2018-2019学年度高三一轮复习理科数学周测卷(一)(含解析)
高考数学一轮复习综合测试卷一含解析新人教A版
综合测试卷(一)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020浙江超级全能生第一次联考,2)已知复数z =2-i 1+i(i 为虚数单位),则复数z 的模等于( )A.√102B.3√22C.√3D.√52答案 A 由于z =2-i 1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2,∴|z |=|12-32i |=√(12)2+(-32)2=√102.故选A .2.(2019江西南昌外国语学校适应性测试,1)已知集合M ={x |0<x <5},N ={x |m <x <6},若M ∩N ={x |3<x <n },则m +n 等于 ( )A.9B.8C.7D.6答案 B 因为M ∩N ={x |0<x <5}∩{x |m <x <6}={x |3<x <n },所以m =3,n =5,因此m +n =8.故选B . 3.(2020九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔,令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为 ( )A.128.4米B.132.4米C.136.4米D.140.4米答案 C 本题主要考查空间几何体的结构特征,考查数学抽象、数学运算的核心素养.由已知条件“胡夫金字塔的底部周长除以其高度的两倍,得到商为3.14159”可得,胡夫金字塔的原高为230×42×3.14159≈146.4米,则胡夫金字塔现高大约为146.4-10=136.4米,故选C . 4.(2019广西梧州调研,6)若抛物线x 2=2py (p >0)上一点(1,m )到其准线的距离为54,则抛物线的方程为( )A.x 2=y B.x 2=2y 或x 2=4y C.x 2=4y D.x 2=y 或x 2=4y答案 D 由已知可得m =12p ,则12p +p 2=54,化简得2p 2-5p +2=0,解得p =12或p =2,所以抛物线方程为x 2=y 或x 2=4y.5.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x ,y 之间的线性回归方程为p^=-0.7x +10.3,且变量x ,y 之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误．．的是 ( ) x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ,y 之间成负相关关系B.可以预测,当x =20时,p^=-3.7 C.m =4D.该回归直线必过点(9,4)答案 C 由-0.7<0,得变量x ,y 之间成负相关关系,故A 说法正确;当x =20时,p^=-0.7×20+10.3=-3.7,故B 说法正确; 由表格数据可知。
河北省衡水中学2018-2019学年高三上学期一调考试数学(理)试题Word版含答案.pdf
A． 1 2
B． 2 2
3. 如图，网格纸上小正方形的边长为
积为（ ）
2
C．
4
D． 2 16
1 ，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体
A． 8
B． 12
C． 18
4. 已知 p ：方程 x2 2ax 1 0 有两个实数根； q ：函数 f x
下列： ① p q ；② p q ；③ p q ；④ p q ．
b
（ 1）若函数 y f x 存在极大值和极小值，求
的取值范围；
a
（ 2）设 m， n分别为 f x 的极大值和极小值，若存在实数 b
e
1 e2 a,
1 a
，使得
2 e 2e
m n 1，求 a 的取值范围．
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 f x xln x ， g x
x ex ．
（ 1）记 F x f x g x ，判断 F x 在区间 1,2 内的零点个数并说明理由；
（ 2）记 F x 在 1,2 内的零点为 x0 ， m x min f x , g x ，若 m x n （ n R ）
在 1, 内有两个不等实根 x1， x2 （ x1 x2 ），判断 x1 x2 与 2x0 的大小，并给出对应的证
明．
请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
2018-2019 学年
数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
2018届高三一轮复习阶段性测评理数试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得图中阴影部分表示的集合为。
∵或，∴，∴。
选B。
2. 已知，命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】由否命题的定义知，命题“若，则”的否命题是“若，则”。
选C。
3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】选项A中的函数为增函数，故A不正确；选项B中的函数为奇函数，在上不单调，故B不正确；选项C中的函数为偶函数，在上递减，故C正确；选项D中的函数为偶函数，且在上递增，故D不正确。
综上可得C正确。
选C。
4. 函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，函数为增函数；函数图象的开口向上，对称轴为，且与y轴的交点为，排除A,B。
当是，函数为减函数；函数图象的开口向下，对称轴为，与y轴的交点为，排除D，故C正确。
选C。
5. 已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合指数函数的对数函数的性质可知：,据此可得：.本题选择B选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 函数在区间和区间上分别存在一个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】利用排除法：当时，，此时函数只有一个零点，不合题意，排除D选项，当时，，此时函数只有一个零点，不合题意，排除AC选项，本题选择B选项.7. 幂函数在其图象上点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵点在幂函数的图象上，∴，∴，∴。
河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测数学(理)试题(解析版)
[ ] ( ) [ ) ( ) 3
A. 1,2
3
B. 1,2
C.
(−∞,1) ∪
3
2, + ∞
D.
(−∞,1) ∪
3
2, + ∞
【答案】A
{1
【解析】因为p:1 ≤ x ≤ 1,q:a−1 ≤ x ≤ a，所以由题意可得： a−1 ≤ 2⇒1 ≤ a ≤ 3，应选答案 A。
2
a≥1
2
10. 已知命题p:∀x ∈ [1,2],x2−a ≥ 0，命题q:∃x ∈ R,x2 + 2ax + 2−a = 0.若命题p且q是真命题，则实数a的取值
2
点集，所以A ∩ B = Φ；当B = Φ时，则A ∩ B = Φ；由于{y|y = log2( - x2 + 2x + 1)} = R，所以A ∩ B ≠ Φ，
应选答案 D。 9. 设p: 2x−1 ≤ 1,q:(x−a)[x−(a−1)] ≤ 0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
D. ∃x20 ≥ 1,x0 ≥ 1
【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以¬p为∃x20 < 1,x0 < 1，应选答案 B。
4. 已知集合A = {x|x−x2 ≥ 0},B = {x|y = lg(2x−1)}，则集合A ∩ B = （ ）
[ ) ( ] ( ) 1
A. 0,2
1
B. [0,1] C. 2,1
范围为（ ）
A. (−∞,−2] ∪ {1} B. (−∞,−2] ∪ [1,2] C. [1, + ∞) D. [−2,1]
【答案】A
【解析】试题分析：由题意得，命题p: ∀x ∈ [1,2],x2−a ≥ 0为真命题时，及∀x ∈ [1,2],a ≤ x2恒成立，所以a ≤ 1；命题q: ∃x ∈ R,x2 + 2ax + 2−a = 0为真命题，则Δ = (2a)2−4(2−a) ≥ 0，解得a ≥ 1或a ≤ −2，所以若命题“p ∧ q”是真命题，实数a的取值范围是(−∞,−2] ∪ {1}，故选 A．
【数学】河南省郑州市2018届高三上学期理科数学一轮复习周末测试卷Word版含答案
【关键字】数学理科数学（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知命题直线与相交但不笔直；命题，，则下列命题是真命题的为（）A．B．C．D．3.规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀，现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投标未在8环以上，用1表示该次投标在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果，经随机模拟实验产生了如下20组随机数：101 111 011 101 010 100 100 011 111 110000 011 010 001 111 011 100 000 101 101据此估计，该选手投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为（）A．B．C．D．4.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上的一点，点处的切线与直线平行，且，则抛物线的方程为（）A．B． C. D．5.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为2670，则判断框中的条件可以为（）A．B． C. D．6.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A．10 B．15 C. 20 D．257.如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（）A．B． C. D．8.《九章算术》中有这样一则问题：“今有良马与弩马发长安，至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马.”则现有如下说法：①弩马第九日走了九十三里路；②良马前五日共走了一千零九十五里路；③良马和弩马相遇时，良马走了二十一日.则以上说法错误的个数是（）个A．0 B．1 C. 2 D．39.已知函数，若关于的方程有2个实数根，则实数的取值范围为（）A．B． C. D．10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的棱长不可能为（）A．B．4 C. D．11.已知双曲线：上的四点满足，若直线的斜率与直线的斜率之积为2，则双曲线的离心率为（）A．B． C. D．12.已知函数，的图像与的图像关于轴对称，函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的常数项为．（用数字填写正确答案）14.已知等腰直角三角形中，，分别是上的点，且，，则．15.已知实数满足，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为．16.数列满足：，，，令，数列的前项和为，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知中，角所对的边分别为，且，.（1）若，求的大小；（2）若为三个连续正整数，求的面积.18. 已知多面体中，四边形为平行四边形，，且，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，直线与平面夹角的正弦值为，求的值.19. 已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时，的值；（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取3个点，记落在直线右下方的点的个数为，求的分布列以及期望.参考公式：，.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>C 过点(1,，记椭圆C 的左、右顶点分别为,A B ，点P 是椭圆C 上异于,A B 的点，直线21:l x a =与直线,AP BP 分别交于点,M N .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作椭圆C 的切线2l ，记2l MN Q =，且MQ QN λ=，求λ的值.21. 函数()ln()ln f x x m n x =+-.（1）当1m =，0n >时，求()f x 的单调减区间；（2）1n =时，函数()(2)()g x m x f x am =+-，若存在0m >，使得()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的普通方程为22240x y x ++-=，曲线2C 的参数方程为2x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标，其中0ρ≥，02θπ≤<.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()||||4f x x a x b =+-++.（1）若2a =-，0b =，在网格纸中作出函数()f x 的图像；（2）若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a b -的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DABCC 6-10:CDBDB 11、12：AC二、填空题13.481 14. 1215. (,29]-∞ 16. 2166n n + 三、解答题17.（1）∵c =，∴由正弦定理有sin C A =，又2C A =，即sin 2A A =，于是2sin cos A A A =，在ABC ∆中，sin 0A ≠，于是cos A =，6A π=. （2）因为ABC <<，故a b c <<，故设a n =，1b n =+，2c n =+，*n N ∈； 由2C A =，得sin sin 22sin cos C A A A ==， ∴sin cos 2sin 2C c A A a==. 由余弦定理得：22222b c a c bc a+-=，代入,,a b c 可得： 222(1)(2)22(1)(2)2n n n n n n n+++-+=++，解得：4n =，∴4a =，5b =，6c =，故3cos 24c A a ==，故sin 4A =，故ABC ∆的面积为11sin 562244bc A =⨯⨯⨯=.18.（1）∵AC =1AE EC ==，∴222AC AE CE =+， ∴AE EC ⊥；又EF CE ⊥，AE EF E =，∴CE ⊥平面ADEF ；因为CE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面ADEF .（2）因为平面ACE ⊥平面ADEF ，平面ACE 平面ADEF AE =，AE AD ⊥， 所以AD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC AD ⊥；以A 为原点，,AC AD 所在直线分别为,x y 轴，过点A 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD a =，则(0,0,0)A，C，F a -，E ， 设平面ACF 的一个法向量(,,)m x y z =， 因为(2,0,0)AC =，2(2AFa =-，∴0022x ay z =-+=⎩，取z=1y a =，则1(0,m a=， 2(22AE =， 设直线AE 与平面ACF 的夹角为θ，故||sin ||||1AE m AE m θ•===，解得1a =（1a =-舍去），故2AD =. 19.（1）散点图如图所示：（2）依题意，1(246810)65x =++++=，1(3671012)7.65y =++++=， 5214163664100220i i x==++++=∑，516244*********i i i x y ==++++=∑， 5^1522215272567.644 1.122056405()i i i i i x y x y b xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，∴^7.6 1.161a =-⨯=； ∴回归直线方程为^ 1.11y x =+，故当20x =时，23y =.（3）可以判断，落在直线240x y --=右下方的点满足240x y -->，故符合条件的点的坐标为(6,7),(8,10),(10,12)，故ξ的可能取值为1,2,3；2123353(1)10C C P C ξ===，1223356(2)10C C P C ξ===，33351(3)10C P C ξ===，故ξ的分布列为 故361189()23101010105E ξ=+⨯+⨯==. 20.（1）依题意，221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2a =，1b =，c =故椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）依题意，(2,0)A -，(2,0)B ，直线1:4l x =，设000(,)(2)P x y x ≠±，则220014x y +=. 直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标为0062M y y x =+； 直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--，令4x =，得点N 的纵坐标为0022N y y x =-； 由题知，椭圆在点P 处切线斜率存在，可设切线方程为00()y y k x x -=-，由0022()44y k x x y x y =-+⎧⎨+=⎩，得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=， 由0∆=，得2222000064()16(14)[()1]0k y kx k y kx --+--=，整理得：22220000214y kx y k x k -+=+， 将220014x y =-，22004(1)x y =-代入上式并整理得200(2)02x y k +=，解得004x k y =-， 所以点P 处的切线方程为0000()4x y y x x y -=--. 令4x =得，点Q 的纵坐标为22000000000000(4)444(1)1444Q x x y x x x x y y y y y y --+--=-===， 设MQ QN λ=，所以()Q M N Q y y y y λ-=-，所以000000001621()22x y y x y x x y λ---=-+-， 所以220000000000(1)(2)62(1)(2)(2)(2)x x y y x x y x y x λ-+----=+-， 将220014x y =-代入上式，002(2)22x x λ-+=-+，因为022x -<<，所以1λ=. 21.（1）()ln(1)ln f x x n x =+-，定义域为(0,)+∞，'1(1)()1(1)n n x n f x x x x x --=-=++， ①当1n =时，'1()0(1)f x x x -=<+，此时()f x 的单调减区间为(0,)+∞； ②当01n <<时，01n x n <<-时，'()0f x <，此时()f x 的单调减区间为(0,)1n n-； ③当1n >时，1n x n >-时，'()0f x <，此时减区间为(,)1n n +∞-. （2）1n =时，()(2)[ln()ln ]g x m x x m x am =++--，∵()0g x >，∴()0g x x >，即(1)ln (1)0m x m x m x a x x x++++-->， 设1m x t x +=>，∴(1)ln (1)0t t a t +-->，∴(1)ln 01a t t t -->+. 设(1)()ln 1a t h t t t -=-+，2'22(1)1()(1)t a t h t t t +-+=+，(1)0h =， ①当2a ≤时，222(1)1210t a t t t +-+≥-+>，故'()0h t >，∴()h t 在(1,)+∞上单调递增，因此()0h t >；②当2a >时，令'()0h t =，得：11t a =-，21t a =- 由21t >和121t t =，得：11t <，故()h t 在2(1,)t 上单调递减，此时()(1)0h t h <=. 综上所述，2a ≤. 22.（1）依题意，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22240x y x ++-=中可得：22cos 40ρρθ+-=；因为2x t y t⎧=⎨=⎩，故2y x =，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得：2sin cos ρθθ=； 故曲线1C 的极坐标方程为22cos 40ρρθ+-=，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=.（2）将2y x =代入22240x y x ++-=得2340x x +-=，解得：1x =，4x =-（舍去）， 当1x =时，1y =±，所以1C 与2C 交点的平面直角坐标为(1,1)A ，(1,1)B -，∵A ρ==B ρ=tan 1A θ=，tan 1B θ=-，0ρ≥，02θπ≤<， ∴4A πθ=，74B πθ=，故曲线1C 与2C交点的极坐标)4A π，7)4B π. 23.（1）依题意，6,0()|2|||462,022,2x f x x x x x x <⎧⎪=--+=-≤≤⎨⎪>⎩，所求函数图像如图所示：（2）依题意，||||4x a x b +-+≥-（*）而由||||||||||x a x b x a x b a b +-+≤+--=-||||||||a b x a x b a b ⇒--≤+-+≤-，故要（*）恒成立，只需||4a b --≥-，即||4a b -≤，可得a b -的取值范围是[4,4]-.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2019届高三理科数学一轮复习滚动检测卷(全套打包答案)
2019届高三理科数学一轮复习滚动检测一考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |7<2x <33，x ∈N }，B ＝{x |log 3(x －1)<1}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{4,5} B ．{3,4,5} C ．{x |3≤x <4}D ．{x |3≤x ≤5}2．“|x －1|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．(2017·肇庆期末)设命题p ：直线x －y ＋1＝0的倾斜角为135°；命题q ：平面直角坐标系内的三点A (－1，－3)，B (1，1)，C (2,2)共线．则下列判断正确的是( ) A ．綈p 为假 B ．(綈p )且(綈q )为真 C ．p 或q 为真D ．q 为真4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1为减函数，则实数m 的取值集合为( )A ．{2}B ．{－1}C ．{2，－1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≠1＋52 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0， 则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．26．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．28．函数f (x )＝e x －1x的图像大致为( )9．若a >0，b >0，ab >1，12log a ＝ln 2，则log a b 与12log a 的关系是( )A ．log a b <12log aB ．log a b ＝12log aC ．log a b >12log aD ．log a b ≤12log a10．已知f (x )是偶函数，x ∈R ，若将f (x )的图像向右平移一个单位得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)等于( ) A ．－1 003 B ．1 003 C ．1D ．－111．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)12．(2017·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．定义在R 上的奇函数f (x )，f (－1)＝2，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋(a ＋2)x ＋b (a ，b 为常数)，则f (－10)的值为______．14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图像关于点(3,0)对称，则命题p 或q 为______(填“真”或“假”)命题．15．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．18．(12分)(2018·唐山调研)命题p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；命题q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0}，B ＝{x |x >0}且A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围，使命题p ，q 中至少有一个为真命题．19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．20．(12分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60.设旅行团的人数为x ，每个人的机票费为y 元，旅行社的利润为Q 元．成本只算飞机费用．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润．21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，且f (x )＋f (2－x )＝0，f (x ＋1)＝－1f (x )，当12<x <1时，f (x )＝3x .(1)证明：f (x )为奇函数；(2)求f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－12上的表达式； (3)是否存在正整数k ，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时，log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．答案精析1．A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B12．C [∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图像如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，∴y 1＝f (x )和y 2＝log a x 的图像在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y 2＝log a x 的图像，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，a >1，解得3<a <5，故选C.]13．－993 14.真 15．2解析 函数可化为f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1为奇函数，∴g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1的最大值与最小值的和为0.∴M ＋m ＝2. 16.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x )，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－x ，x >1，2－x －2x ，x ≤1， 作出函数g (x )的图像(如图所示)．当x >1时，g (x )是增加的，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )是减少的，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}， 所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18．解 先考虑p ：解得－5<a <7.再考虑q ：①当Δ<0时，A ＝∅，A ∩B ＝∅，此时由(a ＋2)2－4<0，得－4<a <0； ②当Δ≥0时，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a ＋2)2－4≥0，x 1＋x 2＝－(a ＋2)<0，x 1x 2＝1>0，解得a ≥0.