推荐2019届高三数学(理)二轮专题复习文档:专题八第3讲分类讨论、转化与化归思想含解析
[推荐学习]2019版高考数学二轮复习第一部分方法思想解读专题对点练3分类讨论思想转化与化归思想文
专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=-若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.函数y=5--的最大值为()A.9B.12C.D.33.在等比数列{a n}中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是()A.1B.-C.1或-D.-1或4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.或D.或5.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A. B.C.或D.或6.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是()A.-B.(-∞,3)C.D.[3,+∞)8.(2018安徽黄山一模)已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,-1)二、填空题9.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.11.函数y=--的最小值为.12.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC的取值范围是.三、解答题13.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).专题对点练3答案1.B解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞).2.D解析设a=(5,1),b=(--),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5----=3.当且仅当5--,即x=时等号成立.3.C解析当公比q=1时,则a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当公比q≠1时,则a1q2=7,--=21,解得q=- (q=1舍去).综上可知,q=1或q=-.4.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.5.C解析当焦点在x轴上时,,此时离心率e=;当焦点在y轴上时,,此时离心率e=.故选C.6.C解析当0<a<1时,可知y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,则a3+1<a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,则a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.C解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f' (x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥,故选C.8.B解析方程f(x)=k化为方程e|x|=k-|x|.令y1=e|x|,y2=k-|x|.y2=k-|x|表示斜率为1或-1的平行折线系.当折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,k=1.由图知,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根时,实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.9.- 解析当a>1时,函数f(x)= a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得--无解.当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得--解得-所以a+b=-.10.(-∞,-5]解析因为当x≥0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+ 1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.即实数a的取值范围是(-∞,-5].11.解析原函数等价于y=----,即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的值就是所求的最小值,即|A'B|=---.12.(3,)解析如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x,y,z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求的取值范围,转化为y2+z2=41-2x2,∵x2+y2=16,∴0<x<4,∴41-2x2∈(9,41),即BC的取值范围是(3,).13.解 (1)由于a≥3,则当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1), g(a)},即m(a)=--②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.-所以,M(a)=。
2019-2020年高三数学二轮复习 专题辅导(3)转化与化归思想精品教学案
2019-2020年高三数学二轮复习专题辅导(3)转化与化归思想精品教学案【考情分析】分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助。
《考试说明》强调,对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行,通过数学知识的考查,反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.考查时,要从学科整体意识和思想含义上立意,注意通性通法,淡化特殊技巧,有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置,在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法,其难度在0.4~0.6之间。
它即是一种数学思想又是一种数学能力,高考对这种思想方法的考查所占比重很大,是历年高考考查的重点。
预测xx年高考对本讲的考查为:(1)常量与变量的转化:如分离变量,求范围等。
(2)数与形的互相转化:若解析几何中斜率、函数中的单调性等。
(3)数学各分支的转化:函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。
(4)出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识归纳】转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
从某种意义上说,数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化,进而达到解题目的的一个探索过程。
1.转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练3分类讨论思想转化与化归思想
{34 - 8a,3 ≤ a < 4,
所以,M(a)=
2,a ≥ 4.
所以,由 F(x)的定义知 m(a)=min{f(1),g(a)},即 m(a)= - a2 + 4a - 2,a > 2 + 2. ②当 0≤x≤2 时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),
当 2≤x≤6 时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.
∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即 p>q.
当 a>1 时,y=ax 和 y=logax 在其定义域上均为增函数,则 a3+1>a2+1,
∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即 p>q.
综上可得 p>q.
7.C 解析 f'(x)=3x2-2tx+3,由于 f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有 f'(x)≤0 在[1,4]上恒成立,
A.9
B.12
C. 26
D.3 26
3.在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项的和 S3=21,则公比 q 的值是( )
1
A.1
1
B.-2
1
C.1 或-2
D.-1 或2
y2
4.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x2+ m =1 的离心率是( )
3
A. 2
B. 5
35
C. 2 或 2
2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式 F(x)=x2-2ax+4a-2 成立的 x 的取值范围为[2,2a].
高考文科数学二轮复习新课标:专题八 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想
一、选择题1.已知函数f (x )=x 2+(a +1)x +ab ,若不等式f (x )≤0的解集为{x |-1≤x ≤4},则a +2b 的值为( )A .-2B .3C .-3D .2解析:选A.依题意,-1,4为方程x 2+(a +1)x +ab =0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧-1+4=-(a +1),-1×4=ab ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =1,所以a +2b 的值为-2,故选A.2.在等差数列{a n }中,a 2,a 2 018是函数f (x )=x 3-6x 2+4x -1的两个不同的极值点,则log 18a 1 010的值为( )A .-3B .-13C .3D.13解析:选B.f ′(x )=3x 2-12x +4,因为a 2,a 2 018是函数f (x )=x 3-6x 2+4x -1的两个不同的极值点,所以a 2,a 2 018是方程3x 2-12x +4=0的两个不等实数根,所以a 2+a 2 018=4.又因为数列{a n }为等差数列,所以a 2+a 2 018=2a 1 010,即a 1 010=2, 从而log 18a 1 010=log 182=-13.3.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F ,作一直线交抛物线于P ,Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ,q ,则1p +1q等于( )A .2a B.12a C .4aD.4a 解析:选C.抛物线y =ax 2(a >0)的标准方程为x 2=1a y (a >0),焦点F ⎝⎛⎭⎫0,14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴,则|PF |=|QF |=12a ,所以1p +1q=4a . 4.已知函数f (x )=x 2-4x +2的定义域为[1,t ],f (x )的最大值与最小值之和为-3,则实数t 的取值范围是( )A .(1,3]B .[2,3]C .(1,2]D .(2,3)解析:选B.f (x )=x 2-4x +2的图象开口向上,对称轴为x =2,f (1)=-1,f (2)=-2,当1<t <2时,f (x )max =f (1)=-1,f (x )min >f (2)=-2,则f (x )max +f (x )min >-3,不符合题意;当t ≥2时,f (x )min =f (2)=-2,则f (x )max =-3-f (2)=-1,令f (x )=-1,则x 2-4x +2=-1,解得x =1或x =3,所以2≤t ≤3,故选B.5.在钝角△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =4,b =3,则c 的取值范围是( )A .(1,7)∪(5,7)B .(1,7)C .(5,7)D .(5,+∞)解析:选A.三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,据此可得1<c <7, ① 若∠C 为钝角,则cos C =a 2+b 2-c 22ab =25-c 224<0,解得c >5, ②若∠A 为钝角,则cos A =b 2+c 2-a 22bc =c 2-76c <0,解得0<c <7, ③结合①②③可得c 的取值范围是(1,7)∪(5,7).6.若不等式x 2-ax +1≥0对一切x ∈[-2,2]恒成立,则a 的取值范围为( ) A .(-∞,-2] B .[-2,2] C .(0,2]D .[2,+∞)解析:选B.因为x ∈[-2,2],当x =0时,原式为02-a ·0+1≥0恒成立,此时a ∈R ;当x ∈(0,2]时,原不等式可化为a ≤x 2+1x ,而x 2+1x ≥2xx =2,当且仅当x =1时等号成立,所以a 的取值范围是(-∞,2];当x ∈[-2,0)时,可得a ≥x 2+1x ,令f (x )=x 2+1x =x +1x,由函数的单调性可知,f (x )max =f (-1)=-2, 所以a ∈[-2,+∞).综上可知,a 的取值范围是[-2,2]. 二、填空题7.已知正数x ,y 满足x 2+2xy -3=0,则2x +y 的最小值是________.解析:由题意得,y =3-x 22x ,所以2x +y =2x +3-x 22x =3x 2+32x =32⎝⎛⎭⎫x +1x ≥3,当且仅当x=y =1时,等号成立.故所求最小值为3.答案:38.设F 1,F 2为椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知P ,F 1,F 2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1||PF 2|的值为________. 解析:①若∠PF 2F 1=90°. 则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,又因为|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=25, 解得|PF 1|=143,|PF 2|=43, 所以|PF 1||PF 2|=72.②若∠F 1PF 2=90°,则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2,所以|PF 1|2+(6-|PF 1|)2=20,所以|PF 1|=4,|PF 2|=2,所以|PF 1||PF 2|=2.综上可知,|PF 1||PF 2|=72或2.答案:72或29.已知函数f (x )=x 3+3ax -1,g (x )=f ′(x )-ax -5,其中f ′(x )是f (x )的导函数.对任意a ∈[-1,1],都有g (x )<0,则实数x 的取值范围为________.解析:由题意,知g (x )=3x 2-ax +3a -5, 令φ(a )=(3-x )a +3x 2-5,-1≤a ≤1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧φ(1)<0,φ(-1)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2-x -2<0,3x 2+x -8<0,解得-23<x <1.故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-23,1. 答案:⎝⎛⎭⎫-23,1 三、解答题10.(2019·长春市质量监测(二))已知函数f (x )=(a -1)ln x -ax -x (a ∈R ).(1)当a =2时,求曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程; (2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为-2,求实数a 的值.解:(1)a =2时,f (x )=ln x -2x -x ,f ′(x )=1x +2x 2-1,f (2)=ln 2-3,f ′(2)=0,所以曲线在点(2,f (2))处的切线方程为y =ln 2-3. (2)f ′(x )=a -1x +a x 2-1=-(x +1)(x -a )x 2(1≤x ≤3), 当a ≤1时,f ′(x )≤0,f (x )在[1,3]上单调递减,所以f (1)=-2,a =1;当a ≥3时,f ′(x )≥0,f (x )在[1,3]上单调递增, 所以f (3)=-2,a =ln 3+1ln 3-13<3,舍去;当1<a <3时,f (x )在(1,a )上单调递增,在(a ,3)上单调递减, 所以f (a )=-2,a =e. 综上,a =1或a =e.11.(2019·唐山市摸底考试)设f (x )=2x ln x +1. (1)求f (x )的最小值;(2)证明:f (x )≤x 2-x +1x +2ln x .解:(1)f ′(x )=2(ln x +1).所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1e 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ,+∞时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. 所以当x =1e 时,f (x )取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1e =1-2e . (2)证明:x 2-x +1x +2ln x -f (x )=x (x -1)-x -1x +2(1-x )ln x=(x -1)⎝⎛⎭⎫x -1x -2ln x , 令g (x )=x -1x-2ln x ,则g ′(x )=1+1x 2-2x =(x -1)2x 2≥0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递增,又g (1)=0, 所以当0<x <1时,g (x )<0, 当x >1时,g (x )>0,所以(x -1)⎝⎛⎭⎫x -1x -2ln x ≥0, 即f (x )≤x 2-x +1x+2ln x .12.(2019·重庆市学业质量调研)已知离心率为12的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,上顶点为B ,且BA 1→·BA 2→=-1.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆左焦点F 的直线l 与椭圆交于M ,N 两点,且直线l 与x 轴不垂直,若D 为x 轴上一点,|DM →|=|DN →|,求|MN ||DF |的值.解:(1)A 1,A 2,B 的坐标分别为(-a ,0),(a ,0),(0,b ), BA 1→·BA 2→=(-a ,-b )·(a ,-b )=b 2-a 2=-1,所以c 2=1. 又e =c a =12,所以a 2=4,b 2=3.所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知F (-1,0),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),因为直线l 与x 轴不垂直,所以可设其方程为y =k (x +1). 当k =0时,易得|MN |=4,|DF |=1,|MN ||DF |=4. 当k ≠0时,联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =k (x +1),得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0,所以x 1+x 2=-8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,所以|MN |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12+12k 23+4k 2.又y 1+y 2=k (x 1+x 2+2)=6k3+4k 2, 所以MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-4k 23+4k 2,3k 3+4k 2. 所以MN 的垂直平分线方程为y -3k 3+4k 2=-1k ⎝⎛⎭⎫x +4k 23+4k 2(k ≠0),令y =0得,1k x +k 3+4k 2=0,解得x =-k 23+4k 2.|DF |=⎪⎪⎪⎪-k 23+4k 2+1=3+3k 23+4k2,所以|MN ||DF |=4. 综上所述,|MN ||DF |=4.。
