3.3 矩阵的秩
各种矩阵的概念
各种矩阵的概念矩阵是现代数学的一个基本概念，广泛应用于线性代数、微积分、概率论、统计学等领域。
它是由若干行和列组成的一个矩形阵列。
在这篇文章中，我将介绍矩阵的基本概念和一些常见的矩阵类型。
一、基本概念1.1 元素：矩阵中每个所在行列交叉点上的数称为元素。
常用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。
1.2 阶数：矩阵的行数和列数称为矩阵的阶数。
如果一个矩阵有m行n列，记作m×n的矩阵，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。
1.3 主对角线：一个方阵从左上角到右下角的斜线称为主对角线。
1.4 零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
二、特殊类矩阵2.1 方阵：行数和列数相同的矩阵称为方阵。
它可以表示线性变换、线性方程组等。
2.2 对称矩阵：主对角线两侧的元素相等的方阵称为对称矩阵。
如果一个矩阵A 满足A_ij=A_ji，其中A_ij表示第i行第j列的元素，A_ji表示第j行第i列的元素，则称矩阵A为对称矩阵。
2.3 反对称矩阵：主对角线上的元素为零，且A_ij=-A_ji的方阵称为反对称矩阵。
2.4 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为零的方阵称为单位矩阵，用I表示。
例如，3×3的单位矩阵是[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]。
2.5 对角矩阵：主对角线以外的元素全部为零的方阵称为对角矩阵。
例如，一个对角矩阵可以表示特定向量的缩放因子。
2.6 上三角矩阵：主对角线以下的元素全部为零的方阵称为上三角矩阵。
例如，一个上三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线上方。
2.7 下三角矩阵：主对角线以上的元素全部为零的方阵称为下三角矩阵。
例如，一个下三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线下方。
三、矩阵运算3.1 矩阵的加法：相同阶数的两个矩阵相加，只需将对应位置上的元素相加。
3.2 矩阵的数乘：一个矩阵中的每个元素都乘以一个常数，结果仍然是一个矩阵。
矩阵的知识点总结
矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。
它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。
1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。
2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。
2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。
三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。
3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。
3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。
3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。
四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。
4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
↔
1 0 B = 0 2 0 0
矩阵等价性具有如下性质： （1）反身性： A ↔ A （2）对称性：如果 A ↔ B ，那么 B ↔ A （3）传递性：如果 A ↔ B, B ↔ C ，那么 A ↔ C
第 i行
| E ( i , j ) |= −1,
第j行
E ( i , j ) −1 = E ( i , j )
第i列
第j列
-12-
2、倍乘初等矩阵
1 E ( i ( k )) = O 1 k 1 O
↑ 第i列
← 第 i行 1
r
Pl L P2 P1 A = E
问 A − 1 = Pl L P2 P1 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 ( A E ) 作行变换
P1 ( A E ) = ( P1 A P1 E )
P2 P1 ( A E ) =
( P2 P1 A
P2 P1 E )
Pl L P2 P1 ( A E ) = ( Pl L P2 P1 A Pl L P2 P1 E )
A ↔ B,
如何把它们用等号联系起来？
-11-
定义
对单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称
为初等矩阵。 共有三种初等矩阵，分别为 1、交换初等矩阵
1 O 1 0 1 L ← 1 E ( i, j ) = M O M 1 1 L 0 ← 1 O 1 ↑ ↑
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
秩知识点总结
秩知识点总结本文将就秩知识点进行总结，从不同角度来解释秩的概念、性质、应用及其相关定理。
秩是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵的研究中有着重要的作用。
秩的概念和性质是线性代数的基础知识，对于理解线性代数的其他内容具有重要意义。
一、秩的定义1.1 矩阵的行秩和列秩在矩阵的行空间中，秩的定义是行空间的维数。
同样，在矩阵的列空间中，秩的定义是列空间的维数。
行秩和列秩都是矩阵的秩。
矩阵的秩是行秩和列秩中的较小者。
1.2 符号表示矩阵A的秩记作r(A)。
在文中，通常会简单地称呼为矩阵A的秩。
1.3 矩阵A的秩等于行秩和列秩行空间和列空间是等价的。
因此，矩阵A的行秩和列秩是相等的，即秩。
这个定理是线性代数中的重要定理。
二、秩的性质2.1 零矩阵的秩为0对于任意大小的零矩阵，其秩都是0。
这是秩的一个重要性质。
2.2 矩阵的秩不会超过其行数和列数中的较小者对于一个m×n的矩阵A，其秩r(A)不会大于m和n中的较小者。
2.3 等价矩阵的秩相等对于等价矩阵A和B，它们的秩是相等的。
2.4 矩阵的秩与矩阵的变换无关对于一个矩阵A，将其进行线性变换后得到的新矩阵B，矩阵A和B的秩是相等的。
秩只与原矩阵A有关，与其变换无关。
2.5 矩阵的秩与初等行变换有关通过初等行变换，矩阵的行秩是它所对应的行阶梯形矩阵的行秩。
这个性质对于计算矩阵的秩非常重要。
三、秩的应用3.1 矩阵的秩与方程组的解的个数有关当矩阵A的秩与矩阵的增广形式的秩相等时，方程组有唯一解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组有无穷解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组无解。
3.2 矩阵的秩与矩阵的逆的存在性有关当矩阵A是一个n×n的方阵，并且其秩等于n时，矩阵A存在逆矩阵。
3.3 矩阵的秩与矩阵的特征值有关关于特征值和特征向量的理论可以用秩来进一步分析特征值和特征向量的性质。
3.4 矩阵的秩与矩阵的奇异性有关当矩阵A的秩小于n时，矩阵A被称为奇异矩阵。
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
第三章 行列式讲解
第三章 行列式在第一章中，我们用矩阵的初等行变换解决了线性方程组是否有解及求解的问题. 但这种方法，早已把方程组的系数和常数项变得面目全非了，无法给出解与方程组的系数和常数项之间的关系，本章就利用行列式来解决这一问题. 行列式不仅是研究线性代数的重要工具，在其它领域也有广泛应用. 本章介绍行列式的概念、性质、计算及应用.3. 1行列式的概念一、二阶和三阶行列式首先我们通过解二元、三元线性方程组引入二阶和三阶行列式的定义. 对于二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩，利用消元法知，当112212210a a a a -≠时，求得其解为122212211121121122122111221221,b a b a b a b ax x a a a a a a a a --==--. （3. 1）上式作为二元线性方程组解的公式，给出了解与方程组的系数和常数项之间的关系，但不好记忆. 为便于应用这个公式，我们引入二阶行列式的定义.我们把四个数11122122,,,a a a a 排成两行两列构成的二阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭所确定的算式11221221a a a a -称为二阶行列式. 记为11122122a a a a 或A 或D ，即 1112112212212122===-a a D A a a a a a a .二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆，把11a 到22a 所在的连线称为主对角线，把12a 到21a 所在的连线称为副对角线，则二阶行列式等于主对角线上两元素乘积减去副对角线上两元素乘积.利用二阶行列式的定义，（3. 1）式中1x ，2x 的分母可记为1112112212212122a a a a a a D a a -==，称为线性方程组的系数行列式.分子可记为1121222121222b a b a b a D b a -==，1112111212212a b b a b a D a b -==，其中1D 是用常数项12,b b 替换系数行列式D 的第一列得到的行列式，2D 是用常数项12,b b 替换系数行列式D 的第二列得到的行列式.于是，利用二阶行列式的定义，（3. 1）式可表示为11211122221212121112111221222122,b a a b b a a b D Dx x a a a a D D a a a a ====. 例3. 1 求解二元线性方程组121232421x x x x -=⎧⎨+=⎩.解 由于 ()32347021D -==--=≠，()14242611D -==--=，23438521D ==-=-，因此 121265,77D D x x D D -====. 类似地，在解三元线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的过程中引入三阶行列式的定义.把三阶方阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所确定的算式 112233122331132132a a a a a a a a a ++132231122133112332a a a a a a a a a ---称为三阶行列式，记为111213212223313233a a a a a a a a a 或A 或D . 即111213212223313233a a a A a a a a a a = 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a ---.由三阶行列式的定义，我们注意到：注1三阶行列式是6项的代数和，并且正负各占一半； 注2它的每一项是不同行、不同列的三个元素的乘积.三阶行列式的算式很难记忆，下面我们考察三阶行列式与二阶行列式之间的关系. 事实上111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a --- ()()()112233233212213323311321322231a a a a a a a a a a a a a a a =---+- ()()()111213222321232122111213323331333132111a a a a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-其中22233233a a a a 是划掉三阶方阵A 中元素11a 所在的第一行和第一列，剩下元素构成的二阶行列式，该行列式称为元素11a 的余子式，记为11M .记()1111111A M +=-，称为元素11a 的代数余子式. 