，∴ln x +1 ≤x (当x =0时等号成立)，∴ln 158=ln 78+1 <78，则c <b ，构造函数f x =cos x -1-12x 2 ，0<x <1，则f x =x -sin x ，令φx =x -sin x ，0<x <1，∴φ x =1-cos x >0，φx 单调递增，∴φx >φ0 =0，∴f x >0，f x 单调递增，从而f x >f 0 =0，∴f 12 >0，即cos 12>1-12⋅122=78，则a >b ．∴c <b <a ．故选：A ．例25.(2022·贵州·高三阶段练习(理))已知命题p ：在△ABC 中，若A >π4，则sin A >22，命题q :∀x >-1，x ≥ln (x +1).下列复合命题正确的是( )A.p ∧q B.(¬p )∧(¬q )C.(¬p )∧qD.p ∧(¬q )【答案】C【分析】命题p 可举出反例，得到命题p 为假命题，构造函数证明出q :∀x >-1，x ≥ln (x +1)成立，从而判断出四个选项中的真命题.【详解】在△ABC 中，若A =5π6，此时满足A >π4，但sin A =12<22，故命题p 错误；令f x =x -ln x +1 ,x >-1，则f x =1-1x +1=xx +1，当x >0时，f x >0，当-1<x <0时，f x <0，所以f x 在x >0上单调递增，在-1<x <0上单调递减，所以f x 在x =0处取得极小值，也是最小值，f 0 =0-ln 0+1 =0，所以q :∀x >-1，x ≥ln (x +1)成立，为真命题；故p ∧q 为假命题，(¬p )∧(¬q )为假命题，(¬p )∧q 为真命题，p ∧(¬q )为假命题.故选：C【题型】十、构造综合型例26.(2022·全国·高三阶段练习(理))下列命题为真命题的个数是( )①log 32>23；②e lnπ<π；③sin 12>2348；④3e ln2<4 2.A.1 B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用指数式与对数的互化、对数函数的单调性推得①错误；构造函数f x =ln xx，利用导数研究其单调性和最值，进而判定②④正确；构造函数h(x)=sin x-x+16x3，x∈0,π2，利用二次求导确定其单调性，利用h 12 >h(0)得到③正确.【详解】对于①：若log32>23，则2>323，即8>9，显然不成立，故①错误；对于②：将e lnπ<π变为lnππ<ln ee，构造f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，则当0<x<e时，f x >0，x>e时，f x <0，所以f x =ln xx在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，则x=e时，f x 取得最大值1 e，由fπ <f e 得lnππ<ln ee，即e lnπ<π成立，故②正确；对于③：令h(x)=sin x-x+16x3，x∈0,π2，则g x =h x =cos x-1+12x2，t x =g x =-sin x+1，因为t x =g x =-sin x+1>0在0,π2成立，所以g x =h x =cos x-1+12x2在0,π2上单调递增，又g(0)=cos0-1+0=0，所以g x =h x >0在0,π2上成立，即h(x)=sin x-x+16x3在在0,π2上单调递增，所以h 12 >h(0)，即sin12-2348>0，即sin12>2348，故③正确；对于④：将3e ln2<42变为ln2222<ln e e，由②得f22<f e ，即ln2222<ln e e，即3e ln2<42成立，故④正确；综上所述，真命题的个数为3.故选：C.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性解决不等式问题时，往往要利用题干中的不等式的结构特点合理构造函数，如本题中证明e lnπ<π、3e ln2<42构造函数f x =ln xx，证明sin12>2348构造h(x)=sin x -x +16x 3，x ∈0,π2，将问题转化为利用导数研究函数的单调性问题.例27.(2022·江苏·南京师大附中高三期中)已知函数f x =ln x -ax 2，则下列结论正确的有( )A.当a <12e 时，y =f x 有2个零点B.当a >12e 时，f x ≤0恒成立C.当a =12时，x =1是y =f x 的极值点D.若x 1,x 2是关于x 的方程f x =0的2个不等实数根，则x 1x 2>e 【答案】BCD【分析】对于A 和B ，由f x =0可得a =ln x x 2，令g x =ln xx 2，利用导数得到g x 的单调性和最值情况即可判断；对于C ，将a =12代入f x ，利用导数得到f x 的单调性即可判断；对于D ，问题转化为2at =ln t 有两个零点，证明t 1t 2>e 2，进而只需要证明ln t 1+ln t 2>2，也即是ln t 1t 2>2t1t 2-1 t 1t 2+1，从而令m =t 1t 2>1，构造函数s m =ln m -2m -1 m +1m >1 求出最值即可【详解】对于A ，令f x =ln x -ax 2=0即a =ln xx 2，令g x =ln x x 2,x >0，则g x =1x⋅x 2-ln x ⋅2x x 2 2=1-2ln x x 3，令g x =0，解得x =e ，故当x ∈0,e ，g x >0，g x 单调递增；当x ∈e ,+∞ ，g x <0，g x 单调递减；所以g x 的最大值为g e =12e，又因为当x <1时，g x =ln x x 2<0；当x >1时，g x =ln xx 2>0，故g x 如图所示，当0<a <12e时，函数y =a 与g x 有两个交点，此时y =f x 有2个零点，故A 错误；对于B ，由A 选项可得g x =ln x x2≤12e ，当a >12e 时，由a >ln xx 2，可整理得ln x -ax 2<0，即f x <0，故B 正确；对于C ，将a =12代入f x 得f x =ln x -12x 2,x >0，所以f x =1x -x =1-x 2x，令f x =0，解得x =1，故当x ∈0,1 ，f x >0，f x 单调递增；当x ∈1,+∞ ，f x <0，f x 单调递减；所以x=1是y=f x 的极大值点，故C正确；对于D，由f x =ln x-ax2=0即ax=ln x x，因为x1,x2是关于x的方程f x =0的2个不等实数根，所以ax1=ln x1x1ax2=ln x2x2，即2ax21=ln x212ax22=ln x22，所以等价于：2at=ln t有两个零点，证明t1t2>e2，不妨令t1>t2>0，由2at1=ln t12at2=ln t2⇒2a=ln t1-ln t2t1-t2，要证t1t2>e2，只需要证明ln t1+ln t2>2，即只需证明：ln t1+ln t2=2a t1+t2=t1+t2ln t1-ln t2t1-t2>2，只需证明：ln t1-ln t2>2t1-t2t1+t2，即lnt1t2>2t1t2-1t1t2+1，令m=t1t2>1，只需证明：ln m>2m-1m+1m>1，令s m=ln m-2m-1m+1m>1，则s m=m-12m m+12>0，即s m在1,+∞上为增函数，又s1 =0，所以s m>s1 =0．综上所述，原不等式成立，即x1x2>e成立，故D正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．例28.(2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习)已知函数f x 的定义域是0,+∞，f x 是f x 的导数，若f x =xf x -x，f 1 =1，则下列结论正确的是( )A.f x 在0,1e上单调递减 B.f x 的最大值为eC.f x 的最小值为-1eD.存在正数x0，使得f x0<ln x0【答案】AC【分析】构造g x =f xx，得到g x =1x，从而得到g x =ln x+c，结合f 1 =1，得到f x =x ln x，求导得到f x =ln x+1，从而得到函数的单调性和极值，最值情况，判断出ABC选项；解不等式x-1ln x<0得到解集为∅，故D错误.【详解】由f x =xf x -x得f x =f xx+1，设g x =f xx，则g x =xf x -f xx2=xf xx+1-f xx2=1x.设c为常数，则ln x+c=1 x，∴g x =ln x+c，∴f x =xg x =x ln x+cx.∵f 1 =1，∴f1 =0，∴c=0，所以f x =x ln x，∴f x =ln x+1.当0<x<1e时，f x <0，f x 单调递减，当x>1e时，f x >0，f x 单调递增.∵f 1e =0，∴f x 在x=1e时取得极小值，也是最小值-1e，f x 无最大值.∴A正确，B错误，C正确，由f x <ln x得x ln x<ln x，∴x-1ln x<0.当0<x<1时，x-1<0，ln x<0，x-1ln x>0.当x=1时，x-1ln x=0.当x>1时，x-1>0，ln x>0，x-1ln x>0.因此不等式x-1ln x<0即f x <ln x的解集是∅.所以D错误.故选：AC【点睛】当条件中出现类似f x =xf x -x的条件时，通常要构造函数来解决问题，本题中的难点是利用f x =f xx+1来构造g x =f xx，从而结合f 1 =1求出f x =x ln x.例29.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x e x+1,g x =x+1ln x，若f x1=g x2>0，则x2x1可取( )A.1B.2C.eD.e2【答案】CD【分析】由g x =x+1ln x=ln x e ln x+1，利用同构结合f x 在(0,+∞)上单调递增，即可得到x1=ln x2，则x2x1=e x1x1,x1>0，记h(x)=e xx,(x>0)，求出h (x)即可判断h(x)在(0,+∞)上的单调性，即可得出x2x1≥e，由此即可选出答案.【详解】因为f x1=g x2>0，所以x1>0,x2>1，因为f x =e x+1+xe x=(x+1)e x+1>0恒成立，所以f x 在(0,+∞)上单调递增，又g x =x+1ln x=ln x e ln x+1，因为f x1=g x2，即x1e x1+1=ln x2e ln x2+1，所以x1=ln x2⇒x2=e x1，所以x2x1=e x1x1,x1>0，记h(x)=e xx,(x>0)，所以h (x)=e x(x-1)x2当0<x<1时，h (x)<0，h(x)单调递减，当x>1时，h (x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)≥h(1)=e，即x2x1≥e故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将g x =x+1ln x=ln x e ln x+1变形为f x =x e x+1的结构，是解本题的关键.。
导数典型例题(含答案)回顾【创意版】
导数典型例题导数作为考试内容的考察力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最〔极〕值等等，考察的题型有客观题〔选择题、填空题〕、主观题〔解答题〕、考察的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考察成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=xf x f x ∆-∆+→∆)0()0(lim=xx x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0)100()2)(1(lim 0=lim 0→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=〔-1〕〔-2〕…〔-100〕=100！ ∴选D.解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，那么f ＇(0)= a 1，而a 1=〔-1〕〔-2〕…〔-100〕=100！. ∴选D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四那么运算求导法那么使问题获解.【例2】 函数f (x )=nn n k k nn n nx c nx c k x c x c c 11212210++++++ ，n ∈N *，那么 xx f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim 0= .