计算物理 随机游走

n
x n = ( p − q )n = 0
i = 1, i = j
∑s s
i
n
j
+
i j i =1, j =1, i ≠ j
6
∑s s
n
x n = ∑ si
i =1
2 x n = ∑ si ⋅ ∑ s j = i =1 j =1 n n
n
xn = 0
( s1 + s2 ) ⋅ ( s1 + s2 )
正方形格点划分 等步长h 等步长
其中， 是在区域D的正则内点 上的函数q(x,y)的值。 的正则内点0上的函数 的值。 其中，q0是在区域 的正则内点 上的函数 的值
13
1 φ0 = (φ1 + φ2 + φ3 + φ4 − h2 q0 ) 4
其中， 可以解释为概率 即有： 可以解释为概率。 其中，1/4可以解释为概率。即有：
右边分布积分再代入边界条件：p( ±∞ , t ) = 0
+ ∞ ∂ p( x , t ) ∂ p( x , t ) ∂ p( x , t ) D∫ x dx = Dx dx = 0 − D∫ 2 −∞ −∞ ∂ x ∂x − ∞ ∂x +∞ 2
9
+∞
∂ x =0 ∂t
由于在t=0时 粒子在原点处， 由于在 时 ， 粒子在原点处 ， 从而粒子 位置的平均值是不随时间变化的。 位置的平均值是不随时间变化的。
x2 =
2 k BT
α
t + c1e
−α t
m
+ c2
x
2
=
2 k BT
α
t = 2 Dt
D为扩散系数。 为扩散系数。 为扩散系数
4
二 醉汉行走问题 x
O s i = ±1
Person 在1905 年发表于《Nature》的论文中提出的： 年发表于《 》的论文中提出的： 一个人从θ点出发 沿直线走了l 点出发， “一个人从 点出发，沿直线走了 码，然后他转了 一个角度后由沿第二条直线走了l 他重复了n 一个角度后由沿第二条直线走了 码，他重复了 次这样 的过程。 我想求出n次过程后此人位于离开起始点 次过程后此人位于离开起始点r到 的过程 。 我想求出 次过程后此人位于离开起始点 到 r+dr 距离内的概率” 距离内的概率”
v J = − D∇ρ
由粒子数守恒的Liouvill连续性方程： 连续性方程： 由粒子数守恒的 连续性方程
v ∂ρ +∇⋅J = 0 ∂t
∂ p( x , t ) = D∇ 2 p( x , t ) ∂t
p(x,t)dx为粒子在 时刻存在于 为粒子在t时刻存在于 之间的概率： 为粒子在 时刻存在于x-x+dx之间的概率： 之间的概率
( n) j
Φ0估计值序列的方差为： 估计值序列的方差 方差为
N 2 2 σ = < η 0 > − E {η 0 } N −1
2
[
]
以上随机游走的做法，是个人为的概率过程， 以上随机游走的做法，是个人为的概率过程，是一个具有 17 吸收壁的随机游走。 吸收壁的随机游走。
上述类型的随机游走或链(chain)具有如下特征： 具有如下特征： 上述类型的随机游走或链 具有如下特征 马尔可夫(Markov)过程 ： 它在游走中任一阶段的行为都不被 过程： 马尔可夫 过程 先前游走的历史所限制， 即区域内的点可以被多次访问， 先前游走的历史所限制 ， 即区域内的点可以被多次访问 ， 这 种随机游走过程叫作马尔可夫(Markov)过程。 过程。 种随机游走过程叫作马尔可夫 过程 又因为游走最终会终止在边界上， 又因为游走最终会终止在边界上 ， 故而该类随机游走又被称 马尔可夫链。 为马尔可夫链。 马尔可夫链正是这样生成相继各个状态的， 马尔可夫链正是这样生成相继各个状态的，使得后一个状态 是由前一个状态和确定的分布所决定。 是由前一个状态和确定的分布所决定。由此可知相继的各状 态之间的确存在着关联。所以，马尔可夫链是分子动力学中 态之间的确存在着关联。所以，马尔可夫链是分子动力学中 有运动方程生成的轨道在概率方面的对应物。 有运动方程生成的轨道在概率方面的对应物。 规避随机游走 在随机游走的过程中， 随机游走： 自 规避 随机游走 ： 在随机游走的过程中 ， 任何一个的游走概 率都要考虑前面游走的历史， 率都要考虑前面游走的历史 ， 因而游走有可能碰到边界前就 被强行终止掉。 被强行终止掉。
由于Brown 颗粒的质量远较液体的分子大 ， 我们将颗 颗粒的质量远较液体的分子大， 由于 粒看成是一个巨分子， 粒看成是一个巨分子 ， 它不停地受到周围环境中液体分子 的碰撞，这种碰撞的频率为每秒10 的碰撞，这种碰撞的频率为每秒 19次，因此我们观察到的 Brown 颗粒的运动是大量碰撞的涨落的结果，它是一种完 颗粒的运动是大量碰撞的涨落的结果， 全无规则的随机运动。 全无规则的随机运动。
1 h2 φ0 = (φ1 + φ2 + φ3 + φ4 − h2 q0 ) = φn − (q0 + q1 + L + q j ) 4 4
