金丽衢十二校2012-2013学年第一次联合考试数学试卷(理科)及参考答案

金丽衢十二校2012-2013学年第一次联合考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．复数1ii -的共轭复数为 A ．1122i -+ B ．1122i + C ．1122i - D ．1122i --2．已知全集U R =，集合{}31<<=x x A ,{}2>=x x B ，则U A C B = A. {}21≤<x x B. {}32<<x x C. {}21<<x x D. {}2≤x x 3.设()2ln -+=x x x f ，则函数()x f 的零点所在的区间为 A ．()1,0B ．()2,1C ．()3,2D ． ()4,34．已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz =A ．4-B ．4±C ．22-D ．22±5．已知不重合的直线m 、和平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题: ①若α∥β，则l m ⊥；②若α⊥β，则l m //;③若l m ⊥，则α∥β； ④若l m //，则αβ⊥.其中正确命题的个数是A ．B ．2C ．3D ．46．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0,0>>ωA ）的图象如右图所示，为了得到x A x g ωsin )(=的图象，可以将)(x f 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度7. 点集()()(){}042,2222≤-+++y x x y x y x 所表示的平面图形的面积为A ．πB ．π2C ．π3D ．π58. 在ABC ∆中，()︒︒=72cos ,18cos ,()︒︒=27cos 2,63cos 2，则ABC ∆面积为A ．42B ．22 C ．23 D ．2 9．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，则 A ．()()()()201310,20130f ef f e f <> B ．()()()()201310,20130f ef f e f >> C ．()()()()201310,20130f ef f ef >< D ．()()()()201310,20130f ef f e f <<10．已知()1,0,∈b a ,则1≤+b a 是不等式()222by ax by ax +≥+ 对任意的R y x ∈, 恒成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.11. 若直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相 垂直，则实数m 的值为12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是13. 设y x Z +=2，其中实数y x ,满足50100,0x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，则Z 的最大值是14. 一空间几何体三视图为如图所示的直角三角形 与直角梯形，从该几何体的五个面中任意取四个面， 这四个面的面积之和为 （只选择一种情况）15．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足2=,则()+⋅的值为16. 已知点B 为双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的虚轴端点，1F 是双曲线的焦点，O 为坐标原点.若F 1在F 1上的投影恰好为b ，则此双曲线的离心率=e ______17．设()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，()xx f 2=.若对任意的[]2,+∈a a x ,不等式()()2f x a fx +≥恒成立,则实数a 的取值范围是三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，5b =，ABC∆的面积为． （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求sin 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 19．(本题满分14分)已知等差数列{}n a 满足62,10253=-=a a a .（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）数列{}n b 满足()()⎪⎩⎪⎨⎧=--为偶数为奇数n a n b n n n 11212 , n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .20．（本题满分14分）如图在梯形ABCD 中，DC AB //，E 、F 是线段AB 上的两点，且AB DE ⊥,AB CF ⊥，2,3===FB EF CF ,G 为FB 的中点,设t AE =，现将BCF ADE ∆∆,分别沿CF DE ,折起，使B A ,两点重合于点P ，得到多面体PEFCD .（Ⅰ）求证：//PD 平面EGC ； （Ⅱ）当⊥EG 面PFC 时,求 二面角G DC P --的余弦值.21．（本小题满分15分）已知椭圆22:12y M x +=的左右顶点分别为C D ,，,过点()0,2-P 且斜率不为0的直线与椭圆M 相交于B A ,两点，设()()2211,,,y x B y x A . （Ⅰ）求21211x x x x ++的值；（Ⅱ）若直线BD AC 与相交于点E ,证明:点E 的横坐标为定值.22．（本小题满分15分）已知函数()()xex x f -+=22（e 为自然对数的底数）（Ⅰ） 求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ） 设函数()()()x e x f t x xf x -+'+=2121ϕ，是否存在实数[]1,0,21∈x x ，使得()()212x x ϕϕ<？