全国通用2018高考数学大一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第2节参数方程课件理
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2018高考数学(理)一轮复习课件 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 课件
直线
y－y0＝k(x－x0) (x－x0)2＋(y－
(t 为参数)
x0＋Rcos θ x＝____________ y0＋Rsin θ y＝____________
圆
y0 ) 2 ＝R2
(θ 为参数且 0≤θ<2π)
名 称
普通方程 x y ＋ ＝ a2 b2 1(a>b>0)
2 2
2 x＝3－ 2 t 【解】 (1)由 得直线 l 的普通方程为 x＋y－3－ y＝ 5＋ 2t 2 5＝0. 又由 ρ＝2 5sin θ 得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 5y＝0， 即 x2＋(y－ 5)2＝5.
(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得
参数方程
acos t x＝____________ bsin t y ＝ ____________
椭圆
(t 为参数且 0≤t<2π)
2pt2 x＝__________ (t 2pt ห้องสมุดไป่ตู้＝__________
抛物 线
y2＝2px(p>0)
为参数)
参数方程与普通方程的互化 [典例引领] 已知曲线
[解 ] y2＝1.
(1)l 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，C1 的普通方程为 x2＋
y＝ 3（x－1） 联立方程 2 2 ，解得 x ＋y ＝1 1 B ，－ 2
l 与 C1 的交点为 A(1，0)，
3 ，则|AB|＝1. 2
1 x＝2cos θ (2)C2 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝ 3sin θ 2 故点 P
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注 意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与 圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常 用结论：
高考数学一轮总复习 第12章 坐标系与参数方程 第2节 参数方程课件 理 新人教版
答案：(－1,1)
3．在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆xy＝＝2c3ossinθ， θ (θ 为参数) 的右焦点，且与直线xy＝＝34－－t2t， (t 为参数)平行的直线截 椭圆所得的弦长为________．
解析
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保 持一致．否则不等价．
x＝cos α， y＝m＋sin α
(α 为 参 数 ) ， 直 线
l
的参数方程为
x＝1＋ 55t，
y＝4＋2
5
5 t
(t 为参数)，
(1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程；
(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，且|PQ|＝455，
求实数 m 的值．
解析
[谨记通法] 参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常 用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数 方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
解析：由xy＝＝1－＋2s＋incθos θ，
得cos sin
θ＝x＋2， θ＝y－1，
∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心坐标为(－2,1)，
故圆心到直线 x－y－1＝0 的距离 d＝ 42＝2 2，
∴直线上的点到圆上的点的最近距离是 d－r＝2 2－1.
答案：2 2－1
2．直线xy＝＝b4t＋at， (t 为参数)与圆yx＝＝2＋3sin3θcos θ， (θ 为 参数)相切，则切线的倾斜角为________． 解析：直线的普通方程为 bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为 (x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距 离为 3，从而有 3＝|2b－aa2·＋0－b24b|，即 3a2＋3b2＝4b2，所 以 b＝± 3a，而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α＝ba，所以 tan α＝± 3，因此切线的倾斜角π3或23π. 答案：π3或23π
2018高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件文
x＝x0＋rcos θ， (θ 为参数) y＝y0＋rsin θ __________________________ ． x＝acos φ， x2 y2 y＝bsin φ (3)椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的参数方程为__________
a
b
(φ 为参数) ． __________
消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0；
消去参数 α，得圆 x2＋y2＝9．
2 ＜3． 2 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点． 又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝
2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线
x＝3cos φ， C： y＝2sin φ
x＝t， l： y＝t－a
θ
(θ 为参数)．
[谨记通法] 参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参， 常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在 参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
考点二
参数方程的应用
[典例引领]
(2017· 泉州调研)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 x＝3－ 2t， 2 为 2 y ＝ 5 ＋ t 2
x＝ft， _________ 曲线 C 上 ，那么方程 y＝gt x＝ft， 那么方程 y＝gt
叫做这条曲线的参数方程，
叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参
参数 ．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标 变数，简称_____ 普通方程 ． 间关系的方程叫做_________
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围 保持一致．否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有 几何意义且其几何意义为： |t|是直线上任一点 M(x， y)到 M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|．