相应的有()1221231231331a a A a a +=-，称为元素12a 的代数余子式.()1321221331321a a A a a +=-，称为元素13a 的代数余子式.于是111213212223111112121313313233a a a a a a a A a A a A a a a =++. 这说明三阶行列式可转化为二阶行列式来计算.例3. 2计算三阶行列式11321131-.解 11321131-()()()()111213210102111131311113+++=⨯-⨯+-⨯-+⨯- ()()11328=-+-+⨯-=-.二、n 阶行列式把二阶、三阶行列式推广到一般情形，便得到n 阶行列式的定义. n 阶行列式有几种等价的定义方法，在这里我们用归纳法定义.定义3. 1 n 阶方阵()ij A a =所确定的算式称为n 阶行列式，记为111212122212n n n n nna a a a a a A a a a =，并且该算式满足：当1n =时，1111A a a ==；当2n =时，1112112212212122a a A a a a a a a ==-；当2n >时，1112121222111112121112n n n n n n nna a a a a a A a A a A a A a a a ==+++111nj j j a A ==∑.其中()1i jij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式；ij M 为A 中划去第i 行和第j 列后剩下元素所构成的1n -阶行列式，即111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j in iji i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=称ij M 为ij a 的余子式.n 阶行列式A 也可以简记为D 或det A 或ij a .由n 阶行列式定义，我们同样可以得到类似于三阶行列式的结论： 注1 n 阶行列式是!n 项的代数和，并且正负各占一半； 注2 它的每一项是不同行、不同列的n 个元素的乘积. 此外还要注意n 阶行列式和n 阶矩阵的区别：注3 它们本质不同. 行列式是一个算式，其结果是一个数值，而矩阵是一个数表； 注4 它们记法和形状不同. 行列式记号是两条竖杠，矩阵则是圆括号；行列式的行数和列数必需相等，而矩阵的行数和列数不一定相等.例3. 3计算4阶行列式1102101010310100D -=.解 1111121213131414D a A a A a A a A =+++()()23010110110311113110000-=⨯-+⨯-()()45100101011012110301010--+⨯-+⨯- ()()()()()1201311111111100000+=-+-⨯-+-⨯-()()403102111001⎡⎤-⨯-+-⎢⎥⎣⎦1247=-⨯=-.例3. 4证明对角行列式（指主对角线以外的元素都为零）和副对角行列式（指副对角线以外的元素都为零）12120000n nλλλλλλ=，()()112212000100nn n nλλλλλλ-=-.证明 由n阶行列式定义12000nλλλ=111Aλ()22110nλλλ=-312nλλλλ===12n λλλ.120000nλλλ=()211010nnλλλ+-()()3111120110nn nλλλλ++-=--==()()()11113112201110nn n n nλλλλλ++-+-----()()()()111131212211111nn n n n λλλλλ++-++--=----()()()()122112211111n n n n n λλλλλ----=----()()12121n n n λλλ-=-. 例3. 5证明下三角行列式112122112212000nn n n nna a a a a a a a a=.证明 由n 阶行列式定义11212212000nn nna a a a a a =22112n nna a a a==1,111222,2,10n n n n n n nna a a a a a -----=1122nn a a a .我们注意到，在例3. 3中行列式第四行的零元素比第一行的零元素还要多，如果能够按第四行展开，计算岂不是更简单. 事实上，行列式不但可以按第一行元素展开，还可以按任一行或任一列元素展开，结果都是一样的. 因此有下面按行（或按列）展开定理: 定理3. 1 n 阶行列式ij D a =等于它的任一行（或任一列）的每个元素与其所对应的代数余子式乘积之和，即11221ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A ==+++=∑ ()1,2,,i n =或11221nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A ==+++=∑ ()1,2,,j n =证明略例3. 6计算n 阶行列式11121,1121222,11,11,21n n n n n n n a a a a a a a D a a a ----=解 将行列式按最后一列展开，n D()212,111110n nnn a a a a -+=-()()313,211112,11110n nn n n n a a a a a -++--=--=()()()()14312,111111n nn n n a a a +----- ()()()()122112,111111n n n n n a a a ---=----=()()1212,111n n n n n a a a ---.类似地，可得到12,121,1000n n n n n n nna a a a a a --()()1212,111n n n n n a a a --=-.习题3. 11. 计算行列式.(1)xy x y y x y x x y xy+++； (2)111230254-；(3) 01000102009834567； (4)1213002003401200101132-----. 2. 计算n 阶行列式.(1)010000200010n n -； (2)001002001000000n n-.3. 求x 的值使 14131232x x x+ 21311132x x x-=0.3. 2行列式的性质利用定义计算n 阶行列式，当n 很大时，计算量会很大. 本节将研究行列式的性质，借此来简化行列式的计算.设n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D A a a a ==，将其行与对应的列互换后得到的行列式称为D 的转置行列式，记为T D 或TA ，即112111222212n n T T nnnna a a a a a D A a a a ==.性质1 行列式与其转置行列式相等，即TD D =. 证明 用数学归纳法. 当2n =时，1112112212212122a a D a a a a a a ==-，1121112212211222T aa D a a a a a a ==-， 所以 TD D =.假设()13n k k =-≥时结论成立. 下面证明当n k =时结论也成立.为此，将D 和T D 分别按第一行和第一列展开，记1t A 为D 中第一行第t 列元素1t a 的代数余子式；1t B 为T D 中第一列第t 行元素1t a 的代数余子式. 则有111111,n nTt t t t t t D a A D a B ====∑∑因为1t A 与1t B 都是1k -阶行列式，且11Tt t A B =，由归纳假设知，11t t A B =()1,2,,t n =，所以 T D D =.性质1表明，在行列式中行与列的地位是相同的，因此，凡对行成立的性质，对列也都成立. 性质1还可以用方阵的行列式形式表达：T A A =.性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式变号.证明 用数学归纳法.易验证当2n =时，结论成立.假设对1n -阶行列式结论成立，现在考察n 阶行列式11121121212ni iin j j jnn n nna a a a a a i D a a a j a a a ←=←第行第行记交换D 的第i 行和第j 行所得到的行列式为1D .因为3n ≥，所以D 和1D 中必存在第k 行(),k i j ≠，现在把D 和1D 分别按第k 行展开，得到111,n nkt kt kt kt t t D a A D a B ====∑∑其中kt A ，kt B 分别为行列式D 和1D 中元素kt a 所对应的代数余子式()1,2,,t n =.因为kt A 和kt B 都是1n -阶行列式，且交换kt A 的两行后得到kt B ，由归纳假设得1kt kt A B =-()1,2,,t n =所以 1D D =- ， 故结论成立.推论1 若行列式中两行（或两列）对应元素相同，则行列式的值为零.性质3 用数k 乘以行列式的某一行（或列）所有元素，等于用数k 乘此行列式. 即11111n iin n nna a ka ka a a =11111n iin n nna a k a a a a . 证明 将行列式按第i 行展开便得.性质3还告诉我们，若行列式的某一行（或列）所有元素有公因数，则此公因数可以提到行列式的外面.推论1 若行列式中某行（或列）的元素全为零，则行列式的值为零.推论2 若行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例，则行列式的值为零.性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两数之和，则此行列式可表示为下面两个行列式之和：111111n ii inin n nna a ab a b a a ++1111111111nn i in iin n nnn nna a a a a ab b a a a a =+. 证明将行列式按第i 行展开，便得111111n i i in in n nna a ab a b a a ++ ()111nnnik ik ik ik ik ik ik k k k a b A a A b A ====+=+∑∑∑1111111111n n i in i inn nnn nna a a a a ab b a a a a =+. 性质5把行列式的某一行（或列）的各个元素乘以同一数k ，然后加到另外一行（或列）对应元素上去，行列式值不变. 即11121121212n i i inj j jnn n nna a a a a a a a a a a a 1112112112212n i i inj i ji jninn n nna a a a a a a ka a ka a ka a a a =+++证明由性质4及性质3便得.性质2、性质3、性质5涉及到对行列式的行（或列）的三种变换恰好与矩阵的三种初等变换相对应，因此我们通常也把行列式的这三种变换分别记为i j r r ↔，表示互换行列式的第i 行和第j 行；i kr ，表示用非零常数k 乘行列式第i 行所有元素；j i r kr +，表示用一个非零常数k 乘行列式第i 行所有元素后加到第j 行对应元素上.若 “行”换成“列”，相应地记为i j c c ↔，i kc 和j i c kc +. 例3.7已知1abcd =，证明222222221111011111111a b c d a b c d ab c d a b c d ++++=.证明 行列式的第一行都是两项之和，且每一列有相同的变量，利用性质4和性质3得22222222111111111111a b c d a b c d a b c d a b c d ++++2222222211111111111111111111a b c d a b c d a b c da b c d a b c da b c d =+12D D =+.而 1D 222211111111a b c d ab c da b c d=2222111111111111a b c d abcd ab c d a b c d = 13342222111111111111r r r r a b c d a b c d a b cd↔↔=242222111111111111r r a b c d a b c d a b c d ↔=-2D =-.所以 左边12D D =+0=.