2019-2020学年高中数学 1.3.1三角函数的周期性学案苏教版必修4.doc
苏教版数学高一苏教版必修4学案1.3.1三角函数的周期性
课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时， 令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21 C.23- D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。
数学苏教版必修4学案：第1章 1.3 1.3.1 三角函数的周期性
三角函数的图象和性质1．3.1三角函数的周期性预习课本P24～25，思考并完成下列问题1．周期函数的定义是什么？2．什么是最小正周期？3．y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的周期的计算公式是什么？[新知初探]1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π.3．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.[点睛] (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期．[小试身手]1．函数y ＝5sin 25x 的最小正周期是________．★答案★：5π2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________． ★答案★：π33．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π. ★答案★：π4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是最小正周期为1的函数； ②f (x )是最小正周期为2的函数； ③f (x )是最小正周期为12的函数；④f (x )是最小正周期为π的函数．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2ππ＝2.★答案★：②求三角函数的周期[典例] (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3； (2)f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4；(3)f (x )＝14sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3； (4)f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π4(a ≠0)． [解] (1)∵T ＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π. (2)∵T ＝2π|－3|＝2π3，∴最小正周期为2π3.(3)∵T ＝2π12＝4π，∴最小正周期为4π. (4)∵T ＝2π|2a |＝π|a |，∴最小正周期为π|a |.(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|； (2)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|. [活学活用]1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期为________． 解析：∵T ＝2ππ2＝4， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期为4. ★答案★：42．若f (x )＝－5sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3的最小正周期为π5，求k 的值． 解：由T ＝2π|k |＝π5.∴|k |＝10，∴k ＝±10. 利用周期求函数值[典例] 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值． [解] f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－f ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π2－π3 ＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1.(1)利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x 的函数值，从而可解决求值问题． 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数，又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解：∵ƒ(x )是周期函数，且最小正周期为π， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＋2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3. 又∵ƒ(x )是偶函数， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3. ∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝32. ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.周期性质的应用[)＝x ，求f (7)的值．[解] 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的函数，从而得f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. [一题多变]1．[变条件]设f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，求f (7)的值．解：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)， 又∵f (x )在R 上是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2， ∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．[变条件]设f (x )在R 上是奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，求f (7)的值．解：函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． 又函数f (x )的图象关于x ＝1对称， 则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．从而得f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.3.[变条件]设f (x )在R 上是奇函数，满足f (x )·f (x ＋2)＝－13，若函数f (x )是增函数，求f (7)的值．解：由f (x )·f (x ＋2)＝－13，得f (x ＋2)＝－13f (x )， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－13f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∵f (－1)·f (1)＝－13，所以f 2(1)＝13， ∵函数f (x )是增函数，∴f (1)＝13， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－13.由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得： (1)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x (f (x )≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f x ＋1f x －1(f (x )≠1)，则T ＝2a .