2013高考数学能力加强集训：专题二第2讲 三角恒等变换与解三角形
专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2021·全国甲卷)在△ABC 中，已知B ＝120°，AC ＝19，AB ＝2，则BC 等于( )A ．1 B. 2 C. 5 D ．32．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12 B.33 C.22 D.323．(2022·榆林模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为3154，b －c ＝1，cos A ＝14，则a 等于( ) A ．10 B ．3 C.10 D. 34．已知cos α＝55，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π35．设角α，β的终边均不在坐标轴上，且tan(α－β)＋tan β＝tan α，则下列结论正确的是( )A ．sin(α＋β)＝0B ．cos(α－β)＝1C ．sin 2α＋sin 2β＝1D ．sin 2α＋cos 2β＝16．(2022·张家口质检)下列命题中，不正确的是( )A ．在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝π3，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形 7．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度(单位：米)约为( )A ．3米B ．4米C ．6(3－1)米D ．3(3＋1)米8．(2022·济宁模拟)已知sin α－cos β＝3cos α－3sin β，且sin(α＋β)≠1，则sin(α－β)的值为( )A ．－35 B.35 C ．－45 D.45二、填空题9．(2022·烟台模拟)若sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan 2α的值为________． 10．(2022·泰安模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝________. 11.(2022·开封模拟)如图，某直径为5 5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B 与小岛C 相距5海里，cos ∠BAD ＝－45.则小岛B 与小岛D 之间的距离为________海里；小岛B ，C ，D 所形成的三角形海域BCD 的面积为________平方海里．12．(2022·汝州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，cos 2C ＝ cos 2A ＋4sin 2B ，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题13．(2022·新高考全国Ⅱ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3.已知S 1－S 2＋S 3＝32，sin B ＝13. (1)求△ABC 的面积；(2)若sin A sin C ＝23，求b .14．(2022·抚顺模拟)在①(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)sin Bb；②cos2A－C2－cos A cos C＝34；③3cb cos A＝tan A＋tan B这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b＝23，________.(1)求角B；(2)求2a－c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．。
高三数学二轮专题复习第2讲 三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.2 5[解析] 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32.所以AB ＝4 2. [答案] A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝________.[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.[答案] 310103.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB， 所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.考 点 整 合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等. (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一三角恒等变换及应用【例1】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25，因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－5 5，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25 5，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β）1＋tan 2αtan（α＋β）＝－211.探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2018·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.13 B.－13 C.3 D.－3(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.[解析] (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，又x ∈(0，π)，则tan x ＝2， 故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. 因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.[答案] (1)A (2)π3热点二 正弦定理与余弦定理考法1利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】(2018·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B. ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×32＝334.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC ＝334”，试求a＋c的值.解由S△ABC ＝12ac·sin B＝334，∴12ac·32＝334，则ac＝3.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－ac，所以(a＋c)2＝b2＋ac＝9＋3＝12，故a＋c＝2 3.【迁移探究2】在第(2)问中，保留条件b＝3，删去“条件△ABC的周长为3＋23”，试求△ABC面积的最大值.解由b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，则9＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤9(当且仅当a＝c＝3时，取等号)，故S△ABC ＝12ac sin B≤12×9sin2π3＝934，所以△ABC 面积的最大值为934.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2， 故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517及B 为三角形一内角，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.考法2 应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米[解析]由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米).在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CHsin∠CAH ＝ACsin∠AHC.可得CH＝AC·sin∠CAHsin∠AHC＝1406(米).[答案] B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). [答案] 100 6热点三 与解三角形有关的创新交汇问题【例3】 (2018·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. 解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ， 所以b ＝3a ，故b ＝3.由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12.由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练4】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72，在△ABD 中，由余弦定理得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，∴AD ＝1292.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79 C.－79D.－89[解析] cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. [答案] B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34πB.π3C.π4D.π6[解析] 由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2＝sin A .在△ABC 中，A ＝π4. [答案] C3.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6[解析] 因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .由余弦定理a 2＋b 2－c2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C .所以在△ABC 中，C ＝π4. [答案] C4.(2018·合肥质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A.4πB.8πC.9πD.36π[解析] 由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C ＝6，R ＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. [答案] C5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2BD.B ＝2A[解析] 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ， 因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . [答案] A 二、填空题6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.[解析] ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12. [答案] －127.(2018·东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，则25sin α－7tan 2α的值为________.[解析] 由题意知tan α＝3a 4a ＝34，sin α＝3a 5|a |＝－35. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247，∴25sin α－7tan 2α＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－7×247＝－39. [答案] －398.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.[解析] 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝32，所以bc ＝833.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.[答案] 233 三、解答题9.(2018·济南二模)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AB ＝23，AM →＝MC →. (1)求BM 的长；(2)设D 是平面ABC 内一动点，且满足∠BDM ＝2π3，求BD ＋12MD 的取值范围. 解 (1)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ， 代入数据，得cos C ＝－12. ∵AM→＝MC →， ∴CM ＝MA ＝12AC ＝1.在△CBM 中，由余弦定理知： BM 2＝CM 2＋CB 2－2CM ·CB ·cos C ＝7， 所以BM ＝7.(2)设∠MBD ＝θ，则∠DMB ＝π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 在△BDM 中，由正弦定理知： BD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝MD sin θ＝BM sin 2π3＝273. ∴BD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，MD ＝273sin θ， ∴BD ＋12MD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋73sin θ＝73(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故BD ＋12MD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，7.10.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b sin A ＝a sin B ， 又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.11.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝3sin(2 018π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x －cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2BD ＝2，求cos C . 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1 ＝32sin 2x －12(1＋cos 2x )＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)f (A )＝32⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0<A <π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6.由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin B ⇒sin B ＝22，B ＝π4或B ＝3π4(舍去)，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin π3sin π4－cos π3cos π4＝6－24.。
2013年高考第二轮复习数学广东理科专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换及解三角形