由①②可知，a >－4.当p ，q 都为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5或a ≥7，a ≤－4，解得a ≤－5，所以当a 的取值范围是(－5，＋∞)时， p ，q 中至少有一个为真命题．19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根， 可得a ＝－1，b ＝2，则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根， 设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (0)≥0，g (3)≥0，解得3≤c <4.20．解 (1)依题意知，1≤x ≤60，x ∈N ＋，又当1≤x <20时，800x <16 000，不符合实际情况， 故20≤x ≤60，x ∈N ＋. 当20≤x ≤35时，y ＝800；当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧800，20≤x ≤35，且x ∈N ＋，－10x ＋1 150，35<x ≤60，且x ∈N ＋.(2)当20≤x ≤35，且x ∈N ＋时， Q ＝yx －16 000＝800x －16 000， 此时Q max ＝800×35－16 000＝12 000； 当35<x ≤60，且x ∈N ＋时，Q ＝yx －16 000 ＝－10x 2＋1 150x －16 000 ＝－10⎝⎛⎭⎫x －11522＋34 1252， 所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，即Q max ＝17 060.因为17 060>12 000，所以当旅行团的人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，为17 060元．21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6， 设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]， ∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]．∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，52时，函数h (t )是减少的； 当t ∈⎝⎛⎦⎤52，16时，函数h (t )是增加的， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－494，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0，∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t －5成立．令g (t )＝t ＋6t －5，则g (t )在[1，6]上是减少的，在[6，16]上是增加的，而g (1)＝2<g (16)＝918， ∴g (t )max ＝g (16)＝918，∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝918，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，918. 22．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝－1f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )的周期为2，∵f (x )＋f (2－x )＝0，即f (x )＋f (－x )＝0，又∵f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，关于原点对称， ∴f (x )为奇函数．(2)解 当－1<x <－12时，12<－x <1，则f (－x )＝3－x .∵f (x )＝－f (－x )，∴当－1<x <－12时，f (x )＝－3－x .(3)解 任取x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1，则x －2k ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ∵f (x )＝f (x －2k )＝3x －2k，log 3(3x－2k)>x 2－kx －2k 在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解， 即x 2－(k ＋1)x <0在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解，∵k ∈N ＋，∴(0，k ＋1)∩⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1≠∅， ∴k ＋1>2k ＋12(k ∈N ＋)无解．∴不存在这样的k ∈N ＋，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时， log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解．滚动检测二考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·辽宁重点高中协作校期中)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5}，N ＝{1,3,6}，则集合{4,5}等于( ) A ．M ∩(∁U N ) B ．(∁U M )∩(∁U N ) C ．(∁U M )∪(∁U N )D ．M ∪(∁U N )2．(2017·黄山质检)下列命题中正确的是( ) A ．若p 或q 为真命题，则p 且q 为真命题B ．若直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，则a ＝1C ．若命题“存在x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是a <－1或a >3D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”3．(2018·大同调研)给定函数：①y ＝x 12，②y ＝1x ，③y ＝|x |－1，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．① B ．②C ．③D ．④4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >cD ．c >b >a5．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]6．曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．eD.e 227．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图像大致是( )8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.32B ．3C ．2 3D ．99．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π410．(2018届佳木斯市鸡东县二中月考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π8，0，则函数f (x )的递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π8，2k π－π8(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π8，2k π＋3π8(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) 11．己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－(x ＋1)2＋1，函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像的交点个数为( )A ．8B ．9C ．16D ．1812．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1} 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·洛阳一模)已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________． 14．若sin(π＋α)＝35，则cos (－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2＋1sin (3π－α)－cos ⎝⎛⎭⎫－α－π2的值是________．15．(2017·唐山一模)将函数f (x )＝cos ωx 的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的图像，则正数ω的最小值为________．16．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m .则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18≤2x －2≤16，B ＝{x |2m ＋1≤x ≤3m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2018届重庆一中月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3(0<φ<2π)，若f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)． (1)求y ＝f (x )的解析式和递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2时，求y ＝f (x )的值域．19．(12分)(2018·葫芦岛调研)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －1200t 2 万元． (1)设该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)求函数f (x )在x ∈[1,2]时的最大值．21.(12分)在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C.A，B，C都不是直角，且ac cos B＋bc cos A＝a2－b2＋8cos A.(1)若sin B＝2sin C，求b，c的值；(2)若a＝6，求△ABC面积的最大值．22．(12分)已知f(x)＝ln(1＋x)－axx＋1，x∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为5，求a的值；(2)若函数f(x)的最小值为－a，求a的值；(3)当x>－1时，(1＋x)ln(1＋x)＋(ln k－1)x＋ln k>0恒成立，求实数k的取值范围．答案精析1．A 2.C 3.D 4.B5．D [因为f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， 如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，当x －2≤ax ＋1时，a ≥1－3x ，而1－3x 在x ＝1处取最大值－2，所以a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．]6．D [y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线的斜率为e 2，相应的切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×e 2×1＝e 22.]7．D [由y ＝e |ln x |－|x －1|可知，函数过点(1,1)， 当0＜x ＜1时，y ＝e－ln x－1＋x ＝1x ＋x －1，y ′＝－1x2＋1＜0.∴y ＝e －ln x －1＋x 在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，y ＝e ln x －x ＋1＝1，故选D.] 8．C [∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin B cos B ＝sin B ， 又∵sin B ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3， ac ≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2－33≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22， 即(a ＋c )2≤12，∴a ＋c ≤2 3.]9．B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位长度后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.]10．C [由题意得2×π8＋φ＝k π(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝3π4，因此2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．∴k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．]11．D [函数y 1＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故f (1＋x )＝f (1－x )． 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (1－x )＝f (x －1)， 因此f (x ＋1)＝f (x －1)，从而函数f (x )是周期为2的函数．可根据函数性质作出函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像，因为函数f (x )的值域为[0,1]，所以只需要考虑区间[－10，10]，数形结合可得交点个数为18.故选D.]12．C [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )恰有两个零点，转化为ln x －ax 2＋ax ＝0，即方程ln x x ＝a (x －1)恰有两解，设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上是增函数， 在(e ，＋∞)上是减函数，且g (1)＝0，当x >e 时，g (x )>0，g ′(1)＝1，作出函数y 1＝g (x )和函数y 2＝a (x －1)的图像如图所示，由图可知，两个函数有两个交点的充要条件是0<a <1或a >1，故选C.] 13.⎝⎛⎭⎫45，1解析 已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，故m >2x x 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上是增加的，故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故p 为真时，m >45； q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2， 令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得，m <1， 故q 为真时，m <1；若“p 且q ”为真命题， 则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1. 14．－5615.32解析 f (x )向右平移π2个单位长度后得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2ω. ∵sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －3π4， ∴ωx －π2ω＝ωx －3π4＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝32－4k (k ∈Z )，∴正数ω的最小值为32.16.⎝⎛⎭⎫12，1解析 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1.17．解 (1)18≤2x －2≤16,2－3≤2x －2≤24，∴－3≤x －2≤4，∴－1≤x ≤6，∴A ＝{x |－1≤x ≤6}． (2)若B ＝∅，则2m ＋1>3m －1，解得m <2，此时满足题意； 若B ≠∅且B ⊆A ，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≤3m －1，－1≤2m ＋1，3m －1≤6，解得2≤m ≤73.综上所述，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤73. 18．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3， 由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0可知，x ＝π8为函数的对称轴， 则2×π8＋φ＋π3＝k π＋π2，φ＝－π12＋k π，k ∈Z ，由0<φ<2π可知，φ＝11π12或φ＝23π12.又由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)可知，－sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3>sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3<0， 验证φ＝11π12和φ＝23π12，则φ＝11π12符合，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，5π4， 则f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 19．解 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝5x －1200x 2－x2－25；当x ＞500时，f (x )＝5×500－1200×5002－x2－25，故f (x )＝⎩⎨⎧－1200x 2＋92x －25，0<x ≤500，－12x ＋1 225，x >500.(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－1200(x －450)2＋19752. 故当x ＝450时，f (x )max ＝1 9752＝987.5； 当x ＞500时，f (x )<－12×500＋1 225＝975，故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大． 20．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －12x 2＋1，∴f ′(x )＝1x－x ，∴f ′(2)＝－32，即x ＝2处的切线斜率k ＝－32.已知切点为(2，－1＋ln 2)，∴切线的方程为3x ＋2y －4－2ln 2＝0.(2)∵f ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ＝(x ＋1)(1－ax )x (1≤x ≤2)，当a ≤0时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的， ∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1a ≥2，即0<a ≤12时，f ′(x )≥0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的，∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1<1a <2，即12<a <1时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增加的， 在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减少的，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝12a －ln a ； 当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1,2]上是减少的，∴f (x )max ＝f (1)＝－32a ＋2.综上所述，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋3＋ln 2，a ≤12，－ln a ＋12a ，12<a <1，－32a ＋2，a ≥1.21．解 (1)∵ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b 2＋8cos A ，∴b 2＋c 2－a 2＝8cos A ，∴2bc cos A ＝8cos A ， ∵cos A ≠0，∴bc ＝4. 又∵sin B ＝2sin C ，由正弦定理，得b ＝2c ，∴b ＝22，c ＝ 2. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ， 即6≥8－8cos A ，∴cos A ≥14，当且仅当b ＝c 时取等号．∴sin A ≤154，∴S ＝12bc sin A ≤152， ∴△ABC 面积的最大值为152. 22．解 (1)∵f ′(x )＝x ＋1－a(x ＋1)2，∴f ′(0)＝1－a ＝5，∴a ＝－4.(2)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝11＋x －a(x ＋1)2＝x ＋1－a (x ＋1)2，令f ′(x )＝0，则x ＝a －1，①当a －1≤－1，即a ≤0时，在(－1，＋∞)上，f ′(x )>0， 函数f (x )是增加的，无最小值．②当a －1>－1，即a >0时，在(－1，a －1)上，f ′(x )<0，函数f (x )是减少的；在(a －1，＋∞)上，f ′(x )>0，函数f (x )是增加的，∴函数f (x )的最小值为f (a －1)＝ln a －a ＋1＝－a ，解得a ＝1e. 综上，若函数f (x )的最小值为－a ，则a ＝1e. (3)由(1＋x )ln(1＋x )＋(ln k －1)x ＋ln k >0，得ln(1＋x )－x x ＋1＋ln k >0，即－ln k <ln(1＋x )－x x ＋1， 令a ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )－x x ＋1， 由(2)可知，当a ＝1时，f (x )在(－1,0)上是减少的，在(0，＋∞)上，f (x )是增加的，∴在(－1，＋∞)上，f (x )min ＝f (0)＝0，∴－ln k <0，即k >1.滚动检测三考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·绵阳一诊)设命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，命题q ：ln x ＜1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于( )A.1＋22B ．－1＋22 C.1＋32 D ．－1＋323．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 等于( )A ．－14B.14C.78D.11164．(2018·新余模拟)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.则满足条件的三角形的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增加的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝x 2＋2x8．(2017·重庆三诊)已知a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则实数m 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．49．(2018届洛阳联考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( )A ．m ＋n ≤－2B ．－2≤m ＋n <－1C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <010．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且f (0)＝12，则函数h (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1，3]B ．[－2，3]C ．[－3，2]D ．[1，3]12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12e B.⎝⎛⎭⎫－∞，12e C.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12e ，1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13． 10(2x ⎰＋1－x 2)d x ＝________.14．(2018届乐山调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为______．15．(2017·石嘴山三模)给出下列命题：①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1＞a b，则a ＜b ； ②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若任意x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)＜f (2)一定成立；③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确的命题的序号是________．16．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，若在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018·泉州模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4，f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围．18．(12分)(2017·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin C －sin A )＝sin B .(1)求b c －a的值； (2)若b ＝2，BA →·BC →＝32，求△ABC 的面积．19.(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)．20．(12分)(2018届西安模拟)已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，设向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12. (1)若m ∥n ，求x 的值；(2)若m·n ＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的值．21.(12分)某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t 分钟内投放净化剂的路径长度p (t )＝140－|t －40|(单位：m)，净化剂净化水体的宽度q (单位：m)是时间t (单位：分钟)的函数：q (t )＝1＋a 2t(a 由单位时间投放的净化剂数量确定，设a 为常数，且a ∈N ＋)．(1)试写出投放净化剂的第t 分钟内净化水体面积S (t )(1≤t ≤60，t ∈N ＋)的表达式；(2)求S (t )的最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若f(x)有极值0，求实数a，并确定该极值为极大值还是极小值；(2)在(1)的条件下，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥mx ln(x＋1)恒成立，求实数m的取值范围．答案精析1．B [命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，即x ＞0；命题q ：ln x ＜1，即0＜x ＜e ，所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选B.]2．