层级一 学业水平达标1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． ★答案★：π2．函数y ＝cos (1－3x )π2的最小正周期为________．解析：y ＝cos (1－3x )π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－3π2x ＝sin 3π2x ，故T ＝2π3π2＝43. ★答案★：433．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π4，则ω＝________. 解析：由题意T ＝2πω＝π4，∴ω＝2π×4π＝8.★答案★：84．函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3，得ω＝3，∴f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3， ∴f (π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝－3cos π3＝－32.★答案★：－325．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由于f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. ★答案★：－16．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)＝____________.解析：由诱导公式知sin ⎝⎛⎭⎫n ＋126π＝sin ⎝⎛⎭⎫n π6＋2π＝sin n π6， ∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6) ＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3. ★答案★：2＋ 37．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________． 解析：∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13. ★答案★：138．下列说法中，正确的是____________(填序号)． ①∵sin(π－x )＝sin x ，∴π是函数y ＝sin x 的一个周期； ②∵tan(2π＋x )＝tan x ，∴2π是函数y ＝tan x 的最小正周期；③∵当x ＝π4时，等式sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin x 成立，∴π2是函数y ＝sin x 的一个周期； ④∵cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≠cos x ，∴π3不是函数y ＝cos x 的一个周期． 解析：根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y ＝tan x 的一个周期，但不是最小正周期．★答案★： ④9．求下列函数的最小正周期． (1)f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 10．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 因为x ∈0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x . 又ƒ(x )是以π为周期的偶函数， 所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.层级二 应试能力达标1．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. ★答案★：32．若函数f (x )＝cos ωx (0＜ω＜5)满足f (x ＋π)＝f (x )，则ω＝________. 解析：∵f (x ＋π)＝f (x )，∴π为函数f (x )的最小正周期的整数倍． 又∵T ＝2πω，0＜ω＜5， ∴ω＝2或4. ★答案★：2或43．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)＝________.解析：据题意f (7)＝f (－1＋8)＝－f (1)， 所以f (1)＋f (7)＝0，又f (4)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (4)＋f (7)＝0. ★答案★：04．函数y ＝sin 3x ＋sin x ·cos 2x 的最小正周期是________．解析：y ＝sin 3x ＋sin x ·cos 2x ＝sin x (sin 2x ＋cos 2x )＝sin x ，周期T ＝2π. ★答案★：2π5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. ★答案★：226．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．解析：∵1<2πω<3，∴2π3<ω<2π，∴正整数ω的最大值是6.★答案★：67．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫k 10x ＋π3，其中k ≠0，当自变量x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k 的值．解：∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫k 10x ＋π3的最小正周期为 T ＝2π⎪⎪⎪⎪k 10＝20π|k |.由题意知T ≤1，即20π|k |≤1，|k |≥20π≈62.8. ∴最小正整数k 的值为63.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值． 解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒ(x ＋2)＝－1－1ƒ(x )＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是ƒ(x )的一个周期． ∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5， ∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1) ＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。
高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4
高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4教学目标：了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。
教学重点：周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性教学难点：周期函数的概念教学过程：一、问题情境：日出日落，寒来暑往……自然界中有许多按一定规律周而复始的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么这种周而复始的基本特征又体现在哪里呢？问题：单位圆中的三角函数线如何变化？二、学生活动：探究：1、sin(x+2π)=________, cos(x+2π)=_________.2、记f(x)=sinx，则有f(x+2π)=______________,如何用数学语言刻画？三、知识建构：1、正、余弦函数的周期性：2、周期函数：思考：（1）正、余弦函数的周期有多少个？（2）周期函数的图像具有什么特征？3、最小正周期：思考：正切函数是否为周期函数？若是，周期为多少？四、知识运用：例1、若钟摆的高度h( mm )与时间t( s )之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求t=10 s时钟摆的高度。
