插值与数值积分
计算方法 数值积分-插值型积分ppt课件
积分值 I b f(x)dx的几何表示：由x=a, x=b, a
y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面 积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。
y = f(x) y
图4-1 数值积分 的几何意义
a
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b
8
最常用的建立数值积分公式的两种方法：
F ( 1 x 2 x 2 2 ) 3 x 3 x 2 2 3 x 9 ln 2 x x 2 (2 2 3 x )
4
16 1 2 6
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5
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。
➢ 对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函 数计算积分的准确值都是十分困难的。
f(xk ) ,作n次拉格朗日插值多项式 n P(x) f(xk)lk(x) k0
其中，对k=0,…,n
lk(x)j n0x xkx xjj
ω(x)
(xxk)ω (x k)
jk
ω ( ( x x x 0 ) ( ) x 1 ) x … ( x x n )
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16
取 b P(x)dx 作为 b f(x)dx 的近似值，即
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
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1
第四章 数值积分
1. 数值积分引论 2. 机械求积方法 3. 以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型
求积公式 4. 插值型求积公式的例子 5. 求积公式的收敛性和稳定性
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第1种：机械求积方法. 第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式（原创版）目录1.数值积分的概念和背景2.插值求积公式的定义和原理3.插值求积公式的实际应用4.插值求积公式的优缺点分析正文一、数值积分的概念和背景数值积分是数值分析中的一种重要方法，它是求解连续函数在某一区间上的定积分的一种近似方法。
在实际应用中，有些函数的积分无法求出解析解，这时就需要借助数值积分方法来求解。
数值积分的方法有很多种，其中插值求积公式是一种常用的方法。
二、插值求积公式的定义和原理插值求积公式是一种基于插值原理的数值积分方法。
其基本思想是先对被积函数进行插值，然后在插值点上求和，最后得到积分结果。
插值求积公式的具体步骤如下：1.选择插值函数，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等；2.对被积函数进行插值，得到一系列插值点上的函数值；3.在插值点上求和，得到积分的近似值。
三、插值求积公式的实际应用插值求积公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，可以用插值求积公式来计算曲线下的面积；在物理学中，可以用插值求积公式来计算物体的质心；在金融学中，可以用插值求积公式来计算投资组合的期望收益等。
四、插值求积公式的优缺点分析插值求积公式具有以下优点：1.适用范围广，可以应用于各种类型的函数；2.计算精度较高，随着插值点数的增加，计算结果的误差会逐渐减小；3.具有较好的稳定性，对于一些具有奇点的函数，插值求积公式仍能得到较好的结果。
然而，插值求积公式也存在一些缺点：1.插值求积公式的计算复杂度较高，需要进行多次插值和求和操作；2.对于一些非线性函数，插值求积公式的精度可能会受到影响。
综上所述，插值求积公式是一种实用的数值积分方法，具有一定的优点和缺点。
插值法与数值积分````计算方法实验3
实验3 插值法与数值积分一、实验目的（1）掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法。
（2）掌握数值积分常用算法：逐次分半梯形公式求积。
（3）记录运行结果，回答问题，完成实验报告。
二、实验内容思考问题：插值多项式是否阶次越高越好？数值积分与插值的关系是什么？逐次分半梯形公式求积如何判断误差是否满足要求？1．用拉格朗日插值法求2的平方根。
提示：可以用抛物线插值，f(1.69)=1.3，f(1.96)=1.4，f(2.25)=1.5。
2．用牛顿插值法求2的平方根。
提示：可以用抛物线插值，f(1.69)=1.3，f(1.96)=1.4，f(2.25)=1.5。
3．用逐次分半梯形公式求积计算∫x2dx。
提示：可以用相邻两次求得的结果的差的绝对值来间接判断误差是否满足要求。
