2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(47)直线与圆、圆与圆的位置关系
高三数学一轮复习课时作业1：直线、圆与圆的位置关系
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2013·南京、淮安二模)在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝4交于M ，N 两点，若MN ≥23，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．2．(2013·苏中三市、连云港、淮安三调)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为________．3．(2014·苏州期末)已知圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0相交，则实数m 的取值范围为________．4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 5．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于________．6．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________________．7．(2014·苏锡常镇调研)已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1(a >0)与直线y ＝3x 相交于P ，Q 两点，若∠PCQ ＝90°，则实数a ＝________.8．(2013·南京、盐城三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m )x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1,0)．若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为________．9．(2014·泰州质检)已知P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝1内一点，直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，则直线x ＋y ＋m ＝0与圆C 的位置关系是________．10．(2013·盐城二模)过点(2,3)且与直线l 1：y ＝0和l 2：y ＝34x 都相切的所有圆的半径之和为________．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇二调)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝64，圆O 1与圆O 相交，圆心为O 1(9,0)，且圆O 1上的点与圆O 上的点之间的最大距离为21.(1)求圆O 1的标准方程；(2)过定点P (a ，b )作动直线l 与圆O ，圆O 1都相交，且直线l 被圆O ，圆O 1截得的弦长分别为d ，d 1，若d 与d 1的比值总等于同一常数λ，求点P 的坐标及λ的值．2．(2014·苏北四市一检)在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为 6.(1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于点D ，E ，当DE 的长最小时，求直线l 的方程；(3)设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点N ，若直线MP ，NP 分别交x 轴于点(m,0)和(n,0)，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．3.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．『解析』设直线l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0. 由MN ≥23知圆心C (3,1)到直线l 的距离d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，化简得4k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤34.『答案』⎣⎡⎦⎤0，34 2．『解析』因为点Q 的坐标满足方程x －2y －6＝0，圆心C (1,0)到此直线的距离为d ＝|1－6|5＝5，又圆C 的半径为2，故所求最小值为5－2. 『答案』5－23．『解析』依题意可知圆x 2＋y 2＝m 的圆心坐标是C 1(0,0)，半径为m ，圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0的圆心坐标是C 2(－3,4)，半径为6，易知C 1C 2＝5.因为两圆相交，从而有|m －6|<C 1C 2<m ＋6，即|m －6|<5<m ＋6，解得1<m <121，所以实数m 的取值范围为(1,121)．『答案』(1,121)4．『解析』由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.『答案』45．『解析』依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3x －1得，点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 『答案』346．『解析』法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ≠－1)，则圆心为－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ. ∵圆心在公共弦所在直线上， ∴4×－12λ－1221＋λ＋3－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.『答案』x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝07．『解析』因为∠PCQ ＝90°，所以△PCQ 为等腰直角三角形，故圆心到直线的距离d ＝2a 10＝22，即4a ＝20，解得a ＝52.『答案』528．『解析』法一：设直线l ：y ＝k (x －1)， 即kx －y －k ＝0.又C (3－m,2m )，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|k 3－m －2m －k |k 2＋1＝|2k －k ＋2m |k 2＋1.而弦长为2r 2－d 2，圆C 的半径为3，要使弦长为定值，则d 是与m 无关的量， 故k ＋2＝0，即k ＝－2， 则直线l 的方程为2x ＋y －2＝0.法二：由已知得圆C 的圆心C (3－m,2m )，半径r ＝3.圆心C 的轨迹方程是l 0：2x ＋y －6＝0.要使直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 与l 0平行，故直线l 的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.『答案』2x ＋y －2＝09．『解析』由点P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝1内一点，得5|t |<1；又因为直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，所以|m |5|t |＝1，所以|m |<1.圆C 的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2<1＝r .所以位置关系为“相交”．『答案』相交10．『解析』因为点(2,3)在直线l 2：y ＝34x 的上方，故满足条件的圆的圆心(a ，b )一定在线性区域⎩⎪⎨⎪⎧y >0，3x －4y <0中，所以由|b |＝a －22＋b －32＝|3a －4b |5得b ＝a －22＋b －32＝4b －3a5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝39，，从而圆的半径为3或39，所求半径之和为42.『答案』42第Ⅱ组：重点选做题1．『解』(1)由题意，得圆O 的圆心为(1,0)，半径为8，圆O 1的圆心为(9,0)，则两圆心的距离为9.又两圆上的点之间的最大距离为21.得圆O 1的半径为4.所以圆O 1的标准方程为 (x －9)2＋y 2＝16.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y －b ＝k (x －a )，即y －kx ＋ka －b ＝0. 则点O ，O 1到直线l 的距离分别为 h ＝|ka －b |1＋k 2，h 1＝|－9k ＋ka －b |1＋k 2，从而d ＝264－ka －b 21＋k 2，d 1＝216－－9k ＋ka －b 21＋k 2.由dd 1＝λ，得d 2＝λ2d 21.所以 64－ka －b 21＋k 2＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－－9k ＋ka －b 21＋k 2.整理得『64－a 2－16λ2＋λ2(a －9)2』k 2＋2b 『a －λ2(a －9)』k ＋64－b 2－λ2(16－b 2)＝0. 由题意，知上式对于任意实数k 恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧64－a 2－16λ2＋λ2a －92＝0， ①2b [a －λ2a －9]＝0， ②64－b 2－λ216－b 2＝0. ③由②，得b ＝0或a －λ2(a －9)＝0.③式中，若b ＝0，则64－16λ2＝0，解得λ＝2(负根舍去)．从而a ＝6或18，b ＝0. 所以λ＝2，点P 的坐标为(6,0)或(18,0)；②式中，若a －λ2(a －9)＝0，显然a ＝9不符合题意， 从而λ2＝a a －9，代入①得3a 2－43a ＋192＝0.但Δ＝432－4×3×192＝－455<0，因此该方程无实数根，舍去．