转动惯量
转动惯量
转动惯量在古典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩）通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m^2。
对于一个质点，I = mr^2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。
2张量定义刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。
惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达.设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量定义为[1]该积分遍及整个刚体A，其中，，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式是两个矢量的并乘；而为单位张量，标架是一个典型的单位正交曲线标架；是刚体的密度。
转动惯量
转动惯量一、基本概念惯量J 是一个常用的物理量，在负载被加速或减速的过程中中，是一个非常重要的参数。
转动惯量又可以称为惯性矩，它的的定义是：物体每一质点的质量m 与这一质点到旋转中心轴线的距离r 的二次方的乘积的总和，其数学表达式为：J ＝21m 2r 。
（1）在伺服控制系统中，大多数的传动机构具有圆柱状构件，因此，下面介绍几种圆柱状物体的转动惯量的计算。
图（1）和（2）分别描述了围绕着中心轴线旋转的空心圆柱体和实心圆柱体。
图（1）空心圆柱体 图（2）实心圆柱体（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m （21R ＋22R ）[牛∙米∙秒2] （2）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m 2R [牛∙米∙秒2] （3）对于己知重量为G 的物体，用（G /g ）代替公式（2）和（3）中的m ，g 为重力加速度，我们可以分别得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gR R G 2)(2221+[牛∙米∙秒2] （4）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gGR 22[牛∙米∙秒2] （5）如果重量不知道，但知道旋转物体的体积V 和密度γ，则可用（V γ/g ）代替公/式（2）和（3）中的m ，我们可以得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝)(24142R R gL -γπ[牛∙米∙秒2] （6）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝42R gL γπ[牛∙米∙秒2] （7）二、计算 举例说明1.换向器的惯性矩K JK J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ[克∙厘米∙秒2]。
换向器的几何尺寸： 换向器的外径K D ＝0.6[厘米]； 换向器的内径Ki D ＝0.38[厘米]； 换向器的轴向长度K l ＝0.5[厘米]。
在几何尺寸和材料已知的情况下，换向器的惯性矩K J 为：K J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ＝ ＝81.9105.75.0)38.06.0(32244-⨯⨯⨯-⨯π＝4.079×510- [克∙厘米∙秒2]，式中，K γ是换向器材料的平均比重，取K γ≈7.5[克/厘米3]。
转动惯量公式