性质6行列式的某一行（或列）的元素与另外一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即112210ni j i j in jn ik jk k a A a A a A a A =+++==∑ ()i j ≠，112210ni j i j ni nj ki kj k a A a A a A a A =+++==∑ ()i j ≠.证明 作行列式111111niin iin n nna a a a i D a a j a a ←'=←第行第行由D '中第i 行和第j 行元素相同，所以0D '=. 再将D '按第j 行展开，得11220i j i j in jn D a A a A a A '=+++=.综合定理3. 1和性质6，我们可以把这两个结论用下面表达式表示：1,0,nik jkk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当时，当时.（3. 2） 1,0,nki kjk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当时，当时.（3. 3） 例 3.8 设行列式9302555565066610D =，求（1）41424344A A A A +++，（2）216A222495A A ++.解（1）根据（3. 2）式，在分析行列式的特点，我们作第二行元素与第四行元素对应的代数余子式乘积之和，则有4142434455550A A A A +++=，所以 414243440A A A A +++=.（2）由题意，把行列式的第二行元素换为6,9,0,5，其它不变，便有212224695A A A ++=9302690565066610而9302932690569565066566610=-231333212432953041256256r rr r ----=---= 3121244130413195914914r r ------=-=-=所以 212224695195A A A ++=-.性质7 若A 为n 阶方阵，k 是数，则nkA k A =. 证明 由性质3及数与矩阵乘法便得.性质8 设分块矩阵0,0A A C P Q C B B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中A ，B 分别为n 阶和m 阶方阵，则P A B =，Q A B =.证明 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，1111m m mm b b B b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 对行列式A 作若干次i j r r ↔或i j r kr +初等行变换，可将其化为下三角行列式，即()()11112211ssnn nnq A q q q q =-=-*其中s 表示所作行变换i j r r ↔的次数.在对行列式B 作若干次i j c c ↔或i j c kc +初等列变换，可将其化为下三角行列式，即()()11112211ttmm mmp B p p p p =-=-*其中t 表示所作列变换i j c c ↔的次数.对行列式P 的前n 行实施上述相应的行变换，对行列式P 的后m 列实施上述相应的列变换，便有()111110s tnnmm q Oq P p Cp +*=-*()112211221s tnn mm q q q p p p +=-A B =.又因为 TT TT A O Q CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以 TTT TTT A O Q Q A B CB===A B =. 性质9 若n 阶分块矩阵100t A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中()1,2,,i A i t =是方阵，则1t A A A =.请读者自证.性质10若,A B 均为n 阶方阵，则AB A B =.证明 设()(),ij ij A a B b ==都是n 阶方阵，下面作2n 阶辅助行列式1111111111nn nnn n nna a Oa a A O Db b EBb b ==---由性质8得D A B =.现在证明D AB =. 为此用1j b 乘第一列，2j b 乘第二列，，nj b 乘第n 列，都加到第n j +列上()1,2,,j n =，得A CD E O=-，其中()ij C C =，1nij ik kjk C ab==∑(),1,2,,i j n =，由矩阵乘法知C AB =.再将A CD E O =-中第i 行与第n i +行依次作交换()1,2,,i n =，得()1nE O D AC-=-()1n E C =--()()11nnC =--AB =所以 AB A B =.例3. 9 计算行列式3393234000580006562166000D =解 化为分块三角矩阵. 再由性质8，有1533932660003400034000580005800065621656216600033932r r D ↔=-=0006666621003434932=-=-⨯=.例3. 10 证明奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于零.证明设A为n（为奇数）阶反对称矩阵，则有T A A=-，由性质1及性质7，得()1nTA A A A A==-=-=-，因此有0A=.习题3. 21. 计算行列式.(1) 110112198232032-；(2)1122331001100110011bb bb bb------；(3)1234234134124123； (4)5010011200225005731442658.2. 计算n阶行列式1112221212(2)12nn n nx x x nx x x nD nx x x n++++++=≥+++.3. 设3400430000200022A⎛⎫⎪-⎪=⎪⎪⎝⎭，求8||A.4. 已知1326，2743，5005，3874都能被13整除，不计算行列式的值，试证1326 2743 5005 3874能被13整除．5. 已知1012110311101254D -=-，求：（1）12223242A A A A -+-；（2）41424344A A A A +++．3. 3行列式的计算下面介绍行列式计算的几种常用方法.一、 化三角行列式法性质2、性质3和性质5对行列式做的三种变换对应着矩阵的三种初等变换，我们知道矩阵总可以通过初等变换化为阶梯形矩阵，所以利用性质2、性质3和性质5总可以把行列式化成三角行列式，之后求出其值，这种方法称为化三角行列式法.例3. 11 计算3112513*********D ---=---.解 D 121312153402115133c c ↔---=----2141513120846021101627r r r r -+---=---2313120211084601627r r ↔--=---433242544813121312021102114000810008105001015002r r r r r r ++-----===---. 例3. 12计算n 阶行列式a b bb b a bb bb ab b b ba. 解 a b bb b a bb bb ab b b ba()()()()121111nr r r a nb a n b a n ba n bb a b bb b abbbba++++-+-+-+-=()11111b a bb a n b b b ab b b b a =+-⎡⎤⎣⎦ ()21311111100100n r br r br r br a b a n b a b a b----=+-⎡⎤-⎣⎦-()()11n a n b a b -=+--⎡⎤⎣⎦.二、降价法所谓降价法就是利用定理3. 1把n 阶行列式展开成n 个1n -阶行列式，反复使用此方法，最后求出行列式的值. 显然当行列式的某行（或列）有很多零元素时，该方法比较适用.例3. 13计算1012213101011342----.解 观察行列式，注意到第三行零较多，利用性质使第三行除一个元素是非零的，其余都为零.4210121012213121320101010013421341c c +----=--2131211211223201614151r r r r +---=--=--按第三行展开163151=-=-.例3. 14计算1n +阶行列式112231111111n n nn a a a a a D a a a +----=-解111211122231110111111121n n n nc c c cn n n c c nn n a a a a a a a D a a a a a n nn +-+++--+---==-+-()()122111n n na a n a a +-=-+按第一列展开()()111nni i n a ==-+∏.三、数学归纳法当n 阶行列式的结果是已知的，往往可以用数学归纳法来证明.例 3. 15证明n 阶范德蒙德行列式()1232222123111111231111n n n ijj i nn n n n nx x x x D x x x x x x x x x x ≤<≤----==-∏其中记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证明 用数学归纳法. 当2n =时，()221121211i j j i x D x x x x x ≤<≤===--∏， 结论成立.假设对1n -阶范德蒙德行列式结论成立，下面证明对n 阶范德蒙德行列式结论也成立.将n D 从最后一行开始，自下而上每一行减去上一行的1x 倍，得到()()()()()()21311221331122222133111111000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x xx x x x x x D x x x x x ------------=将其按第一列展开，之后把每一列的公因式提出来，就得到()()()232131122223111nn n n n nn x x x x x x x D x x x x x ------=上式右端是一个1n -阶范德蒙德行列式，由假设知，它等于()2ijj i nx x ≤<≤-∏，因此()()()()213112n i j n j i nx x x x xx x Dx ≤<≤----=∏()1ijj i nx x ≤<≤=-∏.综上，结论得证.从该例可知，当12,,,n x x x 各不相同时，范德蒙德行列式不等于零.四、递推法所谓递推法就是利用行列式的性质和展开定理，建立n 阶行列式与同结构的1n -阶行行列式之间的递推关系，找到递推公式，求出行列式的值.例3. 16计算2n 阶行列式2n a baba b D c dc d cd=.解 2nD ()210010n ababa b ab a bcdcdc dcd dc++-=按第一行展开()()()221211nn n adD bcD ----=分别按最后一列和第一列展开()()21=n ad bc D --()()()()21222n nn ad bc D ad bc D ad bc --=-==-=-.上面我们简要的介绍了计算行列式的常用方法.在具体计算之前，应注意观察所给行列式是否具有某些特点，然后考虑能否利用这些特点采取相应的方法以达到简化计算的目的.在计算以字母作元素的行列式时，更要注意简化.习题3. 31. 计算行列式.(1)214131211232562-； (2)1234123412341234x x x x++++； (3)222233331111586258625862.2. 计算行列式211222233020010400301011D x x x a x b x c x d =. 3. 计算行列式na a a a D 01001001111210=. 4. 证明))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c ba+++------=.5．证明1221100001000001nn n x x x a a a a x a ---⎛⎫ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭=111n n n n x a x a x a --++++.3. 4 行列式的应用行列式有十分广泛的应用，本节介绍行列式在矩阵和一类特殊线性方程组中的应用.