当点P 的坐标为(6,0)时，若直线l 的斜率不存在，此时d ＝47，d 1＝27，所以dd 1＝2，也符合题意．综上所述，满足题意的λ＝2，点P 坐标有2个，分别为(6,0)和(18,0)． 2．『解』(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝12， 所以圆O 的半径为⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫622＝ 2. 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设直线l 的方程为 x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 即bx ＋ay －ab ＝0， 由直线l 与圆O 相切，得|ab |a 2＋b2＝2，即1a 2＋1b 2＝12.所以DE 2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)·⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝2⎝⎛⎭⎫2＋b 2a 2＋a 2b 2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 所以当DE 的长最小时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (3)法一：设点M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)， 则N (x 1，－y 1)，x 21＋y 21＝2，x 22＋y 22＝2.直线MP 与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，0，则m ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1；直线NP 与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1，0则n ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1.所以mn ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1·x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21＝2－y 21y 22－2－y 22y 21y 22－y 21＝2. 故mn 为定值2.法二：设点M (2cos α，2sin α)，P (2cos β，2sin β)， 则点N (2cos α，－2sin α)． 直线MP 与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin αcos β－cos αsin βsin α－sin β，0， 则m ＝2sin αcos β－cos αsin βsin α－sin β；直线NP 与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin αcos β＋cos αsin βsin α＋sin β，0， 则n ＝2sin αcos β＋cos αsin βsin α＋sin β.所以mn ＝2sin αcos β－cos αsin βsin α－sin β·2sin αcos β＋cos αsin βsin α＋sin β＝2sin 2αcos 2β－cos 2 αsin 2βsin 2α－sin 2β＝2[sin 2α1－sin 2β－1－sin 2αsin 2β]sin 2α－sin 2β＝2sin 2α－sin 2βsin 2α－sin 2β＝2.故mn 为定值2.3．『解』(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－4|1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为 y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P (a ，b )满足条件， 不妨设直线l 1的方程为 y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12，或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1(52，－12)或点P 2(－32，132)．经检验点P 1和P 2满足题目条件．。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：直线与圆、圆与圆的位置关系
3－4sin25θ＋1，
所以 1≤4sin25θ＋1<3，
所以 2 r2－d2＝2 3－4sin25θ＋1∈(0,2 2]. 所以当 4sin2θ＋1＝5，即 sin2θ＝1 时，弦长有最大值 2 2.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2 2)2＝16和两点A(0，－m)， B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为
则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以 d＝ a2r＋2 b2<|r|，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0， 即a2＋b2＝r2， 所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|，则直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.4 直线与圆、圆与 圆的位置关系
考试要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
第67讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
第67讲 直线与圆、圆与圆的位置关系【考点解读】1.能根据给定直线、圆的方程．判断直线与圆的位置关系；2.能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．【知识扫描】1．直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系有两种方法：①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，若直线与圆相离，则r d >；若直线与圆相切，则r d =；若直线与圆相交，则r d < ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0>∆，则直线与圆相离；若0=∆，则直线与圆相切；若0<∆，则直线与圆相交。
2．两圆的的位置关系：(1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d ，若两圆相外离，则r R d +> ，公切线条数为4； 若两圆相外切,则r R d +=，公切线条数为3； 若两圆相交r R d r R +<<-，则，公切线条数为2；若两圆内切，则r R d -=，公切线条数为1；若两圆内含，则r R d -<，公切线条数为0。
(2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 3． 圆的切线问题⑴利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解；⑵利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1；⑶利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=∆来求解。
特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为200r y y x x =+, 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--。
高三数学第一轮复习课时作业(47)直线与圆、圆与圆的位置关系
课时作业(四十七) 第47讲 直线与圆、圆与圆的位置关系时间：45分钟 分值：100分基础热身1．直线x ＋3y －2＝0被圆(x －1)2＋y 2＝1截得的线段的长为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．6π3．2011·哈尔滨九中二模 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 D.⎝⎛⎭⎫－18，18 4．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的取值集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{2,7} 能力提升5．2011·山东实验中学二模 圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝⎛⎭⎫θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定6．2011·重庆卷 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 27．2011·吉林一中冲刺 曲线y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤512，34B.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫13，34 D.⎝⎛⎭⎫0，512 8．2010·江西卷 直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 9．2011·郑州三模 若函数f (x )＝1be ax 的图像在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定10．2011·吉林一中冲刺 在平面直角坐标系xOy 中，已知x 2＋y 2＝4圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．11．