高中数学选修2-1《常用逻辑用语》知识点讲义
高中数学人教版选修2-1第一章基本逻辑语用知识点最完全精炼总结
高二数学 选修2-1
第一章 常用逻辑用语
1.
四种命题及相互关系：
2．充分条件、必要条件、充要条件
若p ，则q 是真命题 p 是q 充分条件（不唯一）
q 是p 必要条件（理解: 没有q 就没有p ）
从集合的观点理解: 若p ，则q 是假命题
p 不是q 充分条件 q 不是p 必要条件
若q ，则p 是真命题 q 是p 充分条件（不唯一）
p 是q 必要条件（理解:没有p 就没有q ）
若q ，则p 是假命题 q 不是p 充分条件 p 不是q 必要条件 p 是q 充要条件 且
p 是q 充分条件：充要条件:A B =
充分不必要条件:A B ⊂ p 是q 必要条件：充要条件:A B =
必要不充分条件:B A ⊂ 3.逻辑联结词
p q
⇔⇒⇔⇔A B
⊆{()},{()}A x x p x B x x q x =∈=∈p q ⇔⇒⇔⇔q p
⇔⇒⇔⇔q p ⇔⇒⇔⇔p q ⇔⇔B A
⊆B B A A B ⊆⇔=A B ⊆
4.全称命题:∀x∈M，p(x)
全称命题否定:∃x0∈M,⌝p(x0)特称命题:∃x0∈M，p(x0)特称命题否定:∀x∈M,⌝p(x)
全称命题的否定是特称命题,
特称命题的否定是全称命题.。
数学人教B选修2-1讲义：第一章 常用逻辑用语 1.3.1 Word版含答案
§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等；(2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ；(4)p ：a >b ，q ：ac >bc .考点 充要条件的概念及判断题点 充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在． 反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围答案 (2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围答案 [－1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件． 考点 充要条件的概念及判断题点 寻求充要条件解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立， 等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4. 反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点 充要条件的概念及判断题点 寻求充要条件答案 －4或0解析 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0， ∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)，∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0， 此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析命题p：1<x<2；命题q：1≤x<2，故p是q的充分不必要条件．3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，－3]解析由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3<x<2}，B＝{x|y＝lg(x－a)}＝{x|x>a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A⊆B，则有a≤－3.5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．答案充要解析(1)∵a＝0，∴l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，∴l1∥l2，即a＝0⇒l1∥l2.(2)若l1∥l2，当a≠0时，l1：y＝12a x－12a，l2：y＝1a x－12a.令12a＝1a，方程无解．当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.∴a＝0是直线l1与l2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( )①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ；②若x >5，则x >2；③若x 2－9＝0，则x ＝3.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( )A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＝1D ．λ1λ2＝－1 答案 C 解析 依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ； 反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案 [4，＋∞)解析 据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B.14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x ＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。
高中数学新人教A版选修2-1课件：模块复习课第1课时常用逻辑用语
命题q:“不等式x2-4x+1-m≤0无解”,
则Δ=16-4(1-m)<0,即m<-3.
如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,则命题p,q一真一假,
若p真,q假,则-3≤m≤1,
若p假,q真,则不存在满足条件的m值,
∴-3≤m≤1.
∴实数m的取值范围是[-3,1].
课堂篇专题整合
④已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“( p)∧( q)”为真命
题.
其中所有真命题的序号是
.
思路分析对于②③要注意四种命题及其关系,对于④涉及含逻辑
联结词的命题,要根据真值表与逻辑联结词的含义判断.
课堂篇专题整合
专题归纳
高考体验
自主解答①∵x-3=0⇒x-3≤0,∴为真命题.
②逆命题:“若a⊥b,则a·b=0”为真命题.
的必要不充分条件.