转动惯量公式转动惯量是物体对于绕指定轴旋转的惯性特性的度量。
它与物体的质量、形状以及旋转轴的位置有关。
在这篇文章中，我们将介绍转动惯量的概念以及相关的公式。
1. 转动惯量的定义转动惯量是描述物体绕某个轴旋转时对其惯性的度量。
物体的质量分布越集中，转动惯量越小，物体的形状越分散，转动惯量越大。
对于一个质量分布均匀的物体来说，转动惯量可以通过以下公式计算：转动惯量公式转动惯量公式其中，I 是转动惯量，r 是与旋转轴的距离，dm 是物体的微小质量元素。
转动惯量的单位是千克·米²。
2. 转动惯量的计算方法对于一些常见的几何形状，我们可以通过特定的公式计算它们的转动惯量。
下面是一些常见形状的转动惯量计算公式：•线状物体（绕与物体平行的轴旋转）：线状物体转动惯量公式线状物体转动惯量公式其中，m 是线状物体的质量，l 是线状物体长度。
•圆盘状物体（绕与盘面平行的轴旋转）：圆盘状物体转动惯量公式圆盘状物体转动惯量公式其中，m 是圆盘状物体的质量，r 是圆盘状物体半径。
•球体（绕球的直径轴旋转）：球体转动惯量公式球体转动惯量公式其中，m 是球体的质量，r 是球体的半径。
这些公式可以帮助我们计算常见几何形状物体的转动惯量。
对于复杂的物体形状，可以使用积分计算转动惯量。
3. 转动惯量的应用转动惯量在物理学中有广泛的应用。
它是理解刚体转动运动的重要参数，可以帮助我们研究物体在旋转过程中的角动量、角加速度等性质。
转动惯量的大小决定了物体在给定轴上旋转的难易程度。
当转动惯量较大时，物体旋转需要更大的力矩才能实现，导致旋转速度较慢。
相反，转动惯量较小的物体则更容易加速旋转。
此外，转动惯量还与物体的稳定性有关。
当物体的质量分布越接近旋转轴时，转动惯量越小，物体越稳定。
4. 结论转动惯量是描述物体绕某个轴旋转时对其惯性的度量。
它与物体的质量、形状以及旋转轴的位置有关。
我们可以根据物体的几何形状和分布情况，使用特定的公式来计算转动惯量。
转动惯量计算公式高数
转动惯量计算公式高数
在高等数学中，转动惯量是描述刚体旋转惯性特性的物理量。
以下是常见的刚体转动惯量计算公式：
1. 点质量绕轴旋转：
转动惯量公式：I = m * r^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示点质量，r 表示质点到旋转轴的距离。
2. 细长杆绕轴旋转：
转动惯量公式：I = (1/12) * m * L^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示杆的质量，L 表示杆的长度。
3. 薄环绕轴旋转：
转动惯量公式：I = m * r^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示环的质量，r 表示环的半径。
4. 薄球壳绕轴旋转：
转动惯量公式：I = (2/3) * m * r^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示球壳的质量，r 表示球壳的半径。
5. 均匀圆盘绕轴旋转：
转动惯量公式：I = (1/4) * m * r^2
其中，I 表示转动惯量，m 表示圆盘的质量，r 表示圆盘的半径。
这些公式仅适用于特定形状的刚体，并假设刚体质量分布均匀。
在实际计算中，根据刚体的形状和质量分布，可能需要使用更复杂的积分计算或使用转动惯量表进行查询。
转动物体的转动惯量和角动量
转动物体的转动惯量和角动量转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
转动惯量是度量物体转动惯性的物理量，而角动量则是描述物体转动状态的物理量。
一、转动惯量转动惯量是物体抵抗转动的程度，它与物体的质量分布有关。