2010·山东卷 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．12．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|＋|≥||，那么实数m 的取值范围是________．13．2011·江苏卷 设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．15．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．难点突破16．(12分)已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)．(1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．课时作业(四十七)【基础热身】1．C 解析 圆心到直线的距离d ＝|1＋0－2|12＋(3)2＝12， ∴弦长l ＝2r 2－d 2＝ 3.2．B 解析 圆即x 2＋(y －6)2＝32，数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一，即13×(2π)×3＝2π.3．C 解析 圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点线距离公式得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18，解得－24<k <24.4．C 解析 集合A ，B 表示两个圆，A ∩B 中有且仅有一个元素即两圆相切，有内切和外切两种情况，由题意，外切时，r ＝3；内切时，r ＝7，即r 的值是3或7.【能力提升】5．A 解析 圆心到直线的距离d ＝11＋sin 2θ，根据θ的取值范围，0≤sin 2θ<1，故d >12＝r ⎝⎛⎭⎫注意条件θ≠π2＋k π，k ∈Z 时，sin θ≠±1..6．B 解析 将圆方程配方得(x －1)2＋(y －3)2＝10. 设圆心为G ，易知G (1,3)．最长弦AC 为过E 的直径，则|AC |＝210.最短弦BD 为与GE 垂直的弦，如图1－2所示． 易知|BG |＝10，|EG |＝(0－1)2＋(1－3)2＝5， |BD |＝2|BE |＝2BG 2－EG 2＝2 5.所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC ||BD |＝10 2.故选B.7．A 解析 曲线y ＝1＋4－x 2为一个半圆，直线y ＝k (x －2)＋4为过定点的直线系，数形结合、再通过简单计算即可．曲线和直线系如图，当直线与半圆相切时，由|－2k －1＋4|1＋k2＝2，解得k ＝512，又k AP ＝34，所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.8．C 解析 直线过定点(0,3)d ＝1，再由点到线的距离公式可得|2k －3＋3|1＋k 2k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33时，弦长|MN |≥2 3.9．B 解析 f ′(x )＝a b e ax，所以在x ＝0处的切线斜率为k ＝a b⎝⎛⎭⎫0，1b ，切线方程为y －1b ＝abx ，即ax －by ＋1＝0，它与圆x 2＋y 2＝1相离，所以圆心到该直线的距离大于1，即1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1，所以点在圆内．10．(－13,13) 解析 直线12x －5y ＋c ＝0是平行直线系，当圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到该直线的距离等于1时，得保证圆心到直线的距离小于1，即|c |13<1，故－13<c <13.11．x ＋y －3＝0 解析 由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知： ⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.12．(－2，－2∪2，2) 解析 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝4m 2－8(m2－2)>0得m 2<4，即－2<m <2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－22，|＋|≥||即|＋|≥|－|，平方得·≥0，即x 1x 2＋y 1y 2≥0，即x 1x 2＋(m ＋x 1)(m ＋x 2)≥0，即2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2≥0，即2×m 2－22＋m (－m )＋m 2≥0，即m 2≥2，即m ≥2或m ≤－ 2.综合知－2<m ≤－2或2≤m <2.方法2：根据向量加减法的几何意义|＋|≥||等价于向量，的夹角为锐角或者直角，由于点A ，B 是直线x＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m 满足1≤|m |2<2，即－2<m ≤－2或者2≤m <2.13.12≤m ≤2＋ 2 解析 若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而由|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋22，矛盾；若m ＝0，则代入后可知矛盾；若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于12，即直径不小于1，集合B表示一个带形区域，且两直线间距离为22， 从而当直线x ＋y ＝2m 与x ＋y ＝2m ＋1中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即可符合题意，从而有 |2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋2，所以综上所述，实数m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.14．解答 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题知所求圆与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切， 则(a －1)2＋b 2＝r ＋1.①又所求圆过点M 的切线为直线x ＋3y ＝0， 故b ＋3a －3＝ 3.② |a ＋3b |2＝r .③ 解由①②③组成的方程组得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 15．解答 设存在直线方程为y ＝x ＋b 满足条件，代入圆的方程得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，直线与该圆相交则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，解得－3－32<b <－3＋3 2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，以AB 为直径的圆过原点时，AO ⊥BO ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，把上面式子代入得b2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1，都在－3－32<b <－3＋32内，故所求的直线是y ＝x －4或y ＝x ＋1.【难点突破】16．解答 (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b21，即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0，即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2，得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a －2)(b －2)＝2得ab ＋2＝2(a ＋b )≥4ab ，解得ab ≥2＋2(舍去ab ≤2－2)，当且仅当a ＝b 时，ab 取最小值6＋42，所以△AOB 面积的最小值是3＋2 2.。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第6课时 直线与椭圆
第九章
第6课时
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4 则 x1·2＝0，x1＋x2＝ ，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－ x 3 4 1 (x1＋x2)＋1＝1－3＝－3， 1 1 → → OA· ＝x1x2＋y1y2＝0－3＝－3. OB
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理）
因为直线与椭圆恒有公共点，故 Δ＝(10k)2－4×(5k2 ＋m)×5(1－m)＝20(5k2m－m＋m2)≥0 因为 m>0，所以不等式等价于 5k2 －1＋m≥0，即 1－m 1－m k ≥ 5 ，由题意，可知不等式恒成立，则 5 ≤0，解
2
得 m≥1. 综上 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5.
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【解析】 m≠5. 将直线与椭圆的方程联立方程组，得 解法一
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由椭圆的方程，可知 m>0，且
y－kx－1＝0，① 2 2 x y 由①，得 y＝kx＋1， 5 ＋m＝1，②
2 x2 kx＋1 代入②，得 5 ＋ m ＝1，
整理，得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
得(a2＋3b2)y2＋8 3b2y＋16b2－a2b2＝0， 由 Δ＝0，可得 a2＝7，∴2a＝2 7.