专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形真题试做1．(2012·重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2012·山东高考，理7)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )． A.35 B.45 C.74 D.34 3．(2012·天津高考，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425 4．(2012·湖北高考，理11)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.5．(2012·广东高考，理16)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β) 的值． 考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一 三角恒等变换及求值【例1】已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如α3是α6的二倍角，α＋β是α＋β2的二倍角等；②α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，cos α＝sin 2α2sin α等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂． (4)角的合成及三角函数名的统一：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝ba . 变式训练1 已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求f ⎝⎛⎭⎫3π2的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交会【例2】在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B 的值域． 规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的范围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2 (2012·广东肇庆一模，理18)已知△ABC 的面积为22，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝4,0°＜C ＜90°.(1)求sin(A ＋B )的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2C ＋π4的值； (3)求向量CB →，AC →的数量积CB →·AC →. 热点三 正、余弦定理的实际应用 【例3】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB .现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(结果保留根号)规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等． 变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．思想渗透化归转化思想——解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用； (3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等． 【典型例题】(2012·福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝( )． A.35 B ．－35 C.65 D ．－65 2．在△ABC 中，如果0＜tan A tan B ＜1，那么△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定3．(2012·山东烟台适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )．A.45B.43C.34D.234．(2012·江西南昌二模，5)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( )． A ．－233 B ．±233 C ．－1 D ．±15．(2012·山东淄博一模，10)在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A.13 B ．－13 C.223 D ．－2236．已知sin x ＝5－12，则sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝______. 7．(2012·湖南长沙模拟，18)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x .(1)若f (α)＝5，求tan α的值；(2)设△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B cos C ＝b2a －c，求f (x )在(0，B ]上的值域．8．(2012·广东广州二模，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，2，⎝⎛⎭⎫11π12，－2. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值． 参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．A 解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3，故选A.2．D 解析：由θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 又sin 2θ＝378，故cos 2θ＝－18.故sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 3．A 解析：在△ABC 中，由正弦定理：b sin B ＝csin C，∴sin C sin B ＝c b ， ∴sin 2B sin B ＝85，∴cos B ＝45. ∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.4.2π3 解析：∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 5．解：(1)因为函数f (x )的最小正周期为2πω＝10π，解得ω＝15.(2)由(1)，可知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，∵－65＝f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3 ＝2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α， ∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6 ＝2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385. 精要例析·聚焦热点热点例析【例1】 解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期为2π.又∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，∴函数f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13， ∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α，又∵α为第二象限角，且cos α＝－13，∴sin α＝223.∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.【变式训练1】 解：(1)f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6. ∵函数f (x )的最小正周期为6π， ∴T ＝2πω＝6π，即ω＝13.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6.∴f ⎝⎛⎭⎫32π＝2sin ⎝⎛⎭⎫13×32π－π6＝2sin π3＝ 3. (2)f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫3α＋π2－π6 ＝2sin α＝－1013，∴sin α＝－513.f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎡⎦⎤13(3β＋2π)－π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β＝65， ∴cos β＝35.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝－1－cos 2β＝－45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.【例2】 解：(1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， ∴(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， 2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0，∴cos A ＝12，故A ＝π3.(2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π2. ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋32sin 2B －12cos 2B＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. ∵π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6≤1，32＜y ≤2. ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B 的值域为⎝⎛⎦⎤32，2. 【变式训练2】 解：(1)由12ab sin C ＝2，即12×3×4sin C ＝22，得sin C ＝23. ∵A ＋B ＝180°－C ，∴sin(A ＋B )＝sin(180°－C )＝sin C ＝23. (2)由(1)，得sin C ＝23. ∵0°＜C ＜90°，∴cos C ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝73. ∴cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×⎝⎛⎭⎫732－1＝59.∴sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×23×73＝2149.∴cos ⎝⎛⎭⎫2C ＋π4 ＝cos 2C cos π4－sin 2C sin π4＝59×22－2149×22＝－52－4718.(3)∵|CB |＝a ＝3，|AC |＝b ＝4， 设向量CB 与CA 所成的角为θ， 则θ＝180°－C .∴CB ·AC ＝|CB |·|AC |cos θ ＝ab cos(180°－C )＝－ab cos C ＝－3×4×73＝－47. 【例3】解：在△AOB 中，设OA ＝a ，OB ＝b . 因为OA 为正西方向，OB 为东北方向， 所以∠AOB ＝135°. 又O 到AB 的距离为10，所以S △ABO ＝12ab sin 135°＝12|AB |·10，得|AB |＝220ab .设∠OAB ＝α，则∠OBA ＝45°－α. 因为a ＝10sin α，b ＝10sin(45°－α)，所以ab ＝10sin α·10sin(45°－α)＝100sin α·sin(45°－α)＝100sin α⎝⎛⎭⎫22cos α－22sin α＝10024sin 2α－24(1－cos 2α)＝4002sin(2α＋45°)－2≥4002－2. 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立． 所以|AB |≥220×4002－2＝20(2＋1)． 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以，当a ＝b ＝10sin 22°30′＝102(2＋2)时，A ，B 之间的距离最短，且最短距离为20(2＋1) km. 即当A ，B 分别在OA ，OB 上离市中心O 102(2＋2) km 处时，能使A ，B 之间的距离最短，最短距离为20(2＋1) km.【变式训练3】 m cos αcos β＞n sin(α－β)解析：∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ， 所以∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BMsin(90°－α)＝m sin(α－β)，解得BM ＝m cos αsin(α－β).要使船没有触礁危险，需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin(α－β)＞n ，所以α与β满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．创新模拟·预测演练1．B 解析：由3cos x －sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝2⎝⎛⎭⎫sin π3cos x －cos π3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ， 可得sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－35. 2．C 解析：由题意0＜A ＜π，0＜B ＜π，tan A tan B ＞0，则A ，B 两角为锐角， 又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＞0，则A ＋B 为锐角，则角C 为钝角，故选C.3．B 解析：已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan α＝12，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝134＝43. 4．C 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 5．A 解析：因为b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，即cos B ＝13.6．2－5 解析：sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1 ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5－122－1＝3－5－1＝2－ 5.7．解：(1)由f (α)＝5，得3sin 2α＋23sin αcos α＋5cos 2α＝5， ∴3·1－cos 2α2＋3sin 2α＋5·1＋cos 2α2＝5.∴3sin 2α＋cos 2α＝1，即3sin 2α＝1－cos 2α⇒23sin αcos α＝2sin 2α，∴sin α＝0或tan α＝ 3.∴tan α＝0或tan α＝ 3. (2)由cos B cos C ＝b 2a －c ，得cos B cos C ＝sin B 2sin A －sin C ，则cos B ＝12，即B ＝π3.又f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋4，由0＜x ≤π3，可得12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 故5≤f (x )≤6，即所求值域是[5,6]．8．解：(1)∵函数f (x )的图象的最高点坐标为⎝⎛⎭⎫5π12，2， ∴A ＝2.依题意，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3 ＝2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝24＋7325.。
2013届高考数学三角恒等变换2