解 ∵xx f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim 0=2xf x f x ∆-∆+→∆2)2()22(lim+[]xf x f x ∆--∆-+→∆-)2()(2lim 0=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k kn n n x c x c x c c ，∴f ＇(2)=21〔2nn n k n k n n c c c c 222221+++++ 〕=21[(1+2)n -1]= 21(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx 〞有多种形式，可以为正也可以为负，如xm x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000lim，且其定义形式可以是xm x f x m x f x ∆--∆-→∆)()(000lim ，也可以是00)()(lim x x x f x f x --→∆〔令Δx =x -x 0得到〕，此题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，那么圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2'=2πR ·t R '=4πR ，∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的〔R 是中间变量〕，此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s 〞的错误.此题考察导数的物理意义及复合函数求导法那么，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考察导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，那么直线l 的倾斜角的范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3.应选A.点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点〔x 0，f (x 0)〕处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.此题假设不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点〔0，1〕，且过点〔0，1〕的切线有两条，求实数a 的值.解 ∵点〔0，1〕不在曲线上，∴可设切点为〔m ,m 3-am 2〕.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，那么切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过〔0，1〕，∴2m 3-am 2+1=0.(*)设〔*〕式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过〔0，1〕点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0〞.由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3a， ∴a ≠0，f (0)·f (3a )=0，即a ≠0，-271a 3+1=0，∴a =3.点评 此题解答关键是把“切线有2条〞的“形〞转化为“方程有2个不同实根〞的“数〞，即数形结合，然后把三次方程〔*〕有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0〞.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最〔极〕值有关的问题【例6】以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，应选C.点评f＇(x)>0〔或<0〕只是函数f＇(x)在该区间单递增〔或递减〕的充分条件，可导函数f＇(x)在(a，b)上单调递增〔或递减〕的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f＇(x)≥0(或≤0)且f＇(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围〞问题.此题考察函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y=f(x)定义在区间〔-3，7〕上，其导函数如下图，那么函数y=f(x)在区间〔-3，7〕上极小值的个数是个.解如图，A、O、B、C、E这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O点、C点是极小值点，故在区间〔-3，7〕上函数y=f(x)的极小值个数是2个.点评导数f＇(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点，如使f＇(x)=0的点的左、右的导数值异号，那么是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.此题考察函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】设函数f(x)与数列{a n}满足关系：①a1>α，其中α是方程f(x)=x的实数根；②a n+1=f(a n)，n∈N*；③f(x)的导数f＇(x)∈〔0，1〕.〔1〕证明：a n>α，n∈N*；〔2〕判断a n与a n+1的大小，并证明你的结论.〔1〕证明：〔数学归纳法〕当n=1时，由题意知a1>α，∴原式成立.假设当n=k时，a k>α，成立.∵f＇(x)>0，∴f(x)是单调递增函数.∴a k+1= f(a k)> f(α)=α，〔∵α是方程f(x)= x的实数根〕即当n=k+1时，原式成立.故对于任意自然数N *，原式均成立.〔2〕解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[)+∞,α上是单调递增函数.而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由〔1〕知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.点评 此题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例9】 设x ≥0，比拟A =xe -x ，B =lg(1+x )，C =xx +1的大小.解 令f (x )=C -B=xx +1-lg(1+x )，那么f ＇(x )=xx x ++-+1)1(2)11(2>0，∴f (x )为[)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x，那么当x ≥0时，g ＇(x )=xx e x +---1)1(12≥0，∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .因此，C ≥B ≥A 〔x =0时等号成立〕.点评 运用导数比拟两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，那么只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用屡次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考察了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2ax =时，y =a 3.并且技术改造投入比率：)(2x a x-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.〔1〕求y =f (x )的解析式及定义域；〔2〕求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：〔1〕由，设y =f (x )=k (a -x )x 2，∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2a·42a ，∴k =8，那么f (x )=8-(a -x )x 2.∵0<)(2x a x -≤t ，解得0<x ≤122+t at .∴函数f (x )的定义域为0<x ≤122+t at.〔2〕∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，那么x =0〔舍去〕，32ax=，当0<x <32a 时，f ＇(x )>0，此时f (x )在〔0，32a 〕上单调递增； 当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=32732a ；当122+t at <32a 时，即0<t <1时，y max =f (122+t at )=323)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入32a 万元，最大增加值是32732a ，当0<t <1时，投入122+t at万元，最大增加值是323)12(32+t t a . 点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.。
导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引
导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引方法一 等价变形，转化构造 方法导读研究函数的性质是高考压轴题的核心思想，但直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变形，通过恒等变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。
方法导引例1 已知函数f(x)=a e x (a ∈R )，g(x)=lnx x+1.（1）求函数g(x)的极值；（2）当a ≥1e 时，求证：f(x)≥g(x). 解析:（1）由g (x )=ln x x+1，得g ′(x )=1−ln x x 2，定义域为(0,+∞).令g ′(x )=0，解得x =e ， 列表如下：结合表格可知函数g (x )的极大值为g (e )=1e +1，无极小值. （2）要证明f (x )≥g (x )，即证ae x ≥ln x x+1，而定义域为(0,+∞)，所以只要证axe x −ln x −x ≥0，又因为a ≥1e，所以axe x −ln x −x ≥1exe x −ln x −x ， 所以只要证明1e xe x −ln x −x ≥0.令F (x )=1e xe x −ln x −x ，则F ′(x )=(x +1)(e x−1−1x )， 记ℎ(x )=e x−1−1x ，则ℎ(x )在(0,+∞)单调递增且ℎ(1)=0，所以当x ∈(0,1)时，ℎ(x )<0，从而F ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x )>0，从而F ′(x )>0，即F (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，F (x )≥F (1)=0. 所以当a ≥1e 时，f (x )≥g (x ).例2已知a ∈R ，a ≠0，函数f (x ) =e ax -1-ax ，其中常数e =2.71828.（1）求f (x ) 的最小值；（2）当a ≥1时，求证:对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 解析：（1）因为()1ax f x eax -=-，则()()11ax f x a e -'=-，()210ax f x a e -'=>'故()f x '为R 上的增函数，令()0f x '=，解得1x a= 故当()1,,0x f x a ⎛⎫∈-∞< '⎪⎝⎭，()f x 单调递减； 当()1,,0x f x a ⎛⎫∈+∞>'⎪⎝⎭，()f x 单调递增， 则()10min f x f a ⎛⎫==⎪⎝⎭故函数()f x 的最小值为0.（2）证明：要证明xf (x ) ≥ 2ln x +12ax - 等价于证明121ax xe lnx -≥+由（1）可知：10ax e ax --≥，即1ax e ax -≥ 因为0x >，故12ax xe ax -≥ 故等价于证明221ax lnx ≥+即()2210,0,ax lnx x --≥∈+∞令()221g x ax lnx =--，即证()()0,0,g x x ≥∈+∞恒成立.又())21122g x ax x x+-=-='令()0g x '=，解得x =故当(),0x g x⎛'∈< ⎝，()g x 单调递减； 当(),0x g x⎫∈+∞>'⎪⎭，()g x 单调递增；故()2g x g lna≥== 有因为1a ≥，故0lna ≥ 故()0g x lna ≥≥即证.即对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 方法二：构造常见典型函数 方法导读常见典型函数主要包括xlnx ，x/lnx ，lnx/x ; xe x ,xe x ,e x /x 等，通过变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。
导数利器——导数比大小十三种题型(精简版)