小结：例2、求下列函数的周期：（1）f( x )=cos2x （2）g( x )=2sin(1x 26π-)结论：一般地，函数y=Asin(x ωϕ+)及y=Acos(x ωϕ+)(其中A ，ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T=__________.练习：书P25 1-4五、回顾反思：知识： 思想方法：六、作业布置：书P44 习题1.3 1。
高中数学1_3_1三角函数的周期性导学案苏教版必修4
1.3.1 三角函数的周期性 学习目标 重点难点 1．记住周期函数与最小正周期的定义． 2．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期.重点：利用周期函数及最小正周期的定义，求正、余弦函数的周期． 难点：利用周期函数解决相关问题. (1)周期函数的定义：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．预习交流1周期函数的定义中，能否把“定义域内的每一个x 值”改为“定义域内存在一个x 值”？提示：不能．反例：y ＝sin x (x ∈R )对于x ＝π3，T ＝π3，显然有sin(x ＋T )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝sin π3＝sin x ， 但T ＝π3不是它的周期． 2．三角函数的周期(1)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π；正切函数y ＝tan x 也是周期函数，且最小正周期是π.(2)一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2πω.若函数y ＝f (x )的周期为T ，则函数y ＝Af (ωx ＋φ)的周期为T |ω|(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω≠0)． 预习交流2所有周期函数都有最小正周期吗？为什么？提示：并不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f (x )＝5，x ∈R .当x 为定义域内的任何值时，都有f (x )＝C ，即对定义域内的每一个x 值，f (x )都有f (x ＋T )＝C ＝f (x )，因此f (x )是周期函数．由于T 是不为零的任意常数，而正数集合中没有最小者，所以f (x )＝C 没有最小正周期．一、函数周期性的证明已知函数f (x )对任意实数x ，都有f (x ＋m )＝－f (x )，求证：函数f (x )是周期函数，并且2m 是f (x )的一个周期．思路分析：要证函数f (x )是周期函数，就是要找到一个常数T ，使得对于任意实数x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，可根据f (x ＋m )＝－f (x )推导寻找．证明：∵函数f (x )对任意实数x ，都有f (x ＋m )＝－f (x )，∴f (x ＋2m )＝f [(x ＋m )＋m ]＝－f (x ＋m )＝－[－f (x )]＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，并且2m 是f (x )的一个周期．若函数y ＝f (x )是奇函数，且f (x ＋a )＝1f －x，求证：2a 是f (x )的周期(a ≠0)． 证明：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f －x ＝－1f x. ∴f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－1f x ＋a ＝－1－1f x＝f (x )． ∴f (x )是以2a (a ≠0)为周期的周期函数．周期函数的证明一般利用周期函数的定义；对抽象函数的周期性证明，要注意利用条件，结合定义进行灵活的转化．对于函数最小正周期的证明，不仅可以用周期函数的定义，而且还可以运用反证法．二、求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6； (2)y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π4； (3)y ＝|sin x |. 思路分析：利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式．解：(1)T ＝2πω＝2ππ2＝4. (2)y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4， ∴T ＝2π12＝4π. (3)由y ＝sin x 的周期为2π，可猜想y ＝|sin x |的周期应为π.验证：∵|sin(x ＋π)|＝|－sin x |＝|sin x |，∴由周期函数的定义知y ＝|sin x |的周期是π.用定义法求下列函数的周期：(1)y ＝cos 4x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6； (3)y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)．解：(1)设函数f (x )＝cos 4x 的周期为T .令4x ＝μ，由f (x )＝cos μ的周期是2π，知f (μ＋2π)＝cos(μ＋2π)＝cos(4x ＋2π)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (μ)＝cos μ＝cos 4x ＝f (x )对一切x 都成立，∴T ＝π2. (2)令x 3＋π6＝μ.由y ＝2sin μ的周期是2π，知f (μ＋2π)＝2sin(μ＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6＋2π＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π＋π6＝f (x ＋6π)＝f (μ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 6＝f (x )对一切x 都成立，∴T ＝6π.(3)令μ＝ωx ＋φ.由y ＝tan μ的周期为π，知f (μ＋π)＝tan(μ＋π)＝tan(ωx＋φ＋π)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋πω＋φ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋πω＝f (μ)＝tan(ωx ＋φ)＝f (x )对一切x 都成立，∴T ＝πω是y ＝tan(ωx ＋φ)的周期． 求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，有T ＝2π|ω|. (3)观察法(图象法)．三、函数周期性的应用设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (2＋x )＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，求f (7.5)的值．思路分析：解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解．解：方法一(直接计算)：∵f (2＋x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (2＋3.5)＝－[－f (3.5)]＝f (3.5)＝f (2＋1.5)＝－f (1.5)＝－f (2－0.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.方法二(利用周期性)：∵f (4＋x )＝f [2＋(2＋x )]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数的周期为4.∴f (7.5)＝f (8－0.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)．∵0≤x ≤1时，f (x )＝x ，∴f (7.5)＝－0.5.1．今天是星期一，那么从明天算起，第7k (k ∈N *)天是星期__________，第100天是星期__________．