教案8 三角恒等变换一、课前检测1.（2010全国卷2理13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则t a n a = ．【答案】12-【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.【解析】由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22t a n 4t a n21t a n 3a αα==--，解得1tan tan 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-.2. （2010全国卷1文14）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .答案 247-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为α为第二象限的角,又3sin 5α=, 所以4c o s5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-,所22tan 24tan(2)1tan 7ααα==-- 3．（2010上海文19）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.解析：原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．二、知识梳理1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少； ③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．三、典型例题分析例1. 化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 1c o s 22x变式训练1：已知x x x f +-=11)(，若),2(ππα∈，则+)(cos αf )cos (α-f 可化简为 ． 解：αsin 2例2．求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββαβαα+-+=变式训练2 在△ABC 中，22cos sin =+A A ，2=AC ，3=AB ，求tan A 的值和△ABC 的面积． 解：∵sinA ＋cosA ＝22 ①∵2sinAcosA ＝－21 从而cosA ＜0 A ∈(ππ,2) ∴sinA －cosA ＝A A A A cos sin 4)cos (sin 2-+＝26 ②据①②可得 sinA ＝426+ cosA ＝426+-∴tanA ＝－2－3S △ABC ＝4)26(3+例3 已知tan(α－β)＝21，tan β＝-71，且α、β∈（0，π），求2α－β的值.解：由tanβ＝－71 β∈(0，π) 得β∈(2π, π) ① 由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝31 α∈(0，π) 得0＜α＜2π ∴ 0＜2α＜π 由tan2α＝43＞0 ∴知0＜2α＜2π ②∵tan(2α－β)＝βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1 由①②知 2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－43π(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值． 解：由sinα＝415α为第二象限角∴cosα＝－41 ∴)cos (sin cos 2)4sin(12cos 2sin )4sin(αααπαααπα++=+++＝αcos 221＝－2四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度 ② 变换函数名 ③ 变换解析式结构3．求值常用的方法：切化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．。
2013年全国高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形 理
专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形真题试做1．(2012·某某高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2012·某某高考，理7)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )． A ．35 B ．45 C ．74 D ．343．(2012·某某高考，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A ．725B ．－725C ．±725D ．24254．(2012·某某高考，理11)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.5．(2012·课标全国高考，理17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . 考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2道小题，一道大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的X 围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一 三角恒等变换及求值【例１】(2012·某某某某一模，17)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如α3是α6的二倍角，α＋β是α＋β2的二倍角等；②α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活．特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；cos α＝sin 2α2sin α等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)角的合成及三角函数名的统一：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a.变式训练1 (2012·某某某某模拟，17)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交汇【例２】(2012·某某某某适用性测试一，理17)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域．规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的X 围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的X 围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2 (2012·某某某某4月调研，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114.(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．热点三 正弦定理、余弦定理的实际应用【例３】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB .现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(不要求作近似计算)规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等． 变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n kmX 围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．思想渗透化归转化思想——解答三角恒等变换问题求解恒等变换的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用； (3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等．【典型例题】(2012·某某高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝( )．A ．35B ．－35C ．65D ．－652．△ABC 中，如果0＜tan A tan B ＜1，那么△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定3．(2012·某某某某适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )．A ．45B ．43C ．34D ．23 4．(2012·某某某某二模，5)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )．A ．－233B ．±233C ．－1D ．±15．(2012·某某某某一模，10)在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A ．13B ．－13C ．223D ．－2236．(原创题)已知sin x ＝5－12，则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝______.7．(2012·某某某某模拟，18)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x .(1)若f (α)＝5，求tan α的值；(2)设△ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且cos B cos C ＝b2a －c，求f (x )在(0，B ]上的值域．8．(2012·某某某某二模，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．A 2．D 3．A 4．2π35．解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理，得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴函数f (x )的周期为2π.又∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，故函数f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13， ∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α，又∵α为第二象限角，且cos α＝－13，∴sin α＝223.∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.【变式训练1】解：(1)f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6. ∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴T ＝2πω＝6π，即ω＝13.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32π－π6＝2sin π3＝ 3.(2)f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6 ＝2sin α＝－1013，∴sin α＝－513.f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65， ∴cos β＝35.∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝－1－cos 2β＝－45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.【例2】解：(1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， ∴(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， 2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ， 在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0，∴cos A ＝12，故A ＝π3.(2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π2. ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B＝1＋32sin 2B －12cos 2B ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6. ∵π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，32＜y ≤2. ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2.【变式训练2】解：(1)在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝5314，则cos C ＝cos [(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B＝－1114×12＋5314×32＝17.(2)由(1)，得sin C ＝1－cos 2C ＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314.在△ABC 中，由正弦定理asin A ＝csin C，得55314＝c437，则c ＝8.故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3.【例3】解：在△AOB 中，设OA ＝a ，OB ＝b . 因为OA 为正西方向，OB 为东北方向， 所以∠AOB ＝135°.又O 到AB 的距离为10，所以S △ABO ＝12ab sin 135°＝12|AB |·10，得|AB |＝220ab .设∠OAB ＝α，则∠OBA ＝45°－α.因为a ＝10sin α，b ＝10sin(45°－α)，所以ab ＝10sin α·10sin(45°－α)＝100sin α·sin (45°－α)＝100sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝10024sin 2α－24(1－cos 2α)＝4002sin(2α＋45°)－2≥4002－2. 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以|AB |≥220×4002－2＝20(2＋1)．当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以，当a ＝b ＝10sin 22°30′＝102(2＋2)时，A ，B 之间的距离最短，且最短距离为20(2＋1)km.即当A ，B 分别在OA ，OB 上离市中心O 102(2＋2)km 处时，能使A ，B 之间的距离最短，最短距离为20(2＋1)km.【变式训练3】m cos αcos β＞n sin(α－β) 创新模拟·预测演练1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．2－ 57．解：(1)由f (α)＝5，得3sin 2α＋23sin αcos α＋5cos 2α＝5，∴3×1－cos 2α2＋3sin 2α＋5×1＋cos 2α2＝5.∴3sin 2α＋cos 2α＝1，即3sin 2α＝1－cos 2α⇒23sin αcos α＝2sin 2α，sin α＝0或tan α＝ 3.∴tan α＝0或tan α＝ 3.(2)由cos B cos C ＝b 2a －c ，得cos B cos C ＝sin B 2sin A －sin C ，则cos B ＝12，即B ＝π3，又f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4，因为0＜x ≤π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 故5≤f (x )≤6，即值域是[5,6]．8．解：(1)∵函数f (x )的图象的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2.依题意，得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝24＋7325.。
高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理
②由 f(x)＝12sin2x－π6＝ 63，
得 sin2x－π6＝ 33，
∵x∈0，π4，∴－π6≤2x－π6≤π3，
∴cos2x－π6＝
6 3.
∴cos 2x＝cos2x－π6＋π6 ＝cos2x－π6× 23－sin2x－π6×21 ＝ 36× 23－ 33×12＝ 22－ 63.