B [cos(－2 640°)＝cos 2 640°＝cos(7×360°＋120°)＝cos 120°＝－12， sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22， 故cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－12－22＝－1＋22.] 3．A [在△ABC 中，∵b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，由正弦定理， 得2b ＝3c ，可得a ＝2c ，b ＝32c ，再由余弦定理可得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝⎝⎛⎭⎫32c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14，故选A.] 4．B [由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ，sin C ＝32，由于c ＞b ， 所以有两种可能，故选B.]5．A [∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴⎝⎛⎭⎫12|－x －m |－1＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1，∴|－x －m |＝|x －m |，(－x －m )2＝(x －m )2，∴mx ＝0，m ＝0.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1，∴f (x )在[0，＋∞)是减少的，并且a ＝f (|log 123|)＝f (|log 23|)，b ＝f (|log 25|)，c ＝f (0)．∵0＜log 23＜log 25，∴c ＞a ＞b ，故选A.]6．D [因为f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，－1]上恒成立，即a ≤(3x 2)min ＝3，故选D.]7．B [对于答案A ，C ，当取x 1＝1，x 2＝2时，显然x 1＜x 2，但y 1＞y 2，故不是递增函数，则两个答案都不正确；对于答案D ，由于f (－1)＝1＋12＝32，f (1)＝1＋2＝3，即f (－1)≠f (1)，故不是偶函数，也不正确；对于答案B 结合所学基本初等函数的图像和性质可知函数f (x )＝lg|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，lg (－x )，x ＜0是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，故选B.]8．C [由a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0,6－2m ＝0，解得m ＝3，故选C.]9．C [∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC →＝mOA →＋nOB →，∴|OC →|＝|mOA →＋nOB →|，可得OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →，而OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB <|OA →|·|OB →|＝1.∴1＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →<m 2＋n 2＋2mn ，∴m ＋n <－1或m ＋n >1，如果m ＋n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形，∴m ＋n <－1，故选C.]10．A [(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝CB →·(MB →－MA →＋MC →－MA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 的形状为等腰三角形．]11．A [因为f (x ＋π)＝－f (x )，所以函数f (x )的周期为2π，ω＝1，由f (0)＝sin φ＝12且|φ|＜π2，得φ＝π6， 所以h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知π6≤x ＋π6≤2π3， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，h (x )∈[－1，3]， 故选A.]12．A [由x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0(x ＞0，y ＞0)，得a ＝x 2(ln y －ln x )y 2＝ln y x ⎝⎛⎭⎫y x 2，令t ＝y x (t ＞0)，所以a ＝ln t t 2.设g (t )＝ln t t 2(t >0)，g ′(t )＝1t ·t 2－(ln t )2t t 4＝1－2ln t t 3， 令g ′(t )＞0，得0＜t ＜e ，g (t )是增加的；令g ′(t )＜0，得t ＞e ，g (t )是减少的．所以g (t )最大值为g (e)＝12e.又当t ＞1时，g (t )＞0；当0＜t ＜1时，g (t )＜0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，存在两个正数t ，使a ＝ln t t 2成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，故选A.]13．1＋π4解析 由微积分基本定理，得10⎰2x d x ＝x 2|10＝1， 曲线y ＝1－x 2(0<x <1)表示单位圆的四分之一，则10⎰1－x 2d x ＝14×π×12＝π4， 由此可得，10⎰ (2x ＋1－x 2)d x ＝1＋π4. 14.13 解析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理可得BC ＝19，又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419＝－173， 解得λ＝13. 15．①③解析 ①已知a ，b 都是正数，a ＋1b ＋1＞a b，ab ＋b ＞ab ＋a ，则a ＜b 正确； ②若f (x )是常函数，则f (1)＜f (2)不成立，③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”⇒“x ＋y ≤2”，反之不成立，则“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充分不必要条件．正确的命题序号为①③.16．(6，＋∞)解析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，则x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，∵函数的定义域为[0,2]，∴当x ∈[0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间[0,1)上是减少的，在区间(1,2]上是增加的，则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，f (0)＝m ，由题意知，f (1)＝m －2＞0；①由f (1)＋f (1)＞f (2)，得－4＋2m ＞2＋m ，②由①②得m >6.17．解 (1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 而f (x )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.又∵2π3－x ＝π－2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝－12. (2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b . 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. 又∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B 2＋π6＜π2，∴f (B )∈⎝⎛⎭⎫1，32. 18．解 (1)由正弦定理，得2(c －a )＝b ，即b c －a＝2； (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(c －a )＝b ，b ＝2，BA →·BC →＝ca cos B ＝32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ c －a ＝1，ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，所以cos B ＝34， 所以sin B ＝74，所以S ＝12ac sin B ＝74.19．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)令S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)， 则S ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f (2 011)＋f (2 010)＋…＋f (2)＋f (1)， 则2S ＝4 022，故S ＝2 011.20．解 (1)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m ∥n ，所以sin x ·12＝cos x ·32，即tan x ＝3，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以x ＝π3. (2)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m·n ＝35， 所以32sin x ＋12cos x ＝35， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，令θ＝x ＋π6， 则x ＝θ－π6，且sin θ＝35，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4＝35×22－45×22＝－210.21．解 (1)由题意， 得S (t )＝p (t )·q (t )＝(140－|t －40|)⎝⎛⎭⎫1＋a 2t ＝⎩⎨⎧100＋a 2＋t ＋100a 2t，1≤t ＜40，t ∈N ＋，180－a 2－t ＋180a2t，40≤t ≤60，t ∈N ＋.(2)当40≤t ≤60且t ∈N ＋时，S (t )＝180－a 2－t ＋180a 2t， 当t 增加时180a 2t 减小，所以S (t )在40≤t ≤60上是减少的，所以当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 当1≤t ＜40且t ∈N ＋时，S (t )＝100＋a 2＋t ＋100a 2t≥100＋a 2＋20a (当且仅当t ＝10a 时，等号成立)，①若a ＝1或2或3；当t ＝10a 时，上述不等式中的等号成立， S (t )在1≤t ＜40范围中有最小值a 2＋20a ＋100. 又在40≤t ≤60时S (t )有最小值2a 2＋120.当a ＝1时，100＋a 2＋20a ＝121＜122＝2a 2＋120， 故S (t )有最小值121；当a ＝2或a ＝3时，100＋a 2＋20a ＞2a 2＋120， 故S (t )有最小值2a 2＋120. ②若a ≥4且1≤t ＜40时，因为S (t ＋1)－S (t )＝1＋100a 2t ＋1－100a 2t ＝1－100a 2t (t ＋1)<0，所以S (t ＋1)<S (t )，故S (t )在1≤t <40时是减少的；又S (t )在40≤t ≤60时是减少的，且100＋a 2＋40＋100a 240＝180－a 2－40＋180a 240， 所以S (t )在1≤t ≤60时是减少的． 所以，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 综上，若a ＝1，当t ＝10时，S (t )有最小值121； 若a ≥2且a ∈N *，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 22．解 (1)f ′(x )＝e x －a .①若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的，无极值，不符合题意； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，ln a )上是减少的；当x ∈(ln a ，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )在(ln a ，＋∞)上是增加的． 所以，当x ＝ln a 时，f (x )取到极小值， f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝0，即a ln a －a ＋1＝0. 令φ(a )＝a ln a －a ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝ln a ＋a ·1a－1＝ln a ，当0＜a ＜1时，φ′(a )＜0，φ(a )是减少的； 当a ＞1时，φ′(a )＞0，φ(a )是增加的． 又φ(1)＝0，所以a ln a －a ＋1＝0有唯一解a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝e x －x －1， 当x ≥0时，f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立，即e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0(x ∈[0，＋∞))恒成立． 令g (x )＝e x －x －mx ln(x ＋1)－1(x ∈[0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))，令h (x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))， 则h ′(x )＝e x －m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1，h ′(0)＝1－2m,0＜1(x ＋1)2＋1x ＋1≤2(当且仅当x ＝0时取“＝”)．①当m ≤0时，h ′(x )＞0，h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以g (x )min ＝g (0)＝0，所以g (x )≥0， 所以e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0， 即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立． ②当0＜m ≤12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ≥0，所以h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝0， 所以g (x )≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．③当m ＞12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ＜0，当x →＋∞时，e x →＋∞，－m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1→0，所以h ′(x )→＋∞，则存在x 0＞0，使得h ′(x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，x 0)上是减少的， 此时h (x 0)＜h (0)＝0，即g ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，所以g (x )在(0，x 0)上是减少的，g (x 0)＜g (0)＝0，不符合题意． 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.滚动检测四考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(3,10) D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ－sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C. 35D. 453．(2018届衡水联考)已知命题p ：任意x ∈R ，(2－x )12<0，则命题綈p 为( )A ．存在x ∈R ，(2－x )12>0B ．任意x ∈R ，(1－x )12>0C ．任意x ∈R ，(1－x )12≥0D ．存在x ∈R ，(2－x )12≥04．(2018·济宁模拟)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1，－1)D ．(1,3)5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为( ) A.43 B.413 C ．－49D ．46．(2017·贵阳适应性考试)设命题p ：若y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x －2)图像关于点(2,0)对称，则函数y ＝f (x )是奇函数，命题q ：任意x ≥0， 12x ≥13x ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )或q C ．p 且(綈q )D ．(綈p )且(綈q )7．已知a ＝1213⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝121log 3，c ＝31log 2，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >cD ．b >a >c8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 39．(2018届吉林松原模拟)已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →等于( )。
衡水中学2018届高三数学上学期周测一轮复习试卷理科有答案
衡水中学2018届高三数学上学期周测一轮复习试卷（理科有答案）2017-2018学年度高三一轮复习周测卷（一）理数一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（）A．0与的意义相同B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C．集合是有限集D．方程的解集只有一个元素2.已知集合，则（）A．B．C．D．3.设命题“”，则为（）A．B．C．D．4.已知集合，则集合（）A．B．C.D．5.设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件6.设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．7.已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为（）A．B．C.D．8.已知集合，则集合不可能是（）A．B．C.D．9.设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．10.已知命题，命题.若命题且是真命题，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．11.对于任意两个正整数，定义某种运算“*”，法则如下：当都是正奇数时，；当不全为正奇数时，，则在此定义下，集合的真子集的个数是（）A．B．C.D．12.用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值集合是，则（）A．4B．3C.2D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则等于．14.已知集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为．15.已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为．16.下列说法中错误的是（填序号）.①命题“，有”的否定是“，有”；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；③已知，若为真命题，则实数的取值范围是；④“”是“”成立的充分条件.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合.（1）分别求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.18.（1）已知关于的方程有实根；关于的函数在区间上是增函数，若“或”是真命题，“或”是真命题，“且”是假命题，求实数的取值范围；（2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19.集合.（1）若集合只有一个元素，求实数的值；（2）若是的真子集，求实数的取值范围.20.已知函数的值域是集合，关于的不等式的解集为，集合，集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.21.已知函数的定义域为，集合.（1）若，求实数的值；（2）若，使，求实数的取值范围.22.已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DDBCA6-10:BBDAA11、12：CB二、填空题13.-114.15.16.①③④三、解答题17.解：（1）∵，即，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴，；（2）由（1）知，若，当为空集时，，当为非空集合时，可得，综上所述，实数的取值范围为.18.解：（1）若真，则，∴或，若真，则，∴，由“或”是真命题，“且”是假命题，知、一真一假，当真假时：；当假真时：.综上，实数的取值范围为；（2），∴，∴，∴实数的取值范围为.19.解：（1）根据题意知集合有两个相等的实数根，所以或-1；（2）根据条件，知，是的真子集，所以当时，，当时，根据（1）将分别代入集合检验，当时，，不满足条件，舍去；当时，，满足条件.综上，实数的取值范围是.20.解：（1）因为，所以在区间上单调递增，所以，所以. 由，可得，即，所以，所以.又因为，所以．所以，解得，所以实数的取值范围为．（2）由，解得，所以．因为，①当，即时，，满足；②当，即时，，所以，解得，又因为，所以，综上所述，实数的取值范围为.21.解：（1），因为，所以，且，所以.（2）由已知，得，所以或，解得或，所以实数的取值范围为.22.解：（1）∵函数是奇函数，∴，∵当时，，∴函数为内的增函数，∵，∴，∴.若为真，则，解得.∴实数的取值范围是. （2），若为真，则.∵为假，为真，∴一真一假. 若真假，则；若假真，则.综上，实数的取值范围是.。
2018—2019学年湖南省名校高三联考考试试题(一)数学(理)试题 含答案
2018—2019学年湖南省名校高三联考考试试题（一）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|3x 2－13x －10＜0}和N ＝{x|x ＝2k ，k ∈Z }的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个 2．34i 34i12i 12i+--=-+ A ．－4 B ．4 C ．－4i D ．4i3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A ．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C ．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x ，y 满足约束条件60330x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x y z x ++=+的取值范围是A ．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B ．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C ．[－8，1]D ．[－10，－1]5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．4643π-B ．64－4πC ．64－6πD ．64－8π 6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜97．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 AB ．12C ．13D ．148．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，g （x ）＝f （x ）－x ，且当x ∈（－∞，0]时，g （x ）单调递增，则不等式f （2x －1）－f （x ＋2）≥x －3的解集为A ．（3，＋∞）B ．[3，＋∞）C ．（－∞，3]D ．（－∞，3）9．函数f （x ）＝ln|x|＋x 2－x 的图象大致为A. B. C. D10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为A ．532 B ．516 C ．1132 D ．111611．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为A ．574B ．1114C ．1054D ．117412．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x ＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则|2|________|3|+=-a b a b ．14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________．15．在（x 2－2x －3）4的展开式中，含x 6的项的系数是________．16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222()4b x a y -+=．若双曲线C的一条渐近线与圆M 相切，则当22224149a a ab -+取得最大值时，C 的实轴长为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22121(1)n n n b n a ++=-，求{b n }的前n 项和T n ． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知22()sin a c b C +=+． （1）求B 的大小；（2）若b ＝8，a ＞c ，且△ABC的面积为a ．19．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，且CE CS λ=．（1）若23λ=，证明：BE ⊥CD ； （2）若13λ=，求直线BE 与平面SBD 所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，且圆P 与直线x ＝－1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）设过定点S （－2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA ，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝e x ＋ax 2，g （x ）＝x ＋blnx ．若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与曲线y ＝g （x ）在点（1，g （1））处的切线相交于点（0，1）． （1）求a ，b 的值；（2）求函数g （x ）的最小值；（3）证明：当x ＞0时，f （x ）＋xg （x ）≥（e －1）x ＋1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,2x my⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1．C2．D3．D4．A5．B6．B7．C8．B9．C10．B11．C12．D13．114．36 15．121617．解：（1）由条件知S n ＝na n ＋1－n 2－n ，① 当n ＝1时，a 2－a 1＝2；当n≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ， 整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++，所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++．18．解：（1）由22()sin a c b C +=+得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即2(cos 1)sin ac B C +=，所以有sin (cos 1)sin C B B C +=，因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 1B B +=，cos 2sin()16B B B π-=-=，所以1sin()62B π-=．