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2．若直线 mx＋ny＝4 与⊙O：x2＋y2＝4 没有交点， x2 y2 则过点 P(m，n)的直线与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的交点个数是 ( ) A．至多为 1 C．1
答案 1 －3
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第6课时
课时跟踪检测(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系
课时跟踪检测(五十三)直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2014·人大附中月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为()A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切2．(2012·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A．2 5 B．2 3C. 3 D．13．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝04．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A. 2B. 3C．2 D．35．(2013·湛江模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1, 2＋1)C．(0, 2－1) D．(0, 2＋1)6．(2013·梅州模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为()A. 2B.21 2C．2 2 D．27．(2013·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．8．(2013·肇庆模拟)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．9．(2012·江西高考)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．10．(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．2．(2014·中山模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．3.(2013·江西六校联考)已知抛物线：C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．答 案A 级1．C 2.B 3.A 4.C5．选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1， 所以四边形面积的最小值为 2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2， 解得k 2＝4，即k ＝±2.又k ＞0，即k ＝2.7．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1， 即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为 2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．解析：因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°， 所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为0，125. 11．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)因为|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， 所以C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2t t ＝2t 2＝12，所以t ＝2或t ＝－2. 所以圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)，Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . B 级1．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝0 2302．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.。
高考数学一轮复习 7.4直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理-人教版高三全册数学试题
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系基础回顾一、点与圆的位置关系若圆(x －a)2＋(y －b) 2＝r 2，那么点(x 0，y 0)在圆上⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2；圆外⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＞r 2；圆内⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＜r 2． 二、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交．有两种判断方法： 1．代数法(判别式法)．Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 2．几何法：圆心到直线的距离⎩⎪⎨⎪⎧d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离Ｗ.一般宜用几何法．三、圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含 设圆O 1与圆O 2的半径分别为r 1和r 2，于是有 1.||O 1O 2>r 1＋r 2⇔相离． 2.||O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切．3.||r 1－r 2<||O 1O 2<r 1＋r 2⇔相交．4.||O 1O 2＝||r 1－r 2⇔内切．5.||O 1O 2<||r 1－r 2⇔内含． 四、弦长求法一般采用几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2.基础自测Ｋ1．直线y ＝kx ＋2与圆：x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是(B )A ．k ∈(－2，2)B ．k ∈(－3，3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：由圆心到直线的距离公式可得d ＝|2|1＋k2>1，解得－3<k<3，故选B.2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(A )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 解析：点(1，2)关于y ＝x 对称的点为(2，1)．3．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为2x －y ＝0．解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1，2)，故所求直线方程为2x －y ＝0.4．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：()x －12＋()y －12＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为2．解析：如图，过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD 长即为所求．∵C ：()x －12＋()y －12＝2的圆心为C ()1，1，半径为2， 点C 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝||1－1＋42＝22，∴|AD|＝|CD|－|AC|＝22－2＝2，故C 上各点到l 的距离的最小值为 2.高考方向1.直线与圆的三种位置关系、弦长、最值等是近几年高考命题的热点.2.常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性、平面几何性质结合考查.3.题型主要以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现，属中低档题.品味高考1．(2014·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为2555．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555. 2．(2014·某某卷)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A(m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值X 围为[2，3]．解析：设Q(6，q)，由AP →＋AQ →＝0得P(2m －6，－q)，又点P 在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2m－6≤0，0≤4－（2m －6）2≤4，解得2≤m≤3.高考测验1．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线l 的距离最大值为(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：直线l ：2x ＋y ＝0是确定的，圆上的动点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径．圆的圆心为(1，－2)，半径为3，因为点(1，－2)在直线l ：2x ＋y ＝0上，所以，最大距离为圆的半径3.故选C.2．已知x 、y 满足x 2＋y 2＝4，则z ＝3x －4y ＋5的取值X 围是(A ) A ．[－5，15] B ．[－10，10] C ．[－2，2] D ．[0，3]解析：z ＝3x －4y ＋5 即直线 3x －4y ＋5－z ＝0，由题意可得直线和圆 x 2＋y 2＝4有交点，故有|0－0＋5－z|9＋16≤2，化简可得－10≤z－5≤10，解得－5≤z≤15，故选A.课时作业1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是(C ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心解析：圆心C(0，0)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝11＋k 2＜11＜2＝r ，且圆心C(0，0)不在该直线上. 故选C.2．直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为(D ) A.π3B.π6C.π2D.2π3 解析：弦心距为d ＝|0＋0＋2|12＋12＝1，r ＝2， ∴cos θ2＝12，∴θ＝2π3.故选D.3．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为(B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：将圆方程配方得(x －1)2＋(y －3)2＝10. 设圆心为G ，易知G(1，3)．最长弦AC 为过点E 的直径，则|AC|＝210.最短弦BD 为与GE 垂直的弦，如图所示．易知|BG|＝10，|EG|＝（0－1）2＋（1－3）2＝5，|BD|＝2|BE|＝2BG 2－EG 2＝2 5.所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD|＝10 2.故选B.4．