【数学】2017-2018年陕西省西安一中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）已知为i虚数单位，若复数（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．5 B． C．D．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，＜0，则命题¬p为（）A．∀x∈R，（2﹣x）≥0 B．∀x∈R，（2﹣x）＞0C．∃x0∈R，（2﹣x0）≥0 D．∃x0∈R，（2﹣x0）＞04．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．45．（5分）设a=log54﹣log52，b=ln+ln3，c=10lg5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．（5分）若函数f（x）满足，则f（x）的解析式在下列四式中只有可能是（）A．B．C．2﹣x D．7．（5分）函数y=xe x的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，2]的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣ C．D．510．（5分）若将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B．C． D．11．（5分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f （x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A．（，） B．（，）C．（e，2e）D．（e，e3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）计算=．14．（5分）已知（2x﹣）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=．15．（5分）一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为．16．（5分）某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）（0＜φ＜）的图象经过点（，1）（1）求f（x）．=2，角C为锐角（2）在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，a=，S△ABC且f（﹣）=，求c边长．18．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t．（1）求实数m．（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．22．（12分）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．2．（5分）已知为i虚数单位，若复数（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．5 B． C．D．【解答】解：复数==﹣i（a∈R）的虚部为﹣3，∴=﹣3，解得a=5．∴z=﹣2﹣3i．则|z|==．故选：B．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，＜0，则命题¬p为（）A．∀x∈R，（2﹣x）≥0 B．∀x∈R，（2﹣x）＞0C．∃x0∈R，（2﹣x0）≥0 D．∃x0∈R，（2﹣x0）＞0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，＜0，则命题¬p为∃x0∈R，（2﹣x0）≥0．故选：C．4．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．4【解答】解：i=1，S=﹣1；i=2，S=；i=3，S=；i=4，S=4；i=5，S=﹣1；…；i=8，S=4；i=9，结束循环，输出S的值是4．故选：D．5．（5分）设a=log54﹣log52，b=ln+ln3，c=10lg5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：∵0=log51＜a=log54﹣log52=log52＜log55=1，a=log52＜b=ln+ln3=ln2＜lne=1，c=10lg5==＞1，∴a＜b＜c．故选：A．6．（5分）若函数f（x）满足，则f（x）的解析式在下列四式中只有可能是（）A．B．C．2﹣x D．【解答】解：若f（x）=，则，故A错误；若f（x）=，则，故B错误；若f（x）=2﹣x，则，故C正确；若f（x）=，则，故D错误；故选：C．7．（5分）函数y=xe x的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=xe x，∴y′=e x+xe x=e x（x+1），故当x＞﹣1时，y′＞0，y单调递增；当x＜﹣1时，y′＜0，y单调递减，故排除A，C．再根据当x＜0时，y＜0，故排除D，故选：B．8．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，2]的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域面积为4，而满足xy ∈[0，2]的区域如图阴影部分，面积为2×1=2+2ln2，由几何概型的概率公式得到概率是；故选：C．9．（5分）实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣ C．D．5【解答】解：作出平面区域如图所示：由平面区域可知过P（1，1）的直线过点A时斜率最小，解方程组得x=，y=．∴的最小值为=﹣．故选：B．10．（5分）若将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B．C． D．【解答】解：把该函数的图象右移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin （2x+﹣2φ）．又所得图象关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈Z．∴当k=﹣1时，φ有最小正值是．故选：A．11．（5分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选：A．12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f （x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A．（，） B．（，）C．（e，2e）D．（e，e3）【解答】解：设g（x）=，则g'（x）=＞0∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（1）＜g（2），即＜⇒＜；令h（x）=，则h'（x）=∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以h（1）＞h（2），即＞⇒＞综上，＜且＞．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）计算=60.7．【解答】解：原式=0.3+4+（﹣）﹣=0.3+64﹣0.6﹣3=60.7，故答案为：60.714．（5分）已知（2x﹣）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=1．【解答】解：在（2x﹣）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1，得（2﹣）4=a+a1+a2+a3+a4 ；令x=﹣1，得（2﹣）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4 ；两式相乘得（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=•=1，故答案为：1．