[“五羊杯”第16届]2004年第16届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案)

求不定方程的整数解(含答案)-

求不定方程整数解有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、•姓赵、姓尹。

他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？例1．若b a ,都是正整数，且2001500143=+b a ，求b a +的值．(2001年北京市初中数学竞赛)例２设m 为正整数，且方程组⎩⎨⎧-==+17001113mx y y x ()()21 有整数解，求m 的值。

（“希望杯”数学竞赛试题）例３已知自然数y x ,满足789=+yx ，求y x +的值．（五羊杯数学竞赛试题）【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根1.已知实数x,y,z 适合x+y=6,z 2=xy -9,则z 等于( )A.±1B.0C.1D.-12.方程组44,23.ab bc ac bc +=⎧⎨+=⎩的正整数解(a,b,c)的组数是( ) A.4 B.3 C.2 D.13.方程xy=x+y 的整数解有_____组.4.设x,y 都是正整数,且使,则y=+的最大值为________.5.求满足1116x y -=的所有正整数x,y.1.( )A.不存在B.仅有1组C.有2组D.至少有4组2.设a 、b 、c 为有理数,且等式则2a+999b+1 001c 的值是( )A.1 999B.2 000C.2 001D.2 0033.满足方程11x 2+2xy+9y 2+8x -12y+6=0的实数对(x,y)的个数等于_____.4.实数x,y 满足x ≥y ≥1和2x 2-xy -5x+y+4=0,则x+y=_________.5.a 、b 、c 都是正整数,且满足ab+bc=3 984,ac+bc=1 993,则abc•的最大值是______.6.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,记分办法是胜一盘得1分,平一盘各得0.5分,输一盘得0分,已知其中两名选手共得8分,其他人的平均分为整数,求参加此次比赛共有多少人?、。

2016年全国初三数学联合竞赛试题参考答案

第一试(A)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．用 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，把 x [ x] 称为 x 的小数部分.已知 t
1 ，a 是 t 的小数部分， 2 3
（）
b 是 t 的小数部分，则
A.
1 1 2b a
B.
1 ． 2
3 ． 2
C. 1 ．
当 a b 2a 1为整数时，因为 1 2a 1 1 ，所以 2a 1 0 ，故a 4．题目和解答与（A）卷第 4 题相同. 5．题目和解答与（A）卷第 5 题相同. 6. 题目和解答与（A）卷第 6 题相同. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．已知△ ABC 的最大边 BC 上的高线 AD 和中线 AM 恰好把 BAC 三等分，AD 3 ，则 AM ＝
2．三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案共有（） A．9 种． B．10 种． C．11 种． D．12 种．【答】C. 设购买三种图书的数量分别为 a, b, c ，则 a b c 30 ，10a 15b 20c 500 ，易得 b 20 2a ，
之和为 A．6858．【答】B.
3
（ B．．9260．
2
D．9262．
注意到 (2k 1) (2k 1) 2(12k 1) ，由 2(12k 1) 2016 得 | k | 10 . 取 k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过 2016 的“和谐数” ，它们的和为
AB AM 5x . BM 5 x2

专题含绝对值的方程及不等式

初中数学竞赛辅导专题讲座含绝对值的方程与不等式1、解方程：7|12||2|=++-x x2、求方程3||12||=+-x x 的不同的解的个数。

3、若关于x 的方程a x =--|1|2||有三个整数解，则a 的值是多少？4、已知方程1||+=ax x 有一负根，且无正根，求a 的取值范围。

已知方程1||+=ax x 有负根，求数a 的取值范围。

（1a >-）已知方程1||+=ax x 仅有负根，求数a 的取值范围。

（1a≥） 5、设0|223||25322|=++--+y x y y x ，求y x +。

6、解方程组：⎩⎨⎧=+=-3||2||1||y x y x 7、解方程组：⎩⎨⎧+=+-+=-2||2||x y x y x y x 8、解不等式：1|32||5|<+--x x9、解不等式：2|53|1≤-≤x10、解不等式：3||3||3||>--+x x 。

11、当a 取哪些值时，方程a x x =-+|1|||2|有解？答案：1、38=x 或2-=x 。

2、2个。

3、1=a 。

4、1≥a 。

5、1。

6、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3235,3235,3431,3431y x y x y x y x 7、⎩⎨⎧==21y x 。

8、7-<x 或31>x 。

9、341≤≤x 或372≤≤x 。

10、23-<x 或23>x 11、3≥a 。

训练：1、解下列方程：（1）1|1||3|+=--+x x x （2）x x 3|1|1||=-+（3）2|1||23|+=+--x x x （4）|35||23|--=-x y2、解方程组：（1）⎩⎨⎧-=+=-++44|1|5|1||1|y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+2||||1||y x y x 3、解不等式：（1）3|4531|>--x （2）10|35|5≤-≤x （3）6|4||1|<-++x x （4）1||2||1||>+--x x 4、若0,0<>b a ，则方程b a b x a x -=-+-||||的解是什么？用多种方法解不等式：342x -> 解不等式：23134x x x --≥≥ 解不等式：21534x x x +≤+<+ 若23x -<，解方程1538x x x ++-+-=（中学数学教学参考2005年第三期全国初中数学联赛模拟试题）已知ａ、ｂ均为实数，且关于x 的不等式()221a x a b +-+<的解集为13x -<<，则a b +的值为（） (A) 3或7 (B)3或13 (C)7或8 (D)8或13（1986年全国部分省、市初中数学通讯赛是题）满足不等式12x x ++<的x 取值范围是（）（Ａ）312x -<<-（Ｂ）302x -<<（Ｃ）3122x -<<（Ｄ）102x <<（E ）1322x -<< (2002年全国初中数学联赛预赛暨2001年山东省初中数学竞赛试题)（ B ）8、若不等式a x x ≤-++31有解，则a 的取值范围是A 、0＜a ≤4B 、a ≥4C 、0＜a ≤2D 、a ≥2（1986年扬州市初一数学竞赛试题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0<p<15，对于满足p ≤x ≤15的x 来说，T 的最小值是多少？（江苏省第十七届初中数学竞赛试题（初三年级））7.设-1≤x ≤2，则2212++--x x x 的最大值与最小值之差为 .（1999年山东省初中数学竞赛）4、如果 |x| + | |x|-1 | = 1，那么（）A 、(x+1)(x-1)>0B 、(x+1)(x-1)<0C 、(x+1)(x-1)≥0D 、(x+1)(x-1)≤07（迎春杯初中一年级第八届试题(1992年12月)）. 满足不等式的所有整数解的和为_____9 _。