又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=．（2）因为11sin 22ac B ac ==ac ＝12． 又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64， 所以a ＋c ＝10，把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c ）中，得5a =． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA ＝A ，所以CD ⊥平面SAD ． 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ． 因为BF∩EF ＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：以A 为原点，AD 的正方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz ， 则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，2），C （2，3，0）， 所以142(,1,)333BE BC CE BC CS =+=+=，(0,1,2)SB =-，(2,0,2)SD =-．设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则00SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，所以20y z x z -=⎧⎨-=⎩，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||BE BE BE θ⋅===n n n20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ， 因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，② 由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =，1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210200120128(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y xx ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2，代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立， 所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4）， 即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意． 21．（1）解：因为f′（x ）＝e x ＋2ax ， 所以f′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ）， 所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ）， 因为该切线过点（0，1），所以a ＝－1． 又()1bg x x'=+，g′（1）＝1＋b ，切点为（1，1）， 所以切线方程为y ＝（1＋b ）（x －1）＋1，同理可得b ＝－1． （2）解：由（1）知，g （x ）＝x －lnx ，11()1x g x x x-'=-=， 所以当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0；当x ＞1时，g′（x ）＞0， 所以当x ＝1时，g （x ）取极小值，同时也是最小值， 即g （x ）min ＝g （1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝（e －2）x ＋1． 下面证明：当x ＞0时，f （x ）≥（e －2）x ＋1．设h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1，则h′（x ）＝e x －2x －（e －2），再设k （x ）＝h′（x ），则k′（x ）＝e x －2，所以h′（x ）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增． 又因为h′（0）＝3－e ，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0， 所以存在x 0∈（0，1），使得h′（x 0）＝0，所以，当x ∈（0，x 0）∪（1，＋∞）时，h′（x ）＞0；当x ∈（x 0，1）时，h′（x ）＜0． 故h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增． 又因为h （0）＝h （1）＝0，所以h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1≥0， 当且仅当x ＝1时取等号，所以e x －（e －2）x －1≥x 2．由于x ＞0，所以e (e 2)1x x x x---≥． 又由（2）知，x －lnx≥1，当且仅当x ＝1时取等号，所以，e (e 2)11ln x x x x x---+≥≥，所以e x －（e －2）x －1≥x （1＋lnx ），即e x －x 2＋x （x －lnx ）≥（e －1）x ＋1， 即f （x ）＋xg （x ）≥（e －1）x ＋1． 22．解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48， 化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-==．（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sinθ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值． 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x≤－5； 当－2＜x ＜1时，由3x≥2x ＋1，解得x ∈∅； 当x≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．（2）因为x∈（0，2），所以f（x）＞x－2等价于|ax－2|＜4，即等价于26ax x -<<，所以由题设得26ax x-<<在x∈（0，2）上恒成立，又由x∈（0，2），可知21x-<-，63x>，所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1，3]．第11 页共11 页。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)历年模拟、联考试题汇编及答案解析一
历年模拟、联考试题汇编及答案解析（理科）1．【2015新余一中毕业年级第二次模拟】某城市2013年的空气质量状况如下表：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良；100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2013年空气质量达到良或优的概率为( )．A.35 B ．1180 C.119 D ．56【答案】A【解析】由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.2.【重庆市巴蜀中学2015届高三模拟考试】从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )． A.110 B.310 C.35 D.910 【答案】D【解析】 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有 10种，所以所求概率为910，故选D.法二 (间接法)：至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，故所求概率为1－110＝910，故选D. 3.【2015届安徽省黄山市高三第一次质量检测】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（ ） A ．53 B ．52 C ．51D ．103 【答案】A【解析】从5个点中，任取2个点，有2510C 种方法，其中2个点之间的距离不小于该正方形边长的情况有4个边长和2个对角线长共6种情况，所以所求的概率为63105=，则选A.4.【2015届河北省唐山一中等五校高三第二次联考】在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为（ ）A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 【答案】B【解析】∵22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴0,2a b a b >><，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为()111132115222=1-2432S P S ??创==´阴影矩形，故选B ． 5. 【2015·湖北省八校联考】公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________ 【答案】14【解析】∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度L Ω=20，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A 则L A =5，故()51204P A ==. 6.【石室中学高2015届“一诊”模拟考试】从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是 ． 【答案】15【解析】根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有（1、2），（1、3），（1、4），（1、5），（2、3），（2、4），（2、5），（3、4），（3、5），（4、5），共10种情况，其中这两个数的和为5的有（1、4），（2、3），共2种；则取出两个数的和为5的概率P=210=15.故答案为15． 7.【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试】第十二届全运会于2013年8月31日在沈阳举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是_______． 【答案】35【解析】设“至少有一名A 大学志愿者”为M ，从6名志愿者抽2人有2615C =，事件M 包含有24159C -=个基本事件，所以()93155P M ==. 8.【江西师大附中等五校2015届高三第二次联考】已知,(,1),(2,4),||4,k Z AB k AC AB ABC ∈==≤∆若则 是直角三角形的概率是 。
山东省泰安市2018届高三第一轮复习质量检测数学理试题
山东省泰安市2018年3月高三第一轮质量检测数学试题(理科) 2018．3第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}-1012A =，，，，集合{}23,B y y x x A ==-∈⋂，则A B 等于A ．{}101-，，B ．{}11-，C ．{}112-，，D ．{}012，，2．若()125i z i -=，则z 的值为A ．3B ．5CD 3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，6483,a a a =+则A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值34．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据：根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，那么表中m 的值为A ．27．9B ．25．5C ．26．9D ．265．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．66．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是A ．()g x 的周期为πB ．6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()3x g x π=是的一条对称轴 D ．()g x 为奇函数7．以()0,02P F P ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于M ，N 两点，若MNF ∆为正三角形，则抛物线C 的标准方程为A ．2y =B ．2y =C ．2x =D ．2x = 8．()9201cos 2a x dx ax ax π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则展开式中3x 项的系数为 A ．212- B ．638- C ．638 D ．63169．已知m ，n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列命题正确的是A ．//,//,//m n m n αα若则B ．,//αγβγαβ⊥⊥若，则C ．//,//,//m m αβαβ若则D ．,,//m n m n αα⊥⊥若则10．如图，平面四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，2BC CD ==，点E 在对角线AC 上，AC=4，AE=1，则EB ED ⋅的值为A ．17B ．13C ．5D ．111．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为A B C C 12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()()1f x y f x '=-，函数是奇函数，当()()()()1110x x f x x f x '<-+++<⎡⎤⎣⎦时，，则不等式()()10xf x f ->的解集为A ．(1，+∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上．13．设函数()()()()2211log 2,16log 112,1x x x f x f f x -⎧+-<⎪=-+=⎨≥⎪⎩，则 ▲ ． 14．已知实数,x y 满足关系2040,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则22x y -+的最大值是 ▲ ．15．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ ．16．对任意数列123:,,,,,n A a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，定义A ∆为数列2132431,,,,,n n a a a a a a a a +---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，如果数列A 使得数列()A ∆∆的所有项都是1，且122220a a a ===，则 ▲ ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C所对的边分别为()222,,24a b c a b c =-，且． (I)求角B 的大小；(Ⅱ)若1b c =-的取值范围．18．(本小题满分12分)如图，三棱柱1111ABC A B C A -，点在平面ABC 内的射影D 在AC 上11602BAC CAA AB AC AA ∠=∠====，且．(I)求证：11B C A B ⊥；(Ⅱ)求二面角1A B C B --的余弦值．19．(本小题满分12分)体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析
第2题图2018年高三年级模拟考试（一） 数学（理）试卷本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．复数i1i+在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．右面的程序框图输出S 的值为A ．16B ．32C ．64D ．1283．若非空集合,,A B C 满足AB C =，且A 不是B否是k ≤4开始 k =1，S =1 S =S ·2k k =2k输出S结束第4题图的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．24 B ．20+42C ．28D ．24+ 425．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前9项和等于A ．26B ．30C ．36D ．406．若不等式组3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．37B ．73C ．34D.437．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线C DE BOA 第11题图1x =-垂直相交于点B ，||||PB PA =，则cos APB ∠的值为A ．12B ．13C．12-D ．13-8．若定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：x D ∀∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”．已知()21g x x =-，()3f x x b =+ ，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是A ．(10⎤-∞-⎦，B ．1010⎡⎤-⎣⎦， C．310⎡⎤-⎣⎦，D ．)10⎡+∞⎣，第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 9．261()x x+的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答） 10．在△ABC 中，60A ∠=︒，1AC =，△ABC 的面积为3，则BC的长为 ．11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若30ABC ∠=︒，则AD 的长为______.12．若a ,b ,c 是单位向量，且0⋅=a b ，则()()-⋅-a c b c 的 最大值为 ．第14题图13．已知函数2()log f x x =.若0b a ＜＜,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是 ．14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为 ，第n(n ∈N *)行中白圈与黑圈的“坐标”为________．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．（本小题13分）已知函数()()cos sin cos f x x x x =-． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的最大值和最小值．……………………………第1行 …………………第2行 ............ ......... (3)……………………………甲 乙F E16．（本小题13分）中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在[8:00，23:00]内每个整点．．时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t 1，t 2，t 3，…，t 16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率．17．（本小题14分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，EFEA ⊥，22AB EF == ，90AED ∠=︒，AEED =，H 为AD 的中第16题图点．（Ⅰ）求证：EH ∥平面FBD ； （Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角--B FD P 的大小为3π？若存在求出BP 的长，若不存在请说明理由.18．（本小题13分） 已知函数21()()axf x x x e a=--(a ≠0)． （Ⅰ）当12a =时，求函数()f x 的零点； （Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）当0a >时，若02)(≥+ax f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围．19．（本小题14分） 已知椭圆M :2222x y +=. （Ⅰ）求椭圆M 的离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，,,A B C 为椭圆M 上的三个动点，若四边形OABC 为平行四边形，判断ABC ∆的面积是否为定值，并说明理由．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数.（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列； （Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()N m m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．理科数学参考答案一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1 2 3 4 5 6 7 8 ADABCBDD二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 20； 10.13； 11.1；12.12+；13.()3+∞，； 14.()1314， , -1-1313+122n n -（，）．三、解答题（共6个小题，共80分） 15. 解：（Ⅰ）因为()()cos sin cos f x x x x =-()11sin 2cos 2122x x =-+ ……………………………………………4分21sin 2242x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． ………………………………………………6分 所以函数)(x f 的最小正周期22T ππ==． ……………………………7分（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ……………………8分所以当244x ππ-=，即4x π=时，函数)(x f 取得最大值0， (10)分 当242x ππ-=-，即8x π=-时，函数)(x f 取得最小值2122--． ……………………………12分所以()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为0和2122--．……………………………13分16. 解：（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高．……………………………3分（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差．……………………………7分（Ⅲ）由图可得下表：整点时刻800:900:1000:1100:1200:1300:1400:1500:最高气温101112131313132123最低气温46810210311131210温差65431232131223整点时刻1600:1700:1800:1900:2000:2100:2200:2300:最高气温1123121086543最低气温865432231232温差14365431232131……………………………10分由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：（800:，900:），（900:，1000:），（1000:，1100:），（1100:，1200:），（1200:，1300:），（1300:，1400:），（1400:，1500:），（1500:，1600:），（1600:，1700:），（1700:，1800:），（1800:，1900:），（1900:，2000:），（2000:，2100:），（2100:，2200:），（2200:，2300:）．其中满足条件“恰好有一个时刻的温差不小于3 ”的事件（记为A）共有3个：（1100:，1200:），（1500:，1600:），（2000:，2100:）． 所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率31()155P A ==． ……………………………13分17.（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结HO ，FO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 是BD 的中点， 又H 是AD 中点， 所以//OH AB ，12OH AB =． 而//EF AB ，12EF AB =， 所以//EF OH 且EF OH =， 所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FBD ，EH ⊄平面FBD ，OE FD CABH所以//EH 平面FBD ． (5)分（Ⅱ）证明：因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EHAD ⊥．因为//AB EF ，EF EA ⊥， 所以AB EA ⊥． 因为AB AD ⊥， 所以AB⊥平面AED ，因为EH ⊂平面AED ， 所以AB EH ⊥， 所以EH ⊥平面ABCD ．9分（Ⅲ）解：HE ，AD ，OH 两两垂直，如图．建立空间直角坐标系H －xyz ．则()100A ，，，0()10D -，，， ()011F ，， ()010O ，，，0()12C -，，设点()20()02P m m <≤，，，于是有()1,1,1DF =，(),1,1FP m =-． 设平面PDF 的法向量(),,x y z =n ，则PxyzOE FDC A BH00n n DF FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即00x y z mx y z ++=⎧⎨+-=⎩，．令1z =，得21x m =-，11m y m --=-． 所以21,,111n m m m --⎛⎫=⎪--⎝⎭． 平面BDF 的法向量()1,1,0OA =-． 所以cos 3n nOA OA π⋅=⋅ ，即()2221110,,11112212111m m m m m m --⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=--⎛⎫⎛⎫⋅++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，．所以1m =-．所以点P 的坐标为()120-，，，与点C 的坐标相同． 所以2BP BC ==． ……………………………14分18.解：(Ⅰ)令)(=x f ， 即0)1(2=--ax e ax x ． (1)分因为0>ax e ,所以012=--ax x ． ……………………………2分a41+=∆,因为0>a ,所以0>∆.所以方程012=--ax x 有两个不等实根：212a a a x a ++=，222a a ax a-+=．所以函数)(x f 有且只有两个零点212a a ax a++=和222a a a x a-+=. ………3分(Ⅱ)()()21ax f x a x x e a ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭． …………………………4分令()0f x '=，即()210a x x a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2x a=-或1x =． ………………5分当0a >时，列表得：x2(,)a-∞-2a- 2(,1)a- 1 (1,)+∞()f x '+ 0 － 0 + ()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增……………………………6分 当0a <时，（1）若2a <- ，则21a -<，列表得 x2(,)a-∞-2a - 2(,1)a- 1 (1,)+∞()f x '－ 0 + 0 － ()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………7分（2） 若20a -<<，则 21a->，列表得 x(),1-∞1 21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a-2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '－ 0 + 0 － ()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………8分综上，当0a >时，()f x 单调递增区间为2(,)a -∞-，(1,)+∞，单调递减区间为2(,1)a -；当2a <-时，()f x 单调递增区间为2(,1)a -，单调递减区间为2(,)a-∞-，(1,)+∞；当20a -<<时，()f x 单调递增区间为21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),1-∞，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． ……………………………9分(Ⅲ)因为0a >，所以当2x a <-时，有20x >， 2x a->，0a >， 所以210x x a-->，从而()0f x >． ……………………………10分当2x a≥-时，由（Ⅱ）可知函数在1x =时取得极小值1(1)0a f e a=-<．