(2013·某某四校联考)直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0上的点的最近距离是(C )A ．± 2 B.2－1 C ．22－1 D ．1解析：圆心坐标为(－2，1)，则圆心到直线y ＝x －1的距离d ＝|－2－1－1|2＝22，又圆的半径为1，则圆上的点到直线的最短距离为22－1.5．圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝8116与圆(x －sin θ)2＋(y －1)2＝116(θ为锐角)的位置关系是(D )A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交解析：两圆圆心之间的距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋（1＋1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4，因为θ为锐角，所以0<sin θ<1，12<sin θ＋12<32，174<⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4<254，所以172<d<52，又两圆的半径之和为52，两圆的半径之差的绝对值为2，所以两圆相交． 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值X 围是(D ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1，1＋22] D ．[1－22，3] 解析：曲线方程化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4＜(0≤y≤3)，即表示圆心为(2，3)半径为2的半圆，利用数形结合， 当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足 圆心(2，3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，∵是下半圆，故可得b ＝1＋22(舍去)，当直线过(0，3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a ＝1．解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件22－（3）2＝1a，即a ＝1.8．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋17＝0，过原点的直线l 被圆C 所截得的弦长最长，则直线l 的方程是x －y ＝0．解析：圆的最长弦为圆的直径，所以直线l 经过圆的圆心(3，3)，因为直线l 过原点，所以其方程为x －y ＝0.9．已知点A(－1，1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，从点A 发出的一束光线经过x 轴反射到圆C 的最短路程是9．解析：点A 关于x 轴的对称点为A′(－1，－1)，又圆心坐标为C(5，7)，圆的半径r ＝2，根据几何光学的性质，所求的最短路程为|A ′C|－r ＝（－1－5）2＋（－1－7）2－2＝8.10．已知圆C 1：x 2＋y 2＝2和圆C 2，直线l 与圆C 1相切于点A(1，1)，圆C 2的圆心在射线2x －y ＝0(x≥0)上，圆C 2过原点，且被直线l 截得的弦长为4 3.(1)求直线l 的方程； (2)求圆C 2的方程． 解析：(1)∵AO⊥l，∴k l ＝－1k OA＝－1.又∵切点为A(1，1)∴直线l 的方程是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设圆心C 2(a ，2a )(a≥0)，则r ＝5a ，∵C 2到直线l 的距离d ＝|3a －2|2，∴（3a －2）22＋12＝5a 2，化简得a 2＋12a －28＝0，解得a ＝2或a ＝－14(舍去)．∴C 2的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝20.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝1，由两圆外一点P(a ，b)引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，且满足|PA|＝|PB|.(1)某某数a 、b 间满足的关系式； (2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程，若不存在，说明理由．解析：(1)∵|PA|＝|PO|2－1，PB ＝|PC|2－1，∴a 2＋b 2＝(a －2)2＋(b －4)2，∴a ＋2b －5＝0为a ，b 满足的关系式．(2)|PA|2＝|PO|2－1＝(5－2b)2＋b 2－1＝5(b －2)2＋4， ∴当b ＝2时，|PA|min ＝2.(3)假设存在半径为r的圆P，满足题设，则|PO|＝r－1，|PC|＝r＋1，∴|PC|＝|PO|＋2，即（a－2）2＋（b－4）2＝a2＋b2＋2，化简得a2＋b2＝4－(a＋2b)，又∵a＋2b＝5.∴a2＋b2＝－1，不可能，∴不存在这样的圆P.。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 圆的方程
第九章
第3课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
即|AB|＝|GF|，又|AC|＝|GC|， ∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴|BC|＝|FC|. 设 C(a，b)，则|a|＝|b|， 又圆 C 过点 P(1,2)和 Q(－2,3)， ∴圆心在 PQ 的垂直平分线上， 5 1 即在 y－2＝3(x＋2)上， 即在 y＝3x＋4 上，∴b＝3a＋4. ② ①
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2013届高考一轮数学复习理科课件（人 教版）
第九章 平面解析几何
第九章
平面解析几何
高考调研
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第3课时
圆的方程
第九章
第3课时
高考调研
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1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程.
高三数学（新课标版· 理）
－4F>0
D E － ，－ 2 ，其中圆心为 2 ，半径为
D2＋E2－4F r＝ . 2
第九章
第3课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
4．点与圆的位置关系 设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0) ①点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝r2； ②点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2 > r2； ③点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 < r2.
第九章
第3课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
由①知
a＝－1， a＝± b，代入②得 b＝1，
a＝－2， 或 b＝－2
∴r＝ a－12＋b－22＝ 5或 5. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5 或(x＋2)2＋(y＋2)2＝25，即 x2＋y2＋2x－2y－3＝0 或 x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
高三数学课时作业：第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系
课时作业一、选择题1．设m＞0，则直线错误!(x＋y）＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为（)A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切C ［圆心到直线l的距离为d＝错误!，圆半径为错误!。
因为d－r＝错误!－错误!＝错误!(m－2错误!＋1）＝错误!（错误!－1）2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．］2．(2014·福建龙岩质检）直线x＋3y－2错误!＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则错误!·错误!＝( ) A．4 B．3C．2 D．－2C [由错误!消去y得:x2－错误!x＝0,解得x＝0或x＝错误!.设A（0，2），B(错误!，1）．∴错误!·错误!＝2,选C。
］3．(2012·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆（x－a)2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是（) A．［－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C ［欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径错误!即可，即错误!≤错误!,化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1。
]4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（) A。
2 B.错误!C．2 D．3C ［设圆上的点为（x0，y0)，其中x0>0，y0>0,则切线方程为x0x ＋y0y＝1。
分别令x＝0，y＝0得A错误!，B错误!，则｜AB|＝错误!＝错误!≥错误!＝2.当且仅当x0＝y0时，等号成立．]5．(2014·兰州模拟）若圆x2＋y2＝r2(r＞0）上仅有4个点到直线x －y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为（）A．（错误!＋1,＋∞）B．(错误!－1, 错误!＋1）C．（0，错误!－1) D．（0, 错误!＋1)A [计算得圆心到直线l的距离为错误!＝错误!＞1，如图．直线l:x －y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行,且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离错误!＋1。
高考数学一轮复习课时规范练47直线与圆、圆与圆的位置关系理新人教A
二、综合提升组 11.(2017 山东潍坊模拟,理 9)已知圆 M 过定点(0,1)且圆心 M 在抛物线 x2=2y 上运动,若 x 轴截圆 M 所得的弦为|PQ|,则弦长|PQ|等于( )
A.2
B.3
C.4
D.与点位置有关的值
12.已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有|OA + OB|≥ 33|AB|, 则 k 的取值范围是( )
2
〚导学号 21500573〛
课时规范练 47 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.C 直线 y=kx-1 恒经过点 A(0,-1),02+(-1)2-2×0-2=-1<0,则点 A 在圆内,故直线 y=kx-1 与圆 x2+y2-
2x-2=0 相交,故选 C.
2.C 圆心(1,0)到直线 x-
3y+3=0
A.( 3,+∞)
B.[ 2,+∞)
C.[ 2,2 2)
D.[ 3,2 2)
〚导学号 21500572〛
1
13.已知圆 C:x2+y2=4,过点 A(2,3)作圆 C 的切线,切点分别为 P,Q,则直线 PQ 的方程为 . 14.已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存 在,说明理由.
为 .
9.设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 3,则圆 C 的面积为 . 10.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则 实数 a= .