答案B
课堂篇专题整合
专题归纳
高考体验
4.(2019 北京高考)设点 A,B,C 不共线,则“与的夹角为锐角”是
“| + |>||”的(
)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析∵A,B,C 三点不共线,∴| + |>||⇔| + |>| −
当a>1时,由(x-1)(x-a)≤0得1≤x≤a,
若p是q的必要不充分条件,则a>3,
即实数a的取值范围是(3,+∞).
答案(3,+∞)
课堂篇专题整合
专题归纳
高考体验
专题三 全称命题与特称命题
例3 判断下列命题是特称命题还是全称命题,用符号写出其否定
北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语复习小结》课件
全称命题的否定是特 称命题，特称命题的 否定是全称命题.
江西省202X年春季延期开学期间线上教育课程
常用逻辑用语复习小结
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【全称量词与存在量词】
例4 已知函数gx log2 x m,
解：1由题对任意的x 1,4，
1对任意的x 1,4，使得gx 0成立， 使得gx 0成立,
常用逻辑用语
命题
充分条件与 必要条件
全称量词与 存在量词
了解命题的逆命题、否 命题与逆否命题，会分 析四种命题的相互关系
理解充分条件、必要条 件与充要条件的意义
理解全称量词与存在 量词的意义，能正确 地对含有一个量词的 命题进行否定
逻辑联结词 “且”“或”“非”
通过数学实例，了解逻 辑联结词“且”“或”“非” 的含义
则求实数m的取值范围.
等价转化——借助全称量词与 存在量词对条件进行转化
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常用逻辑用语复习小结
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【逻辑联结词“且”“或”“非”】
1.真假判定 p且q：有假则假，p或q：有真则真，p：真假相反；
2.集合观点 交集：p且q，并集：p或q，补集：p.
常用逻辑用语复习小结 【课堂小结】
命题
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等价转化的思想
常用逻辑用语
充分条件与 必要条件
全称量词与 存在量词
逻辑联结词 “且”“或”“非”
江西省202X年春季延期开学期间线上教育课程
正确地使用常用逻辑用语，不仅是学习 这一部分的内容，而且还需要在今后的 学习中，通过不断地正确使用常用逻辑 用语，加深对常用逻辑用语的认识.
数学 高二 选修2-1 第1章常用逻辑用语 第2讲 简单的逻辑联结词
高二 选修2-1 第1章常用逻辑用语第2讲 简单的逻辑联结词【基础知识】1．简单的逻辑联结词 (1)逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断p q p ∧q p ∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示． 3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q 的否定为：非p 或非q .【典型例题】考点一 含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )．A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真【例2】(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()．A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q【训练1】若命题p：关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－ba}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________．【训练2】已知命题p1：y＝ln[(1－x)·(1＋x)]为偶函数；命题p2：y＝ln 1－x1＋x为奇函数，则下列命题是假命题的是()A.p1且p2B.p1或(綈p2)C.p1或p2D.p1且(綈p2)【训练3】已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④【训练4】已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(綈p)且(綈q)C.(綈p)且qD.p且(綈q)考点二含有量词的命题的真假判断【例3】下列四个命题p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，012x ⎛⎫⎪⎝⎭＜013x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；p 2：∃x 0∈(0,1)，12logx 0＞13log x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，12x⎛⎫ ⎪⎝⎭＞12logx ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，12x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜13log x . 其中真命题是( D )． A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4【训练1】下列命题中，为真命题的是( ) A.任意x ∈R ，x 2>0 B.任意x ∈R ，－1<sin x <1 C.存在x 0∈R,2x 0<0D.存在x 0∈R ，tan x 0＝2解析 (1)任意x ∈R ，x 2≥0，故A 错；任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；任意x ∈R,2x >0，故C 错，故选D.【训练2】判断下列命题的真假． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12.(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.【训练3】(2010·江苏苏州中学阶段性测试一)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．考点三 全称命题与存在性命题的否定 【例4】 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.【训练1】命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( ) A.对任意实数x ，都有x >1 B.不存在实数x ，使x ≤1 C.对任意实数x ，都有x ≤1 D.存在实数x ，使x ≤1【训练2】设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为：______.【训练3】下列命题中的真命题是( ) A.存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B.