排列组合之排列与组合
高中数学选修2-3-排列与组合
排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。
高中数学排列与组合知识点
高中数学排列与组合知识点排列组合是高中数学教学内容的一个重要组成部分,但由于排列组合极具抽象性,使之成为高中数学课本中教与学的难点.加之高中学生的认知水平和思维能力在一定程度上受到限制,所以在解题中经常出现错误.以下本人搜集整合了高中数学排列与组合相关知识点，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学排列与组合知识点汇编如下：一、排列1 定义(1)从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。
(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 Amn.2 排列数的公式与性质(1)排列数的公式： Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)特例：当m=n时， Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1规定：0!=1二、组合1 定义(1)从n个不同元素中取出 m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
2 比较与鉴别由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。
排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。
因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。
三、排列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类)2. 排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann=n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题) 间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
排列与组合
第 十二 章
3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生 甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法 的种数是( A．360 C．216 ) B．288 D．96
第 十二 章 【思路导引】 用排除法求解：先排女生，再从中排除
甲站两端的情况；也可直接求解． 【解析】 法一(排除法)：先不考虑甲的情况，3位女生
第 十二 章
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求 不同的排列方法总数． (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
第 十二 章
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．
第 十二 章
(2010·全国Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选 修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少 选一门，则不同的选法共有( A．30种 C．42种 【思路导引】 法． ) B．35种 D．48种 审清题意，寻找限制条件，选择解题方
第 十二 章
【解析】
分两类：①选A类选修课2门，B类选修课1门，
第 十二 章
第二节 排列与组合(理)
第 十二 章
点击考纲 1.理决简单的实际问题.
第 十二 章 关注热点 1.以实际问题为背景考查排列、组合，同时考查分类讨论 的思想及解决问题的能力． 2.以选择题、填空题的形式考查，或在解答题中和概率相 结合进行考查.
第 十二 章
1．(1)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四 个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城 市，且这6个人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方 案共有( ) B．240种 D．96种
排列与组合的计算方法公式
排列与组合的计算方法公式“哎呀，这排列组合可真是个让人头疼的问题啊！”排列组合是数学中的一个重要概念，它们有着特定的计算方法和公式。
排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
排列的计算公式为：A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么排列数就是A(5,3)=5×4×3=60。
比如在体育比赛中，前三名的颁奖顺序就是一种排列情况。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
组合的计算公式为：C(n,m)=A(n,m)/m!。
例如，从 5 个不同的数字中选取 3 个组成一组，不考虑顺序，那么组合数就是C(5,3)=A(5,3)/3!=60/6=10。
就像从一堆水果中选取几个水果，不考虑选取的先后顺序，这就是组合。
再举个例子，假设有 5 个人，要选出 3 个人去参加一个活动。
那么用排列的方法计算，这 3 个人的顺序不同就算是不同的情况，比如 ABC 和 CBA 是不同的排列；而用组合的方法计算，只要是这 3 个人就可以，不考虑他们的顺序，ABC 和 CBA 就只算一种组合。
排列组合在生活中有很多实际的应用。
比如抽奖活动，从众多参与者中抽取几个获奖者，这就是组合问题；而如果还要考虑获奖者的先后顺序，比如一等奖、二等奖、三等奖的颁发顺序，那就是排列问题了。
在解决排列组合问题时，关键是要明确是排列还是组合，以及元素是否可以重复。
如果元素可以重复，那么计算方法又会有所不同。
总之，排列组合虽然有点复杂，但只要理解了基本概念和公式，通过多做一些实际的例子，就能很好地掌握和运用它们。
排列与组合的应用举例(常见排列组合问题的解题方法)
解析：（2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
分别有个 ，
个，合并总计300个,
或
个。
5.不相邻问题插空法: 对于某两个元素或者几个元素要条件的元素按要求 插入排好元素的空档之中即可 .