高三数学一轮复习课时作业13：§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 答案 B解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.2．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C 解析圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．3．(2018·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14答案 B解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.4．(2017·广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条答案 C解析如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．5．(2017·福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P 为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么()A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离答案 C解析∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2<r2.∵圆x2＋y2＝r2的圆心为O(0,0)，故由题意得OP⊥m，又k OP＝ba ，∴k m＝－ab，∵直线l的斜率为k l＝－ab＝k m，圆心O到直线l的距离d＝r2a2＋b2>r2r＝r，∴m∥l，l与圆相离．故选C.6．(2018·洛阳二模)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|P A|的最小值为()A.12 B ．1 C.2－1 D ．2－ 2答案 D解析 方法一 由题意可知，直线P A 与坐标轴平行或重合，不妨设直线P A 与y 轴平行或重合，设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)，∴|P A |＝|2－cos α－sin α|＝⎪⎪⎪⎪2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， ∴|P A |的最小值为2－2，故选D.方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝22＝2，∴圆C 上一点到直线x ＋y ＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|P A |min ＝2(2－1)＝2－2，故选D.7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 答案 4解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得x 1＝－3，y 1＝3；x 2＝0，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)． 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4. 8．(2017·兰州调研)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________． 答案 35－5解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4. 圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝3 5.所以|PQ |的最小值是35－5.9．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|P A |＝|PB |＝ 3. ∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°. ∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ， 得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34.∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0，则k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0， 即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．13．(2017·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，125 B ．『0,1』 C.⎣⎡⎦⎤1，125 D.⎝⎛⎭⎫0，125 答案 A解析 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋『y －2(a －2)』2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由a 2＋(2a －3)2≥1，得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋(2a －3)2≤3，得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.故选A. 14．(2017·郑州一模)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________． 答案 4解析 ⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍， ∴|AB |＝2×5×255＝4.15．(2017·石家庄一模)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( ) A.12 B.32C.34D.34答案 D解析 由已知可得圆心(0,0)到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b2＝23， 化简得4a 2＋b 2＝4. ∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤142『(22a )2＋(1＋2b 2)2』＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负值)．故选D.16．(2017·日照一模)曲线y ＝x 2＋4x 的一条切线l 与直线y ＝x ，y 轴围成的三角形记为△OAB ，则△OAB 外接圆面积的最小值为( )高三数学一轮复习11 A ．82πB ．8(3－2)πC ．16(2－1)πD ．16(2－2)π答案 C解析 y ′＝x 2－4x 2，设直线l 与曲线的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的方程为y －x 20＋4x 0＝x 20－4x 20·(x －x 0)，即y ＝x 20－4x 20x ＋8x 0.不妨设直线l 与直线y ＝x 的交点为A ，与y 轴的交点为B ，可求得A (2x 0,2x 0)，B ⎝⎛⎭⎫0，8x 0. ∴|AB |2＝4x 20＋⎝⎛⎭⎫2x 0－8x 02＝8x 20＋64x 20－32 ≥32(2－1)，当且仅当x 20＝22时取等号．由正弦定理可得△OAB 的外接圆的半径R ＝12·|AB |sin 45°＝22|AB |， 则△OAB 外接圆的面积S ＝πR 2＝12π|AB |2≥16(2－1)π.故选C.。
2013届高三数学一轮复习课时作业48直线与圆、圆与圆的位置关系新人教A版文
[ 时间： 35 分钟 分值： 80 分 ]
基础热身
1．[2011 ·深圳一调 ] 已知 p：“ a＝ 2”， q：“直线 x＋y＝ 0 与圆 x2＋ ( y－a) 2＝ 1
相切”，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
2 2ax＋ by＝1 的距离为 ，若
2
A. 2 B. 2＋ 1
C． 1 D ． 2 8．[2011 ·锦州质检 ] 已知圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ 1＝ 0 关于直线 2ax－by＋ 2＝ 0( a，b∈
R) 对称，则 ab 的取值范围是 ( )
1
1
A. －∞， 4 B. 0， 4
1
1
C. － 4， 0 D. － 4，＋∞
(2) 将圆方程配方得 ( x－ 1) 2＋ ( y－ 3) 2＝ 10，则圆心 G(1,3) ．最长弦 AC为过点 E 的直径，
则 | AC| ＝ 2 10；最短弦 BD 为与 GE 垂直的弦，如图所示．易知
| BG| ＝ 10， | EG| ＝
－ 2＋ － 2＝ 5， | BD| ＝2| BE| ＝ 2 | BG| 2－ | EG| 2＝ 2 5. 所以所以四边形 ABCD
x 轴相切的圆有且只有一个，求 m的值及圆的方程．
1
难点突破 13． (1)(6 分)[2011 ·西城模拟 ] 若直线 ax＋ by＝ 1 与圆 x2＋ y2＝ 1 相切，则实数 ab 的取值范围是 ________． (2)(6 分)[2011 ·重庆卷 ] 在圆 x2＋y2－ 2x－ 6y＝ 0 内，过点 E(0,1) 的最长弦和最短弦 分别为 AC和 BD，则四边形 ABCD的面积为 ( ) A． 5 2 B ． 10 2 C． 15 2 D ．20 2
高考数学 第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业 理 新人教A版
【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业理新人教A版一、选择题1.(2013·广州模拟)圆C1:x2+y2+2x-3=0和圆C2:x2+y2-4y+3=0的位置关系为( )(A)相离(B)相交(C)外切(D)内含2.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为( )(A)(x+1)2+y2=2 (B)(x-1)2+y2=2(C)(x+1)2+y2=4 (D)(x-1)2+y2=43.(2013·中山模拟)若直线2x-y+a=0与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则实数a的取值范围是( )(A)-2-错误!未找到引用源。
<a<-2+错误!未找到引用源。
(B)-2-错误!未找到引用源。
≤a≤-2+错误!未找到引用源。
(C)-错误!未找到引用源。
≤a≤错误!未找到引用源。
(D)-错误!未找到引用源。
<a<错误!未找到引用源。
4.若圆心在x轴上、半径为错误!未找到引用源。
的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是( )(A)(x-错误!未找到引用源。
)2+y2=5 (B)(x+错误!未找到引用源。
)2+y2=5(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=55.(2012·东莞模拟)设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=0,则错误!未找到引用源。
=( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
或-错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
或-错误!未找到引用源。
6.(2013·惠州模拟)设直线kx-y+1=0被圆O:x2+y2=4所截弦的中点的轨迹为C,则轨迹C与直线x+y-1=0的位置关系为( )(A)相离 (B)相切(C)相交(D)不确定7.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)68.(能力挑战题)(2013·湛江模拟)若直线y=x+b与曲线y=3-错误!未找到引用源。
高三数学(理)一轮复习之双基限时训练：直线与圆、圆与圆的位置关系(人教新课标).pdf