高三数学第二轮专题复习转化与化归思想课堂资料
高三数学第二轮专题复习转化与化归思想课堂资料一、基础知识整合世界数学大师波利亚强调:“不断地变换你的问题”,“我们必须一再变化它,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到某些有用的东西为止”。
他认为,解题过程就是“转化”的过程,因此,“转化”是解数学题的重要思想方法之一。
“化归与转化的思想方法”思想方法,就是在把直接求解较为困难的问题转化为一个相对来说自己较为熟悉的,且在已有知识范围内可解的新问题,从而达到解决原问题的目的。
转化能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。
除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。
转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。
化归与转化应遵循的基本原则:⑴熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
⑵简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。
⑶和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
⑷直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
⑸正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。
2019-2020年高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料
2019-2020年高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料一、基础知识整合分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略。
1.分类原则:分类应按同一标准进行,不重复,不遗漏,分层次,不越级讨论. 2.分类方法:明确讨论对象以及研究的范围;确定分类标准,正确进行分类;逐类进行讨论,获取阶段性成果;归纳小结,综合出结论. 3.含参数问题的分类讨论是常见题型。
4.注意简化或避免分类讨论。
二、例题解析[例1] 一条直线过点(5,2),且在x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为( ) (A) (B)(C)x y x y +-=-=70250或 (D)x y y x ++=-=70250或 [分析]设该直线在x 轴,y 轴上的截距均为a , 当a =0时,直线过原点,此时直线方程为;当时,设直线方程为x a yaa +==17,则求得,方程为。
[例2] 15sin cos cos 213ABC A B C ∆==中,已知,,求.[分析][]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B因此,只要根据已知条件,求出cos A ,si n B 即可得cosC 的值.但是由si nA 求cos A 时,是一解还是两解?这一点需经过讨论才能确定,故解本题时要分类讨论。
对角A 进行分类.[解]50cos 132B B ABC <=<∆为的一个内角 ∴<<=45901213 B B ,且sin ⑴若为锐角,由,得,此时A A A A sin cos ===123032⑵若为钝角,由,得,此时A A A A B sin ==+>12150180这与三角形的内角和为180°相矛盾。
高三数学(理)二轮专题复习文档:专题八第3讲分类讨论、转化与化归思想
第3讲 分类讨论、转化与化归思想数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )=(1-4m )x 在[0,+∞)上是增函数,则a =________. (2)在等比数列{a n }中,已知a 3=32,S 3=92,则a 1=________.解析 (1)若a >1,有a 2=4,a -1=m . 解得a =2,m =12.此时g (x )=-x 为减函数,不合题意. 若0<a <1,有a -1=4,a 2=m , 故a =14,m =116,检验知符合题意.(2)当q =1时,a 1=a 2=a 3=32,S 3=3a 1=92,显然成立. 当q ≠1时,由a 3=32,S 3=92,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=32, ①a 1(1+q +q 2)=92. ②由②①,得1+q +q 2q 2=3,即2q 2-q -1=0,所以q =-12或q =1(舍去).当q =-12时,a 1=a 3q 2=6, 综上可知,a 1=32或a 1=6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ,因此,当底数a 的大小不确定时,应分0<a <1,a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时,若公比q 的大小不确定,应分q =1和q ≠1两种情况进行讨论,这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =2a n -2,则S 5-S 4的值为( ) A.8B.10C.16D.32(2)函数f (x )=⎩⎨⎧sin (πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0.若f (1)+f (a )=2,则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n =1时,a 1=S 1=2a 1-2,解得a 1=2. 因为S n =2a n -2,当n ≥2时,S n -1=2a n -1-2,两式相减得,a n =2a n -2a n -1,即a n =2a n -1, 则数列{a n }为首项为2,公比为2的等比数列, 则S 5-S 4=a 5=25=32. (2)f (1)=e 0=1,即f (1)=1. 由f (1)+f (a )=2,得f (a )=1.当a ≥0时,f (a )=1=e a -1,所以a =1.当-1<a <0时,f (a )=sin(πa 2)=1, 所以πa 2=2k π+π2(k ∈Z ).所以a 2=2k +12(k ∈Z ),k 只能取0,此时a 2=12, 因为-1<a <0,所以a =-22.则实数a 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-22,1.答案 (1)D (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-22,1应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)已知变量x ,y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k =( ) A.-12B.12C.0D.-12或0(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线C 的离心率等于________.解析(1)不等式组⎩⎨⎧x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知,若要使不等式组⎩⎨⎧x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表平面区域是直角三角形,只有当直线kx -y +1=0与直线y 轴或y =2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或-12.(2)不妨设|PF 1|=4t ,|F 1F 2|=3t ,|PF 2|=2t ,其中t ≠0. 若该曲线为椭圆,则有|PF 1|+|PF 2|=6t =2a , |F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 6t =12;若该曲线为双曲线,则有|PF 1|-|PF 2|=2t =2a , |F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 2t =32. 答案 (1)D (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1,F 2为椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知P ,F 1,F 2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1=90°.则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2, 又因为|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=25, 解得|PF 1|=143,|PF 2|=43,所以|PF 1||PF 2|=72.若∠F 1PF 2=90°,则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2, 所以|PF 1|2+(6-|PF 1|)2=20, 所以|PF 1|=4,|PF 2|=2,所以|PF 1||PF 2|=2.综上知,|PF 1||PF 2|=72或2.答案 72或2应用3 由变量或参数引起的分类讨论【例3】 已知f (x )=x -a e x (a ∈R ,e 为自然对数的底数). (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若f (x )≤e 2x 对x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )=1-a e x ,当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )是(-∞,+∞)上的单调递增函数; 当a >0时,由f ′(x )=0得x =-ln a ,若x ∈(-∞,-ln a ),则f ′(x )>0;当x ∈(-ln a ,+∞),则f ′(x )<0.所以函数f (x )在(-∞,-ln a )上的单调递增,在(-ln a ,+∞)上的单调递减. (2)f (x )≤e 2xa ≥xe x -e x ,设g (x )=x e x -e x,则g ′(x )=1-e 2x-x e x .当x <0时,1-e 2x >0,g ′(x )>0, ∴g (x )在(-∞,0)上单调递增.当x >0时,1-e 2x <0,g ′(x )<0, ∴g (x )在(0,+∞)上单调递减. 所以g (x )max =g (0)=-1,所以a ≥-1. 故a 的取值范围是[-1,+∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果,需对参数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k 存在或不存在,涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一,层次分明,分类要做到“不重不漏”.【训练3】 已知函数f (x )=4x 3+3tx 2-6t 2x +t -1,x ∈R ,其中t ∈R .当t ≠0时,求f (x )的单调区间. 解 f ′(x )=12x 2+6tx -6t 2. 令f ′(x )=0,解得x =-t 或x =t2. 因为t ≠0,所以分两种情况讨论:①若t <0,则t<-t .当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,t 2,(-t ,+∞);f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2,-t .②若t >0,则-t <t.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,f (x )的单调递增区间是(-∞,-t ),⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2,+∞;f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-t ,t 2.热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F ,作一直线交抛物线于P ,Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ,q ,则1p +1q 等于( )A.2aB.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,则|a +b |+|a -b |的最小值是________,最大值是________.解析 (1)抛物线y =ax 2(a >0)的标准方程为x 2=1a y (a >0),焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴,则|PF |=|QF |=12a , ∴1p +1q =4a .(2)由题意,不妨设b =(2,0),a =(cos θ,sin θ), 则a +b =(2+cos θ,sin θ),a -b =(cos θ-2,sin θ). 令y =|a +b |+|a -b |=(2+cos θ)2+sin 2θ+(cos θ-2)2+sin 2θ =5+4cos θ+5-4cos θ, 令y =5+4cos θ+5-4cos θ, 则y 2=10+225-16cos 2θ∈[16,20]. 由此可得(|a +b |+|a -b |)max =20=25, (|a +b |+|a -b |)min =16=4,即|a +b |+|a -b |的最小值是4,最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题,如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.【训练4】 (1)如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,那么( ) A.a 1a 8>a 4a 5B.a 1a 8<a 4a 5C.a 1+a 8>a 4+a 5D.a 1a 8=a 4a 5(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等差数列,则cos A +cos C 1+cos A cos C=________. 解析 (1)取特殊数列{a n },其中a n =n (n ∈N *). 显然a 1·a 8=8<a 4·a 5=20.(2)令a =b =c ,则△ABC 为等边三角形,且cos A =cos C =12,代入所求式子,得cos A +cos C 1+cos A cos C=12+121+12×12=45. 答案 (1)B (2)45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )=3e |x |.若存在实数t ∈[-1,+∞),使得对任意的x ∈[1,m ],m ∈Z 且m >1,都有f (x +t )≤3e x ,试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[-1,+∞)且x ∈[1,m ]时,x +t ≥0, ∴f (x +t )≤3e xe x +t ≤e x t ≤1+ln x -x .∴原命题等价转化为:存在实数t ∈[-1,+∞),使得不等式t ≤1+ln x -x 对任意x ∈[1,m ]恒成立.令h (x )=1+ln x -x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )=1x -1≤0, ∴函数h (x )在[1,+∞)上为减函数, 又x ∈[1,m ],∴h (x )min =h (m )=1+ln m -m . ∴要使得对任意x ∈[1,m ],t 值恒存在, 只需1+ln m -m ≥-1.