任意x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C.存在x ∈(－∞，0)，2x <3xD.任意x ∈(0，π)，sin x >cos x【训练4】 (2010·深圳一模)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为________．考点四 借助逻辑联结词求解参数范围问题【例题 5】 (12分)已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求a 的取值范围．【训练1】(2014·锦州月考)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【训练2】已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为()A.m≥2B.m≤－2C.m≤－2或m≥2D.－2≤m≤2【训练3】(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()A.{a|a≤－2或a＝1}B.{a|a≥1}C.{a|a≤－2或1≤a≤2}D.{a|－2≤a≤1}1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断．3．全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是一个存在性命题“∃x∈M，綈p(x)”，存在性命题“∃x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“∀x∈M，綈p(x)”.【课堂练习】1.常用逻辑用语及其应用一、命题的真假判断典例已知命题p：存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么()A.“綈p”是假命题B.q是真命题C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题二、求参数的取值范围典例已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.三、利用逻辑推理解决实际问题典例(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.【课后练习】1．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是()．A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·x m2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D．∀a＞0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点2．(2013·衡水二模)已知命题p：“∃x0∈R，使得x20＋2ax0＋1＜0成立”为真命题，则实数a满足()．A．[－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)3．(2014·宿州检测)给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤ 2b－1”；③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x20＋1≤1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件．其中不正确的命题的序号是________．4．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．5.已知命题p：存在x∈R，x－2>lg x，命题q：任意x∈R，x2>0，则()A.p或q是假命题B.p且q是真命题C.p且(綈q)是真命题D.p或(綈q)是假命题6.四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.47.下列结论正确的是()A.若p：存在x∈R，x2＋x＋1<0，则綈p：任意x∈R，x2＋x＋1<0B.若p或q为真命题，则p且q也为真命题C.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的充分不必要条件D.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题8.已知命题p：“任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.9.设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围是________________________.10.有下列命题：①在函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像中，相邻两个对称中心的距离为π； ②函数y ＝x ＋3x －1的图像关于点(－1,1)对称；③已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sin x ≤1，则綈p ：存在x 0∈R ，使得sin x 0>1； ④在△ABC 中，若3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 等于30°或150°. 其中的真命题是________.。
(转)高二数学选修2-1、2-2、2-3知识点小结
中间变量对自变量的导数。
6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的
选取，以及区间的分割.微积分基本定理
b a
f (x)dx F (x) |ba F (b) F(a) .
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
7. 函数的单调性
（1）设函数 y f (x) 在某个区间（a，b）可导，如果 f ' (x) 0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数；
面面垂直： n1 n2
4. 夹角问题
线线角 cos | cos a,b | | a b | （注意异面直线夹角范围 0 ）
| a || b |
2
线面角 sin | cos a, n | | a n | | a || n |
二面角
|
cos
||
cos
n1, n2
|
| n1 n2 | n1 || n2
线线平行： a / /b a / /b 线面平行： a / / a n 或 a / /b ， b 或 a xb yc(b，c 是 内不共线向量）
面面平行： // n1 / /n2
3. 垂直
线线垂直： a b a b a b 0
线面垂直： a a / /n 或 a b, a c (b，c 是 内不共线向量）
① 直线具有斜率 k ，两个交点坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2 )
AB
1 k2 x1 x2
(1 k2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 k2
y1 y2
② 直线斜率不存在,则 AB y1 y2 .