巩固双基,提升能力一、选择题 1．(2012·重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( ) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 解析：圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离 d＝≤1＜. 直线与圆相交，故选C. 圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离d与半径关系判断．若直线过定点，也可通过该点在圆内、圆外或圆上去判断． 答案：C 2．(2012·天津)设m，nR，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( ) A．[1－，1＋] B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞) C．[2－2，2＋2] D．(－∞，2－2][2＋2，＋∞) 解析：由题得＝1，即(m＋n)2＝(m＋1)2＋(n＋1)2≥，令t＝m＋n，得t2－4t－4≥0，解得t≥2＋2或t≤2－2，故m＋n的取值范围为(－∞，2－2][2＋2，＋∞)． 答案：D 3．(2013·临沂质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|O＋O|＝|O－O|，其中O为坐标原点，则实数a的值为( ) A．2 B．±2 C．－2 D．± 解析：如图，作平行四边形OADB， 则O＋O＝O，O－O＝B， |O|＝|B|. 又|O|＝|O|，四边形OADB为正方形． 易知|O|为直线在y轴上的截距的绝对值，a＝±2. 答案：B 4．(2013·安徽师大附中月考)直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，则直线l的一个方向向量v＝( ) A．(2，－2) B．(1,1) C．(－3,2) D. 解析：由已知得(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心(1,1)，半径， 直线kx－y－2k＋2＝0.直线与圆相切，＝.k＝－1. 直线的一个方向向量为(2，－2). 答案：A 5．(2013·珠海调研)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( ) A. B. C．2 D．2 解析：圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心C(0,1)，半径为1，|PC|2＝|PA|2＋1. 又S四边形PACB＝2××|PA|×1＝|PA|， 当|PA|最小时，面积最小，而此时|PC|最小． 又|PC|最小为C到直线kx＋y＋4＝0的距离d＝， 面积最小为2时，有22＝2－1，解得k＝2(k＞0). 答案：D 6．(2013·湛江调研)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上的一点M(x，y)满足O·C＝0，则等于( ) A. B.或－ C. D.或－ 解析：O·C＝0，OM⊥CM，OM是圆的切线． 设OM的方程为y＝kx， 由＝，得k＝±，即＝±. 答案：D 二、填空题 7．过点P(3,4)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则线段AB的长为__________． 解析：如图所示，|OP|＝＝5，|OB|＝1，则|PB|＝＝2，从而|BC|＝＝，|AB|＝2|BC|＝. 答案： 8．已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为__________． 解析：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d＋d＝3. 由平面几何知识知|AC|＝2，|BD|＝2， S四边形ABCD＝|AC|·|BD| ＝2· ≤(4－d)＋(4－d) ＝8－(d＋d) ＝5， 即四边形ABCD的面积的最大值为5. 答案：5 9．(2013·安徽联考)若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则ab的最大值是__________． 解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径r＝2， 若直线截得的弦长为4，则圆心在直线上， 所以－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1. 所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取等号． 故(ab)max＝. 答案： 三、解答题 10．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OAOB，求a的值． 解析：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3. 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组： 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.因此x1,2＝， 从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. 由于OAOB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. 由，得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1. 11．(2013·苏北三市联考)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖． (1)试求圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A、B，满足CACB，求直线l的方程． 解析：(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是， 所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5. (2)设直线l的方程是y＝x＋b， 因为CACB，所以圆C到直线l的距离是， 即＝，解得b＝－1±. 所以直线l的方程为y＝x－1±. 12．(2013·揭阳调研)已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值； (3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为2，求a的值． 解析：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2， 当直线的斜率不存在时，方程为x＝3. 由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知， 此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0. 由题意知＝2，解得k＝. 方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. (2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝. (3)圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为， 2＋2＝4，解得a＝－.。
高三数学一轮复习课时作业1：第2讲 直线与圆的位置关系
12.1.2 直线与圆的位置关系1．(2013·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .『证明』(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .2．(2013·江苏高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .3．(2014·哈师大模拟)如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M .(1)求证：MD ＝ME ；(2)设圆O 的半径为1，MD ＝3，求MA 及CE 的长．4．(2014·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 分别交于点C ，D .求证：(1)CE ＝DE ；(2)CA CE ＝PE PB.5.如图所示，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .6．(2013·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)『证明』CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．答 案1．『证明』(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .2.『证明』连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD. 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .3．『解』(1)『证明』连结OD ，∵∠CEO ＋∠ECO ＝90°，∠MDE ＋∠EDO ＝90°， 又∠EDO ＝∠ECO ，∴∠CEO ＝∠MDE ＝∠MED ，∴MD ＝ME .(2)∵MD 2＝MA ·MB ，∴3＝MA ·(MA ＋2)，∴MA ＝1.∵在Rt △MDO 中，MO ＝2，MD ＝3，∴∠MOD ＝60°，∴∠COD ＝150°，∴∠ECO ＝15°，CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2. 4．『证明』(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CP A ＝∠BEP ＋∠DPE .又∠ECD ＝∠A ＋∠CP A ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE .又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD. 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE. 又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PE PB. 5．『证明』(1)连结BC ，因为AB 是直径，所以∠ACB ＝90°，所以∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，所以∠GCA ＝∠ABC ，所以∠BAC ＝∠CAG .(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，所以∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，所以△ACF ∽△AEC ，所以AC AE ＝AF AC，所以AC 2＝AE ·AF . 6．『解』(1)『证明』因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A ，由题设知BC F A ＝DC EA，故△CDB ∽△AEF ， 所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.。
2013届高三数学(理)一轮复习方案课件【人教A版】第47讲直线与圆、圆与圆的位置关系备用例题
消掉参数 a 得 x＋y－2＝0， 即圆心在定直线 x＋y
ห้องสมุดไป่ตู้
－2＝0 上．
第47讲 │ 备用例题
(3)证明：已知圆的圆心坐标为(a,2－a)，半径为 2|a－1|.设 所求切线方程为 y＝kx＋b，即 kx－y＋b＝0， |ka＋a－2＋b| 则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即 ＝ 2 k ＋1 2|a－1|对任意 a 恒成立． 整理得 2(1＋k2)a2－4(1＋k2)a＋2(1＋k2)＝(k＋1)2a2＋2(b－ 2)(k＋1)a＋(b－2)2， 若要上式对任意 a 恒成立，则等式两端的关于 a 的二次三 项式的对应系数应该相等． 即得
第47讲 │ 备用例题
[解答] (1)证明：将方程 x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，整 理为－a(2x－2y)＋x2＋y2－4y＋2＝0，若要这个方程的成立与参 数 a
2x－2y＝0， 无关，只能 2 2 x ＋y －4y＋2＝0.