答案：一 三解析：每周7天，则7k 是k 个周期，即第7k (k ∈N *)天仍是星期一．∵100＝7×14＋2，∴第100天是星期三．2．(1)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________.(2)设f (x )是定义在R 上的以4为周期的奇函数，且f (1)＝－1，则f (2 011)＝__________.答案：(1)－1 (2)1解析：(1)由于f (x )的周期为5，所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)．又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1.(2)∵f (x )的周期为4，f (x )为奇函数，且f (1)＝－1，∴f (2 011)＝f (4×503－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1.如果一个函数是周期函数，要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义域可知，只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可得到该函数在定义域内的有关性质．利用函数的周期性可以求值，可以推理判断，可以解决许多实际问题．应注意等价转化思想的应用．1．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的最小正周期是π5，则ω＝__________. 答案：10解析：∵T ＝2πω＝π5，∴ω＝10. 2．下列函数是周期函数的是__________(填序号)．①f (x )＝x ；②f (x )＝2x ；③f (x )＝1.答案：③解析：①由f (x ＋T )＝x ＋T ≠x ，T ≠0，知f (x )＝x 不是周期函数；②由f (x ＋T )＝2x ＋T ＝2T ·2x ≠2x ，T ≠0，知f (x )＝2x 不是周期函数；③由f (x ＋T )＝1＝f (x )，知f (x )＝1是周期函数．3．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，是周期函数的有______(填序号)．答案：①②③解析：根据周期函数的定义观察图象可得．4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为__________． 答案：32解析：∵T ＝π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是偶函数，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )＝sin x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 5．求下列函数的周期：(1)y ＝3sin 4x ；(2)y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －1. 解：(1)T ＝2πω＝2π4＝π2. (2)y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －1＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1， T ＝2π12＝4π.。
2019-2020年高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4
2019-2020年高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4教学目标：了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。
教学重点：周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性教学难点：周期函数的概念教学过程：一、问题情境：日出日落，寒来暑往……自然界中有许多按一定规律周而复始的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么这种周而复始的基本特征又体现在哪里呢？问题：单位圆中的三角函数线如何变化？二、学生活动：探究：1、sin(x+2)=________, cos(x+2)=_________.2、记f(x)=sinx，则有f(x+2)=______________,如何用数学语言刻画？三、知识建构：1、正、余弦函数的周期性：2、周期函数：思考：（1）正、余弦函数的周期有多少个？（2）周期函数的图像具有什么特征？3、最小正周期：思考：正切函数是否为周期函数？若是，周期为多少？四、知识运用：例1、若钟摆的高度h( mm )与时间t( s )之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求t=10 s时钟摆的高度。
小结：例2、求下列函数的周期：（1）f( x )=cos2x （2）g( x )=2sin()结论：一般地，函数y=Asin()及y=Acos()(其中A，，为常数，且A≠0，>0)的周期T=__________.练习：书P25 1-4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P44 习题1.3 12019-2020年高中数学第1章《三角函数》三角函数的应用教学案苏教版必修4教学目标：会用三角函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。
注重渗透化归与转化的数学思想。
教学重点：三角函数模型的建立教学难点：三角函数模型的建立教学过程：一、问题情境：现实生活中有许多周期运动的现象，你能举一些例子吗？三角函数能够模拟许多周期现象，下面我们就研究三角函数在实际生活问题中的应用问题：如图，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x （cm ）和时间t （s ）之间的函数关系； （2）求物体在t=5s时的位置.二、学生活动：合作解决上述问题：三、知识建构：应用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：四、知识运用：例2、一半径为3m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点P 0）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的高度z (m) 表示为时间t （s ）的函数；（2）点P 第一次到达最高点大约要多长时间？例3、（P43案例）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，考近船坞；卸货后落潮时返回海洋. 下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值.练习：书P44 1、2、3、4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P46 10、11。
高中数学 第1章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性教学