解析：方法一（排除法）：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只 取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
解析：把4名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到3所学校
有种,则不同的保送方案共有
种
解决排列组合问题的一般过程如下： 1、认真审题弄清要做什么事。 2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同 时进行，确定分多少步及多少类。 3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数 是多少及取出多少个元素。 4、解决排列组合综合性问题，往往分类与分步交叉，因此必须掌握一 些常用的解题方法，根据题目的条件，我们就可以选取不同的方法来解 决问题.对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用 把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。
人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的
选法共有
。
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
排列与组合的区别技巧
排列与组合的区别技巧排列和组合是数学中常见的概念，用于计算一定范围内的排列或组合的个数。
尽管这两个概念听起来很相似，但实际上它们有着本质的区别。
在本文中，我们将探讨排列和组合的区别以及如何应用它们。
1. 排列和组合的定义排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其排列数用P(n,m)表示，公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。
P(5,3)就表示从5个元素中取3个元素的排列数，它的计算式为5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60。
C(5,3)表示从5个元素中选出3个元素组成的集合数，它的计算式为5!/(3! × 2!) = 10。
AB AC BA BC CA CB这是因为“AB”和“BA”被视为两种不同的排列方式，因为它们的元素顺序不同。
排列相对于元素的顺序是敏感的。
应用排列与组合的场景非常广泛，例如在密码学、计算机科学、统计学、经济学等多个领域都有着重要的应用。
在密码学中，排列和组合被用于计算密码中可能的排列组合，以及在密码破解时破译密码。
在计算机科学中，排列和组合被用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度，以及进行搜索和排序算法等操作。
在经济学中，排列和组合被用于计算市场需求和供应的排列组合，以及进行产业分析和商业决策等操作。
4. 总结与结论排列和组合是数学中常用的概念。
其最大的区别在于元素的顺序是否重要。
排列相对于元素的顺序是敏感的，而组合相对于元素的顺序是不敏感的。
我们可以应用排列和组合计算密码、算法复杂度、统计概率以及进行商业决策等多个领域。
在应用排列和组合时，我们需要根据不同情况选择适当的计算方式。
在实际应用中，我们需要了解排列和组合的特性，并选择适当的计算方式。
下面我们将深入探讨排列和组合的特性及其应用。
1. 排列的特性（1）重复元素：在排列的情况中，如果有重复的元素，其排列数可以用重复因子的方法进行计算。
10.2排列组合
,其分子的组成与
排列数A������ ������ 相同,分母是 m 个元素的全排列数.当 m,n 较小时,可利用该公式计
������ 数;组合数公式还可以表示成C������ =
������! ������!(������-������)!
,它有两个作用:一是当 m,n 较
大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的组合数式子进行变形和论 证.
第十章
10.2
排列与组合
3 【解】( 1) 第一步: 选 3 名男运动员, 有C6 种选法.
2 第二步: 选 2名女运动员, 有C4 种选法.
3 2 共有C6 ·C4 =120 种选法.
第十章
10.2
排列与组合
(2)方法一: 至少 1 名女运动员包括以下几种情况: 1女 4男 , 2女 3 男 , 3 女 2男 , 4女 1男 . 由分类加法计数原理可得总选法数为
第十章
10.2
排列与组合
(3 ) 方法一: 可分类求解:
4 4 “ 只有男队长” 的选法数为C8 ; “ 只有女队长” 的选法数为C8 ; “ 男、 女队长 3 4 3 都入选” 的选法数为C8 , 所以共有 2C8 + C8 =196 种选法.
方法二: 间接法 :
5 5 从 10 人中任选 5 人有C10 种选法, 其中不选队长的方法有C8 种, 所以“ 至
【例 1】 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排 法种数:
解 :(1) ①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情 (1) 甲不在排头、乙不在排尾 ; 况. (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位; 3 若甲排在排尾共有A1 1 A3 =6 种排法. (3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)1 . 2 若甲既不在排头也不在排尾共有A1 A 2 2 A2 =8 种排法,由分类计数原理知满 3 1 1 2 足条件的排法共有A1 1 A3 + A2 A2 A2 =14(种). 3 2 ②也可间接计算:A4 4 -2A3 + A2 =14(种). (2)可考虑直接排法:甲有 3 种排法;若甲排在第二位,则乙有 3 种排法;甲、 乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有 3×3×1=9(种). (3)可先排丙、丁有A2 4 种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足
排列组合之七大解题技巧
例：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有( )
(A) 280种 (B)240种 (C)180种 (D)96种
正确答案：【B】
解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是"特殊"位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C(4,1)×A(5,3)=240种，所以选B。
一、排列和组合的概念
排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
二、七大解题技巧
1.特殊优先法
特殊元素，优先处理;特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法?
