第二十九届“五羊杯”初中数学竞赛

1.45【解析】如图，连接AF 、BD 交于点O ，AF 与DE 交于点G ，EF 与BD 交于点H .将△AEG 、四边形EHOG 、△EBH 、△GOD 、△HOF 、△DOF 的面积分别记为①、②、③、④、⑤、⑥。

由AD //BD ，可得①+②+③=⑥， 又∵AEF S ∆=①+②+⑤，BDE S ∆=②+③+④，DEF S ∆=②+④+⑤+⑥，AE ：EB =5：3，∴53=88DEF AEF BDE ABF ABD S S S S S ∆∆∆∆∆=++∵AD //BC ，BF ：FC =3：2。

∴3==5ABF DBF DBC S S S ∆∆∆又∵梯形ABCD 的面积为120，∴35333()4558888DEF DBC ABD DBC ABD ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆=⋅+=+==梯形.2.28【解析】含有“*”的正方形中可能含有1、4、9、16、25、36个小正方形，对应地分别有1、4、9、9、4、1种情况，故共有1+4+9+9+4+1=28个符合条件的正方形。

3.552-【解析】x =231a x =+，2833a x +∴=+1111x ==+-=同理：1=而()()()()()2222222222222222222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a a b a b a b ++==⎛⎫+--⎛⎫+-++- ⎪⎪⋅-+⎝⎭⎝⎭-+∵()2222216,a b ab a b ==-=∴原式5=-。

4.3≤a【解析】方法1：原不等式可化为： 3212x a x x -≥+-+，分类讨论如下：当202x x +≤≤-即，不等式可化为333x a x -≥+，而3323320x +≤-⨯+=-<，故不等式恒成立；当21x -<≤时，不等式可化为31x a x -≥-，而10x -≤，故不等式恒成立； 当1x >时，不等式可化为31x a x -≥-，若133a a ≥≥即时，取3ax =，则不等式化为010x ≥->，不等式无解，不符合题意；若133a a <<即时，不等式可化为31x a x -≥-，即12a x -≥，此时1x >，故112a -≥，解得3a ≤。

综上，a 的取值范围是3a ≤。

方法二：原不等式可化为： 3212x a x x -≥+-+，设函数1212y x x =+-+，函数23y x a=-作出1212y x x =+-+的函数图像，它与x 轴交于点P （1,0），函数23y x a =-的函数图像与x 轴交于点,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且可由函数3y x =左右平移可得，故由图像可得，当133aa ≤≤即时，21y y ≥恒成立。

综上，a 的取值范围是3a ≤。

5.)1,1(与)5,55(33【解析】由（2）可得0,0x y >>，且221x y y-==，代入（1）可得()222122y y yy y y ---+-+-=，即224222yy yy y y ---+-+-=。

当y =1时，x =1，易知是原方程组的解；当1y ≠时，则有224222y y y y ---+-=+-，即25y y -=，35y =，故y =代回（2）可得235x -==。

故原方程组的解为（1,1）。

6.2【解析】不妨设x y ≥，则11x y ≤，则}111min ,,min ,M x y x y x yx ⎧⎧⎫=+=+⎨⎨⎬⎩⎭⎩ （1）若1x y x ≤+，则11min ,M x y x x⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭ 由1,0x y x x y x y ⎧≤+⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩可得10x x x x ⎧≤+⎪⎨⎪>⎩，则10x <≤当x y ==时等号成立，故max M =； （2）（1）若1x y x >+，则1min ,M x y x y x ⎧⎫=+=+⎨⎬⎩⎭由1,0x y x x y x y ⎧>+⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩可得1120x y y y x y ⎧≥>+≥⎪⎨⎪>⎩，则y <而由1x y x >+可得：211x xy +-<，即x <∴x y +<<即max M <综上所述：max M ；7. 解：（1）当点O '与点A 重合时， ∵∠AOB =600，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O 'B '，AP'=OP' ∴△AOP'是等边三角形， ∵B （2，0）， ∴BO =BP'=2，∴点P 的坐标是（4，0）。