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
数学人教B选修2-1讲义：第一章 常用逻辑用语 1.2.1 Word版含答案
§1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．知识点一“且”1．定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”，“有假则假”．2．“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足．3.我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假．知识点二“或”1．定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．2．对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A 且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.3.我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假．1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)2．“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．(×)3．命题“p∨q”是真命题，p，q至少有一个是真命题．(√)4．梯形的对角线相等且平分是“p∨q”形式的命题．(×)题型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1命题形式的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2≥2.解(1)是p∧q形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是p∨q形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是p∨q形式的命题．其中p：2>2，q：2＝2.反思感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题称之为复合命题．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．跟踪训练1指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形．解(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．解(1)p或q：梯形有一组对边平行或梯形有一组对边相等．p且q：梯形有一组对边平行且梯形有一组对边相等．(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．反思感悟用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．跟踪训练2分别写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式．(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：3是无理数，q：3是实数；(3)p ：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， q ：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 解 (1)p ∧q ：函数y ＝3x 2是偶函数且是增函数； p ∨q ：函数y ＝3x 2是偶函数或是增函数． (2)p ∧q ：3是无理数且是实数； p ∨q ：3是无理数或是实数．(3)p ∧q ：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角； p ∨q ：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角． 题型二 “p ∧q ”和“p ∨q ”形式命题的真假判断 例3 分别指出“p ∨q ”“p ∧q ”的真假．(1)p ：函数y ＝sin x 是奇函数；q ：函数y ＝sin x 在R 上单调递增； (2)p ：直线x ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切；q ：直线x ＝12与圆x 2＋y 2＝1相交．解 (1)∵p 真，q 假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假． (2)∵p 真，q 真，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真． 反思感悟 “p ∧q ”和“p ∨q ”形式命题的真假判断的步骤 (1)明确命题的结构，即命题是“p ∧q ”还是“p ∨q ”． (2)对命题p 和q 的真假作出判断．(3)由“p ∧q ”“p ∨q ”的真假判断方法给出结论． 跟踪训练3 指出下列命题的形式及命题的真假： (1)48是16与12的公倍数；(2)相似三角形的周长相等或对应角相等．解 (1)这个命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：48是16的倍数，是真命题；q ：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．(2)这个命题是“p ∨q ”的形式．其中p ：相似三角形的周长相等，是假命题；q ：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题． 题型三 已知复合命题的真假求参数范围例4 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：关于x 的不等式3x －9x <a对一切正实数均成立．(1)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解 (1)若命题p 为真命题， 则ax 2－x ＋116a >0对x ∈R 恒成立．当a ＝0时，不等式变为－x >0，不合题意；当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－14a 2<0，∴a >2.即实数a 的取值范围是(2，＋∞)． (2)令y ＝3x －9x ＝－⎝⎛⎭⎫3x －122＋14. 由x >0，得3x >1，∴y ＝3x －9x 的值域为(－∞，0)． 若命题q 为真命题，则a ≥0.由命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题， 得命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤2. ∴满足条件的a 的取值范围是{a |0≤a ≤2}．反思感悟 解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p ，q ，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想．跟踪训练4 设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围． 解 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅， 所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解这个不等式得－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，有－3<a ≤0，当p 假q 真时，有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞).1．