三、实验步骤1．代码如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#define MAXSIZE 50void input(double x[MAXSIZE],double y[MAXSIZE],long n){long i;for(i=0;i<=n-1;i++){printf("请输入插值节点x[%ld],y[%ld]：",i,i);scanf("%lf,%lf",&x[i],&y[i]);}}void main(void){double x[MAXSIZE],y[MAXSIZE],_x,_y,t;long n,i,j;printf("请输入插值节点的个数：");scanf("%ld",&n);input(x,y,n);printf("请输入插值点：");scanf("%lf",&_x);_y = 0;for(i=0;i<=n-1;i++){t = 1;for(j=0;j<=n-1;j++)if(j != i)t *= (_x-x[j]) / (x[i]-x[j]);_y += t * y[i];}printf("插值点(x,y)=(%lf,%lf)。
插值与数值积分
根据需要，各取所需。
13
用MATLAB作插值计算
1. 拉格朗日插值:自编程序,如名为 lagr.m 的M文件， 第一行为 function y=lagr(x0,y0,x) ; 输入:节点 x0, y0, 插值点 x (均为数组，长度自定义); 输出:插值 y (与 x 同长度数组）. 应用时输入 x0,y0,x 后,运行 y=lagr(x0,y0,x)
2) S ( xi ) = yi (i = 0,1,L n)
4n个待定系数
3) S ( x) ∈ C 2[ x0 , xn ]
ai , bi , ci , di
3） si ( xi ) = si +1( xi ), si′ ( xi ) = si′+1( xi ) si′′( xi ) = si′′+1( xi ) (i = 1,3n’）− 1)
•
end
• end
• s=p*y0(k)+s;
• end
• y(i)=s;
• end
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用MATLAB作插值计算
以
g
(x)
=
1
1 + x2
,
−5≤ x≤5
为例，作三种插值的比较
用n=11个节 点，m=21 个插值1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000
=
1
1 + x2
,
−5≤ x≤5
2
取n=2,4,6,8,10,计 1 .5
1
算Ln(x), 画出图形 0 .5
0
y = 1 /(1 + x 2 ) n=4 n=2
插值公式与插值定理
插值公式与插值定理插值公式与插值定理是数值分析中的重要概念，用于近似计算函数在给定节点上的值。
本文将介绍插值公式与插值定理的基本原理和应用。
一、插值公式的基本原理在插值问题中，我们希望根据已知节点上函数的取值，推导出该函数在其他节点上的近似值。
插值公式是一种通过已知节点上的函数值，以及插值节点与已知节点之间的关系，来计算待插值节点上函数值的方法。
插值公式一般可以写为：\[f(x) = \sum_{i=0}^{n}L_i(x)f(x_i)\]其中，$f(x)$是待插值函数，$x_i$是已知节点，$f(x_i)$是已知节点上的函数值，$L_i(x)$是拉格朗日插值基函数。
拉格朗日插值基函数的表达式为：\[L_i(x) = \prod_{j=0, j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\]它具有性质：在节点$x_i$处，$L_i(x_i)=1$；在其他节点$x_j(j\neq i)$处，$L_i(x_j)=0$。
利用插值公式可以在给定节点上计算函数的近似值，从而实现对函数的插值。
二、插值定理的基本原理插值定理是插值公式的理论基础，它指出了插值问题的存在唯一性，并提供了误差估计的方法。
插值定理的基本表达式为：\[f[x_0,x_1,...,x_k] = \frac{f^{(k)}(c)}{k!}\]其中，$[x_0,x_1,...,x_k]$是插值节点$x_0,x_1,...,x_k$上的差商，$f^{(k)}(c)$是函数$f(x)$在节点$x_0,x_1,...,x_k$之间某一点$c$的$k$阶导数。
根据插值定理，如果函数$f(x)$在插值节点$x_0,x_1,...,x_k$处的值已知，并且函数的$k$阶导数存在，则可以通过差商的计算求得$f^{(k)}(c)$的值，从而得到插值多项式。
插值定理还提供了误差估计的方法。
在一般情况下，插值多项式与原函数之间存在误差。
可以通过插值定理的结果来估计这个误差。
计算方法数值积分_插值型积分
计算方法数值积分_插值型积分
一．概述
插值型积分是数值积分的一项重要方法，它是将要计算的曲面上的积分点根据插值函数或其中一种样条函数，插值成一条直线之后再求解。
插值型积分主要有牛顿-拉夫逊插值内插法、Chebyshev插值内插法、余弦和正弦插值内插法和Hermite插值内插法等，主要用来解决二元函数、多项式、函数的积分。
同时，插值型积分可以用来求解非常复杂的不可积函数，也可以用于求解紧密的积分，可以节省一定的计算时间。
二、牛顿-拉夫逊插值内插法
牛顿-拉夫逊插值内插法是插值型积分中最常用的方法，它通过在给定的多项式基函数上拟合曲线，计算曲线上积分点的函数值，然后把它们拟合到牛顿-拉夫逊插值函数中，最后将插值函数作为定积分的函数，通过求解插值函数的积分来解决问题。
牛顿-拉夫逊插值内插法一般采用牛顿-拉夫逊插值函数，它是基于多项式的函数，由节点上的函数值和其导数值建立插值函数，其积分也可以由插值函数和它的导数求解。