三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑： 如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
分值 10 12 10
年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
17 正余弦定理
12
二倍角公式、基本关系式、余弦定理、
15
5
三角形面积公式
18
正余弦定理、三角形面积公式
12
17
正余弦定理、解三角形
12
二倍角、辅助角公式、基本关系式、
10、15 和的正弦公式、余弦定理
10°＝
典例1
A．34
(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin
( A)
B．14
C．12＋
3 2
D．3
3 4
(2)(2020·宜宾模拟)已知 α∈0，π2，且 3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则
sin 2α＋cos 2α＝
( A)
A．1
B．－2137
高考数学二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43B.34C.－34D.－43解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2 α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴t an 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.答案 C2.(2015·晋中模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos α等于( )A.－210B.7210C.－210或7210D.－7210解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45， ∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.答案 A3.钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.5B. 5C.2D.1解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B. 答案 B4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( ) A.3B.932C.332D.3 3解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C. 答案 C5.已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365B.3365C.1365D.6365或3365解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513＜sin β，因此有α＋β＞π2(否则，若α＋β≤π2，则有0＜β＜α＋β≤π2，0＜sin β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.答案 A 二、填空题6.(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 87.(2015·南昌模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即ab＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－248.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米.解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°. 由正弦定理，可得BD sin∠DAB ＝ADsin∠ABD .所以400sin 30°＝ADsin 120°，得AD ＝4003(米).在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AC ·CD ·cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米).故索道AC 的长为40013米. 答案 40013 三、解答题9.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值.解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得 a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.10.(2015·唐山模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B ＝b cos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .解 (1)由正弦定理得：sin C sin B ＝sin B cos C . 又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，∴C ＝45°. 又b cos C ＝3，所以b ＝3 2.(2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25.所以c ＝5. 11.(2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.。
2013高考数学能力加强集训：专题二第2讲 三角恒等变换与解三角形(含详解)
专题二第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2012·三明模拟)已知0＜α＜π，且tan α＝34，则cos α等于A．－35 B.35C．－45 D.45解析∵0＜α＜π，tan α＝34＞0，∴0＜α＜π2，由tan α＝sin αcos α＝34，且sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝4 5.答案 D2．(2012·门头沟一模)在△ABC中，已知∠A＝π4，∠B＝π3，AB＝1，则BC为A.3－1B.3＋1C.63 D. 2解析∵A＝π4，B＝π3，∴C＝5π12，由正弦定理可得BC＝ABsin C·sin A＝1 sin 5π12×sinπ4＝3－1.答案 A3．(2012·济宁一模)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于A.32 B.34C.32或34 D.32或3解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即1＝a 2＋3－2a 3×32， 化简得a ＝1或a ＝2. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝34或32. 答案 C4．(2012·宜春模拟)设A ，B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin A －sin C ＝sin B ，cos A ＋cosC ＝cos B ，则B －A 等于A ．－π3 B.π3 C ．－π6D.π3或π3解析 由已知条件得：sin C ＝sin A －sin B ，cos C ＝cos B －cos A ， 两式平方相加，得1＝2－2cos(B －A )，∴cos(B －A )＝12. ∵sin C ＝sin A －sin B ＞0，∴sin A ＞sin B . 又∵A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＞B .∴B －A ＜0. 又∵B －A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴B －A ＝－π3.答案 A5．如图所示，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α＜β)，则A 点距地面的高AB 等于A.a sin αsin βsin (β－α)B.a sin αsin βcos (β－α)C.a sin αcos βsin (β－α)D.a cos αcos βcos (β－α)解析AB＝AC sin β，ACsin α＝DCsin∠DAC＝DCsin (β－α)解得AC＝a sin αsin (β－α)，∴AB＝a sin αsin βsin (β－α).答案 A6．(2012·临沂一模)在△ABC中，a＝4，b＝52，5cos (B＋C)＋3＝0，则角B的大小为A.π6 B.π4C.π3 D.5π6解析由5cos(B＋C)＋3＝0得5cos A＝3，cos A＝3 5，所以sin A＝45，因为a＞b，所以A＞B，即B为锐角，由正弦定理知asin A＝bsin B，所以sin B＝b sin Aa＝52×454＝12.所以B＝π6，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·青岛二模)若tan α＝2，则sin αcos α＝________.解析sin αcos α＝sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan αtan2α＋1＝25.答案2 58．在△ABC中，若b＝5，B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.解析 因为在△ABC 中，t an A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立方程组，解得sin A ＝255. 再由正弦定理，得a sin A ＝bsin B . 代入数据，解得a ＝210. 答案255 2109．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 由已知条件及三角函数的定义可得sin C ＝12，在△ADC 中利用正弦定理即可求解．在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12； 在△ADC 中，由正弦定理得，ADsin C ＝AC sin ∠ADC ，∴AD ＝222×12＝ 2.答案2三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2012·沈阳模拟)如图已知A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB ＝1 km ，BC ＝2 km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东60°，在B 处看见塔在正东方向，在C 处南偏东60°，求塔M 到直线ABC 的最短距离．解析由条件可知∠CMB＝30°，∠AMB＝30°，又AB＝1 km，BC＝2 km，所以△CMB和△AMB的面积比为2∶1，即，所以MC＝2MA；在△ACM中，由余弦定理可得：9＝MC2＋MA2－2·MC·MA·cos 60°，MA＝3，△ACM为直角三角形，M到ABC的最短距离为 3.11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求a的值．解析(1)解法一由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R，得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，代入cos Bcos C＝－b2a＋c，得cos Bcos C＝－sin B2sin A＋sin C，即2sin A cos B＋sin C cos B＋cos C sin B＝0，所以2sin A cos B＋sin(B＋C)＝0.又A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A.所以2sin A cos B＋sin A＝0.又sin A≠0，所以cos B＝－1 2.又角B为三角形的内角，所以B＝2π3.解法二由余弦定理cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab，代入cos Bcos C＝－b2a＋c，得a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c.整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.又角B为三角形的内角，所以B＝2π3.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝2π3代入余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，得13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos 2π3，整理，得a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.12．(2012·广州模拟)已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，m＝(a，cos B)，n＝(cos A，－b)，a≠b，已知m⊥n.(1)判断三角形的形状，并说明理由；(2)若y＝sin A＋sin Bsin A sin B，试确定实数y的取值范围．解析(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴a cos A－b cos B＝0.由正弦定理知，asin A＝bsin B，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B. ∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.∴A＝B(舍去)，A＋B＝π2.所以三角形ABC是直角三角形．(2)∵sin B＝cos A，∴y＝sin A＋cos A sin A cos A.∵sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，∴sin A ＋cos A ∈(1，2]，令sin A ＋cos A ＝t ∈(1，2]，sin A cos A ＝t 2－12， ∴x ＝2t t 2－1＝2t －1t.∵t －1t 在(1，2)单调递增， ∴0＜t －1t ≤2－12＝22.∴x ≥22，∵a ≠b ，故x 的取值范围为(22，＋∞)．。
广东省2013年高考数学第二轮复习专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换及解三角形文
热点例析
热点一 三角恒等变换及求值 【例 1】(2012 ·广东惠州一模，文 16) 已知函数 f ( x) ＝ 2cos2x－ 3sin x.
