【配套K12】[学习]2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题作业2 北师

1.1 命题
[A.基础达标]
1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( )
A．x＞－1 B．x＞0
C．x＞1 D．x＞2
解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.
2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是( )
A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”
B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”
C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”
D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”
解析：选D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．
3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是( )
A．真命题B．假命题
C．与所给的命题有关D．无法判断
解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．
4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P的元素．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.
5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )
A．互逆命题B．互否命题
C．互逆否命题D．不确定
解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．
解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．
答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角
7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，
解得：a∈[－1，3]．
答案：[－1，3]
8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．
解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B 可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．
答案：假
9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．
解：逆否命题为“若x 2
＋x －a ＝0无实根，则a <0”．因为a ≥0，所以4a ≥0，所以方程x 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1>0，所以方程x 2＋x －a ＝0有实根．故原命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真命题．
又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为
真．
10．(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真．
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．
解：(1)证明：如图，设c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，
因为PO ⊥π，a π，所以PO ⊥a ，
又a ⊥b ，b 平面PAO ，PO ∩b ＝P ，
所以a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，
所以a ⊥c .
(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．
[B.能力提升]
1．有下列四个命题：
①“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题．
其中真命题为( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．
2．原命题为“若a n ＋a n ＋12
＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A ．真，真，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假
解析：选A.a n ＋a n ＋12
＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列． 原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.
3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24
＜1，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则实数x 的取值范围是________．
解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，
即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.
由1－x ＋x 24
＜1， 得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.
因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4. 所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)
4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论：
①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.
③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．
其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________．
解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，
则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确；
由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；
由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －
(a·c )b 与a 垂直，③正确；
由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．
综上可知真命题的序号是①③.
答案：①③
5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.
证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.
p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12
(p ＋q )2. 因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2.
即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立．
所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.
6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．
(1)写出这个命题的逆命题；
(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？
解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．
(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0.
由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．
得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，
所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ，
所以2q 2－q －1＝0.
解得q ＝－12
或q ＝1. 当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，
所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，
因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1，
即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，
所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．
即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．
当q ＝－12
时， 2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q
， S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q
， 所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，
所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．
即q ＝－12
时，原命题的逆命题为真命题．。