A.240 B.320 C.450 D.480
正确答案【B】
解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A(6，6)=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A(3，3)=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A(6，6) ×A(3，3) =320(种)。
排列组合问题是历年江苏公务员考试行测的必考题型，并且随着近年江苏公务员考试越来越热门，考试中这部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题;同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
高中数学排列组合与组合
高中数学排列组合与组合排列组合和组合是高中数学中重要的概念和方法。
在解决实际问题时，排列组合和组合可以帮助我们进行正确的计数和计算。
本文将详细介绍高中数学中的排列组合和组合，包括相关定义、基本原理、计算方法以及实际应用。
一、排列组合的定义和基本原理排列指的是从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的方式，可以记作P(n,r)。
排列的基本原理是乘法原理，即每个元素在选择过程中只能使用一次，因此排列的总数为n乘以n-1乘以n-2...直到乘以n-r+1，即n的阶乘除以(n-r)的阶乘。
组合指的是从n个元素中无序选择r个元素的方式，可以记作C(n,r)或者nCr。
组合的基本原理是除法原理，即在计算过程中忽略元素的顺序，因此组合的总数为排列的总数除以r的阶乘。
二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且每个元素只能使用一次，计算排列数的公式为P(n,r)=n!/(n-r)!2. 组合的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且忽略元素的顺序，计算组合数的公式为C(n,r)=P(n,r)/r!三、排列组合的实际应用排列组合和组合在实际问题中有广泛的应用，特别是在概率论、组合数学、统计学等领域。
1. 概率计算：(1) 在抽奖、赌博、随机事件中，排列组合可以帮助我们计算不同情况出现的概率，从而更好地进行决策。
2. 空间排列：(1) 在桌面布局、家居摆放等情况下，排列组合可以帮助我们计算不同物体摆放的方式和数量，从而使空间更加美观和合理。
3. 信息编码：(1) 在计算机科学、通信工程等领域，排列组合可以帮助我们计算不同编码形式的总数，从而提高信息传输的效率和安全性。
4. 运输和配送：(1) 在物流、配送等领域，排列组合可以帮助我们计算不同运输方式和路径的总数，从而优化运输方案和节约成本。
四、排列组合的实例分析为了更好地理解排列组合和组合的应用，下面以实际问题为例进行分析：问题：某个班级有10个学生，其中3个学生将参加篮球比赛，请问从这10个学生中选择3个学生参赛的方式有多少种？解答：根据组合的计算方法，C(10,3) = 10!/(3!(10-3)!) = 10!/(3!7!) = 120 种。
排列与组合
C ＋C
m n
m－1 n
＝C
m n＋1
计算：
(1)
( 2)
(3)
C
198 200
；
2 99
3
C C ； 2C C C
99
3 8 9
3
2 8
.
2 6 9 13
（）计算 1 C C C C ； 2 2 2 2 （2）计算C2 C3 C4 C10 ；
0 4 1 5
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委 员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
A.C A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
► 探究点二 有关排列与组合问题 例2 (1)[2012· 辽宁卷] 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家 人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! (2)将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人， 至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方 法共有( ) A．78种 B．36种 [答案] (1)C (2)D C．60种 D．72种
m
m m m A C A 根据分步计数原理，得到： n n m
因此： 这里 m、n N，且 m n，这个公式叫做组合数 公式．
*
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数 :
m n m m
A
C n Am
排列组合
例3：核桃组的9个人继续照相，这次排队有了新的讲究： 天天、向向、糖糖三个人强烈要求必须相邻，任谁劝都不 听，这时候只见摄像师小段拿着一根绳子笑着就走过来了 说：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。
A A 30240 (种)
3 3 7 7
必须相邻——捆绑法
例4：书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本 不同的故事书，全部竖起排成一排，如果要求童话书排列 在一起，漫画书排列在一起有多少种排法？
例10：:10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘 子空着，请问一共有多少种不同的放法？
练习题
• 1 A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起， 共有（ ）种站法。 • 2 A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共 有（ ）种站法。 • 3 将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少 放一个球，一共有多少种方法？ • 4 有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？ • 5 一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不 变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？
例6:8个人围圆桌聚餐，甲乙两人必须相邻，而乙丙两人不 得相邻，有几种坐法？
环排列A n A
n n
n1 n1
甲乙两人必须相邻，可以把他们看做是1个人（他们 2 6 之间还有顺序），总排列数为 A2 A6 从中扣除甲乙相邻且乙丙也相邻（这和甲乙丙三人 相邻是不同的，如甲在乙丙之间符合后者，但不符 2 5 合前者）的情况 A2 A5 所以，符合提议的排列法有
例9： (1)有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有 多少种不同的吃法？ (2)有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃两粒，共有 多少种不同的吃法？ (3)有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃三粒，共有 多少种不同的吃法？
数学排列与组合
03
排列与组合的区别与联系
定义上的区别
排列
从n个不同元素中取出m个元素 （m≤n），按照一定的顺序排成一 列，称为从n个不同元素中取出m 个元素的排列。
组合
从n个不同元素中取出m个元素 （m≤n），不考虑顺序，称为从n 个不同元素中取出m个元素的组合。
公式上的联系
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
计算机科学中的算法设计
算法效率