∵h (3)=ln 3-2=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e=-1,h (4)=ln 4-3=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e =-1,又函数h (x )在[1,+∞)上为减函数,∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.【训练5】 在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上.若P A →·PB →≤20,则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ,y ),且A (-12,0),B (0,6).则P A →·PB →=(-12-x ,-y )·(-x ,6-y )=x (12+x )+y (y -6)≤20, 又x 2+y 2=50,∴2x -y +5≤0,则点P 在直线2x -y +5=0上方的圆弧上(含交点), 即点P 在上,联立⎩⎨⎧y =2x +5,x 2+y 2=50,解得x =-5或x =1,结合图形知,-52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[-52,1]. 答案 [-52,1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)设y =(log 2x )2+(t -2)log 2x -t +1,若t 在[-2,2]上变化时,y 恒取正值,则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1,2],函数g (x )=x 3+⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2+2x 2-2x 在区间(t ,3)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y =f (t )=(log 2x -1)t +(log 2x )2-2log 2x +1, 则f (t )是一次函数,当t ∈[-2,2]时,f (t )>0恒成立,则⎩⎨⎧f (-2)>0,f (2)>0,即⎩⎨⎧(log 2x )2-4log 2x +3>0,(log 2x )2-1>0,解得log 2x <-1或log 2x >3,即0<x <12或x >8, 故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(8,+∞). (2)g ′(x )=3x 2+(m +4)x -2,若g (x )在区间(t ,3)上总为单调函数, 则①g ′(x )≥0在(t ,3)上恒成立,或②g ′(x )≤0在(t ,3)上恒成立. 由①得3x 2+(m +4)x -2≥0,即m +4≥2x -3x . 当x ∈(t ,3)时恒成立,∴m +4≥2t -3t 恒成立, 则m +4≥-1,即m ≥-5;由②得m +4≤2x -3x ,当x ∈(t ,3)时恒成立,则m +4≤23-9,即m ≤-373. ∴使函数g (x )在区间(t ,3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-373,-5.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(8,+∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-373,-5探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[0,4]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的参数,将其看作是“主元”,而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化,由于不为单调函数有多种情况,先求出其反面,体现“正难则反”的原则.【训练6】 已知函数f (x )=x 3+3ax -1,g (x )=f ′(x )-ax -5,其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )<0,则实数x 的取值范围为________.解析 由题意,知g (x )=3x 2-ax +3a -5, 令φ(a )=(3-x )a +3x 2-5,-1≤a ≤1. 对-1≤a ≤1,恒有g (x )<0,即φ(a )<0,∴⎩⎨⎧φ(1)<0,φ(-1)<0,即⎩⎨⎧3x 2-x -2<0,3x 2+x -8<0,解得-23<x <1. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,1时,对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )<0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,1。
2019年高考数学(理科)通用版二轮提分练习第三篇(二)分类与整合思想、转化与化归思想含解析
分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类,如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等,然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤:分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.1.若一条直线过点(5,2),且在x 轴,y 轴上截距相等,则这条直线的方程为( )A.x +y -7=0B.2x -5y =0C.x +y -7=0或2x -5y =0D.x +y +7=0或2y -5x =0答案 C解析 设该直线在x 轴,y 轴上的截距均为a ,当a =0时,直线过原点,此时直线方程为y =25x ,即2x -5y =0;当a ≠0时,设直线方程为x a +y a=1,求得a =7,则直线方程为x +y -7=0.2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =2a n -2,则S 5-S 4的值为( )A.8B.10C.16D.32答案 D解析 当n =1时,a 1=S 1=2a 1-2,解得a 1=2.因为S n =2a n -2,当n ≥2时,S n -1=2a n -1-2,两式相减得a n =2a n -2a n -1,即a n =2a n -1,则数列{a n }为首项为2,公比为2的等比数列,则S 5-S 4=a 5=25=32.3.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,B ={x |mx -1=0,m ∈R },若A ∩B =B ,则所有符合条件的实数m组成的集合是( )A.{0,-1,2}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,0,1C.{-1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12 答案 A解析 因为A ∩B =B ,所以B ⊆A .若B 为∅,则m =0;若B ≠∅,则-m -1=0或12m -1=0,解得m =-1或2.综上,m ∈{0,-1,2}.故选A. 4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0.若f (1)+f (a )=2,则实数a 的所有可能取值的集合是________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫-22,1 解析 f (1)=e 0=1,即f (1)=1.由f (1)+f (a )=2,得f (a )=1.当a ≥0时,f (a )=1=e a -1,所以a =1.当-1<a <0时,f (a )=sin(πa 2)=1,所以πa 2=2k π+π2(k ∈Z ), 所以a 2=2k +12(k ∈Z ),k 只能取0,此时a 2=12. 因为-1<a <0,所以a =-22. 则实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-22,1. 二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论,这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为( ) A.833 B.43 C.239 D.43或833答案 D解析 当矩形长、宽分别为6和4时,体积V =2×3×12×4=4 3;当长、宽分别为4和6时,体积V =43×233×12×6=833. 6.已知变量x ,y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k 等于( )A.-12B.12C.0D.0或-12答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界),由图可知,若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的平面区域是直角三角形,只有当直线y =kx +1与直线x=0或y =2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或-12. 7.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线C 的离心率为________.答案 12或32解析 不妨设|PF 1|=4t ,|F 1F 2|=3t ,|PF 2|=2t ,其中t >0.若该曲线为椭圆,则有|PF 1|+|PF 2|=6t =2a ,|F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 6t =12; 若该曲线为双曲线,则有|PF 1|-|PF 2|=2t =2a ,|F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 2t =32.综上,曲线C 的离心率为12或32. 8.抛物线y 2=4px (p >0)的焦点为F ,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若△OPF 为等腰三角形,则这样的点P 的个数为________.答案 4解析 当|PO |=|PF |时,点P 在线段OF 的中垂线上,此时,点P 的位置有两个;当|OP |=|OF |时,点P 的位置也有两个;对|FO |=|FP |的情形,点P 不存在.事实上,F (p ,0),若设P (x ,y ),则|FO |=p ,|FP |=(x -p )2+y 2, 若(x -p )2+y 2=p ,则有x 2-2px +y 2=0,又∵y 2=4px ,∴x 2+2px =0,解得x =0或x =-2p ,当x =0时,不构成三角形.当x =-2p (p >0)时,与点P 在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P 有4个.三、含参问题分类整合某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需对参数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准,讨论中做到不重不漏,结论整合要周全.9.已知实数a ,x ,a >0且a ≠1,则“a x >1”的充要条件为( )A.0<a <1,x <0B.a >1,x >0C.(a -1)x >0D.x ≠0答案 C解析 由a x >1知,a x >a 0,当0<a <1时,x <0;当a >1时,x >0.故“a x >1”的充要条件为“(a -1)x >0”.10.若函数f (x )=ax 2+4x -3在[0,2]上有最大值f (2),则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞) 答案 B解析 当a =0时,f (x )=4x -3在[0,2]上为增函数,最大值为f (2),满足题意.当a ≠0时,函数f (x )=ax 2+4x -3=a ⎝⎛⎭⎫x +2a 2-3-4a ,其对称轴为x =-2a. 当a >0时,f (x )=ax 2+4x -3在[0,2]上为增函数,最大值为f (2),满足题意.。
最新高考数学(理)二轮专题复习课件:第一部分 方法、思想解读 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想2
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等号成立).因为关于 x 的不等式 x+4������-1-a2+2a>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,
所以 a2-2a+1<4 恒成立,解得-1<a<3,所以实数 a 的取值范围为(-1,3).
思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,
解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、
思维升华将已知条件进行转换,有几种转换方法就有可能得出几 种解题方法.
应用一
应用二
应用三
核心知识 应用四
考点精题
-10-
突破训练2若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值
范围是(-∞,-8] .
解析:(法一)设t=3x,则原命题等价于关于t的一元二次方程
t2+(4+a)t+4=0有正解, ������ = (4 + ������)2-4 × 1 × 4 ≥ 0,
核心知识
考点精题
核心知识
考点精题
核心知识
考点精题
核心知识
考点精题
核心知识
考点精题
核心知识
考点精题
核心知识
考点精题
核心知识
考点精题
二、转化与化归思想
核心知识
考点精题
-2-
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决, 离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、 复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实 际问题向数学问题的转化等.
核心知识
考点精题
2019年高考数学二轮复习专题突破练3分类讨论思想、转化与化归思想理
亲爱的同学:这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获,我们一直投给你信任的目光……专题突破练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.函数y=5的最大值为()A.9B.12C.D.33.(2018福建厦门外国语学校一模,理8)已知sin=-,则sin=()A.B.-C.D.-4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.D.5.设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(4,+∞)6.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是()A.B.(-∞,3)C.D.[3,+∞)8.(2018甘肃会宁一中3月检测,理7)已知正项数列{a n}满足-2-a n+1a n=0,设b n=log2,则数列{b n}的前n项和为()A.nB.C.D.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(12-x),当x∈[0,6]时,f(x)=log6(x+1),若f(a)=1(a∈[0,2 020]),则a的最大值是()A.2 018B.2 010C.2 020D.2 01110.(2018山东济南二模,理11)已知点P,A,B,C均在表面积为81π的球面上,其中PA⊥平面ABC,∠BAC=30°,AC=AB,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为()A.B.C.D.81二、填空题11.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.13.函数y=的最小值为.14.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.15.(2018河北衡水中学考前仿真,文16)已知函数f(x)=2x-1+a,g(x)=bf(1-x),其中a,b∈R,若关于x的不等式f(x)≥g(x)解的最小值为2,则a的取值范围是.参考答案专题突破练3分类讨论思想、转化与化归思想1.B解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的取值范围是(0,+∞).2.D解析设a=(5,1),b=(),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5=3当且仅当5,即x=时等号成立.3.C解析+α=2,∴cos=2cos2-1=2sin2-1=2-1=,故选C.4.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=综上知,选项D正确.5.C解析∵x0是f(x)的极值点,∴f(x0)=±∵函数f(x)的周期T==|2m|,,()min=,存在极值点x0满足+[f(x0)]2<m2+3<m2⇔()min+3<m2+3<m2,∴m2>4,即m>2或m<-2,故选C.6.C解析当0<a<1时,可知y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,∵a3+1<a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,故a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.C解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t,故选C.8.C解析由-2-a n+1a n=0,可得(a n+1+a n)(a n+1-2a n)=0.又a n>0,=2.∴a n+1=a1·2n.∴b n=log2=log22n=n.∴数列{b n}的前n项和为,故选C.9.D解析由函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(12-x),可得f(x)=f(-x)=f(12+x),即f(x)=f(12+x),故函数的周期为12.令log6(a+1)=1,解得a=5,∴在[0,12]上f(5)=f(12-5)=f(7),∴f(a)=1的根为5,7.