第12-15届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题(含答案)-

第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题(考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(4选l 型，选对得5分，否则得0分．本大题50分．)1．化简繁分数：=3-2-1--5-4-6--( ) (A)32 (B)-32 (C)-2 (D)2 2．化简分式：=+÷++÷++222222)n m n -m ()n m 2mn -(1)n -m n m ()n m 2mn (1-1 (A)2n)(m 4mn + (B) 2n)(m 2mn + (c)0 (D)2 3．设a ≠b ，m ≠n ，a ，b ，m ，n 是已知数，则方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++1nb y n a x 1m b y m a x 的解是( )． (A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=b a n)m)(b (b y b a n)m)(a (a x (B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=b -a n)n)(b (a y b -a m)m)(b (a x (C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=b -a n)m)(b (b y b -a n)m)(a (a x ((D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=b -a n)m)(b (b -y b -a n)m)(a (a x 4．已知x+y ≠0，x ≠z ，y ≠z ，且1+z)-y)(x (x yz ++z)-y)(y (x x z +=z)-z)(y -(x x y ，则必有( )．(A)x ＝0 (B)y ＝0 (C)z ＝0 (D)xyz ＝05.一共有( )个整数x 适合不等式|x-2 000|+|x|≤9 999．(A)lO 000 (B)2 000 (C)9 999 (D)8 0006．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+2xy z 2xz y 2yz x ，的解共有( )组．(A)l (B)2 (C)3 (D)≥47．设，2为自然数，A ＝14444n 2n +⋯+⋯位位，则( )．(A)A 为完全平方数 (B)A 为7的倍数(C)A 恰好有3个约数 (D)以上结论都不对8．设轮船在静水中的速度为v ，该船在流水(速度为u<v)中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ；假设u ＝0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回A ，所用时间为t.则( )．(A)T=t (B)T<t (C)T>t (D)不能确定T ，t 的大小关系9．如图，长方体ABCD —A'B'C'D ’长、宽、高分别为a ，b ，c ．用它表示一个蛋糕，横切两刀、纵切一切再立切两刀，可分成2×3×3＝18块大小不一的小长方体蛋糕，这18块小蛋糕的表面积之和为( )．(A)6(ab+bc+ca) (B)6(a+c)b+4ca(C)4(ab+bc+ca) (D)无法计算10．打字员小金连续打字14分钟，打了2 098个字符，测得她第一分钟打了112个字符，最后一分钟打了97个字符．如果测算她每一分钟所打字符的个数，则( )不成立，(A)必有连续2分钟打了至少315个字符(B)必有连续3分钟打了至少473个字符(C)必有连续4分钟打了至少630个字符(D)必有连续6分钟打了至少946个字符二、填空题(每小题填对得5分，不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分．)1．分解因式：(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3＝． 2．已知2222)(x C 2x B 1-x A 2)1)(x -(x 3x ++++=++，其中A ，B ，C 为常数，则A ＝，B ＝，C ＝，3．化简：xy -y)x -(x -x xy z zx x)y (z x xz -y yz -z)x -(y x yz x 222222++++++++= 4．若x-y ＝l ，x 3-y 3＝4，则x 13-y 13＝．5. 已知x 6+4x 5+2x 4-6x 3-3x 2+2x+l ＝[f(x)]2，其中f(x)是x 的多项式，则f(x)＝．6．设自然数N 是完全平方数，N 至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数．则N 的最大值是．7．设自然数x>y ，x+y ＝667，x ，y 的最小公倍数为P ，最大公约数为Q ，P ＝120Q ，则x-y 的最大值为 .8．方程4x 2-2xy-12x+5y+ll ＝0有组正整数解，9．一个油罐有进油龙头P 和出油龙头Q ．油罐空时，同时打开P 、Q ，4小时可注满油罐．油罐满时，先打开Q ，12小时后关上；接着打开P ，2小时后关上，此时油罐未满；再打开Q ，5小时后油罐恰好流空．那么P 的流量是，Q 的流量的倍．10．如图，试把0，3，5，6，7，8，9这7个数填入图中的7个小圈，每个圈填1个数，不同的圈填不同的数．然后在两端填了x 和y 的每条边上标上|x-y|的数值，使得图中的9条边所标的数值刚好是1，2，3，4，5，6，7，8，9．(答案填在本题图中)初二答案一、1．B．2．A． 3．D．4．D．以(x+y)(x-z)(y-2)乘原式两边，化简得xyz=O．5．C．若x≥2 000，则不等式变为(x一2000)+x≤9 9 9 9，即2000≤x≤5 9 9 9．5，共有4000个整数适合；若O≤x<2000，则不等式变为(2000一x)+x≤9 9 9 9，2 000≤9 9 9 9，恒成立，又有2000个整数适合；若x<O，则不等式变为(2000-x)+(-x)≤9 99 9，即-3 99 9．5≤x< O，共有3 99 9个整数适合．合计有9 9 9 9个整数适合题设不等式． 6．B．有两组解：x=y=z=1，x=y=z=2，7．A．易见A=44···488···89(n个4，n-1个8)，记为An．则A1=49=72，A2=4489．=672，A3=444889=6672，…，An=66…6 72(n-1个6),A是完全平方数．但A2不是7的倍数．A3能被1，2 3，2 9，6 6 7等整除，不止3个约数．8．C．设A，B相距S,T/t>1．T>t．9．B．面积和=2×3×ab+2×2×ac+2×3×bc=6ab+4ac+6bc．1 O．_D．小金中间的l 2分钟打了2 09 8一ll 2—9 7=1889个字符．把这1 2分钟分别平均分成6段、4段、3段，每段2分钟、3分钟、4分钟，由1 88 9÷6：3 1 4…5，1 88 9÷4=4 7 2…1，1 889÷3=6 29…2，应用抽屉原理知(A)，(B)，(C)均成立．但1 8 8 9÷2—944…1，因此如果小金每分钟所打字符个数依次是11 2，15 8，1 5 7，1 58，1 5 7，1 58，157,l 5 8，1 5 7，1 5 8，l 5 7，1 5 7，1 5 7，9 7，则她连续6分钟最多打了3×(1 5 8+1 5 7)=94 5个字符，结论(D)不成立．二、1．3(x一2)(y一2)(z—y)．．2．4/9；5/9； -7/3 通分，分子相等，是恒等式3．0．4．5 2 1．5．±(x3+2x2-x-1)．6．1 6 8 1．设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99，x2=1OOm2+y，y=x2—100m2=(x+1Om)(x-1Om)．令x+10m=a，x-1OOm=b，则b≥l，m≥1，x=1Om+b≥11，a=x+10m≥21，我们要求x的最大值．若m≥4，则x=10m+b≥4 1，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=1 6，N=1681．显然当m≤3时，z≤4 O，故N=1 6 81为所求最大值．10．答案如图．(此图旋转或翻折亦符合题意)把标上数值a的边称为“边a’’．则边9两端必为0，9；边8两端必为O，8；边7两端必为0，7．0必与9，8，7相邻．O不能再与其他数相邻．从而边6两端必为9，3；边5两端必为8，3．若O在圆周上，由3与8，9相邻，以及边4的两端必为9，5或7，3，便可填得上图．若O在中央，易见不能有符合要求的图形．第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题(考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，)1．化简繁分数：=8-7-6-7--3-2-8-9--5-4-6-7--2-1-8-9--( ) (A)-35 (B) 35 (C)-53 (D)以上答案都不对 2．设a ：b=3：5，求下式的值：333322222222b)-(a b)(a b)-(a -b)(a b a b -4a -b a 4b -a b -a b 6a -b -a 6b a +++÷++++＝( )． (A)-92616175 (B) 30671235 (C)9157 (D) 73 3．已知x-2x 1＝2，则以下结论中，；①54x 1x 22=+②118x 1-x 33=③5432x1x 55=+ 有( )个是正确的：(A)3 (B)2 (C)l (D)04.方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+2by-cx axy 1cy bx axy (b ≠2c ，c ≠-2b)的解是( )， (A) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=c)a(2b )c 2(b y c)a(2b )c 2(b x 2222 (B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b)-a(2c )c 2(b y b)-a(2c )c 2(b x 2222 (C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=)a(2b )c 2(b y b)-a(2c )c 2(b x 2222c (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=b)-a(2c )c 2(b y c)a(2b )c 2(b x 22225.下面的图形中，共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏，下笔后笔不能离开纸)．(A)0 (B)l (C)2 (D)36.三位数中，十位数字比百位和个位数字都要大的三位数有 ( )个．(A)315 (B)240 (C)200 (D)1987．5支足球队进行循环比赛(每两支球队都赛一场)，已知甲队已赛3场，乙队比甲队赛的场数多，丙队比甲队赛的场数少，丁队与戊队赛的场数一样多，但丁队与戊队没赛过．那么，总的比赛场数是( )．(A)8 (B)7 (C)6 (D)58．如图，梯形ABCD 被对角线分为四个小三角形．已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25m 2和35m 2，那么梯形的面积是( ) m 2．(A)144 (B)140 (C)160 (D)无法确定9．一个平面图形，如果沿着一条直线对折能做到自身重合，便称为轴对称图形，例如正方形是轴对称图形(因为沿它的一条对角线对折，可做到自身重合)．在下图中的4个图形中有( )个是轴对称图形．(A)4 (B)3 (C)2 (D)l10．下面算式中，每个汉字代表0，l ，2，……，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是( )． (A)2 (B)3 (C)4 (D)≥5二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，)1．分解因式：(2x-3y)3+(3x-2y)3－125(x-y)3＝．2.已知2x C Bx 1x A 2)1)(x (x 12x 3x 222++++=++++，其中A ，B ，C 为常数，则B ＝．客上天然居 × 好居然天上客3.化简：b)-a)(c -(c b)(a 2c a)-c)(b -(b a)(c 2b c)-b)(a -(a c)b)(a a(a 22++++++= . 4．若(x-1)(y+1)＝3，xy(x-y)＝4，则x 7-y 7＝．5．已知6x 2+7xy-3y 2-8x+10y+c 是两个x ，y 的一次多项式的乘积，而c 是常数，则c ＝6．设n 是三位完全平方数，且n 的逆排数(把的数字从右到左逆排所得的数)也是完全平方数，这样的数n 共有个．7．已知a 、b 和9的最大公约数为1，最小公倍数为72，则a+b 的最大值是8．方程y143x +＝3有组正整数解． 9．一个深水井，现有5 000立方米储水量，并且地下水以每秒0．5立方米的流量涌进井内，但水井储水量达到7000立方米时便停止涌水．水井安装有往外抽水的水泵4台，每台每秒出水量0．2立方米，如果开始每天白天(7～19时)开3台水泵，晚上(19—7时)开l 台水泵，3天后，改为白天开4台水泵，要使每台水泵的出水量不减少，最多能开小时?(答案四舍五入为整数)10．花城中学初22(A)班的女同学计划制作200张贺年卡．如果每人做8张，任务尚未完成；如果每人做9张，则超额完成任务．后来决定增派4位男同学参加制作，任务改为300张，结果每人做了11张，超额完成了任务，那么，初二(A)班女同学共有人．初二答案一、1．A ．2.C3．B ．4．C ．5．D ．6．B ．7．C ．乙队已赛过4场．若丙队只赛过1场，则丙队与甲队没赛过。

第18届“五羊杯”初三数学竞赛(含详解)