在计算机科学中，排列与组合用于评 估算法的效率。通过优化算法中的排 列和组合操作，可以提高程序的运行 速度。
数据结构选择
了解排列与组合的基本原理有助于选 择合适的数据结构，以支持高效的算 法实现。
05
排列与组合的扩展知识
加法原理与乘法原理
加法原理
当某一事件的发生不受限制时，该事件在不同条件下可能发生或不发生，其总的可能性等于各个独立条件下可能 性之和。
异同点总结
排列与组合在定义、公式和应用 上都有明显的区别，但两者之间 也存在一定的联系。在具体应用 中，需要根据实际情况选择合适
的数学工具。
04
排列与组合在生活中的应用
彩票中奖概率
彩票中奖概率
排列与组合在计算彩票中奖概率中有 着广泛应用。彩票号码的组合方式有 限，通过排列和组合的计算，可以得 出各种奖项的中奖概率。
组合的公式
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合数的性质
C(n, m) = C(n, n-m)
组合数的性质
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)
组合的应用
第2讲 排列与组合
第2讲 排列与组合一、知识梳理 1．排列、组合的定义排列的定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数 公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！C mn ＝A m n A m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！性质A n n ＝n ！，0！＝1 C m n ＝C n－mn，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋11．“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．二、教材衍化1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72 D．24解析：选D.“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A．8 B．24C．48 D．120解析：选C.末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24C．30 D．36解析：选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(4)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(5)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)分类不清导致出错；(2)相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有C26C35种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350(种)．答案：3502．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：设这5件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有A22种摆法，再与产品D，E全排列有A33种摆法，最后把产品C插空有C13种摆法，所以共有A22A33 C13＝36(种)不同摆法．答案：36排列问题(师生共研)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．【解】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．求解排列应用问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法(2020·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种解析：选B.由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A12A33种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有A12A22种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C12C12A22A22种方法，根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有A22A23＋A12A33＋A12A22＋C12C12A22A22＝44(种)，故选B.组合问题(师生共研)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【解】(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法．所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法．所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)法一(间接法)：选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．法二(直接法)：共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．两类有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，用间接法求解．1．(2020·沈阳模拟)某地区高考改革实行“3＋1＋2”模式，“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门科目，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门科目中任意选择两门科目，则一名学生的不同选科组合有()A．8种B．12种C．16种D．20种解析：选C.若一名学生只选物理和历史中的一门，则有C12C24＝12种组合；若一名学生物理和历史都选，则有C14＝4种组合，因此共有12＋4＝16种组合．故选C.2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选2门不同的选法种数为C24C24，又甲、乙两人所选的2门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列、组合的综合应用(多维探究)角度一排列与组合应用题(1)将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为() A．15 B．20C．30 D．42(2)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6【解析】(1)四个篮球中两个分到一组有C24种分法，三个篮球进行全排列有A33种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C24A33－A33＝36－6＝30种分法．(2)从0，2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有A23＝6种；从0，2中选一个数字2，则2排在十位(或百位)，从1，3，5中选两个数字排在百位(或十位)、个位，共有A12·A23＝12种，故共有A23＋A12A23＝18种．故选B.【答案】(1)C(2)B解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．角度二定序问题某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【解析】添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A77种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A1010种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有A1010＝720(种)．