1．3.1 三角函数的周期性整体设计教学分析三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景，因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等，逐步抽象出函数周期性的定义．教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论，可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接”中的内容了解其证明过程．不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x 而言的，是自变量x 的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y ＝Asin(ωx＋φ)的周期为2πω这一结论． 三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．重点难点教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究周期函数的定义由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π时，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx.正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)．这又启发我们思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？教师在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)，自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，k∈Z.这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数；f(－x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数；f(x ＋T)＝f(x)，其中T 是非零常数，那么函数f(x)叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.由诱导公式易知，2π是正弦函数的一个周期，下面用反证法证明2π是它的最小正周期．假设0<T<2π，且T 是正弦函数的周期，则对任意实数x ，都有sin(x ＋T)＝sinx 成立．令x ＝0，得sinT ＝0，又0<T<2π，故T ＝π，从而对任意实数x ，都有sin(x ＋π)＝sinx 成立，与sin(π2＋π)≠sin π2矛盾，故正弦函数没有比2π小的正周期． 由此可知，2π是正弦函数的最小正周期．学生一时可能难于理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举一些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f(x)＝c(c 为常数，x∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f(x＋T)＝f(x)，那么T 就不是f(x)的周期．例如，分别取x 1＝2kπ＋π4(k∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2kπ＋π4＋π2)＝sin(2kπ＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f(x ＋120°)＝f(x)，所以120°不是f(x)的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不惟一，例如2π，4π，6π，8π，…都是它的周期，有无穷多个，即2kπ(k∈Z ，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z ，k≠0，kT 也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．示例应用例1见课本本节例1.例2判断函数f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f(x＋T)＝f(x)成立的T的值．学生可能会很容易找出4π、2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，充分让学生自己讨论解决．解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cosx|＝f(x)，所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，π2等都代入试一试．实际上，f(x)＝2sin 2x ＋|cosx|，x∈R 中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期．知能训练课本本节练习1～4.作业1．课本习题1.3 1.2．预习正弦函数、余弦函数的图象．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题不管怎么做都难受．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形(单位圆)到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．备课资料一、关于周期函数与函数的周期周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论．下面对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，进行一些简单的扩展说明，以吸引有兴趣的学生对周期函数作进一步的探讨．1．性质：(1)若T(T≠0)是函数f(x)的周期，则－T 也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T －T)]＝f[x ＋(－T)]＝f(x)〕因而周期函数必定有正周期．(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n 为任意非零整数)也是f(x)的周期．(3)若T 1与T 2都是f(x)的周期，则T 1±T 2也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T 1±T 2)]＝f(x ＋T 1)＝f(x)〕(4)如果f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T 一定是T*的正整数倍．(5)周期函数f(x)的定义域M 必定是双方无界的集合，但M 并非必定是(－∞，＋∞)．2．周期函数的判定(1)若f(x)是在数集M 上以T*为最小正周期的周期函数，则kf(x)＋c(k≠0)和1f x分别是数集M 和数集{x|f(x)≠0}上的以T*为最小正周期的周期函数．(2)设f(u)是定义在数集M 上的函数，u ＝g(x)是数集M 1上的周期函数，且当x∈M 1时，g(x)∈M，则复合函数f[g(x)]是M 1上的周期函数．(3)设f 1(x)、f 2(x)都是集合M 上的周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，若T 1T 2∈Q ，则它们的和、差与积也是M 上的周期函数，T 1与T 2的公倍数为它们的周期．例如：f(x)＝sinx －2cos2x ＋sin4x 是以2π、π、π2的最小公倍数2π为周期的周期函数．3．非周期函数的判定(1)若f(x)的定义域有界，则f(x)不是周期函数．例如：f(x)＝cosx(x≤10)不是周期函数．(2)一般用反证法证明．例如：可证f(x)＝sinx 2是非周期函数；f(x)＝ax ＋b(a≠0)是非周期函数．(3)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T 在关系式f(x ＋T)＝f(x)中是与x 无关的，故讨论时可通过解关于T 的方程f(x ＋T)－f(x)＝0，若能解出与x 无关的非零常数T ，便可断定函数f(x)是周期函数，若这样的T 不存在，则f(x)为非周期函数．4．求周期函数的周期关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手．本节涉及的求周期的方法可概括为定义法、公式法，其他还有转化法、最小公倍数法、图象法等．二、备用习题1．求下列函数的周期：①y＝cos2x ；②y＝sin 23x ；③y＝12sin(14x －π3)；④y＝|sin 12x|. 2．已知函数y ＝2cos(π3－ωx)的周期是4π，求ω. 3．已知函数f(x)＝3sin(kx 5＋3)(k≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k 的值为( )A ．33B ．32C ．31D ．304．下列函数中不是周期函数的是( )A ．y ＝－8π B．y ＝|cosx|C ．y ＝1|sinx|D ．y ＝sin|x| 5．求证：y ＝cos2x ＋sin2x 的周期为π.6．求函数y ＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．参考答案：1.①π；②3π；③8π；④2π.2．ω＝±12. 3.B 4.D 5．证明：f(x ＋π)＝cos2(x ＋π)＋sin2(x ＋π)＝cos(2π＋2x)＋sin(2π＋2x)＝cos2x ＋sin2x ＝f(x)，∴y＝cos2x ＋sin2x 的周期是π.(一般不要求证明是最小正周期)6．解：函数y ＝|sinx|＋|cosx|的图象如图1所示，由图可知：函数的最小正周期为T ＝π2.图1。