a
b
(φ 为参数) ． __________
消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0；
消去参数 α，得圆 x2＋y2＝9．
2 ＜3． 2 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点． 又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝
2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线
x＝3cos φ， C： y＝2sin φ
x＝t， l： y＝t－a
θ
(θ 为参数)．
[谨记通法] 参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参， 常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在 参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
考点二
参数方程的应用
[典例引领]
(2017· 泉州调研)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 x＝3－ 2t， 2 为 2 y ＝ 5 ＋ t 2
x＝ft， _________ 曲线 C 上 ，那么方程 y＝gt x＝ft， 那么方程 y＝gt
叫做这条曲线的参数方程，
叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参
参数 ．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标 变数，简称_____ 普通方程 ． 间关系的方程叫做_________
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围 保持一致．否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有 几何意义且其几何意义为： |t|是直线上任一点 M(x， y)到 M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|．
高三数学(理)人教版一轮训练：第十二篇第2节参数方程
第2节参数方程【选题明细表】·广东省潮州二模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点R的极坐标为(2,),曲线C的参数方程为(θ为参数)(1)求点R的直角坐标;化曲线C的参数方程为普通方程;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.解:(1)点R的极坐标转化成直角坐标为R(2,2).由消参数θ,得曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设P(cos θ,sin θ)根据题意,得到Q(2,sin θ),则|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,所以矩形PQRS的周长为:2(|PQ|+|QR|)=8-4sin(θ+).由0≤θ<2π知当θ=时,sin(θ+)=1,所以矩形的最小周长为4,点P(,).C:(θ为参数)和直线l:(其中t为参数,α为直线l的倾斜角).(1)当α=时,求圆上的点到直线l距离的最小值;(2)当直线l与圆C有公共点时,求α的取值范围.解:(1)当α=时,直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,圆C的圆心坐标为(1,0),圆心到直线的距离d==,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为-1.(2)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α+sin α)t+3=0,这个关于t的一元二次方程有解,故Δ=4(cos α+sin α)2-12≥0,则sin2(α+)≥,即sin(α+)≥或sin(α+)≤-.又0≤α<π,故只能sin(α+)≥,即≤α+≤,即≤α≤.故α的范围是[,].·河南六市联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,再将所得到的曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,得(2x-2)2+y2=4,即(x-1)2+=1,再将所得曲线向左平移1个单位,得曲线C1:x2+=1,则曲线C1的参数方程为(θ为参数).设曲线C1上任一点P(cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==≥(其中tan =-0,所以点P到直线l的距离的最小值为.·云南曲靖一中等多校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+).倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点.(1)写出直线l的参数方程的标准形式,并求曲线C的直角坐标方程;(2)求+的值.解:(1)由倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l的参数方程为: (t为参数)化为(t为参数)曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+),即ρ2=2ρ×(sin θ+cos θ),可得直角坐标方程:x2+y2=2x+2y.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入圆C的方程为:t2-t-1=0,t1+t2=1,t1t2=-1.所以+=+====.。
最新-2018届高三数学一轮复习 13-2坐标系与参数方程课件北师大版 精品
(1)写出直线 l 的一般方程及直线 l 通过的定点 P 的坐 标；
(2)求|PA||PB|的最大值．
[解析] (1)∵xy＝ ＝2ts＋inαtcosα ，(t 为参数，α 为倾斜角， 且 α≠2π)
∴x－y 2＝ttcsoinsαα＝tanα， ∴直线 l 的一般方程 xtanα－y－2tanα＝0. 直线 l 通过的定点 P 的坐标为(2,0)．
2．关于极坐标系 (1)极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单 位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． (2)由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π) 时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一 对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意 角．
(3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角 坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标 系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一， 因此点与极点是“一对多”的关系．但不同的极坐标可以 写出统一的表达式．如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ， θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐 标．
3 32＋32＋6＋6＝18.