第18届“五羊杯”初中数学竞赛试题（初三试题考试时间90分钟，满分100分）一、选择题（4选I 型，每小题选对得5分，否则得0分，本大题满分50分）1、关于x += ）A 、B 、CD 2、已知2310a a -+=，那么2294921a a a--++=（）A 、3B 、5C 、D 、3、求和：1111S =++++=（）A 、15B 、1C 1D 、714-4、广州地铁实行分段计价（每相邻两站之间为1个区间，每3个区间为1个段），起价2元，每进入下一段加收1元．地铁一号线沿线站点依次为：广州东站（起点站），体育中心，体育西路，杨箕，东山口，烈士陵园，农讲所，公园前，西门口，陈家祠，长寿路，黄沙，芳村，花地湾，坑口，西朗（终点站）．小松、小梅、小柏、小枫四个好朋友分别住在体育中心、烈士陵园、长寿路、花地湾．他们相约搭乘地铁见面，应将见面地点选在哪一站可使四人所花费用最少。

答（）A 、杨箕B 、烈士陵园C 、长寿路D 、烈士陵园和长寿路之间任一站5、设A B C ∆中，边BC 上一点D 满足BC ：CD=4，边CA 上一点E 满足CA ：AE=5，边AB 上一点F 满足AB ：BF=6，那么D E F ∆的面积：A B C ∆的面积=（） A 、37：60 B 、61：120 C 、59：120 D 、23：606、关于x 的含有绝对值的方程212x x --=的不同实数解共有（）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、47、设[]x 表示不小于x 的最小整数，如[][][][]3.44,44,3.84, 3.83===-=-．则下列7个结论中，不成立的结论（）①[]x x ≤ ②[]1x x <+ ③[]x x =只有x 为整数才成立 ④[][]22x x +=+⑤[][]22x x -=- ⑥[][]22x x = ⑦[]22x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 、不超过3个B 、恰为4个C 、刚好为5个D 、至少有6个8、下列各式的结果中最小的是（）A 1B 、2-C D 、0.89、设n=180180180…18099（前面共有100个180，最后两位是99），那么，n 能够被3，7，9，11和13这5个数中的（）个整除 A 、2 B 、3 C 、4 D 、510、定义新运算∆：(1)(2)(1)a b a a a a b ∆=+++++++- ，其中b 为正整数．如果(3)(2)13x x ∆∆=，则x=（）A 、1或138B 、1或0C 、138D 、1二、填空题（每小题答对得5分，否则得0分，本大题满分50分） 11、计算，结果表示为循环小数：7(2 2.07)1445-÷=12、在实数范围内因式分解：432344x x x x +---=13、已知a =4325654a a a a -+-+=14、设1234128,10298,1002998,100029998,,a a a a =⨯=⨯=⨯=⨯ 又设123420S a a a a a =+++++ ，那么S 的各位数字和为15、设,,,a b c d 都是正整数，而且2341a b c d >>>>，则a 的最小值=16、令111111425364797100S +++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ，则1398S +=17、正方形ABCD 的对角线交于点O ，把A 、B 、C 、D 这4点中的每一点都涂上红色、黄色、蓝色或绿色，点O 则涂上红色或黄色，每一点都涂一种颜色，而且线段OA ，OB ，OC ，OD ，AB ，BC ，CD ，DA 中每一条的两个端点的颜色不能相同，那么，一共有种不同的涂色方法。

第12-16届“五羊杯”初中数学竞赛试题

第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题 (1)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题 (4)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (8)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题 (13)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题 (17)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (21)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初一试题 (27)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初二试题 (33)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初三试题 (39)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题 (43)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题 (47)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题 (51)2004年第16届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题 (57)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题(考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(4选l型，选对得5分，否则得0分，本大题满分50分，)1，已知68 9□□□20 312≈690亿(四舍五入)，那么其中的三位数□□□有( )种填写的方法．(A)1 000 (B)999 (C)500 (D)4992，8 642 097 53l，6 420 875 319，4 208 653 197，2 086 43l 975，864 219 753的平均数是( )．(A)4 444 455 555 (B)5 555 544 444(C)4 999 999 995 (D)5 999 999 9943．图中一共能数出( )个长方形(正方形也算作长方形)。

(A)64 (B)63 (C)60 (D)484．五羊牌电视机连续两次降价20％后，又再降价10％，或者连续两次降价25％，则前者的售价比后者的售价( )，(A)少2％ (B)不多也不少 (C)多5％ (D)多2．4％5．甲、乙两人在长400米的直路上来回慢跑，速度分别为3米/秒和2．5米/秒。

“五羊杯”初中数学竞赛模拟试题

“五羊杯”初中数学竞赛模拟试题（初一试题）（考试时间：90分钟满分：100分）一、选择题（4选1型，每小题选对得5分，否则得0分。

本大题满分50分）1.3003的不大于100的正约数有（）个A.10B.9C.8D.72.规定a b a b a ⊗=+⨯，那么(33)(1201)⊗⨯⊗=（）A.5353B.3535C.4242D.24243. 现对某商品降价20%促销,为了使销售金额不变,销售量要比按原价销售时增加百分之几?A.35%B.30%C.25%D.20%4. 图中一共可以能数出（）个平行四边形．A.60B.61C.62D.635. 甲、乙两人在周长为600米的圆形跑道上跑步，速度分别为3.2米/秒和2.8米/秒。

他们同时在同一点A 沿相反方向出发，20分钟内共相遇（）次．A.11B.12C.13D.146. 将5个不同的小球放到6个不同的盒子里面，则不同的放法的总数是（）A . 65B . 56C . 65432⨯⨯⨯⨯D . 6543254321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯7. 某学校在一次打靶训练中，A ，B ，C ，D 四个人的平均环数是80环，D ，E ，F 三人平均环数是85环，A ，B ，C ，E ，F 五人的平均环数是83环，则D 的环数为（）环．A ．80分 B.83分 C.85分 D.87分8. 在1,2,3，…,2011,2012中，有（）个自然数能同时被2和5整除，而且不能被7整除．A.28B.201C.173D.1709. 观察如下分数：155254353,524,533,542,551，，，⋯⋯．其中是真分数又是既约分数(最简分数)的有( )A ．15 B.14 C ．13 D ．1210. 中学生运动会羊城赛区男、女运动员比例为17：12．组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男、女运动员比例变为21：16；后来又决定再增加男子象棋项目，于是这个比例再变为25：17．已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多92人，那么一开始的运动员总人数为 ( )A ．2314 B.2435 C ．2436 D ．2559二、填空题（每小题答对得5分，否则得0分。

江苏省第十六届初中数学竞赛试题(初三)(有答案)-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

江苏省第十六届初中数学竞赛试题(初三)（有答案）-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载江苏省第十六届初中数学竞赛试题（初三年级）一、选择题（6×6=36分）1.已知，则的值为（A）3（B）4（C）5（D）62. 若两个方程和，则（）（A）（B）（C）（D）3.下列给出四个命题：命题1若，则；命题2若，则；命题3若关于的不等式的解集是，则；命题4若方程中，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大。

其中正确的命题个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）44.如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=，AC=6，AD=3，则CD的长是()（A）4（B）（C）（D）5.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数那么这样的三角形共有（）（A）6个（B）7个（C）8个（D）9个6.12块规格完全相同的巧克力，每块至多被分为两小块(可以不相等)。

如果这12 块巧克力可以平均分给名同学，则可以为（）（A）26（B）23（C）17（D）15二、填空题（5×8=40分）7.若，且，则.8.如图，D、E、F分别是∠ABC的边BC、CA、AB上的点且DE∠BA，DF∠CA。

(1)要使四边形AFDE是菱形，则要增加条件：____________________________(2)要使四边形AFDE是矩形，则要增加条件：____________________________9.方程的解是.10.要使为完全平方数，那么非负数可以是____________。

(要求写出的3个值)11.如图，直线与轴、轴分别交于P、Q两点，把∠POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R 的坐标是_____________。

12.如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25、144、48、121平方单位，PR=13(单位)，则该形的面积=___________平方单位。

自编五羊杯试题及解析

“五羊杯”初中数学竞赛初一试题一、选择题（4选1型，每小题选对得5分，否则得0分. 本大题满分50分.）1、规定)1(1......)2()1(1)1(1*+⨯+++⨯+++⨯=b b a a a a b a ，（其中，**b ,a N N b a ∈∈<且）那么=2011*1（）. A.20122011 B.20112010 C.201211+ D.201111+ 2、求5011370132451413791⨯+⨯+⨯= （）. A.6514 B.458 C.1311 D.11759 3、某校举办数、理、化三种学科竞赛. 其中，参加数学竞赛的学生有57人，参加化学竞赛的学生有78人，参加物理竞赛的学生有66人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有13人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的学生有8人，既参加化学竞赛又参加物理竞赛的学生有5人. 三种竞赛都参加的学生有3人. 则报名参加学科竞赛的学生一共有（）人.A.201B.175C.178D.1814、有一家商店卖苹果，14个小时内卖出了782个，其中第一个小时卖出了23个，第二个小时卖出了56个，如果测算这家商店每个小时卖出的苹果数目，则（）不成立.A.必有连续2个小时至少卖了118个苹果B.必有连续3个小时至少卖了176个苹果C.必有连续4个小时至少卖了235个苹果D.必有连续6个小时至少卖了353个苹果5、右图中可以数出（）个长方形. A. 450 B.350 C.225 D.1256、已知2008年2月1日是星期五，那么，2008年5月4日是（）.A.星期一B.星期五C.星期六D.星期日7、已知现在是中午12点整，那么，经过（）分钟后，时针与分针第一次反向（即两针夹角为0180）.A.11360 B.11270 C.13360 D.13270 8、已知下面图形经过折叠后可围成一个正方体，则所围成的正方体中，“竞”字的对面是（）字.A. 赛B. 学C. 数D. 理9、小陈在玩“扫雷”游戏，下图是“扫雷”游戏的一部分，规则如下：图中数字n 表示在以该数字为中心的8个方格中有n 个地雷(n=1,2,3)，笑脸表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A 、B 、C 、D 四个方格未被探明，其它地方为安全区，没有地雷（包括有数字的方格）。