∵2 020=12×168+4,∴7+12n≤2 020时,n的最大值为167,∴a的最大值为a=167×12+7=2 011.故选D.10.A解析设外接球的半径R,易得4πR2=81π,解得R2=在△ABC中,设AB=t.又∠BAC=30°,AC=AB=t,∴BC==t,即△ABC为等腰三角形.设△ABC的外接圆半径为r,则2r==2t,即r=t.又PA⊥平面ABC,设PA=m,则R2=+r2=+t2=三棱锥P-ABC的体积V=mtt×sin 30°=令y=m(81-m2),y'=81-3m2=0,则m=3∴三棱锥P-ABC的体积的最大值为,故选A.11.- 解析当a>1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-12.(-∞,-5]解析因为当x≥0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.即实数a的取值范围是(-∞,-5].13解析原函数等价于y=,即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的值就是所求的最小值,即|A'B|=14.16解析 (法一)∵函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,∴f(-1)=f(-3)=f(1)=f(-5),即解得∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.由f'(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,得x1=-2-,x2=-2,x3=-2+易知,f(x)在(-∞,-2-)内为增函数,在(-2-,-2)内为减函数,在(-2,-2+)内为增函数,在(-2+,+∞)内为减函数.∴f(-2-)=[1-(-2-)2][(-2-)2+8(-2-)+15]=(-8-4)(8-4)=80-64=16.f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15)=-9.f(-2+)=[1-(-2+)2][(-2+)2+8(-2+)+15]=(-8+4)·(8+4)=80-64=16.故f(x)的最大值为16.(法二)据已知可设f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,据f(1)=f(-1)=0,解出m=10,n=-9,则f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-[(x+2)2-5]2+16,故最大值为16.15.(-∞,-2]解析f(x)≥g(x)⇔2x-1+a≥b(2-x+a).显然b<0时,2x-1+a≥b(2-x+a)⇔2x-1+a-b(2-x+a)≥0,当x→-∞时,2x-1+a-b(2-x+a)→+∞,故x<2时,不等式f(x)≥g(x)也成立,这与关于x的不等式f(x)≥g(x)解的最小值为2矛盾.当b≥0时,2x-1+a≥b(2-x+a)⇔2x-1+a-b(2-x+a)≥0,∵y=2x-1+a-b(2-x+a)是关于x的增函数,且不等式f(x)≥g(x)解的最小值为2,∴22-1+a=b(2-2+a),∴b=0,解得a≤-2或a>-。
2019版高考数学二轮复习 专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想 文
专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.函数y=5的最大值为()A.9B.12C.D.33.在等比数列{a n}中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是()A.1B.-C.1或-D.-1或4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.D.5.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.6.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是()A.B.(-∞,3)C.D.[3,+∞)8.(2018安徽黄山一模)已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,-1)二、填空题9.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.11.函数y=的最小值为.12.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC的取值范围是.三、解答题13.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).专题对点练3答案1.B解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞).2.D解析设a=(5,1),b=(),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5=3.当且仅当5,即x=时等号成立.3.C解析当公比q=1时,则a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当公比q≠1时,则a1q2=7,=21,解得q=- (q=1舍去).综上可知,q=1或q=-.4.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.5.C解析当焦点在x轴上时,,此时离心率e=;当焦点在y轴上时,,此时离心率e=.故选C.6.C解析当0<a<1时,可知y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,则a3+1<a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,则a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.C解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f' (x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥,故选C.8.B解析方程f(x)=k化为方程e|x|=k-|x|.令y1=e|x|,y2=k-|x|.y2=k-|x|表示斜率为1或-1的平行折线系.当折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,k=1.由图知,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根时,实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.9.- 解析当a>1时,函数f(x)= a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.10.(-∞,-5]解析因为当x≥0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+ 1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.即实数a的取值范围是(-∞,-5].11.解析原函数等价于y=,即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的值就是所求的最小值,即|A'B|=.12.(3,)解析如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x,y,z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求的取值范围,转化为y2+z2=41-2x2,∵x2+y2=16,∴0<x<4,∴41-2x2∈(9,41),即BC的取值范围是(3,).13.解 (1)由于a≥3,则当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1), g(a)},即m(a)=②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=。
2019版高考数学二轮复习 专题一 常考小题点 专题突破练3 分类讨论思想、转化与化归思想 文
专题突破练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.函数y=5的最大值为()A.9B.12C.D.33.(2018福建厦门外国语学校一模,理8)已知sin=-,则sin=()A.B.-C.D.-4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.D.5.设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(4,+∞)6.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是()A.B.(-∞,3)C.D.[3,+∞)8.(2018甘肃会宁一中3月检测,理7)已知正项数列{a n}满足-2-a n+1a n=0,设b n=log2,则数列{b n}的前n项和为()A.nB.C.D.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(12-x),当x∈[0,6]时,f(x)=log6(x+1),若f(a)=1(a∈[0,2 020]),则a的最大值是()A.2 018B.2 010C.2 020D.2 01110.(2018山东济南二模,理11)已知点P,A,B,C均在表面积为81π的球面上,其中PA⊥平面ABC,∠BAC=30°,AC=AB,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为()A. B.C. D.81二、填空题11.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.13.函数y=的最小值为.14.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.15.(2018河北衡水中学考前仿真,文16)已知函数f(x)=2x-1+a,g(x)=bf(1-x),其中a,b∈R,若关于x的不等式f(x)≥g(x)解的最小值为2,则a的取值范围是.参考答案专题突破练3分类讨论思想、转化与化归思想1.B解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的取值范围是(0,+∞).2.D解析设a=(5,1),b=(),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5=3.当且仅当5,即x=时等号成立.3.C解析∵+α=2,∴cos=2cos2-1=2sin2-1=2×-1=,故选C. 4.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.5.C解析∵x0是f(x)的极值点,∴f(x0)=±.∵函数f(x)的周期T==|2m|,,()min=,存在极值点x0满足+[f(x0)]2<m2⇔+3<m2⇔()min+3<m2⇔+3<m2,∴m2>4,即m>2或m<-2,故选C.6.C解析当0<a<1时,可知y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,∵a3+1<a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,故a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.C解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥,故选C.8.C解析由-2-a n+1a n=0,可得(a n+1+a n)(a n+1-2a n)=0.又a n>0,∴=2.∴a n+1=a1·2n.∴b n=log2=log22n=n.∴数列{b n}的前n项和为,故选C.9.D解析由函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(12-x),可得f(x)=f(-x)=f(12+x),即f(x)=f(12+x),故函数的周期为12.令log6(a+1)=1,解得a=5,∴在[0,12]上f(5)=f(12-5)=f(7),∴f(a)=1的根为5,7.∵2 020=12×168+4,∴7+12n≤2 020时,n的最大值为167,∴a的最大值为a=167×12+7=2 011.故选D.10.A解析设外接球的半径R,易得4πR2=81π,解得R2=.在△ABC中,设AB=t.又∠BAC=30°,AC=AB=t,∴BC==t,即△ABC为等腰三角形.设△ABC的外接圆半径为r,则2r==2t,即r=t.又PA⊥平面ABC,设PA=m,则R2=+r2=+t2=.三棱锥P-ABC的体积V=×m××t×t×sin30°=.令y=m(81-m2),y'=81-3m2=0,则m=3.∴三棱锥P-ABC的体积的最大值为,故选A.11.-解析当a>1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.12.(-∞,-5]解析因为当x≥0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.即实数a的取值范围是(-∞,-5].13.解析原函数等价于y=,即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的值就是所求的最小值,即|A'B|=.14.16解析 (法一)∵函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,∴f(-1)=f(-3)=f(1)=f(-5),即解得∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.由f'(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,得x1=-2-,x2=-2,x3=-2+.易知,f(x)在(-∞,-2-)内为增函数,在(-2-,-2)内为减函数,在(-2,-2+)内为增函数,在(-2+,+∞)内为减函数.∴f(-2-)=[1-(-2-)2][(-2-)2+8(-2-)+15]=(-8-4)(8-4)=80-64=16.f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15)=-9.f(-2+)=[1-(-2+)2][(-2+)2+8(-2+)+15]=(-8+4)·(8+4)=80-64=16.故f(x)的最大值为16.(法二)据已知可设f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,据f(1)=f(-1)=0,解出m=10,n=-9,则f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-[(x+2)2-5]2+16,故最大值为16.15.(-∞,-2]∪解析f(x)≥g(x)⇔2x-1+a≥b(2-x+a).显然b<0时,2x-1+a≥b(2-x+a)⇔2x-1+a-b(2-x+a)≥0,当x→-∞时,2x-1+a-b(2-x+a)→+∞,故x<2时,不等式f(x)≥g(x)也成立,这与关于x的不等式f(x)≥g(x)解的最小值为2矛盾.当b≥0时,2x-1+a≥b(2-x+a)⇔2x-1+a-b(2-x+a)≥0,∵y=2x-1+a-b(2-x+a)是关于x的增函数,且不等式f(x)≥g(x)解的最小值为2,∴22-1+a=b(2-2+a),∴b=≥0,解得a≤-2或a>-.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练习:第三篇 (二)分类与整合思想、转化与化归思想 Word版含解析
分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类,如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等,然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤:分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.1.若一条直线过点(5,2),且在x 轴,y 轴上截距相等,则这条直线的方程为( ) A.x +y -7=0 B.2x -5y =0C.x +y -7=0或2x -5y =0D.x +y +7=0或2y -5x =0 答案 C解析 设该直线在x 轴,y 轴上的截距均为a ,当a =0时,直线过原点,此时直线方程为y =25x ,即2x -5y =0;当a ≠0时,设直线方程为x a +ya =1,求得a =7,则直线方程为x +y -7=0.2.已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =2a n -2,则S 5-S 4的值为( ) A.8B.10 C.16D.32 答案 D解析 当n =1时,a 1=S 1=2a 1-2,解得a 1=2. 因为S n =2a n -2,当n ≥2时,S n -1=2a n -1-2,两式相减得a n =2a n -2a n -1,即a n =2a n -1, 则数列{a n }为首项为2,公比为2的等比数列, 则S 5-S 4=a 5=25=32.3.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,B ={x |mx -1=0,m ∈R },若A ∩B =B ,则所有符合条件的实数m组成的集合是( ) A.{0,-1,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,0,1 C.{-1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12解析 因为A ∩B =B ,所以B ⊆A .若B 为∅,则m =0;若B ≠∅,则-m -1=0或12m -1=0,解得m =-1或2.综上,m ∈{0,-1,2}.故选A.4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0.若f (1)+f (a )=2,则实数a 的所有可能取值的集合是________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫-22,1 解析 f (1)=e 0=1,即f (1)=1. 由f (1)+f (a )=2,得f (a )=1.当a ≥0时,f (a )=1=e a -1,所以a =1.