关于组合恒等式的几种证法

关于组合恒等式的几种证法
周棉刚
(黔南民族师范学院数学系,贵州都匀558000)
摘 要:组合恒等式是组合数学中的重要内容,其证明方法比较常见的是代数法。

本文重点介绍了组合分析法、几何法、比较系数法在组合恒等式证明中的应用。

关键词:组合;组合恒等式;递增路径
中图分类号:O157 文献标识码:E 文章编号:1005-6769(2003)03-0066-03
Some Proof Methods About Combination Equation
ZHOU Mian -gang
(Dept.o f Maths ,Qiannan Normal College o f Nationalities,Duyun 558000,China)
Abstract:In combination maths,combination eq uation is a very important con ten t,the algebra method is a universal proof method.The article introduces stressly the applyi ng of combination analysis method,geometry method and comparing coefficient method i n the prouing of cobination equation.
Key words:combination;combination equation;gradual adding path.
排列与组合是与我们现实生活息息相关的一门知识,随着现代技术,特别是计算机的飞速发展,使得组合学得到蓬勃发展,成为近若干年来非常活跃的数学分支。

对于组合恒等式的证明方法也多种多样,下面将通过几个实例具体讲解一下这几种证法在组合恒等式中应用。

1 代数法
通过代入组合数的值或者已知的组合恒等式后进行计算或化简,使得等式两边相等,或者利用二
项式定理(x +y )n =r n
r =0C r n x r y n-r ,在展开式中令x 和y 为某个特定的值,也可以先对二项式定理利用幂级数的微商或积分后再代值得出所需的恒等式。

例1 证明C r n C k r =C k n C r-k n-k n,k ,r 为正整数,r \k 。

证明 左边=C r n C k r (利用C r n =n!r !(n -r )!
) =
n!r !(n -r )!#r !k !(r -k)!=n!k !(n -r )!(r -k )!
,右边=C k n C r-k n-k =n!k !(n -k )!#(n -k )!(r -k )![n -k -(r -k )]!=n!k !(n -r)!(r -k )!
左边=右边1即证。

例2 证明C 0n +C 1n +C 2n +,+C n n =2n 1
要证明上面的恒等式,只要在(x +y )n =r n
r=0C r n x r y
n-r 中令x =y =1即可。

又如:证明恒等式 1#C 1n +2#C 2n +,+n #C n n =n #2
n-1#
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X 收稿日期:2003-03-20作者简介:周棉刚(1967-),男,贵州瓮安人,黔南民族师范学院数学系助教,研究方向:计算数学。

这只要对二项式定理中两边同时对x 求导得到:
n (x +y )n-1=r n
r =1r #C r n x r-1y n-r ,然后再令x =y =1即证。

2 组合分析法
其主要理论是利用组合知识说明等式两边的式子都是对同一组合问题的计数。

例3 证明C 0n +C 1n +C 2n +,+C n n =2
n 等式左边可以表示为从n 个不同元素中分别取0个,1个,2个,,,n 个的情况的组合数之和,而实际上,这n 个元素在上述各种组合中,每一个元素都可能被/取0或者/不取0。

即每一元素都有两种可
能,故由乘法法则,n 个元素就有2n 种可能,所以有C 0n +C 1n +C 2n +,+C n n =2n 成立。

例4 证明C 0m C r n +C 1m C r-1n +,+C r m C 0n =C r m +n (m ,n,r 为正整数,r [min {m ,n})1
证 设S ={a 1,a 2,,,a m ,b 1,b 2,,,b n }, S 1={a 1,a 2,,,a m },S 2={b 1,b 2,,,b n },S =S 1G S 21
等式右边可以表示为从S 中取r 个的组合数,等式左边可以表示为把从S 中取r 个的组合数根据属于S 1和S 2的情况进行分类:
C 0m C r n 表示从S 1中取0个,而从S 2中取r 个的组合数,C 1m C r-1n 表示从S 1中取一个,而从S 2中取r-
1个的组合数;,;直到C r m C 0n 表示从S 1中取r 个,而从S 2中取0个的组合数,由加法法则,得到选法总数
为:
C 0m C r n +C 1m C r-1n +,+C r m C 0n =C r
m+n 即证13
几何法
主要是利用组合的几何意义来进行证明。

无重组合C n n+m 的几何
意义表示平面坐标上的(0,0)点到整点(n,m )(这里n,m 都是整数)
的递增路径的总和。

一条从点(0,0)到点(n,m)的递增路径是指一
个由长度为1的端点为整点的线段首尾连所组成折线,并且每一条
线段的后一个端点的坐标或者在x 上或者在y 上,比前一个端点增加
一个单位长,水平走一步为x ,垂直走一步y ,图1中的递增路径可表
示为:x ,y ,x ,x ,y ,y ,x ,x ,y ,y 1
例5 证明C 0n +C 1n +,+C n n =2
n 证 由图2可知等式左边中,C 0n 表示从(0,0)到(0,n)点的增
路径数,C 1n 表示从(0,0)到(1,n -1)点递增路径数,,,C n-1n 表示从
(0,0)到(n-1,1)点的递增路径数,C n
n 表示从(0,0)到(n,0)点的递
增路径数1而这所有的递增路线之和就是从(0,0)点到斜边上的整
点的递增径数。

另一方面,从(0,0)点到斜边上任何一整点的递增路径是n 步
长,每一步是x 或者y ,有两种选择,由乘法法则,n 步的不同选择方
法的总数为2n ,所以等式成立。

例6 证恒等式:C 0m C r n +C 1m C r-1n +,+C r m C 0n =C r m+n 1证明 由图3可知等式右边表示从(0,0)到整点(n +m -r ,r )
点的路径数,而由于从(0,0)到(n +m -r ,r )必须穿过PQ 线上的整点,其中P 为(m -r ,r ),Q 为(m,0),其上任一整点坐标为(m -t,t )(t =0,1,2,,,r )1
而从(0,0)点到(m -t,t)点的路径数为C t m ,而从(m -t ,t)点到(m +n -r ,r )点的路径数为#67# 黔南民族师范学院学报2003年第3期
黔南民族师范学院学报2003年第3期
关于组合恒等式的方法还有用数学归纳法进行证明,另外还可考虑用概率方法(构造适当的概率模型)进行证明等。

每一种证明方法都有其自身的特点,选择合适的证明方法,有时会起到事半功倍的效果。

参考文献:
[1]吴顺唐1离散数学[M]1上海:华东师范大学出版社,19971
[2]卢开澄1组合数学[M]1北京:清华大学出版社,19911
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