15．（5分）一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为66．【解答】解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可知第n行的首尾两数均为2n﹣1设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{a n}，则有a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，a5﹣a4=7，…，a n﹣a n﹣1=2n﹣3，相加得a n﹣a2=3+5+…+（2n﹣3）=×（n﹣2）=n（n﹣2）a n=3+n（n﹣2）=n2﹣2n+3，所以第九行的第二个数为81﹣18+3=66．故答案为：66．16．（5分）某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为．【解答】解：根据题意：若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；则不同的发言顺序种数240﹣120=120种，所有的发言顺序是=720种，∴甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为：=，故答案为：．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）（0＜φ＜）的图象经过点（，1）（1）求f（x）．=2，角C为锐角（2）在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，a=，S△ABC且f（﹣）=，求c边长．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）=sin（2x+φ）+=sin（2x+φ）﹣cos（2x+φ）+=sin（2x+φ﹣）+，∵图象经过点（，1），∴sin（2•+φ﹣）+=1，即sin（+φ）=，即cosφ=，∵0＜φ＜，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）+；（2）∵f（﹣）=sinC+=，∴sinC=∴cosC==，=absinC=••b•=2，∴b=6，∵S△ABC∴c2=a2+b2﹣2abcosC=5+36﹣2••6•=21∴c=．18．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，∴恰有2人不赞成的概率为：P（ξ=2）=+=．…（7分）（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，…（6分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列是：…（10分）所以ξ的数学期望Eξ=．…（12分）20．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）21．（12分）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t．（1）求实数m．（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．【解答】解：（1）由题意可得g（x+4）=m﹣2|x+4﹣11|=m﹣2|x﹣7|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，∴2|x+3|≥m﹣2|x﹣7|，即m≤2（|x+3|+|x﹣7|）．而由绝对值三角不等式可得2（|x+3|+|x﹣7|）≥2|（x+3）﹣（x﹣7）|=20，∴m≤20，故m的最大值t=20．（2）∵实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），由柯西不等式可得[++]•[++]≥．∴a×1≥（x+y+z）2，∴x+y+z≤．再根据x+y+z的最大值是=1，∴=1，∴a=1．22．（12分）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．【解答】解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1﹣2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）．∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=x2﹣（2m+1）x+m（m+1）．∴a+1﹣2m=﹣（2m+1）．∴a=﹣2．…（2分）（2）解法1：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）方程x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m．…（4分）①当m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为，，…（5分）则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②当m＜0时，由△＞0，得或，若，则，，故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，（苏元高考吧：www．gaokao8．net）∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）没有极值点．…（7分）若时，，，则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）解法2：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）若函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点等价于函数φ'（x）有两个不等的零点，且至少有一个零点在（1，+∞）上．…（4分）令φ'（x）==0，得x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0，（*）则△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m＞0，（**）…（5分）方程（*）的两个实根为，．设h（x）=x2﹣（2+k）x+k﹣m+1，①若x1＜1，x2＞1，则h（1）=﹣m＜0，得m＞0，此时，k取任意实数，（**）成立．则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②若x1＞1，x2＞1，则得又由（**）解得或，故．…（7分）则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任何实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）（3）证法1：∵m=1，∴g（x）=．∴==．…（10分）令T=，则T==．∵x＞0，∴2T=…（11分）≥…（12分）===2（2n﹣2）．…（13分）∴T≥2n﹣2，即[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2．…（14分）证法2：下面用数学归纳法证明不等式≥2n﹣2．①当n=1时，左边=，右边=21﹣2=0，不等式成立；…（10分）②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即≥2k﹣2，则==…（11分）=2k +1﹣2．…（13分）也就是说，当n=k +1时，不等式也成立．由①②可得，对∀n ∈N *，[g （x +1）]n ﹣g （x n +1）≥2n ﹣2都成立．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。