A77【答案】720定序问题可用直接法，也可用间接法．1．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选B.根据题意，分2种情况讨论：①乙和甲一起去A 社区，此时将丙丁二人安排到B 、C 社区即可，有A 22＝2种情况，②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种．故选B.2．我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：选C.根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A 44＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法：②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C 12A 44＝ 24种情况，即此时有24种不同的着舰方法．则一共有24＋24＝48种不同的着舰方法．故选C.3．6位机关干部被选调到4个贫困自然村进行精准扶贫，要求每位机关干部只能参加一个自然村的扶贫工作，且每个自然村至少有1位机关干部扶贫，则不同的分配方案有________种．解析：先将6位机关干部分成四组，有(1，1，1，3)和(1，1，2，2)两种情况，所以不同的分配方案共有⎝⎛⎭⎫C 36＋C 26C 242·A 44＝65×24＝1 560(种)． 答案：1 560分组分配问题中的易错点分组问题是同学们学习中的难点问题，在考试中不容易得分，在解题过程中容易掉入陷阱．解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．下面结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱．一、整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．【解析】 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33A 33＝90种分配方法．【答案】 90对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．二、部分均分问题将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．【解析】 先将5人分成三组(1，1，3或2，2，1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有⎝⎛⎭⎫C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22·A 33·C 24＝900种． 【答案】 900本题属于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．三、不等分组问题将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有C16种选法；再从余下的5本中选2本，有C25种选法；最后余下3本全选，有C33种选法．故共有C16·C25·C33＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60A33＝360种分配方法．【答案】360对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时，任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．总之，在解答分组问题时，一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏，抓住了以上关键点，就能避免掉进陷阱．[基础题组练]1．(2020·河南开封一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》；现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选一本书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有()A．18种B．24种C．36种D．54种解析：选D.(1)若甲选《春秋》，则有C13A33＝18种情况；(2)若甲不选《春秋》，则有A23A33＝36种情况．所以5名同学所有可能的选择有18＋36＝54种．故选D.2．(2020·湖南长郡中学模拟)某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有()A．72种B．48种C．36种D．24种解析：选C.根据题意，分2步分析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有A33＝6种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，有A23＝6种排法，则后六场开场诗词的排法有6×6＝36种，故选C.3．(2020·云南昆明模拟)现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有() A．30 B．40C．60 D．90解析：选B.根据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，相互调整座位，有C36＝20种选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，A，B，C相互调整座位有2种情况．则不同的调整方案有20×2＝40种，故选B.4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B.第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．5．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即C38－C35－C34＝42.6．(2020·四川广安、眉山、内江、遂宁一诊)某地环保部门召集6家企业的负责人参加座谈会，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A．15 B．30C．35 D．42解析：选B.根据题意，分两类情况讨论：选出的3人中没有人来自甲企业，在其他5个企业中任选3个即可，有C 35＝10种情况；选出的3人中有人来自甲企业，则甲企业只能有1人参与，在其他5个企业中任选2个即可，有2×C 25＝20种情况．则不同的情况共有10＋20＝30种，故选B.7．(2020·河南南阳模拟)把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中 ，不允许有空盒子的放法有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种解析：选C.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中， 且没有空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，则分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有C 24＝6种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A 33＝6种放法．则不允许有空盒子的放法有6×6＝36种．8．(2020·陕西汉中调研)某中学元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在节目乙的前面，节目丙不能排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A ．720种B ．360种C ．