一、行列式与矩阵可逆设()ij A a =为n 阶方阵，把A 中元素ij a 都换成它的代数余子式ij A ，在转置，所得到的矩阵()112111222212n Tn ij nnnn A A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭称为A 的伴随矩阵.由（3. 2），（3. 3）式得AA A A **=000000AA A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A E =. 由上式我们可以得到矩阵可逆的充要条件：定理3. 2 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，且1A A A*-=.证明 必要性 若A 可逆，则存在n 阶方阵B ，使AB E =，由性质10得1A B E ==，所以 0A ≠.充分性 若0A ≠，由AA A A **=A E =，有11AA A A E A A**==. 由逆矩阵的定义，于是有A 可逆，且1A A A*-=.当0A ≠时，称A 为非奇异矩阵，当0A =时，称A 为奇异矩阵. 推论 若AB E =（或BA E =），则A 可逆，且1A B -=.证明 因为AB E =，所以1A B E ==，故0A ≠，因此A 可逆. 于是()()1111B EB A A B A AB A E A ----=====.关于矩阵A 的逆矩阵和伴随矩阵的行列式有下面性质： 性质1 1n A A-*=（A 为()2n n ≥阶方阵）证明 （1）若A 可逆，则0A ≠. 由AA A A **=A E =，得n A A A A A E A **===，所以1n A A-*=.（2）若A 不可逆，则0A =. 因此 AA *0A E ==. 假设0A *≠，则A *可逆，因而()10AAA A -**==.若0A =，A *一定为零矩阵，这与0A *≠矛盾，所以0A *=. 故1n A A -*=.性质2 111AAA--==证明 设A 是n 阶方阵，由1A A A*-=，有11111n n n A AA A A A A A*--*====. 例3. 17利用伴随矩阵求方阵123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解 求得20A =≠，所以A 可逆. 计算A 中每个元素的代数余子式：()211211243A =-=，()321231643A =-=，314A =-，123A =-，226A =-，325A =， 132A =，232A =，332A =-.求得 264365222A *-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以 1A A A *-==26413652222-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 例3. 18 求矩阵000100001000aa Pb b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭的逆矩阵（其中0,0a b ≠≠）.解 对P 进行分块00010*******00a a A P b B b ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭， 又,A B 都可逆，所以11100A PB ---⎛⎫=⎪⎝⎭. 而 12011a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭， 12110b B b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故 212100011001100100a a a Pb b b -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、行列式与矩阵的秩下面我们研究矩阵的秩与行列式的关系. 为此，引入矩阵k 阶子式的概念.定义3. 2 设A 是一个m n ⨯矩阵，在A 中任取k 行、k 列，由位于这些行与列的交点上的2k 个元素按原来次序构成的k 阶行列式，称为k 阶子式.m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kk mn C C ⋅个. 定义3. 3 设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式r D ，且所有1r +阶子式（如果存在的话）全等于0，则称r D 为矩阵A 的最高阶非零子式.例如，123001212460A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，取A 中第一、二行和第三、四列交点上的元素构成的2阶子式303021=≠取A 中第一、二、三行和第一、三、四列交点上的元素构成的3阶子式1300210260= 可以验证，A 中所有3阶子式均为0，所以A 的最高阶非零子式的阶数是2. 通过初等变换方法可求出A 的秩也是2. 我们注意到，矩阵A 的秩就等于矩阵A 的最高阶非零子式的阶数. 事实上，这个结论对任意矩阵都成立，下面给出证明.引理 若矩阵A 与B 等价，则A 中存在r 阶非零子式的充分必要条件是B 中也存在r 阶非零子式. 也可以表述为：A 中所有r 阶子式全为0的充分必要条件是B 中所有r 阶子式全为0.证明 由矩阵等价具有对称性，仅需证明必要性.设0r A ≠是A 中r 阶非零子式，r B 是B 中r 阶子式，当A 经过一次初等行变换变成B ，相应的r A 变成r B .（1）若是互换A 中的两行，则有0r r B A =±≠.（2）若是用非零常数k 乘以A 中某一行，则有0r r B k A =≠.（3）若是用数k 乘A 中第i 行所有元素后加到第j 行对应元素上，则有下面两种情况:1 若r A 中不含A 中第j 行，或是既含A 中第i 行又含A 中第j 行，则0r r B A =≠.2 若r A 中只含A 中第j 行但不含A 中第i 行，则r j i j i r r B r kr r k r A k A =+=+=+如果0r A ≠，就已经证明B 中有r 阶非零子式；如果0r A =，由上式有0r r B A =≠. 综上B 中也存在r 阶非零子式.定理3. 3 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶数.证明 首先，设()R A r =，下面分两种情况讨论： （1）当{}m i n ,r m n <时，则矩阵A 与它的标准形000rm nE F ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭等价，因F 中有r 阶非零子式r E ，且所有1r +阶子式全为零，所以A 中最高阶非零子式的阶数是r .（2）当(){}min ,R A m n =时，即r m =或r n =，则有矩阵A 与它的标准形()0rE 或0r E ⎛⎫⎪⎝⎭等价，因而A 中有r 阶非零子式，但不存在1r +阶子式，所以A 中最高阶非零子式的阶数是r .反之，设A 中最高阶非零子式的阶数是r ，下面证明()R A r =.设()R A k =，由上述结论知k r ≥（否则A 中所有r 阶子式全为零，与已知矛盾），同时k r ≤（否则A 中一定有k ()1k r ≥+阶子式不为零，这也与已知矛盾）， 因此k r =，即()R A r =.例3. 19设1221248024233606A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭，求A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式. 解 对A 进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，1221248024233606A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭2131412231221004200210063r r r r r r -+---⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭23242231221002100000000r r r r r ÷-+--⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭所以()2R A =.由定理3. 3知A 中有2阶非零子式.1202是阶梯形矩阵的一个2阶非零子式，由引理，A 中对应有2阶非零子式12028≠，所以1228便是A 的一个最高阶非零子式.三、行列式与线性方程组对于方程个数等于未知量个数的特殊线性方程组，我们给出其解与方程组的系数和常数项的关系.定理3. 4（克拉默法则）设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （3. 4）若其系数行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =0≠，则方程组有唯一解，且其解可表示为j j D x D=()1,2,,j n = （ 3. 5）其中j D 是把D 中的第j 列换成常数项12,,,n b b b 所得的行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=()1,2,,j n =.证明 记1122,n x b x b B x X bn ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，D A =，则线性方程组的矩阵表示为AX B =.由0D A =≠知，A 可逆，所以方程组有唯一解1X A B -=.又由1A A D*-=，所以1X A B -=可表示为11121112122222121n n n nnnn x A A A b x A A A b D x A A A bn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故有 ()11221j j j n nj x b A b A b A D =+++111,111,11212,122,121,1,11j j nj j n n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+==j D D. ()1,2,,j n =推论1 如果非齐次线性方程组（3. 4）无解或有无穷解，则它的系数行列式必为零.推论2 如果齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式0D ≠，则它只有零解.推论 3 齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0D =.例3. 20 解线性方程组1234123412341234224432485341233226x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪+-+=⎩解 系数行列式2211431285343322D --=--20=≠，由克拉默法则，方程组有唯一解.而 1421143124125346322D --==--，2241144120812343622D --==--，3224143428851243362D ==-，4221443148853123326D --==---. 所以 11422D x D ===，22002D x D ===， 33842D x D -===-，44842D x D -===-.例3. 21 当k 取何值时，方程组1232123123424x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解？在有解的情况下，求出方程组的全部解.解 系数行列式 ()()111114112kA kk k =-=+--，由克拉默法则，当0A ≠时，即1k ≠-且4k ≠时，方程组有唯一解，用公式（3. 5）求得唯一解为212232124121k k k x k k x k x k k ⎛⎫+ ⎪+ ⎪⎛⎫ ⎪++ ⎪= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪+⎝⎭. 当1k =-时，111411111124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭213123111402380005r r r r r r +-↔-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭.由()()23R A R A =≠=，方程组无解.当4k =时，1144141161124A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭21311144055200228r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪---⎝⎭()233252114401140000r r r r ÷÷--⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭12103001140000r r -⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭.由()()23R A R A ==<，方程组有无穷解，通解为1234x cx c =-⎧⎨=-+⎩（c 为任意常数）， 通解也可以用矩阵形式表达，即123301410x x c x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例3. 22 当,λμ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解？并求解.解 系数行列式1111121A λμμ=()1111011210λλμμλλμ=--=---，由推论3，当0A =时有非零解，即0μ=或1λ=.当0μ=时，11101101A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1232011101000r r r r λλ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 12101011000r r λ↔⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭，通解为()121x k x k λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即123111x x k x λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当1λ=时，32211111111101012100r r r r A μμμμ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23123221111101010010000000r r r r r r r μ--+⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为120x k x =-⎧⎨=⎩， 即123101x x k x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.习题3. 41. 已知矩阵=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011012111，问A 是否可逆，若可逆，求出逆矩阵. 2. (1) A 是3阶矩阵，||2A =，A 的伴随矩阵为*A ，求*|2|A .(2)设111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，求***(1,1,1)(1,2,1)(1,1,3)T T T A A A ++.3. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.（1）321312131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭； （2）01112022200111111011-⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪-⎝⎭. 4. 问λ 取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z x yx z y xλλλ有非零解？5. 用克拉默法则解方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+--=++-=++-4333235233362324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .练习三1. 填空与选择.(1)设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()_____A -=.(2) 方程2212341334034123415x x -=-的根为_________.(3) A 是n 阶可逆矩阵，A a =，且A 的各行元素之和均为b ，则A 的代数余子式之和12____.j j nj A A A +++=(4) 设A 为n 阶方阵，则||0A =的必要条件是( ) .(A) A 的两行元素对应成比例 (B) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零 (D) A 中任一行为其余行的线性组合(5) 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵，则10(3)0T A B -⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）.(A) 1(3)AB -- (B) 1(3)n A B --(C) (3)n A B - (D) 19nAB -（6） 设A 为n 阶方阵,*A 是其伴随矩阵,下列说法不正确的是（ ）.(A) 若0A ≠，则*0A ≠ (B) 若()1R A n =-，则*0A = (C) 若10A =，则*110n A -= (D) *A A AE =（其中E 为n 阶单位矩阵） 2. 计算下列n 阶行列式.(1)111111111x x x；(2)121111111111(0,1,2,,)11111i na a a i n a ++≠=+ .3. 计算n 阶行列式0001011n x y xy x y xy D x y x y++=++.4. 设,,a b c 是三角形的三条边，证明：00000a bc a c b bc a c b a <.5. 矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120017，求10A ，1-A . 6. =A ()211ββα，=B (),212ββα 其中2121,,,ββαα都是3行1列矩阵，已知,3,2==B A 求B A +的值.7. 证明：如果方程组1122334112233411223341122334a ab bc cd d a x x x a b x x x b c x x x c d x x x d ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩有解，则行列式12341234123412340a a a a b b b b c c c c d d d d =.8. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求伴随矩阵*A 的逆矩阵.9. 已知实矩阵33()ij A a ⨯=，满足条件(1)(,1,2,3)ij ij a A i j ==,其中ij A 是ij a 的代数余子式. (2) 0ij a ≠.计算行列式||A .10. 设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*A 为A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，求B .11. 试讨论当λ为何值时，方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一零解？有非零解？12. 设线性方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的系数矩阵为A ，三阶矩阵0B ≠，且0AB =，求λ的值.13. 讨论a 取什么值时，线性方程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解，并求解.数学史与数学家简介[3]行列式小记“行列式”这一名词首先是由高斯(Gauss ，1777-1855)在1801引入的，当然指的不是现代行列式的含义，而是用以表示二次式的判别式.柯西(Caucy ，1789-1857) 于1812年给出了现代意义下的行列式这个词， 1841年凯莱则引入了两条竖线,到此为止标准的行列式出现了.行列式最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式出现于线性方程组的求解,1683年日本数学家关孝和著作《解伏题之法》，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件.因此,我们认为行列式是由关孝和和莱布尼茨发明的.1750 年，瑞士数学家克拉默 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) .范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来成为法兰西科学院院士.范德蒙给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法,得到了拉普拉斯展开定理.法国大数学家柯西在行列式的理论方面也做出了突出贡献.1815 年，柯西给出了行列式的乘法定理:ij ij ij a b c ⋅=,其中,ij ij a b 表示n 阶行列式,ij ij ijc ab =∑.并给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理.另外，他第一把行列式的元素排成方阵，采用双重足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等.1825年，舍尔克(H.F.Scherk ，1798-1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等.德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)在行列式理论方面是最多产的人，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式.雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成.值得一提的是，在 19 世纪的半个多世纪中詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-18940)对行列式理论研究始终不渝，并做出一定成绩.由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展.整个 19 世纪都有行列式的新结果.除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到.克拉默小传克拉默 (G.Cramer,1704-1752)瑞士数学家，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教.1727年进行为期两年的旅行访学，期间结识了约翰·伯努利、欧拉等一些大数学家，结为挚友.随后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家.回国后，与他们长期通信，交流学习，为数学宝库留下了最有价值的文献.1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授.他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学。
3.3判别向量组线性相关性的几种方法