2 (1) 求函数 f ( x) 的最小正周期和值域；
π1
cos 2 α
(2) 若 α 为第二象限角，且 f α－ 3 ＝3，求 1＋ cos 2 α － sin 2 α的值．
三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三
角形 三内角都是锐角
三内角的余弦值均为正值
任意两角的和都是钝角
任意两边
的平方和大于第三边的平方．
变式训练 2 (2012 ·广东肇庆一模，文 18) 已知△ ABC的面积为 2 2，内角 A，B，C的对
边分别为 a， b，c，已知 a＝ 3， b＝4,0 °＜ C＜90°．
行，则 tan 2 α 的值为 ( ) ．
4
4
3
2
A. 5
B. 3
C. 4
D. 3
π
3
π
4．(2012 ·江西南昌二模，
5) 已知
cos
x－ 6
＝－
，则 3
cos
x ＋ cos x－ 3
的值是
(
)．
23 A．－ 3
23 B．± 3
C．－ 1
D．±１
5．在△ ABC中，已知 bcos C＋ ccos B＝ 3acos B，其中 a，b， c 分别为角 A， B， C 的对 边，则 cos B 的值为 ( ) ．
α α等．
(3) 降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
-1-
(4) 角的合成及三角函数名的统一：
专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形
c，已知 bsin 2A＝asin B，且 c＝2b，则ab等于
A.3
1 B.3
3 C. 3
√D. 3
因为bsin 2A＝asin B，
所以2bsin Acos A＝asin B，
利用正弦定理可得2abcos A＝ab， 所以 cos A＝12，又 c＝2b， 所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋44bb22－a2＝12， 解得ab＝ 3.
(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). ①证明：2a2＝b2＋c2；
方法一 由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
abcos C＝ 2 ，2bccos A＝b2＋c2－a2， 将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.
方法二 因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B ＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C， 故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
所以 cos α＝
415，tan
α＝csoins
αα＝
15 15 .
2sin α 方法二 因为 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－cocssoinαs22αα ＝c2ossi2nα－αcsoisnα2α＝21s－in 2αscions2αα，
高考数学文二轮复习讲义：第二编 专题三 三角函数与解三角形 第二讲 三角恒等变换与解三角形 含解析
第二讲 三角恒等变换与解三角形必记公式]1．同角三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式(1)公式：S α＋2k π；S π±α；S －α；S π2±α；(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；(4)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)＝a 2＋b 2cos(α＋θ)．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.5．降幂公式 (1)sin 2α＝1－cos2α2； (2)cos 2α＝1＋cos2α2. 6．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 7．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .8．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .重要结论]1．判断三角形形状的常用结论(1)sin A ＝sin B 且A ＋B ≠π⇒等腰三角形；(2)sin2A ＝sin2B ⇒A ＝B 或A ＋B ＝π2⇒等腰或直角三角形； (3)cos A ＝cos B ⇒A ＝B ⇒等腰三角形； (4)cos2A ＝cos2B ⇒A ＝B ⇒等腰三角形； (5)sin(A －B )＝0⇒A ＝B ⇒等腰三角形； (6)A ＝60°且b ＝c ⇒等边三角形； (7)A ，B ，C 成等差数列⇔B ＝60°；(8)a 2＜b 2＋c 2(A 为三角形中的最大角)⇒三角形为锐角三角形(A 为锐角)；(9)a 2＝b 2＋c 2⇒三角形为直角三角形(A 为直角)；(10)a 2＞b 2＋c 2⇒三角形为钝角三角形(A 为钝角)． 2．射影定理 a ＝b cos C ＋c cos B . b ＝a cos C ＋c cos A . c ＝a cos B ＋b cos A .失分警示]1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．3．忽视解的多种情况如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π，求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ，但解可能有多种情况．4．忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围．5．忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．考点三角恒等变换典例示法 题型1 求角典例1 2016·中山模拟]已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解析] 由0<β<π4<α<π2易得π4<2α－β<π，－π4<α－2β<π2，π4<α＋β<3π4，故sin(2α－β)＝5314，cos(α－2β)＝17，cos(α＋β)＝cos(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝12，故α＋β＝π3.答案] π3解答此类问题的关键是结合已知条件，求出相应角的三角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.题型2 求值典例2 2016·安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.化简常用的方法技巧(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．考点正、余弦定理典例示法题型1 应用正、余弦定理求边、角典例3 2016·淄博模拟]已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)解法一：由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ( 0＜B ＜2π3 )， 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C .所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C sin π3＝433sin B sin C ＝433sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin2B －33cos2B ＋33 ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33.易知－π6＜2B －π6＜7π6， 故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.解法二：由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3， 即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．题型2判断三角形的形状典例4设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析]由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.，故选B.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2答案] B利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．题型3 求有关三角形的面积典例5 2014·浙江高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．解] (1)由题意得1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin2A －32sin2B ，即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －12cos2B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)， 得2A －π6＋2B －π6＝π， 即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85. 由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310， 所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．考点正、余弦定理的实际应用典例示法典例6 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解] (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sinπ－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB 的长为1040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537时，d 最小，所以乙出发3537分钟后，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤125043，62514(单位：m/min)范围内．1．解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2．解三角形应用题的一般步骤针对训练2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________________________________________________________________________m.答案 100 6解析 在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠BCA ＝75°－30°＝45°，所以由正弦定理得，BC ＝sin ∠BAC sin ∠BCA·AB ＝sin30°sin45°×600＝1222×600＝300 2.在△BCD 中，CD ＝BC tan30°＝3002×33＝1006，故此山的高度为100 6 m.全国卷高考真题调研]1．2016·全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－725答案 D解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D.2．2015·全国卷Ⅰ]sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12. 3．2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2)解析 如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，过P 作BC 的垂线交BC 于点E ，则PB ＝BE cos75°＝6＋2；在△QBC 中，由余弦定理QB 2＝BC 2＋QC 2－2QC ·BC ·cos30°＝8－43＝(6－2)2，故QB ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．其它省市高考题借鉴]4．2016·浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案2 1解析 由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.5．2015·广东高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 1解析 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1.6．2014·山东高考]设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin2x2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.一、选择题1．2016·合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.12答案 D 解析sin18°sin78°－cos162°cos78°＝sin18°sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝12，故选D.2．2016·广西质检]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64C.223D.326答案 C解析 由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 3．2016·郑州质检]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝a sin A，则cos B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 由正弦定理知sin B 3cos B＝sin A sin A ＝1，即tan B ＝3，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B.4．2016·武汉调研]据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )A ．9 hB ．10 hC ．11 hD ．12 h答案 B解析 记码头为点O ，热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝400，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得4002＋400t 2－2×20t ×400×22≤3002，即t 2－202t＋175≤0，解得102－5≤t ≤102＋5，所以所求时间为102＋5－102＋5＝10(h)，故选B.5．