[点评] 注意转化时两边同乘以ρ的技巧．结合圆的 位置关系及两圆长度的最大值在何时取得，即可解得．
已知△ABC 三顶点的极坐标分别是 A(5，π6)、B(5，π2) 和 C(－4 3，π3)．试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．
[解析] 如图所示，
AC＝BC＝
[点评] 涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的 参数方程．直线的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．其中 k ＝ tanα(α≠90°) ， α 为 直 线 的 倾 斜 角 ， 则 参 数 方 程 为
(2)求|PA||PB|的最大值．
[解析] (1)∵xy＝ ＝2ts＋inαtcosα ，(t 为参数，α 为倾斜角， 且 α≠2π)
∴x－y 2＝ttcsoinsαα＝tanα， ∴直线 l 的一般方程 xtanα－y－2tanα＝0. 直线 l 通过的定点 P 的坐标为(2,0)．
2．关于极坐标系 (1)极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单 位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． (2)由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π) 时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一 对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意 角．
(3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角 坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标 系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一， 因此点与极点是“一对多”的关系．但不同的极坐标可以 写出统一的表达式．如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ， θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐 标．
3 32＋32＋6＋6＝18.
[点评] 注意转化时两边同乘以ρ的技巧．结合圆的 位置关系及两圆长度的最大值在何时取得，即可解得．
已知△ABC 三顶点的极坐标分别是 A(5，π6)、B(5，π2) 和 C(－4 3，π3)．试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．
[解析] 如图所示，
AC＝BC＝
[点评] 涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的 参数方程．直线的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．其中 k ＝ tanα(α≠90°) ， α 为 直 线 的 倾 斜 角 ， 则 参 数 方 程 为
12-2坐标系与参数方程教学课件
2020/6/24
2020/6/24
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之 x＝rsinφcosθ
间的变换关系为y＝rsinφsinθ . z＝rcosφ
2020/6/24
二、参数方程 1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、 y 都是某个变数 t 的函数xy＝＝gftt (*)，如果对于 t 的每一 个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线 上，则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做 参数．
2020/6/24
解析：由条件知点12x，3y在方程 x2＋y2＝1 的曲线 上，∴12x2＋(3y)2＝1，即曲线 C 的方程为：x42＋9y2＝1.
答案：x42＋9y2＝1
2020/6/24
点评：在坐标变换式yx′′＝＝μλxy 中，点(x′，y′)是变 换后点的坐标，应满足变换后的曲线方程 x2＋y2＝1(x，y) 是变换前点的坐标，应满足变换前曲线的方程x42＋9y2＝1.
答案：2 或－8
2020/6/24
• (文)(2010·广东理)在极坐标系(Ρ，Θ)(0≤Θ<2Π) 中，曲线Ρ＝2SINΘ与ΡCOSΘ＝－1的交点的 极坐标为________．
2020/6/24
解析：由 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ＝－1 得 2sinθcosθ＝－1， ∴sin2θ＝－1，∵0≤θ<2π 且 sinθ>0，cosθ<0， ∴θ＝34π，∴ρ＝2sin34π＝ 2. 答案：( 2，34π)
x′＝λxλ>0 y′＝μyμ>0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
2020/6/24
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之 x＝rsinφcosθ
间的变换关系为y＝rsinφsinθ . z＝rcosφ
2020/6/24
二、参数方程 1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、 y 都是某个变数 t 的函数xy＝＝gftt (*)，如果对于 t 的每一 个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线 上，则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做 参数．
2020/6/24
解析：由条件知点12x，3y在方程 x2＋y2＝1 的曲线 上，∴12x2＋(3y)2＝1，即曲线 C 的方程为：x42＋9y2＝1.
答案：x42＋9y2＝1
2020/6/24
点评：在坐标变换式yx′′＝＝μλxy 中，点(x′，y′)是变 换后点的坐标，应满足变换后的曲线方程 x2＋y2＝1(x，y) 是变换前点的坐标，应满足变换前曲线的方程x42＋9y2＝1.