所以，()11af e a=-为函数()f x 在R 上的最小值． ……………………………11分由题意，不等式02)(≥+ax f 对x R ∈恒成立，所以得021≥+-ae aa ，解得2ln 0≤<a ．所以a的取值范围是(]0,ln2． …………………………………………13分19. 解：（Ⅰ）椭圆M 的标准方程为：2212x y +=所以2a =，1b =，1c =． 所以椭圆M的离心率22c e a ==. ……………………4分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC 垂直平分OB ．所以23(,)22A ，23(,)22C -，(2,0)B ． 3AC =，2OB =所以OAC ∆的面积1122OAC S AC OB ∆=⋅632=22411=⨯⨯⨯. …………6分②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=，()()222216421220k m k m ∆=-+->，122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，122221my y k +=+．……………………9分因为四边形OABC 为平行四边形， 所以()12122242211,2km m k OB OA OC x x y y k ⎛⎫=+=++= ⎪+⎝+⎭-，． 所以22422121km m B k k -⎛⎫⎪⎝++⎭，， 代入椭圆方程，化简得D ACOBxy22214k m +=. …………………10分因为AC ()()221212x x y y =-+-2212121()4k x x x x =++-= 21k +()222242242121m km k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭-22222212121k k m k ++-=+261=2k m+. …………………11分点O到AC的距离d =21m k+. …………………12分 所以OAC ∆的面积2OACS AC d ∆1=⋅226162241m k m k1+=⨯⋅=+. 综上，OAC ∆的面积为定值64. ……………………………13分因为OAC ∆的面积等于ABC ∆的面积， 所以ABC ∆的面积为定值64. …………………………………………14分20. 解：(Ⅰ)因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=. (1)分由于11a =，所以21a p =+，231a p p =++.假设数列{}n a 是等差数列，那么1a ，2a ，3a 成等差数列. 所以2132a a a =+，因而20p p -=，解得1p =或0p =. (2)分由已知1p ≠，当0p =，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故p 的值不存在.所以数列{}n a 不可能是等差数列. ………………………………………………3分(Ⅱ) 因为{}n a 是递减数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.因为11a =，所以21a p =-，231a p p =--. 因为数列{}n a 是等比数列，所以22(1)1p p p -=--，得12p =或0p =（舍去）. 则212a =，公比1q 2=，故11()2n n a -=. (4)分设12m n n n n <<<<…，那么11n n +≤，22n n +≤，…，mn m n +≤（1m ≥）．因为111122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (1122)n mn +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1212111111222222mn n n n n n m+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……．……………5分因为12111(11111121122222212mn n n mn n m ++++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-)... (6)分而11111111022222n m n m n a -+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即11122nm n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以12111222n n n mn a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….即:数列{}n a 中的每一项大于其后任意()m m N *∈个项的和. ……………………7分(Ⅲ)由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以2122210n n n n a a a a +--+->．①因为22122n n ->，所以212221n n n n a a a a +-->-. ②由①②知，2120n n a a +->，因此()2221222nn n n a a +-==-.③……9分因为{}2n a 是递减数列，同理得，2210n n a a --<，故()212122122n n n n a a ----=-=-.④由③④可知，()12nn n a a +-=-. ……………………11分因此()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()211222n -=+-+-++-()()()()112122112333nn n⎡⎤⋅-----⎣⎦===---.所以数列{}n a 的通项公式为()()2133nna n N *-=-∈. ………………………13分。
河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测(一)数学(理)试卷及答案
衡水中学2017—2018学年高三一轮复习周测卷（一）理数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列说法正确的是A ．0与{}0的意义相同B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C ．集合{}(,)|32,x y x y x N +=∈是有限集D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素2、已知集合2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈，则A B =IA ．(0,2)B ．[0,2]C ．{}0,2D ．{}0,1,23、设命题2:"1,1"p x x ∀<<，则p ⌝为A ．21,1x x ∀≥<B ．201,1x x ∃<≥C ．21,1x x ∀<≥D ．201,1x x ∃≥≥ 4、已知集合2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-，则集合A B =IA ．1[0,)2B ．[0,1]C ．1(,1]2D ．1(,)2+∞5、设,a b R ∈，则“22log log a b >”是“21a b ->”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27、已知命题2:,10p m R x mx ∀∈--=有解，命题2000:,210q x N x x ∃∈--≤，则下列选项中是假命题的为A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝8、已知集合{|A x y A B φ===I ，则集合B 不可能是 A ．1{|42}x x x +< B ．{(,)|1}x y y x =- C ．φ D ．22{|log (21)}y y x x =-++9、设1,:()[(1)]0p q x a x a ≤---≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是A ．3[1,]2B ．3(1,)2C ．3(,1)[,)2-∞+∞UD ．3(,1)(,)2-∞+∞U10、已知命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是A ．{}(,2]1-∞UB ．(,2][1,2]-∞UC ．[1,)+∞D ．[2,1]-11、对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“*”，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n *=+；当,m n 不全为正奇数时，m n mn *=，则在此定义下，集合{(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈ 的真子集的个数是A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421-12、用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩ ， 若22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能的取值集合是，则A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知含有三个实数的集合既可表示成{,,1}b a a，又可表示成2{,,0}a a b +，则20172017a b +等于14、已知集合2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是15、已知集合{1,1},{|20}A B x ax =-=+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为16、下列说法错误的是 (填序号)①命题“1212,,x x M x x ∃∈≠，有1221[()()]()0f x f x x x -->”的否定是“1212,,x x M x x ∃∉≠，有1221[()()]()0f x f x x x --≤”；②若一个命题的逆命题，则它的否命题也一定为真命题； ③已知21:230,:13p x x q x+->>-，若()q p ⌝∧为真命题，则实数x 的取值范围是(,3)-∞-U (1,2)[3,)+∞U④“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知集合2{|3327},{|log 1}x A x B x x =≤≤=> .（1）分别求,()R A B C B A I U ；（2）已知集合{|1}C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.18、（本小题满分12分）（1）已知:p ，关于x 的方程240x ax -+=有实数，:q 关于x 的函数224y x ax =++在区间[3,)+∞上是增函数，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围； （2）已知22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19、（本小题满分12分）集合219{|()(3)0},{|ln()0}24A x x xB x x ax a =--==+++=（1）若集合B 只有一个元素，求实数a 的值；（2）若B 是A 的真子集，求实数a 的取值范围.20、（本小题满分12分）已知函数()41log ,[,4]16f x x x =∈的值域是集合A ，关于x 的不等式31()2()2x a x a R +>∈的解集为B ，集合5{|0}1x C x x -=≥+，集合{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->. （1）若A B B =U ，求实数a 的取值范围；（2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数()f x =A ，集合22{|290}B x x mx m =-+-≤. （1）若[2,3]A B =I ，求实数m 的值；（2）若12,()R x a x C B ∀∈∃∈，使21x x =，求实数m 的取值范围.22、（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当12x x <时，1212()[()()]0x x f x f x -->，设:p “2(3)(128)0f m f m ++-<”.（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；（2）设:q 集合{|(1)(4)0}A x x x =+-≤与集合{|}B x x m =<的交集为{}|1x x ≤-，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围.。
2019届高三理科数学一轮复习滚动检测卷(全套打包答案)
2019届高三理科数学一轮复习滚动检测一考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位臵上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |7<2x <33，x ∈N }，B ＝{x |log 3(x －1)<1}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{4,5} B ．{3,4,5} C ．{x |3≤x <4}D ．{x |3≤x ≤5}2．“|x －1|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．(2017·肇庆期末)设命题p ：直线x －y ＋1＝0的倾斜角为135°；命题q ：平面直角坐标系内的三点A (－1，－3)，B (1，1)，C (2,2)共线．则下列判断正确的是( ) A ．綈p 为假 B ．(綈p )且(綈q )为真 C ．p 或q 为真D ．q 为真4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1为减函数，则实数m 的取值集合为( )A ．{2}B ．{－1}C ．{2，－1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≠1＋52 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．26．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．28．函数f (x )＝e x －1x的图像大致为( )9．若a >0，b >0，ab >1，12log a ＝ln 2，则log a b 与12log a 的关系是( )A ．log a b <12log aB ．log a b ＝12log aC ．log a b >12log aD ．log a b ≤12log a10．已知f (x )是偶函数，x ∈R ，若将f (x )的图像向右平移一个单位得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)等于( ) A ．－1 003 B ．1 003 C ．1D ．－111．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)12．(2017·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．定义在R 上的奇函数f (x )，f (－1)＝2，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋(a ＋2)x ＋b (a ，b 为常数)，则f (－10)的值为______．14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图像关于点(3,0)对称，则命题p 或q 为______(填“真”或“假”)命题．15．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．18．(12分)(2018·唐山调研)命题p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；命题q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0}，B ＝{x |x >0}且A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围，使命题p ，q 中至少有一个为真命题．19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．20．(12分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60.设旅行团的人数为x ，每个人的机票费为y 元，旅行社的利润为Q 元．成本只算飞机费用．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润．21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，且f (x )＋f (2－x )＝0，f (x ＋1)＝－1f (x )，当12<x <1时，f (x )＝3x .(1)证明：f (x )为奇函数；(2)求f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－12上的表达式； (3)是否存在正整数k ，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时，log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．答案精析1．A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B12．C [∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图像如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，∴y 1＝f (x )和y 2＝log a x 的图像在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y 2＝log a x 的图像，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，a >1，解得3<a <5，故选C.]13．－993 14.真 15．2解析 函数可化为f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1为奇函数，∴g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1的最大值与最小值的和为0.∴M ＋m ＝2.16.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x )，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－x，x >1，2－x －2x，x ≤1， 作出函数g (x )的图像(如图所示)．当x >1时，g (x )是增加的，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )是减少的，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}， 所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18．解 先考虑p ：解得－5<a <7.再考虑q ：①当Δ<0时，A ＝∅，A ∩B ＝∅，此时由(a ＋2)2－4<0，得－4<a <0； ②当Δ≥0时，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a ＋2)2－4≥0，x 1＋x 2＝－(a ＋2)<0，x 1x 2＝1>0，解得a ≥0.由①②可知，a >－4.当p ，q 都为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5或a ≥7，a ≤－4，解得a ≤－5，所以当a 的取值范围是(－5，＋∞)时， p ，q 中至少有一个为真命题．19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根， 可得a ＝－1，b ＝2，则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根， 设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (0)≥0，g (3)≥0，解得3≤c <4.20．解 (1)依题意知，1≤x ≤60，x ∈N ＋，又当1≤x <20时，800x <16 000，不符合实际情况， 故20≤x ≤60，x ∈N ＋. 当20≤x ≤35时，y ＝800；当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧800，20≤x ≤35，且x ∈N ＋，－10x ＋1 150，35<x ≤60，且x ∈N ＋.(2)当20≤x ≤35，且x ∈N ＋时， Q ＝yx －16 000＝800x －16 000， 此时Q max ＝800×35－16 000＝12 000； 当35<x ≤60，且x ∈N ＋时，Q ＝yx －16 000 ＝－10x 2＋1 150x －16 000 ＝－10⎝⎛⎭⎫x －11522＋34 1252， 所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，即Q max ＝17 060.因为17 060>12 000，所以当旅行团的人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，为17 060元．21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6， 设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]， ∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]．∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，52时，函数h (t )是减少的； 当t ∈⎝⎛⎦⎤52，16时，函数h (t )是增加的， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－494，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0，∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t－5成立．令g (t )＝t ＋6t －5，则g (t )在[1，6]上是减少的，在[6，16]上是增加的，而g (1)＝2<g (16)＝918， ∴g (t )max ＝g (16)＝918，∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝918，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，918. 22．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝－1f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )的周期为2，∵f (x )＋f (2－x )＝0，即f (x )＋f (－x )＝0，又∵f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，关于原点对称， ∴f (x )为奇函数．(2)解 当－1<x <－12时，12<－x <1，则f (－x )＝3－x .∵f (x )＝－f (－x )，∴当－1<x <－12时，f (x )＝－3－x .(3)解 任取x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1，则x －2k ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ∵f (x )＝f (x －2k )＝3x －2k，log 3(3x－2k)>x 2－kx －2k 在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解， 即x 2－(k ＋1)x <0在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解， ∵k ∈N ＋，∴(0，k ＋1)∩⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1≠∅， ∴k ＋1>2k ＋12(k ∈N ＋)无解．∴不存在这样的k ∈N ＋，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时， log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解．滚动检测二考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位臵上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·辽宁重点高中协作校期中)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5}，N ＝{1,3,6}，则集合{4,5}等于( ) A ．M ∩(∁U N ) B ．(∁U M )∩(∁U N ) C ．(∁U M )∪(∁U N )D ．M ∪(∁U N )2．(2017·黄山质检)下列命题中正确的是( ) A ．若p 或q 为真命题，则p 且q 为真命题B ．若直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，则a ＝1C ．若命题“存在x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是a <－1或a >3D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”3．(2018·大同调研)给定函数：①y ＝x 12，②y ＝1x ，③y ＝|x |－1，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．① B ．②C ．③D ．④4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >cD ．c >b >a5．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]6．曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．eD.e 227．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图像大致是( )8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.32B ．3C ．2 3D ．99．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π410．(2018届佳木斯市鸡东县二中月考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π8，0，则函数f (x )的递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π8，2k π－π8(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π8，2k π＋3π8(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) 11．己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－(x ＋1)2＋1，函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像的交点个数为( )A ．8B ．9C ．16D ．1812．