2016·云南统测]已知△ABC 的内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334B.6＋324 C.326－24 D.36－324答案 A解析 根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C 得a ＋2b ＝2c ，c＝a ＋322，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a＝a 8＋34a －24≥2a 8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a ，即a ＝6时，等号成立，此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334.6．2016·郑州质量预测]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736答案 D解析 sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cos B sin A ，sin2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.二、填空题7．已知tan α，tan β是lg (6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.答案 1解析 lg (6x 2－5x ＋2)＝0⇒6x 2－5x ＋1＝0，∴tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. 8．2016·贵阳监测]在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，若sin 2B2＝c －a2c ，则△ABC 的形状一定是________．答案 直角三角形解析 由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝ac ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac ，整理，得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．9．2016·西安质检]已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，若△ABC 的面积为453，则△ABC外接圆的半径为________．答案 14解析 因为a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22×5k ×3k ＝－12.因为A 是△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝32，因为△ABC 的面积为453，所以12bc sin A ＝453，即12×5k ×3k ×32＝453，解得k ＝2 3.由正弦定理a sin A ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，即2R ＝7ksin A ＝14332，解得R ＝14，所以△ABC 外接圆半径为14.三、解答题10．2016·重庆测试]在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B ＋C2＋sin2A ＝1.(1)求A ；(2)设a ＝23－2，△ABC 的面积为2，求b ＋c 的值． 解 (1)由2cos 2B ＋C 2＋sin2A ＝1可得，21＋cos (B ＋C )2＋2sin A cos A ＝1，所以1＋cos(π－A )＋2sin A cos A ＝1，故2sin A cos A －cos A ＝0. 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ≠0，故sin A ＝12， 从而A ＝π6.(2)因为△ABC 的面积为12bc sin A ＝14bc ＝2，所以bc ＝8.因为A ＝π6，故cos A ＝32，由余弦定理可知，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝3bc .又a ＝23－2，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝(2＋3)bc ＋a 2＝8×(2＋3)＋(23－2)2＝32.故b ＋c ＝32＝4 2.11．2016·武汉调研]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解 (1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3. ∴△ABC 的面积的最大值为 3.12．2016·济宁模拟]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， 因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C ，又0<C <π2， 则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1又因为f (2A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤3＋12，32.典题例证2016·天津高考]已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． [规范解答] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎭⎬xx ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3＝sin2x －3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪ －π12＋k π≤x ≤5π12＋⎭⎬⎫k π，k ∈Z . 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 模型归纳利用y ＝sin x (y ＝cos x )的图象及性质解决三角函数性质的模型示意图如下：典题例证△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[规范解答] (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.模型归纳利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：专题四 数列第一讲 等差与等比数列必记公式]1．等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d.2．等差数列前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2. 3．等比数列通项公式：a n ＝a 1·q n －1.4．等比数列前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).5．等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．6．等比中项公式：a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．7．数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 重要结论]1．通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m ·q n －m .2．增减性：(1)等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．(2)等比数列中，若a 1>0且q >1或a 1<0且0<q <1，则数列为递增数列；若a 1>0且0<q <1或a 1<0且q >1，则数列为递减数列．3．等差数列{a n }中，S n 为前n 项和．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等差数列；等比数列{b n } 中，T n 为前n 项和．T n ，T 2n －T n ，T 3n －T 2n ，…一般仍成等比数列．失分警示]1．忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件．2．漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .3．忽略对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n 项和公式时应首先讨论公式q 是否等于1.4．a n －a n －1＝d 或a n a n －1＝q 中注意n 的范围限制． 5．易忽略公式a n ＝S n －S n －1成立的条件是n ≥2.6．证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前n 项和想当然得到数列的通项公式，易出错，必须用定义证明．7．等差数列的单调性只取决于公差d 的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q ，又要考虑首项a 1的正负．考点数列的概念、表示方法及递推公式典例示法 题型1 利用递推关系求通项公式典例1 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12D ．a n ＝n解析] 由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0，又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n ， 所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)， 所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)， 于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1. 答案] B(2)2015·江苏高考]设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为______． 解析] 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝ ⎛ 1－12＋12－ ⎭⎪⎫13＋…＋110－111＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 答案] 2011题型2 利用a n 与S n 的关系求a n典例2 2015·全国卷Ⅰ]S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋… ＋⎝ ⎛ 12n ＋1－ ⎦⎥⎥⎤ ⎭⎪⎪⎫12n ＋3＝n 3(2n ＋3).求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．(2)已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎨⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，求a n .(3)累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．(5)构造法：①递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n ＋1＋q p －1＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a n ＋q p －1(p ≠1)的形式，利用⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋q p －1是以p 为公比的等比数列求解；②递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1－1a n ＝1p 的形式．考点等差、等比数列的运算典例示法题型1 等差、等比数列的基本运算典例3 2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1， ∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12，故选C.答案] C题型2 等差、等比数列性质的运算典例4 2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析] 设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64. 答案] 641．等差(比)数列基本运算中的关注点(1)基本量在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本量．(2)解题思路①求公差d (公比q )：常用公式a n ＝a m ＋(n －m )d (a n ＝a m q n －m )； ②列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量．2．等差(比)数列的性质盘点考点等差、等比数列的判断与证明典例示法典例52014·全国卷Ⅰ]已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解](1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.因为a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{a n}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故a n＋2－a n＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n －3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．在本例题(2)中是否存在λ，使得{a n}为等比数列？并说明理由．解由题设可知a1＝1，a1a2＝λS1－1，得a2＝λ－1，由(1)知a3＝λ＋1，若{a n}为等比数列，则a22＝a1a3，即(λ－1)2＝λ＋1，解得λ＝0或λ＝3.当λ＝0时，a n a n＋1＝－1，又a1＝1，所以a2＝－1，a3＝1，…，a n＝(－1)n－1，所以数列{a n}为首项为1，公比为－1的等比数列；当λ＝3时，a1＝1，a2＝2，a3＝4，故可令a n＝2n－1，则a n a n＋1＝22n－1.λS n－1＝3·2n－4，易得a n a n＋1与λS n－1不恒相等，与已知条件矛盾．综上可知，存在λ＝0，使得{a n}为等比数列．1．等差数列的判定方法(1)证明一个数列{a n}为等差数列的基本方法有两种①利用等差数列的定义证明，即证明a n＋1－a n＝d(n∈N*)；②利用等差中项证明，即证明a n＋2＋a n＝2a n＋1(n∈N*)．(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断． ①通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列．②前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }是等差数列．2．等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：若判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明前三项不是等差(等比)数列即可．