答案：2 或－8
2020/6/24
• (文)(2010·广东理)在极坐标系(Ρ，Θ)(0≤Θ<2Π) 中，曲线Ρ＝2SINΘ与ΡCOSΘ＝－1的交点的 极坐标为________．
2020/6/24
解析：由 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ＝－1 得 2sinθcosθ＝－1， ∴sin2θ＝－1，∵0≤θ<2π 且 sinθ>0，cosθ<0， ∴θ＝34π，∴ρ＝2sin34π＝ 2. 答案：( 2，34π)
x′＝λxλ>0 y′＝μyμ>0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
高考数学一轮复习 第十二篇 坐标系与参数方程 第2节 参数方程课件 理
第二十页，共四十一页。
【即时训练】 已知曲线 C 的方程 y2＝3x2－2x3，设 y＝tx，t 为参数， 求曲线 C 的参数方程．
解：将 y＝tx 代入 y2＝3x2－2x3， 得 t2x2＝3x2－2x3， 即 2x3＝(3－t2)x2. 当 x＝0 时，y＝0； 当 x≠0 时，x＝3－2 t2， 从而 y＝3t－2 t3.
θ θ
，
②设 M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，因 Q(6,0)，
∴M
的参数方程为x＝6＋22cos y＝2si2n θ
θ
，即yx＝＝s3i＋n θcos θ .
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第二十四页，共四十一页。
(2)由椭圆x32＋y2＝1 的参数方程为yx＝＝sin3cφos φ ，(φ 为参数)， 故可设动点 P 的坐标为( 3cos φ，sin φ)，其中 0≤φ≤2π.
即|5k－2＋2k1|＜2，解得 k＞2210.
即直线 l 的斜率的取值范围为2210，＋∞. 解法二 将圆 C 的参数方程yx＝＝－1＋1＋2co2ssiθn，θ 化成普通方程为 (x－1)2＋(y＋1)2＝4，① 将直线 l 的参数方程代入①式，得 t2＋2(2cos α＋5sin α)t＋25＝0.②
(t 为参数)
x＝x0＋Rcos θ， y＝y0＋Rsin θ
(θ 为参数)
x＝Rcos θ， y＝Rsin θ
(θ 为参数)
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ 为参数)
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第四页，共四十一页。
3.直线的参数方程的标准形式的应用
过点
M0(x0，y0)，倾斜角为
α
的直线
l
全国通用高考数学一轮复习坐标系与参数方程第2节参数方程课件文新人教A版041402217
4．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线 C2 的参数方程为
x＝t2，
y＝2 2t
(t 为参数)，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________．
(2，－4) [由 ρ(cos θ＋ຫໍສະໝຸດ in θ)＝－2，得 x＋y＝－2.①
5 解得－2 5≤a≤2 5.10 分 [规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、 三角恒等变换消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数 的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响，要保持同解变形．
[变式训练 1] 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：yx＝＝tt－，a (t 为参数)过
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1 为半径的圆，
所以对称中心为(－1,2)，在直线 y＝－2x 上．]
3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线 C：x＝2＋ 22t，
y＝1＋
2 2t
(t 为参数)的
普通方程为________．
x－y－1＝0 [由 x＝2＋ 22t，且 y＝1＋ 22t， 消去 t，得 x－y＝1，即 x－y－1＝0.]
抓
基
础
·
自
主 学
选修 4－4 坐标系与参数方程
课
习
时
分
第二节 参数方程
层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直 线、圆和椭圆曲线的参数方程．
2018届高三数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件文
5
x 1 cos θ , 3.(2014北京,3,5分)曲线 (θ为参数)的对称中心( y 2 sin θ
)
A.在直线y=2x上 C.在直线y=x-1上
B.在直线y=-2x上 D.在直线y=x+1上
答案 B 曲线
x 1 cos θ , (θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该 y 2 sin θ
x a sec φ, x2 y 2 双曲线 - =1(a>0,b>0)的参数方程为 (φ为参数). y b tan φ a 2 b2
x 2 pt 2 , 抛物线y =2px的参数方程为 (t为参数). y 2 pt
2
1.已知直线l的参数方程为 A.1 B.2 C.3 D.4
的距离的最大值为 ( A.1 B. 2 C. 3
) D. 5
答案 D
2 由 ( θ 为参数 ) 消去参数 θ 得 y =-2 x (-1≤x≤1).如图.