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1} 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·洛阳一模)已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________． 14．若sin(π＋α)＝35，则cos (－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2＋1sin (3π－α)－cos ⎝⎛⎭⎫－α－π2的值是________．15．(2017·唐山一模)将函数f (x )＝cos ωx 的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的图像，则正数ω的最小值为________． 16．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m ) n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m ) n －m .则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18≤2x －2≤16，B ＝{x |2m ＋1≤x ≤3m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2018届重庆一中月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3(0<φ<2π)，若f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)． (1)求y ＝f (x )的解析式和递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2时，求y ＝f (x )的值域．19．(12分)(2018·葫芦岛调研)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －1200t 2 万元． (1)设该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)求函数f (x )在x ∈[1,2]时的最大值．21.(12分)在△ABC 中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .A ，B ，C 都不是直角，且ac cos B ＋bc cos A ＝a 2－b 2＋8cos A . (1)若sin B ＝2sin C ，求b ，c 的值； (2)若a ＝6，求△ABC 面积的最大值．22．(12分)已知f (x )＝ln(1＋x )－axx ＋1，x ∈R . (1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为5，求a 的值； (2)若函数f (x )的最小值为－a ，求a 的值；(3)当x >－1时，(1＋x )ln(1＋x )＋(ln k －1)x ＋ln k >0恒成立，求实数k 的取值范围．答案精析1．A 2.C 3.D 4.B5．D [因为f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， 如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，当x －2≤ax ＋1时，a ≥1－3x ，而1－3x 在x ＝1处取最大值－2，所以a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．]6．D [y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线的斜率为e 2，相应的切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×e 2×1＝e 22.]7．D [由y ＝e |ln x |－|x －1|可知，函数过点(1,1)， 当0＜x ＜1时，y ＝e－ln x－1＋x ＝1x ＋x －1，y ′＝－1x2＋1＜0.∴y ＝e －ln x －1＋x 在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，y ＝e ln x －x ＋1＝1，故选D.] 8．C [∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin B cos B ＝sin B ， 又∵sin B ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3， ac ≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2－33≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22， 即(a ＋c )2≤12，∴a ＋c ≤2 3.]9．B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位长度后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.]10．C [由题意得2×π8＋φ＝k π(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝3π4，因此2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．∴k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．]11．D [函数y 1＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故f (1＋x )＝f (1－x )． 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (1－x )＝f (x －1)， 因此f (x ＋1)＝f (x －1)，从而函数f (x )是周期为2的函数．可根据函数性质作出函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像，因为函数f (x )的值域为[0,1]，所以只需要考虑区间[－10，10]，数形结合可得交点个数为18.故选D.]12．C [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )恰有两个零点，转化为ln x －ax 2＋ax ＝0，即方程ln x x ＝a (x －1)恰有两解，设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上是增函数， 在(e ，＋∞)上是减函数，且g (1)＝0，当x >e 时，g (x )>0，g ′(1)＝1，作出函数y 1＝g (x )和函数y 2＝a (x －1)的图像如图所示，由图可知，两个函数有两个交点的充要条件是0<a <1或a >1，故选C.] 13.⎝⎛⎭⎫45，1解析 已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，故m >2x x 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上是增加的，故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故p 为真时，m >45； q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得，m <1， 故q 为真时，m <1；若“p 且q ”为真命题， 则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1. 14．－5615.32解析 f (x )向右平移π2个单位长度后得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2ω. ∵sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －3π4， ∴ωx －π2ω＝ωx －3π4＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝32－4k (k ∈Z )，∴正数ω的最小值为32.16.⎝⎛⎭⎫12，1解析 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1.17．解 (1)18≤2x －2≤16,2－3≤2x －2≤24，∴－3≤x －2≤4，∴－1≤x ≤6，∴A ＝{x |－1≤x ≤6}． (2)若B ＝∅，则2m ＋1>3m －1，解得m <2，此时满足题意； 若B ≠∅且B ⊆A ，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≤3m －1，－1≤2m ＋1，3m －1≤6，解得2≤m ≤73.综上所述，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤73. 18．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3， 由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0可知，x ＝π8为函数的对称轴， 则2×π8＋φ＋π3＝k π＋π2，φ＝－π12＋k π，k ∈Z ，由0<φ<2π可知，φ＝11π12或φ＝23π12.又由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)可知，－sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3>sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3<0， 验证φ＝11π12和φ＝23π12，则φ＝11π12符合，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π， 得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，5π4， 则f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 19．解 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝5x －1200x 2－x2－25；当x ＞500时，f (x )＝5×500－1200×5002－x2－25，故f (x )＝⎩⎨⎧－1200x 2＋92x －25，0<x ≤500，－12x ＋1 225，x >500.(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－1200(x －450)2＋19752. 故当x ＝450时，f (x )max ＝1 9752＝987.5；当x ＞500时，f (x )<－12×500＋1 225＝975，故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大． 20．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －12x 2＋1，∴f ′(x )＝1x－x ，∴f ′(2)＝－32，即x ＝2处的切线斜率k ＝－32.已知切点为(2，－1＋ln 2)，∴切线的方程为3x ＋2y －4－2ln 2＝0.(2)∵f ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ＝(x ＋1)(1－ax )x (1≤x ≤2)，当a ≤0时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的， ∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1a ≥2，即0<a ≤12时，f ′(x )≥0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的， ∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1<1a <2，即12<a <1时，f (x )在⎣⎡⎤1，1a 上是增加的， 在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减少的，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝12a －ln a ； 当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1,2]上是减少的，∴f (x )max ＝f (1)＝－32a ＋2.综上所述，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋3＋ln 2，a ≤12，－ln a ＋12a ，12<a <1，－32a ＋2，a ≥1.21．解 (1)∵ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b 2＋8cos A ，∴b 2＋c 2－a 2＝8cos A ，∴2bc cos A ＝8cos A ， ∵cos A ≠0，∴bc ＝4. 又∵sin B ＝2sin C ，由正弦定理，得b ＝2c ，∴b ＝22，c ＝ 2. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ， 即6≥8－8cos A ，∴cos A ≥14，当且仅当b ＝c 时取等号．∴sin A ≤154，∴S ＝12bc sin A ≤152， ∴△ABC 面积的最大值为152. 22．解 (1)∵f ′(x )＝x ＋1－a(x ＋1)2，∴f ′(0)＝1－a ＝5，∴a ＝－4.(2)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝11＋x －a(x ＋1)2＝x ＋1－a (x ＋1)2， 令f ′(x )＝0，则x ＝a －1，①当a －1≤－1，即a ≤0时，在(－1，＋∞)上，f ′(x )>0， 函数f (x )是增加的，无最小值．②当a －1>－1，即a >0时，在(－1，a －1)上，f ′(x )<0， 函数f (x )是减少的；在(a －1，＋∞)上，f ′(x )>0，函数f (x )是增加的， ∴函数f (x )的最小值为f (a －1)＝ln a －a ＋1＝－a ， 解得a ＝1e.综上，若函数f (x )的最小值为－a ，则a ＝1e .(3)由(1＋x )ln(1＋x )＋(ln k －1)x ＋ln k >0，得 ln(1＋x )－x x ＋1＋ln k >0，即－ln k <ln(1＋x )－xx ＋1，令a ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )－xx ＋1， 由(2)可知，当a ＝1时，f (x )在(－1,0)上是减少的，在(0，＋∞)上，f (x )是增加的，∴在(－1，＋∞)上，f (x )min ＝f (0)＝0， ∴－ln k <0，即k >1.滚动检测三考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位臵上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·绵阳一诊)设命题p ：⎝⎛⎭⎫12x＜1，命题q ：ln x ＜1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于( ) A.1＋22B ．－1＋22C.1＋32D ．－1＋323．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 等于( ) A ．－14B.14C.78D.11164．(2018·新余模拟)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.则满足条件的三角形的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增加的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝x 2＋2x8．(2017·重庆三诊)已知a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则实数m 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．49．(2018届洛阳联考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( ) A ．m ＋n ≤－2 B ．－2≤m ＋n <－1 C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <010．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且f (0)＝12，则函数h (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1，3] B ．[－2，3] C ．[－3，2]D ．[1，3]12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12e B.⎝⎛⎭⎫－∞，12e C.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12e ，1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．1(2x ⎰＋1－x 2)d x ＝________.14．(2018届乐山调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为______．15．(2017·石嘴山三模)给出下列命题：①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1＞a b，则a ＜b ； ②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若任意x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)＜f (2)一定成立；③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确的命题的序号是________．16．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，若在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018·泉州模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4，f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围．18．(12分)(2017·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin C －sin A )＝sin B .(1)求b c －a的值； (2)若b ＝2，BA →·BC →＝32，求△ABC 的面积．19.(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)．20．(12分)(2018届西安模拟)已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，设向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12. (1)若m ∥n ，求x 的值；(2)若m·n ＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的值．21.(12分)某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t 分钟内投放净化剂的路径长度p (t )＝140－|t －40|(单位：m)，净化剂净化水体的宽度q (单位：m)是时间t (单位：分钟)的函数：q (t )＝1＋a 2t(a 由单位时间投放的净化剂数量确定，设a 为常数，且a ∈N ＋)．(1)试写出投放净化剂的第t 分钟内净化水体面积S (t )(1≤t ≤60，t ∈N ＋)的表达式；(2)求S (t )的最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若f(x)有极值0，求实数a，并确定该极值为极大值还是极小值；(2)在(1)的条件下，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥mx ln(x＋1)恒成立，求实数m的取值范围．答案精析1．B [命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，即x ＞0；命题q ：ln x ＜1，即0＜x ＜e ，所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选B.]2．B [cos(－2 640°)＝cos 2 640°＝cos(7×360°＋120°)＝cos 120°＝－12， sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22， 故cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－12－22＝－1＋22.] 3．A [在△ABC 中，∵b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，由正弦定理， 得2b ＝3c ，可得a ＝2c ，b ＝32c ，再由余弦定理可得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝⎝⎛⎭⎫32c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14，故选A.] 4．B [由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ，sin C ＝32，由于c ＞b ， 所以有两种可能，故选B.]5．A [∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴⎝⎛⎭⎫12|－x －m |－1＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1，∴|－x －m |＝|x －m |，(－x －m )2＝(x －m )2，∴mx ＝0，m ＝0.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1，∴f (x )在[0，＋∞)是减少的，并且a ＝f (|log 123|)＝f (|log 23|)，b ＝f (|log 25|)，c ＝f (0)．∵0＜log 23＜log 25，∴c ＞a ＞b ，故选A.]6．D [因为f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，－1]上恒成立，即a ≤(3x 2)min ＝3，故选D.]7．B [对于答案A ，C ，当取x 1＝1，x 2＝2时，显然x 1＜x 2，但y 1＞y 2，故不是递增函数，则两个答案都不正确；对于答案D ，由于f (－1)＝1＋12＝32，f (1)＝1＋2＝3，即f (－1)≠f (1)，故不是偶函数，也不正确；对于答案B 结合所学基本初等函数的图像和性质可知函数f (x )＝lg|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，lg (－x )，x ＜0是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，故选B.]8．C [由a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0,6－2m ＝0，解得m ＝3，故选C.]9．C [∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC →＝mOA →＋nOB →，∴|OC →|＝|mOA →＋nOB →|，可得OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →，而OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB <|OA →|·|OB →|＝1.∴1＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →<m 2＋n 2＋2mn ，∴m ＋n <－1或m ＋n >1，如果m ＋n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形，∴m ＋n <－1，故选C.]10．A [(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝CB →·(MB →－MA →＋MC →－MA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 的形状为等腰三角形．]11．A [因为f (x ＋π)＝－f (x )，所以函数f (x )的周期为2π，ω＝1，由f (0)＝sin φ＝12且|φ|＜π2，得φ＝π6， 所以h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知π6≤x ＋π6≤2π3， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，h (x )∈[－1，3]， 故选A.]12．A [由x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0(x ＞0，y ＞0)，得a ＝x 2(ln y －ln x )y 2＝ln y x⎝⎛⎭⎫y x 2，令t ＝y x (t ＞0)，所以a ＝ln t t 2.设g (t )＝ln t t 2(t >0)，g ′(t )＝1t ·t 2－(ln t )2t t 4＝1－2ln t t 3， 令g ′(t )＞0，得0＜t ＜e ，g (t )是增加的；令g ′(t )＜0，得t ＞e ，g (t )是减少的．所以g (t )最大值为g (e)＝12e.又当t ＞1时，g (t )＞0；当0＜t ＜1时，g (t )＜0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，存在两个正数t ，使a ＝ln t t 2成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，故选A.]13．1＋π4解析 由微积分基本定理，得10⎰2x d x ＝x 2|10＝1，曲线y ＝1－x 2(0<x <1)表示单位圆的四分之一，则10⎰1－x 2d x ＝14×π×12＝π4， 由此可得，10⎰ (2x ＋1－x 2)d x ＝1＋π4. 14.13 解析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理可得BC ＝19，又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419＝－173， 解得λ＝13. 15．①③解析 ①已知a ，b 都是正数，a ＋1b ＋1＞a b，ab ＋b ＞ab ＋a ，则a ＜b 正确； ②若f (x )是常函数，则f (1)＜f (2)不成立，③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”⇒“x ＋y ≤2”，反之不成立，则“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充分不必要条件．正确的命题序号为①③.16．(6，＋∞)解析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，则x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，∵函数的定义域为[0,2]，∴当x ∈[0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间[0,1)上是减少的，在区间(1,2]上是增加的，则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，f (0)＝m ，由题意知，f (1)＝m －2＞0；①由f (1)＋f (1)＞f (2)，得－4＋2m ＞2＋m ，②由①②得m >6.17．解 (1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 而f (x )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.又∵2π3－x ＝π－2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝－12. (2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b . 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. 又∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B 2＋π6＜π2，∴f (B )∈⎝⎛⎭⎫1，32. 18．