牛顿-拉夫逊插值函数具有以下特点：
1.多项式阶数不受限；
2.插值函数结果是一条曲线；
3.可以非常精确地表示复杂的函数；。
数值分析解决实际问题
数值分析解决实际问题数值分析是一门研究利用计算机对数学问题进行数值计算的学科，它通过数值方法来解决实际问题，广泛应用于工程、科学、经济等领域。
数值分析的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等，这些方法在解决实际问题时发挥着重要作用。
本文将介绍数值分析在实际问题中的应用，并探讨其在解决实际问题中的重要性和价值。
一、插值法插值法是数值分析中常用的方法之一，它通过已知数据点之间的插值多项式来估计未知数据点的值。
在实际问题中，插值法常用于数据的平滑处理、曲线拟合等方面。
例如，在气象学中，我们需要根据已知的气温数据点来预测未来某一时刻的气温变化，这时可以利用插值法来进行数据的预测和分析。
二、数值积分数值积分是数值分析中的另一个重要方法，它通过数值逼近来计算定积分的近似值。
在实际问题中，数值积分常用于计算曲线下面积、求解物理学中的力学问题等。
例如，在工程学中，我们需要计算某一形状的曲线或曲面的面积或体积，这时可以利用数值积分方法来进行计算。
三、常微分方程数值解常微分方程数值解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解常微分方程的数值解。
在实际问题中，常微分方程数值解常用于模拟物理系统、生态系统等的动态行为。
例如，在生态学中，我们需要研究种群数量随时间的变化规律，这时可以利用常微分方程数值解来模拟和预测种群数量的变化趋势。
四、线性代数方程组求解线性代数方程组求解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解线性代数方程组的解。
在实际问题中，线性代数方程组求解常用于工程、经济等领域的优化问题。
例如，在工程优化中，我们需要确定某一系统的最优参数配置，这时可以利用线性代数方程组求解来进行优化计算。
综上所述，数值分析在解决实际问题中发挥着重要作用，它通过插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等方法来对实际问题进行数值计算和分析，为工程、科学、经济等领域的发展提供了重要支持。
数值积分方法
数值积分方法数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。
在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。
通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。
数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。
当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。
数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。
首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。
其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。
此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。
数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。
另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。
总之，数值积分方法是一门重要的数值分析学科，可用于解决多种实际问题，广泛应用于科学和技术领域，具有重要的现实意义。
差值与数值积分
无 95
苏航
2009011122
实验日期 2011/3/11
数学实验报告
实验一 差值与数值积分
班级 姓名 交报告日期
无 95 苏航
2011/3/19
学号 2009011122
1
数学实验报告
无 95
苏航
2009011122
一、差值
㈠问题描述
选择一些函数，在 n 个节点上用拉格朗日、分段线性、三次样条三种差值方法，计算 m 个插值点的函数值，通过函数和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较，适当增加 n 再作比较，由此作初步分析。
3
数学实验报告
无 95
苏航
2009011122
可以发现，通过增加节点，每一种插值法的结果都比原来更加接近真实值。 dif1 = 0.0015; dif2 = 0.0082; dif3 = 0.0027; (3)10 节点，100 插值点
结果进一步逼近真实值。 dif1 = 0.00062; dif2 = 0.0035; dif3 = 0.0012; (4)简要小结 a.增加节点可以有效地提高插值结果的准确度。 b.在本函数下，拉人格朗日插值法的效果与三次样条插值法的效果相近，两 者都好于分段线性插值法。 (5)对比
从结果可以看出，各种积分法的精度都有所提高，其中自适应积分法的精度 提高得最多。 步长为 0.05，精度要求10−8
11
数学实验报告
无 95
苏航
2009011122