x sin θ , y cos 2θ 1
则当P点的坐标为(±1,-2)时,
2 |PO|max= = 2 ,故选 D. (1) (2)
x 1 sin 2θ , (1) (θ为参数); y sin θ cos θ 1 t x (e e t ), 2 (2) (t为参数). 1 t t y (e e ) 2
解析 (1)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得y2=2-x.又x=1-sin 2θ∈[0,2], 故所求的普通方程为y2=2-x,x∈[0,2]. (2)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y, ∴(x+y)(x-y)=1,
2018年高中数学高考一轮复习：坐标系与参数方程
-10知识梳理
考点自测
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. (× ) (2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标 方程. (× ) (3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为 ������ = -1-������, (t 为参数)所表示的图形是直线. ( √ ) ������ = 2 + ������ (5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ. (× ) (4)参数方程 2, 4 .
������ = ������cos������, + 2 =1(a>b>0)的参数方程为 (θ 为参 ������ = ������ sin ������ ������
2
数).
������ = 2������������ 2 , (4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为 (t 为参数). ������ = 2������������
1
-9知识梳理
考点自测
(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 参数).
������2 (3)椭圆方程 2 ������ ������2
������ = ������ + ������cos������, (θ 为 ������ = ������ + ������sin������.
2
-8知识梳理
考点自测
6.曲线的参数方程 定义:在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y ������ = ������(������), 都是某个变量 t 的函数 并且对于 t 的每一个允许值,上式所 ������ = ������(������), 确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的 参数方程 , 其中变量 t 称为 参数 . (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, ������ = ������0 + ������sin������ (t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|������0 ������|,t 可正,可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数 为2(t1+t2).
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第2节 参数方程
最新考纲 1.了解参数方程,了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、 圆和椭圆的参数方程.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.曲线的参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个
变数t的函数
x
y
2=2 5.
答案: 2 5
4.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程
为
.
解析:方程
x2+y2-x=0
可化为
x
1 2 2
+y2=
1 4
,
圆的直径为 1,
圆的参数方程为
x y
OP OP
cos sin
1 cos 1 cos
cos , sin ,
(θ为参数)
,则直线
l
与曲线
C
的交点的极坐标为
.
解析:直线l的普通方程为y=x+2,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4 (x≤-2),故直线l与曲线C的交点为(-2,0),对应极坐标为(2,π).
答案: (2,π)
3.(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建
立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C的参
数方程为
x y
t t
1 , (t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=
t 1 t
.
解析:直线 l 的直角坐标方程为 y-3x=0, 曲线 C 的普通方程为 y2-x2=4.
由
y 3x,
y2
x2
4
得
x2=
1 2
,即
x=
2 2
,
则|AB|=
1
k
2 AB
xA xB
=
1 32 ×
即x2-x+y2=0表示圆,
x y
2
1消3 ttt ,后,得3x+y+1=0,表示直线.
2.(2015·重庆卷)已知直线
l
的参数方程为
x y
1 1 t
t,
(t 为参数),以坐标原
点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ
=
4
0,
3π 4
5π 4
x
y
x0 y0
t cos t sin
,
(t 是参数).
若 M1,M2 是 l 上的两点,其对应参数分别为 t1,t2,则 (1)M1,M2 两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α, y0+t2sin α).
(2)|M1M2|=|t1-t2|.
(3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t,则 t= t1 t2 ,中点 M 到定点 2
a2 b2
参数方程
x
y
x0 y0
t cos, t sin
(t
为参数)
x x0 Rcos ,
y
y0
R sin
(θ为参数)
x R cos
y
R
sin
, (θ为参数)
x
y
a b
cos, sin
(
为参数)
3.直线的参数方程的标准形式的应用
过点
M0(x0,y0),倾斜角为α的直线
l
的参数方程是
f (t), g (t),
并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则
称上式为这条曲线的 参数方程 ,其中变数t称为参变数,简称 参数 .
2.直线、圆、椭圆的参数方程 曲线
过点 M(x0,y0),倾斜角为α的直线 l
圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R 的圆
圆心在原点,半径为 R 的圆 椭圆 x2 + y 2 =1(a>b>0)
整理得
x y
cos2 , sin cos
(θ为参数).