对于刚体，它的转动惯量公式可以表示为：I = ∫r^2dm其中，I表示转动惯量，r表示离转轴的距离，dm表示物体的微小质量元。
转动惯量可以看作是质量与距离的乘积之和，因此可以用来描述物体对转动的阻力。
转动惯量的计算方法取决于物体的形状和转轴的位置。
对于简单的几何形状，可以使用公式计算转动惯量；对于复杂的形状，可以通过积分来计算转动惯量。
常见几何体的转动惯量公式如下：1. 绕轴线的旋转：I = m*r^2这是最简单的情况，质量为m的物体绕与其垂直的轴线旋转，转动惯量为质量乘以转轴与物体质心距离的平方。
2. 绕端点转动：I = 0物体绕其重心或端点旋转时，转动惯量为零。
这是因为物体的质量分布对转动没有贡献。
3. 绕质心转动：I = m*r^2质量均匀分布的物体绕其质心旋转时的转动惯量等于质量乘以物体尺寸的平方。
4. 绕长直杆的转动：I = (1/3)*m*L^2质量均匀分布的长直杆绕与其垂直的轴线旋转时，转动惯量为质量乘以杆长的平方的1/3。
以上是一些常见情况下的转动惯量计算方法，不同形状和转轴的组合会得到不同的转动惯量。
二、角动量角动量是描述物体转动状态的物理量，它是由物体的转动惯量和角速度共同决定的。
角动量的定义为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
角动量与物体的转动状态密切相关，增大转动惯量或角速度都会增大角动量。
对于一个系统，角动量的守恒定律可以表述为：Li = Lf即系统的初始角动量等于系统的最终角动量。
这个定律在转动过程中起到了重要的作用，可以帮助我们理解许多自然现象。
总结：转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
转动惯量定义
转动惯量定义转动惯量是物体旋转时的一个重要物理量，它描述了物体对于绕指定轴旋转的惯性大小。
在经典力学中，转动惯量通常用符号I表示。
转动惯量的定义是物体旋转时，质量分布对于绕轴旋转的惯性大小。
转动惯量的计算与物体的形状和质量分布有关。
对于具有规则形状的物体，可以通过简单的几何公式计算出转动惯量。
例如，对于一个围绕其对称轴旋转的均匀圆盘，其转动惯量可以通过公式I = 1/2MR^2计算，其中M是圆盘的质量，R是圆盘的半径。
类似地，对于其他规则形状的物体，也可以使用相应的几何公式来计算转动惯量。
然而，对于不规则形状的物体，计算转动惯量就变得更加复杂。
在这种情况下，可以使用积分来计算转动惯量。
通过将物体分解为无穷小的质量元，可以对每个质量元的转动惯量进行积分，并将所有质量元的转动惯量相加，从而得到整个物体的转动惯量。
转动惯量在物体旋转时起到了重要的作用。
根据牛顿第二定律，物体的转动惯量与物体所受的转动力矩之间存在着简单的关系。
转动力矩是物体在旋转过程中所受到的力矩，它可以通过 F = Iα来计算，其中F是力矩，I是转动惯量，α是物体的角加速度。
这个关系可以帮助我们理解物体在旋转中所受到的力矩大小与转动惯量的关系。
转动惯量还有许多实际应用。
在机械工程中，转动惯量是设计旋转部件和机械系统的重要参数。
通过准确计算转动惯量，可以确保机械系统的稳定性和性能。
在物理学中，转动惯量可以帮助我们理解刚体的旋转运动，以及天体运动中的转动规律。
转动惯量是描述物体旋转惯性大小的物理量。
它可以通过几何公式或积分计算得到，对于不同形状的物体有不同的计算方法。
转动惯量在物体旋转和力学系统设计中起着重要的作用，有助于我们理解和研究旋转运动的规律。
通过深入理解转动惯量的定义和计算方法，我们可以更好地理解旋转运动和力学系统的行为。
转动惯量的通俗理解
转动惯量的通俗理解一、什么是转动惯量转动惯量，也称为角动量惯量，是旋转物体抵抗改变其旋转状态的物理量。
简单来说，它是一个物体旋转时所具有的惯性。
二、转动惯量的计算公式在不同情况下，转动惯量的计算公式也不同。