前两种与直接步长相关的积分公式得到的结果的精度进一步提升。 由此思考， 可以自己编写“以精度为参量”的梯形积分法和 Simpson 积分法，即多次调用现 有积分程序， 判断精度是否符合要求， 若不符则进一步缩小步长， 知道满足要求。 (4)对比 步长取 0.2，比较自己编写的梯形积分公式以及 Matlab 自带的梯形积分公式。 S[1]为自己所编公式的结果，S[2]为 Matlab 自带公式的结果。
插值法2
插值研究1 插值法的应用在函数的近似求解中，插值方法非常的重要。
当我们知道了函数在有限个点处的取值状况后，就可以估算出该函数在其他点处的函数值，进而求解函数的更多相关信息。
插值法除了函数求值的应用之外，其他方面的用法也比较多。
包括：数值微分方法，数值积分方法，数据拟合，以及在图像处理方面的应用。
（1）数值积分法：在进行积分的求解时，经常会遇到被积函数不清楚，即使被积函数已知，然而被积函数的原函数求并不好求，在这种情况下，一般根据)(x f 在积分区间的已知数据，通过构造插值多项式)(x p 替代)(x f ，由于)(x p 为多项式，则)(x f 的积分值就能够比较容易求出。
（2）数值微分方法：通常意义上的数值微分方法，也即是根据距离相等的节点上的插值多项式，求解函数的导数值。
我们知道，两点公式是通过分段线性插值得出的，三点公式是通过分段抛物插值得出的。
然而这两种公式仅仅适合对节点处求导数值。
如果在区间内的其它点求导数值的话，样条插值函数是比较好的选择。
（3）数据拟合：在获得一组测定的离散的数据之后，我们最想获得的就是这些离散数据的数学表达式，探讨这些数据的内在规律。
如果无法求解到精确的数学表达式，尽可能好的去近似得出函数解析式，也会帮助我们获得意想不到的结果。
关于插值法的近似标准是这样规定的：原函数和插值函数在插值点处的误差为零，在实际的应用当中，有些点的误差并不一定为零，只需考虑整体的误差限制即可，因而所求函数并不需要通过所有点，我们所要求的是最好的反应原函数的变化趋势。
通过插值法的求解，便可以求得最优的拟合函数。
（4）图像处理：数字图像的处理涉及到社会生活的很多领域，而图像的放大作为数字图像处理的基本操作，具有很强的重要性。
通过插值法，可以实现图像的放大。
图像处理中，图像之间的转换是通过坐标变换来实现的。
这样做的问题就是目标点的坐标一般不会是常数，因此要解决非整数坐标处的点应该是怎样的。
matlab实现数值分析插值及积分
数值分析学院：计算机专业：计算机科学与技术班级：xxx学号：xxx姓名：xxx指导教师：xxx数值分析摘要：数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
在实际生产实践中，常常将实际问题转化为数学模型来解决，这个过程就是数学建模。
学习数值分析这门课程可以让我们学到很多的数学建模方法。
分别运用matlab数学软件编程来解决插值问题和数值积分问题。
题目中的要求是计算差值和积分，对于问题一，可以分别利用朗格朗日插值公式，牛顿插值公式，埃特金逐次线性插值公式来进行编程求解，具体matlab代码见正文。
编程求解出来的结果为：P4(x)=x4+1。
其中Aitken插值计算的结果图如下：对于问题二，可以分别利用复化梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式编写程序来进行求解，具体matlab代码见正文。
编程求解出来的结果为：0.6932其中复化梯形公式计算的结果图如下：问题重述问题一：已知列表函数表格 1x 0 1 2 3 4 f (x )121782257分别用拉格朗日，牛顿，埃特金插值方法计算P 4(x )。
问题二：用复化的梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式计算积分∫1x 21dx ，使精度小于5×10−5。
问题解决问题一：插值方法对于问题一，用三种差值方法：拉格朗日，牛顿，埃特金差值方法来解决。
一、拉格朗日插值法：拉格朗日插值多项式如下：首先构造1+n 个插值节点n x x x ,,,10 上的n 插值基函数，对任一点i x 所对应的插值基函数)(x l i ，由于在所有),,1,1,,1,0(n i i j x j +-=取零值，因此)(x l i 有因子)())(()(110n i i x x x x x x x x ----+- 。
又因)(x l i 是一个次数不超过n 的多项式，所以只可能相差一个常数因子，固)(x l i 可表示成：)())(()()(110n i i i x x x x x x x x A x l ----=+-利用1)(=i i x l 得：)())(()(1110n i i i i i i x x x x x x x x A ----=+-于是),,2,1,0()())(()()())(()()(110110n i x x x x x x x x x x x x x x x x x l n i i i i i i n i i i =--------=+-+-因此满足i i n y x L =)( ),2,1,0(n i =的插值多项式可表示为：∑==nj j j n x l y x L 0)()(从而n 次拉格朗日插值多项式为：),,2,1,0()()(0n i x l y x L nj i j j i n ==∑=matlab 编程：编程思想：主要从上述朗格朗日公式入手：依靠循环，运用poly （）函数和conv （）函数表示拉格朗日公式，其中的poly （i ）函数表示以i 作为根的多项式的系数，例如poly （1）表示x-1的系数，输出为1 -1，而poly （poly （1））表示（x-1）*（x-1）=x^2-2*x+1的系数，输出为1 -2 1；而conv （）表示多项式系数乘积的结果，例如conv （poly （1），poly （1））输出为1 -2 1；所以程序最后结果为x^n+x^n-1+……+x^2+x+1（n 的值据结果的长度为准）的对应系数。