2016年全国初中数学联赛试题和参考答案(ABC卷)

第一试(A)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）把 x [ x] 称为 x 的小数部分.已知 t 1．用 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，
1 ，a 是 t 的小数部分， 2 3
（）
b 是 t 的小数部分，则
A.
1 1 2b a
B.
1 ． 2
3 ． 2
C. 1 ．
D. 3 ．
【答】A. ∵t
1 2 3 ，而 3 2 3 4 ，∴ a t 3 3 1 . 2 3
又∵ t 2 3 ，而 4 2 3 3 ，∴ b t (4) 2 3 . ∴
1 1 1 1 2 3 3 1 1 . 2b a 2(2 3) 2 2 2 3 1
得m
3 3 ， n 2 3 .所以，点 C 的坐标为 ( , 2) . 2 2
2．在四边形 ABCD 中， BC // AD ， CA 平分 BCD ， O 为对角线的交点，． CD AO ， BC OD ，则 ABC ＝【答】 126 . 因为 BC // AD ， CA 平分 BCD ，所以 DAC ACB ACD ，所以 DA DC ，又 CD AO ，所以 AD AO ，所以 ADO AOD . 记 DAC ACB ACD ＝， ADO AOD .
A M D H B C
CD 1 ，对角线的交点为 M ，则 DM ＝
A.
（ D.
）
3 ． 2
B.
5 ． 3
C.
2 ． 2
1 ． 2
【答】D. 作 AH BD 于点 H ，易知△ AMH ∽△ CMD ，所以

第12-15届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题(含答案)-

第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题(考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(4选l 型，选对得5分，否则得0分．本大题50分．)1．化简繁分数：=3-2-1--5-4-6--( ) (A)32 (B)-32 (C)-2 (D)2 2．化简分式：=+÷++÷++222222)n m n -m ()n m 2mn -(1)n -m n m ()n m 2mn (1-1 (A)2n)(m 4mn + (B) 2n)(m 2mn + (c)0 (D)2 3．设a ≠b ，m ≠n ，a ，b ，m ，n 是已知数，则方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++1nb y n a x 1m b y m a x 的解是( )． (A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=b a n)m)(b (b y b a n)m)(a (a x (B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=b -a n)n)(b (a y b -a m)m)(b (a x (C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=b -a n)m)(b (b y b -a n)m)(a (a x ((D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=b -a n)m)(b (b -y b -a n)m)(a (a x 4．已知x+y ≠0，x ≠z ，y ≠z ，且1+z)-y)(x (x yz ++z)-y)(y (x x z +=z)-z)(y -(x x y ，则必有( )．(A)x ＝0 (B)y ＝0 (C)z ＝0 (D)xyz ＝05.一共有( )个整数x 适合不等式|x-2 000|+|x|≤9 999．(A)lO 000 (B)2 000 (C)9 999 (D)8 0006．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+2xy z 2xz y 2yz x ，的解共有( )组．(A)l (B)2 (C)3 (D)≥47．设，2为自然数，A ＝14444n 2n +⋯+⋯位位，则( )．(A)A 为完全平方数 (B)A 为7的倍数(C)A 恰好有3个约数 (D)以上结论都不对8．设轮船在静水中的速度为v ，该船在流水(速度为u<v)中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ；假设u ＝0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回A ，所用时间为t.则( )．(A)T=t (B)T<t (C)T>t (D)不能确定T ，t 的大小关系9．如图，长方体ABCD —A'B'C'D ’长、宽、高分别为a ，b ，c ．用它表示一个蛋糕，横切两刀、纵切一切再立切两刀，可分成2×3×3＝18块大小不一的小长方体蛋糕，这18块小蛋糕的表面积之和为( )．(A)6(ab+bc+ca) (B)6(a+c)b+4ca(C)4(ab+bc+ca) (D)无法计算10．打字员小金连续打字14分钟，打了2 098个字符，测得她第一分钟打了112个字符，最后一分钟打了97个字符．如果测算她每一分钟所打字符的个数，则( )不成立，(A)必有连续2分钟打了至少315个字符(B)必有连续3分钟打了至少473个字符(C)必有连续4分钟打了至少630个字符(D)必有连续6分钟打了至少946个字符二、填空题(每小题填对得5分，不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分．)1．分解因式：(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3＝． 2．已知2222)(x C 2x B 1-x A 2)1)(x -(x 3x ++++=++，其中A ，B ，C 为常数，则A ＝，B ＝，C ＝，3．化简：xy -y)x -(x -x xy z zx x)y (z x xz -y yz -z)x -(y x yz x 222222++++++++= 4．若x-y ＝l ，x 3-y 3＝4，则x 13-y 13＝．5. 已知x 6+4x 5+2x 4-6x 3-3x 2+2x+l ＝[f(x)]2，其中f(x)是x 的多项式，则f(x)＝．6．设自然数N 是完全平方数，N 至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数．则N 的最大值是．7．设自然数x>y ，x+y ＝667，x ，y 的最小公倍数为P ，最大公约数为Q ，P ＝120Q ，则x-y 的最大值为 .8．方程4x 2-2xy-12x+5y+ll ＝0有组正整数解，9．一个油罐有进油龙头P 和出油龙头Q ．油罐空时，同时打开P 、Q ，4小时可注满油罐．油罐满时，先打开Q ，12小时后关上；接着打开P ，2小时后关上，此时油罐未满；再打开Q ，5小时后油罐恰好流空．那么P 的流量是，Q 的流量的倍．10．如图，试把0，3，5，6，7，8，9这7个数填入图中的7个小圈，每个圈填1个数，不同的圈填不同的数．然后在两端填了x 和y 的每条边上标上|x-y|的数值，使得图中的9条边所标的数值刚好是1，2，3，4，5，6，7，8，9．(答案填在本题图中)初二答案一、1．B．2．A． 3．D．4．D．以(x+y)(x-z)(y-2)乘原式两边，化简得xyz=O．5．C．若x≥2 000，则不等式变为(x一2000)+x≤9 9 9 9，即2000≤x≤5 9 9 9．5，共有4000个整数适合；若O≤x<2000，则不等式变为(2000一x)+x≤9 9 9 9，2 000≤9 9 9 9，恒成立，又有2000个整数适合；若x<O，则不等式变为(2000-x)+(-x)≤9 99 9，即-3 99 9．5≤x< O，共有3 99 9个整数适合．合计有9 9 9 9个整数适合题设不等式． 6．B．有两组解：x=y=z=1，x=y=z=2，7．A．易见A=44···488···89(n个4，n-1个8)，记为An．则A1=49=72，A2=4489．=672，A3=444889=6672，…，An=66…6 72(n-1个6),A是完全平方数．但A2不是7的倍数．A3能被1，2 3，2 9，6 6 7等整除，不止3个约数．8．C．设A，B相距S,T/t>1．T>t．9．B．面积和=2×3×ab+2×2×ac+2×3×bc=6ab+4ac+6bc．1 O．_D．小金中间的l 2分钟打了2 09 8一ll 2—9 7=1889个字符．把这1 2分钟分别平均分成6段、4段、3段，每段2分钟、3分钟、4分钟，由1 88 9÷6：3 1 4…5，1 88 9÷4=4 7 2…1，1 889÷3=6 29…2，应用抽屉原理知(A)，(B)，(C)均成立．但1 8 8 9÷2—944…1，因此如果小金每分钟所打字符个数依次是11 2，15 8，1 5 7，1 58，1 5 7，1 58，157,l 5 8，1 5 7，1 5 8，l 5 7，1 5 7，1 5 7，9 7，则她连续6分钟最多打了3×(1 5 8+1 5 7)=94 5个字符，结论(D)不成立．二、1．3(x一2)(y一2)(z—y)．．2．4/9；5/9； -7/3 通分，分子相等，是恒等式3．0．4．5 2 1．5．±(x3+2x2-x-1)．6．1 6 8 1．设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99，x2=1OOm2+y，y=x2—100m2=(x+1Om)(x-1Om)．令x+10m=a，x-1OOm=b，则b≥l，m≥1，x=1Om+b≥11，a=x+10m≥21，我们要求x的最大值．若m≥4，则x=10m+b≥4 1，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=1 6，N=1681．显然当m≤3时，z≤4 O，故N=1 6 81为所求最大值．10．答案如图．(此图旋转或翻折亦符合题意)把标上数值a的边称为“边a’’．则边9两端必为0，9；边8两端必为O，8；边7两端必为0，7．0必与9，8，7相邻．O不能再与其他数相邻．从而边6两端必为9，3；边5两端必为8，3．若O在圆周上，由3与8，9相邻，以及边4的两端必为9，5或7，3，便可填得上图．若O在中央，易见不能有符合要求的图形．第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题(考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，)1．化简繁分数：=8-7-6-7--3-2-8-9--5-4-6-7--2-1-8-9--( ) (A)-35 (B) 35 (C)-53 (D)以上答案都不对 2．设a ：b=3：5，求下式的值：333322222222b)-(a b)(a b)-(a -b)(a b a b -4a -b a 4b -a b -a b 6a -b -a 6b a +++÷++++＝( )． (A)-92616175 (B) 30671235 (C)9157 (D) 73 3．已知x-2x 1＝2，则以下结论中，；①54x 1x 22=+②118x 1-x 33=③5432x1x 55=+ 有( )个是正确的：(A)3 (B)2 (C)l (D)04.方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+2by-cx axy 1cy bx axy (b ≠2c ，c ≠-2b)的解是( )， (A) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=c)a(2b )c 2(b y c)a(2b )c 2(b x 2222 (B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b)-a(2c )c 2(b y b)-a(2c )c 2(b x 2222 (C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=)a(2b )c 2(b y b)-a(2c )c 2(b x 2222c (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=b)-a(2c )c 2(b y c)a(2b )c 2(b x 22225.下面的图形中，共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏，下笔后笔不能离开纸)．(A)0 (B)l (C)2 (D)36.三位数中，十位数字比百位和个位数字都要大的三位数有 ( )个．(A)315 (B)240 (C)200 (D)1987．5支足球队进行循环比赛(每两支球队都赛一场)，已知甲队已赛3场，乙队比甲队赛的场数多，丙队比甲队赛的场数少，丁队与戊队赛的场数一样多，但丁队与戊队没赛过．那么，总的比赛场数是( )．(A)8 (B)7 (C)6 (D)58．如图，梯形ABCD 被对角线分为四个小三角形．已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25m 2和35m 2，那么梯形的面积是( ) m 2．(A)144 (B)140 (C)160 (D)无法确定9．一个平面图形，如果沿着一条直线对折能做到自身重合，便称为轴对称图形，例如正方形是轴对称图形(因为沿它的一条对角线对折，可做到自身重合)．在下图中的4个图形中有( )个是轴对称图形．(A)4 (B)3 (C)2 (D)l10．下面算式中，每个汉字代表0，l ，2，……，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是( )． (A)2 (B)3 (C)4 (D)≥5二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，)1．分解因式：(2x-3y)3+(3x-2y)3－125(x-y)3＝．2.已知2x C Bx 1x A 2)1)(x (x 12x 3x 222++++=++++，其中A ，B ，C 为常数，则B ＝．客上天然居 × 好居然天上客3.化简：b)-a)(c -(c b)(a 2c a)-c)(b -(b a)(c 2b c)-b)(a -(a c)b)(a a(a 22++++++= . 4．若(x-1)(y+1)＝3，xy(x-y)＝4，则x 7-y 7＝．5．已知6x 2+7xy-3y 2-8x+10y+c 是两个x ，y 的一次多项式的乘积，而c 是常数，则c ＝6．设n 是三位完全平方数，且n 的逆排数(把的数字从右到左逆排所得的数)也是完全平方数，这样的数n 共有个．7．已知a 、b 和9的最大公约数为1，最小公倍数为72，则a+b 的最大值是8．方程y143x +＝3有组正整数解． 9．一个深水井，现有5 000立方米储水量，并且地下水以每秒0．5立方米的流量涌进井内，但水井储水量达到7000立方米时便停止涌水．水井安装有往外抽水的水泵4台，每台每秒出水量0．2立方米，如果开始每天白天(7～19时)开3台水泵，晚上(19—7时)开l 台水泵，3天后，改为白天开4台水泵，要使每台水泵的出水量不减少，最多能开小时?(答案四舍五入为整数)10．花城中学初22(A)班的女同学计划制作200张贺年卡．如果每人做8张，任务尚未完成；如果每人做9张，则超额完成任务．后来决定增派4位男同学参加制作，任务改为300张，结果每人做了11张，超额完成了任务，那么，初二(A)班女同学共有人．初二答案一、1．A ．2.C3．B ．4．C ．5．D ．6．B ．7．C ．乙队已赛过4场．若丙队只赛过1场，则丙队与甲队没赛过。