1导数技巧：比大小对数函数基础构造1：x ln x 型【典例分析】1(2022·全国·高三专题练习)已知a ,b ,c ∈1e ,+∞ ，且ln5a =-5ln a ，ln3b=-3ln b ，ln2c =-2ln c ，则()A.b <c <aB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c答案A解析【分析】构造函数f (x )=x ln x ，根据单调性即可确定a ,b ,c 的大小.【详解】设函数f (x )=x ln x ，f (x )=1+ln x ，当x ∈1e ,+∞ ,f (x )>0，此时f (x )单调递增，当x ∈0,1e,f (x )<0，此时f (x )单调递减，由题ln5a =-5ln a ，ln3b=-3ln b ，ln2c =-2ln c ，得a ln a =15ln 15,b ln b =13ln 13,c ln c =12ln 12=14ln 14，因为15<14<13<1e ，所以15ln 15>14ln 14>13ln 13，则a ln a >c ln c >b ln b ，且a ,b ,c ∈1e ,+∞ ，所以a >c >b .故选：A .【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)已知a =810，b =99，c =108，则a ，b ，c 的大小关系为()A.b >c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c答案D解析【分析】构造函数f x =18-x ln x ，x ≥8，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造f x =18-x ln x ，x ≥8，f x =-ln x +18x -1，f x =-ln x +18x -1在8,+∞ 时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e 2=54-2<0，所以f x =-ln x +18x-1<0在8,+∞ 恒成立，故f x =18-x ln x 在8,+∞ 上单调递减，所以f 8 >f 9 >f 10 ，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a >b >c .故选：D2.(2022·四川宜宾·二模(文))已知a =1010，b =911，c =119，则a ,b ,c 的大小关系为()A.c <a <bB.b <a <cC.a <b <cD.c <b <a答案A解析【分析】先构造函数f (x )=20-x ln x x ≥9 ，求导确定函数单调性，即可判断a ,b ,c 的大小.【详解】令f (x )=20-x ln x x ≥9 ，则f (x )=-ln x +20-x ⋅1x =-ln x +20x-1，显然当x ≥9时，f (x )是减函数且f (9)=-ln9+209-1<0，故f (x )是减函数，f (9)>f (10)>f (11)，即11ln9>10ln10>9ln11,ln911>ln1010>ln119，可得911>1010>119，即c <a <b .故选：A .3.(2022·安徽·淮南第一中学一模(理))设a =15ln13，b =14ln14，c =13ln15，则()A.a >c >bB.c >b >aC.b >a >cD.a >b >c答案D2解析【分析】构造函数f x =14+x ln 14-x ，利用函数f x 的导数讨论函数f x 的单调性.【详解】令f x =14+x ln 14-x ，x ∈-1，1 ，则f x =ln 14-x -14+x 14-x <ln15-1315<0，所以f x =14+x ln 14-x 在-1，1 上单调递增，所以f -1 <f 0 <f 1 ，即13ln15<14ln14<15ln13，所以，a >b >c 故选：D【题型二】对数函数基础构造2：x ln x型【典例分析】2(2022·全国·模拟预测)已知1<a <b <e ，有以下结论：①a b <b a ；②b a >e abe ；③a a <e abe ；④a b <e abe ，则其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析【分析】构造f x =ln xx，x ∈1,e ，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④的正误，根据g x =a x 的单调性及④得到③的正误..【详解】设f x =ln x x ，x ∈1,e ，则f x =1-ln x x 2>0在x ∈1,e 上恒成立，所以f x =ln xx 在x ∈1,e 上单调递增，因为1<a <b <e ，所以ln a a <ln bb，即b ln a <a ln b ，因为y =ln x 单调递增，所以a b <b a ，①正确；ln b b <ln e e =1e ，即a ln b <abe ，因为y =ln x 单调递增，所以b a <e ab e ，②错误；因为a b <b a ，所以a b <e abe ，④正确；因为g x =a x 单调递增，1<a <b <e 所以a a <a b ，所以a a <e ab e ，③正确.故选：C【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)a =3(2-ln3)e2,b =1e ,c =ln33，则a ，b ，c 的大小顺序为()A.a <c <bB.c <a <bC.a <b <cD.b <a <c答案A解析【分析】构造函数f (x )=ln x x ，应用导数研究其单调性，进而比较a =f e 23 ，b =f (e )，c =f (3)的大小，若t =ln xx有两个解x 1,x 2，则1<x 1<e <x 2，t ∈0,1e ，构造g (x )=ln x -2(x -1)x +1(x >1)，利用导数确定g (x )>0，进而得到ln x 2-ln x 1x 2-x 1>2x 2+x 1，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令f (x )=ln x x ，则a =f e 23 =lne 23e23，b =f (e )=ln e e ，c =f (3)=ln33，而f(x )=1-ln x x 2且x >0，即0<x <e 时f (x )单调增，x >e 时f (x )单调减，又1<e 23<e <3，∴b >c ，b >a .若t =ln x x 有两个解x 1,x 2，则1<x 1<e <x 2，t ∈0,1e ，即t =ln x 2-ln x 1x 2-x 1，x 1+x 2=ln x 1x 2t，令g (x )=ln x -2(x -1)x +1(x >1)，则g(x )=(x -1)2x (x +1)2>0，即g (x )在(1,+∞)上递增，∴g (x )>g (1)=0，即在(1,+∞)上，ln x >2(x -1)x +1，若x =x 2x 1即ln x 2-ln x 1x 2-x 1>2x 2+x 1，故t >2tln x 1x 2，有x 1x 2>e 23∴当x 2=3时，e >x 1>e 23，故f e 23<f (x 1)=f (3)，综上：b >c >a .故选：A 2.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知a =4ln5π,b =5ln4π,c =5lnπ4，则a ,b ,c 的大小关系是()A.c <a <bB.a <b <cC.a <c <bD.c <b <a答案B解析【分析】令f x =ln xxx ≥e ，利用导数判断f x 在e ,+∞ 上的单调性，即可得a ,b ,c 的大小关系.【详解】令f x =ln x x x ≥e ，可得f x =1x ⋅x -ln xx =1-ln xx，当x ≥e 时，f x ≤0恒成立，所以f x =ln xx在e ,+∞ 上单调递减，所以f π >f 4 >f 5 ，即lnππ>ln44>ln55，可得4lnπ>πln4，5ln4>4ln5，所以lnπ4>ln4π，5πln4>4πln5，所以5lnπ4>5ln4π，5ln4π>4ln5π，即c >b ，b >a .所以a <b <c .故选：B .3.(2022·全国·高三专题练习(理))设a =20202022，b =20212021，c =20222020，则()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a答案A解析【分析】由于ln a ln b=ln20202021ln20212022，所以构造函数f x =ln x x +1x ≥e 2，利用导数判断其为减函数，从而可比较出f 2020 >f 2021 >0，进而可比较出a ,b 的大小，同理可比较出b ,c 的大小，即可得答案【详解】∵ln a ln b =2022ln20202021ln2021=ln20202021ln20212022，构造函数f x =ln x x +1x ≥e 2，f x =x +1-x ln x x x +1 2，令g x =x +1-x ln x ，则gx =-ln x <0，∴g x 在e 2,+∞ 上单减，∴g x ≤g e 2 =1-e 2<0，故f x <0，∴f x 在e 2,+∞ 上单减，∴f 2020 >f 2021 >0，∴ln aln b =f 2020 f 2021>1∴ln a >ln b .∴a >b ，同理可得ln b >ln c ，b >c ，故a >b >c ，故选：A【题型三】指数函数基础构造【典例分析】3设正实数a ，b ，c ，满足e 2a =b ln b =ce c =2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c答案B 解析【分析】通过构造函数f (x )=xe x (x >0)，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得b =e c ，得b ,c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设f (x )=xe x (x >0)，x >0时，f x =x +1 e x >0恒成立，f (x )在(0,+∞)单调递增，x ∈12,1时，f (x )∈e2,e，而e 2<2，所以c ∈12,1 ，b ln b =ln b ⋅e ln b =ce c ，故ln b =c ，即b =e c ∈(e ,e )，而a =ln22<12，所以a <c <b ．故选：B 【变式演练】1.已知a,b,c∈R.满足3b ln b=2a ln a=-2c ln c<0.则a，b，c的大小关系为().A.c>a>bB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c答案A解析【分析】根据指数函数值域可确定c>1，a,b∈0,1；构造函数f x =2xln x0<x<1，利用导数可知f x 在0,1上单调递减，利用2aln a=3bln b<2bln b可知b<a，由此可得结果.【详解】∵3b>0，2a>0，2c>0，∴ln b<0，ln a<0，ln c>0，∴0<b<1，0<a<1，c>1；∵3b>2b>0，ln b<0，∴2a ln a=3b ln b<2b ln b，令f x =2xln x0<x<1，则f x =2x ln2⋅ln x-2x xln x2=2x ln2⋅ln x-1xln x2，当0<x<1时，ln x<0，-1x<0，∴f x <0，∴f x 在0,1上单调递减，∵2a ln a<2b ln b，即f a <f b ，∴b<a，∴c>a>b.故选：A.2.已知a+2a=2,b+3b=2，则b lg a与a lg b的大小关系是()A.b lg a<a lg bB.b lg a=a lg bC.b lg a>a lg bD.不确定答案C解析【分析】令f x =x+2x,g x =x+3x，结合题意可知0<b<a<1，进而有a b>b b>b a，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令f x =x+2x,g x =x+3x，则当x>0时，g x >f x ，当x<0时，g x <f x ；由a+2a=2,b+3b=2，得f a =2,g b =2考虑到f a =g b =2得0<b<a<1，∴a b>b b>b a由a b>b a，得lg a b >lg b a ，即b lg a>a lg b故选：C3.已知实数a=32e12，b=43e23，c=87e67，(e为自然对数的底数)则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c答案A解析【分析】由已知实数的形式构造函数f(x)=x+1x ex-1x，即有a=f(2),b=f(3),c=f(7)，利用导数研究f(x)的单调性，再比较对应函数值的大小即可.