数值分析中的(插值法)
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
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多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
MATLAB插值拟合数值积分
这就是Lagrange插值。 xi 点称为插值节点。用几何语言 来表述这类插值，就是通过曲线 y f ( x) 上给定的n+1个 点，求作一条n次代数曲线 y pn ( x) 作为 y f ( x) 的近 似。
method指定插值的算法，默认为线性算法。其值可为： ‘nearest’ 线性最近项插值 ‘linear’ 线性插值 ‘spline’ 立方样条插值 ‘cubic’ 立方插值
例2
已知数据：
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y
0.3
0.5
1
1.4
1.6
插值&拟合
例：1949年—1994年我国人口数据资料如下：
年 份 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8
yi interp1( x, y, xi) 对节点（x,y）插值，求插值点的函
数值。 X：节点向量值， Y：对应的节点函数值。
插值&拟合
例1：用lagrange法、分段插值法插值y=1/(1+x^2)
x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2); x0=[-5:0.1:5]; y0=lagrange(x0,x,y); y1=1./(1+x0.^2); plot(x0,y0,'--r') hold on plot(x0,y1,'-b') legend('拉格朗日插值曲线’,'原曲线') y2=interp1(x,y,x0); plot(x0,y2,'*m') legend('拉格朗日插值曲线','原曲线','分段插值曲线')
插值计算的原理及应用方法
插值计算的原理及应用方法概述插值计算是基于已知一些数据点，通过建立一个合理的数学函数来估计未知位置的值的一种方法。
它广泛应用于数据分析、数值计算、图像处理等领域。
本文将介绍插值计算的原理以及常见的应用方法。
原理插值计算的原理是基于一个假设：在已知的数据点之间的未知位置上的值可以由数据点之间的函数关系来表示。
通过建立一个合适的插值函数，我们可以预测未知位置上的值。
插值方法可以分为两种类型：多项式插值和非多项式插值。
多项式插值使用多项式函数来逼近数据点之间的关系；非多项式插值使用其他函数形式，如三角函数、指数函数等。
以下是常见的插值方法：1.线性插值–原理：通过连接两个相邻数据点之间的直线来估计未知点的值。
–公式：假设已知数据点为(x0,y0)和(x1,y1)，则未知位置(x,y)的值可以通过公式$y = y_0 + \\frac{(x - x_0)(y_1 - y_0)}{(x_1 - x_0)}$来计算。
–适用场景：适用于数据点之间的变化趋势比较平滑的情况。
2.拉格朗日插值–原理：通过一个多项式函数的线性组合来逼近数据点之间的关系。
–公式：假设已知数据点为(x i,y i)，则未知位置(x,y)的值可以通过公式$y = \\sum_{i=0}^n y_i \\cdot L_i(x)$来计算，其中L i(x)为拉格朗日基函数。
–适用场景：适用于不等间隔的数据点。
3.牛顿插值–原理：通过一个n次多项式来逼近数据点之间的关系。
–公式：假设已知数据点为(x i,y i)，则未知位置(x,y)的值可以通过公式$y = f[x_0] + f[x_0, x_1](x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x-x_0)(x-x_1) +\\ldots$来计算，其中$f[x_0], f[x_0, x_1], f[x_0, x_1, x_2], \\ldots$为差商。
–适用场景：适用于等间隔的数据点。
应用方法插值计算在许多领域中都有广泛应用。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
插值型数值微分与积分
xi )(x
x i 1 )]
|x x i1
f
(2 ) 2!
[x
x i1
x
x ] | i1 xxi1
h 2
f (2 )
—
右端点
2.两点公式(n=2)
给定三点
x
i1
,
x
i
,
x
及其对应的函数值
i1
yi1,
yi
,
yi1
x i1
xi
即
y i 1
yi
x i1
步长h xi xi1 xi1 xi
y i 1
yi
)
—
左端点公式
f (xi1)
P1( x i 1 )
1 h
(yi1
yi )
—
右端点公式
这称为两点公式。
截断误差:
R1 (xi )
f (1) 2!
[(x
xi )(x
x i 1 )]
|xxi
f
(1 ) 2!
[x
x i1
x
x i 1 ]
|xxi
h 2
f
(1
)
—
左
端点
R1 (xi1)
f (2 ) 2!