针对训练2016·云南统测]在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和是S n .(1)证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； (2)比较a n 与S n ＋7的大小．解 (1)证明：∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n ，∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列． 由a 1＝35，b n ＝1a n －1得b 1＝－52，∴S n ＝－5n 2＋n (n －1)2＝n 22－3n .(2)由(1)知：b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1得a n ＝1＋1b n ＝1＋1n －72.∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋1n －72.∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝1n －72也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n －7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴∀n ∈N *，a n －S n －7≤0，∴a n ≤S n ＋7.全国卷高考真题调研]1．2016·全国卷Ⅰ]已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n3， 因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.2．2016·全国卷Ⅲ]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解 (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.其它省市高考题借鉴]3．2016·北京高考]已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案 6解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝6，2a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝6，d ＝－2，所以S 6＝6a 1＋12×6×5d ＝36＋15×(－2)＝6.4．2015·广东高考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1， ∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋54 )＋1，解得a 4＝78.(2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1，∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n )＝2[(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1) ]，∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n )＝12[ (S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1) ]， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n .又a 3－12a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12a 1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列． (3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，两边同乘以2n ＋1得，a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n ＝4. 又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝2(2n －1)2n ＝2n －12n －1.一、选择题1．2015·重庆高考]在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2．2016·山西四校联考]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．31B ．36C ．42D ．48答案 A解析 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎨⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且公比q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎨⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2(q ＝－2舍)，所以S 5＝1×(1－25)1－2＝31，故选A.3．2016·唐山统考]设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310 D ．1或2答案 B解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.4．2015·浙江高考]已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4 >0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0答案 B解析 由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.5．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n的最小值为()A ．2B ．16 C.114 D.32答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2＝q ＋2⇒q ＝－1(舍)或q ＝2，∴a n ＝a 1·2n －1，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2m ＋n －2＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114.6．2016·吉林长春质量监测]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1 C.2n －12n －1 D.n ＋12n ＋1 答案 A解析 设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝4，b 2＝8，{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，S n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n ＝4. 当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2(n ＋1)n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，又因为a 11＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *)，a n ＝n 2n －1(n ∈N *)，故选A.二、填空题7．2015·广东高考]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.答案 10解析 利用等差数列的性质可得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，从而a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，故a 5＝5，所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.8．2016·辽宁质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________.答案 66解析 依题a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差得，a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×(1－33)1－3＝66.9．2016·云南统考]在数列{a n }中，a n >0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是________．答案 100101 解析由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0，又a n >0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以1a 1－1为首项，－1为公差的等差数列，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101.三、解答题10．2016·蚌埠质检]已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 23a 2n ＋3，且{b n }为递增数列，若c n ＝4b n ·b n ＋1，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1.解 (1)设该等比数列的公比为q ， 则根据题意有3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q ＋1q 2＝9， 从而2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a n ＝3；当q ＝－12时，a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3. (2)证明：若a n ＝3，则b n ＝0，与题意不符，故a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3，此时a 2n ＋3＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n，∴b n ＝2n ，符合题意． ∴c n ＝42n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1，从而c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1－1n ＋1<1.11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15， 解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2， 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22， 解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列． 12．2016·西安质检]等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎨⎧q (2＋d )＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43，q ＝9.(舍去)故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1，。
2013版高考数学考前3个月(上)专题复习课件专题二第二讲三角变换与解三角形
＝153×12659＝153.
第二讲
题型与方法
(2)由 accos B＝12，知 cos B>0. 由 sin B＝153，得 cos B＝±1123(舍去负值).
本 讲
从而，b2＝ac＝co1s2B＝13.
栏
目 由余弦定理，得 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B.
开 关
代入数值，得 13＝(a＋c)2－2×13×1＋1123.
第二讲
题型三 三角函数的实际应用
题型概述 三角函数的实际应用是高考的热点之一，该类问
本 讲
题解决的关键是建立三角形或三角函数模型，转化为数学
栏 目
问题.
开
关
题型与方法
第二讲
例 3 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象
观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C 三地位于同一水平面上，
在 C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点 A、B 两地相距 100 米，
题型与方法
第二讲
变式训练 3 如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A
的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两
本 点的距离为
讲 栏 目 开 关
()
A.50 2 m C.25 2 m
B.50 3 m 25 2
题型概述
三角恒等变换主要形式是三角函数式的求值.包
栏 目
括：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒
开 关
等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些
三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；(3)“给
值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角.
2013版高考数学 考前3个月(上)专题复习 专题二 第二讲 三角变换与解三角形课件
关
＝153×35＋1123×45＝6635.
题型与方法
第二讲
方法提炼 求值问题的基本思路：(1)发现差异：观察角、函
数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”；(2)寻找联系：
本 运用相关公式，找出差异之间的内在联系；(3)合理转化：选
讲 栏
择恰当的公式，促使差异的转化.
目
开
关
题型与方法
第二讲
变式训练 1 已知 α∈0，π2，β∈π2，π，cos 2β＝－79，sin(α
解得 a＋c＝3 7.
第二讲
题型与方法
第二讲
方法提炼 解三角形的一般方法是：
(1)已知两角和一边，如已知 A、B 和 c，由 A＋B＋C＝π 求 C，
由正弦定理求 a、b.
本 讲
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a、b 和 C，应先用余弦
栏 目
定理求 c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A
考点与考题
第二讲
第二讲 三角变换与解三角形
本
讲 【考点整合】
栏 目
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
开 关
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝1t∓atnanα±αttaannββ.