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.金丽衢十二校2012-2013学年第一次联合考试数学试卷(理科)参考答案二、填空题(4×7=28分) 11. 12.30 13.815.21-16.215+ 17.23-≤a三、解答题(共72分)18.1sin 2ABC S ab C ∆I == 解：（）5sin 83a a π∴⨯⨯==得 ——3分 2222cos ,c a b ab C c =+-=7== ——6分 sin ,sin sin sin a c a CA A C c II =∴===（）9分 2222225781cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯ —————11分1113sin()sin cos cos sin 6667214A A A πππ+=+=+⨯=————14分19.111210,42()6a d a d a d I +=+-+=解：()112,4,(1)42n a d a a n d n ==∴=+-=-———————6分{}1n n b n n b II ()数列的前2项中，奇数项和偶数项各有n 项当奇数时，为首项是公比是4的等比数列——————7分1(1)1441=1143n n n a q S q ---==--奇————————10分2(1)=422n n b n n S n n n-+⨯=-偶当为偶数时，为首项是1公差是4的等差数列——————13分224123n n T S S n n -=+=-+奇偶———14分 20．（Ⅰ）证明：连接DF 交EC 于点O ，连接OGG O , 为中点 OG PD //∴ 又EGC PD 面⊄ EGC OG 面⊂ ∴//PD 平面EGC ——5分（Ⅱ）①当⊥EG 面PFC 时, PF EG ⊥ 又G 为FB 的中点2==∴EP EF ，2=∴t ————8分 方法一：分别取EP CD EF ,,中点Q N M ,,,连接GQ DQ MN PN PM ,,,,,设PM 与GQ 的交点为K ,因为PF PE =,PC PD =∴DC PN ⊥∴ 又DC MN ⊥⊥∴DC 面PMN PNK ∠∴为二面角G DC P --的平面角.———11分易求得215,6,23===NK PN PK ,在PNK ∆中由余弦定理可求得10103cos =∠PNK 所以二面角G DC P --的平面角的余弦值为10103—14分 方法二：如图过E 作EH EF ⊥,分别以ED EF EH ,,为Z Y X ,,轴建立空间直角坐标系则()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,23,23,3,2,0,3,0,0,0,1,3G C D P ——————9分设面PDC 的一个法向量为()1,,y x m =,()(,1,3,0,2,0==0=⋅=⋅ 可求得()1,0,1=m ——————11分G DC P --的平面角的余弦值为10103——14分21.解：（Ⅰ）设AB 方程为：()2+=x k y （易知k 肯定存在）则联立方程()⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222y x x k y 可得：()024422222=-+++k x k x k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2242422212221k k x x k k x x ————4分 ∴21211x x x x ++4524252222-=+-+=k kk k ———6分 （Ⅱ）()()0,1,0,1C D -AC 的方程为：()1111--=x x y y BD 的方程为：()1122+-=x x y y 可联立解得E 点横坐标212112212112y y y x y x y y y x y x x E ++--++=———9分4332121221+-++=x x x x x x ————12分(方法一)将()1452121-+-=x x x x 代入上式可得2143423212121-=++---=x x x x x E所以E 的横坐标为定值21-.————15分 (方法二) 4332121221+-++=x x x x x x 44)(32211211221+-++++=x x x x x x x x44243224224212212222+-+-++-++-=x k k x k k k k 2142882244122122-=-+-++-=x k k x k k .————15分 22. 解：（Ⅰ） ()x exx f 2-=' ∴()x f '在()0,∞-上单调递增，在()+∞,0上单调递减. ————4分（Ⅱ）假设存在实数[]1,0,21∈x x ，使得()()212x x ϕϕ<，则()()max min ][][2x x ϕϕ< ————————6分()()()xe xf t x xf x -+'+=2121ϕ()xe x t x 112+-+= ∴()='x ϕ()()()xx ex t x e t x t x 112---=-++- ① 当1≥t 时，()0≤'x g ，)(x g 在]1,0[上单调递减∴()()012ϕϕ< 即132<-e t ，得123>->et ② 当0≤t 时，()0>'x g ，)(x g 在]1,0[上单调递增∴()()102ϕϕ<即et-<32，得023<-<e t ————10分③ 当10<<t 时，在[)t x ,0∈，()0<'x g ，)(x g 在[]t ,0上单调递减 在(]1,t x ∈，()0>'x g ， )(x g 在[]1,t 上单调递增∴()()(){}1,0max 2ϕϕϕ<t 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<+e t e t t 3,1max 12 （★）由（Ⅰ）知()t et t f 12+=在]1,0[上单调递减故2224≤+≤te t e 而e e t e 332≤-≤∴不等式（★）无解 综上所述，存在()⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⋃-∞-∈,2323,e e t ，使得命题成立．————15分。