答案:n cos
5.给出下列命题:
①曲线的参数方程中的参数都有实际意义;
②参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的;
③圆的参数方程中的参数θ与椭圆的参数方程中的参数 ④普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一.
t1
t 1
t
t
2
2
所以
t
x
1 t
+
t
y
1 t
=1,
它表示中心在原点,长轴长为 2 t 1 , t
短轴长为 2 t 1 ,焦点在 x 轴上的椭圆; t
当 t=±1 时,y=0,x=±2sin θ,x∈[-2,2], 它表示以 A(-2,0),B(2,0)为端点的线段. 综上知,t≠±1 时方程表示焦点在 x 轴上的椭圆; t=±1 时方程表示以 A(-2,0),B(2,0)为端点的线段.
答案:②④
考点专项突破
考点一 参数方程与普通方程的互化
【例1】
已知参数方程:
x
t
1 t
s
i
n
,
y
t
1 t
cos
.
(t≠0)
(1)若t为常数,θ为参数,判断方程表示什么曲线;
在讲练中理解知识
解:
x
t
1 t
sin
,
①
y
t
1 t
cos .②
(1)当 t≠±1 时,由①得 sin θ= x ,由②得 cos θ= y ,
M0 的距离|MM0|=|t|= t1 t2 . 2
(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.
对点自测
1.极坐标方程ρ=cos 分别是( D )
θ和参数方程
x
y
1 t, 2 3t
(t为参数)所表示的图形
(A)直线、直线
(B)直线、圆
(C)圆、圆
(D)圆、直线
解析:因为ρ=cos θ, 所以ρ2=ρcos θ, 所以x2+y2=x,
当θ=kπ(k∈Z)时,x=0,它表示 y 轴,
当θ=kπ+
π 2
(k∈Z)时,y=0,x=±
t
1 t
.
其中正确的是
.(写出所有正确命题的序号)
的几何意义相同;
解析:①错误.曲线的参数方程中的参数,可以具有物理意义,可以具有几何 意义,也可以没有明显的实际意义; ②正确.两方程互化后所表示的曲线相同; ③错误.圆的参数方程中的参数θ表示半径的旋转角,而椭圆的参数方程中 的参数 表 示对应的大圆或小圆半径的旋转角,也就是椭圆的离心角; ④正确.用参数方程解决动点的轨迹问题,若选用的参数不同,那么所求得 的曲线的参数方程的形式就不同.
(2)若θ为常数,t为参数,方程表示什么曲线?
解: (2)当θ≠ kπ (k∈Z)时,
2 由①得 x =t+ 1 ,
sin t 由②得 y =t- 1 ,
cos t 两式平方相减得 x2 - y2 =4,
sin2 cos2 即 x2 - y2 =1.
4sin2 4cos2 它表示中心在原点,实轴长为 4|sin θ|,虚轴长为 4|cos θ|,焦点在 x 轴上的双 曲线;
最新考纲 1.了解参数方程,了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、 圆和椭圆的参数方程.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.曲线的参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个
变数t的函数
x
y
2=2 5.
答案: 2 5
4.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程
为
.
解析:方程
x2+y2-x=0
可化为
x
1 2 2
+y2=
1 4
,
圆的直径为 1,
圆的参数方程为
x y
OP OP
cos sin
1 cos 1 cos
cos , sin ,
(θ为参数)
,则直线
l
与曲线
C
的交点的极坐标为
.
解析:直线l的普通方程为y=x+2,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4 (x≤-2),故直线l与曲线C的交点为(-2,0),对应极坐标为(2,π).
答案: (2,π)
3.(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建
立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C的参
数方程为
x y
t t
1 , (t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=
t 1 t
.
解析:直线 l 的直角坐标方程为 y-3x=0, 曲线 C 的普通方程为 y2-x2=4.
由
y 3x,
y2
x2
4
得
x2=
1 2
,即
x=
2 2
,
则|AB|=
1
k
2 AB
xA xB
=
1 32 ×
即x2-x+y2=0表示圆,
x y
2
1消3 ttt ,后,得3x+y+1=0,表示直线.