以下是一些常见情况下的计算公式：1. 点质量绕轴旋转对于一个质点质量为m，在距离轴心距离为r处绕轴旋转，其转动惯量可以表示为I = mr²。
2. 刚体绕轴旋转对于一个刚体绕某个轴旋转，其总的转动惯量可以表示为I = Σmr²，其中Σ表示所有质点的加和。
3. 刚体固定在一端绕另一端旋转对于一个刚体固定在一端，在另一端绕垂直于其长度方向的轴旋转，其转动惯量可以表示为I = (1/3)ml²，其中l表示刚体长度。
三、什么影响着物体的转动惯量1. 形状和尺寸：物体形状和尺寸会影响其质心到轴心的距离，从而影响转动惯量。
2. 质量分布：物体不同部位的质量分布也会影响转动惯量。
3. 旋转轴的位置：旋转轴的位置会直接影响物体的转动惯量。
四、转动惯量的通俗理解1. 转动惯量越大，物体越难以旋转。
这是因为它需要更多的力来改变其旋转状态。
2. 转动惯量与物体的形状和尺寸有关。
例如，一个长条形物体比一个球体更难旋转，因为它的质心到轴心距离更大。
3. 转动惯量还与旋转轴的位置有关。
如果旋转轴靠近物体质心，那么它将更容易旋转。
4. 最后，值得注意的是，在实际应用中，我们通常会使用一些简化公式来计算物体的转动惯量。
例如，在某些情况下，可以将物体视为点质量，并使用I = mr²公式来计算其转动惯量。
理论力学 转动惯量
§1 转动惯量的概念
1.转动惯量的概念
刚体对轴z的转动惯量，是刚体内所有各点的质量与其对该轴 的转动半径的平方的乘积的总和（如图1）。
z
可以表示为
J z mrz2
可见，转动惯量永远是正值。
rz A
对于质量连续分布刚体： J z srz2dm
影响转动惯量大小的因素。
● 整个刚体质量的大小。 ● 刚体各部分的质量分布。
转动惯量
§3 转动惯量的平行轴定理
例题 4
1. 已知杆长l，质量是m。求通过杆端A并与轴z平行的轴z1的转动惯量。
解： J z1 JCz md 2
J z1
1 12
ml2
m( l )2 2
1 ml2 3
z1
z
A
l/2
C
l
图8
2. 已知半径r，质量是m。求通过点A并与质心轴z平行的轴z1的转动惯量。
解：取任一半径为ζ，宽为dζ的圆环，其质量是
dm
m πr2
2πd
2m r2
d
对轴z的转动惯量元素是
dJ z
(dm)
2
2m r2
3d
于是，求得圆盘对轴z转动惯量
y
r
ζ
O
x
Jz
r 0
2m r2
3d
m 2r2
4
r 0
1 mr2 2
考虑到 Jx=Jy ，即可求得
角用α，β，γ表示 （如图14）。
z
刚体对轴OL的转动惯量
式中
J mrL2
rL2 (OA)2 (OB)2
§5转动惯量
I
J y I yy y I yx x I yzz
J z Izzz Izx x Izy y
四、惯量椭球
O为刚体定点转动的定点， 在转轴上截取OQ,满足
OQ 1 R 即 R2I 1 I
z
Qx, y, z
O
y
x
R2 I xx 2 I yy 2 I zz 2 2I xy 2I xz 2I yz 1
i
i
对y轴的轴转动惯量 I yy mi xi2 zi2 , i
对z轴的轴转动惯量 Izz mi xi2 yi2 , i
I xz Izx mi xi zi i I yz Izy mi yi zi i
I 2dm
I xx ( y2 z2 )dm I yy ( x2 z2 )dm Izz ( x2 y2 )dm
I yy y I yx x I yz z ˆj I zz z Izxx Izy y kˆ
将W、J代入
T
1
J
2
T 1 2
I
xx
2 x
I
yy
2 y
I
2
zz z
2I xyx y
2I xzxz
2I yz yz
Q点坐标
x R, y R , z R
Q点构成椭球: 惯量椭球
I xx x 2 I yy y2 I zz z 2 2I xy xy 2I xz xz 2I yz yz 1