五羊杯初中数学竞赛初三试题的研究.docx

毕业论文开题报告数学与应用数学“五羊杯”初中数学竞赛初三试题的研究一、选题的背景与意义数学竞赛是发现人才的有效手段之一。

一些重大数学竞赛的优胜者，大多在他们后来的事业中卓有建树。

因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。

十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。

了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。

五羊杯自1989年开办以来，取得了很大的成果，挖掘了许多数学人才。

五羊杯的试题由熟悉中学数学竞赛的教授、专家拟定，题型新颖、趣味性强、有较好的思维训练价值，有利于开拓学生的数学视野，提高学生的数学素质。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容是五羊杯初中数学竞赛初三试题。

研究从1989年举办以来到2010年该竞赛的发展趋势，以及这些试题的解题思路和出题背景。

按照初中的知识点来汇编试题，将试题按题型来分类处理。

并且探索题目的新解法和发展前景。

得出五羊杯初三竞赛应试技巧和策略三、研究的方法与技术路线1＞查阅相关资料，搜集1989年到2010的五羊杯数学竞赛初三试题。

2、查找文献，对参考文献中的重要结论加以整理和论证，以文献中解题技巧和思路应用到解试题的过程中。

3、通过知识点进行分类和汇编竞赛试题4、通过自己的思考，老师的指导和同学的讨论，得出新的解题方法和思路5、通过浏览奥数网、博士家园、东方论坛数学板块等发布题冃收集更好的解题方法四、研究的总体安排与进度2010. 12. 1—210. 12. 15：完成文献综述，文献翻译,开题报告。

2010. 12.20:准备开题，开题论证2011.4.4：完成毕业论文初稿，交由指导老师初审。

2011.4.5-2011.4. 15：修改毕业论文初稿，定稿。

2011.4. 16—2011.4. 29：准备论文答辩PPT。

“五羊杯”全国初中数学竞赛金牌辅导（初中一年级）

目　录2007年第19届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解2006年第18届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解2005年第17届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解2004年第16届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解2003年第15届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解2002年第14届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解2001年第13届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解2000年第12届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解2007年第19届“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解一、选择题（每小题5分，共50分）．共有（）个不同的质约数。

A．B．C．D．【来源】年第届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级B 【答案】将分解质因数可得，因此的不同的质约数是、、，共个。

【解析】．计算：（）。

A．B．C．D．【来源】年第届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级C 【答案】【解析】解法一：原式解法二：原式。

解法三：估值：原式。

故正确的答案选C。

．计算：（）。

A．B．C．D．【来源】年第届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级【答案】A【解析】解法一：原式；解法二：原式；解法三：原式。

故正确的答案选A。

【评注】．若，，则和的大小关系是（）。

A．B．C．【来源】年第届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级A【答案】解法一：设，，则，故。

【解析】解法二：。

上式分子，故。

故正确的答案选A。

．如图，，，是三边上的中点，，，相交于点，则图中面积相等的三角形（不论顺序）有（）对。

A．B．C．D．【来源】年第届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级D【答案】显然，图中有个三角形，只有一个（）面积为，【解析】有个（，，，，，）面积为；有个（，，）面积为；有个（，，，，，）面积为。

故正确的答案选D。

．如图，多边形相邻两边互相垂直，要求出它的周长，需要最少知道（）条边的边长。

A．B．C．D．【来源】年第届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级A【答案】显然只知道边、、的长度，或知道、、的长度，便可算出多边形【解析】的周长，需要知道边长的边数最少是。

2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则

2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 1 页共 3 页2016年全国初中数学联赛初赛试卷（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、C ． 2、C ． 3、D ． 4、C ． 5、B ． 6、A ．二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 78、18．9、3．10三、（本大题满分20分）11、解：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分）配方得(3a -c )2+(2a -b )2+(3b -2c )2=0， ············································· （10分）所以3a -c =0，2a -b =0，3b -2c =0，即c =3a ，b =2a ． ······································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）解法二：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分）5[c 2-2(365a b +)c +(365a b +)2]+13a 2+10b 2-4ab -2(36)5a b +=0，5(c -365a b +)2+565a 2+145b 2-565ab =0，所以5(c -365a b +)2+145(2a -b )2=0， ··············································· （10分）由此得，c -365a b+=0，2a -b =0，解得b =2a ，c =3a ． ···································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）四、（本大题满分25分）12、解：（1）由已知得，-x 2+2(m +1)x +m +3=0有两个不相同的实数解，所以∆=[2(m +1)]2+4(m +3)= 4m 2+12m +16=(2m +3) 2+3＞0，可知m 是任意实数． ································································· （5分）又因为点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上．所以方程，-x 2+2(m +1)x +m +3=0的两根一正一负，所以- (m +3)＜0，解得m ＞-3．所以所求m 的取值范围是m ＞-3． ··············································· （10分）（2）解法一：设点A (a ，0)，B (b ，0)，a ＞0，b ＜0，2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 2 页共 3 页则a =-3b ，且a +b =2(m +1)，ab =-(m +3)，解得m =0．函数解析式为y =-x 2+2x +3． ······················································· （15分）所以A (3，0)，B (-1，0)，C (0，3)。