【详解】由题意，令f(x)=x+1x ex-1x，则a=f(2),b=f(3),c=f(7)，而f (x)=e x-1xx3，所以x>0时f(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴f(2)<f(3)<f(7)，即a<b<c，故选：A【题型四】“取对数”法45【典例分析】4(2023·全国·高三专题练习）已知a =2ln7，b =3ln6，c =4ln5，则()A.b <c <aB.a <b <cC.b <a <cD.a <c <b答案B解析【分析】对a ，b ，c 取对数，探求它们的结构特征，构造函数f x =ln x ⋅ln 9-x (2≤x ≤4)，借助导数判断单调性即可作答.【详解】对a ，b ，c 取对数得：ln a =ln2⋅ln7，ln b =ln3⋅ln6，ln c =ln4⋅ln5，令f x =ln x ⋅ln 9-x (2≤x ≤4)，f x =ln 9-x x -ln x9-x =9-x ln 9-x -x ln x x 9-x ，令g (x )=x ln x ,x >1，g (x )=ln x +1>0，即g (x )=x ln x 在(1,+∞)上单调递增，由2≤x ≤4得，9-x ≥5>x >1，于是得9-x ln 9-x >x ln x ，又x 9-x >0，因此，f x >0，即f x 在2,4 上单调递增，从而得f 2 <f 3 <f 4 ，即ln2ln7<ln3ln6<ln4ln5，ln a <ln b <ln c ，所以a <b <c .故选：B【变式演练】1.(2021·全国·高三专题练习)已知实数a ,b ,c ∈0,e ，且3a =a 3，4b =b 4，5c =c 5，则()A.c <b <aB.b <c <aC.a <c <bD.a <b <c答案A解析【分析】将已知的等式两边取对数可得ln33=ln a a ，ln44=ln b b，ln55=ln c c .设函数f x =ln x x ，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．【详解】由3a =a 3，4b =b 4，5c =c 5得a ln3=3ln a ，b ln4=4ln b ，c ln5=5ln c ，因此ln33=ln a a ，ln44=ln b b，ln55=ln cc .设函数f x =ln xx，则f 3 =f a ，f 4 =f b ，f 5 =f c ，f x =1-ln xx2，令f x =0，得x =e ，所以f x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，所以f 3 >f 4 >f 5 ，即f a >f b >f c ，又a ,b ,c ∈0,e ，所以a >b >c ，故选：A .2.(2022·全国·高三专题练习)已知a =3.93.9,b =3.93.8,c =3.83.9,d =3.83.8，则a ,b ,c ,d 的大小关系为()A.d <c <b <aB.d <b <c <aC.b <d <c <aD.b <c <d <a答案B解析【分析】构造函数f x =ln xx，利用导数判断函数的单调性，可得f 3.9 <f (3.8)，从而可得3.93.8<3.83.9，再由y =x 3.8在0,+∞ 上单调递增，即可得出选项.【详解】构造函数f x =ln x x ，则f x =1-ln xx 2，当x ∈e ,+∞ 时，f x <0，故f x=ln xx在x ∈e ,+∞ 上单调递减，所以f 3.9 <f (3.8)，所以ln3.93.9<ln3.83.8，3.8ln3.9<3.9ln3.8所以ln3.93.8<ln3.83.9，3.93.8<3.83.9，因为y =x 3.8在0,+∞ 上单调递增，所以3.83.8<3.93.8，同理3.83.9<3.93.9，所以3.83.8<3.93.8<3.83.9<3.93.9，故选：B3.已知55<84，134<85，设a =log 53，b =log 85，c =log 138，找出这三个数大小关系答案a <b <c 解析【分析】把a ,b ,c 用换底公式变形，已知不等关系及53>34，83<54也取对数后，可把a ,b ,c 与中间值比较大小，从而得出结论．【详解】6由已知a =lg3lg5，b =lg5lg8，c =lg8lg13，又55<84，则5lg5<4lg8，∴b =lg5lg8<45，134<85，则4lg13<5lg8，c =lg8lg13>45，又53=125>81=34，∴3lg5>4lg3，a =lg3lg5<34，而83=512<625=54，∴3lg8<4lg5，b =lg5lg8>34，综上有a <b <c ．故答案为：a <b <c ．【题型五】指数切线构造：e x -x +1【典例分析】5(2022·江西·南昌市八一中学三模(理))设a =1101，b =ln1.01，c =e 0.01-1，则()A.a <b <cB.b <c <aC.b <a <cD.c <a <b答案A解析【分析】观察式子的结构，进而设x =1.01，然后构造函数，随即通过求解函数的单调性得到答案.【详解】设x =1.01，所以a =1-1x,b =ln x ,c =e x -1-1，设f x =e x -x +1 x >1 ，则f x =e x -1>0，所以f x 在(1，+∞)单调递增，所以f x >f 1 =e 2-2>0⇒e x -x +1 >0⇒e x >x +1⋯①，所以e x -1>x ⋯②，由①，x >ln x +1 ⇒x -1>ln x ⇒1x -1>ln x -1⇒1x -1>-ln x ⇒ln x >1-1x⋯③，由②，x -1>ln x ⋯④，由②④，e x -1-1>x -1>ln x ，则c >b ，由③，b >a ，所以c >b >a .故选：A .【提分秘籍】基本规律指数和对数切线放缩法基础图【变式演练】71.(2022·河南·模拟预测(理))已知a =1.2,b =119,c =e 0.2，则()A.a <b <cB.c <a <bC.a <c <bD.c <b <a答案C解析【分析】构造函数f (x )=e x -x -1x >0 ，g (x )=(x +1)e -x -(1-x )e x (0<x <1)，利用导数研究函数的单调性，得出f x ，g x 的单调性，得出e x >x +1(x >0)，令x =0.2，可得出a <c ，再由得出的e 2x <1+x1-x(0<x <1)，令x =0.1，得出c <b ，从而得出结果．【详解】解：先证e x >x +1(x >0)，令f (x )=e x -x -1x >0 ，则f (x )=e x -1>0，可知f x 在0,+∞ 上单调递增，所以f x >f 0 =0，即e x >x +1(x >0)，令x =0.2，则e 0.2>1.2，所以a <c ；再证e 2x <1+x1-x(0<x <1)即证(x +1)e -x >(1-x )e x ，令g (x )=(x +1)e -x -(1-x )e x (0<x <1)，则g x =x e x -e -x >0，所以g x 在0,1 上单调递增，所以g x >g 0 =0，即e 2x <1+x1-x(0<x <1)，令x =0.1，则e 0.2<119，所以c <b ，从而a <c <b ．故选：C . 2.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知a =e 0.05，b =ln1.12+1，c = 1.1，则()A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b答案D解析【分析】利用导数可求得e x >x +1，ln x ≤x -1；分别代入x =0.1和x =1.1，整理可得a ,b ,c 的大小关系.【详解】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x >x +1，∴e 0.1>1.1，∴e 0.05> 1.1，即a >c ；令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，∴当x ∈0,1 时，g x >0；当x ∈1,+∞ 时，g x <0；∴g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，∴g x ≤g 1 =0，∴ln x ≤x -1(当且仅当x =1时取等号)，∴ln x ≤x -1，即ln x 2+1≤x (当且仅当x =1时取等号)，∴ln1.12+1< 1.1，即b <c ；综上所述：a >c >b .故选：D .3.(2022·全国·高三专题练习)已知a =1101,b =e -99100,c =ln 101100，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c答案B解析【解析】首先设f x =e x-x -1，利用导数得到e x>x +1x ≠0 ，从而得到b =e-99100>-99100+1=1100>1101=a ，设g x =ln x -x +1，利用导数得到ln x <x -1x ≠1 ，从而得到b >c 和c >a ，即可得到答案.【详解】设f x =e x -x -1，f x =e x -1，令f x =0，解得x =0.x ∈-∞,0 ，f x <0，f x 为减函数，x ∈0,+∞ ，f x >0，f x 为增函数.所以f x ≥f 0 =0，即e x -x -1≥0，当且仅当x =0时取等号.所以e x >x +1x ≠0 .故b =e -99100>-99100+1=1100>1101=a ，即b >a .设g x =ln x -x +1，g x =1x -1=1-xx，令g x =0，解得x =1.x ∈0,1 ，g x >0，g x 为增函数，x ∈1,+∞ ，g x <0，g x 为减函数.所以g x ≤g 1 =0，即ln x -x +1≤0，当且仅当x =1时取等号.所以ln x <x -1x ≠1 .所以c =ln 101100<101100-1=1100，又因为b >1100，所以b >c .8又因为-ln x >-x +1x ≠1 ，所以c =ln 101100=-ln 100101>-100101+1=1101=a ，即c >a ，综上b >c >a .故选：B【题型六】对数切线构造【典例分析】6(2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测)已知a >12且2a =e a -12，b >13且3b =e b -13，c >14且4c =e c -14，则()A.ln a bc <ln b ac <ln cabB.ln a bc <ln c ab<ln bac C.ln c ab <ln b ac <ln a bc D.ln b ac <ln a bc <ln c ab答案A解析【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a 、b 、c 的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.【详解】由已知条件，对于2a =e a -12，两边同取对数，则有ln2+ln a =a -12，即a -ln a =12+ln2=12-ln 12，同理：b -ln b =13-ln 13；c -ln c =14-ln 14构造函数f x =x -ln x ，则f a =f 12 ，f b =f 13 ，f c =f 14 .对其求导得：f x =x -1xx >0∴当0<x <1时，f x <0，f x 单调递减；当x >1时，f x >0，f x 单调递增；又∵a >12，b >13，c >14∴1<a <b <c 再构造函数g x =x ln x ，对其求导得：g x =ln x +1x >0∴当0<x <1e 时，g x <0，g x 单调递减；当x >1e时，g x >0，g x 单调递增；∴g a <g b <g c 即：a ln a <b ln b <c ln c 又∵abc >0∴ln a bc <ln b ac <ln cab .故选：A .【提分秘籍】基本规律指数和对数放缩法基础图【变式演练】1.(2022·山西运城·高三期末(理))已知a ,b ,c ∈0,+∞ ，且e a -e -12=a +12，e b -e -13=b +13，e c -e -15=c +15，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.b <c <a答案C解析【分析】构造函数f x =e x -x ，利用导函数可得函数的单调性，又f a =f -12 ，f b =f -13，f c =9f -15，a ,b ,c >0，即得.【详解】由题可得e a -a =e-12+12，e b -b =e -13+13，e c -c =e -15+15.令f x =e x -x ，则f x =e x -1，令fx =0，得x =0，∴x ∈0,+∞ 时，f x >0，f x 在0,+∞ 上单调递增，x ∈-∞,0 时，f x <0，f x 在-∞,0 上单调递减，又f a =f -12，f b =f -13 ，f c =f -15 ，a ,b ,c >0，由-12<-13<-15，可知f -12 >f -13 >f -15 即f a >f b >f c ，∴c <b <a .故选：C .2.(2021·四川·双流中学高三阶段练习(理))已知a -4=ln a 4≠0,b -5=ln b 5≠0,c -6=ln c6≠0，则()A.c <b <aB.b <c <aC.a <b <cD.a <c <b答案A解析【分析】根据给定条件构造函数f (x )=x -ln x (x >0)，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.