解 (1)由正弦定理，得2(c －a )＝b ，即b c －a＝2； (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(c －a )＝b ，b ＝2，BA →·BC →＝ca cos B ＝32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ c －a ＝1，ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，所以cos B ＝34， 所以sin B ＝74，所以S ＝12ac sin B ＝74.19．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)令S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)， 则S ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f (2 011)＋f (2 010)＋…＋f (2)＋f (1)， 则2S ＝4 022，故S ＝2 011.20．解 (1)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m ∥n ， 所以sin x ·12＝cos x ·32，即tan x ＝3， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以x ＝π3. (2)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m·n ＝35， 所以32sin x ＋12cos x ＝35， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，令θ＝x ＋π6， 则x ＝θ－π6，且sin θ＝35， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4＝35×22－45×22＝－210.21．解 (1)由题意， 得S (t )＝p (t )·q (t )＝(140－|t －40|)⎝⎛⎭⎫1＋a 2t ＝⎩⎨⎧ 100＋a 2＋t ＋100a 2t，1≤t ＜40，t ∈N ＋，180－a 2－t ＋180a 2t ，40≤t ≤60，t ∈N ＋.(2)当40≤t ≤60且t ∈N ＋时，S (t )＝180－a 2－t ＋180a 2t ， 当t 增加时180a 2t减小，所以S (t )在40≤t ≤60上是减少的， 所以当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120.当1≤t ＜40且t ∈N ＋时，S (t )＝100＋a 2＋t ＋100a 2t ≥100＋a 2＋20a (当且仅当t ＝10a 时，等号成立)，①若a ＝1或2或3；当t ＝10a 时，上述不等式中的等号成立，S (t )在1≤t ＜40范围中有最小值a 2＋20a ＋100.又在40≤t ≤60时S (t )有最小值2a 2＋120.当a ＝1时，100＋a 2＋20a ＝121＜122＝2a 2＋120，故S (t )有最小值121；当a ＝2或a ＝3时，100＋a 2＋20a ＞2a 2＋120，故S (t )有最小值2a 2＋120.②若a ≥4且1≤t ＜40时，因为S (t ＋1)－S (t )＝1＋100a 2t ＋1－100a 2t ＝1－100a 2t (t ＋1)<0， 所以S (t ＋1)<S (t )，故S (t )在1≤t <40时是减少的；又S (t )在40≤t ≤60时是减少的，且100＋a 2＋40＋100a 240＝180－a 2－40＋180a 240， 所以S (t )在1≤t ≤60时是减少的．所以，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120.综上，若a ＝1，当t ＝10时，S (t )有最小值121；若a ≥2且a ∈N *，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120.22．解 (1)f ′(x )＝e x －a .①若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的，无极值，不符合题意；②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，ln a )上是减少的；当x ∈(ln a ，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )在(ln a ，＋∞)上是增加的． 所以，当x ＝ln a 时，f (x )取到极小值，f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝0，即a ln a －a ＋1＝0.令φ(a )＝a ln a －a ＋1(a >0)，则φ′(a )＝ln a ＋a ·1a－1＝ln a ， 当0＜a ＜1时，φ′(a )＜0，φ(a )是减少的；当a ＞1时，φ′(a )＞0，φ(a )是增加的．又φ(1)＝0，所以a ln a －a ＋1＝0有唯一解a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝e x －x －1，当x ≥0时，f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立，即e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0(x ∈[0，＋∞))恒成立．令g (x )＝e x －x －mx ln(x ＋1)－1(x ∈[0，＋∞))，则g ′(x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mx x ＋1(x ∈[0，＋∞))， 令h (x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mx x ＋1(x ∈[0，＋∞))， 则h ′(x )＝e x －m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1， h ′(0)＝1－2m,0＜1(x ＋1)2＋1x ＋1≤2(当且仅当x ＝0时取“＝”)． ①当m ≤0时，h ′(x )＞0，h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝0，所以g (x )≥0，所以e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．②当0＜m ≤12时，h ′(x )是增函数， h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ≥0，所以h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以h (x )min ＝h (0)＝0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝0， 所以g (x )≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．③当m ＞12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ＜0，当x →＋∞时，e x →＋∞，－m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1→0，所以h ′(x )→＋∞，则存在x 0＞0，使得h ′(x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，x 0)上是减少的， 此时h (x 0)＜h (0)＝0，即g ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，所以g (x )在(0，x 0)上是减少的，g (x 0)＜g (0)＝0，不符合题意． 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.滚动检测四考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位臵上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(3,10) D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ－sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C. 35D. 453．(2018届衡水联考)已知命题p ：任意x ∈R ，(2－x )12<0，则命题綈p 为( )A ．存在x ∈R ，(2－x )12>0B ．任意x ∈R ，(1－x )12>0C ．任意x ∈R ，(1－x )12≥0D ．存在x ∈R ，(2－x )12≥04．(2018·济宁模拟)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1，－1)D ．(1,3)5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为( ) A.43 B.413 C ．－49D ．46．(2017·贵阳适应性考试)设命题p ：若y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x －2)图像关于点(2,0)对称，则函数y ＝f (x )是奇函数，命题q ：任意x ≥0， 12x ≥13x ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )或q C ．p 且(綈q )D ．(綈p )且(綈q )7．已知a ＝1213⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝121log 3，c ＝31log 2，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >b >cD ．b >a >c8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 39．(2018届吉林松原模拟)已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →等于( )。
2018-2019学年度高三数学一轮复习周测卷
2018-2019学年度高三一轮复习周测卷（一）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A. A=BB. A∩B=ΦC. A⫋BD. B⫋A2.已知集合M={0，1，2}，集合N={y|y=x2，x∈M}，则M∪N=（）A.{0}B. {0，1}C. {0，1，2}D. {0，1，2，4}3.设全集U=R，集合A={x|x2<6x，x∈N}，B={x|3<x<8，x∈N}，则下图中阴影部分表示的集合是（）A. {1，2，3，4，5}B. {3，4}C. {1，2，3}D. {4，5，6，7})，f(x)<0，则（）4.已知函数f(x)=3sin x−πx，命题p：∀x∈(0，π2)，f(x)>0A. p是真命题；¬p：∀x∈(0，π2)，f(x0)>0B. p是真命题；¬p：∃ x0∈(0，π2)，f(x)≥0C. p是假命题；¬p：∀x∈(0，π2)，f(x0)≥0D. p是假命题；¬p：∃ x0∈(0，π25. 已知命题p：∀x∈R，2x<3x；命题q：∃ x0∈R，x03=1−x02，则下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. (⌝p)∧qC. p∧(⌝q)D. (⌝p)∧ (⌝q)6.若x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.下列命题是真命题的是（）①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2+ x−m=0有实根的逆否命题”；④“∃ x0∈R，x02+x0+2≤0”的否定.A.①③④B.①②③④C.②③④D.①④8.“函数f(x)=|a−3x|在区间[1，+∞)内为增函数”是“a=3”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知含有三个实数的集合可以表示为{a，1，ba}，也可以表示为{a+b，0，a2}，则a2017+b2017的值是（）A. 0B. 1C. −1D. ±110.下列说法不正确的是（）A. 若“p∧q”为假，则p，q至少有一个是假命题B. 命题“∃ x0∈R，x02−x0−1<0”的否定是“∀x∈R，x2−x−1≥0”C. “φ=π2”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件D. 若a<0，则幂函数y=x a在区间(0，+∞)内单调递减11.已知集合A={x|a+1≤x≤2a+1}，B={x|−2≤x≤5}，且A⊆B，则实数a的取值范围是（）A. (−∞，2)B. (−∞，3)C. [2，3]D. (−∞，3]12.设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 集合A={(x，y)|{x+y=1x−y=−1}=.14. 已知“∀x∈R，ax2+2ax+1>0”为真命题，则实数a的取值范围是.15. 若集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则满足条件的实数a构成的集合为.16. 设集合P n={1，2，…，n}，n∈N∗，记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈C Pn A，则2x∉C PnA.则f(4)=.第Ⅱ卷三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知集合A={x|x2+4x=0}，集合B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}.（1）若A∪B=B，求实数a的值；（2）若A∩B=B，求实数a的值.|≤2；q：x2−2x+1≤m2(m>0).若⌝p是⌝q的必要不充分18.（本小题满分12分）已知命题p：|1−x−13条件，求实数m的取值范围.19.（本小题满分12分）已知集合M中的元素均是自然数，且满足：如果x∈M，那么(4−x)∈M.请回答下列问题：（1）写出只有一个元素的集合M；（2）写出元素的个数为2的集合M；（3）满足题设条件的集合M共有多少个？20.（本小题满分12分）已知命题p：log2(6x+12)≥log2(x2+3x+2)；命题q：4ax+a<2x2−2x−3.（1）若p为真命题，求x的取值范围；（2）若p为真命题是q为真命题的充分条件，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）设命题p：关于x的不等式x2+2x−4−a≥0对任意x∈R恒成立；命题q：已知a≠0，且a≠±1，函数y=−|a|x在R上是减函数.若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围.22.（本小题满分12分）已知命题p：2x2−9x+a<0；q：{x 2−4x+3<0x2−6x+8<0.若⌝p是⌝q的充分条件，求实数a的取值范围.。
2018届高三上学期一轮复习周测数学(理)试题含答案
2018-2019学年度高三一轮复习周测卷（一）理数一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是（ ）A ．0与{}0的意义相同B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C ．集合(){},|32,A x y x y x N =+=∈是有限集 D ．方程2210xx ++=的解集只有一个元素2.已知集合{}{}2|60,,4,A x x x x R B x x Z =+-≤∈=∈，则A B = （ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 3.设命题:p “21,1x x ∀<<”，则p ⌝为（ ）A ．21,1x x ∀≥<B ．2001,1x x ∃<<C ．21,1x x ∀<≥ D ．2001,1x x ∃≥≥4.已知集合{}(){}2|0,|lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则集合A B = （ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[]0,1 C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5.设,a b R ∈，则“22log log a b >”是“21a b->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.设()()221:0,:21101x p q x a x a a x -≤-+++<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭7.已知命题2:,10p m R x mx ∀∈--=有解，命题2000:,210q x N x x ∃∈--≤，则下列选项中是假命题的为（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝ C. p q ∨ D ．()p q ∨⌝8.已知集合{|,A x y A B φ=== ，则集合B 不可能是（ ）A ．{}1|42x x x +< B ．(){},|1x y y x =- C. φD ．(){}22|log 21y y x x =-++9.设()()1,:10p q x a x a ---≤⎡⎤⎣⎦，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()3,1,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()3,1,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭10.已知命题[]2:1,2,0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=.若命题p 且q是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]{},21-∞-B ．(][],21,2-∞- C. [)1,+∞ D ．[]2,1- 11.对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“*”，法则如下：当,m n 都是正奇数时，*m n m n =+；当,m n 不全为正奇数时，*m n mn =，则在此定义下，集合(){}**,|*16,,M a b a b a N b N ==∈∈的真子集的个数是（ ）A ．721- B ．1121- C. 1221- D ．1421-12.用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若{}()(){}221,2,|20A B x x axxax ==+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ）A ． 4B ． 3 C. 2 D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13.已知含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20172017a b +等于 ．14.已知集合{}{}2|230,|1A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ．15.已知集合{}{}1,1,|20A B x ax =-=+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为 ．16.下列说法中错误的是 （填序号）.①命题“1212,,x x M x x ∃∈≠，有()()()12210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦”的否定是“1212,,x x M x x ∀∉≠，有()()()12210f x f x x x --≤⎡⎤⎣⎦”； ②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；③已知21:230,:13p x x q x+->>-，若()q p ⌝∧为真命题，则实数x 的取值范围是()()[),31,23,-∞-+∞ ；④“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合{}{}2|3327,|log 1xA xB x x =≤≤=>.（1）分别求(),R A B C B A ；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.18.（1）已知:p 关于x 的方程240x ax -+=有实根；:q 关于x 的函数224y x ax =++在区间[)3,+∞上是增函数，若“p 或q ”是真命题，“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围；（2）已知()()()22:431;:2110p x q x a x a a -≤-+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 19.集合()219|30,|ln 024A x x x B x x ax a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=--=+++=⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭. （1）若集合B 只有一个元素，求实数a 的值； （2）若B 是A 的真子集，求实数a 的取值范围. 20. 已知函数()41log ,,416f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域是集合A ，关于x 的不等式()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合5|01x C x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->.（1）若A B B = ，求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围.21. 已知函数()f x =A ，集合{}22|290B x x mx m =-+-≤.（1）若[]2,3A B = ，求实数m 的值；（2）若()12,R x A x C B ∀∈∃∈，使21x x =，求实数m 的取值范围.22.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当12x x <时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，设:p “()()231280f m f m ++-<”.（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；（2）设:q 集合()(){}|140A x x x =+-≤与集合{}|B x x m =<的交集为{}|1x x ≤-，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DDBCA 6-10: BBDAA 11、12：CB 二、填空题13. -1 14. ()3,+∞ 15. {}0,2,2- 16.①③④ 三、解答题17.解：（1）∵3327x ≤≤，即13333x ≤≤，∴13x ≤≤，∴{}|13A x x =≤≤，∵2log 1x >，即22log log 2x >，∴2x >，∴{}|2B x x =>，∴{}|23A B x x =<≤ ，{}(){}|2,|3R R C B x x C B A x x =≤=≤ ；（2）由（1）知{}|13A x x =≤≤，若C A ⊆，当C 为空集时，1a ≤，当C 为非空集合时，可得13a <≤， 综上所述，实数a 的取值范围为(],3-∞. 18.解：（1）若p 真，则2440a ∆=-⨯≥， ∴4a ≤-或4a ≥，若q 真，则34a-≤，∴12a ≥-， 由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题， 知p 、q 一真一假，当p 真q 假时：12a <-； 当p 假q 真时：44a -<<.综上，实数a 的取值范围为()(),124,4-∞-- ；（2）1:1,:12p x q a x a ≤≤≤≤+，∴1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，∴102a ≤≤，∴实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19.解：（1）根据题意知集合25:04B x ax a +++=有两个相等的实数根， 所以254054a a a ⎛⎫∆=-+=⇒= ⎪⎝⎭或-1； （2）根据条件，知1,32A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，B 是A 的真子集，所以当B φ=时，2540154a a a ⎛⎫∆=-+<⇒-<< ⎪⎝⎭，当B φ≠时，根据（1）将5,1a =-分别代入集合B 检验，当5a =时，52B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，不满足条件，舍去；当1a =-时，12B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)1,5-.20.解：（1）因为41>，所以()f x 在区间1416⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()()44min max 1log 2,log 4116f x f x ==-==，所以[]2,1A =-. 由()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，可得()322x a x -+>，即3x a x -->，所以4a x <-，所以,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭. 又因为A B B =U ，所以A B ⊆． 所以14a->，解得4a <-， 所以实数a 的取值范围为(),4-∞-． （2）由501xx -≥+，解得15x -<≤，所以(]1,5C =-． 因为D C ⊆，①当121m m +≥-，即02m <≤时，D φ=，满足D C ⊆； ②当121m m +<-，即2m >时，D φ≠，所以11215m m +>-⎧⎨-≤⎩，解得23m -<≤，又因为2m >，所以23m <≤， 综上所述，实数m 的取值范围为(]0,3.21.解：（1）{}{}|13,,|33,,A x x x R B x m x m x R m R =-≤≤∈=-≤≤+∈∈， 因为[]2,3A B =I ，所以32m -=，且33m +≥，所以5m =.（2）由已知，得R A C B ⊆，所以33m ->或31m +<-，解得4m <-或6m >，所以实数m 的取值范围为()(),46,-∞-+∞U . 22.解：（1）∵函数()f x 是奇函数， ∴()()0f x f x +-=，∵当12x x <时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，∴函数()f x 为R 内的增函数，∵()()()()231280,f m f m f x f x ++-<-=-， ∴()()23812f m f m +<-，∴23812m m +<-.若p 为真，则28150m m -+<，解得35m <<. ∴实数m 的取值范围是()3,5. （2）{}|14A x x x =≤-≥或， 若q 为真，则14m -<≤.∵p q ∧为假，p q ∨为真，∴p q 、一真一假. 若p 真q 假，则45m <<； 若p 假q 真，则13m -<≤.综上，实数m 的取值范围是(]()1,34,5-U .。
湖南省澧县一中2018届高三一轮复习第一次检测考试数学(理科)试题(解析版)
湖南省澧县一中2018届高三一轮复习第一次检测考试数学（理科）试题一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x ∈N|x 2+2x ﹣3≤0}，则集合A 的真子集个数为 （ ） A. 3 B. 4 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】 求出集合 ，由此能求出集合A 的真子集的个数．【详解】由题集合 ，∴集合A 的真子集个数为 ．故选：A ．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定 为A. ,B. ,C.,D.,【答案】C 【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值. 详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：D．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题.10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】根据题意得，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）=lnx，若a=f（2﹣0.3），b=f（log3π），c=f（﹣）则a，b，c大小关系是（）A. b＞a＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，将向左平移一个单位得到，此时函数关于原点对称，则函数）是奇函数；当时，是单调增函数，∴在定义域R上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞）B. （0，+∞）C. （1，+∞）D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R，4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)第一次高考模拟试题及答案解析