判别向量组线性相关性的几种方法方法1 依据下面的结论来判断向量组的线性相关性1）含零向量的向量组一定线性相关2）对应分量成比例的两个向量一定线性相关3）向量组中的某个向量可由其余向量线性表示的一定线性相关4）相关组增加向量仍相关，无关组减少向量仍无关5）无关组添加分量仍无关，相关组减少分量仍相关6）向量组的个数大于向量维数的必线性相关22211=,=1211=1,=223⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭γγββ11线性无关，则仍线性无关22312=1,=21212-1=1,=2=0126⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα11线性相关，则，仍线性相关232312-1=1,=2=020126⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααααα 11，线性相关,234120-1=1,=0,=0,=31215⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα1线性相关（个数大于维数）方法2 利用向量组线性相关性的定义转化为齐次线性方程组的求解212122122,,,,,...,,,,,=n n n n n nk k k k k k k k k +++⎛⎫ ⎪⎪⇔⇔= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααOαααO AK O 111已知列向量组， 设有使得=（）齐次线性方程组22,,,,,,n n =⇔=⇔=AK O αααAK O αααAK O 11可利用初等行变换求解齐次线性方程组线性无关只有零解线性相关有非零解例1234213344223344,,,+,+,-,+(2)+,+,,+-αααααααααααααααααααα11111已知向量组线性无关，判断下列向量组的线性相关性（1）122233344414122233344(2)(+)(+)()()()()()()k k k k k k k k k k k k ++++-=-++++++=ααααααααOααααO111设213344+-1++1-+1+=⨯⨯⨯⨯ααααααααO11解(1)0（）（）（）（）所以该向量组线性相关234,,,αααα1已知向量组线性无关，有14121234233400000k k k k k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⇒====⎨+=⎪⎪+=⎩所以线性无关方法3 利用矩阵的秩判断向量组的线性相关性122,,,m n ij m n nm a ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββA αααβ 1矩阵=()=()=22,,, ,,,=n n ⇔⇔αααA αααA 11向量组线性相关R （）< n 向量组线性无关R （） n22,,,,,,=m m ⇔⇔βββA βββA 11向量组线性相关R （）< m 向量组线性无关R （） m例223()3=,,,R =∴A ααα 1向量的个数线性无关23112011201120312504-4504-45201102-310023---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦→→αA αα初等初等1变换变换解 利用初等变换求向量组的秩令=()()()23=1-120,=3125,=2011ααα1判断线性相关性方法4 利用向量组的秩判断线性相关性2222(,,,,,,(,,,,,,n n n n R R ⇔⇔αααααααααααα 1111)< n 线性相关)= n 线性无关22=()(,,,T T n T n R R ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααB B αααα 11 或 , 则)22(,,,),()(,,,n n R R ==A αααA ααα 11令则),2(,,,n R ααα 1) 因此，将(矩阵的秩等于行（列）向量组)转化为的秩矩阵求秩方法5 利用初等变换判断向量组的线性相关性1）初等行变换不改变矩阵列向量组的线性相关性2）初等列变换不改变矩阵行向量组的线性相关性2323,,,,16-3=0=2a a ∴⇔βββγγγB 11线性无关，线性无关R()=3，即，[]23123102102102210-3006-3=31001-601-611301100-5()a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦=→→A βββB B γγγ初等初等变换变1行行换令=，，2310221=,=,=3101-13a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ1已知向量组线性无关，求例3解思考题：下面的结论是否正确• 1.线性无关组增加向量仍然线性无关答案：不正确• 2.求向量组的秩时只能用初等行变换答案：不正确THANKS。
第三章 矩阵的相抵变换和秩 线性方程组
第三章 矩阵的相抵变换和秩· 线性方程组
§3.1 消元法
1 1 1+ 0 3 0 0 (3+ ) (1)(3+ )
(1) 当 0且 3时, 方程组有唯一解; (2) 当 = 0时, 方程组无解; (3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时
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第三章 矩阵的相抵变换和秩· 线性方程组
§3.1 消元法 一. 基本概念 含有n个未知量, m个方程的线性方程组的 一般形式如下 a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 (3.1) … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = bm (非)齐次线性方程组, 解, 相容
1 1 1+ 1 1 2 3 1 0 3 0 3 3 6 ( ) = 3 0 0 0 0 0 0 (3+ ) (1)(3+ )
1 1 0 1 0 0
2 3 1 2 (1) 0 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 2 0 0
定理3.9
第三章 矩阵的相抵变换和秩· 线性方程组
§3.1 消元法
三. 矩阵的初等变换
2 3 4 4 1 2 1 3 2 2 6 2 1/2
2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3 2x1+2x2 6x3 = 2 1/2
x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 1 2 1 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4 2 3 4 4 x1 + x23x3 = 1 1 1 3 1 1 2 1 3 0 1 2 2 1 增 轻 初广 0 1 2 2 等矩 装 变阵 上 1 2 1 3 换的 阵 0 1 2 2 0 0 0 0 x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 1 x22x3 = 2 x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0=0
极大线性无关组知识点总结
极大线性无关组知识点总结1. 引言极大线性无关组是线性代数中的重要概念之一，它在矩阵理论、线性方程组求解、向量空间等领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念、性质、求解方法等方面对极大线性无关组进行详细介绍和总结。
2. 基本概念2.1 极大线性无关组的定义极大线性无关组是指一个向量组中的向量集合，满足其中的向量是线性无关的，并且再添加任意一个向量就会导致线性相关。
2.2 线性相关与线性无关线性相关是指向量组中存在不全为零的线性组合等于零向量的情况。
线性无关是指向量组中不存在非零的线性组合等于零向量的情况。
3. 极大线性无关组的性质3.1 极大线性无关组的向量个数极大线性无关组的向量个数等于向量组的秩（矩阵中的列秩或行秩）。
3.2 极大线性无关组的存在性任意一个向量组都存在一个极大线性无关组。
3.3 极大线性无关组的扩充一个线性无关向量组的极大线性无关组可以通过添加新的向量来扩充。
4. 求解极大线性无关组的方法4.1 初等变换法利用矩阵的初等行变换或初等列变换，将向量组转化为行阶梯形矩阵或列阶梯形矩阵，然后选取非零行或非零列对应的向量即可得到极大线性无关组。
4.2 矩阵的秩通过计算矩阵的秩，可以得到向量组的秩，从而确定极大线性无关组的向量个数，再通过初等变换等方法选择对应的向量。
5. 应用领域5.1 线性方程组的求解通过求解线性方程组的极大线性无关组，可以简化线性方程组的求解过程。
5.2 向量空间的基极大线性无关组可以作为向量空间的一组基，用于表示向量空间中的任意向量。
5.3 矩阵的秩矩阵的秩可以通过求解矩阵的极大线性无关组来确定，进而用于计算矩阵的特征值、特征向量等。
6. 总结极大线性无关组是线性代数中的重要概念，它具有一系列的性质和求解方法。
通过对极大线性无关组的研究和应用，可以简化线性方程组的求解过程，确定向量空间的基，计算矩阵的秩等。
在实际应用中，了解和掌握极大线性无关组的相关知识，对于理解和解决与线性代数相关的问题具有重要的意义。
3.3向量组的秩与矩阵的秩
定义3.设A是一个矩阵，称A的行向量组的秩为 A的行秩；称A的列向量组的秩为A的列秩。
定理4.矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
a1,1
证明：设AFra biblioteka2,1
M
a1,2 L a2,2 L ML
am
,1
am,2
L
a1,n
a2,n
M
am
,n
(1)首先证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩
类似可证：矩阵的初等列变换不改变矩阵的 列秩。
(2)证明矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩
设A：1, 2, …, r, r+1, …, n是矩阵A的列向 量组，无妨说：1, 2, …, r是A的极大线性无关
组. P是一个m阶的初等方阵
B：P1, P2, …, Pr, Pr+1, …, Pn
依据定理3得知：
定义2. 设A是一组n维向量，1, 2, …, r是A的
一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩, 记为R(A).
推论2:若向量组A和向量组B等价, 则R(A) = R(B)
证明：设1, 2, …, r是向量组A的一个极大线性 无关组；1, 2, …, s是向量组B的一个极大线性
无关组.
由于1, 2, …, r与A等价； A与B等价，同 时B与1, 2, …, s等价，所以1, 2, …, r与1, 2, …, s等价
组，简称极大无关组。
定理1.设有n维向量组A：a1, a2, …, as和B：b1, b2, …,bt .若A组向量线性无关，并且A组向 量可以被B组向量线性表出，则必然有 s t.
证明: (反证法)设不然，即s > t
a1 c1,1b1 c2,1b2 L ct,1bt 无妨说：a2 c1,2b1 c2,2b2 L ct,2bt
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性
方程组是最简单的 而且是最容易求解的.
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§3.2 初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算 这有着广泛的应用.
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初等矩阵
例如
由单位矩阵E经过一次初等变 换得到的矩阵称为初等矩阵.
E(i j)表示对调单位矩阵E的第 i j两行(列)得到的初等矩阵.
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
天
津
师 范
§3.1 矩阵的初等变换
大
学 计 算
§3.2 初等矩阵
机
与 信
§3.3 矩阵的秩
息
工 程 学
§3.4 线性方程组的解
院
郑 陶 然
§3.1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨 中都可起重要的作用.