2019-2020学年高中数学 第09课时《三角函数的周期性》教学案 苏教版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 第09课时《三角函数的周期性》教学案 苏教版必修4的每一个值x ，都满足_______________________，那么函数就叫做______________，非零常数叫做这个函数的_____________________。
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。
4、最小正周期的概念：5、)cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 的周期：一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 及)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数， 且0,0>≠ωA ）的周期=T __________。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；6、课前练习：（1）一个周期函数的周期有_________个。
（2）试举出没有最小正周期的周期函数：__________________________________________。
（3）函数sin y x =有2sin()sin 636πππ+=，则23π______它的周期（填“是”或“不是”） （4）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，若是，周期是_____________________。
（5）若函数()f x 的周期为T ，则kT )(+∈Z k 也是()f x 的周期吗？为什么？例1、求下列函数的周期。
（1）x x f 2cos )(= （2）)421cos(2)(π---=x x f （3）|sin |)(x x f =例2、若函数)5sin(2)(π+=kx x f 的最小正周期为π32，求正数k 的值。
例3、若函数)(x f 的定义域为R ，且对一切实数x ，都有)()(x f x f =-， 且)2()2(x f x f -=+，试证明)(x f 为周期函数，并求出它的一个周期。
1.3.三角函数的周期性-苏教版必修4教案
1.3.三角函数的周期性-苏教版必修4教案一、教学目标1.理解三角函数的周期性概念，掌握正弦函数、余弦函数的基本周期的计算方法；2.了解正切函数、余切函数的周期性特点，掌握其图像变化规律；3.能够运用三角函数的周期性解决实际问题。
二、教学重点1.正弦函数、余弦函数的基本周期的计算方法；2.正切函数、余切函数的周期性特点和图像变化规律。
三、教学难点1.运用三角函数的周期性解决实际问题。
四、教学过程1. 概念讲解1.周期性概念：定义正弦函数和余弦函数的周期的概念，引导学生从函数图像出发，自行寻找规律，并介绍周期函数的相关定义；2.基本周期：给出正弦函数、余弦函数的基本周期的计算方法，并通过具体例题演示如何计算。
2. 特点与规律1.正切函数和余切函数的周期性特点：给出正切函数和余切函数的周期性特点，并通过具体例题演示如何计算；2.图像变化规律：根据函数的周期性特点，讲解正切函数和余切函数的图像变化规律，并通过绘制函数图像加深学生的理解。
3. 运用解题1.运用三角函数的周期性解决实际问题：通过实际问题的分析，引导学生发现问题中的周期性特点，并通过运用三角函数的周期性进行解决。
五、讲评及作业布置1.讲评：对教学过程中的重点知识点进行讲解和梳理，确保学生对知识点的掌握情况；2.作业布置：布置相关的课后作业和习题。
六、教学反思通过本节课的教学，学生对三角函数的周期性有了更深刻的理解，能够更好地掌握正弦函数和余弦函数的基本周期的计算方法，也了解了正切函数、余切函数的周期性特点和图像变化规律。
在教学中，我采用了讲解、演示和练习的方式，不断加深学生的理解和掌握程度。
但是，教学中也存在一些问题，需要在今后的教学中予以改进，如布置的作业量过多，学生完成较为困难。
2019-2020年高中数学 1.3.1 三角函数的周期性教案 苏教版必修4
2019-2020年高中数学 1.3.1 三角函数的周期性教案 苏教版必修4一、课题：三角函数的周期性二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。
三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。
四、教学过程： （一）引入：1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量 函数值正弦函数性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当增加（）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意，恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
（二）新课讲解： 1．周期函数的定义对于函数，如果存在一个非零常数．．．．，使得当取定义域内的每一个值．．．．时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
说明：（1）必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
【思考】（1）对于函数，有，能否说是它的周期？（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且） （3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2．最小正周期的定义对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；（2）从图象上可以看出，；，的最小正周期为；（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期） 3．例题分析：例1：求下列函数周期：– –（1），； （2），； （3），． 解：（1）∵，∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现， 所以，函数，的周期是．（2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现， 所以，函数，的周期是． （3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()262626x x x πππππ-+=+-=-， ∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是．说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期； （2）若，例如：①，；②，；③，．则这三个函数的周期又是什么？ 一般结论：函数及函数，的周期． 例2：求下列函数的周期： （1）； （2）33coscos sin sin 2222x x x x y =+； （3）； （4）； （5）． 解：（1）24||2T ππ==-，∴周期为； （2）333coscos sin sin cos()cos 222222x x x x x xy x =+=-=，∴周期为； （3）cos sin 2sin()4y x x x π=-=- ∴周期为；（4）22sincos cos 22x xy x =-=-，∴周期为； （5）2111cos (1cos 2)cos 2222y x x x ==-=-+，∴周期为．说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解。
【新】2019-2020学年度高中数学第一章三角函数第9课时1-3-1三角函数的周期性教案苏教版必修4