2018年高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卷相应的位置上.1．若z l =a+2i ，z 2=3﹣4i ，且为纯虚数，则实数a 的值为 ．2．在边长为1的正方形ABCD 中，设，则= ．3．已知命题p ：x 2﹣x ≥6，q ：x ∈Z ，则使得“p 且q ”与“非q ”同时为假命题的所有x 组成的集合M= ．4．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f （1）+f （2）+f （3）+…f （2015）= ．5．某单位从4名应聘者A ，B ，C ，D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是 ．6．某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如图所示，若（130，140]分数段的人数为90人，则（90，100]分数段的人数为 ．7．已知l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l ⊂β，且α⊥β，则l ⊥α； ②若l ⊥β，且α∥β，则l ⊥α； ③若l ⊥β，且α⊥β，则l ∥α； ④若α∩β=m ，且l ∥m ，则l ∥α．其中真命题的序号是 ．（填上你认为正确的所有命题的序号）8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若，则= ．9．设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m+3=0交于点P （x ，y ）．则|PA|•|PB|的最大值是 ．10．在如图所示的流程图中，若输入n 的值为11，则输出A 的值为 ．11．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11+a 9a 12=2e 5，则lna 1+lna 2+…+lna 20= ．12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+=1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若|AF 1|=3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为 ．13．函数f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．设函数f （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f （1﹣x ）=1﹣f （x ）．则= ．14．设函数f （x ）=x 2﹣ax+a+3，g （x ）=ax ﹣2a ．若存在x 0∈R ，使得f （x 0）＜0与g （x 0）＜0同时成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：15．设函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，函数y=f （x+）为偶函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若α为锐角，f （+）=，求sin2α的值．16．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，∠A 1AC=60°，AA 1=AC=BC=1，A 1B=．（1）求证：平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1；（2）如果D 为AB 的中点，求证：BC 1∥平面A 1CD ．17．某工厂接到一标识制作订单，标识如图所示，分为两部分，“T 型”部分为宽为10cm 的两个矩形相接而成，圆面部分的圆周是A ，C ，D ，F 的外接圆．要求如下：①“T 型”部分的面积不得小于800cm 2；②两矩形的长均大于外接圆半径．为了节约成本，设计时应尽量减小圆面的面积．此工厂的设计师，凭直觉认为当“T 型”部分的面积取800cm 2且两矩形的长相等时，成本是最低的．你同意他的观点吗？试通过计算，说说你的理由．18．已知椭圆C ：x 2+2y 2=4，（1）求椭圆C 的离心率（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y=2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系，并证明你的结论．19．（2014•淮安模拟）已知函数f （x ）=（x ﹣a ）2e x 在x=2时取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[m ，n]，使得f （x ）在该区间上的值域为[e 4m ，e 4n]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．20．已知数列{a n }中，a 2=a （a 为非零常数），其前n 项和S n 满足：S n =（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且am 2﹣Sn=11，求m、n的值；（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an }中满足an+b≤p的最大项恰为第3p﹣2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卷相应的位置上.1．若z l =a+2i ，z 2=3﹣4i ，且为纯虚数，则实数a 的值为 ．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】把z l =a+2i ，z 2=3﹣4i 代入，然后化简，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，利用实部等于0，虚部不为0，求出a 即可．【解答】解： =它是纯虚数，所以3a ﹣8=0，且4a+6≠0，解得a=故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，是基础题．2．在边长为1的正方形ABCD 中，设，则= 2 ． 【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【专题】计算题．【分析】由题意可得||=1，||=， +=，可得=2||，从而得到答案．【解答】解：∵边长为1的正方形ABCD 中，设，∴||=1，||=， +=．∴==|﹣2|=2||=2，故答案为 2． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．3．已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，则使得“p且q”与“非q”同时为假命题的所有x组成的集合M= {﹣1，0，1，2} ．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】由题设条件先求出命题P：x≥3或x≤﹣2．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知﹣2＜x ＜3，x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．【解答】解：由命题p：x2﹣x≥6，得到命题P：x≥3或x≤﹣2；∵¬q为假命题，∴命题q：x∈Z为真翕题．再由“p且q”为假命题，知命题P：x≥3或x≤﹣2是假命题．故﹣2＜x＜3且x∈Z．∴满足条件的x的集合为{﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．属基础题．4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f （1）+f （2）+f （3）+…f （2015）= 0 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，克的函数的解析式；再利用利用周期性求得要求的式子的值．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，可得A=2，•=6﹣2，∴ω=．再根据图象经过原点，可得φ=0，∴f（x）=2sin x．由于f（x）的周期为=8，f （1）+f （2）+f （3）+…f （8）=0，则f （1）+f （2）+f （3）+…f （2015）=251×0+f （1）+f （2）+f （3）+…f （7）=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，利用周期性求函数的值，属于基础题．5．某单位从4名应聘者A，B，C，D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A，B两人中至少有1人被录用的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】先利用排列组织知识求出A，B两人都不被录用的概率，再用间接法求出A，B两人中至少有1人被录用的概率．【解答】解：某单位从4名应聘者A，B，C，D中招聘2人，∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴A，B两人都不被录用的概率为=，∴A，B两人中至少有1人被录用的概率p=1﹣=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其计算公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如图所示，若（130，140]分数段的人数为90人，则（90，100]分数段的人数为810 ．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】先分别求出130～140分数段的频率与90～100分数段的频率，然后根据频数，求出这次抽考的总人数，最后根据频数=总数×频率求出（90，100]分数段的人数即可．【解答】解：根据直方图，组距为10，在（130，140]内的，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为（90，100]内的，所以频率为0.45，设该区间的人数为x，则由，得x=810，即（90，100]分数段的人数为810．故答案为：810．【点评】该题考查频率分布直方图的意义及应用图形解题的能力，频数=频率×样本容量，属于基础题．7．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是②．（填上你认为正确的所有命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】对于①，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于③，若l⊥β，α⊥β，则l ∥α或l⊂α；对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α【解答】解：对于①，若l ⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l 与两面的交线垂直时才有l ⊥α，所以①错；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l ⊥β，α∥β，l ⊥α；②正确对于③，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α或l ⊂α，所以③错对于④，若l ∥m ，且α∩β=m ，则l ∥α或l ⊂α，所以④错故答案为②【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若，则= ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等差数列的求和公式表示出S 3与S 7，代入已知的等式左边，整理后得到a 1=6d ，将所求式子的分子分母分别利用等差数列的求和公式化简，将a 1=6d 代入，约分后即可求出值．【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和， =， 且S 3=3a 1+3d ，S 7=7a 1+21d ，∴=， 整理得：a 1=6d ，则===．故答案为：【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA ⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．在如图所示的流程图中，若输入n的值为11，则输出A的值为．【考点】程序框图．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由程序框图，执行程序，写出运行结果，找出其规律，以4为周期，即可得到结论．【解答】解：由程序框图，执行程序，运行结果如下：A=2 I=1A=﹣3 I=2A=﹣ I=3A= I=4 A=2 I=5 A=﹣3 I=6A=﹣ I=7A= I=8 A=2 I=9 A=﹣3 I=10A=﹣ I=11此时A=，退出循环 故答案为：．【点评】本题考查循环结构，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．11．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11+a 9a 12=2e 5，则lna 1+lna 2+…+lna 20= 50 ． 【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a 10a 11=e 5，然后利用对数的运算性质化简后得答案． 【解答】解：∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11+a 9a 12=2e 5， ∴a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5， ∴a 10a 11=e 5，∴lna 1+lna 2+…lna 20=ln （a 1a 2…a 20）=ln （a 10a 11）10 =ln （e 5）10=lne 50=50． 故答案为：50．【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+=1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若|AF 1|=3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为 x 2+=1 ．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出B （﹣c ，﹣ b 2），代入椭圆方程，结合1=b 2+c 2，即可求出椭圆的方程． 【解答】解：由题意，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|=b 2， ∴A 点坐标为（c ，b 2）， 设B （x ，y ），则 ∵|AF 1|=3|F 1B|，∴（﹣c ﹣c ，﹣b 2）=3（x+c ，y ）∴B （﹣c ，﹣ b 2），代入椭圆方程可得，∵1=b 2+c 2，∴b 2=，c 2=，∴x 2+=1．故答案为：x 2+=1．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．函数f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．设函数f （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f （1﹣x ）=1﹣f （x ）．则=．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知函数f （x ）满足的三个条件求出f （1），f （），f （），进而求出f （），f（）的函数值，又由函数f （x ）为非减函数，求出f （）的值，即可得到答案．【解答】解：∵f （0）=0，f （1﹣x ）=1﹣f （x ）， 令x=1，则f （0）=1﹣f （1），解得f （1）=1，令x=，则f （）=1﹣f （），解得：f （）=．又∵，∴f （）=f （1）=，f （）=f （）=，f （）=f （）=， 又由f （x ）在[0，1]上为非减函数，故f （）=，∴f （）+f （）=． 故答案为：．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．14．设函数f （x ）=x 2﹣ax+a+3，g （x ）=ax ﹣2a ．若存在x 0∈R ，使得f （x 0）＜0与g （x 0）＜0同时成立，则实数a 的取值范围是 （7，+∞） ． 【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法． 【专题】压轴题．【分析】函数f （x ）=x 2﹣ax+a+3的图象恒过定点（1，4），g （x ）=ax ﹣2a 的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．【解答】解：由f （x ）=x 2﹣ax+a+3知f （0）=a+3，f （1）=4， 又存在x 0∈R ，使得f （x 0）＜0，知△=a 2﹣4（a+3）＞0即a ＜﹣2或a ＞6， 另g （x ）=ax ﹣2a 中恒过（2，0）， 故由函数的图象知：①若a=0时，f （x ）=x 2﹣ax+a+3=x 2+3恒大于0，显然不成立． ②若a ＞0时，g （x 0）＜0⇔x 0＜2③若a ＜0时，g （x 0）＜0⇔x 0＞2此时函数f（x）=x2﹣ax+a+3图象的对称轴x=，故函数在区间（，+∞）上为增函数又∵f（1）=4，）＜0不成立．∴f（x故答案为：（7，+∞）．【点评】充分挖掘题目中的隐含条件，结合图象法，可使问题的解决来得快捷．本题告诉我们，图解法对于解决存在性问题大有帮助．二、解答题：15．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，函数y=f（x+）为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若α为锐角，f（+）=，求sin2α的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；二倍角的正弦．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由题意可得，函数的周期为=π，求得ω=2．再根据函数y=f（x+）=sin（2x+π+φ）为偶函数，求得φ=，可得f（x）的解析式．（2）由条件求得cos（α+）和sin（α+）的值，利用二倍角公式求得sin（2α+）和cos（2α+）的值，再根据sin2α=sin[（2α+）﹣]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（1）由题意可得，函数的周期为=π，求得ω=2．再根据函数y=f（x+）=sin（2x+π+φ）为偶函数，可得π+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ﹣，k∈z，结合0＜φ＜π，可得φ=，∴f（x）=sin（2x+）=cos2x．（2）∵α为锐角，f（+）=cos（α+）=，∴sin（α+）=．∴sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=，cos（2α+）=2﹣1=﹣，∴sin2α=sin[（2α+）﹣]=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=﹣（﹣）×=．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的周期性，属于中档题16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=．（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；（2）如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）利用等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．【解答】证明：（1）在，∴A1C=1，在△A1BC中，BC=1，A1C=1，，∴，∴∠A1CB=90°，∴BC⊥A1C，又AA1⊥BC，AA1∩A1C=A1，∴BC⊥平面ACC1A1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ACC1A1．（2）连接A1C交AC1于O，连接DO，则由D为AB中点，O为AC1中点得，OD∥BC1，∵OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC．【点评】熟练掌握等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理是证明问题的关键．17．某工厂接到一标识制作订单，标识如图所示，分为两部分，“T型”部分为宽为10cm 的两个矩形相接而成，圆面部分的圆周是A，C，D，F的外接圆．要求如下：①“T型”部分的面积不得小于800cm2；②两矩形的长均大于外接圆半径．为了节约成本，设计时应尽量减小圆面的面积．此工厂的设计师，凭直觉认为当“T型”部分的面积取800cm2且两矩形的长相等时，成本是最低的．你同意他的观点吗？试通过计算，说说你的理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；应用题；不等式的解法及应用．【分析】设一个矩形长AF=x （dm ），则另一矩形长为8﹣x （dm ）．设圆半径为r （dm ），则﹣1+=8﹣x ，化简整理，令9﹣x=t ，得到2=（t+）﹣，再由基本不等式即可得到最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：设一个矩形长AF=x （dm ），则另一矩形长为8﹣x （dm ）．设圆半径为r （dm ），则﹣1+=8﹣x ，r 2﹣x 2=（9﹣x ）2+r 2﹣﹣2（9﹣x ），即2（9﹣x ）=（9﹣x ）2+x 2﹣．令9﹣x=t ，得2t =t 2+（9﹣t ）2﹣=t 2+20﹣t ，得2=（t+）﹣≥﹣=，即r 2≥+，即有r，此时t=4即有x=5，y=3（单位：dm ）． 则不同意他的观点．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的运用，根据题意得到等式，通过换元化简整理是解题的关键，考查运算能能力，属于中档题．18．已知椭圆C ：x 2+2y 2=4， （1）求椭圆C 的离心率（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y=2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系，并证明你的结论．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A ，B 的坐标分别为（x 0，y 0），（t ，2），其中x 0≠0，由OA ⊥OB 得到，用坐标表示后把t 用含有A 点的坐标表示，然后分A ，B 的横坐标相等和不相等写出直线AB 的方程，然后由圆x 2+y 2=2的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．【解答】解：（1）由x 2+2y 2=4，得椭圆C 的标准方程为．∴a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2﹣b 2=2．因此a=2，c=．故椭圆C 的离心率e=；（2）直线AB 与圆x 2+y 2=2相切． 证明如下：设点A ，B 的坐标分别为（x 0，y 0），（t ，2），其中x 0≠0． ∵OA ⊥OB ，∴，即tx 0+2y 0=0，解得．当x 0=t 时，，代入椭圆C 的方程，得．故直线AB 的方程为x=，圆心O 到直线AB 的距离d=．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为，即（y 0﹣2）x ﹣（x 0﹣t ）y+2x 0﹣ty 0=0．圆心O 到直线AB 的距离d=．又，t=．故=．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．19．（2014•淮安模拟）已知函数f（x）=（x﹣a）2e x在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）通过求导直接得出，（2）构造出新函数通过求导得出方程组，解得即可．【解答】解：（1）f'（x）=e x（x﹣a）（x﹣a+2），由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．当a=2时，f'（x）=e x x（x﹣2），易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；当a=4时，f'（x）=e x（x﹣2）（x﹣4），易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的a=2．（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e4n，所以（n﹣2）2e n=e4n．设，则，所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．由于g（4）=e4，即方程（n﹣2）2e n=e4n有唯一解为n=4．②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．（Ⅰ）n＞m＞2时，，由①可知不存在满足条件的m，n．（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，，两式相除得m （m ﹣2）2e m =n （n ﹣2）2e n ． 设h （x ）=x （x ﹣2）2e x （0＜x ＜2）， 则h'（x ）=（x 3﹣x 2﹣4x+4）e x =（x+2）（x ﹣1）（x ﹣2）e x ，h （x ）在（0，1）递增，在（1，2）递减， 由h （m ）=h （n ）得0＜m ＜1，1＜n ＜2， 此时（m ﹣2）2e m ＜4e ＜e 4n ，矛盾．综上所述，满足条件的m ，n 值只有一组，且m=0，n=4．【点评】本题考察了求导函数，函数的单调性，解题中用到了分类讨论思想，是一道较难的问题．20．已知数列{a n }中，a 2=a （a 为非零常数），其前n 项和S n 满足：S n =（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且a m 2﹣S n =11，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足a n +b ≤p 的最大项恰为第3p ﹣2项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列的项与前n 项和的关系，将条件转化为数列的项之间的关系，判定数列为特征数列，再求通项公式；（2）利用（1）的结论，求出m 、n 满足的关系，分析求解即可；（3）根据条件a n +b ≤p 求出n 满足的条件，再根据满足a n +b ≤p 的最大项始终为3P ﹣2，转化为不等式的恒成立问题，分析求解即可．【解答】解：（1）由已知，得a 1=S 1==0，∴S n =，则有S n+1=，∴2（S n+1﹣S n ）=（n+1）a n+1﹣na n ，即（n ﹣1）a n+1=na n n ∈N*，∴na n+2=（n+1）a n+1，两式相加得，2a n+1=a n+2+a n n ∈N*，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n n ∈N*，故数列{a n }是等差数列．又a 1=0，a 2=a ，∴a n =（n ﹣1）a ．（2）若a=2，则a n =2（n ﹣1），∴S n =n （n ﹣1）．由，得n 2﹣n+11=（m ﹣1）2，即4（m ﹣1）2﹣（2n ﹣1）2=43，∴（2m+2n ﹣3）（2m ﹣2n ﹣1）=43．∵43是质数，2m+2n ﹣3＞2m ﹣2n ﹣1，2m+2n ﹣3＞0，∴，解得m=12，n=11．（3）由a n +b ≤p ，得a （n ﹣1）+b ≤p ．若a ＜0，则n ≥+1，不合题意，舍去； 若a ＞0，则n ≤+1．∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p ﹣2，∴3p ﹣2≤+1＜3p ﹣1，即2a ﹣b ＜（3a ﹣1）p ≤3a ﹣b ，对任意正整数p 都成立．∴3a ﹣1=0，解得a=，此时，﹣b ＜0≤1﹣b ，解得＜b ≤1．故存在实数a 、b 满足条件，a 与b 的取值范围是a=，＜b ≤1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，数列的项与前n 项和之间的关系及数列的综合问题．。