1.如果定点O正好是刚体的质心或重心，则此椭球称中心惯 量椭球。
常用转动惯量
常用转动惯量
1转动惯量
转动惯量是物理学中定义和描述物体在其转动过程中所需要的一项受力，以及它们受到转动力时如何变化的参数。
它决定了物体的转动情况，同时也受到物体的形状、大小和重量的影响，所以它既可以作为物体的特征参数，也可以作为运动力学分析所需的关键参数。
2常用转动惯量
转动惯量具有重要作用，常见的有轴对称物体的转动惯量，如完整的圆柱体和圆环；不规则物体的转动惯量形式，如圆形的网格和台阶形状的机械结构；轮辐形物体的转动惯量，如螺旋桨受力部件；以及最高级的特定形状惯量，如轴形物体。
3质心惯量
质心惯量是指一个物体的惯性受力特征，其分量比较复杂，由物体的形状、大小和重量等影响，它是运动力学分析中常使用的重要特征参数。
由于视平面上物体形状和大小的关系比较简单，因此质心惯量在视平面上的参数是相对比较容易计算的。
4轴对称物体的转动惯量
轴对称物体是指物体形状和重心在水平面内保持一致的物体，其转动惯量就比较容易计算，其转动惯量表达式为：I=mR*R/2，其中m 为物体的质量，R为物体的半径。
一般情况下，轴对称物体的转动惯量
和它的角速度成正比关系，即当转动惯量增大时，物体的角速度也将增大。
5特定形状惯量
特定形状惯量也称为定向转动惯量，是指在三维空间中物体的转动惯量分量，受物体形状影响较大。
它的计算均依赖于物体在各个轴上自由振动的方程，用三维空间量来分离物体质量中的点质量，以计算出物体形状存在的动量分量和轴方向的转动惯量。
以上就是关于转动惯量的常见类型和用途的介绍，转动惯量在符号学上占据着重要位置，它不仅能反映物体的形状，大小和重量，同时也能作为物体受力和受力变化的重要参数。
转动惯量计算公式
转动惯量计算公式
转动惯量是物体在转动时所具有的能量，它可以衡量物体转动时所需要的力量。
转动惯量公式是物理学中非常重要的公式，用来计算物体转动时所具有的惯量。
转动惯量公式由英国物理学家詹姆斯·库仑在18th世纪提出的，也被称作库仑公式。
转动惯量公式是：I = mr2，其中I是物体的转动惯量，m是物体的质量，r是物体的半径。
转动惯量的大小直接取决于物体的形状、大小和质量。
如果一个物体的形状、大小和质量相同，那么它的转动惯量也是相同的。
转动惯量越大，物体转动时所需要的力量就越大。
转动惯量公式也可以用来计算物体转动时的能量，公式为：E = Iω2，其中E是物体转动时的能量，I是物体的转动惯量，ω是物体转动时的角速度。
转动惯量公式是理解物体转动时所具有的能量和力量的重要工具，它可以用来计算物体转动时所具有的惯量和能量。
它也可以帮助我们理解物体转动时所需要的力量和能量，以及物体的形状、大小和质量如何影响它们。
转动惯量
转动惯量引自百度百科本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。
转动惯量(MomentofInertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
[1]在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
中文名转动惯量外文名MomentofInertia表达式I=mr²应用学科物理学适用领域范围刚体动力学适用领域范围土木工程基本含义质量转动惯量其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。
转动惯量的概念
转动惯量的概念
转动惯量是物体对于绕轴旋转的难易程度的量度，也可称为转动的惯性。
它与物体的质量以及物体围绕轴线的分布有关。
具体表达式可以通过以下公式来计算：
I = ∫ r^2 dm
其中，I是转动惯量，r是物体质点到轴线的距离，dm是质点的微小质量元素。
整个物体的转动惯量是所有微小质量元素转动惯量的总和。