300种D ．600种解析：选C.先安排好除节目丙之外的5个节目，有A 55A 22＝60种可能，再安排节目丙，有5种可能，共60×5＝300种方案．故选C.9．(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A 22A 33，A 22A 33，C 12A 22A 33，C 13A 22A 33，C 13A 22A 33，故总编排方案有A 22A 33＋A 22A 33＋C 12A 22A 33＋C 13A 22A 33＋C 13A 22A 33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C 14A 22A 33＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．10．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )A ．250个B ．249个C ．48个D ．24个解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22C 23＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.12．某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 解析：选C.甲所设密码共有C 34C 14C 13＝48种不同设法，乙所设密码共有C 24A 242！＝36种不同设法，丙所设密码共有C 24C 14A 23＝144种不同设法，丁所设密码共有A 44＝24种不同设法，所以丙最安全，故选C.13．(2020·黑龙江哈尔滨三中期末)有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共________种．解析：有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先排2名女演员，有A22种方法，然后插入1名男演员，有A13种方法，再把这3个人当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有A33种方法．再根据分步乘法计数原理，可得不同的出场顺序有A22·A13·A33＝36种．答案：3614．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)解析：由题意，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有C36＝20种不同的选法．答案：2015．(2020·江西上饶联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A3n－2种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有A23A2n－2种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A3n－2＝A23A2n－2，解得n＝10.答案：1016．(2020·浙江嘉兴一中、湖州中学联考)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个无重复数字的三位数，也可以组成________个能被5整除且无重复数字的五位数．解析：第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C15＝5种方法；第二步，确定另外两个数位上的数，有A25＝5×4＝20种方法，所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数．第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况：当个位数上的数字是0时，其他数位上的数有A45＝5×4×3×2＝120种；当个位数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C14＝4种方法，而后确定其他三个数位上的数有A34＝4×3×2＝24种方法，所以共有24×4＝96个数．根据分类加法计算原理，可得共有120＋96＝216个数．答案：100216[综合题组练]1．(2020·江西临川一中等九校联考)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为()A．12 B．24C．36 D．48解析：选D.设6种产品分别为a，b，c，d，e，f，如图，根据题意，安全的分组方法有{ab，cf，de}，{ab，cd，ef}，{ac，be，df}，{ac，bf，de}，{ad，ef，bc}，{ad，eb，cf}，{ae，dc，bf}，{ae，df，bc}，共8种，每一种分组安排到3个仓库，有A33种方法，故总的方法有8×A33＝48种．故选D.2．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有()A．12种B．16种C．18种D．36种解析：选C.先将标号为1，2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有C24·C222！·A22＝6种情况，所以不同的方法共有3×6＝18(种)．3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
各种排列组合奇怪的数的公式和推导(伪)前言啊复习初赛看到排列组合那块，找个推导都难！真是的！一、排列(在乎顺序)全排列：P(n,n)=n!n个人都排队。
第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n*(n-1)*…*3*2*1= n!部分排列：P(n,m)=n!-(n-m)!n个人，选m个出来排队，第一个位置可以选n个，…，最后一个可以选n-m+1个，以此类推得：P(n,m)=n*(n-1)*.*(n-m+1)=n!-(n-m)!。
二、组合(不在乎顺序)n个人，选m个人出来。
因为不在乎顺序，所以按排列算的话，每个组合被选到之后还要排列，是被算了m!遍的。
即C(n,m)*m!=P(n,m)故而得：C(n,m)=n!-(m!*(n-m)!)有两条性质：1、C(n,m)=C(n,n-m)。
就是说从n个里面选m个跟从n个里面选n-m 个出来不选它是一样的。
2、C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。
递推式.从n个里面选m个出来的方案=从n-1个里面选m个的方案(即不选第n 个) + 从n-1个里面选m-1个的方案(即选第n个)三、圆排列圆排：Q(n,n)=（n-1)!n个人坐成一圈有多少种坐法。
想想坐成一圈后，分别以每个位置为头断开，可以排成一个序列，就是将n个人全排列中的一种。
这样可以得到n个序列，但是在圆排中是视为同一种坐法的。
所以：Q(n,n)*n=P(n,n)，即Q(n,n)=P(n,n)-n=n!-n=(n-1)!部分圆排：Q(n,m)=P(n,m)-m=n!-(m*(n-m)!)推导类似四、重复排列(有限个)：n!-(a1!*a2!*…*ak!)k种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2.ak,设n=a1+a2+…+ak，求这n个球的全排列数。
把每种球重复的除掉就好了。
假如第一种球有a1个，那么看成都是不一样的话就有a1!种排列方法，然而它们都是一样的，就是说重复了a1!次。
第二节排列组合-PPT课件
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
排列组合基本原理.课件
排列和组合之间可以 通过组合数公式进行 转换。
排列和组合都是从n 个不同元素中取出m 个元素进行操作，计 算公式不同。
02
排列组合基本原理
伯努利原理
01
02
03
伯努利原理的内容
在n个独立事件中，每个 事件发生的概率为p，则 至少有一个事件发生的概 率为1-（1-p）^n。
应用
在保险业中，伯努利原理 常被用于计算保险概率， 例如汽车保险、健康保险 等。