【详解】令函数f (x )=x -ln x (x >0)，则f (x )=1-1x =x -1x，则有f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且x 趋近于0和趋近于正无穷大时，f (x )值都趋近于正无穷大，由a -4=ln a4≠0得，a -ln a =4-ln4，即f (a )=f (4)，且a ≠4，显然0<a <1，若a ≥1，而f (x )在(1,+∞)上单调递增，由f (a )=f (4)必有a =4与a ≠4矛盾，因此得0<a <1，同理，由b -5=ln b5≠0得f (b )=f (5)，且b ≠5，并且有0<b <1，由c -6=ln c6≠0得f (c )=f (6)，且c ≠6，并且有0<c <1，显然有f (4)<f (5)<f (6)，于是得f (a )<f (b )<f (c )，又f (x )在(0,1)上单调递减，所以c <b <a .故选：A3.(2022·全国·高三专题练习)已知e ≈ 2.71828是自然对数的底数，设a =3-3e ,b =2-2e,c =e 2-1-ln2，则()A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b答案A解析【分析】首先设f x =x -xe ，利用导数判断函数的单调性，比较a ,b 的大小，设利用导数判断e x ≥x +1，放缩c >2-ln2，再设函数g x =xe -ln x ，利用导数判断单调性，得g 2 >0，再比较b ,c 的大小，即可得到结果.【详解】设f x =x -x e ，f x =12x-1e ，10当0≤x <e 24时，f x >0，函数单调递增，当x >e 24时，f x <0，函数单调递减，a =f 3 ,b =f 2 ，e 24<2<3时，f 3 <f 2 ，即a <b ，设y =e x -x -1，y =e x -1，-∞,0 时，y <0，函数单调递减，0,+∞ 时，y >0，函数单调递增，所以当x =0时，函数取得最小值，f 0 =0，即e x ≥x +1恒成立，即e2-1>2，令g x =x e -ln x ，g x =1e -1x，x ∈0,e 时，g x <0，g x 单调递减，x ∈e ,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，x =e 时，函数取得最小值g e =0，即g 2 >0，得：2e >ln2，那么2-2e<2-ln2，即e 2-1-ln2>2-ln2>2-2e，即b <c ，综上可知a <b <c 故选：A 【题型七】反比例构造:ln x <2(x -1)x +1型【典例分析】7(2022·江苏·金陵中学二模)设a =e 1.1-27，b = 1.4-1，c =2ln1.1，则()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b答案A解析【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，a 利用基本不等式判断b 的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出c 的范围，进而得出结果.【详解】由e 3<28，得e 3<28，即e 32<27，所以e 1.1<e 1.5=e 32，所以e 1.1<27，则e 1.1-27<0，即a <0；由 1.4-1= 1.41.2×1.2-1<1.41.2+1.22-1<0.184，即b <0.184；设f (x )=ln x -2(x -1)x +1(x >0)，则f(x )=1x -4(x +1)2=(x -1)2x (x +1)2≥0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f (1)=0，所以当x ∈(1,+∞)时f (x )>0，即ln x >2(x -1)x +1，当x ∈(0,1)时f (x )<0，即ln x <2(x -1)x +1，又1.1>1，则ln1.1>21.1-11.1+1≈0.095，所以c =2ln1.1>0.19，即c >0.19，综上，a <b <c .故选：A【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)若a =e 0.2，b = 1.2，c =ln3.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >b >a答案B解析【分析】构造函数f x =e x -x -1x >0 ，利用导数可得a =e 0.2>1.2>b ，进而可得e 1.2>3.2，可得a >c ，再利用函数g x =ln x -2x -1x +1，可得ln3.2>1.1，即得.【详解】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴a =e 0.2>0.2+1=1.2> 1.2=b ，a =e 0.2>1.2=ln e 1.2，c =ln3.2，∵e 1.2 5=e 6> 2.7 6≈387.4,3.2 5≈335.5，∴e 1.2>3.2，故a >c ，设g x =ln x-2x-1x+1，则g x =1x-2x+1-2xx+12=x-12x x+12≥0，所以函数在0,+∞上单调递增，由g1 =0，所以x>1时，g x >0，即ln x>2x-1x+1，∴ln3.2=ln2+ln1.6>22-12+1+21.6-11.6+1=1539>1550=1.1，又1<1.2<1.21,1<b= 1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.故选：B.2.(2022·江西·模拟预测(理))设a=4(2-ln4)e2，b=1e，c=ln44，则a，b，c的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c 答案A解析【分析】根据a、b、c的结构，构造函数f x =ln xx，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.【详解】因为a=4(2-ln4)e2=ln e24e24，b=1e=ln ee，c=ln44构造函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，a=fe24，b=f(e)，c=f4 ，f(x)在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减.则有b=f(e)最大，即a<b，c<b.若t=ln x x有两个解，则1<x1<e<x2,t∈0,1e，所以ln x1=tx1,ln x2=tx2,所以ln x1-ln x2=tx1-tx2,ln x1+ln x2=tx1+tx2,即t=ln x2-ln x1x2-x1,ln x1x2=t x1+x2,令g x =ln x-2x-1x+1x>1，则g x =x-12x x+1>0，故g x 在1,+∞上单增,所以g x >g1 =0，即在1,+∞上，ln x>2x-1x+1.若x=x2x1，则有lnx2x1>2x2x1-1x2x1+1，即ln x2-ln x1x2-x1>2x2+x1.故t>2tln x1x2，所以x1x2>e2.当x2=4时，有e24<x1<e，故fe24<f x1 =f4所以a<c.综上所述：a<c<b.故选：A【题型八】“零点”构造法【典例分析】8(2022·广东广州·高三开学考试)设a=ln1.1，b=e0.1-1，c=tan0.1，d=0.4π，则()A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b 答案B解析【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑a x =ln x+1，b x =e x-1，c x =tan x，d x =4πx在x=0.1时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可.【详解】设a x =ln x+1，b x =e x-1，c x =tan x，d x =4πx，易得a0 =b0 =c0 =d0 .设y=d x -b x =4πx-e x+1，则令y =4π-e x=0有x=ln4π，故y=d x -b x 在-∞,ln4π上单调递增.①因为4π10>43.210=54 10=2516 5>2416 5=32 5>e，即4π 10>e，故10ln4π>1，即ln4π>0.1，故d0.1-1112b 0.1 >d 0 -b 0 =0，即d >b .②设y =b x -c x =e x-1-tan x ，则y=e x-1cos 2x =e x cos 2x -1cos 2x，设f x =e x cos 2x -1，则f x =e x cos 2x -2sin x =e x -sin 2x -2sin x +1 .设g x =x -sin x ，则g x =1-cos x ≥0，故g x =x -sin x 为增函数，故g x ≥g 0 =0，即x ≥sin x .故f x ≥e x -x 2-2x +1 =e x -x +1 2+2 ，当x ∈0,0.1 时f x >0，f x =e x cos 2x -1为增函数，故f x ≥e 0cos 20-1=0，故当x ∈0,0.1 时y =b x -c x 为增函数，故b 0.1 -c 0.1 >b 0 -c 0 =0，故b >c .③设y =c x -a x =tan x -ln x +1 ，y =1cos 2x -1x +1=x +sin 2xx +1cos 2x ，易得当x ∈0,0.1 时y >0，故c 0.1 -a 0.1 >c 0 -a 0 =0，即c >a .综上d >b >c >a 故选：B【变式演练】1.(2020·北海市北海中学高三)已知x 1=ln 12，x 2=e -12，x 3满足e -x 3=ln x 3，则下列各选项正确的是A.x 1<x 3<x 2B.x 1<x 2<x 3C.x 2<x 1<x 3D.x 3<x 1<x 2答案B解析【详解】因为函数y =ln x 在0,+∞ 上单调递增，所以x 1=ln 12<ln1=0；0<x 2=e -12=1e12=1e=e e <1；因为x 3满足e -x3=ln x 3，即x 3是方程1ex-ln x =0的实数根，所以x 3是函数f x=1ex -ln x 的零点，函数f (x )在定义域内是减函数，因为f 1 =1e ，f e =1ee-1<0，所以函数有唯一零点，即x 3∈1,e .所以x 1<x 2<x 3.“跨界”构造：切、弦、指、对构造【典例分析】9(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则()A.c >a >bB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c答案B解析【分析】观察a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较a ,b ,c 的大小.【详解】令f (x )=e x-1-tan x =cos x e x -cos x -sin x cos x ，0<x <π4，令g (x )=cos x e x -cos x -sin x ，g (x )=(-sin x +cos x )e x +sin x -cos x =(e x -1)⋅(cos x -sin x )，当0<x <π4时，g (x )>0，g (x )单调递增，又g (0)=1-1=0，所以g (x )>0，又cos x >0，所以f (x )>0，在0,π4成立，所以f (0.2)>0即a >c ，令h (x )=ln (x +1)-x ，h (x )=1x +1-1=-x x +1，h (x )在x ∈0,π2为减函数，所以h (x )<h (0)=0，即ln (x +1)<x ，令m (x )=x -tan x ，m (x )=1-1cos 2x，m (x )在x ∈0,π2 为减函数，所以m (x )<m (0)=0，即x <tan x ，所以ln (x +1)<x <tan x ，x ∈0,π2成立，令x =0.2，则上式变为ln (0.2+1)<0.2<tan0.2，所以b <0.2<c 所以b <c ，所以b <c <a .13故答案为：B .【提分秘籍】基本规律比较难，需要结合数据寻找合适的构造函数。
巧用换元法构造导数定义解一类压轴题