解得 x＝1，y＝1，即圆系
恒过定点(1,1)． (2)证明：圆心坐标为(a,2－a)，又设圆心坐标为(x，y)，则
解之得 k＝1，b＝0.所以，
第47讲 │ 直线与圆、圆与圆的位置关系
第47讲 直线与圆、圆与圆 的位置关系
第47讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由]本例题是一个圆系方面的问题，其中含有证明 圆系过定点、圆心在定直线上、存在性问题等当前解析几何中 的热点问题.
第47讲 │ 备用例题
例已知圆的方程是 x2 ＋ y2 － 2ax ＋ 2(a － 2)y ＋ 2 ＝ 0 ，其中 a≠1，a∈R. (1)求证：圆恒过定点，并求出定点； (2)求证：圆心在一条定直线上，并求出这条直线方程； (3)求证：存在唯一一条定直线与所有圆相切，并求出这条 直线方程．
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C.D.
8．[2010·江西卷]直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是()
A.
B.∪[0，＋∞)
C.
D.
9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是()
A．a2＋2a＋2b－3＝0
A．(－2，2)B．(－，)
C.D.
4．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的取值集合为()
A．{3}B．{7}C．{3,7}D．{2,7}
5．[2011·山东实验中学二模]圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0的位置关系是()
15．(13分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．
16．(12分)已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．
(1)求证：(a－2)(b－2)＝2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)求△AOB面积的最小值．
课时作业(四十七)
【基础热身】
1．C[解析]圆心到直线的距离d＝＝，
∴弦长l＝2＝.
2．B[解析]圆即x2＋(y－6)2＝32，数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一，即×(2π)×3＝2π.
3．C[解析]圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点线距离公式得<1，即k2<，解得－<k<.
10．(－13,13)[解析]直线12x－5y＋c＝0是平行直线系，当圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到该直线的距离等于1时，得保证圆心到直线的距离小于1，即<1，故－13<c<13.
11．x＋y－3＝0[解析]由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：
2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为0
C．a2＋2a＋2b＋5＝0
D．a2－2a－2b＋5＝0
10．[2011·吉林一中冲刺]在平面直角坐标系xOy中，已知x2＋y2＝4圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
11．[2010·山东卷]已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
12．已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|＋|≥||，那么实数m的取值范围是________．
13．[2011·江苏卷]设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．
14．(10分)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
A．相离B．相切
C．相交D．不能确定
6．[2011·重庆卷]在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()
A．5B．10C．15D．20
7．[2011·吉林一中冲刺]曲线y＝1＋(|x|≤2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点时，实数k的取值范围是()
4．C[解析]集合A，B表示两个圆，A∩B中有且仅有一个元素即两圆相切，有内切和外切两种情况，由题意，外切时，r＝3；内切时，r＝7，即r的值是3或7.
【能力提升】
5．A[解析]圆心到直线的距离d＝，根据θ的取值范围，0≤sin2θ<1，故d>＝r.
6．B[解析]将圆方程配方得(x－1)2＋(y－3)2＝10.
8．C[解析]直线过定点(0,3)．当直线与圆的相交弦长为2时，由垂径定理定理可得圆心到直线的距离d＝1，再由点到线的距离公式可得＝1，解得k＝±.结合图象可知当直线斜率满足k∈时，弦长|MN|≥2.
9．C[解析]即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.
设圆心为G，易知G(1,3)．
最长弦AC为过E的直径，则|AC|＝2.最短弦BD为与GE垂直的弦，如图1－2所示．
易知|BG|＝，|EG|＝＝，
|BD|＝2|BE|＝2＝2.
所以四边形ABCD的面积为S＝|AC||BD|＝10.故选B.
7．A[解析]曲线y＝1＋为一个半圆，直线y＝k(x－2)＋4为过定点的直线系，数形结合、再通过简单计算即可．曲线和直线系如图，当直线与半圆相切时，由＝2，解得k＝，又kAP＝，所以k的取值范围是.
12．(－2，－]∪[，2)[解析]方法1：将直线方程代入圆的方程得2x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－8(m2－2)>0得m2<4，即－2<m<2.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，|＋|≥||即|＋|≥|－|，平方得·≥0，即x1x2＋y1y2≥0，即x1x2＋(m＋x1)(m＋x2)≥0，即2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2≥0，即2×＋m(－m)＋m2≥0，即m2≥2，即m≥或m≤－.综合知－2<m≤－或≤m<2.
课时作业(四十七)[第47讲直线与圆、圆与圆的位置关系]
[时间：45分钟分值：100分]
1．直线x＋y－2＝0被圆(x－1)2＋y2＝1截得的线段的长为()
A．1B.C.D．2
2．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()
A．πB．2πC．4πD．6π
3．[2011·哈尔滨九中二模]已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()