2004年第16届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷

2004年第16届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）方程522525225x x +-+=+-的解是（）A ．5B ．2C ．10D ．12．（5分）设2770x x -+=，则42749x x ++=（）A ．7B ．7C ．7-D ．03．（5分）绝对值方程||2||6||1x x ---=的不同实数解共有多少个（）A ．2B ．4C ．1D ．04．（5分）设[]x 表示不大于x 的最大整数，如[3.4]3=，[2]2=，[ 3.4]4-=-，则下列结论中，不成立的有几个（）①[][]1x x x <+； ②1[]x x x -<；③[][]x x -=-；④[2]2[]x x =；⑤[][1]1x x +-=．A ．4B ．3C ．2D ．15．（5分）下列各式结果最大的是（）A ．527-B ．752-C ．4343-D ．0.16．（5分）下述结论中，正确的结论共有几个（）①若a ，0b >，则11b b a a +<+；②若a b >，则2()a b a b +=+；③若a b >，则33a b -<-； ④若a b >，则22a b >；⑤若a ，0b >，则2a b ab +．A ．4B ．3C ．2D ．17．（5分）如图，ABCD 中，E 为BC 上一点，且::BE EC m n =，AE 交BD 于点F ，则:BF FD =（）A ．:()m m n +B ．:m nC ．:(2)m nD ．:(2)m m n +8．（5分）设实数a ，b ，c ，d ，e 满足()()()()0a c a d b c b d e ++=++=≠，且a b ≠，那么()()()()a c b c a d b d ++-++=（）A ．eB ．2eC ．0D ．不确定9．（5分）A ，B ，C ，D ，E 五人参加“五羊杯”初中数学竞赛得分都超过91分．其中E 排第三，得96分．又知A ，B ，C 平均95分，B ，C ，D 平均94分．若A 排第一，则D 得多少分（）A ．98B ．97C ．93D ．9210．（5分）已知4名运动员体重（以千克为单位）都是整数．他们两两合称体重，共称5次，称得重量分别为99，113，125，130，144千克．其中有两人没合称过，那么这两人体重较大的是多少千克（）A ．78B ．66C ．52D ．47二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）在实数范围内分解因式：4(1)(21)(21)5x x x x x -++-+= ． 12．（5分）已知2381,,5327a b a c b c a b a c b c +-+=-=-=--+-，则635437a b c a b c+-=+- ． 13．（5分）不等式|2||10|1|62||5|y y y y ++>++的解是． 14．（5分）如图，90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，AD AB =，4BC =，则D ，B 两点间的距离是．15．（5分）方程22222482264(1)4(1)16(2)1(2)1(2)95x x x x x --+-=+-+-+-----的解为x = ．16．（5分）如图，两个相同的梯形重叠在一起，则上面的梯形中未重叠部分面积是．17．（5分）五羊公共汽车公司的555路车在A ，B 两个总站间往返行驶，来回均为每隔x 分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x = 分钟．18．（599923899999238a a a a a a a a a a a a ++⋯+=++++ （其中0)a >19．（5分）以[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[3.7]3=，[3]3=．则6[(65)]=20．（5分）设p ，q 是任意两个大于100的质数，那么21p -和21q -的最大公约数的最小值是．。

第十五届五羊杯初中数学竞赛初三试题

橙子奥数工作室教学档案第十五届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题2003年10月时间：90分钟满分：100分试题收集：李启印费振鹏录入：成俊锋校对：林昊一、选择题（每小题5分，共50分）12+=的根是 A、 BC 、1−D 、02．设323(470x x +−+−=，则43272x x −−+=A、 B 、30 CD 、03．橙子奥数工作室防盗暗记．方程组224||||04||||0x x y y y x ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩在实数范围内解的组数是 A 、1 B 、2 C 、4 D 、多于44．设 ⎣x ⎦ 表示不大于x 的最大整数，⎡x ⎤ 表示不小于x 的最小整数，⎣x ⎤ 表示最接近x 的整数（0.5x n ≠+，n 为整数）．则不等式组23.243235.624.343237.7x x x x x x x x ⎧≤⎣⎦+⎡⎤+⎣⎤+≤⎪⎨≤⎡⎤+⎣⎤+⎣⎦+≤⎪⎩的解为A 、2.3 3.6, 2.5,3,5x x ≤≤≠B 、24, 2.5,3,5x x ≤≤≠C 、2.3 3.6x ≤≤D 、2,3x =5．作自然数带余除法，有A ÷ B = C … 7．若B < 100，且A −80B + 21C + 524 = 0，则A =A 、2003B 、3004C 、4005D 、4359 6．图1由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为 A 、400 B 、300 C 、200 D 、1507．在1，2，3，…，200中与96互质，又与75互质，而且与80也互质的所有整数的总和为A 、5468B 、6028C 、5828D 、50588．图2中，BP ：PQ ：QC = 1：2：1，CG ：AG = 1：2，则BE ：EF ：FG =A 、12：17：7B 、11：16：6C 、10：15：6D 、9：14：59．23222135357579S =+++××××××"，24812221335579799T =++++××××"，则123S T −= A 、49219603− B 、4929603− C 、49213201− D 、4923201− 10．设n = 99…9（100个9），则3n 的10进位制表示中，含有的数字9的个数是A 、201B 、200C 、100D 、199二、填空题（每小题5分，共100分）11．在实数范围内分解因式：4234x x −+=_____．12．已知32521322232826a b b c c a a b b c c a +−++−+===−++−+−，则232437a b c a b c ++−=−++_____．图 1图 213．不等式232||3353||5x x x x +−>+−的解是_____． 14x 的取值范围是_____．15．防盗暗记．方程215322x y xy x+−=的非零整数解有_____组． 16．如图3，护城河在CC’处直角拐弯，宽度保持为4米．从A 处往B 处，经过2座桥：DD’，EE’．设护城河是东西 — 南北方向的，A 、B 在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，恰当地架桥可使ADD’E’EB 的路程最短，这个最短路程为_____米．17．四边形ABCD 的四边长为AB = ，BC =，CD = ，DA = ，一条对角线BD = ，其中m 、n 为常数，且0 < m < 7，0 < n < 5，那么四边形的面积为_____． 18．设(1)0x x −≠，P = 21x −，Q = 212x x −，R = 2(2)(1)x x x −−，且AP + BQ + CR = S 对任意的x 都成立，其中A 、B 、C 为常数，S = 242145(1)x x x x x −+−−，则AQ + BR + CP = _____．（0,1x ≠） 19．（图略）利用不等式“3a b c ++≥，a 、b 、c > 0，等号成立当且仅当a = b = c ”解决以下问题：把长为8 dm ，宽为3 dm 的长方形铁片的四角各剪去一个边长相同的正方形小铁片，折成一个无盖长方体盒子（折缝不计），要使所得的盒子容积最大，剪去的4个正方形小铁片的边长应是x = _____dm ．20．在算式“可怕非典 × 抗 × 抗 × 抗 × 抗 = 非典不可怕”中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么这个算式的结果“非典不可怕”= __________．。

“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案)(K12教育文档)

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第十二届“五羊杯"初中数学竞赛试题初三试题（考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(4选l 型，选对得5分,否则得0分．本大题满分50分．) 1．方程x ＝3-5535x 3++ 的根是x ＝（ )．（A)4—15 (B ）4+15 （C)15—4 (1）)3-52．设x ＝2-3，则x 7+3x 6-10x 5—29x 4++x 3—2x 2+x －l 的值为（）．(A)610-2-323+ （B ） 6102323+++ （C) 6102-327-++ (D ） 6102327+++ 3．若32x＝6·22x—5·6x ,则( ）．(A)2x>3x(B)2x<3x, （C ）2x>3x或2x〈3x都有可能 (D ）以上三者都不对4．如图，两条平行直线m ，n 上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连( ）条直线．（A)20 （B)36 （C ）34 (D ）225．图中一共可以数出( )个锐角．（A ）22 (B)20 (C)18 （D)156．设[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3．15]＝3，[3．7]＝3，E 3]＝3，则 ]200220012000[...5]43[]432[]321[3333⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=( ）．（A ）2 000 000 （B)2 001 000 (C)2 002 000 (D)2 003 001 7．如图,长方形图中有许多三角形．如果要找全等的三角形，一共可以找出( )对．（A)8 (B ）7 (C ）6 （D)48．设A 2＝0．012 345 678 987 654 321×（1+2+3 +……+9+……+3+2+1），B 2＝0，012 345 679，则9·109(1-|A|)B ＝ ( )．(A ）10 （B ）±10 （C ）l (D)±l9．如图,正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并夹在平行线AB 与CD 之间．若PA ＝17，PB ＝2 ，PC ＝5 ，则PD ＝( )， (A)25 （B)19 （C ）32 （D)17 10．如图，D 是△ ABC 的边AB 延长线上一点，DE ∥BC ，E 在AC 延长线上，EF ∥AB ，F 在BC 延长线上，已知S △ADE ＝m ，S △EFC ＝n ，则S 四边形BFED＝（）．（A)4mn (B ）3mn （C ）2mn (D) mn二、填空题（每小题填对得5分,不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分)1．分解因式：(x 4+x 2—4)（x 4+x 2+3）+10＝．2。