03
排列的应用
排列的常见应用场景
01
彩票中奖概率计算
02
03
04
计算机科学中的排列算法
统计学中的样本排列
金融领域中的投资组合优化
排列在组合物件中的运用
密码学中的排列组合 计算机程序中的随机数生成
组合物件中的排列问题，如拼图、魔方等
排列在解决其他问题中的运用
数学竞赛中的排列题目 密码破译中的排列分析
计算机程序中的算法优化问题
04
组合的应用
组合的常见应用场景
彩票中奖概率计算
在计算彩票中奖概率时，通常需要考虑从数百万个彩票号 码中选取特定组合的情况，这时就需要使用组合的原理来 计算。
投资组合风险与收益评估
在投资领域，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性 构建投资组合，以实现风险分散和资产保值增值，这里的 投资组合构建就需要用到组合的原理。
注意事项
伯努利原理在独立事件的 情况下适用，如果事件之 间存在依赖关系，则该原 理可能不成立。
容斥原理
Hale Waihona Puke 01容斥原理的内容
在计算多个集合的并集时，需要考虑重复计算的问题。通过将各个集合
单独求和，再减去重复计算的集合，即可得到正确的并集结果。
数字的排列组合全排列和组合的概念
数字的排列组合全排列和组合的概念数字的排列组合：全排列和组合的概念数字的排列组合是数学中常见的一个概念，用于描述数字元素的不同排列和组合方式。
全排列是指对一组数字进行排列，使得每个数字都参与排列且不重复；而组合是指从一组数字中选取特定数量的元素进行组合，顺序不重要。
1. 全排列的概念全排列是指对给定的一组数字进行排列，使得每个数字都参与排列且不重复。
在全排列中，数字的顺序是重要的。
例如，给定数字1、2和3，它们的全排列有6种，分别为123、132、213、231、312和321。
2. 全排列的计算方法全排列的计算方法可以通过递归的方式来实现。
递归的思想是将问题拆分成更小的子问题来求解。
以计算数字1、2和3的全排列为例，可以分为以下步骤：(1) 固定第一个位置的数字，将问题转化为求解后面位置的全排列；(2) 将第一个位置的数字与后面的每个数字进行交换，得到新的排列；(3) 对新的排列进行递归，继续求解后面位置的全排列。
3. 全排列的应用全排列在实际应用中有着广泛的应用，例如在密码锁的解锁过程中，需要尝试所有可能的数字排列才能正确解锁；在数据分析中，可以使用全排列来生成所有可能的数据组合，从而进行进一步的分析。
4. 组合的概念组合是指从一组数字中选取特定数量的元素进行组合，顺序不重要。
不同于全排列，组合中数字的顺序是不重要的。
例如，从数字1、2、3中选取2个数字进行组合，结果有3种，分别为：12、13和23。
5. 组合的计算方法组合的计算方法可以使用数学中的组合公式来求解。
组合公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中n表示总的数字个数，k表示需要选取的数字个数。
以计算从数字1、2、3中选取2个数字进行组合为例，可以使用公式计算C(3, 2) = 3! / (2!(3-2)!) = 3。
6. 组合的应用组合在实际应用中也有着广泛的应用，例如在概率统计中，可以使用组合来计算事件的可能性；在排他性事件的分析中，可以使用组合来计算不同情况下的组合可能性。
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例
• 100件产品中有3件是次品，其余都是正品。 现在从中取出5件产品，其中含有次品，有 多少种取法？
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• 解法1——分类，加法原理：
1 4 C * C • 含有1件次品： 3 97 2 3 C * C • 含有2件次品： 3 97 3 2 C * C • 含有3件次品： 3 97
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例
• n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可 能的结果？ • 解法1：用分类记数的原理。（加法原理）
0 没有人通过，有 C n 种结果； 1 种结果； 1个人通过，有 Cn ……； n 种结果。 n个人通过，有 Cn
0 1 n Cn Cn 2 n 种可能的结果。 所以一共有 Cn
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例
• 8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能 站在一起，一共有多少种排法？ • 解： • 无限制条件有 P88 种排法。 2 7 P • A与B或A与C在一起各有 2 P7 种排法， 2 6 • A、B、C三人站在一起且A在中间有 P2 P6 种 排法， 8 2 7 2 6 • 所以一共有 P8 2 P2 P7 P2 P6 21600 种 排法。
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• 解： • （1）按密码位数,从左到右依次设置第一位、 第二位、第三位，需分为三步完成： 第一步，m1 = 10； 第二步，m2 = 10； 第三步，m3 = 10。 根据乘法原理, 共可以设置 N=10×10×10=1000 种密码。
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六、机会均等法
• 例：10个人排成一队，其中甲一定要在乙 的左边，丙一定要在乙的右边，不一定相 邻，一共有多少种排法？ • 解： • 甲、乙、丙三人排列一共有 6 种排法， • 在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所 有排列中出现的机会是均等的，而6种排列 中满足条件的只有1种， 1 10 • 因此符合题设条件的排法种数为 P10 604800
• 1．乘法原理 • 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务， 必须且只须连续完成这n步才能完成此任务； 各步计数相互独立；只要有一步中所采取 的方法不同，则对应的完成此事的方法也 不同。
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例
• 用1,2,3,4,5,6这六个数字能组成多少个每一位数 字都不同的六位数？
组合数性质
• 性质1： C C • 性质2： C C • 证明：
m n m n nm n m n 1
(C 1)
m 1 n 1
0 n
C
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排列与组合
• 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。 如2，3，1与2，1，3是两个排列，而2，3， 1与2，1，3是一个组合。 • 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素， “按照一定的顺序排成一列”与“不管怎 样的顺序并成一组”这是有本质区别的。
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七、转化法
• 例：从1、2、3、……、20这二十个数中任取三 个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列 有________个。 • 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景 转化为一个明确的排列组合问题。 • 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定； • 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3， 5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数 中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列， 因而本题答案为 2 2P 10 180 • 注意：本题是排列问题不是组合问题。