巧用换元法构造导数定义解一类压轴题纪定春１㊀蒋红珠２(１.四川师范大学数学科学学院㊀６１００６８ꎻ２.广东省华南师范大学数学科学学院㊀５１０６３１)摘㊀要:导数是高中数学的核心概念之一ꎬ在高考数学中具有重要的应用价值.巧用换元法构造导数的定义ꎬ从求解参数值㊁参数范围㊁不等式恒成立等角度ꎬ对近年高考数学函数压轴题中的求 不定式 极限试题进行解析和评注.关键词:高考数学ꎻ压轴题ꎻ换元法ꎻ导数定义中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００３８－０３收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:纪定春(１９９５－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ从事数学教学研究.蒋红珠(１９９６－)ꎬ女ꎬ四川省内江人ꎬ研究生ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀一㊁导数与不定式极限简介高考数学注重对基础知识㊁基本概念及数学思想方法的考查.导数的定义是高中数学中重要的概念ꎬ是高考数学考查的重点ꎬ以导数的定义命题历来受到高考数学命题者的青睐.目前ꎬ大部分高中数学教师并不重视对数学概念的教学ꎬ正如章建跃先生所讲: 当下的概念课教学多是一种走 形式化 的过程ꎬ以解题教学代替概念教学的现象比较普遍. 这种以解题教学培养出来的学生ꎬ在考场上碰到用概念或定义来解决的试题将感到很困难.因此ꎬ高中数学教学要注重数学概念的教学.导数的定义是解决高考数学函数压轴题中 不定式 极限的好方法ꎬ接下来将对导数的定义和不定式极限作简单的介绍.导数的定义简介㊀设函数ｙ＝ｆ(ｘ)在ｘ＝ｘ０处的瞬时变化率为ｌｉｍΔｘң０ΔｙΔｘ＝ｌｉｍΔｘң０ｆ(ｘ０＋Δｘ)－ｆ(ｘ０)Δｘ.则称它是函数ｙ＝ｆ(ｘ)在ｘ＝ｘ０处的导数ꎬ记作ｆᶄ(ｘ０)或ｙᶄ｜ｘ＝ｘꎬ即ｆᶄ(ｘ０)＝ｌｉｍΔｘң０ΔｙΔｘ＝ｌｉｍΔｘң０ｆ(ｘ０＋Δｘ)－ｆ(ｘ０)Δｘ.这就是函数定义在点ｘ＝ｘ０处的导数.不定式极限简介㊀若函数ｆ(ｘ)和ｇ(ｘ)满足:(１)ｌｉｍｘңｘｆ(ｘ)＝ｌｉｍｘңｘｇ(ｘ)＝０ꎻ(２)ｌｉｍｘңｘｆ(ｘ)＝ｌｉｍｘңｘｇ(ｘ)＝ɕ.求满足(１)或(２)中ｌｉｍｘңｘｆ(ｘ)ｇ(ｘ)的极限ꎬ或可化为上述极限的ꎬ简称不定式极限.注意㊀可以将ｘңｘ０换成ｘңｘ＋０㊁ｘңｘ－０㊁ｘңʃɕ㊁ｘңɕꎬ都是不定式极限ꎬ此处不再给出.㊀㊀二㊁巧用换元法构造导数定义解高考压轴题１.在求参数值中的应用例１㊀(２０１７年全国高考数学卷Ⅲ第２１题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ－１－ａｌｎｘ.(１)若ｆ(ｘ)ȡ０ꎬ求ａ的值ꎻ(２)略.解析㊀对问题(１)ꎬ要使ｆ(ｘ)ȡ０ꎬ等价于ｘ－１－ａｌｎｘȡ０.考虑分离参数ａꎬ显然需要分类讨论.当ｘ＝１时ꎬ有ｆ(ｘ)ȡ０ꎬ所以ａɪＲ.当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬ分离参数可得ａȡｘ－１ｌｎｘ.当ｘɪ(１ꎬ＋ɕ)时ꎬ分离参数可得ａɤｘ－１ｌｎｘ.所以有ａ＝ｌｉｍｘң１ｘ－１ｌｎｘ.该极限显然为一个 不定式 极限ꎬ考虑使用换元法ꎬ将该分式极限构造成导数的定义来求解.令ｌｎｘ＝ｙꎬ显然有ｘ＝ｅｙ.所以ａ＝ｌｉｍｘң１ｘ－１ｌｎｘ等价转化为求ｌｉｍｙң０ｅｙ－１ｙ的极限值.考虑构造函数ｇ(ｙ)＝ｅｙꎬ则ｇ(０)＝１.即ａ＝ｌｉｍｙң０ｅｙ－１ｙ＝ｌｉｍｙң０ｇ(ｙ)－ｇ(０)ｙ－０＝ｌｉｍｙң０ｇᶄ(ｙ)＝ｅｙ｜ｙ＝０＝１.㊀综上ꎬａ的值为１.８３评注㊀该试题巧用换元的思想ꎬ将所求极限的分母ｌｎｘ换成ｙꎬ将所求极限的分母构造出导数定义的结构形式ꎬ然后根据换元后的分母结构ꎬ选择函数ｇ(ｙ)＝ｅｙ作为求导函数ꎬ这样就将求 不定式 极限问题转化为求函数ｇ(ｙ)在ｙ＝０处的导数问题.２.在求参数取值范围中的应用例２㊀(２０１０全国高考数学新课标理科卷第２１题)设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｘ－ａｘ２.(１)若ａ＝０ꎬ求ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ(２)若当ｘȡ０时ｆ(ｘ)ȡ０ꎬ求ａ的取值范围.解析㊀问题(１)略.对于问题(２)ꎬ显然可以使用参数分离法ꎬ故需要对ｘ进行分类讨论.当ｘ＝０时ꎬ不等式显然成立ꎬ故ａɪＲ.当ｘ>０时ꎬ将参数ａ分离出来之后ꎬ可得ａɤｅｘ－１－ｘｘ２.令函数ｇ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｘｘ２ꎬ对ｇ(ｘ)求导ꎬ可得ｇᶄ(ｘ)＝ｘｅｘ－２ｅｘ＋ｘ＋２ｘ３.令ｈ(ｘ)＝ｘｅｘ－２ｅｘ＋ｘ＋２ꎬ可得ｈᶄ(ｘ)＝ｘｅｘ－ｅｘ＋１.再对ｈᶄ(ｘ)求导数ꎬ可得ｈᵡ(ｘ)＝ｘｅｘ.显然ꎬ当ｘ>０时ꎬｈᵡ(ｘ)ȡ０.所以ｈᶄ(ｘ)ȡｈᶄ(０)＝０ꎬｈ(ｘ)ȡｈ(０)＝０.故有ｇᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则函数ｇ(ｘ)在ｘ>０时单调递增.所以ａɤｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｌｉｍｘң０ｇ(ｘ)＝ｌｉｍｘң０ｅｘ－１－ｘｘ２.要求极限ｌｉｍｘң０ｅｘ－１－ｘｘ２ꎬ该极限显然为 不定式 极限ꎬ考虑用换元法ꎬ将分母通过换元变成导数定义的结构.令ｘ＝ｙꎬ其中ｙ>０.于是ｌｉｍｘң０ｅｘ－１－ｘｘ２＝ｌｉｍｙң０ｅｙ－１－ｙｙ－０.令函数Ｉ(ｙ)＝ｅｙ－１－ｙꎬ则Ｉ(０)＝０.所以ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｌｉｍｙң０Ｉ(ｙ)－Ｉ(０)ｙ－０＝ｌｉｍｙң０Ｉᶄ(ｙ)＝１２ｌｉｍｙң０ｅｙ－１ｙ.由于Ｉᶄ(ｙ)＝１２ ｅｙ－１ｙ不能直接求极限.又因为ｘ＝ｙꎬ可得Ｉᶄ(ｙ)＝１２ ｅｙ－１ｙ＝１２ ｅｘ－１ｘ.故有ｐ(ｘ)ｍｉｎ＝ｌｉｍｙң０Ｉᶄ(ｙ)＝１２ｌｉｍｘң０ｅｘ－１ｘ.又令Ｊ(ｘ)＝ｅｘꎬ则有Ｊ(０)＝１.所以１２ｌｉｍｘң０ｅｘ－１ｘ＝１２ｌｉｍｘң０Ｊ(ｘ)－Ｊ(０)ｘ－０＝１２ｌｉｍｘң０Ｊᶄ(ｘ)＝１２ｌｉｍｘң０ｅｘ＝１２.所以ａ的取值范围为(－ɕꎬ１２].评注㊀该试题两次巧用换元法ꎬ将不定式极限转化成可以求解的导数结构.通过第一次求导ꎬ将该极限的分母由平方变成了一次方ꎬ这和结构显然符合导数的定义.然后选取 Ｊ(ｘ)＝ｅｘ 作为函数ꎬ直接构造导函数的定义ꎬ将无法直接求极限的分式式 Ｉᶄ(ｙ) 转化为可求极限的整式结构 ｅｘ .这两次构造都充分的利用导数定义和换元的思想.３.在求不等式恒成立中的应用例３㊀(自编试题)若ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘꎬ对任意的ｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ不等式ｆ(ｘ)>ｘ－２ａｘ３恒成立ꎬ求ａ的取值范围.解析㊀要使不等式ｆ(ｘ)>ｘ－２ａｘ３恒成立ꎬ等价于对任意ｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ有不等式ａ>ｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３恒成立.令函数ｇ(ｘ)＝ｘ－ｓｉｎｘｘ３ꎬ可以利用导数来研究函数ｇ(ｘ)的单调性.得出ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬ有ｇᶄ(ｘ)<０.函数ｇ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬπ２)上是单调递减函数.故ａ>ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｌｉｍｘң０ｇ(ｘ)＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｘ３.该极限为 不定式 极限ꎬ分母为三次单项式ꎬ不能直接利用导数的定义ꎬ故考虑换元法ꎬ将分母换成导数定义的结构.令ｘ＝３ｕꎬ则有ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｘ３＝ｌｉｍｕң０３ｕ－ｓｉｎ３ｕｕ.设函数ｈ(ｕ)＝３ｕ－ｓｉｎ３ｕꎬ则有ｈ(０)＝０.故有ｌｉｍｕң０３ｕ－ｓｉｎ３ｕｕ＝ｌｉｍｕң０ｈ(ｕ)－ｈ(０)ｕ－０＝ｌｉｍｕң０ｈᶄ(ｕ)＝１３ｌｉｍｕң０１－ｃｏｓ３ｕ３ｕ２.又令ｖ＝３ｕ２ꎬ设Ｉ(ｕ)＝１－ｃｏｓｖꎬ则有Ｉ(０)＝０.故ｌｉｍｕң０ｈᶄ(ｕ)＝１３ｌｉｍｕң０１－ｃｏｓ３ｕ３ｕ２＝１３ｌｉｍｖң０Ｉ(ｖ)－Ｉ(０)ｖ－０ꎬ可得ｌｉｍｕң０ｈᶄ(ｕ)＝１３ｌｉｍｖң０ｌᶄ(ｖ)＝１６ｌｉｍｖң０ｓｉｎｖｖ.再令ｗ＝ｖꎬ则有ｌｉｍｕң０ｈᶄ(ｕ)＝１６ｌｉｍｖң０ｓｉｎｖｖ＝１６ｌｉｍｗң０ｓｉｎｗｗ.㊀９３设Ｊ(ｗ)＝ｓｉｎｗꎬ则有Ｊ(０)＝０.故ｌｉｍｕң０ｈᶄ(ｕ)＝１６ｌｉｍｗң０ｓｉｎｗｗ＝１６ｌｉｍｗң０Ｊ(ｗ)－Ｊ(０)ｗ－０＝１６Ｊᶄ(０)＝１６.综上ꎬ当ａȡ２１２时ꎬ对于任意的ｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ有不等式ｆ(ｘ)>ｘ－２ａｘ３恒成立.评注㊀该试题多次使用换元法ꎬ将极限的分母换成一次单项式ꎬ这样做是为了构造出导数定义的分母结构ꎬ然后逐次利用导数的定义ꎬ将分母的三次式逐渐降阶ꎬ把不定式极限问题转化成一个整式的极限问题.可见ꎬ在该题中用换元法构造导数的定义具有 降次 的作用ꎬ最终将所求极限的分母变成０次项.通过对上述试题的解析ꎬ可见导数的定义是解决高考函数压轴题的强大工具.当遇到不定式求极限问题ꎬ可以考虑使用换元法ꎬ将所求极限的分母换成导数定义的结构ꎬ然后根据分母的结构来构造函数ꎬ分子函数的选择要与分母的结构相匹配ꎬ要让构造出来的结构和导数的定义相吻合.对于上述例题ꎬ很多考生很难想到使用换元的方法ꎬ将求 不定式 的问题转化成用导数的定义来解决.这表明ꎬ绝大部分高考考生对用导数的定义来解决 不定式 极限问题并不熟悉ꎬ因此ꎬ高中数学教学要强化对数学核心概念的学习ꎬ而不是走过场式的 形式化 学习.㊀㊀参考文献:[１]章建跃ꎬ陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[Ｊ].数学通报ꎬ２０１０ꎬ４９(１０):２５－２９ꎬ３３.[责任编辑:李㊀璟]关于运用程序性知识解题的几点注记李㊀伟(辽宁省鞍山市第三中学㊀１１４０００)摘㊀要:由于程序性知识具有其特定的形成过程ꎬ文中就其知识结构特点进行研究探究ꎬ给出了程序性知识分解方法ꎬ给出了运用程序性知识解题的特点和规律.关键词:程序性知识ꎻ顺序模块知识中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００４０－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:李伟ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀教育心理学[２]将知识分为陈述性知识和程序性知识.程序性知识也叫操作性知识ꎬ直观理解这类知识主要用来回答 怎么做 的问题ꎬ特点是知识形成过程的程式化ꎬ即通过 顺序模块 和 顺序模块的组装 来形成.基于这些直观的理解和认识ꎬ试想探索的问题是ꎬ在涉及程序性知识问题解决时ꎬ可否呈现一些规律性的方法和手段ꎬ下面以导数部分中 曲线的切线方程 知识点为例加以说明阐述.导数部分的 曲线的切点方程 是典型的程序性知识ꎬ具体形式为:曲线ｙ＝ｆ(ｘ)上一点Ｍ(ｘ０ꎬｆ(ｘ０))处的切线方程ｙ－ｆ(ｘ０)＝ｆᶄ(ｘ０)(ｘ－ｘ０).对于这个知识点从知识形成过程可以分解为由以下几个 顺序模块知识 构成:顺序模块１.切点在ｙ＝ｆ(ｘ)的曲线上ꎬ即切点坐标满足曲线方程.顺序模块２.切线斜率ｋ＝ｆᶄ(ｘ０).顺序模块３.点斜式写切线方程.也就是说ꎬ关于 曲线切线方程 知识点可以分解为 三大顺序模块 ꎬ在求切线方程时ꎬ将每个模块任务完成后ꎬ按顺序 组装 起来即可.上述对程序性知识理解的思考在解题中具有何种程度的指导意义ꎬ请看下面的示例.示例１㊀(２０１９年全国理科数学３卷第６题)㊀已知曲线ｙ＝ａｅｘ＋ｘｌｎｘ在点１ꎬａｅ()处的切线方程为ｙ＝２ｘ＋ｂꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ＝ｅꎬｂ＝－１㊀㊀㊀Ｂ.ａ＝ｅꎬｂ＝１Ｃ.ａ＝ｅ－１ꎬｂ＝１Ｄ.ａ＝ｅ－１ꎬｂ＝－１分析㊀这是一道给出切线方程㊁切点㊁曲线方程ꎬ但含有参数的问题.对此ꎬ直接借助于上述给出的切线方程的 三大顺序模块 列出对应方程ꎬ即可求解.略解㊀由切线斜率等于切点导数值ꎬ得ａｅ＋１＝２㊀①ꎻ由切点在曲线上ꎬ得ａｅ＝ａｅ＋０(这是恒成立的等式ꎬ０４。
用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数
用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数导数的基本运算法则包括求和、差、常数、乘积、商的法则以及复合函数的法则。
我们可以利用这些法则巧妙地构造出导函数的原函数。
首先，我们考虑求和和差的法则。
假设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的导函数分别为$f'(x)$和$g'(x)$。
根据求和法则，如果我们定义一个新函数$h(x)=f(x)+g(x)$，那么$h'(x)=f'(x)+g'(x)$。
类似地，根据差的法则，如果我们定义一个新函数$j(x)=f(x)-g(x)$，那么$j'(x)=f'(x)-g'(x)$。
举个例子来说明这个方法。
假设我们想要构造出导函数为$2x+3$的原函数。
我们可以将$2x$和$3$分别看做函数$f(x)=2x$和$g(x)=3$，它们的导函数分别为$f'(x)=2$和$g'(x)=0$。