转动惯量描述了物体抵抗转动的能力，起到了在牛顿第二定律中类似于质量的角色。
转动惯量越大，物体对于转动的难度越大，转轴旁边的物体越难以改变其状态的转动。
如果物体有规则的几何形状，在其坐标轴上的转动惯量可以通过公式或者几何知识计算出来。
例如，对于摆锤，其绕重心旋转的转动惯量为I = m*l^2，其中m为质量，l为摆臂的长度。
对于其他复杂形状的物体，可以通过分析物体的质量分布和运用积分来计算转动惯量。
转动惯量在理解物体转动行为、计算转动系统的动力学性质以及设计旋转设备等方面都起到了重要的作用。
转动惯量定义
转动惯量定义转动惯量是物体对于转动的惯性的度量，它描述了物体在旋转过程中对转动的抵抗能力。
在物理学中，转动惯量通常用大写字母I表示，它的大小取决于物体的形状和质量分布。
转动惯量的定义可以通过考虑物体的质量和离轴距离的分布来理解。
对于一个质量均匀分布的物体，转动惯量可以通过将物体分成许多小的质量元素，并将每个质量元素的质量与其离轴距离的平方相乘，然后将所有质量元素的乘积相加来计算。
对于一个简单的例子，考虑一个质量为m的点粒子绕某个固定轴旋转。
这个点粒子的转动惯量可以通过将点粒子的质量乘以其离轴距离的平方来计算。
因此，转动惯量可以表示为I = mr^2，其中m是质量，r是离轴距离。
对于更复杂的物体，转动惯量的计算需要考虑物体的形状和质量分布。
例如，对于一个绕轴旋转的刚体，转动惯量的计算需要使用积分来考虑物体各个部分的质量和离轴距离的分布。
转动惯量在物理学中有着重要的应用。
它是描述物体旋转运动的基本参数之一。
根据转动惯量的大小，可以判断物体在转动过程中的稳定性和旋转轴的位置。
转动惯量也是描述刚体的旋转动力学特性的重要参数，如角动量和角加速度。
在工程领域，转动惯量的概念也有着广泛的应用。
例如，在机械设计中，转动惯量的计算可以帮助工程师确定机械系统的设计参数，以满足旋转运动的要求。
在航空航天领域，转动惯量的准确计算对于飞行器的稳定性和控制性能至关重要。
转动惯量是描述物体对于旋转的惯性的参数。
它的大小取决于物体的形状和质量分布。
转动惯量在物理学和工程学中有着重要的应用，帮助我们理解和设计旋转运动的系统。
对于学习和理解旋转运动的过程中，转动惯量是一个重要的概念，它可以帮助我们深入了解物体在旋转过程中的特性和行为。
材料力学转动惯量计算公式
材料力学转动惯量计算公式
材料力学中，转动惯量是描述物体对于转动运动的惯性特征的物理量。
对于不同形状和质量分布的物体，转动惯量的计算公式也会有所不同。
以下是一些常见形状的物体的转动惯量计算公式：
1. 关于轴的质点，对于质量为m的点质点绕距离轴r旋转，其转动惯量I为I = m r^2。
2. 直线形状的物体，对于沿轴线旋转的细杆或直棒，其转动惯量的计算公式为I = (1/12) m L^2，其中m为质量，L为长度。
3. 圆环或圆盘，对于绕垂直轴旋转的圆环或圆盘，其转动惯量的计算公式为I = (1/2) m r^2，其中m为质量，r为半径。
4. 球体，对于绕通过其直径轴旋转的均匀球体，其转动惯量的计算公式为I = (2/5) m r^2，其中m为质量，r为半径。
5. 杆的一端固定旋转，对于一端固定、另一端绕轴旋转的杆，其转动惯量的计算公式为I = (1/3) m L^2，其中m为质量，L为长度。
这些是一些常见形状的物体的转动惯量计算公式，但对于复杂的形状或质量分布不均匀的物体，转动惯量的计算可能需要应用积分或其他数学方法来进行求解。
在实际问题中，可以根据物体的具体形状和质量分布来选择合适的转动惯量计算公式进行计算。
转动惯量
惯性主轴的定义：定义1：三条相互垂直的坐标轴，其中构件惯性积等于零的某一坐标轴。
定义2：对通过物体一给定点的每组笛卡尔坐标轴，该物体的三个惯性积通常不等于零，若对于某一上述的坐标轴物体的惯性积为零，则这种特定的坐标轴称为主惯性轴。