（2）∵∠AOB =600，∠P'MO =900， ∴∠MP'O =300， ∴OM =12t ，OO'=|t|， 过O '作O 'N ⊥x 轴于N ，∠OO'N =300， ∴ON =12t ，NO'=， ∴O '（12t，）， 根据对称性可知点P 在直线O 'B '上，设直线O 'B '的解析式是y =kx +b ，代入P 、O '点坐标得：120t k b t k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴y =+ ① ∵∠ABO =900，∠AOB =600，OB =2， ∴OA =4，AB=∴A （2，，代入反比例函数的解析式可得：k =∴y x=②联立①②得：y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩20x += 即240x t x -+= ③由题意知方程有解，则判别式2244140b ac t -=-⨯⨯≥，解得：44t t ≥≤-或。

又O 'B '=2，根据对称性得B '点横坐标是112t +， 当点B '为直线O 'B '与双曲线的交点时，代入③得：211114022t t t ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得t =±而当线段O 'B '与双曲线有交点时，t t ≤≥- 综上所述，t的取值范围是44t t ≤≤-≤≤-。

8. 解：设a b m -=，2ab n =，其中m 是质数，n 是正整数，由()()224a b ab a b +-=-可得：()22224a m n m --=即()()222221a m n a m n m -+--=⨯。

∵22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--，而m 为质数，故有222,221a m n m a m n -+=--=，解得()2211,44m m a n +-==。

于是，()214m b a m -=-=，由()21201720174m a +≥≥，即，考虑到m 是质数，解得89m ≥此时，()289120254a +≥=。

当m =89，b =1936，n =1980时，2025a =.因此，a 的最小值是2025.9.解：四个数的和能被三个整除，先设这三个数为a ，b ，c ，另一个不能整除的为d 。

不失一般性，不妨设a b c <<，设S a b c d =+++则可得到三个整数：,,a b c d a b c d a b c d a b c +++++++++，即,,S S Sa b c. 因为这三个数都是三位数，且首位数字相同，因此，一个数的2倍必然比另几个数都大，故2,2,2d a d b d c <<<，25S a b c d c c c cc c c++++++=<=。

由首位数字相同，可知任意两个数的和，一定比另一个数大，则有52,,22c c c c S a b cd a b c d c c c ++++++>>=>=，即552S c <<， 又因为S c 是整数，故34Sc=或。

类似可得：2227S a b c d a a a a a a a ++++++=<=，226S a b c d b b b b b b b++++++=<=（1）若4S c =，则4S S b c >=，故56S b ≤<，即5Sb =同样地，76S S a b >>=，故6S a =，因此可得到：456S c b a ===，故36,25c a b a ==。

则363725610a a a dS a b c d d a a a a++++++=<=+=，即23210d a a =>，与2d a <矛盾，故4Sc =不成立。

（2）若3Sc =，即3S c =∵7S a <，若6S a =，则36ca=，即2c a =，矛盾，不成立。

故5S a =，而35S S S c b a=<<=，因此，4Sb =∴345S c b a ===，故55,34c a b a ==，代回则55435a a a dS a b c d a a a++++++=<=，得1312d a =，进一步得到131313121520d a b c ===即12152013a b c d ===设99131215201388a b c d c a k -=====≤< 若8k ≤，则96a ≤，不是三位数；若101112k =或或，则144200a c ≤≥，，首位不相同 因此，9k =，可得108,135,180,117a b c d ====。

10.解： （1）如图，在△OBC 中，延长OB 到点P ，使得BP =OC ；延长OC 到点Q ，使得CQ =OB ，∴OP =OQ ∴∠OPQ =∠OQP过点P 作PM //BC ，且PM =BC ，则四边形BPMC 是平行四边形。

连接MC 、MQ 、PQ .∴CM //B P,CM =BP =OC ∴∠BOC =∠MCQ∴在△BOC 与△QCM 中 BO QC BOC QCM CO MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOC ≌△QCM （SAS ） ∴MQ =BC =PM∴在△PMQ 中，2PQ PM MQ BC OB OC OP OQ <+=<+==\ ∴BOC OPQ OQP ∠<∠=∠∴01802BOCBOC -∠∠<，解得060BOC ∠<，即060α<（2）如图，取AC 、BD 的中点E 、F ，连接EF ，将AC 沿EF 平移至A 'C '，连接AA'、CC'、A 'B 、BC'、C 'D 、A 'D ，则A 'BC 'D 是一个符合条件的平行四边形。