求矩阵的秩的步骤
求矩阵的秩的步骤矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵的行空间或者列空间中的极大线性无关组的个数，是矩阵运算和解线性方程组的基础之一、在本文中，我们将逐步介绍求解矩阵秩的步骤和方法。
一、矩阵的秩定义矩阵的秩是指矩阵的行或列空间所能张成的子空间的维度，记作r(A)。
对于m×n的矩阵A，其秩满足以下条件：1. r(A) ≤ min(m, n)，即秩不会超过矩阵的行数和列数的较小值。
2.r(A)≤r(At)，其中At是A的转置矩阵，即矩阵的列秩不会超过行秩。
二、求解秩的方法求解矩阵的秩可以使用多种方法，包括初等变换、高斯消元法、奇异值分解等。
下面我们将逐一介绍这些方法。
1.初等变换法初等变换是指通过矩阵的行变换或列变换将矩阵转化为简化形式的操作。
通过连续的初等变换操作，可以将矩阵转化为行阶梯形或最简形的矩阵。
这时，矩阵的秩等于其非零行或列的个数。
具体步骤如下：Step 1: 对矩阵A进行行变换，使得矩阵的一些行变为零行或形成行阶梯形。
Step 2: 记录矩阵中非零行的个数，即为秩。
例如，对于一个3×3的矩阵A，通过初等变换操作后得到行阶梯形矩阵B：A=[123;014;001]B=[123;014;001]则秩r(A)=3，即矩阵A的秩为32.高斯消元法高斯消元法是一种基于初等变换的方法，通过逐步将矩阵转化为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行或列的个数。
具体步骤如下：Step 1: 将矩阵A转化为行阶梯形矩阵B。
Step 2: 记录矩阵中非零行或列的个数，即为秩。
例如，对于一个3×3的矩阵A，通过高斯消元法操作后得到行阶梯形矩阵B：A=[123;014;001]B=[123;014;001]则秩r(A)=3，与使用初等变换法求得的秩相同。
3.奇异值分解法具体步骤如下：Step 1: 对矩阵A进行奇异值分解，得到A = UΣVT，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
矩阵的行秩列秩秩
初等行变换
通过对矩阵进行初等行变换，将其化 为行最简形矩阵，非零行的行数即为 矩阵的秩。
初等列变换
同样地，通过对矩阵进行初等列变换， 将其化为列最简形矩阵，非零列的列 数即为矩阵的秩。
利用子式求解矩阵秩
定义
设矩阵$A$是一个$m times n$矩阵，$A$中任意取定$k$行和 $k$列($k leq m, k leq n$)，位于这些行列交叉处的$k^2$个 元素，不改变它们在$A$中所处的位置次序而得的$k$阶行列式， 称为矩阵$A$的$k$阶子式。
求解方法
首先求出矩阵的所有子式，然后找出其中最大的不为零的子 式的阶数，该阶数即为矩阵的秩。
不同方法适用场景比较
01
初等变换法适用于任何类型的矩阵，无论是方阵还是非方阵，都 可以通过初等变换求解其秩。该方法具有通用性，但需要进行大 量的计算。
02
子式法适用于方阵或某些特殊类型的非方阵。对于方阵， 可以直接通过计算其行列式来求解秩；对于某些特殊类型 的非方阵，也可以通过计算其特定子式来求解秩。该方法 在某些情况下计算量较小，但适用范围有限。
矩阵的行秩列秩秩
目录
• 矩阵基本概念与性质 • 行秩与列秩定义及计算方法 • 矩阵秩性质与定理 • 求解矩阵秩方法论述 • 矩阵秩在方程组解判定中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
矩阵基本概念与性质
矩阵定义及表示方法
矩阵是一个由数值组成的矩形阵 列，通常表示为大写字母，如A、
B等。
矩阵的维度由行数和列数确定， 表示为m×n矩阵，其中m为行
向量组的线性相关性判断
对于向量组A，若其秩小于向量个数，则向量组线性相关；否则线 性无关。
矩阵的特征值与特征向量
在求解矩阵的特征值与特征向量时，需要用到矩阵的秩来判断特征 子空间的维数。
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源与发展介绍线性代数的概念、起源和发展历程。
强调线性代数在数学、物理、工程、计算机科学等领域的应用。
1.2 为什么要学习线性代数解释线性代数的重要性，包括解决实际问题和理论研究。
引导学生理解线性代数与其他数学分支的关系。
1.3 线性代数的基本概念介绍向量、向量空间、线性相关与线性无关等基本概念。
解释向量的几何表示和坐标表示。
1.4 线性方程组介绍线性方程组的定义和基本性质。
解释线性方程组的解法和求解过程。
第二章矩阵及其运算2.1 矩阵的定义与基本性质介绍矩阵的概念和矩阵的元素。
解释矩阵的运算规则和矩阵的转置。
2.2 矩阵的运算教授矩阵的加法、减法、乘法、除法等基本运算。
给出矩阵运算的例子和练习题。
2.3 逆矩阵介绍逆矩阵的概念和性质。
教授逆矩阵的求法和应用。
2.4 矩阵的特殊类型介绍单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵等特殊类型的矩阵。
解释特殊矩阵的性质和应用。
第三章线性方程组的求解3.1 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤。
给出高斯消元法的例题和练习题。
3.2 克莱姆法则介绍克莱姆法则的原理和条件。
解释克莱姆法则的应用和求解过程。
3.3 矩阵的秩介绍矩阵秩的概念和性质。
教授矩阵秩的求法和应用。
3.4 线性方程组的解的结构解释线性方程组解的性质和结构。
给出线性方程组解的例子和练习题。
第四章向量空间与线性变换4.1 向量空间的概念与性质介绍向量空间的概念和向量空间的性质。
解释向量空间的基本运算和向量空间的基。
4.2 线性变换的概念与性质介绍线性变换的定义和性质。
解释线性变换的矩阵表示和线性变换的域。
4.3 线性变换的运算教授线性变换的加法、减法和乘法等运算。
给出线性变换的例子和练习题。
4.4 特征值与特征向量介绍特征值和特征向量的概念和性质。
教授特征值和特征向量的求法和应用。
第五章特征值与特征向量5.1 特征值和特征向量的概念与性质介绍特征值和特征向量的定义和性质。
矩阵的值
说明 矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数.
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矩阵的秩 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D 且所有r1阶子 式(如果存在的话)全等于0 那么D称为矩阵A的最高阶非零子 式 数r称为矩阵A的秩 记作R(A). 并规定零矩阵的秩等于0. 几个简单结论 (1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所有 t阶子式全为0 则R(A)t. (2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n}. (3)R(AT)R(A).
1 1 1 2 例4 设 A 3 1 2 已知R(A)2 求与的值. 5 3 6 1 2 1 1 1 2 1 1 解 A 3 1 2 ~ 0 3 4 4 5 3 6 0 8 5 4 1 2 1 1 ~ 0 3 4 4 0 5 1 0 因R(A)2 故
5 0 即 5 . 1 0 1
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(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当|A|0时 R(A)n. 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为 降秩矩阵.
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例1 求矩阵A和B的秩 其中
2 1 0 3 2 1 2 3 0 3 1 2 5 A 2 3 5 B . 0 0 0 4 3 4 7 1 0 0 0 0 0 解 在A中 容易看出一个 B 是一个有 3 个非零行的 2阶子式 行阶梯形矩阵 其所有 4 阶子 式全为零. 以三个非零行的首 1 2 1 0 2 3 非零元为对角元的3阶子式 A的3阶子式只有一个|A| 经计 2 1 3 算可知|A|0 因此R(A)2. 0 3 2 0 0 4 提示 是一个上三角行列式 它显然 对于行阶梯形矩阵 它的 不等于0 因此R(B)3. 秩就等于非零行的行数.