然后，我们可以利用求和法则，定义一个新函数$h(x)=f(x)+g(x)=2x+3$。
根据求和法则，$h'(x)=f'(x)+g'(x)=2+0=2$。
因此，函数$h(x)=x^2+3x+C$是我们要找的导函数为$2x+3$的原函数。
接下来，我们考虑常数的法则。
假设有一个函数$f(x)$，它的导函数为$f'(x)$。
根据常数的法则，如果我们定义一个新函数$k(x) = c \cdot f(x)$，其中$c$为一个常数，那么$k'(x) = c \cdot f'(x)$。
举个例子来说明这个方法。
假设我们想要构造出导函数为$4x$的原函数。
我们可以将$4$看做一个常数$c$，函数$f(x) = x$，它的导函数为$f'(x) = 1$。
然后，我们可以利用常数的法则，定义一个新函数$k(x) = 4 \cdot f(x) = 4x$。
根据常数的法则，$k'(x) = 4 \cdot f'(x) = 4 \cdot 1 = 4$。
47道巧构导数题
1.已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，且当0)(')(),0,(<+-∞∈x xf x f x 成立，若)41(log )41(log ),2(ln )2(ln ),2(221212.02.0f c f b f a ===，则（ ）c b a A >>. c a b B >>. b a c C >>. b c a D >>.2：设函数)(x f 的导数为)('x f ，对任意R x ∈都有)()('x f x f >成立，则（ ）)3(ln 2)2(ln 3.f f A > )3(ln 2)2(ln 3.f f B =)3(ln 2)2(ln 3.f f C < )3(ln 2)2(ln 3.f f D 与的大小不确定3.设函数)(x f 的导数为)('x f ，对任意R x ∈都有)()('2x f x f >成立，则（ ）)3ln 2(2)2ln 2(3.f f A > )3ln 2(2)2ln 2(3.f f B =)3ln 2(2)2ln 2(3.f f C < )3(ln 2)2(ln 3.f f D 与的大小不确定解析：构造函数x e x f x g 21)()(=，则02)()('2)()(21)(')('212212121>-=-=x x x x e x f x f e e x f e x f x g ，所有函数)(x g 在R 上单调递增，所以)3ln 2()2ln 2(g g <，即3ln 2ln )3ln 2()2ln 2(ef e f <，即3)3ln 2(2)2ln 2(f f <，所以)3ln 2(2)2ln 2(3f f <. 4.已知定义在R 上的奇函数)(x f 的图像为一条连续不断的曲线，a f x f x f =-=+)1(),1()1(，且)1,0(∈∀x ，都有)()('x f x f <，则)(x f 在区间]2016,2015[的最大值为 .5.设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有)(2)('2x f x x xf +>，则不等式0)2()2014()2014(42>-+-+f x x f 的解集为 .6.设函数)(x f 是定义在R 上的可导函数，其导函数为)('x f ，当0<x 时，有2)(2)('x x f x xf >+，则不等式0)2(4)2014()2014(2<--++f x f x 的解集为 .7.设函数)(x f 是定义在R 上的可导函数，其导函数为)('x f ，当0<x 时，有2)(2)('x x f x xf >+，则不等式0)2(4)6201()6201(2<--++f x f x 的解集为 . 8.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，其导函数为)('x f ，若对任意的实数x ，都有2)(2)('<+x f x xf 恒成立，则不等式1)1()(22-<-x f x f x 的解集为 .9.定义在R 上的函数)(x f 满足2)()(x x f x f =+-，且在(]0,∞-上单调递增，若a a f a f 22)()2(-≥--，则实数a 的取值范围为 .10.定义在R 上的函数)(x f 存在导函数)('x f ，满足对任意的实数x ，2)()(x x f x f =+-，且当x x f x >+∞∈)('),,0(，若a a f a f -≥--21)()1(，则实数a 的取值范围为 .11.定义在R 上的函数)(x f 存在导函数)('x f ，满足对任意的实数x ，2)()(x x f x f =+-，且当x x f x <+∞∈)('),,0(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为 .12.定义在R 上的函数)(x f 存在导函数)('x f ，满足对任意的实数x ，2)()(x x f x f =+-，且当x x f x <+∞∈)('),,0(，若0618)()6(≥+---m m f m f ，则实数m 的取值范围为 .13.定义在R 上的函数)(x f 存在导函数)('x f ，满足对任意的实数x ，22)()(x x f x f =+-，且当x x f x 21)('],0,(<+-∞∈，若22)()2(+≤--+m m f m f ，则实数m 的取值范围为 .14.定义在R 上的函数)(x f 存在导函数)('x f ，满足对任意的实数x ，)(3)(2x f x x f --=，且当x x f x 321)('),0,(<+-∞∈，若2729)()3(+≤--+m m f m f ，则实数m 的取值范围为 . 15.定义在R 上的函数)(x f 存在导函数)('x f ，在),0(+∞上x x f 2sin )('<，且对任意的实数x ，有)(2sin )(2x f x x f --=，则以下大小关系一定正确的是（ ）评注：构造h(x)=f(x)-sin ²x 更好一些。
40道巧构导数题(1)
40道巧构导数题一道巧构导数来比较大小的题目之解答与总结类题演练1：（2013年辽宁大连的二模题，答案D）注意到：f′(x)ln(x)+f(x)/x=[ln(x)f(x)]′=x,ln(x)f(x)=x²/2+c，令x=1，得到c=-1/2，再补充定义f(1)=1，则f(x)连续，函数图像如下：类题演练2：类题演练3：答案C：变式演练：变式训练：类题演练4：变式训练1：F(x)=x²f(x)或令f(x)=x²，选择B，变式训练2：变式训练3：解：令F(x)=x² [f(x)-1]，或令f(x)=0，选择B，类题演练5：变式训练1：数学小品文之129:德阳市2015届高三“二诊”考试数学（理）压轴选择题解答 (2015-04-01 10:58:55)变式训练2：变式训练3：变式训练4：变式训练5：变式训练6：变式训练7：评注：构造h(x)=f(x)-sin²x更好一些。
此时，h(x)为奇函数，且h′(x)=f′(x)-2sinxcosx<0,以下略变式训练8：变式训练9：2014年河北唐山一模理科16题变式训练10：类题演练6：数学小品文之116:德州市2015届高三一模理科压轴选择题解答作者：刘才华类题演练7：另：若用特殊化法令f(x)=1,则可秒杀. 本题选B.类题演练8：由导数构造函数作者：熊昌进类题演练9：类题演练10：2013年高考数学辽宁卷理科第12题大学解法作者：杜万根类题演练11：一道巧妙的导数题作者：正中张老师变式训练1：又见构造函数深圳数学于老师的博客变式训练：宋丽艳：成都市2014级高中毕业班摸底测试数学试题理科第16题详解张云华：成都市2014级高中毕业班摸底测试数学试题理科第16题详解类题演练12：一个构造函数选择题：来自QQ群(2015-03-30 17:27:24) 作者：正中张老师类题演练13：类题演练14：变式训练：类题演练15：2015年福建理数第10题：类题演练16：类题演练17：上面的条件似乎要改为：xf′(x)>2f′(x)类题演练18：故选择B.类题演练19：令F(x)=(x-1)f(x)A x²>x-1 不等号方向错了C 用特值2B F(x)>F(x+1)，B项当x=1排除掉，D F(1)=0 x>1时 F（x）<0； x<1时 F（x）>0，F(x)递减故选D变式训练1：熊昌进由导数构造函数一例作者：熊昌进变式训练2：类题演练20：构造函数解衡水中学高三调研考试题(2016-01-25 14:53)变式训练：类题演练21：类题演练22：类题演练23：巧妙构造函数破解极值压轴题(2016-03-11 11:43:15)类题演练24：类题演练25：。
导数同构136题(含解析)
精挑同构试题1.已知函数)0()(≠=a Inx ae x f x ，若)1,0(∈∀x ，xIna x x f +<2)(，求a 的取值范围.解析：由xx x xaeae In x Inx x Inx ae Ina x Inx ae xIna x )(2<⇒>+⇒>+对)1,0(∈∀x 恒成立。
构造)1,0(,)(∈=x xInxx h ，)(x h 单增，所以：max ][x x xe x a e x a ae x >⇒>⇒<，因为ea x 1)1,0(≥∴∈2.已知aInx e x f x-=)(，若对任意),0(+∞∈x ，不等式aIna x f >)(恒成立，求正实数a 的取值范围.解析：InaInx eaIna aInx e Inax x>-⇒>--Inx e Inx x Inx x e Inx Ina x +=+>-+⇒-构造x e x g x +=)(，单增，所以：1)1(][min =--=-<⇒-<⇒>-x x Inx x Ina Inx x Ina Inx Ina x 3.设实数0λ>，若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式0≥-λλInxe x恒成立，则λ的取值范围是（）．解：Inx x xInxe xInx xe Inxe=≥⇒≥-λλλλ0，即Inx x ≥λ恒成立，max ln 1x x eλ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，4.已知xaInx e x≥-1恒成立，则实数a 的最大值为（）。
答案：15.设实数0m >，若对任意的x e ≥，若不等式2ln 0mx x x me -≥恒成立，则m 的最大值为（）．解：22ln ln 0ln ln ln ln mm m m x xxx x m m m x x me x x me x x e e x e x x x x-≥⇒≥⇒≥⇒≥⇒≤，得()min ln m x x e ≤=（注意定义域）.6.对任意的(0,)x ∈+∞，不等式32ln 0mx x x me -≥恒成立，求实数m 的最大值.解：由题意得2322ln 22ln ln ln m m m x xxx m m x x me x x e e x e x x≥⇒≥⇒≥，即2ln m x x ≥，()2min 2ln m x x e⇒≤⋅=-.7.已知函数()()ln 133f x m x x =⋅+--，若不等式()3xf x mx e >-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（）．解：由题意得：()()()ln 133331ln 1x xm x x mx e e x mx m x +-->-⇒-->-+，右边凑1，得()()()()()()()ln 1311ln 1131ln 11x x xe x m x x e x m ex +-->+-+-⇒-->-+-得3m ≤.（说明：定义域大于零，所以()ln 1x x >+，3m =成立）.8.对0>∀x ，不等式0ln ln 22≥+-a x ae x 恒成立，则实数a 的最小值为_____.．解：由题意得：ax Ina x ae a x aex x=-≥⇒≥+-ln ln 20ln ln 222ee x a a x In x e a x In a x In a x xex a xIn x21)(22min 22=≥⇒≥⇒=≥⇒9.若a Inx x xx +-≥+∞∈),,0(恒成立，则a 的最大值（C ）A.1B.e1 C.0D.e-解析：01111≤⇒++--≥⇒+-≥----a a Inx x e a Inx x e Inx x Inx x 10.已知关于x 的不等式13≥--aInx x xex 对于任意的),1(+∞∈x 恒成立，则实数a 的取值范围（B ）A.]1,e -∞-（B.]3,-∞-（C.]2,∞-（ D.]2,2e -∞-（解析：113113-3-3++≥+-=++≥⇒≥--+aInx x Inx x Inx x e aInx x xe Inx x x.31,3-≤∴>≥-∴a x aInx Inx 11.已知不等式ααx e Inx x x ≥++1，对),1(+∞∈x 恒成立，则实数a 的最小值为（）A.e- B.2e -C.e- D.e2-解析：)(ααααInxx x eInx x Inx e x x e Inx x ----+-=+-≥+⇒≥++令)()(1)()(αInx g x g e x g ex x g x x-≥⇒-='⇒+=--e x InxxInx x -≥⇒>-≥⇒-≥⇒ααα)1(,12.对任意的(0,)x ∈+∞，恒有()12ln axa e x x x ⎛⎫+≥+⋅ ⎪⎝⎭，求实数a 的最小值．