题型与方法
第二讲
变式训练 3 如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A
的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两
本 点的距离为
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高考数学(理)《专题二第二讲三角恒等变换、解三角形及其应用》二轮复习
第二讲 三角恒等变换、解三角形及其应用1．(2013·山西省高三上学期诊断考试)已知sin(π2＋θ)＝35，则cos(π－2θ)＝( )A.1225 B ．－1225C ．－725 D.7252．(2013·高考湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.π123．若cos(3π－x )－3cos(x ＋π2)＝0，则tan(x ＋π4)等于( ) A ．－12B ．－2 C.12D ．2 4．(2013·高考陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.17B.15C.152 D ．36．(2013·高考四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________，a ＝________． 8．某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31 km 的公路上的B 处有一个人开车正沿着此公路向A 驶去，行驶20 km 到达D ，此时测得CD 距离为21 km ，若此人从D 处必须在20分钟内到达A 处，则此人的行驶速度为________．9．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值； (2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 的值．10．(2013·青岛市质检)如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝4 3，D 为BC 边上一点． (1)若AD ＝2，S △DAC ＝2 3，求DC 的长；(2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．11．(2013·高考重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos （α＋A ）cos （α＋B ）cos 2α＝25，求tan α的值．答案：1．【解析】选D.依题意得sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos 2θ＝1－2×(35)2＝725，故选D. 2．【解析】选A.在△ABC 中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)． ∵2a sin B ＝3b ，∴2sin A sin B ＝3sin B .∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3. 3．【解析】选D.由cos(3π－x )－3cos(x ＋π2)＝0，得tan x ＝13. 所以tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝13＋11－13＝2. 4．【解析】选B.∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形． 5．【解析】选C.∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0.即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78， 解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2× 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝152. 6．【解析】∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 【答案】 37．【解析】根据正弦定理得：b sin B＝csin C，则c＝b sin Csin B＝2 2，再由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac cos B，即a2－4a－12＝0，(a＋2)·(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．【答案】2 2 68.【解析】由已知得∠CAD＝60°，CD＝21，BC＝31，BD＝20，∴cos B＝BC2＋BD2－CD22BC·BD＝312＋202－2122×31×20＝2331，那么sin B＝12331，于是在△ABC中，AC＝BC·sin Bsin A＝24，在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos 60°，即312＝242＋AB2－24AB解得AB＝35或AB ＝－11(舍去)．因此，AD＝AB－BD＝35－20＝15，故此人在D处距A处还有15 km，则此人的行驶速度为45 km/h.【答案】45 km/h9．【解】(1)f⎝⎛⎭⎪⎫π9＝tan⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tanπ3＋tanπ41－tanπ3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3.(2)因为f⎝⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①、②解得cos2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255.所以cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcosπ4＋sin αsinπ4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.10．【解】(1)∵S△DAC＝23，∴12·AD·AC·sin∠DAC＝23，∴sin∠DAC＝12.∵∠DAC<∠BAC<π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6. 在△ADC 中，由余弦定理，得DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6， ∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3， ∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin 2π3＝DC sin （π3－C ）， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin(π3－C )， ∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin(π3－C )＋4 3 ＝8(sin C ＋32cos C －12sin C )＋4 3 ＝8(12sin C ＋32cos C )＋4 3 ＝8sin(C ＋π3)＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0<C <π3，∴π3<C ＋π3<2π3， ∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3. 11．【解】(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22. 故C ＝3π4. (2)由题意得，（sin αsin A －cos αcos A ）（sin αsin B －cos αcos B ）cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25. tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22. 因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝22. 解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得，tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。
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专题二第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2012·三明模拟)已知0＜α＜π，且tan α＝34，则cos α等于A．－35B.35C．－45D.45解析∵0＜α＜π，tan α＝34＞0，∴0＜α＜π2，由tan α＝sin αcos α＝34，且sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝4 5 .答案 D2．(2012·门头沟一模)在△ABC中，已知∠A＝π4，∠B＝π3AB＝1，则BC为A.3－1B.3＋1C.63D. 2解析∵A＝π4，B＝π3，∴C＝5π12，由正弦定理可得BC＝ABsin C·sin A＝1 sin 5π12×sinπ4＝3－1.答案 A3．(2012·济宁一模)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于A.32B.34C.32或34D.32或3解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即1＝a 2＋3－2a 3×32， 化简得a ＝1或a ＝2. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝34或32.答案 C4．(2012·宜春模拟)设A ，B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin A －sin C ＝sin B ，cos A ＋cos C ＝cos B ，则B －A 等于A ．－π3B.π3 C ．－π6D.π3或π3解析 由已知条件得：sin C ＝sin A －sin B ，cos C ＝cos B －cos A ， 两式平方相加，得1＝2－2cos(B －A )，∴cos(B －A )＝12.∵sin C ＝sin A －sin B ＞0，∴sin A ＞sin B . 又∵A ，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＞B .∴B －A ＜0. 又∵B －A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴B －A ＝－π3. 答案 A5．如图所示，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α＜β)，则A 点距地面的高AB 等于A.a sin αsin βsin (β－α)B.a sin αsin βcos (β－α)C.a sin αcos βsin (β－α)D.a cos αcos βcos (β－α)解析AB＝AC sin β，ACsin α＝DCsin∠DAC＝DCsin (β－α)解得AC＝a sin αsin (β－α)，∴AB＝a sin αsin βsin (β－α).答案 A6．(2012·临沂一模)在△ABC中，a＝4，b＝52，5cos (B＋C)＋3＝0，则角B的大小为A.π6B.π4C.π3D.5π6解析由5cos(B＋C)＋3＝0得5cos A＝3，cos A＝3 5，所以sin A＝45，因为a＞b，所以A＞B，即B为锐角，由正弦定理知asin A ＝bsin B，所以sin B＝b sin Aa＝52×454＝12.所以B＝π6，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·青岛二模)若tan α＝2，则sin αcos α＝________.解析sin αcos α＝sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan αtan2α＋1＝25.答案2 58．在△ABC中，若b＝5，B＝π4tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.解析因为在△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且sin Acos A＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立方程组，解得sin A＝25 5.再由正弦定理，得asin A ＝b sin B.代入数据，解得a＝210.答案2552109．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析由已知条件及三角函数的定义可得sin C＝12，在△ADC中利用正弦定理即可求解．在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴cos C＝32，∴sin C＝12；在△ADC中，由正弦定理得，ADsin C ＝ACsin ∠ADC，∴AD＝222×12＝ 2.答案 2三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2012·沈阳模拟)如图已知A，B，C是一条直路上的三点，AB＝1 km，BC ＝2 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东60°，在B处看见塔在正东方向，在C处南偏东60°，求塔M到直线ABC的最短距离．解析由条件可知∠CMB＝30°，∠AMB＝30°，又AB＝1 km，BC＝2 km，所以△CMB和△AMB的面积比为2∶1，即，所以MC＝2MA；在△ACM中，由余弦定理可得：9＝MC2＋MA2－2·MC·MA·cos 60°，MA＝3，△ACM为直角三角形，M到ABC的最短距离为 3.11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求a的值．解析(1)解法一由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R，得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，代入cos Bcos C＝－b2a＋c，得cos Bcos C＝－sin B2sin A＋sin C，即2sin A cos B＋sin C cos B＋cos C sin B＝0，所以2sin A cos B＋sin(B＋C)＝0.又A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A.所以2sin A cos B＋sin A＝0.又sin A≠0，所以cos B＝－1 2 .又角B为三角形的内角，所以B＝2π3 .解法二由余弦定理cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab，代入cos Bcos C＝－b2a＋c，得a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c.整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.又角B为三角形的内角，所以B＝2π3 .(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝2π3代入余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，得13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos 2π3，整理，得a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.12．(2012·广州模拟)已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，m＝(a，cos B)，n＝(cos A，－b)，a≠b，已知m⊥n.(1)判断三角形的形状，并说明理由；(2)若y＝sin A＋sin Bsin A sin B，试确定实数y的取值范围．解析(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴a cos A－b cos B＝0.由正弦定理知，asin A ＝bsin B，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B. ∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.∴A＝B(舍去)，A＋B＝π2 .所以三角形ABC是直角三角形．(2)∵sin B ＝cos A ，∴y ＝sin A ＋cos Asin A cos A.∵sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1， ∴sin A ＋cos A ∈(1，2]，令sin A ＋cos A ＝t ∈(1，2]，sin A cos A ＝t 2－12，∴x ＝2t t 2－1＝2t －1t.∵t －1t 在(1，2)单调递增，∴0＜t －1t ≤2－12＝22.∴x ≥22，∵a ≠b ，故x 的取值范围为(22，＋∞)．。