数理统计茆诗松第二章自测题

《数理统计》第二章自测题

时间：120分钟，卷面分值：100分

一、填空题：（每题2分，共10分） 得分 1．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，X 1, X 2, …, X n 是取自X 的随机样本，其均值和方差

分别为X 和2S ，如果2

ˆ(23)aX a S λ

=+-是λ的无偏估计，则a = 。 2．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=--，，θθθθx x e x f x ,

0,),()(，n X X X ,,,21 为来自该总体的一

个简单随机样本，则参数θ的矩估计量为 。

3．已知1ˆθ,2ˆθ为未知参数θ的两个无偏估计，且1ˆθ与2ˆθ不相关，12ˆˆ()4()D D θθ=。如果 312ˆˆˆa b θθθ=+也是θ的无偏估计，且是1ˆθ,2

ˆθ的所有同类型线性组合中方差最小的，则 a = ，b = 。

4．设X 是在一次随机试验中事件A 发生的次数，进行了n 次试验得一组样本X 1, X 2, …, X n ， 其中事件A 发生了k 次，则事件A 发生的概率为p ，的最大似然估计为 ；p(1-p)的矩估计为 。 5.设总体

均为未知参数，

为来自总体X 的一个样本,当用作为

的估计时，最有效的

是 。

二、选择题：（每题3分，共24分） 得分 1. 设总体X 服从[a,b](a

的一个样本，则的最大似然估计量为( )

（

A

）

（

B

）

（C ）

（D ）

2．设总体X 的概率分布为

X 0 1 2 3

P

P 2θ 2(1)θθ- 2θ 12θ-

其中θ(0<θ<1/2)是未知参数，从总体X 中抽取容量为8的一组样本，其样本值为3，1，3，0，3，1，2，3，则参数θ的矩估计值为( )。

(A) 1/3；(B)1/4；(C)1/2；(D) 1/8。

3. 设1ˆθ和2ˆθ是总体参数θ的两个估计量，说1ˆθ比2ˆθ更有效，是指( )。

(A)2121,)ˆ()ˆ(θθθθθ<==且E E ； (B))ˆ()ˆ(21θθE E <； (C))ˆ()ˆ(2

1θθD D < ；

(D))ˆ()ˆ(,)ˆ()ˆ(2

121θθθθθD D E E <==且。 4. 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，D(X)=σ2

，

和∑=--=n

i i n X X S 1

2

2

1)(，分别为样

本均值和样本方差，则（ ）。

（A ）S 是的无偏估计 （B ）S 是的最大似然估计 (C) S 是的相合估计 （D ）S 与相互独立 5. 设同时满足 则下列结论正确的是

（A ） （B ）

（C ）

(D)A 和C 同时正确

6. 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，E(X)= μ，D(X)=σ2

，则可以作为σ2

的无偏估

计量 的是( )。

(A)当μ为已知时，∑=-n

i i n X 1

2

)(μ；

(B)当μ为已知时，∑=--n

i i n X 1

2

1)(μ；

(C)当μ为未知时，∑=-n i i n X 1

2)(μ； (D)当μ为未知时，∑=--n

i i n X 1

21

)(μ。

7．设θ

ˆ是参数θ的无偏估计量，且0)ˆ(>θD ，则2ˆθ|( )是2θ的无偏估计量。 (A)一定；

(B)不一定；

(C)一定不； (D)可能。

8. 设用普通的最小二乘方法去估计线性模型，E[X]=M , 要使得参数估计为最好线性无偏

估计需要满足（ ） (A) M 列满秩，Var(X)=V (V 对称的正定阵) （B ）Var(X)=

(I 单位矩阵)

（C ）M 列满秩，Var(X)=

(I 单位矩阵) （D ）（A ）和（C ）都对

三、判断题：（每题分，共15分） 得分 1.( )设总体X~N(,

2

)，,

2

均未知，X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，则

∑=-=n

i i n X X S 1

2

2

)(是2

的UMVUE 。

2.( )未知参数的矩估计量和最大似然估计量都是无偏估计量。

3.( )对C-R 正则族，一致最小方差无偏估计一定是有效估计。

4.( )用最大似然估计法求出的估计量是不唯一的。

5. ( )用矩估计法和最大似然估计法求出的估计量一定不同。

6. ( )未知参数的无偏估计为相合估计。

7.( )费希尔信息量总是存在的。

8.( ) 对C-R 正则族，无偏估计的方差下界可以任意小。

9. ( )参数的一致最小方差无偏估计必然为完备充分统计量的函数。

10.( )在贝叶斯统计中，对给定的总体，参数是随机的；参数估计由先验信息决定。

四、计算题（共51分）

1．(8分)设总体X 的概率密度函数为36(),0,

(,)0,x

x x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩

其它, 其中参数θ>0未

知，设X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的样本，求θ的矩估计量ˆθ

，计算ˆθ的方差ˆ()D θ，并讨论ˆθ

的无偏性。 得分 2．(12分)设总体X 的概率密度为 2()2,,

(; )0,,x e x f x x θθθθ--⎧>=⎨≤⎩

其中参数>0为未知，从

总体中抽取样本X 1, X 2, …, X n ，其样本观察值为 x 1, x 2, …, x n ， (1)求参数 的最大似然估计θ； (2)讨论θ是否具有无偏性；

(3)若θ不是 的无偏估计量，修正它，并由此指出 的一个无偏量估计θ。 (4) 讨论θ是否具有相合性； 得分 3．(6分)一个人重复的向同一目标射击，设他每次击中目标的概率为p ，射击直至命中目标为止。此人进行了n (n

1)轮这样的射击，各轮射击的次数分别为 x 1, x 2,…

, x n ，试求命中

率p 的矩估计值和最大似然估计值。 得分

4. (11)设X 1, X 2, …, X n 是来自

.0,

)

(),;(1>Γ=--x e x x p x

λαααλλα

试求参数的UMVUE ，并判断是否为有效估计。 5.(8)设总体为均匀分布U(),

的先验分布为均匀分布U （10,16），现有三个观测

值：,,12.（1）求的后验分布（2）求贝叶斯估计以及方差。

6.(6)对线性模型⎩⎨

⎧==I

X Var M EX 2

)(σβ

，其中M 为列满秩阵，I 为单位矩阵，使用普通最小二乘方法计算参数β的估计以及方差，并判断最小二乘估计是否是无偏的?