教学资料参考范本【新】2019-2020学年度高中数学第一章三角函数第9课时1-3-1三角函数的周期性教案苏教版必修4撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________【教学目标】一、知识与技能：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。
二、过程与方法通过对周期的定义的理解，对熟悉正余弦函数的有关图象与性质有着重要作用三、情感态度价值观：通过周期定义的理解，使学生认识到事物之间的相互联系关系。
教学重点难点：函数的周期性、最小正周期的定义【教学过程】一、创设情景，提出问题1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：=f x x()sin文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当增加（）时，总有．x 2k πk Z∈(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+== 也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；x 2k π（2）对于定义域内的任意，恒成立。
x sin(2)sin x k x π+=余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、新课讲解：1．周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
()f x T x ()()f x T f x +=()f x T说明：（1）必须是常数，且不为零；T（2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
()()f x T f x +=x【思考】（1）对于函数，有，能否说是它的周期？sin y x =x R ∈2sin()sin 636πππ+=23π （2） 正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）sin y x =x R ∈2k πk Z ∈0k ≠（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？ ()f x T kT *k Z ∈()f x（是，其原因为：）()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+2．最小正周期的定义：。
2019-2020学年高中数学 第09课时三角函数的周期性教学案 苏教版必修4.doc
学年高中数学 第09课时三角函数的周期性教学案 苏教版必修4 总 课 题 三角函数的图象与性质总课时 第9课时分 课 题 三角函数的周期性分课时 第1课时教学目标 了解周期函数、最小正周期的概念及正弦、余弦、正切函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。
重点难点函数的周期性、最小正周期的定义，求简单三角函数的周期。
非零常数叫做这个函数的_____________________。
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。
4、最小正周期的概念：5、)cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 的周期：一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 及)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数， 且0,0>≠ωA ）的周期=T __________。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期； 6、课前练习：（1）一个周期函数的周期有_________个。
（2）试举出没有最小正周期的周期函数：__________________________________________。
（3）函数sin y x =有2sin()sin 636πππ+=，则23π______它的周期（填“是”或“不是”） （4）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，若是，周期是_____________________。
（5）若函数()f x 的周期为T ，则kT )(+∈Z k 也是()f x 的周期吗？为什么？例1、求下列函数的周期。
（1）x x f 2cos )(= （2）)421cos(2)(π---=x x f（3）|sin |)(x x f =例2、若函数)5sin(2)(π+=kx x f 的最小正周期为π32，求正数k 的值。
例3、若函数)(x f 的定义域为R ，且对一切实数x ，都有)()(x f x f =-，且)2()2(x f x f -=+，试证明)(x f 为周期函数，并求出它的一个周期。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.1 三角函数的周期性》3
三角函数的周期性三角函数知多少正弦函数作代表赣榆区赣马高级中学李春利一、教学目标及分析1知识与技能1、了解周期函数的概念2、会判断一些简单、常见的函数的周期3、会求一些简单三角函数的周期2过程与方法1、通过组织学生从生活实际周期现象出发，逐步抽象出函数周期性的定义，不断增强学生分析问题、解决问题的能力2、通过本节的学习，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比拟、归纳、分析等一般科学方法的运用3、通过对例2的学习，使学生进一步理解周期函数的定义和正弦函数、余弦函数的最小正周期，通过观察、归纳、类比方法的运用得出一般情况：3情感、态度与价值观1 通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，让学生体会数学律，体会从感性到理性的思维过程，2 在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对三角函数周期性的理解，让学生在亲身经历数学研究的过程中，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。
二、学情分析三角函数是必修4整本教材的核心内容，虽然初中学生已对三角函数有了一定的了解，但那只局限在直角三角形中，对三角函数的特征还很茫然。
进入高中后学生学习了三角函数的定义，诱导公式，让学生具备了有一定能力去进行深入的研究，而周期性是三角函数的重要性质之一，在高中数学课程编排中是以三角函数为载体引出周期性这一概念的，理解三角函数周期性的本质对于函数周期性的后续学习起到至关重要的作用。
正弦、余弦函数作为最重要的两类三角函数，对其周期性的学习对后面它们的图像和性质的探究和学习起到了非常关键的作用。
因此本节课的学习至关重要。
三、教学重点和难点，教学方法分析重点：1、周期函数的概念2、求一些简单三角函数的周期难点：周期函数的概念的理解教学方法：引导发现法、观察归纳法，合作讨论法依据：为了把发现创造的时机还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维开展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的时机;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程．四、教学过程〔一〕、问题情境问题1: 年复一年，日复一日，潮汐潮落、、、、、、，这些事物呈现一种什么现象？你能再举一些这样的例子吗？设计意图：是从简单的问题出发，可以让学生立即进入上课的状态。
高中数学 1.3.1 三角函数的周期性互动课堂学案 苏教版