[(x
0.264241
而精确值 I 1 2e1 0.26424111。可见，复合Simpson
公式的精确程度优于复合梯形公式，复合Cotes 公式又优于复合
Simpson 公式，而这三种公式的计算量几乎相同。
三、求积公式的误差：
f (n1) () pn (x) f (x) R n (x) f (x) Pn (x) (n 1)! n1(x)
n i!(n i)!0 t(t 1) (t i 1)(t i 1) (t n)dt
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式摘要：一、数值积分的概念与重要性1.数值积分的定义2.在科学计算中的应用二、插值求积公式介绍1.插值法的概念2.插值求积公式的推导三、插值求积公式的应用1.数值积分问题的解决2.实际问题的求解四、结论与展望1.插值求积公式的重要性2.未来发展方向正文：数值积分是一种通过离散点来近似计算连续函数积分的方法，它在科学计算中具有广泛的应用，例如在物理、工程、经济等领域。
通过数值积分，我们可以求解一些无法用解析方法求解的积分问题。
插值求积公式是一种基于插值法的数值积分方法。
首先，我们介绍插值法的概念。
插值法是一种通过已知离散点拟合连续函数的方法。
常见的插值法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值求积公式利用插值法，将原积分区间分割成若干子区间，通过对子区间上的函数值进行插值拟合，得到原函数在该点处的值。
插值求积公式的推导可以通过数值积分的基本思想进行。
首先，我们选取一个插值节点序列，将原积分区间分割成若干子区间。
然后，对每个子区间选取一个代表点，计算原函数在该点处的值。
接下来，利用插值法，根据已知离散点拟合连续函数，得到原函数在插值节点处的值。
最后，将插值节点处的函数值代入数值积分公式，计算原函数的积分值。
插值求积公式在数值积分问题的解决中具有重要作用。
例如，对于一些无法用解析方法求解的积分问题，我们可以利用插值求积公式进行数值积分，得到近似解。
此外，插值求积公式还可以应用于实际问题的求解，例如在经济学中，可以通过插值求积公式计算某种经济现象的概率分布。
综上所述，插值求积公式在数值积分中具有重要意义。
作为一种基于插值法的数值积分方法，它为我们解决一些无法用解析方法求解的积分问题提供了可能。
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
数值分析之插值型数值积分
x1=b x
25
数值分析
梯形公式的余项和精度
梯形公式的余项为
R1
=
(b
− a)3 2
1 f ''( )t(t −1)dt, = (a + th) (a,b)
0
由第二积分中值定理得到 R1
= − (b − a)3 12
f
''(), (a,b)
注意到，此时的余项与代数精度保持一致。
26
数值分析
a j=0 xk − x j
n n t− j
(
h)dt
0 j=0 k − j
jk
jk
n
= h(
1
)
n
[
n
(t − j)]dt =
(−1)n−k h
nn
[ (t − j)]dt
j=0 k − j 0 j=0
k !(n − k )! 0 j=0
jk
jk
jk
= (b − a)ck(n) k = 0,1, , n
出定积分的近似值，即
b
b
a f ( x)dx a ( x)dx
6
数值分析
求积公式与代数精度
7
数值分析
6.1 求积公式及代数精度
数值求积公式的一般形式为
b
f (x)dx
a
n
k f (xk )
k =0
式 中 的 xk ( k= 0 , 1 , n称, 为) 求 积 节 点 并 且 有
a x0 x1 xn b，k (k = 0,1, , n) 称为求积系数，
28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350
数学中的数值分析研究
数学中的数值分析研究数值分析是数学中一个重要的分支，涉及到对数学问题的数值计算和数值逼近方法的研究。
在现代科学和工程领域中，数值分析被广泛应用于模拟、优化、数值求解等问题。
本文章将探讨数值分析在数学中的研究和应用。
一. 数值分析的起源和发展数值分析起源于19世纪，当时人们开始意识到解析方法并不能解决所有数学问题。
于是他们开始研究数值方法，通过近似计算来解决无法求解的问题。
随着计算机的发展，数值分析得到了快速的发展，成为现代数学的一个重要分支。
二. 数值分析的重要概念和方法1. 插值和逼近插值和逼近是数值分析中常用的方法之一。
插值用于通过已知数据点构造出一个函数，使该函数在这些点上的取值与已知数据一致。
逼近则是通过找到一个简化的函数，使得该函数与原函数的差异尽可能小。
这两种方法在数值计算和模拟中经常被使用。
2. 数值积分和微分方程数值积分和微分方程求解也是数值分析的重要应用之一。
数值积分用于近似计算函数的定积分值，常用的方法包括梯形法则和辛普森法则。
而对于微分方程，数值方法可以用来近似求解无法用解析方法解出的方程。
3. 数值线性代数线性代数在数值分析中占有重要地位。
数值线性代数的研究主要包括矩阵运算、线性方程组求解和特征值计算等内容。
这些方法在科学计算和工程中都有广泛应用。
三. 数值分析的应用数值分析在科学和工程中有广泛的应用。
以下列举一些常见的应用领域：1. 物理学和工程学：从天体力学到流体力学，数值方法被广泛应用于模拟和优化问题。