当-1<a <0时,f (a )=sin(πa 2)=1, 所以πa 2=2k π+π2(k ∈Z ),所以a 2=2k +12(k ∈Z ),k 只能取0,此时a 2=12.因为-1<a <0,所以a =-22. 则实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-22,1. 二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论,这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系. 5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为( ) A.833 B.43 C.239 D.43或833答案 D解析 当矩形长、宽分别为6和4时,体积V =2×3×12×4=4 3;当长、宽分别为4和6时,体积V =43×233×12×6=833.6.已知变量x ,y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k 等于( ) A.-12B.12 C.0D.0或-12解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界),由图可知,若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的平面区域是直角三角形,只有当直线y =kx +1与直线x =0或y =2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或-12.7.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线C 的离心率为________. 答案 12或32解析 不妨设|PF 1|=4t ,|F 1F 2|=3t ,|PF 2|=2t ,其中t >0. 若该曲线为椭圆,则有|PF 1|+|PF 2|=6t =2a , |F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 6t =12;若该曲线为双曲线,则有|PF 1|-|PF 2|=2t =2a , |F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 2t =32.综上,曲线C 的离心率为12或32.8.抛物线y 2=4px (p >0)的焦点为F ,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若△OPF 为等腰三角形,则这样的点P 的个数为________. 答案 4解析 当|PO |=|PF |时,点P 在线段OF 的中垂线上,此时,点P 的位置有两个;当|OP |=|OF |时,点P 的位置也有两个;对|FO |=|FP |的情形,点P 不存在.事实上,F (p ,0),若设P (x ,y ),则|FO |=p ,|FP |=(x -p )2+y 2, 若(x -p )2+y 2=p ,则有x 2-2px +y 2=0,又∵y 2=4px ,∴x 2+2px =0,解得x =0或x =-2p ,当x =0时,不构成三角形.当x =-2p (p >0)时,与点P 在抛物线上矛盾. ∴符合要求的点P 有4个.三、含参问题分类整合某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需对参数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准,讨论中做到不重不漏,结论整合要周全.9.已知实数a ,x ,a >0且a ≠1,则“a x >1”的充要条件为( ) A.0<a <1,x <0B.a >1,x >0 C.(a -1)x >0D.x ≠0 答案 C解析 由a x >1知,a x >a 0,当0<a <1时,x <0;当a >1时,x >0. 故“a x >1”的充要条件为“(a -1)x >0”.10.若函数f (x )=ax 2+4x -3在[0,2]上有最大值f (2),则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.(-∞,0) D.(0,+∞)答案 B解析 当a =0时,f (x )=4x -3在[0,2]上为增函数,最大值为f (2),满足题意. 当a ≠0时,函数f (x )=ax 2+4x -3=a ⎝⎛⎭⎫x +2a 2-3-4a ,其对称轴为x =-2a . 当a >0时,f (x )=ax 2+4x -3在[0,2]上为增函数,最大值为f (2),满足题意.当a <0时,只有当-2a ≥2,即-1≤a <0时,f (x )=ax 2+4x -3在[0,2]上为增函数,最大值为f (2),满足题意.综上,当a ≥-1时,函数f (x )=ax 2+4x -3在[0,2]上有最大值f (2). 故选B.11.设函数f (x )=x 2-ax +a +3,g (x )=ax -2a ,若存在x 0∈R ,使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立,则实数a 的取值范围为( ) A.(7,+∞) B.(-∞,-2)∪(6,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(7,+∞) 答案 A解析 由f (x )=x 2-ax +a +3知,f (0)=a +3,f (1)=4.又存在x 0∈R ,使得f (x 0)<0,所以Δ=a 2-4(a +3)>0,解得a <-2或a >6.又g (x )=ax -2a 的图象恒过点(2,0),故当a >6时,作出函数f (x )和g (x )的图象如图1所示,当a <-2时,作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示.由函数的图象知,当a >6时,若g (x 0)<0,则x 0<2,∴要使f (x 0)<0,则需⎩⎪⎨⎪⎧a >6,f (2)<0,解得a >7.当a <-2时,若g (x 0)<0,则x 0>2,此时函数f (x )=x 2-ax +a +3的图象的对称轴x =a2<-1,故函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a2,+∞上为增函数, 又f (1)=4,∴f (x 0)<0不成立. 综上,实数a 的取值范围为(7,+∞).一、特殊与一般的转化一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单,也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路;特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果;对于某些选择题、填空题,可以把题中变化的量用特殊值代替,得到问题答案或者思路.1.据统计某超市两种蔬菜A ,B 连续n 天价格分别为a 1,a 2,a 3,…,a n 和b 1,b 2,b 3,…,b n ,令M ={m |a m <b m ,m =1,2,…,n },若M 中元素个数大于34n ,则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作:A <B ,现有三种蔬菜A ,B ,C ,下列说法正确的是( ) A.若A <B ,B <C ,则A <CB.若A <B ,B <C 同时不成立,则A <C 不成立C.A <B ,B <A 可同时不成立D.A <B ,B <A 可同时成立 答案 C解析 特例法:例如蔬菜A 连续10天价格分别为1,2,3,4,…,10,蔬菜B 连续10天价格分别为10,9,…,1时,A <B ,B <A 同时不成立,故选C.2.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F ,作一直线交抛物线于P ,Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ,q ,则1p +1q 等于( )A.2aB.12aC.4aD.4a答案 C解析 抛物线y =ax 2(a >0)的标准方程为x 2=1a y (a >0),焦点F ⎝⎛⎭⎫0,14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴,则|PF |=|QF |=12a ,∴1p +1q=4a .3.已知函数f (x )=(a -3)x -ax 3在[-1,1]上的最小值为-3,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.[12,+∞) C.[-1,12] D.⎣⎡⎦⎤-32,12 答案 D解析 当a =0时,函数f (x )=-3x ,x ∈[-1,1],显然满足条件,故排除A ,B ; 当a =-32时,函数f (x )=32x 3-92x ,f ′(x )=92x 2-92=92(x 2-1),当-1≤x ≤1时,f ′(x )≤0,所以f (x )在[-1,1]上为减函数, 所以f (x )min =f (1)=32-92=-3,满足条件,故排除C.综上,选D.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等差数列,则cos A +cos C1+cos A cos C=________. 答案 45解析 令a =b =c ,则△ABC 为等边三角形,且cos A =cos C =12,代入所求式子,得cos A +cos C 1+cos A cos C=12+121+12×12=45.二、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化,使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化,让题目得以解决.一般包括数与形的转化,正与反的转化,常量与变量的转化,图形形体及位置的转化. 5.由命题“存在x 0∈R ,使0|1|e x --m ≤0”是假命题,得m 的取值范围是(-∞,a ),则实数a的值是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.1 D.2答案 C解析 命题“存在x 0∈R ,使0|1|ex --m ≤0”是假命题,可知它的否定形式“任意x ∈R ,e |x -1|-m >0”是真命题,可得m 的取值范围是(-∞,1),而(-∞,a )与(-∞,1)为同一区间,故a =1.6.如图所示,已知三棱锥P -ABC ,P A =BC =234,PB =AC =10,PC =AB =241,则三棱锥P -ABC 的体积为( )A.40B.80C.160D.240答案 C解析 因为三棱锥P -ABC 的三组对棱两两相等,则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示),把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC ,可知三棱锥P -ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线. 不妨令PE =x ,EB =y ,EA =z , 则由已知,可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=100,x 2+z 2=136,y 2+z 2=164,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =8,z =10.从而知V P -ABC =V AEBG -FPDC -V P -AEB -V C -ABG -V B -PDC -V A -FPC =V AEBG -FPDC -4V P -AEB =6×8×10-4×16×6×8×10=160.7.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ,使不等式x 2+px >4x +p -3成立的x 的取值范围是________________.答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 设f (p )=(x -1)p +x 2-4x +3, 则当x =1时,f (p )=0,所以x ≠1.f (p )在[0,4]上恒为正等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0,f (4)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧(x -3)(x -1)>0,x 2-1>0,解得x >3或x <-1. 8.如果实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=1,那么y +3x -1的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎭⎫43,+∞解析 设k =y +3x -1,则y 表示点P (1,-3)和圆(x -2)2+y 2=1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知,当过P 的直线与圆相切时斜率取最值,此时对应的直线斜率分别为k PB 和k P A ,其中k PB 不存在.由圆心C (2,0)到直线y =kx -(k +3)的距离|2k -(k +3)|k 2+1=r =1,解得k =43,所以y +3x -1的取值范围是⎣⎡⎭⎫43,+∞.三、函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数的帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的协作.9.已知函数f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫x +ax -2,若对任意x ∈[2,+∞),恒有f (x )>0,则实数a 的取值范围是________. 答案 (2,+∞)解析 根据题意,得x +ax -2>1在[2,+∞)上恒成立,即a >-x 2+3x 在[2,+∞)上恒成立,又当x =2时,(-x 2+3x )max =2,所以a >2.10.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上,若P A →·PB →≤20,则点P 的横坐标的取值范围是________. 答案 [-52,1]解析 方法一 因为点P 在圆O :x 2+y 2=50上, 所以设P 点坐标为(x ,±50-x 2)(-52≤x ≤52). 因为A (-12,0),B (0,6),所以P A →=(-12-x ,-50-x 2)或P A →=(-12-x ,50-x 2), PB →=(-x ,6-50-x 2)或PB →=(-x ,6+50-x 2). 因为P A →·PB →≤20,先取P (x ,50-x 2)进行计算,所以(-12-x )·(-x )+(-50-x 2)(6-50-x 2)≤20,即2x +5≤50-x 2. 当2x +5<0,即x <-52时,上式恒成立.当2x +5≥0,即x ≥-52时,(2x +5)2≤50-x 2,解得-52≤x ≤1,故x ≤1.同理可得P (x ,-50-x 2)时,x ≤-5. 又-52≤x ≤52,所以-52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[-52,1]. 方法二 设P (x ,y ),则P A →=(-12-x ,-y ),PB →=(-x ,6-y ). ∵P A →·PB →≤20,∴(-12-x )·(-x )+(-y )·(6-y )≤20, 即2x -y +5≤0.如图,作圆O :x 2+y 2=50,直线2x -y +5=0与⊙O 交于E ,F 两点,∵P 在圆O 上且满足2x -y +5≤0,∴点P 在 EDF上. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=50,2x -y +5=0得F 点的横坐标为1, 又D 点的横坐标为-52,∴P 点的横坐标的取值范围为[-52,1].11.已知函数f (x )=x 3+3ax -1,g (x )=f ′(x )-ax -5,其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )<0,则实数x 的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫-23,1 解析 由题意知,g (x )=3x 2-ax +3a -5, 令φ(a )=(3-x )a +3x 2-5(-1≤a ≤1). 对-1≤a ≤1,恒有g (x )<0,即φ(a )<0,∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 2-x -2<0,3x 2+x -8<0,解得-23<x <1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫-23,1时,对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )<0. 12.已知函数f (x )=ln x .若不等式mf (x )≥a +x 对所有m ∈[0,1],x ∈⎣⎡⎦⎤1e ,e 2都成立,则实数a 的取值范围为________. 答案 (-∞,-e 2]解析 由题意得,a ≤m ln x -x 对所有的m ∈[0,1],x ∈⎣⎡⎦⎤1e ,e 2都成立, 令H (m )=ln x ·m -x ,m ∈[0,1],x ∈⎣⎡⎦⎤1e ,e 2是关于m 的一次函数, 因为x ∈⎣⎡⎦⎤1e ,e 2,所以-1≤ln x ≤2,所以⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ·0-x ≥a ,ln x ·1-x ≥a ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤-x ,a ≤ln x -x ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-e 2,a ≤(ln x -x )min .令g (x )=ln x -x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2,所以g ′(x )=1-xx, 所以函数g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ,1上是增函数,在[1,e 2]上是减函数, 所以g (x )min =g (e 2)=2-e 2,所以a ≤2-e 2. 综上知a ≤-e 2.1.