高中数学 1.3.1 三角函数的周期性互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导关于周期函数的概念，也可以叙述为：如果某函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值（这样的值可以有很多个），函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数.例如：sin(α+2kπ)=sinα(k∈Z )这表明，正弦函数在定义域内，自变量每增加（k ＞0时）或减少（k ＜0时）一个定值2|k|π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数是周期函数.理解周期函数的概念要注意以下三点：①存在一个常数T≠0；②对其定义域内的每一个x 值，x+T 也属于定义域；③当x 取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)恒成立. 在理解周期函数定义时，首先要特别注意函数f(x+T)=f(x)恒成立是对f(x)的定义域中的每一个x 值都成立，例如y=sinx(x∈R )对于x=3π,T=3π，显然有sin(3π+3π)=sin 3π，但T=3π不是它的周期.其次应注意，周期性不是三角函数的专有性质. 利用周期函数的定义，可以推得周期函数的一个必要不充分条件：它的定义域至少一方无界.例如y=sinx,x∈［-4π,10π］就不是周期函数，而y=sinx,x∈［2π,+∞)是只有正周期的周期函数.对于每一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.例如，2π是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以2π是正弦函数的最小正周期.值得注意的是：并非每一个周期函数都有最小正周期.例如，任意非零常数都是常数函数f(x)=c(c 为常数)的周期，因而常数函数无最小正周期. 对于f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式T=ωπ2,应明确A,ω,φ为常数，且A≠0，ω＞0，还应掌握这个公式的推导方法.下面作为例子给出f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式T=ωπ2的推导过程.令Z=ωx+φ，由y=AsinZ 的周期是2π知f(Z+2π)=Asin(Z+2π)=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+ωπ2）+φ］=f （x+ωπ2）=f(Z)=Asin(ωx+φ)=f(x)对一切x 都成立，所以T=ωπ2是y=Asin(ωx+φ）的周期. 活学巧用【例1】 求y=sin2x 的周期. 解:ω=2，∴T=|ωπ2|=22π=π. 【例2】 求y=sin(621π+x )的周期. 解:∵ω=21，由T=||2ωπ得T=212π=4π.【例3】 设y=f(t)是某港口水的深度，y （米）关于时间t(时)的函数，0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：T 0 3 6 9 12 15 18 21 24 Y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经观察，函数y=f(t)的图象可近似地看成函数y=k+Asin(ωx+φ)的图象，下面的函数中，最能近似表示数据间对应关系的函数是（其中t∈［0,24］）( ) A.y=12+3sin t 6πB.y=12+3sin(t 6π+π)C.y=12+3sint 12π D.y=12+3sin(12t π+2π) 解析：根据图表画出y=A(sinωx+φ)+k 的图象，如图.∴A=2915-=3，k=2915+=12， T=12，ω=61222πππ==T ，φ=0.∴y=3sin t 6π+12.答案：A。
高中数学：1.3.1 三角函数的周期性 教案(苏教版必修4)
第 8 课时： 1.3.1 三角函数的周期性【三维目标】：一、知识与技能1.了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。
2.了解周期现象在现实中广泛存在；感受周期现象对实际工作的意义；3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。
二、过程与方法1.从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。
2.通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
三、情感、态度与价值观1. 培养数学来源于生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。
2.通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
【教学重点、难点与关键】：重点：周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性难点：周期函数的概念的理解关键：通过实例分析来认识周期和周期函数【学法与教学用具】：1.学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
2.教学用具：实物、图片、投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。
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2019-2020学年高中数学 1.3.1三角函数的周期性学案苏教版必修4
【学习目标】
1、 理解三角函数的周期性的概念；
2、 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系；
3、 会求三角函数的最小正周期，提高观察、抽象的能力。
【重点难点】
函数周期性的概念；三角函数的周期公式 一、预习指导
1、 对于函数()f x ，如果存在一个___________T ，使得定义域内___________x 的值，都满足_______________，那么函数()f x 叫做___________，T 叫做这个函数的_________。
思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？
2、 对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的_____________。
（注：今后研究函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期）
思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？
3、sin()y A x b ωϕ=++及cos()y A x b ωϕ=++（0,0A ω≠≠）型的三角函数的周期公式为_______________________。
二、典型例题
例1、若摆钟的高度h （mm ）与时间t (s ) 之间的函数关系如图所示。
（1）求该函数的周期；
（2）求t =10s 时摆钟的高度。
例2、求下列函数的周期：
（1）cos 2y x = （2）1sin 2y x = （3）12sin()36
y x π=-
例3、若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈（其中0,||2
π
ωϕ><
）的最小正周期是π，且
(0)3f =，求,ωϕ的值。
例4、已知函数(),y f x x R =∈，满足(2)()f x f x +=-对一切x R ∈都成立，求证：4是
()f x 的一个周期。
三、课堂练习
1、 求下列函数的周期：
（1）2cos3y x = （2）sin 3
x y =
2、 若函数()sin()5
f x kx π
=+的最小正周期为
23
π
，求正数k 的值。
3、若弹簧振子对平衡位置的位移x ()cm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示：
(1)求该函数的周期；
(2)求t ＝10.5s 时弹簧振子对平衡位置的位移。
四、拓展延伸
1、 已知函数()sin(
)103
kx f x π
=+，其中0k ≠，当自变量x 在任何两整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，则最小的正整数k 为_______________。
2、已知函数*
(),f x x N ∈，(1)1,(2)6,(2)(1)()f f f n f n f n ==+=+-，求(100)f 。
【课堂小结】。