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四、插入法
• 例：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品。 小品节目不能排在第一个，也不能有两个小品排 在一起。有几种排法？ • 解： 5 • 先排5个不是小品的节目，有 P5 种排法； • 它们之间以及最后一个节目之后一共有5个空隙， 3 将3个小品插入进去，有 P5 种排法， • 所以一共有 P55 P53 7200 种排法。 • 注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条 件的排列问题。
• 所以符合题意的取法种数为：
1 4 3 3 2 C3 * C97 C32 * C97 C3 * C97
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• 解法2——排除法： 5 C • 从100件产品中取5件产品，有 100 种取法， 5 C • 从不含次品的97件中取出5件产品有 97 种 取法， 5 5 C C • 所以符合题意的取法有 100 97 种。
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• 解法2：用分步记数的原理。（乘法原理） 第一个人有 通过与不通过两 种可能， 第二个人也是这样 ， ……， 第n个人也是这样， 所以一共有 2*2*…*2=2n 种可能的结果。
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例
• 一个三位密码锁，每位上的数字都从 0,1,2,……,9 十个数字中选择。 • （1）若各位上的数字允许重复，则可以设 置多少种密码？ • （2）首位数字不为0呢？ • （3）首位数字为0呢？ • （1’）若各位上的数字不允许重复呢？
• • • • • •
解：从左到右每一位填一个数字，可分6步完成： 第1步：填左边第一位，有6种填法； 第2步：填左边第一位，有5种填法； …… 第6步：填最右边一位，有1种填法。 所以，根据乘法原理，共有 6*5*4*3*2*1=720 个。
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• 解法2：此题即求1，2，3，4，5，6的全排列数， 所以N= P66 6! 720
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• (2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，记作 P m 。 n • 排列数公式： m Pn =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = n!
(n-m)!
• 当m=n时，称为全排列。全排列数公式为： n =n(n-1)(n-2)…3·2·1＝n！ P
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3 P 10 10 * 9 * 8 720
二、特殊元素（位置）优先
• 例：从0，1，……，9这10个数字中选取5个不同 数字组成5位的偶数，共有多少个？
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• 解：可分为两类： 4 • 第一类：个位填0，有 P9 个； • 第二类：个位不填0且万位不能填0， 分三步： 1 第一步：填个位 C4 1 第二步：填万位 C8 3 第三步：填其他位 P8 1 1 3 所以第二类共有 C4 C8 P8 个； 1 1 3 • 所以一共可以得到 P94 C 4 C8 P8 13776 个偶数。 • 注：0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊， 首位与末位是特殊的位置。
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加法原理和分类计数法
• 1．加法原理 • 2．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成 此任务；两类不同办法中的具体方法，互 不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一 种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
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乘法原理和分步计数法
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• (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 m 元素的所有组合的个数，记作 C。 n • 组合数公式： m Pn n(n-1)(n-2)...(n-m+1) m Cn m =
Pm
m!
故 C
m n
n! m!(n-m)!
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n
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组合和组合数
• (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取 出m个元素的一个组合。 • 从组合的定义知，如果两个组合中的元素 完全相同，不管元素的顺序如何，都是相 同的组合；只有当两个组合中的元素不完 全相同时，才是不同的组合。
排列组合
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引例
• （1）从1、2、3这3个数中任取2个数的排 列有哪些？ • （2）从1、2、3这3个数中任取2个数的组 合有哪些？
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解答
• • • • • • • • • • （1）从1、2、3这3个数中任取2个数的排列有哪些？ 共6种排列： 1 2，2 1 1 3，3 1 2 3，3 2 2 3 排列数记作： （2）从1、2、3这3个数中任取2个数的组合有哪些？ 共3种组合： 1 2，1 3，2 3 2 组合数记作： 3
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五、排除法
• 例：求以一个长方体的顶点为顶点的四面 体的个数。 • 解： 4 • 从8个点中取4个点，共有 C8 种， • 其中取出的4个点共面的有 6 6 12 种， 4 • 所以符合条件的四面体的个数为 C8 12 58
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例
• 8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不 在后排的边上，一共有多少种排法？ • 解：分三步： 1 • 第一步：先排甲，有 P4 种排法。 1 • 第二步：再排乙，有 P5 种排法， • 第三步：再排其余的人，又有 P66 种排法， 1 1 6 • 所以一共有 P4 P5 P6 14400 种排法。
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例
• 用1，4，5，x 四个数字组成四位数，所有 这些四位数中的数字的总和为288，求x。 • 解： 4 • 若x不为0，一共可以得到 P4 24 个四位数。 因为 1，4，5，x 出现的机会是均等的， 即在每一个四位数里都出现一次，所以有： 24 (1 4 5 x) 288 解得x=2。 • 若x为0，一共可以得到 18 个四位数。 而此时18*(1+4+5) ≠ 288 所以x不可能为 0。