解：由题意得：22222ln 2ln ln ln ax ax e ax x x x x x x ⋅+≥+=+即22ln 2ln ln ax x ax e ax x e x ⋅+≥⋅+，得2max 2ln 2ln x ax x a x e⎛⎫≥⇒≥= ⎪⎝⎭.13.已知0x 0x A．2In x ≥ B．ex 1<C．002ln 0x x +=D．002ln 0x e x +=解析：222ln 0xx e x +=xIn xe xIn x In x Inx x xe1211112==-=⇒0212=+⇒=⇒ Inx x xInx 14.已知函数ln 1f x x x =-+，1()()对0,x ∀∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．解析：由题意得：()1ln 1xe x k x x --≥-+⎡⎤⎣⎦右边式子凑1得()11ln 11xe x k x x --≥+-+-⎡⎤⎣⎦即()ln(1)1ln 11x x e x k e x +⎡⎤--≥-+-⎣⎦，因为()ln 1x x ≥+当且仅当0x =等号成立，所以满足1k ≤即可当且仅当11x e x --=，即0x =等号成立，所以1k ≤.15.已知函数()()()1ln 1x f x x e g x k x k x +=⋅=⋅++，．设()()()h x f x g x =-，其中0k >，若()0h x ≥恒成立，求k 的取值范围.解析：由题意得：()()1ln 1ln 1ln 1x x x x ek x x e k x x +++⋅>++⇒>++因为()ln 1ln 1x x ek x x ++≥++，当且仅当1x =时等号成立因为x e ex ≥，所以等价于证:()()ln 1ln 1e x x k x x ++≥++当且仅当1x =时等号成立，所以e k ≤.16.已知函数()f x xlnx =，()f x '为()f x 的导函数．证明：2()2x f x e -<解析：由题意得：2ln 2x x x e -<，因为ln xx e≤（当且仅当x e =时等号成立）等价于证明22122x x x x x e e e e --⋅≤⇒≤，构造()2xx g x e=则()()2xx x g x e -'=，易知()()1max 22g x g e-==17.若函数1)()(---=Inx a e x x f 无零点，则整数a 的最大值是（）A.3B.2C.1D.0解析：01)()(2>---=Inx a ex x f x)2(11212>-=---++≥---⇒+x a Inx ax Inx x Inx ax e Inx x12=∴<⇒a a 18.已知ln f x x ax a =+-．若-=-的最小值为M ，求证1M ≤．解析：构造()()1xf x e x =-+，则()0f x >则()()11ln ln 1x f x f x e x x x --+=-+--，()()()()()1ln 11ln 11x g x e x a x f x f x a x -=--+=-+--+()()()min1ln 0f x f x -+=，()11x g x e a x-'=--()1g a '=-，接下来分类讨论：1.当0a =，则()min 1g x =，成立；2.当0a >，则()10g a '=-<，得()()min 11g x g ≤=，成立；3.当0a <，则()10g a '=->，得()()min 11g x g ≤=；19.已知函数=+-++．（为常数）若2b =，若对任意的1,x ∈+∞，0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.解析：由题意得：()()1ln 2201x a x e a x a x -+-++≥≥即()11ln 22ln 22x x a x a x a e a x ax x a e ---++≥-⇒--+≥-，()()1ln 12x a x x e x -⇒-+≥-+右边凑1，得()()1ln 1211x a x x x e --+≥--+⇒()()()()ln ln ln 1ln 1121x x x x a ee ee ---+≥-+，构造()ln 1x x g x e e =-+，则()0g x <，即()()ln 21a g x g x ⋅≥⋅-当且仅当1x =时取等号，所以只需满足2a ≤.20.若1ln e ax xa x-≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】1ln e 1ln e e ln 1ax ax ax xa x ax x x x ax x---+≤+⇔+≤+⇔≥-+而()ln e e ln 1x ax ax x x ax --=≥-+，故a ∈R21.已知函数),0(,)(+∞∈-=x ax xx f ，当21x x >时，不等式1221x x <恒成立，则实数a 的取值范围为(D )A．(-∞，]e B．(,)e -∞C．(,)2e-∞D．(-∞，]2e22.设函数)()(Inx x a xe x f x +-=，若0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围（）A.[]e ，0 B.[]10， C.(]e ,∞- D.[)+∞,e解析：同构思想：],0[)(e a ex e Inx x a e x Inx x ∈∴≥+≥+ 23.（2020成都二诊）已知函数x e x x g xxx f -⋅==)(ln )(，，若存在R x x ∈∞+∈21)0(，，，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则ke x x ⋅212（的最大值为（）A.2e B.eC.24e D.21e 解析：0ln 0ln )(ln )(22211211<==⇔<==⇒⋅==-k eIne x x k e x x x e x x g x x x f x x x x，构造xInxx F =)(，做出图像：因为0<k 容易知道：10,1021<<<<x e x 又因为)(x F 在)1,0(单增所以：2max 222121214][)(2ee k e k e x x Inx x e x k k k x =⇒=⇒=⇒=24.（重庆渝中区模拟）若关于x 的不等式)0(1ln <≥++a x ex a x a x 对任意的()∞+∈，1x 恒成立，则实数a 的最小值是（）.解析1：a Inx a x Inx e aInx x e x a-=-≥+---)(，令x e x x g -+=)(，因为单增所以：e a Inxxa Inx x a-≥⇒≤-⇒-≥min ][。
巧构导数题40道
类题演练1：（2013年辽宁大连的二模题，答案D）注意到：f′(x)ln(x)+f(x)/x=[ln(x)f(x)]′=x,ln(x)f(x)=x²/2+c，令x=1，得到c=-1/2，再补充定义f(1)=1，则f(x)连续，函数图像如下：类题演练2：类题演练3：答案C：变式演练：变式训练：类题演练4：变式训练1：F(x)=x²f(x)或令f(x)=x²，选择B，变式训练2：变式训练3：解：令F(x)=x² [f(x)-1]，或令f(x)=0，选择B，类题演练5：变式训练1：数学小品文之129:德阳市2015届高三“二诊”考试数学（理）压轴选择题解答 (2015-04-01 10:58:55)变式训练2：变式训练3：变式训练4：变式训练5：变式训练6：变式训练7：评注：构造h(x)=f(x)-sin²x更好一些。
此时，h(x)为奇函数，且h′(x)=f′(x)-2sinxcosx<0,以下略变式训练8：变式训练9：2014年河北唐山一模理科16题变式训练10：类题演练6：数学小品文之116:德州市2015届高三一模理科压轴选择题解答作者：刘才华类题演练7：另：若用特殊化法令f(x)=1,则可秒杀. 本题选B.类题演练8：由导数构造函数作者：熊昌进类题演练9：类题演练10：2013年高考数学辽宁卷理科第12题大学解法作者：杜万根类题演练11：一道巧妙的导数题作者：正中张老师变式训练1：又见构造函数深圳数学于老师的博客变式训练：宋丽艳：成都市2014级高中毕业班摸底测试数学试题理科第16题详解张云华：成都市2014级高中毕业班摸底测试数学试题理科第16题详解类题演练12：一个构造函数选择题：来自QQ群(2015-03-30 17:27:24) 作者：正中张老师类题演练13：类题演练14：变式训练：类题演练15：2015年福建理数第10题：类题演练16：类题演练17：上面的条件似乎要改为：xf′(x)>2f′(x)类题演练18：故选择B.类题演练19：令F(x)=(x-1)f(x)A x²>x-1 不等号方向错了C 用特值2B F(x)>F(x+1)，B项当x=1排除掉，D F(1)=0 x>1时 F（x）<0； x<1时 F（x）>0，F(x)递减故选D变式训练1：熊昌进由导数构造函数一例作者：熊昌进变式训练2：类题演练20：构造函数解衡水中学高三调研考试题(2016-01-25 14:53)变式训练：类题演练21：类题演练22：类题演练23：巧妙构造函数破解极值压轴题(2016-03-11 11:43:15)类题演练24：类题演练25：类题演练26：。
中学数学 导数 练习题
4. 讨论 f x ln x mx 的零点个数（考虑 g x
x
f
x ，令 t
3
x2
，
3
m
a ）；
x
2
5. 讨论 f x ln x mx2 的零点个数（令 t x2 ， 2m a ）；
6. 讨论 f x ax e x 的零点个数（令 ex t ）.
经典模型二： y ex 或 y ex
a
2
ex
，
2 x 12 2 x
所以，取 b 满足 b 0 且 b ln a 即可使得 f b 0 .（这就解释了 2016 年全国卷Ⅰ标准答案中找点的思路）
2
方法四：分析与构造。成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点.
【示例】证明：当 0 a 2 时， f x a x ln x 有两个零点.
（2）
f
x 有两个零点，必须满足
f
x min
0 ，即 a
0 ，且
f
x min
f
ln
1 a
1
1 a
ln
1 a
0.
构造函数 g x 1 x ln x ， x 0 . 易得 g ' x 1 1 0 ，所以 g x 1 x ln x 单调递减.
x
又因为
g
1
0 ，所以1
1 a
ln
，
f
x max
f
e
ln e 1 0 .
（3）当 0 a 1 时，2 个零点. e
f
1
a
0
（目测），
f
1 1 a
ln 1 1 a
a 1 a
1 1 a
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类题演练1：（2013年辽宁大连的二模题，答案D）
注意到：f′(x)ln(x)+f(x)/x=[ln(x)f(x)]′=x,ln(x)f(x)=x²/2+c，令x=1，得到c=-1/2，再补充定义f(1)=1，则f(x)连续，函数图像如下：
类题演练2：
类题演练3：
答案C：变式演练：
变式训练：
类题演练4：
变式训练1：
F(x)=x²f(x)或令f(x)=x²，选择B，
变式训练2：
变式训练3：
解：令F(x)=x² [f(x)-1]，或令f(x)=0，选择B，
类题演练5：
变式训练1：
数学小品文之129:德阳市2015届高三“二诊”考试数学（理）压轴选择题解答 (2015-04-01 10:58:55)
变式训练2：
变式训练3：
变式训练4：
变式训练5：
变式训练6：
变式训练7：
评注：构造h(x)=f(x)-sin²x更好一些。
此时，h(x)为奇函数，且h′(x)=f′(x)-2sinxcosx<0,以下略
变式训练8：
变式训练9：2014年河北唐山一模理科16题
变式训练10：
类题演练6：
数学小品文之116:德州市2015届高三一模理科压轴选择题解答作者：刘才华
类题演练7：
另：若用特殊化法令f(x)=1,则可秒杀. 本题选B.类题演练8：
由导数构造函数作者：熊昌进
类题演练9：
类题演练10：
2013年高考数学辽宁卷理科第12题大学解法作者：杜万根
类题演练11：一道巧妙的导数题作者：正中张老师
变式训练1：
又见构造函数深圳数学于老师的博客
变式训练：宋丽艳：成都市2014级高中毕业班摸底测试数学试题理科第16题详解
张云华：成都市2014级高中毕业班摸底测试数学试题理科第16题详解
类题演练12：
类题演练13：
类题演练14：
变式训练：
类题演练15：
2015年福建理数第10题：
类题演练16：
类题演练17：
上面的条件似乎要改为：xf′(x)>2f′(x)
类题演练
18：
故选择B.
类题演练19：
令F(x)=(x-1)f(x)
A x²>x-1 不等号方向错了
C 用特值2
B F(x)>F(x+1)，B项当x=1排除掉，
D F(1)=0 x>1时 F（x）<0； x<1时 F（x）>0，F(x)递减故选D
变式训练2：
类题演练20：构造函数解衡水中学高三调研考试题(2016-01-25 14:53)
变式训练：
类题演练21：
类题演练22：
类题演练23：巧妙构造函数破解极值压轴题(2016-03-11 11:43:15)
类题演练24：
类题演练25：
类题演练26：
类题演练27：/everyday/16425/有bug，见评论
类题演练28：
类题演练29：
类题演练30：
类题演练31：
类题演练32：。