矩阵论基础3.3矩阵的秩
矩阵论基础3.3矩阵的秩1. 矩阵的秩定义4 在m´n矩阵A中, 任取k⾏与k列(k£m, k£n), 位于这些⾏列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序⽽得的k阶⾏列式, 称为矩阵A的k阶⼦式.m´n矩阵A的k阶⼦式有个。
当A的所有元素都是零时，A的任何⼦式都必然是零；当A中有⼀个元素不为零时，A中⾄少有⼀个⼀阶⼦式⾮零，再看A的所有⼆阶⼦式，如果有⾮零的⼦式，再看A的所有3阶⼦式，这样下去，如果A⾄少有⼀个⾮零的r阶⼦式，⽽A的所有r+1阶⼦式都是零，也就是A的最⾼阶⾮零⼦式的阶数为r，r揭⽰了矩阵A的内在特性。
定义5 在m´n矩阵A 中，若⾮零⼦式的最⾼阶数为r，数r称为矩阵A的秩数, 记作R(A)=r 。
如，A中有⾮零的2阶⼦式，但它所有的3阶⼦式全为零，故R(A)=2。
由秩数的定义可得下⾯结论：（1）若A是零矩阵，则R（A）=0（2）若A是m´n阶⾮零矩阵，则1≤R（A）≤min(m，n)。
注意：矩阵A的秩数不可能⼤于其⾏数或列数。
特别地，R（A）=m，称A为⾏满秩矩阵；R（A）=n，称A为列满秩矩阵；当A是n阶⽅阵，⼜R（A）=n，称A为满秩矩阵。
可见，单位矩阵是满秩矩阵。
（3）对于⾏阶梯矩阵，其⾮零⾏的⾏数就是该矩阵的秩数。
如，R(A)=2R(B)=3定理4 若矩阵A和B等价，则R(A)= R(B)由定理4，我们得到如下求矩阵秩数的⽅法：先利⽤初等⾏变换将矩阵A化为⾏阶梯矩阵B，再根据B的秩数等于其⾮零⾏的⾏数，即求得R（B），⼜因为A～B，所以R（A）=R（B）。
例5解：对矩阵A实施初等⾏变换B是⾏阶梯矩阵，其⾮零⾏数为2，所以R（B）=2。
再由定理4得，R（A）=R（B）=2例6 证明：A为任意矩阵，⽤可逆矩阵P左乘A，则R（PA）=R（A）。
证明：因为P是可逆矩阵，根据定理3知，P恒为若⼲个初等矩阵之积。
线性代数矩阵的秩
0 1
1 3
52;
(2)A
2 3
3 2
0 5
7 8
5
0
3 4 1 2 7
1 0 3 2 0
3.6 矩阵的秩
3.6.2 矩阵秩的求法 4. 初等变换法求矩阵的秩
解
3
(1)A
2
1
1 3
1
2 0
1
1 1
3
0 2
5
3 4 1 2 7
1
r1 r3
2
3
1 3
1
1 0
2
3 1
1
5 2
0
3 4 1 2 7
证明略
注：由该定理可知, 要求矩阵的秩, 只要 把矩阵用初等变换变成行阶梯形矩阵,则行阶 梯形矩阵中非零行的行数既是该矩阵的秩.
3.6 矩阵的秩
3.6.2 矩阵秩的求法 4. 初等变换法求矩阵的秩
例3.6.2 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶
非零子式.
3 1 2 1 0
2
1
83
7
(1)A
2 1
3 1
3.6.1 矩阵秩的概念 1. 矩阵的k阶子式
定义3.6.1 在矩阵A (a ) 中任取k行k列 ij mn
(1 k min{m,n}),位于这k行k列交叉处的k2个 元素, 按照它们在矩阵A中的相对位置不变所 构成的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式.
说明：m n矩阵A的k阶子式共有CkmCkn个.
3.6 矩阵的秩
3.6.2 矩阵秩的求法 4. 初等变换法求矩阵的秩
解
r2 2r1 r3 3r1
r4 3r1
1
0
0
1 1 1 2 4 1
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解 对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
R( A) 2
5, 1
三、矩阵秩的性质
1 R( AT ) R( A).
2
0 R( A) min( m , n)
3 若A ~ B, 则R( A ) R( B ).
4 若P , Q可逆, 则R( PAQ) R( A).
5 max{ R( A), R( B )} R( A, B ) R( A) R( B ).
R( A) 2.
定理 矩阵经初等变换后，其秩不变.
若 A ~ B, 则 R( A) R( B).
行阶梯形矩阵：如果一个矩阵A满足下面两个条件 （1）、可划出 4 1 0 1 0 一条阶梯线，线 3 0 1 1 0 的下方全为零； A 0 0 0 1 3 （2）、每个台 0 0 0 0 0 阶 只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第 一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．
1 2 3 4 1 0 5 1
r2 2r1 r3 2r1
r4 3r1
1 2 2 1 4 2 0 0 0 0 2 1 0 0 6 3
r2 2 r3 r2
r4 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0
求矩阵A及矩阵B ( A b )的秩.
~ ~ ~ 解 分析： B 的行阶梯形矩阵为 B ( A, b ), 设 ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6
.
(3) 当 R( A) min( m, n) 时，称矩阵 A 为满秩矩阵. (4) n 阶可逆矩阵为满秩矩阵;不可逆矩阵称为 降秩矩阵。
例1
1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1
解
在 A 中，
1 2 2 3
0.
又 A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A 0，
当B b为列向量时，有 R( A) R( A, b) R( A) 1.
6
R( A B) R( A) R( B ).
7
R( AB) min( R( A), R( B ))
8
若Amn Bnl O , 则 R( A) R( B ) n.
下证性质5
A的最高阶子式一定是(A,B)的最高阶子式，
c2 c3
1 1 1 2 0 1 5 2 0 1 2 1
Байду номын сангаас
r3 r2
1 1 1 2 0 1 5 2 0 0 3 1
所以 r ( A) 3.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 , 求矩阵 A 的 例3 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
(3) 若 Am n O ，则至少有一个元素不为零， 因此至少有一个一阶子式不为零.
2.矩阵的秩: 设 A 为 m n矩阵，如果 A 中不为零的 子式 D 最高阶数为 r，即存在 r 阶子式 不为零，而任何 r+1 阶子式皆为零，则 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 为矩阵 A 的秩，记作 R( A) r . 当 A=O 时，规定 R( A) 0 . 注 (1) R( AT ) R( A). (2) 0 R( A) min( m, n)
~ ~ R( A, B ) r t .
故
R( A, B) r t .
即 R( A, B) R( A) R( B).
max{ R( A), R( B)} R( A, B) R( A) R( B).
例6 设A为n阶矩阵, 证明 R( A E ) R( A E ) n.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
证明： ( A E ) ( E A) 2 E ,
R( A E ) R( E A) R(2 E ) n.
R( E A) R( A E )
R( A E ) R( A E ) n
1 3 请你 2 1 动手 求 A 3 2 1 4 1 3 1 2 3 2 1 2 解 A 3 2 1 1 1 4 3 5
则称此矩阵A为阶梯形矩阵.
二、矩阵秩的求法
矩阵秩的求法：利用初等变换
将 A 化成阶梯形矩阵.
a1111 aa 11 11 0 00 a21 00 a0 31 0r0 a01 a00 0 m 1
阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
R( B ) 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个.
计算B的前三行构成的子式
3 2 2 0 5 3 2 5 5 2 0 5 3 2 6 6 0 11
2
把矩阵用 初等变换变成 为阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵中 非零行的行数 就是矩阵的秩.
1 1 1 2 例2 求 A 2 3 3 2 的秩. 1 1 2 1
1 1 1 2 r2 2r1 解 A 2 3 3 2 1 1 2 1 r3 r1 1 1 1 2 0 5 1 2 0 2 1 1
所以 R( A) R( A, B) max{ R( A), R( B)} R( A, B) 同理 R( B) R( A, B)
设 R( A) r , R( B) t .
~ ~ 把A和B分别做列变换化为列阶 梯矩阵A和B , ~ ~ A和B中分别含 个和t个非零列 r .
r4 r3
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
求 A 的一个最高阶子式.
R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为 3阶 .
3 3 A 的 3 阶子式共有 C 4 C 5 40 个 .
考察A的行阶梯形矩阵， 记A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ), 则矩阵B (a1 , a2 , a4 )的行
~ ~ ~ ~ c A (a1 , a2 ,, ar ,0,,0), 设 A~
~ ~ ~ ~ c B (b , b , , b ,0, ,0) B~
1 2 t
~ ~ c ( A, B ) ( A, B ) ~
~ ~ R( A, B ) R( A, B )
~ ~ ( A, B )中只含有 t个非零列， r
2 1 1 2 1 0 0 0 5 0 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
r3 5 r4 r3
R( A) 2, R( B ) 3.
1 1 1 2 例5 设A 3 1 2 , 已知R( A) 2, 求 与的值. 5 3 6
aa12 a13 a13 12 13 12 22 a23 aa a23 22 23 22 32 a33 a0 a33 0 32 33 a02 a0r33 0r 2 a 3 r r r m 2 am 3 a0 2 am33 0 0 m m
a11rrr a1 a2rrr a22 a3rrr a33 arr arr rr a0 amj mj mj
a1n a11nn a2nn a22n a3nn a3n 3 a arn rn rn amn a0 mn mn
第三节
矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
二、矩阵秩的求法 三、矩阵秩的性质
四、小结、思考题
一、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的.
矩阵的秩
1.k阶子式: 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列
( k m , k n), 位于这些行列交叉处的 k 2 个元素, 不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的k阶 行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式.
r3 3r2
r4 4r2
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
1 3 4 5 例 A 1 0 2 3 0 1 1 0 3 5 1 1 1 0
1 0
3
4 2
1 0
1 1
k k 注: (1) m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m C n 个. (2) 若 A Om n ，则它的任何子式都为零.