2.(2015·重庆卷)已知直线
l
的参数方程为
x y
1 1 t
t,
(t 为参数),以坐标原
点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ
=
4
0,
3π 4
5π 4
x
y
x0 y0
t cos t sin
,
(t 是参数).
若 M1,M2 是 l 上的两点,其对应参数分别为 t1,t2,则 (1)M1,M2 两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α, y0+t2sin α).
(2)|M1M2|=|t1-t2|.
(3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t,则 t= t1 t2 ,中点 M 到定点 2
a2 b2
参数方程
x
y
x0 y0
t cos, t sin
(t
为参数)
x x0 Rcos ,
y
y0
R sin
(θ为参数)
x R cos
y
R
sin
, (θ为参数)
x
y
a b
cos, sin
(
为参数)
3.直线的参数方程的标准形式的应用
过点
M0(x0,y0),倾斜角为α的直线
l
的参数方程是
f (t), g (t),
并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则
称上式为这条曲线的 参数方程 ,其中变数t称为参变数,简称 参数 .
2.直线、圆、椭圆的参数方程 曲线
过点 M(x0,y0),倾斜角为α的直线 l
圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R 的圆
圆心在原点,半径为 R 的圆 椭圆 x2 + y 2 =1(a>b>0)
整理得
x y
cos2 , sin cos
(θ为参数).
答案:n cos
5.给出下列命题:
①曲线的参数方程中的参数都有实际意义;
②参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的;
③圆的参数方程中的参数θ与椭圆的参数方程中的参数 ④普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一.
t1
t 1
t
t
2
2
所以
t
x
1 t
+
t
y
1 t
=1,
它表示中心在原点,长轴长为 2 t 1 , t
短轴长为 2 t 1 ,焦点在 x 轴上的椭圆; t
当 t=±1 时,y=0,x=±2sin θ,x∈[-2,2], 它表示以 A(-2,0),B(2,0)为端点的线段. 综上知,t≠±1 时方程表示焦点在 x 轴上的椭圆; t=±1 时方程表示以 A(-2,0),B(2,0)为端点的线段.
答案:②④
考点专项突破
考点一 参数方程与普通方程的互化
【例1】
已知参数方程:
x
t
1 t
s
i
n
,
y
t
1 t
cos
.
(t≠0)
(1)若t为常数,θ为参数,判断方程表示什么曲线;
在讲练中理解知识
解:
x
t
1 t
sin
,
①
y
t
1 t
cos .②
(1)当 t≠±1 时,由①得 sin θ= x ,由②得 cos θ= y ,
M0 的距离|MM0|=|t|= t1 t2 . 2
(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.
对点自测
1.极坐标方程ρ=cos 分别是( D )
θ和参数方程
x
y
1 t, 2 3t
(t为参数)所表示的图形
(A)直线、直线
(B)直线、圆
(C)圆、圆
(D)圆、直线
解析:因为ρ=cos θ, 所以ρ2=ρcos θ, 所以x2+y2=x,
当θ=kπ(k∈Z)时,x=0,它表示 y 轴,
当θ=kπ+
π 2
(k∈Z)时,y=0,x=±
t
1 t
.
其中正确的是
.(写出所有正确命题的序号)
的几何意义相同;
解析:①错误.曲线的参数方程中的参数,可以具有物理意义,可以具有几何 意义,也可以没有明显的实际意义; ②正确.两方程互化后所表示的曲线相同; ③错误.圆的参数方程中的参数θ表示半径的旋转角,而椭圆的参数方程中 的参数 表 示对应的大圆或小圆半径的旋转角,也就是椭圆的离心角; ④正确.用参数方程解决动点的轨迹问题,若选用的参数不同,那么所求得 的曲线的参数方程的形式就不同.
(2)若θ为常数,t为参数,方程表示什么曲线?
解: (2)当θ≠ kπ (k∈Z)时,
2 由①得 x =t+ 1 ,
sin t 由②得 y =t- 1 ,
cos t 两式平方相减得 x2 - y2 =4,
sin2 cos2 即 x2 - y2 =1.
4sin2 4cos2 它表示中心在原点,实轴长为 4|sin θ|,虚轴长为 4|cos θ|,焦点在 x 轴上的双 曲线;