(1) 当第J步到达边界， 当第 步到达边界，边界上的函数值记为 F ( s ) 步到达边界
我们就可以得到0点上的函数 的一个估计值： 我们就可以得到 点上的函数Φ0的一个估计值： 点上的函数
2
在描述Brown 运动时，我们 运动时， 在描述 将影响系统在相空间中轨迹的随 机力应用于决定性运动方程， 机力应用于决定性运动方程，也 就是把液体分子的自由度凝缩为 随机力代表 仅用随机力代表。 仅用随机力代表。 1907 年 由 Langevin 提 出 的 Brown 运动方程： 运动方程：
h2 φ0 = ∑ W0 , jφ j − q0 4 i =1
4
∑W
i =1
4
0, j
= 1, W0 , j
1 = , 4
j = 1,2,3,4
随机游走的判据： 随机游走的判据： 判据 (0)选定一个 选定一个[0,1]区间的均匀分布的随机数 ， 区间的均匀分布的随机数ξ， 选定一个 区间的均匀分布的随机数 (1)若满足条件 若满足条件ξ≤1/4，则选定下一个游走到达点为第 点； 若满足条件 ，则选定下一个游走到达点为第1点 (2)若满足条件 若满足条件1/4<ξ≤ 1/2，选游走到的下一个点为 点； 若满足条件 ，选游走到的下一个点为2点 (3)若满足条件 若满足条件1/2<ξ≤ 3/4，选定游走到下一个点为 点； 若满足条件 ，选定游走到下一个点为3点 (4)ξ在其他的情况下，我们则选游走到第 点。 在其他的情况下， 在其他的情况下 我们则选游走到第4点
2-6 随机游走
1906年 Perrson提出 ， 随机游走是一种 年 提出， 提出 基于运用[0,1]区间的均匀分布随机数序列 基于运用 区间的均匀分布随机数序列 来进行的计算。 来进行的计算。
1
一 Brown运动 运动
1827 年 植 物 学 家 Brown 观 察到水中的花粉等颗粒可以不 停的作无规则运动。 停的作无规则运动。
x ( 0) = 0
∂ p( x , t ) = D∇ 2 p( x , t ) ∂t ∂ 2 x (t ) = 2 D ∂t
x ( t ) = x (0) = 0
╳
x2，再积分。 再积分。
x 2 ( t ) = 2 Dt
该结果与Brown 运动方程完全一致，说明 运动方程完全一致，说明Brown 运动 该结果与 模型的随机行走就是描述了扩散的物理过程。 或RW 模型的随机行走就是描述了扩散的物理过程。
h η m = φ n − qm 4
此时0点函数的估计值也可以写为： 此时 点函数的估计值也可以写为： 点函数的估计值也可以写为
h2 h2 h2 η 0 = φm − q0 = (φn − qm ) − q0 4 4 4 h2 = φ n − ( q0 + q m ) 4
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若按照以上随机游走的步骤， 若按照以上随机游走的步骤，有：
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1 φ0 = (φ1 + φ2 + φ3 + φ4 − h2 q0 ) 4
如果我们按上面的判据选择了0点周围四个点中之一 点 如果我们按上面的判据选择了 点周围四个点中之一m点， 点周围四个点中之一 则0点函数的估计值为： 点函数的估计值为 h2
η 0 = φm −
4
q0
从m点上又按判据选择周围四个点中的 点时，m点函数的估 点上又按判据选择周围四个点中的n点 点函数的估 计值为: 计值为 2
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四 蒙特卡罗方法求解泊松方程
若泊松方程及其边界条件为
∂ 2φ ∂ 2φ 2 + 2 = q( x , y ) ∂y ∂x φ = F ( s ) Γ
Γ为求解区域 的边界， 为求解区域D的边界 为求解区域 的边界， s为边界 上的点。 为边界Γ上的点 为边界 上的点。
1 φ0 = (φ1 + φ2 + φ3 + φ4 − h2 q0 ) 4
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pro=0.5 do i=1,nwalk x=0.0d0 do j=1,nstep call randomnum() if (rand .lt. pro) then x=x+1.0 else x=x-1.0 end if write(10,'(I15,F15.6)')j,x sumx(j)=sumx(j)+x sumx2(j)=sumx2(j)+x*x end do end do do i=1,nstep write(11,'(I15,2F15.6)') $ i,sumx(i)/dble(nwalk),sumx2(i)/dble(nwalk) end do