江苏省第十六届初中数学竞赛试题(B卷)及参考答案

江苏省第十六届初中数学竞赛试题（B 卷）及参考答案一、选择题(每题8分，共48分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．)1．已知b>a>0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+等于( )． A ．-21B ． 3C ．2D ．-32．已知xB x A x x x ++=+-1322，其中A 、B 为常数，则A-B 的值为( )． A ．－8 B8C ．－1D ．43．1 O 个棱长为l 的小正方体木块，堆成如图所示的形状，则它的表面积为( )．A ．30B ．34C ．36D ．484．如图所示．△ABC 中，∠B=∠C，D 在BC 上，∠BA D=50°，AE=AD ，则∠EDC 的度数为( )．A ．15° B．25° C．30°D．50°5．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )．A ．4B ．5C ．8D ．96．如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 离城市的距离分别为4，10，15，17，l9，20 km ，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在( )．A ．A 处B ．C 处 C ．G 处D ．E 处二、填空题(每题8分，共48分)7．一列数71，72，73，…，72001，其中末位数是3的有个．8．已知对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程(a －b)x －(a+b)y=a+b 有一组公共解，则公共解为．9．数a 比数b 与c 的和大于16，a 的平方比b 与c 的和的平方大1664．那么，a 、b 、c 的和等于10．数的集合X由1，2，3，…，600组成，将集合X中是3的倍数，或4的倍数，或既是3的倍数又是4的倍数的所有数，组成一个新的集合y，则集合y中所有数的和为．11．若a1=5，a5=8，并且对所有正整数n，有a n+a n+1+a n+2=7，则a2001=12．三条线段能构成三角形的条件是：任意两条线段长度的和大于第三条线段的长度．现有长为144 cm的铁丝，要截成n小段(n>2)，每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为三、解答题(每题16分，共64分)13．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价由2元到100元多种，某团体需购买票价为6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍，问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?14．如图所示，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP= AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．15．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4(未按顺序排列)．求这5个数的值．16．如图所示，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．。

2008年第20届五羊杯初中数学竞赛初三组试题(含答案)

第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题（考试时间：90分钟；满分100分）一、选择题 (4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).1. 已知1m =+1n =且()()227143678m m a n n -+--=.则a 的值等于( ). A.5-; B.5; C.9-; D.9. 2. sin 27︒=( ).; ;; .3. 若11111x y z x y z++==++,则,,x y z 中,正数的个数为( ). A.1个; B.2个; C.3个; D.都有可能.4. 有正三棱柱111ABC A B C -,底面边长为1.现将其切去一部分,剩余部分为222ABC A B C -,其中2222,3,5AA BB CC ===,则剩余部分的体积为( ).A.8; B.7; C.6; D. 5. 已知关于x 的一元四次方程420x px qx r +++=有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个.①p q r +=可能成立;②p r q +=可能成立;③q r p +=可能成立. A.0; B.1; C.2; D.3. 6. 已知一个平方数的十位数为7,那么它的个位数是( ).A.1;B.4;C.6;D.9.7. 若关于x 的方程20x px q ++=的两根分别为1x 和2x ,11x >,3p q ->-,则2x 与1的关系是( ).A.21x >;B.21x <;C.21x =;D.不能确定. 8. 关于,x y 的方程()2220x y x y +=-的所有整数解(),x y 有( )组.A.4;B.8;C.12;D.16.9. 设二次函数()20y ax bx c a =++≠满足:当01x ≤≤时,1y ≤.则a b c ++的最大值是( ).A.3;B.7;C.12;D.17.10. 44442222123100123100++++++++的值是( ).A.459395; B.159405; C.460595; D.160605. 二、填空题 (每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).11. 在边长为2的正方形ABCD 的四边上分别取点E 、F 、G 、H .四边形EFGH 四边的平方和2222EF FG GH HE +++最小时其面积为_____.12. 关于x 24x <+的解为_____. 13. 关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根,且,,a b c 的平均值为2b =,则c 的取值范围是_____.14. 关于x 的方程2231x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭的所有实根的和为_____.15. 设点P 为正三角形ABC 的外接圆的圆弧BC 上不同于B 和C 的点,则判断PA 与PB PC +的关系:PA _____PB PC +(填,,,,≥>=<≤).16. 如图,位置,A B 位于河的两岸,河宽为m ,,A B 之间的水平距离为4m.某人走路速度是游泳速度的2倍,欲从位置A 前往位置B ,采用图中的路线,则夹角α=_____时,所花费的时间最少.17. 平面上过某一点A 的k 条不重合的直线称为关于点A 的直线簇,并且此时称k 为直线簇的阶(注意: k 可以取0,此时直线簇退化为一点A ).若,A B 是平面上两个不重合的点,关于点A 和关于点B 的直线簇的阶之和为8,那么构成这两个直线簇的所有直线划分平面所成的区域数最大为_____,最小为_____.18. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数.记α=,则16α⎡⎤=⎣⎦_____. 19. 已知整数123,,,x x x …,2008x 满足:①12n x -≤≤,1,2,n =…,2008; ②12x x ++…20082008x +=;③2212x x ++ (2)20082008x +=.则3312x x ++ (3)2008x +的最小值为_____,最大值为_____.20. ()min ,x y 是取,x y 中较小的数的函数, ()max ,x y 是取,x y 中较大的数的函数,例如()min 7,87,=()max 3,44=,则方程()()min 2,37max 52,163x x x x x -+-=+的解为_____.第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题标准答案一、选择题(4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).二、填空题(每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).。