命题：“方程x 2－1＝0的解是x ＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是( ) A ．使用了逻辑联结词“且” B ．使用了逻辑联结词“或” C ．没有使用逻辑联结词 D ．以上选项均不正确 答案 B解析 “x ＝±1”可以写成“x ＝1或x ＝－1”，故选B. 2．已知命题p ，q ，若p 为真命题，则( ) A ．p ∧q 必为真 B ．p ∧q 必为假 C ．p ∨q 必为真 D ．p ∨q 必为假答案 C解析 p ∨q ，一真则真，故必有p ∨q 为真．3．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．在命题“p ”，“q ”，“p ∧q ”和“p ∨q ”中，真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 答案 B解析 容易判断命题p ：∅⊆{0}是真命题，命题q ：{1}∈{1,2}是假命题，所以p ∧q 是假命题，p ∨q 真命题，故选B.4．已知p ：函数y ＝sin x 的最小正周期为π2，q ：函数y ＝sin 2x 的图象关于直线x ＝π对称，则p ∧q 是________命题．(填“真”或“假”) 答案 假解析 由题意得命题p 为假命题，命题q 也是假命题，故p ∧q 是假命题．5．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2＋ax 在[1,2]上是增函数，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－2，12 解析 命题p ：由函数f (x )在R 上为减函数， 得2a －1<0，解得a <12.命题q ：由函数g (x )＝x 2＋ax 在[1,2]上是增函数， 得－a2≤1，解得a ≥－2.由p ∧q 为真，得p ，q 都为真，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∩[－2，＋∞)，即为⎣⎡⎭⎫－2，12.1．判断含有逻辑联结词的命题构成形式的关键是：弄清构成它的命题的条件、结论． 2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假． (1)“p ∧q ”形式的命题简记为：同真则真，一假则假； (2)“p ∨q ”形式的命题简记为：同假则假，一真则真．一、选择题1．命题“xy ≠0”是指( ) A ．x ≠0且y ≠0B ．x ≠0或y ≠0C ．x ，y 至少有一个不为0D ．不都是0答案 A解析 满足xy ≠0，即x ，y 两个都不为0，故选A.2．p ：方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根，q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 是增函数，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a >1 D ．a ≥1 答案 B解析 对于p ：∵方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根， ∴Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1.∴p ：a ≤1； 对于q ：∵函数f (x )＝(a 2－a )x 是增函数，∴a 2－a >0，解得a <0或a >1.∴q ：a <0或a >1. ∵p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， ∴p ，q 中一真一假．①当p 真q 假时，得0≤a ≤1； ②当p 假q 真时，得a >1.由①②得，所求a 的取值范围是a ≥0.3．已知命题p ：1x －3<0，命题q ：x 2－4x －5<0，若p 且q 为真命题，则x 的取值范围为( )A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(3,5)D ．(－∞，5)答案 A解析 由p 知x <3，由q 得－1<x <5， 又由p 且q 为真命题，故－1<x <3.4．命题p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在曲线y ＝－x 2上，则使“p 且q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1) 答案 C解析 点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2，解得P (1，－1)或P (－3，－9)，故选C.5．命题p ∧q 是假命题，命题p ∨q 是真命题，则下列判断正确的是( ) A ．命题p 真q 假 B ．命题p 假q 真 C ．命题p 与q 真假相同 D ．命题p 与q 真假不同答案 D解析 由命题p ∧q 是假命题，命题p ∨q 是真命题，得命题p ，q 一真一假．故选D. 6．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．q 为真 C ．p 且q 为假 D ．p 或q 为真 答案 C解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．7．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．8．下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假的是()A．p：0＝∅；q：0∈∅B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：函数y＝sin x在第一象限不是单调函数C．p：a＋b≥2ab(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：过点M(0,1)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条答案 C解析A中，p，q均为假命题，故“p或q”为假，排除A；B中，由在△ABC中，cos 2A ＝cos 2B，得1－2sin2A＝1－2sin2B，即(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝0，所以A－B＝0，故p 为真，q显然为真，故“p且q”为真，排除B；C中，p为假，q为真，从而“p或q”为真，“p且q”为假；D中，p为真，q为真，排除D.故选C.二、填空题9．若命题p∨q为假命题，则命题“p∧q”是________命题．(填“真”或“假”)答案假解析 因为p ∨q 为假命题，所以p ，q 都是假命题，故p ∧q 必为假命题．10．已知p ：x 2－2x －3<0；q ：1x －2<0，若p 且q 为真，则x 的取值范围是________．答案 (－1,2)解析 当p 为真命题时，x 2－2x －3<0，则－1<x <3； 当q 为真命题时，x －2<0，则x <2. 当p 且q 为真命题时，p 和q 均为真命题， 从而－1<x <2.11．设p ：关于x 的不等式a x >1(a >0且aD ＝/1)的解集是{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p 和q 有且仅有一个为真，则a 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪()1，＋∞ 解析 若p 真，则0<a <1， 若p 假，则a >1.若q 真，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.若q 假，则a ≤12，又p 和q 有且仅有一个为真， ∴当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a >1，综上所述，a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 三、解答题12．