2. 金融学：随着金融领域的发展，数值方法在金融模型的建立和风险管理中扮演着重要角色。
3. 计算机图形学：计算机生成的图像和动画都依赖于数值方法对曲线和曲面进行插值和逼近。
4. 数值模拟：数值方法在天气预报、地震模拟等领域具有重要的应用。
四. 数值分析的发展趋势随着科学技术的不断进步，数值分析也在不断发展和演进。
以下是一些数值分析发展的趋势：1. 高性能计算：随着超级计算机和并行计算技术的进步，我们能够处理更加复杂的数值计算问题。
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插值与数值积分化11班2011011792 李瑾【实验目的】1、掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
2、掌握用MATLAB及梯形公式、辛普森公式计算数值积分。
3、通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。
【实验内容】【题目1（1）】考虑函数f(x)=1, x∈[-5,5]。
取不同的节点数目分别用Lagrange 插值、分段线1+x性和三次插值，以及三次样条插值近似f (x)，分析插值效果。
【matlab求解】（1）先对四种插值方法进行初步比较。
对该函数，首先将[-5,5]区间5等分，用f(x)产生n=6个节点，并将插值点间隔设为0.1,即m=101，在MATLAB中分别用四种插值方法计算并作图，程序如下：%------------------------------作业题1(1)脚本M文件源程序---------------------------clear all;clf;x0=-5:2:5;y0=1./(1+x0.^2); % 产生从-5到5的6个节点,间距2x=-5:0.1:5; % 产生101个插值点x,间距0.1;y=1./(1+x.^2); % 计算原函数在插值点的取值用于比较y1=lagr(x0,y0,x); % 计算拉格朗日插值y2=interp1(x0,y0,x); % 计算分段线性插值y3=spline(x0,y0,x); % 计算三次样条插值y4=interp1(x0,y0,x, 'cubic'); % 计算三次插值[x;y;y1;y2;y3;y4]' % 输出数值表格结果xlabel('x')ylabel('y')plot(x,y,'k--',x,y1,'m',x,y2,'r',x,y3,'b',x,y4, 'g')title('图1.四种插值方法的对比,n=6,m=101'), % 加入X轴、Y轴标记和标题legend('原函数', '拉格朗日插值','分段线性插值', '三次样条插值', '三次插值');%-----------------------作业题1(1)拉格朗日插值函数 M文件源程序---------------------function y=lagr(x0,y0,x)n=length(x0); m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end得到的结果如下面的表1和图1所示：表1：四种插值方法的比较（n=6,m=101）从图1中可以看出，在[-0.6,0.6]范围内，插值法得到的曲线水平，与原函数差异很大，这是由于分段插值法两节点之间的数只与两节点的值有关，缺失了中间的信息造成的。
（2）当节点数增加为11，插值点数仍为101时，输出的图如下：由图可见，当n=11,m=101时，1）拉格朗日插值在[-0.5,0.5]范围内误差很小，但在两端出现振荡；2）分段线性插值具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；3）三次样条插值与三次插值均在直观上与原函数曲线较好的吻合。
（3）当节点数增加为21，插值点数仍为101时，由于拉格朗日插值的龙格现象较严重，故将图分开画。
图3：四种插值函数的比较，n=21,m=101由上图可见，当n变大时，拉格朗日龙格现象严重，边缘部分与原函数相差特别大，但在[-2,2]范围内与原函数吻合较好；而分段线性插值、三次样条插值、三次插值均与原函数吻合较好，其中，三次样条插值与三次插值更加光滑。
【结果分析】根据对精确值与n=6，11，21时的三种插值方法所得数据表以及图形的比较，可以得到：1.（纵向比较）当n由6到21逐渐变大时，3种插值曲线都越来越趋近于原函数曲线。
当n 较小时，拉格朗日插值曲线和三次样条插值曲线在端点附近都有较为明显的振荡，而分段线性插值曲线也不够光滑，与精确值曲线有较大偏差。
而当n较大时，这些误差现象都明显变小。
当n达到21时，可观察到的误差仅有拉格朗日插值曲线在端点附近的振荡以及分段线性插值曲线在顶点处的不光滑成分，3种插值曲线都很好地与原函数曲线相吻合。
2.（横向比较）对于相同的n，可以看到三种插值方法各有优缺点：拉格朗日插值曲线在节点附近误差很小，曲线也较为光滑，但在端点处有较为明显的龙格现象；分段线性插值曲线具有良好的收敛性，但在节点处不光滑，在函数比较陡峭时容易出现较大的误差；而三次样条插值曲线与三次插值曲线在n较小时也会出现振荡现象，但兼具了收敛和光滑的优点，从直观上看与原函数曲线吻合得最好。