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,那么( ) A.a 1a 8>a 4a 5 B.a 1a 8<a 4a 5 C.a 1+a 8>a 4+a 5 D.a 1a 8=a 4a 5答案 B解析 取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1×8<4×5成立,即a 1a 8<a 4a 5.2.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -1,x <1,2x ,x ≥1,则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23,1B.[0,1]C.⎣⎡⎭⎫23,+∞D.[1,+∞) 答案 C解析 由f (f (a ))=2f (a )得f (a )≥1. 当a <1时,有3a -1≥1, ∴a ≥23,∴23≤a <1;当a ≥1时,有2a ≥1,∴a ≥0,∴a ≥1. 综上,a ≥23,故选C.3.过双曲线x 2-y 22=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ,B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有( )A.1条B.2条C.3条D.4条答案 C解析 因为双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,所以当直线l 与双曲线左、右两支各有一个交点时,过双曲线的右焦点一定有两条直线满足要求; 当直线l 与实轴垂直时,由3-y 22=1,解得y =2或y =-2,所以此时线段AB 的长度是4,即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条. 综上可知,有3条直线满足|AB |=4.4.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n -1(p 是常数),则数列{a n }是( ) A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案 D解析 ∵S n =p n -1,∴a 1=p -1,a n =S n -S n -1=(p -1)p n -1(n ≥2),当p ≠1且p ≠0时,{a n }是等比数列; 当p =1时,{a n }是等差数列;当p =0时,a 1=-1,a n =0(n ≥2),此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.5.如图,在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,EF 是棱AB 上的一条线段,且EF =2,点Q 是A 1D 1的中点,点P 是棱C 1D 1上的动点,则四面体PQEF 的体积()A.是变量且有最大值B.是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值D.是常数 答案 D解析 点Q 到棱AB 的距离为常数,所以△EFQ 的面积为定值.由C 1D 1∥EF ,C 1D 1⊄平面EFQ ,EF ⊂平面EFQ ,可得棱C 1D 1∥平面EFQ ,所以点P 到平面EFQ 的距离是常数,于是可得四面体PQEF 的体积为常数.6.设点P (x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3≤0,x -y +1≥0,x ≥1,y ≥1,则y x -xy的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫32,+∞B.⎣⎡⎦⎤-32,32C.⎣⎡⎦⎤-32,1 D.[-1,1] 答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3≤0,x -y +1≥0,x ≥1,y ≥1所表示的可行域,如图阴影部分所示(包括边界),其中A (2,1),B (1,2),令t =y x ,f (t )=t -1t ,根据t 的几何意义可知,t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率,连接OA ,OB ,显然OA 的斜率12最小,OB 的斜率2最大,即12≤t ≤2.由于函数f (t )=t -1t 在⎣⎡⎦⎤12,2上单调递增,故-32≤f (t )≤32,即y x -xy的取值范围是⎣⎡⎦⎤-32,32.7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln x ,x >0,m x ,x <0,若f (x )-f (-x )=0有四个不同的实根,则m 的取值范围是( ) A.(0,2e) B.(0,e) C.(0,1) D.⎝⎛⎭⎫0,1e 答案 D解析 若m ≤0,那么f (x )=f (-x )只可能有2个实根,所以m >0,若f (x )=f (-x )有四个实根,根据对称性可知当x >0时,ln x =-mx 有两个实根,即-m =x ln x有两个实根,设y =x ln x ,则y ′=ln x +1,令ln x +1=0,解得x =1e ,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1e 时,y ′<0,函数单调递减,当x >1e 时,y ′>0,函数单调递增,所以当x =1e 时,y =x ln x 有最小值-1e ,即-1e <-m <0,即0<m <1e ,故选D.8.已知函数f (x )=x (e x -e -x )-cos x 的定义域为[-3,3],则不等式f (x 2+1)>f (-2)的解集为( )A.[-2,-1]B.[-2,2]C.[-2,-1)∪(1,2]D.(-2,-1)∪(1,2)答案 C解析 因为f (-x )=-x (e -x -e x )-cos(-x )=x (e x -e -x )-cos x =f (x ),所以函数f (x )为偶函数,令g (x )=x ⎝⎛⎭⎫e x -1e x ,易知g (x )在[0,3]上为增函数,令h (x )=-cos x ,易知h (x )在[0,3]上为增函数,故函数f (x )=x (e x -e -x )-cos x 在[0,3]上为增函数,所以f (x 2+1)>f (-2)可变形为f (x 2+1)>f (2),所以2<x 2+1≤3,解得-2≤x <-1或1<x ≤2,故不等式f (x 2+1)>f (-2)的解集为[-2,-1)∪(1,2].9.已知函数f (x )=a x +b (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =________. 答案 -32解析 当a >1时,函数f (x )=a x+b 在[-1,0]上为增函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =-1,a 0+b =0,无解.当0<a <1时,函数f (x )=a x+b 在[-1,0]上为减函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =0,a 0+b =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-2,所以a +b =-32.10.设F 1,F 2为椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知P ,F 1,F 2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1||PF 2|的值为________. 答案 72或2解析 若∠PF 2F 1=90°, 则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2, 又|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=25, 所以|PF 1|=143,|PF 2|=43,所以|PF 1||PF 2|=72. 若∠F 1PF 2=90°,则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2, 所以|PF 1|2+(6-|PF 1|)2=20,且|PF 1|>|PF 2|, 所以|PF 1|=4,|PF 2|=2,所以|PF 1||PF 2|=2.综上知,|PF 1||PF 2|=72或2.11.(2017·浙江)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,则|a +b |+|a -b |的最小值是________,最大值是________. 答案 4 2 5解析 设a ,b 的夹角为θ, ∵|a |=1,|b |=2,∴|a +b |+|a -b |=(a +b )2+(a -b )2=5+4cos θ+5-4cos θ. 令y =5+4cos θ+5-4cos θ, 则y 2=10+225-16cos 2θ. ∵θ∈[0,π],∴cos 2θ∈[0,1], ∴y 2∈[16,20],∴y ∈[4,25],即|a +b |+|a -b |∈[4,25]. ∴|a +b |+|a -b |的最小值是4,最大值是2 5.12.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1,F 2,若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2=120°,则椭圆C 离心率的取值范围是______________. 答案 ⎣⎡⎭⎫32,1解析 当点P 在短轴端点时,∠F 1PF 2达到最大值, 即∠F 1BF 2≥120°时,椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2=120°, 当∠F 1BF 2=120°时,e =c a =sin 60°=32,而椭圆越扁,∠F 1BF 2才可能越大, 椭圆越扁,则其离心率越接近1, 所以椭圆C 离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫32,1.。
新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练3分类讨论思想转化与化归思想2
专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f (x )={2x -3,x <0,√x +1,x ≥0,若f (a )>1,则实数a 的取值范围是( )A .(0,2)B .(0,+∞)C .(2,+∞)D .(-∞,0)∪(2,+∞) 2.函数y=5√x -1+√10-x 的最大值为( ) A .9 B .12 C .√26 D .3√263.在等比数列{a n }中,a 3=7,前3项的和S 3=21,则公比q 的值是( )A.1B.-12C.1或-12 D.-1或124.若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线x 2+x 2x=1的离心率是( )A .√32B .√5C .√32或√52D .√32或√55.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±34x ,则该双曲线的离心率为( ) A.54 B.53 C.54或53 D.35或456.若a>0,且a ≠1,p=log a (a 3+1),q=log a (a 2+1),则p ,q 的大小关系是( ) A.p=q B.p<q C.p>qD.当a>1时,p>q ;当0<a<1时,p<q7.若函数f (x )=x 3-tx 2+3x 在区间[1,4]上单调递减,则实数t 的取值范围是( ) A .(-∞,518] B .(-∞,3) C .[518,+∞)D .[3,+∞)8.(2018安徽黄山一模)已知函数f (x )=e |x|+|x|.若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,-1) 二、填空题9.已知函数f (x )=a x+b (a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .10.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2,若对任意x ∈[a ,a+2],f (x+a )≥f (3x+1)恒成立,则实数a 的取值范围是 .11.函数y=√x 2-2x +2+√x 2-6x +13的最小值为 .12.在三棱锥P-ABC 中,PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC 的取值范围是 . 三、解答题13.已知a ≥3,函数F (x )=min{2|x-1|,x 2-2ax+4a-2},其中min{p ,q }={x ,x ≤x ,x ,x >x .(1)求使得等式F (x )=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围; (2)①求F (x )的最小值m (a );②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a ).专题对点练3答案1.B 解析 若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若√x +1>1,解得a>0,故a 的范围是(0,+∞). 2.D 解析 设a =(5,1),b =(√x -1,√10-x ), ∵a ·b ≤|a |·|b |,∴y=5√x -1+√10-x ≤√52+12·√x -1+10-x =3√26. 当且仅当5√x -1=√10-x , 即x=25126时等号成立.3.C 解析 当公比q=1时,则a 1=a 2=a 3=7,S 3=3a 1=21,符合要求. 当公比q ≠1时,则a 1q 2=7,x 1(1-x 3)1-x=21,解得q=-12(q=1舍去).综上可知,q=1或q=-12.4.D 解析 因为m 是2和8的等比中项,所以m 2=2×8=16,所以m=±4. 当m=4时,圆锥曲线x 24+x 2=1是椭圆,其离心率e=xx =√32; 当m=-4时,圆锥曲线x 2-x 24=1是双曲线,其离心率e=x x =√51=√5.综上知,选项D 正确.5.C 解析 当焦点在x 轴上时,xx =34,此时离心率e=xx =54;当焦点在y 轴上时,xx =34,此时离心率e=xx =53.故选C .6.C 解析 当0<a<1时,可知y=a x 和y=log a x 在其定义域上均为减函数,则a 3+1<a 2+1, ∴log a (a 3+1)>log a (a 2+1),即p>q.当a>1时,y=a x 和y=log a x 在其定义域上均为增函数,则a 3+1>a 2+1, ∴log a (a 3+1)>log a (a 2+1),即p>q. 综上可得p>q.7.C 解析 f'(x )=3x 2-2tx+3,由于f (x )在区间[1,4]上单调递减,则有f'(x )≤0在[1,4]上恒成立,即3x 2-2tx+3≤0,即t ≥32(x +1x )在[1,4]上恒成立,因为y=32(x +1x )在[1,4]上单调递增,所以t ≥32(4+14)=518,故选C .8.B 解析 方程f (x )=k 化为方程e |x|=k-|x|.令y 1=e |x|,y 2=k-|x|. y 2=k-|x|表示斜率为1或-1的平行折线系.当折线与曲线y=e |x|恰好有一个公共点时,k=1.由图知,关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根时,实数k 的取值范围是(1,+∞). 故选B .9.-32 解析 当a>1时,函数f (x )=a x+b 在[-1,0]上为增函数,由题意得{x -1+x =-1,x 0+x =0,无解.当0<a<1时,函数f (x )=a x+b 在[-1,0]上为减函数,由题意得{x -1+x =0,x 0+x =-1,解得{x =12,x =-2,所以a+b=-32. 10.(-∞,-5] 解析 因为当x ≥0时,f (x )=x 2,所以此时函数f (x )在[0,+∞)上单调递增. 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (0)=0,所以f (x )在R 上单调递增. 若对任意x ∈[a ,a+2],不等式f (x+a )≥f (3x+1)恒成立,则x+a ≥3x+1恒成立,即a ≥2x+1恒成立, 因为x ∈[a ,a+2],所以(2x+1)max =2(a+2)+1=2a+5, 即a ≥2a+5,解得a ≤-5.即实数a 的取值范围是(-∞,-5].11.√13 解析 原函数等价于y=√(x -1)2+(0-1)2+√(x -3)2+(0-2)2,即求x 轴上一点到A (1,1),B (3,2)两点距离之和的最小值.将点A (1,1)关于x 轴对称,得A'(1,-1),连接A'B 交x 轴于点P ,则线段A'B 的值就是所求的最小值,即|A'B|=√(1-3)2+(-1-2)2=√13.12.(3,√41) 解析 如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x ,y ,z ,且x 2+y 2=16,x 2+z 2=25,求√x 2+x 2的取值范围,转化为y 2+z 2=41-2x 2,∵x 2+y 2=16,∴0<x<4,∴41-2x 2∈(9,41),即BC 的取值范围是(3,√41).13.解 (1)由于a ≥3,则当x ≤1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x 2+2(a-1)(2-x )>0,当x>1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a ).所以,使得等式F (x )=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围为[2,2a ].(2)①设函数f (x )=2|x-1|,g (x )=x 2-2ax+4a-2,则f (x )min =f (1)=0,g (x )min =g (a )=-a 2+4a-2,所以,由F (x )的定义知m (a )=min{f (1),g (a )},即m (a )={0,3≤x ≤2+√2,-x 2+4x -2,x >2+√2.②当0≤x ≤2时,F (x )≤f (x )≤max{f (0),f (2)}=2=F (2),当2≤x ≤6时,F (x )≤g (x )≤max{g (2),g (6)}=max{2,34-8a }=max{F (2),F (6)}.所以,M (a )={34-8x ,3≤x <4,2,x ≥4.。
第3讲分类讨论思想、转化与化归思想课件高考全国通用理科数学二轮复习
2
+ 2 -4
,+∞
2
时,g(x)<0,f'(x)>0,f(x)单调递增;
时,g(x)>0,f'(x)<0,f(x)单调递减.
