巧选参考系

巧选参考系妙解天体“追击”问题

山东省平阴县第一中学 （250400）岑怀强

地面上的物体常常出现追及相遇问题，运动路线在同一轨道上，关键是找出它们的位移、速度和时间等关系即可。天体运动中也有追及相遇问题，天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。如果选择运动相对慢的为参考系，则便于寻找它们的角度关系。

【例1】如图1所示，有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？

【解析】：A 、B 两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力

，因此T 1

一周，但是要它们的相距最近，只有A 、B 行星和恒星M 的连线再次在一条直线上，且A 、B 在同侧，从角度看，以B 为参考系，A 比B 多转了2π；如果A 、B 在异侧，则它们相距

最远，从角度看，A 比B 多转了π。所以再次相距最近的时间t 1，由(

)

1

22212T

T t πππ

-=∴t 1=121

2

T T T T

-；第一次相距最远的时间t 2，由(

)

1

22

21T T t πππ

-=。∴t 2 =

12

122()

T T T T -

如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么结果如何？(参考答案：t 1=nT 1T 2/ (T 1-T 2)；∴t 2 =nT 1T 2/ 2(T 1-T 2) ，n ∈Z)

【例2】如图2，三个质点a 、b 、c 质量分别为1m 、2m 、M （M >>1m ，M >>2m ）.

在C 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比:1:4a b r r =,则它们的周期之比:a b T T =______;从图示位置开始，

在b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线了____次。

图2

【答案】1:8,14

【解析】根据r T

m r 22

24Mm G π=，得GM r T 324π=

,所以8

1

=b a T T ， 解：选参考系法

以b 为参考系，则a 相对b 的角速度为(Wa 一Wb),a 从原位置 运动到b 的反方向延长线d 的位置为第一次共线。从此以后 a 每转过π ，ab 共线一次，设所用时间为t, 有 (Wa 一Wb)t=π,即22(

)a b

t T T ππ

π-=, 化简为 111

(

)2

a b t T T -=, 又Ta=8Tb 得Tb=14t.则共线 次数为n=ad 14141414148b ad b ad ad ad

b a T T T T T T T t t t t T T -=-=-=-=-

， 由图可知

12ad a T T <，所以148ad

a

T T <1,故有13

【小结】：本题难在以前的题目从a 、b 共线开始，在b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线

了16次，本题开始时刻a 、b 不共线，与平时熟悉的情景不符。本题解法很多，但选择适当的时刻开始（受例1的启示）并且巧选参考系法，并适当推导，可以达到问题转化、化繁为简、情景清晰之效。给学生讲解起来易于接受，省时省力，对于培养学生“多题一解”的转化能力和数形结合的方法非常重要。．

【小试牛刀】如图4所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为R ，运转周期为T ，地球和太阳中心的连线与地球和行星中心的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角时是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。某时刻该行星恰好处于最佳观察期，且行星的位置超前于地球。求：（1）行星绕太阳运转的周期'

T （2）该行星下一次处于最佳观察期至少经历的时间。

【参考答案】：（1）由题意可知行星的轨道半径r 为：

sin r R θ= …………………①

设行星绕太阳的运转周期为'

T ，由开普勒第三定律有：

33

2/2

R r T T = ……②

由①②解得：θ3

sin T T ='

（2）最佳观测期位于A 、C 两个相切的点， 如图5所示设经时间t ， 行星再次处于最佳观察期

则行星转过的角度β为：β=π+ ∠BOC=π+2θ------③

设地球不动，则22)'t T T

ππ

-=β（

---------④

由①②③④可得：t =

………………⑤