【理论分析】可以分别从三种插值方法的定义和误差估计式对以上结果作出分析：〈1〉对于拉格朗日多项式插值，其中因此可以求得插值误差（即插值多项式与产生节点的之差）,代入,由于是在给定的有限区间[-5,5]上进行拟合的,故满足将本题的f(x)=11+x则由以上几个式子可以推断出以下几个结论：①节点n增大时，误差估计式中的分母迅速变小，同时节点间距也变小，项一般情况下也变小，减小即误差减小；②越平缓的地方高阶导数越小，误差变小；③插值点越接近节点处，越小，误差越小。
④对于较小的误差一般较小；而对于较大的，振荡越来越大，与的误差也会变大，即出现龙格现象。
〈2〉对于分段线性插值，其中即线性分段插值相当于把每相邻的节点用直线连接起来。
因此：①n越大，分段越多，节点间距越小，分段直线越逼近于原函数曲线；②由于在每个节点处，分段线性插值函数都是取该点的原函数的值，故具有很好的收敛性，不会像拉格朗日插值那样出现振荡现象；③由于对于x点的插值，分段线性插值只用到x左右的两个节点，并且用直线直接相连，因此分段线性插值在节点处不光滑。
〈3〉对于三次样条插值，按照其定义，由于三次样条函数S(x)在每个小区间[]上是三次多项式，并且在整个取值区间上二阶导数连续，同时满足在节点的取值与原函数的值相同，因此三次样条插值不仅具有良好的收敛性，即在很弱的条件下都能满足并且曲线十分光滑（二阶导数连续）。
相对而言，边界处的误差比区间中间处的误差要大一些。
将以上分析结果和Matlab用三种插值方法计算出的数据表和图形进行对比，可见，Matlab计算结果和理论分析是一致的。
【本题总结】（1）三种插值方法中，拉格朗日插值曲线在节点附近误差很小，曲线也较为光滑，但在端点处有较为明显的振荡现象；分段线性插值曲线具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；而三次样条插值曲线在n较小时也会在端点附近有相对较大的误差，但兼具了收敛和光滑的优点，从直观上看与原函数曲线吻合得最好。
（2）当节点数n由小变大时，各种插值方法的误差现象都明显变小，3种插值曲线都越来越趋近于原函数曲线。
【题目1（2）】考虑函数f(x)=11+x2 , x∈[-5,5]。
选取非均匀插值节点，x k=5∗cos((2k−1)π2n),i=1,2,…,n,尝试进行插值，并分析插值效果。
【matlab求解】（1）先对四种插值方法进行初步比较。
对该函数，首先设定共n=6个节点，根据式x k=5∗cos((2k−1)π2n)产生这六个节点，并将插值点间隔设为0.1,即m=101，在MATLAB中分别用四种插值方法计算并作图，程序如下：%------------------------------作业题1(2)脚本M文件源程序--------------------------- n=6;i=1:n;x0=5.*cos((2.*i-1).*pi./(2.*n))y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.^2);y1=lagr(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=spline(x0,y0,x);y4=interp1(x0,y0,x,'cubic');xlabel('x')ylabel('y')plot(x,y,'k--',x,y1,'m',x,y2,'r',x,y3,'b',x,y4, 'g')title('图4，不等距插值,n=6,m=101') ;legend('原函数', '拉格朗日插值','分段线性插值', '三次样条插值', '三次插值'); 得到的结果如下面的表3和图4所示：由图像可以看出，节点数n=6时，拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值、三次插值在[-1,1]区间内，与原函数误差均很大。
而与第一问相比，在边界处，拉格朗日插值的龙格现象没有第（1）问那么严重。
当n=11时，输出图形如下：由此可见，与n=6相比，在[-1,1]区间内，误差减小了，但边界处拉格朗日插值的误差变大。
而与第（1）问中的n=11时的情况相比，在[-1,1]区间内误差变大，四中插值方法所得结果都没有第（1）问时理想。
当n=21时，输出图形如下：又图可得，与n=11与n=6时的情况相比，拉格朗日插值在边界处的误差均小了很多；除了分段线性插值外，拉格朗日插值、三次样条插值、三次插值在[-1,1]区间内的误差均减小。
而与第（1）问中n=21时的情况相比，拉格朗日插值在边界区的误差减小，而所有插值在中心区的误差增大。
【本题总结】观察图像可以看出，这种非均匀插值节点选取在估计精度上，大多数情况下明显不及均匀插值节点，尤其是21节点时，均匀插值节点已经拟合得很好，但这种非均匀插值节点的图像还有明显偏差。
但特别的是，这种非均匀插值节点选取方法产生的Lagrange插值函数没有出现区间两端的较大波动，反而拟合得更好。
与均匀插值节点相比较，可以发现在这种情况下，除了Lagrange插值法之前的三种插值法，非均匀插值节点表现都相对较差。
而通过对图像的观察，可以发现Lagrange插值法在非均匀插值节点情况下表现好与非均匀插值节点下没出现区间两端较大波动有关。
结合图像分析数据，可以看出本题选取的非均匀插值节点法与均匀插值节点法相比，唯一的改善点是Lagrange插值法在节点增多时区间两端波动较大的缺点被克服，但除此之外，这种非均匀插值节点的选取没有产生任何正面效果，反而产生了更大的误差。