③当 m>4 时,Δ>0,函数 g(x)与 x 轴有两个不同的交点 x1,x2(x1<x2),
x1+x2=m>0,x1x2=m>0,则 x1>0,x2>0,所以 x∈
一、分类讨论思想
思想方法诠释
1.分类讨论的思想含义
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象
按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类
结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零
为整”的数学策略.
2.分类讨论的原则
(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无
(ⅱ)当 a> 2时,有 x1+a>0,x2+a>0,即 x1>-a,x2>-a,从而,f'(x)=0 在(-a,+∞)上有
两个不同的根,且 f(x)在 x=x1,x=x2 处取得极值.
综上所述,f(x)存在极值时,a 的取值范围为( 2,+∞).
f(x)的极值之和为
f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+12 +ln(x2+a)+22 =ln[(x1+a)(x2+a)]+(1 + 2 )2 -2x1x2,而
- 2 -4
0,
2
g(x)>0,f'(x)<0,f(x)单调递减;x∈
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23分类讨论思想转化与化归思想教学案文含解析
分类讨论思想、转化与化归思想【高考题型示例】题型一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类,如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等,然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤:分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.例1.若一条直线过点(5,2),且在x 轴,y 轴上截距相等,则这条直线的方程为( )A.x +y -7=0B.2x -5y =0C.x +y -7=0或2x -5y =0D.x +y +7=0或2y -5x =0答案 C解析 设该直线在x 轴,y 轴上的截距均为a ,当a =0时,直线过原点,此时直线方程为y =25x ,即2x -5y =0;当a≠0时,设直线方程为x a +y a=1,求得a =7,则直线方程为x +y -7=0. 例2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =2a n -2,则S 5-S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16 D.32答案 D解析 当n =1时,a 1=S 1=2a 1-2,解得a 1=2.因为S n =2a n -2,当n≥2时,S n -1=2a n -1-2,两式相减得a n =2a n -2a n -1,即a n =2a n -1,则数列{a n }为首项为2,公比为2的等比数列,则S 5-S 4=a 5=25=32.例3.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,B ={x|mx -1=0,m∈R},若A∩B=B ,则所有符合条件的实数m 组成的集合是( )A.{0,-1,2}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,0,1 C.{-1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12 答案 A解析 因为A∩B=B ,所以B ⊆A.若B 为∅,则m =0;若B≠∅,则-m -1=0或12m -1=0,解得m =-1或2.综上,m∈{0,-1,2}.故选A. 例 4.设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ sin πx 2,-1<x<0,e x -1,x≥0.若f(1)+f(a)=2,则实数a 的所有可能取值的集合是________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-22,1题型二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论,这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.例5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为( )A.833B.4 3C.239D.43或833答案 D解析 当矩形长、宽分别为6和4时,体积V =2×3×12×4=4 3; 当长、宽分别为4和6时,体积V =43×233×12×6=833. 例6.已知变量x ,y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0,y≥2x,kx -y +1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k等于( )A.-12B.12C.0D.0或-12 答案 D 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0,y≥2x,kx -y +1≥0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界),由图可知,若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0,y≥2x,kx -y +1≥0表示的平面区域是直角三角形,只有当直线y =kx +1与直线x =0或y =2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或-12. 例7.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线C 的离心率为________.答案 12或32解析 不妨设|PF 1|=4t ,|F 1F 2|=3t ,|PF 2|=2t ,其中t>0.若该曲线为椭圆,则有|PF 1|+|PF 2|=6t =2a ,|F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 6t =12; 若该曲线为双曲线,则有|PF 1|-|PF 2|=2t =2a ,|F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 2t =32. 综上,曲线C 的离心率为12或32. 例8.抛物线y 2=4px(p>0)的焦点为F ,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若△O PF 为等腰三角形,则这样的点P 的个数为________.答案 4解析 当|PO|=|PF|时,点P 在线段OF 的中垂线上,此时,点P 的位置有两个;当|OP|=|OF|时,点P 的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点P 不存在.事实上,F(p ,0),若设P(x ,y),则|FO|=p ,|FP|=x -p2+y 2, 若x -p 2+y 2=p ,则有x 2-2px +y 2=0,又∵y2=4px,∴x2+2px=0,解得x=0或x=-2p,当x=0时,不构成三角形.当x=-2p(p>0)时,与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P有4个.题型三、含参问题分类整合某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需对参数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准,讨论中做到不重不漏,结论整合要周全.例9.已知实数a,x,a>0且a≠1,则“a x>1”的充要条件为( )A.0<a<1,x<0B.a>1,x>0C.(a-1)x>0D.x≠0答案 C解析由a x>1知,a x>a0,当0<a<1时,x<0;当a>1时,x>0.故“a x>1”的充要条件为“(a-1)x>0”.例10.若函数f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上有最大值f(2),则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞)答案 B例11.设函数f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若存在x0∈R,使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立,则实数a的取值范围为( )A.(7,+∞)B.(-∞,-2)∪(6,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-2)∪(7,+∞)答案 A解析由f(x)=x2-ax+a+3知,f(0)=a+3,f(1)=4.又存在x0∈R,使得f(x0)<0,所以Δ=a2-4(a+3)>0,解得a<-2或a>6.又g(x)=ax -2a 的图象恒过点(2,0),故当a>6时,作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示,当a<-2时,作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.由函数的图象知,当a>6时,若g(x 0)<0,则x 0<2,∴要使f(x 0)<0,则需⎩⎪⎨⎪⎧ a>6,f 2<0,解得a>7.当a<-2时,若g(x 0)<0,则x 0>2,此时函数f(x)=x 2-ax +a +3的图象的对称轴x =a 2<-1, 故函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,+∞上为增函数, 又f(1)=4,∴f(x 0)<0不成立.综上,实数a 的取值范围为(7,+∞).题型四、特殊与一般的转化一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单,也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路;特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果;对于某些选择题、填空题,可以把题中变化的量用特殊值代替,得到问题答案或者思路.例1.据统计某超市两种蔬菜A ,B 连续n 天价格分别为a 1,a 2,a 3,…,a n 和b 1,b 2,b 3,…,b n ,令M ={m|a m<b m ,m =1,2,…,n},若M 中元素个数大于34n ,则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作:A <B ,现有三种蔬菜A ,B ,C ,下列说法正确的是( )A.若A <B ,B <C ,则A <CB.若A <B ,B <C 同时不成立,则A <C 不成立C.A <B ,B <A 可同时不成立D.A <B ,B <A 可同时成立答案 C解析 特例法:例如蔬菜A 连续10天价格分别为1,2,3,4,…,10,蔬菜B 连续10天价格分别为10,9,…,1时,A <B ,B <A 同时不成立,故选C.例2.过抛物线y =ax 2(a>0)的焦点F ,作一直线交抛物线于P ,Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ,q ,则1p +1q 等于( ) A.2a B.12a C.4a D.4a 答案 C 解析 抛物线y =ax 2(a>0)的标准方程为x 2=1a y(a>0),焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴,则|PF|=|QF|=12a ,∴1p +1q=4a. 例3.已知函数f(x)=(a -3)x -ax 3在[-1,1]上的最小值为-3,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.[12,+∞)C.[-1,12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,12 答案 D解析 当a =0时,函数f(x)=-3x ,x∈[-1,1],显然满足条件,故排除A ,B ;当a =-32时,函数f(x)=32x 3-92x , f′(x)=92x 2-92=92(x 2-1), 当-1≤x≤1时,f′(x)≤0,所以f(x)在[-1,1]上为减函数,所以f(x)min =f(1)=32-92=-3,满足条件,故排除C. 综上,选D.例4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等差数列,则cos A +cos C 1+cos Acos C=________. 答案 45解析 令a =b =c ,则△ABC 为等边三角形,且cos A =cos C =12, 代入所求式子,得cos A +cos C 1+cos Acos C =12+121+12×12=45. 五、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化,使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化,让题目得以解决.一般包括数与形的转化,正与反的转化,常量与变量的转化,图形形体及位置的转化.例5.由命题“存在x 0∈R,使0|1|e x --m≤0”是假命题,得m 的取值范围是(-∞,a),则实数a 的值是( )A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.1D.2答案 C解析 命题“存在x 0∈R,使0|1|e x --m≤0”是假命题,可知它的否定形式“任意x∈R,e |x -1|-m>0”是真命题,可得m 的取值范围是(-∞,1),而(-∞,a)与(-∞,1)为同一区间,故a =1.例6.如图所示,已知三棱锥P -ABC ,PA =BC =234,PB =AC =10,PC =AB =241,则三棱锥P -ABC 的体积为( )A.40B.80C.160D.240答案 C解析 因为三棱锥P -ABC 的三组对棱两两相等,则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示),把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC ,可知三棱锥P -ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线.不妨令PE =x ,EB =y ,EA =z ,则由已知,可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 2=100,x 2+z 2=136,y 2+z 2=164,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =6,y =8,z =10.从而知V P -ABC =V AEBG -FPDC -V P -AEB -V C -ABG -V B -PDC -V A -FPC =V AEBG -FPDC -4V P -AEB =6×8×10-4×16×6×8×10=160. 例7.对于满足0≤p≤4的所有实数p ,使不等式x 2+px>4x +p -3成立的x 的取值范围是________________. 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)解析 设f(p)=(x -1)p +x 2-4x +3,则当x =1时,f(p)=0,所以x≠1.f(p)在[0,4]上恒为正等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0,f 4>0, 即⎩⎪⎨⎪⎧ x -3x -1>0,x 2-1>0,解得x>3或x<-1.例8.如果实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=1,那么y +3x -1的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43,+∞ 解析 设k =y +3x -1,则y 表示点P(1,-3)和圆(x -2)2+y 2=1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知,当过P 的直线与圆相切时斜率取最值,此时对应的直线斜率分别为k PB 和k PA ,其中k PB 不存在.由圆心C(2,0)到直线y =kx -(k +3)的距离|2k -k +3|k 2+1=r =1,解得k =43,所以y +3x -1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43,+∞.题型六、 函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数的帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的协作.例9.已知函数f(x)=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +a x -2,若对任意x∈[2,+∞),恒有f(x)>0,则实数a 的取值范围是________. 答案 (2,+∞)解析 根据题意,得x +a x-2>1在[2,+∞)上恒成立,即a>-x 2+3x 在[2,+∞)上恒成立, 又当x =2时,(-x 2+3x)max =2,所以a>2.。