1999第十六届全国各地九年制义务教育初三数学竞赛试题及参考答案解析

1999第十六届全国九年级义务教育初中中考数学联赛第一试一、填空题1.( )A.1B.1-C.2D.2-2.ABC △的周长是24,M 是AB 的中点,5MC MN ==,则ABC △的面积是( ) A.12 B.16 C.24 D.303.设b a >,将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图像画在同一平面直角坐标系内,则有一组a ,b 的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是()D.C.B.A.4.若函数221(100196|100196|)2y x x x x =-++-+,则当自变量x 取1,2,3,…,100这100个自然数时,函数值的和是( ) A.540 B.390 C.194 D.975.如图,在等腰梯形ABCD 中,AB DC ∥,998AB =,1001DC =,1999AD =,点P在线段AD 上,则满足条件90BPC ∠=︒的点P 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不小于3的整数6.有下列三个命题:(甲)若α,β是不相等的无理数,则αβαβ+-是无理数；(乙)若α,β 是不相等的无理数,则αβαβ-+是无理数；(丙)若α,β是不相等的无理数,.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)本题共有4道小题,要求直接把答案写在横线上.1.已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠,则b ca+=__________.2.如图,在ABC △中,36B ∠=︒,128ACB ∠=︒,CAB ∠的平分线交BC 于M ,ABC △的外接圆的切线AN 交BC 的延长线于N ,则ANM △的最小角等于_________.3.已知a ,b 为整数,且满足221111*********a b a b a b a ba b ⎛⎫ ⎪⎛⎫--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-++ ⎪⎝⎭, 则a b +=________.4.在正方形ABCD 中,N 是DC 的中点,M 是AD 上异于D 的点,且NMB MBC ∠=∠,则tan ABM ∠=__________.图 1D CB A 图 2NM C B A第二试一、(本题满分20分)某班参加一次智力竞赛,共a ,b ,c 三题,每题或者得满分或者得0分.其中题a 满分20分,题b 、题c 满分分别为25分.竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有1人,答对其中两道题的有15人,答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29,答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25,答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少分？二、(本题满分25分)如图3,设ABC △是直角三角形,点D 在斜边BC 上,4BD DC =.已知圆过点C 且与AC 相交于F ,与AN 相切于AB 的中点G .求证:AD BF ⊥.三、(本题满分25分)已知b ,c 为整数,方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0,求b 和c的值.1999第十六届全国九年级义务教育初中中考数学联赛解答第一试一、选择题1.D【解析】通分得原式4213===--. 故选择D.【点评】这是很常见的题型,通常逐项通分就能化简式子,而不会有很大的计算量.2.C【解析】如图1, ∵5MA MB MC ===,∴90ACB ∠=︒,已知周长是24,则14AC BC +=,22210AC BC +=.∴()()2222221410424AC BC AC BC AC BC ⨯=+-+=-=⨯. ∴1242ABC S AC BC =⋅=△. 【点评】要注意一个直角三角形的判定方法,底边上的中线等于底边的一半时,三角形是直角三角形,底边所对的角为直角.3.B【解析】解法一:对于A 图,由图上直线与y 轴的交点知00a b <>，,但由两条直线的方向知00a b ><，,矛盾,故A 图不正确；对于B 图,由图上直线与y 轴的交点知00a b >>，,但由两条直线的方向知00a b >>，,故B 正确；图 3G F D CB A 图 1BCA对于C 图,由方程组y bx ay ax b =+⎧⎨=+⎩的解知两直线的交点为()1a b +，,图中交点横坐标是21≠,故图C 不正确；对于D 图,由图上直线与y 轴的交点知00a b >>，,但由两条直线的方向知00a b <>，,矛盾,故D 图不正确. 故选择B. 解法二:此题考查的内容很基本,对于一个一次函数y ax b =+来说,0a >则过一、三象限；0a <则过二,四象限；0b >则过一,二象限；0b <则过三,四象限.对于A 图,截距为b 的一次函数为y ax b =+,它过一,二,三象限,00a b >>，,故另一条直线也过一,二,三象限,矛盾,排除A ；对于D 图,截距为a 的一次函数为y bx a =+,它过一,二,三象限,00a b >>，,故另一条直线也过一,二,三象限,矛盾,排除D ；对于C 图,两条直线均过()20，点,带入可得2a b ==,矛盾,排除C ；故应该选B.【点评】对于判断函数图像的题来说,一般都要用除法来做,要掌握各个系数的正负与函数图像的关系.对于一个一次函数y ax b =+来说,0a >则过一,三象限；0a <则过二,四象限；0b >则过一,二象限；0b <则过三,四象限.4.B【解析】()()2100196298x x x x -+=--,∴当298x ≤≤时, 21001960x x -+<,()22100196100196x x x x -+=--+.∴当自变量x 取2,3,…,98时,函数值都为0.而当x 取1,99,100时,22100196100196x x x x -+=-+, 故所求的和为:()()()199100390y y y ++=,故选择B.【点评】遵循一般思路,有绝对值的化去绝对值再进行计算,首先按绝对值的零点进行分情况讨论,化去绝对值,再代入条件进行计算很容易得出结果.5.C【解析】对于AD 的中点M ,过M 引AB 的平行线交BC 于E ,()119991222ME AB DC BC BE CE =+====,所以90BMC ∠=︒.又在AD 上取点N 使998AN =,则1001ND =.由ABN △和DCN △都为等腰三角形易推知90BNC ∠=︒,又到以BC 为直径的圆与AD 至多有两个交点,可知所求点的个数为2,故选择C.【点评】这种题型也是大多数参考书里经常用到的题,对于像这种特殊的题我们应该在熟记的基础上再进行其它的分析,其中中点是一个固定的使90BPC ∠=︒的点,而另外的一个点仅当两底之和等于一腰的时候才成立.6.A【解析】 ∵()()11111αβαβαβαβαβ+-=+--+=-++,只要令1α=1β=-+则αβαβ+-为有理数,故(甲)不对；又若令αβ==则αβαβ-+为有理数,故(乙)不对；又若令3αβ==,30为有理数,故(丙)不对；故正确命题个数是0,故选择A.【点评】像这种判断对错的选择题,大部分情况下我们一般采用特殊值法,即代入一些比较特殊的具体的数值,看所列的条件是否满足,就可以判断命题的正确与否,在选择题中这是常用的方法.ABCD 图 2二、填空题1.2【解析】本题主要考查的是因式分解和一些常用的公式,首先反整个等式展开:∵()()()24b c a b c a -=--,即22224444b b c ac bc ab a -+=-+-, ∴22244420a b c ac ab bc ++--+=,很显然应该对上式逐步配方,然后即可得a b c ，，之间的关系: ∴()()22440b c a b c a +-++=, ∴()220a b c -+=⎡⎤⎣⎦, ∴2a b c =+, ∴2b c a+=.【点评】本题首先应该考虑的是和分比定理,但因为式中含有因子14,所以不能用和分比来做,只能展开再考虑因式分解,在做因式分解的时候,要熟悉平方和、差的公式,尤其是公式中各项是多项式的时候,一琮要清楚的整理城各个公式的形式.2.44︒【解析】如图3,本题主要考查的是弦切角和圆周角的关系.首先:∵12836ACB ABC ∠=︒∠=︒，,∴16CAB ∠=︒,52ACN ∠=︒,由于CAB ∠的平分线交BC 于M ,∴88CAM BAM ∠=︒∠=︒，，∴44CMA ∠=︒,同时,对应的弦切角和圆周角相等,∴36NAC ABC ∠=∠=︒, ∴36844NAM ∠=︒+︒=︒, ∴18092N NAM CMA ∠=︒-∠-∠=︒, 故ANM △的最小角等于44︒.【点评】本题主要考查的是弦切角和圆同角的关系,同时还有三角形的内角和以及三角形的外角等于不相邻的两内角之和这样一些基本的定理,做题的时候只要一步步分析,熟练应用这些角与角之间的关系就能解题了.3.3【解析】首先应该将等式化简,然后根据等式的形式再作进一步的分析,2211111111111a ba b a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-++⎝⎭222222111111111a b a b a b a b +⎛⎫=- ⎪⎝⎭-+ 22221111111a b a b a b +=-++ 111a b=+23ab a b ==+, ∴3220ab a b --=, 对于含有ab ,a b ，的式子通过对常数项构造,可以分解因式,我们首先把含字母的三项表示为A B C M N图 3两个一次式的乘积: ∴()()32324b a --=,由于a b ，都是整数,所以()32b -和()32a -均为整数,则它们的值为1，4或14--，,∴321b -=,324a -=或321b -=-,324a -=-, ∴2a =,1b =,∴3a b +=,其中,后式无整数解,舍去.【点评】一般情况下对于含ab a b ，，的式子都可以分解因式来做,最常见的形式是()()111ab a b a b +++=++或()()111ab a b a b --+=--,对于字母前边的系数不同的时候则要配相应的常数项来分解.4.13【解析】如图4,延长MN 交BC 的延长线于T ,设MB 的中点为O ,连TO ,则~BAM TOB △△,∴AM OB MB BT=,即22MB AM BT =⋅, 令1DN CT MD k ===，,则22AM k BM BT k =-==+，, 代入⑴式得()()()242222k k k +-=-+,注意到0k ≠,解得4233k AM ==，,∴1tan 3AM ABM AB ∠==.【点评】这种辅助线的做法看似很不容易想到,实则不然,一般情况下,题目给出的条件我们都要加以转化利用,例如边相等我们可以构造角相等,线段之和等于一段线段,我们可以构造两条相等的线段,角相等我们可以构造边相等,题中则是后者,利用角相等作辅助线构造等腰三角形.第二试一、(本题满分20分)【解析】设a b c x x x ，，分别表示答对题a 、题b 、题c 的人数,则有:292520a b a c bc x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，∴17128a b cx x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴37a b c x x x ++=, ∴答对一题的人数为37132154-⨯-⨯=,全班人数为141520++=,∴平均成绩为()1720128254220⨯++⨯=.答:班平均成绩为42分.【点评】这是一道很普通的列多元方程组解决未知数的题,我们只要根据题设未知数,列出相应的方程,解方程就能得到结果.二、【解析】证明:如图5,首先,由于要证AD BF ⊥,但是AD BF ，不在同一三角形内,又因为有AB AC ⊥,很容易将要证的结果转化成角相等的问题.若ABF DAC ∠=∠,由于90ABF AFB ∠+∠=︒,则有90DAC AFB ∠+∠=︒,因此AD BF ⊥,故我们只需要证明ABF DAC ∠=∠要证明角相等,很明显我们只要证明它们所图 4T O NM D C B A E A BC DFG 图 5在的三角形相似即可.对于ABF △来说,有一个角是直角,我们作DE 垂直于AC 且交AC 于E ,下面只需要证明BAF AED △∽△.接着,我们从条件出发,因为DE 垂直于AC ,故BAF AED △∽△,则有:54AC AE =,52AG ED =,同时,由切割线定理可知:2AG AF AC =⋅,∴225544ED AF AE =⋅,∴25ED AF AE =⋅,∴AB ED AF AE ⋅=⋅,即AB AFAE ED=,可以得到BAF AED △∽△,命题得证. 【点评】有些几何题开始没有思路的时候,可以将其中的一些条件或结论转化为我们所熟悉的形式,例如有些题要证明一条线段等于另外两条线段之和,我们通常通过作辅助线把两条线段加在一起,从而两条线段相等则是我们所熟悉的,这在很多的几何题中都有很广泛的应用.同时,本题还应该注意的是对结论的转化,从结论和条件一起出发来解题.三、【解析】根据函数25y x bx c =++的图像和题设条件知:当0x =时,250x bx c ++>,∴0c >,①；当1x =-时,250x bx c ++>, ∴5b c <+,②抛物线顶点的横坐标25b -⨯满足1025b-<-<⨯,∴010b <<,③∵0△≥,即2200b c -≥, ∴220b c ，≥④,由①,③,④得2100205b c c ><，≥,若1c =,则由②,④得06b <<且220b ≥,得5b =；若2c =,则07b <<且240b ≥,无整数解；若3c =,则08b <<且260b ≥,无整数解；若4c =,则09b <<且28b ≥,无整数解；故所求b c ，值为:5b =,1c =.【点评】只要是涉及到整数的题,一般情况下我们都要根据条件确定这个未知数的大致范围,然后在这个范围内进一步确定未知数的可能取值,再根据每种取值分情况讨论.。

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