惯性积：构件中各质点或质量单元的质量与其到两个相互垂直平面的距离之乘积的总和。
惯性力矩就是转动惯量。
转动惯量严格定义是一个物体上，它的每一极小块乘以那一小块到转动中心的距离的平方，再把乘积都加和起来就是转动惯量。
K=mr^2。
俗称惯性矩。
惯性矩俗称惯性力距，惯性力矩。
惯性张量的定义：相对于固定在构件上的坐标轴系统，它是一个对称矩阵，其元素是三个转动惯量和三个惯性积的负值。
通俗点就是，对主轴转动惯量=惯性张量矩阵的三个特征值***********************三者关系********************对主轴的转动惯量=惯性张量矩阵的三个特征值由惯性张量如何求惯性力矩？对于惯性张量的换算，主要是坐标变换，也就是二次型。
C^T A C=B ,C就是坐标的过度矩阵。
C 是正交阵。
不过一般都是往对角阵变换。
即由三个转动惯量构成的对角阵。
对称阵A合同对角阵B，这个对角阵由A的三个特征值组成。
所以惯性张量A可以坐标变换成B(由A的三个特征值组成)，这特征值也就是刚体对三个主轴的转动惯量。
由惯性张量如何求惯性主轴？1、用矩阵找惯性主轴。
惯性张量矩阵里面，除了转动惯量外，其余叫惯性积，比如Ixy 等等。
通过矩阵变换令惯性积为0，可以得到惯性主轴。
因为旋转刚体围绕惯性主轴转动，惯性积就为0，此时只考虑转动惯量(惯性力矩)。
一般的运动是围绕惯性主轴的。
2、简单点的几何法，对称轴是主轴，垂直于对称面的也是主轴，两轴为主轴，第三轴必为主轴。
过质心的是中心主轴。
1由重心决定，对齐输出坐标系把输出坐标系的原点移到重心形成新的坐标系A，计算在坐标系A中的惯性张量。
简单的说就是绕重心的质量特性。
转动惯量
转动惯量就相当于F=am当中的m!惯性转矩相当于vXm(冲量)转动惯量乘以角加速度等于惯性转矩，就是加速转矩。
转动惯量和转矩没有关系的。
转动惯量单位kgm^2，简单的说和旋转物的密度和形状有关；转矩单位Nm，是施加力的大小和力臂的乘积，与被施力物体无关。
如果说互相之间的联系，从能量的角度可找到相关的东西转动惯量和动能的关系：E=(1/2)Jw^2，J是旋转惯量，w是旋转角速度；转矩与做功的关系：A=(1/2)Mwt，M是转矩，w是旋转角速度，t是力矩施加时间。
当转动动能E=转矩做功A时，由以上公式可以得出：M=Kw/t 这个公式是在理想状态下得到的，限制条件：对一静止物质施加一个恒定转矩M，物质由角速度0经过时间t后加速到角速度w“小惯量的系统，启动，加速，制动的性能好，反应快”。
是因为本身电机转子惯量小，小惯量可以带动的负载惯量的倍数有的可以达到20倍甚至30倍的转子惯量，具体选型都有参数限制，同功率的小惯量的电机额定输出转矩会比中惯量、大惯量要小很多，那为什么它的反应还会快呢？因为它总拖动的惯量（=电机转子惯量+负载惯量）比中惯量、大惯量也同样小的多。
力=质量*加速度。
惯量正比于质量。
为什么额定转速还会高呢？额定功率（W）=额定转速（转/分钟）*额定转矩（Nm）*2π/60。
小惯量的额定转矩低，所以额定转速高。
至于小惯量反应快的前提就是它必须拖带惯量和它匹配的惯量也很小的负载，惯量大了它就拖动不动了。
如果同功率的大小惯量两种伺服电机拖动负载后总的惯量（转子惯量+负载惯量）完全一样，并且两套系统都在大惯量额定转速范围内工作（譬如1500转/分钟或1000转/分钟）时，小惯量的反应快的特点就不存在了。
当然这样用大惯量伺服未免有点大马拉小车。
为什么小惯量的伺服电机无法做的功率很大呢，是因为功率大了以后转矩要求加大，转子的机械结构无法继续保持转子惯量小的特点了，所以功率大的伺服都是转子惯量大的了。
转动惯量
0 R2
2
3. 与转轴的位置有关
例题. 求长为L、质量为m的均匀细棒AB的转动惯量. (1) 对于通过棒的一端与棒垂直的轴; (2) 对于通过棒的中心与棒垂直的轴.