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第3讲 分类讨论、转化与化归思想数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )=(1-4m )x 在[0,+∞)上是增函数,则a =________. (2)在等比数列{a n }中,已知a 3=32,S 3=92,则a 1=________.解析 (1)若a >1,有a 2=4,a -1=m . 解得a =2,m =12.此时g (x )=-x 为减函数,不合题意. 若0<a <1,有a -1=4,a 2=m , 故a =14,m =116,检验知符合题意.(2)当q =1时,a 1=a 2=a 3=32,S 3=3a 1=92,显然成立. 当q ≠1时,由a 3=32,S 3=92,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=32, ①a 1(1+q +q 2)=92. ②由②①,得1+q +q 2q 2=3,即2q 2-q -1=0,所以q =-12或q =1(舍去).当q =-12时,a 1=a 3q 2=6, 综上可知,a 1=32或a 1=6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ,因此,当底数a 的大小不确定时,应分0<a <1,a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时,若公比q 的大小不确定,应分q =1和q ≠1两种情况进行讨论,这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =2a n -2,则S 5-S 4的值为( ) A.8B.10C.16D.32(2)函数f (x )=⎩⎨⎧sin (πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0.若f (1)+f (a )=2,则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n =1时,a 1=S 1=2a 1-2,解得a 1=2. 因为S n =2a n -2,当n ≥2时,S n -1=2a n -1-2,两式相减得,a n =2a n -2a n -1,即a n =2a n -1, 则数列{a n }为首项为2,公比为2的等比数列, 则S 5-S 4=a 5=25=32. (2)f (1)=e 0=1,即f (1)=1. 由f (1)+f (a )=2,得f (a )=1.当a ≥0时,f (a )=1=e a -1,所以a =1.当-1<a <0时,f (a )=sin(πa 2)=1, 所以πa 2=2k π+π2(k ∈Z ).所以a 2=2k +12(k ∈Z ),k 只能取0,此时a 2=12, 因为-1<a <0,所以a =-22.则实数a 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-22,1.答案 (1)D (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-22,1应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)已知变量x ,y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k =( ) A.-12B.12C.0D.-12或0(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线C 的离心率等于________.解析(1)不等式组⎩⎨⎧x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知,若要使不等式组⎩⎨⎧x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0表平面区域是直角三角形,只有当直线kx -y +1=0与直线y 轴或y =2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或-12.(2)不妨设|PF 1|=4t ,|F 1F 2|=3t ,|PF 2|=2t ,其中t ≠0. 若该曲线为椭圆,则有|PF 1|+|PF 2|=6t =2a , |F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 6t =12;若该曲线为双曲线,则有|PF 1|-|PF 2|=2t =2a , |F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 2t =32. 答案 (1)D (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1,F 2为椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知P ,F 1,F 2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1=90°.则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2, 又因为|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=25, 解得|PF 1|=143,|PF 2|=43,所以|PF 1||PF 2|=72.若∠F 1PF 2=90°,则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2, 所以|PF 1|2+(6-|PF 1|)2=20, 所以|PF 1|=4,|PF 2|=2,所以|PF 1||PF 2|=2.综上知,|PF 1||PF 2|=72或2.答案 72或2应用3 由变量或参数引起的分类讨论【例3】 已知f (x )=x -a e x (a ∈R ,e 为自然对数的底数). (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若f (x )≤e 2x 对x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )=1-a e x ,当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )是(-∞,+∞)上的单调递增函数; 当a >0时,由f ′(x )=0得x =-ln a ,若x ∈(-∞,-ln a ),则f ′(x )>0;当x ∈(-ln a ,+∞),则f ′(x )<0.所以函数f (x )在(-∞,-ln a )上的单调递增,在(-ln a ,+∞)上的单调递减. (2)f (x )≤e 2xa ≥xe x -e x ,设g (x )=x e x -e x,则g ′(x )=1-e 2x-x e x .当x <0时,1-e 2x >0,g ′(x )>0, ∴g (x )在(-∞,0)上单调递增.当x >0时,1-e 2x <0,g ′(x )<0, ∴g (x )在(0,+∞)上单调递减. 所以g (x )max =g (0)=-1,所以a ≥-1. 故a 的取值范围是[-1,+∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果,需对参数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k 存在或不存在,涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一,层次分明,分类要做到“不重不漏”.【训练3】 已知函数f (x )=4x 3+3tx 2-6t 2x +t -1,x ∈R ,其中t ∈R .当t ≠0时,求f (x )的单调区间. 解 f ′(x )=12x 2+6tx -6t 2. 令f ′(x )=0,解得x =-t 或x =t2. 因为t ≠0,所以分两种情况讨论:①若t <0,则t<-t .当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,t 2,(-t ,+∞);f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2,-t .②若t >0,则-t <t.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,f (x )的单调递增区间是(-∞,-t ),⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2,+∞;f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-t ,t 2.热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F ,作一直线交抛物线于P ,Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ,q ,则1p +1q 等于( )A.2aB.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,则|a +b |+|a -b |的最小值是________,最大值是________.解析 (1)抛物线y =ax 2(a >0)的标准方程为x 2=1a y (a >0),焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴,则|PF |=|QF |=12a , ∴1p +1q =4a .(2)由题意,不妨设b =(2,0),a =(cos θ,sin θ), 则a +b =(2+cos θ,sin θ),a -b =(cos θ-2,sin θ). 令y =|a +b |+|a -b |=(2+cos θ)2+sin 2θ+(cos θ-2)2+sin 2θ =5+4cos θ+5-4cos θ, 令y =5+4cos θ+5-4cos θ, 则y 2=10+225-16cos 2θ∈[16,20]. 由此可得(|a +b |+|a -b |)max =20=25, (|a +b |+|a -b |)min =16=4,即|a +b |+|a -b |的最小值是4,最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题,如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.【训练4】 (1)如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,那么( ) A.a 1a 8>a 4a 5B.a 1a 8<a 4a 5C.a 1+a 8>a 4+a 5D.a 1a 8=a 4a 5(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等差数列,则cos A +cos C 1+cos A cos C=________. 解析 (1)取特殊数列{a n },其中a n =n (n ∈N *). 显然a 1·a 8=8<a 4·a 5=20.(2)令a =b =c ,则△ABC 为等边三角形,且cos A =cos C =12,代入所求式子,得cos A +cos C 1+cos A cos C=12+121+12×12=45. 答案 (1)B (2)45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )=3e |x |.若存在实数t ∈[-1,+∞),使得对任意的x ∈[1,m ],m ∈Z 且m >1,都有f (x +t )≤3e x ,试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[-1,+∞)且x ∈[1,m ]时,x +t ≥0, ∴f (x +t )≤3e xe x +t ≤e x t ≤1+ln x -x .∴原命题等价转化为:存在实数t ∈[-1,+∞),使得不等式t ≤1+ln x -x 对任意x ∈[1,m ]恒成立.令h (x )=1+ln x -x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )=1x -1≤0, ∴函数h (x )在[1,+∞)上为减函数, 又x ∈[1,m ],∴h (x )min =h (m )=1+ln m -m . ∴要使得对任意x ∈[1,m ],t 值恒存在, 只需1+ln m -m ≥-1.∵h (3)=ln 3-2=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e=-1,h (4)=ln 4-3=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e =-1,又函数h (x )在[1,+∞)上为减函数,∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.【训练5】 在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上.若P A →·PB →≤20,则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ,y ),且A (-12,0),B (0,6).则P A →·PB →=(-12-x ,-y )·(-x ,6-y )=x (12+x )+y (y -6)≤20, 又x 2+y 2=50,∴2x -y +5≤0,则点P 在直线2x -y +5=0上方的圆弧上(含交点), 即点P 在上,联立⎩⎨⎧y =2x +5,x 2+y 2=50,解得x =-5或x =1,结合图形知,-52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[-52,1]. 答案 [-52,1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)设y =(log 2x )2+(t -2)log 2x -t +1,若t 在[-2,2]上变化时,y 恒取正值,则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1,2],函数g (x )=x 3+⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2+2x 2-2x 在区间(t ,3)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y =f (t )=(log 2x -1)t +(log 2x )2-2log 2x +1, 则f (t )是一次函数,当t ∈[-2,2]时,f (t )>0恒成立,则⎩⎨⎧f (-2)>0,f (2)>0,即⎩⎨⎧(log 2x )2-4log 2x +3>0,(log 2x )2-1>0,解得log 2x <-1或log 2x >3,即0<x <12或x >8, 故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(8,+∞). (2)g ′(x )=3x 2+(m +4)x -2,若g (x )在区间(t ,3)上总为单调函数, 则①g ′(x )≥0在(t ,3)上恒成立,或②g ′(x )≤0在(t ,3)上恒成立. 由①得3x 2+(m +4)x -2≥0,即m +4≥2x -3x . 当x ∈(t ,3)时恒成立,∴m +4≥2t -3t 恒成立, 则m +4≥-1,即m ≥-5;由②得m +4≤2x -3x ,当x ∈(t ,3)时恒成立,则m +4≤23-9,即m ≤-373. ∴使函数g (x )在区间(t ,3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-373,-5.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(8,+∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-373,-5探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[0,4]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的参数,将其看作是“主元”,而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化,由于不为单调函数有多种情况,先求出其反面,体现“正难则反”的原则.【训练6】 已知函数f (x )=x 3+3ax -1,g (x )=f ′(x )-ax -5,其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )<0,则实数x 的取值范围为________.解析 由题意,知g (x )=3x 2-ax +3a -5, 令φ(a )=(3-x )a +3x 2-5,-1≤a ≤1. 对-1≤a ≤1,恒有g (x )<0,即φ(a )<0,∴⎩⎨⎧φ(1)<0,φ(-1)<0,即⎩⎨⎧3x 2-x -2<0,3x 2+x -8<0,解得-23<x <1. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,1时,对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )<0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,1。