解：设 为单位长度的质量，棒沿x轴放置，则:
m L dm dx
x x
(1) 对于通过棒一端的转轴：
JA
x2dm L x2 dx 0
转动惯量
一、转动惯量的定义
刚体对转轴的转动惯量等于刚体上各质点的质量与 各质点到转轴的距离平方的乘积之和，即
说明：
J Δmiri2
i
1) 刚体对转轴的转动惯量由刚体上各质点相对于转轴 的分布所决定，与刚体的运动状态及所受的外力无关；
2) 转动惯量反映了刚体转动状态发生改变的难易程度，
即刚体转动的惯性，其单位为 kg m2；
1 L3 1 mL2
33
(2) 对于通过棒中心的转轴：
L
JC
x2dm
2 L
x2
dx
2
1 L3 1 mL2
12
12
A
dm
B
o
x dx
L
A
C dm B
o x dx
L2
L2
三、关于转动惯量的两个定理
1. 平行轴定理
若质量为m的刚体对过其质心C的某一转轴的转动惯量
为JC，则这个刚体对于平行于该轴并和它相距为d的另一 转轴的转动惯量J 为
例题. 求质量 m、半径 R 的细圆环和均匀薄圆盘对其 中心垂直轴的转动惯量.
解: J r2dm
细圆环：在圆环上取质量元dm
o R dm
J r度为dr的圆环作为
质量元dm
dm
转动惯量
3) 质量连续分布的刚体，其转动惯量可写成
J r 2dm
一维
dm dm dl ：质量线密度
二维
ห้องสมุดไป่ตู้
dm dm dS ：质量面密度
三维
dm dm dV ：质量体密度
二、决定刚体转动惯量的因素
1. 与刚体的总质量有关 半径相同、厚度相同的两个圆盘，铁质的转动惯量 比木质的大.
2. 与刚体的质量分布有关
J JC md 2
2. 垂直轴定理
薄板形刚体对于板面内两条正交轴的转动惯量之和等于 过该两轴交点并垂直于板面的轴的转动惯量，即
Jz Jx Jy
小结
本次课主要讲解了转动惯量的定义、决定刚体转动 惯量的三个因素以及关于刚体转动惯量的两个定理。
本次课所讲知识点是学好刚体力学这一部分内容的 基础，希望大家课后好好复习，熟练掌握。
r3
dr
1 2
mR2
o r dr
3. 与转轴的位置有关
例题. 求长为L、质量为m的均匀细棒AB的转动惯量. (1) 对于通过棒的一端与棒垂直的轴; (2) 对于通过棒的中心与棒垂直的轴.
解：设 为单位长度的质量，棒沿x轴放置，则:
m L dm dx
x x
(1) 对于通过棒一端的转轴：
J A
x2dm L x2 dx 0
1 L3 1 mL2
3
3
(2) 对于通过棒中心的转轴：
L
JC
x2dm
2 L
x2
dx
1 L3 12 mL2
12
12
A
dm
B
o
x dx
L
A
C dm B
o x dx
L2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对于圆柱体
当回转轴是圆柱体轴线时；J=mr^2/2
其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
转动惯量定理： M=Jβ
其中M是扭转力矩
J是转动惯量
β是角加速度
对于细圆环
当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；
当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2；
R为其半径。
对于薄圆盘
当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚×mR^2；
当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚×mR^2；
R为其半径。
对于空心圆柱
当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2；] R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳
当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；
当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2；
R为球壳半径。
对于实心球体
当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；
当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2；
R为球体半径。
对于立方体
当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；
当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；
当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2；
L为立方体边长。
例题
现在已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。
计算一下，当在0.1秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？
分析：知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，
进而计算出这个轴的质量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr^2L.
根据在0.1秒达到500转/分的角速度，我们可以算出轴的角加速度
β=△ω/△t=500转/分/0.1s
电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线，所以J=mr^2/2。
所以M=Jβ
=mr^2/2△ω/△t
=ρπr^2hr^2/2△ω/△t
=7.8×10^3 ×3.14× 0.04^2×0.5×0.04^2÷2 ×500×2π÷60÷0.1 =8.203145
单位J=kgm^2/s^2=N*m。