判断下列复合命题的真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.解 (1)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.因为p 假q 假，所以“p 且q ”为假，故该命题为假命题．13．设p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；q ：设a ＝(2x 2＋x ，－1)，b ＝(1，ax ＋2)，不等式a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1]恒成立．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 若p 为真命题，则ax 2－4x ＋a >0对x ∈R 都成立，当a ＝0时，f (x )＝lg(－4x )定义域不为R ，不合题意．当a ≠0时，则(－4)2－4a 2<0且a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，16－4a 2<0，解得a >2. 若q 为真命题，则由a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1]恒成立，知2x 2＋x －(ax ＋2)>0，即a >2x －2x＋1对任意x ∈(－∞，－1]恒成立，则a >⎝⎛⎭⎫2x －2x ＋1max . 令g (x )＝2x －2x＋1(x ≤－1)，可知g (x )在(－∞，－1]上是增函数，当x ＝－1时取得最大值，g (x )max ＝1.故a >1.又p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则等价于p ，q 中一个为真命题，另一个为假命题．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >2，a ≤1，无解； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >1，则1<a ≤2. 综上，实数a 的取值范围为(1,2]．14．对于函数①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x －2)．有命题p ：f (x ＋2)是偶函数；命题q ：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是______．答案 ②解析 要使p ∧q 为真命题，需p 和q 都为真命题．对于①，f (x ＋2)＝|x ＋4|不是偶函数，故p 为假命题；对于②，f (x ＋2)＝x 2是偶函数，则p 为真命题；f (x )＝(x －2)2在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，则q 为真命题，故p ∧q 为真命题；对于③，f (x )＝cos(x －2)显然不是(2，＋∞)上的增函数，故q 为假命题．故填②.15．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ” 是假命题，求实数a 的取值范围．解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a.若命题p 为真， ∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1，∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点．∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴q ，p 同时为假命题．∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．。
苏教版高中数学选修2-1知识讲解_常用逻辑用语全章复习巩固(理)_基础
常用逻辑用语全章复习巩固（理）： ：【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q ”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识网络】【要点梳理】要点一：命题的四种形式如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p. 四种命题的关系常用逻辑用语命题四种命题及其关系充要条件全称量词、存在量词互为逆否命题等价逻辑联结词简单命题与复合命题充分、必要、充要、既不充分也不必要或、且、非①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 要点三：充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.如图：“ÜA B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点三：逻辑联结词“或”“且”“非” “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）. （3）复合命题的真假判断（利用真值表）：①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
高中数学新人教A版选修2-1课件：第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词
【思考】视察三个命题:①2是4的约数;②2是6的约数;③2是8的
约数且是10的约数,它们之间有什么关用“且”联结得到的新命题,“且”与集合
运算中交集的定义A∩B={x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同,表示
“并且”,“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词,与生活用语中“既……,
定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则
p∧q、 p为假命题, q为真命题,( p)∧( q)、( p)∧q为假命
题,p∧( q)为真命题,故选D.
答案D
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一含逻辑联结词的命题的构成
例1 指出下列命题的构成情势,以及构成它的简单命题:
(3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作 p,读作“非p”
或“p的否定”.
名师点拨1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中
的“交集”“并集”“补集”来进行理解.
2.一个命题的否定与命题的否命题不同,命题的否定只是将命题
的结论进行否定,而否命题则是将命题的条件和结论都进行否定.
形对应角相等.
(4)这个命题是p∧q情势,其中p:垂直于弦的直径平分这条弦,q:垂
直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧.
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探究一
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探究二含逻辑联结词的命题的真假判断
例2 分别指出由下列简单命题所构成的“p∧q”“p∨q”“ p”情势
的命题的真假.
(1)p:2是奇数,q:2是合数;
际意义判断命题的结构.
解(1)这个命题是p∨q情势,其中p:1是质数,q:1是合数.
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_常用逻辑用语 全章复习与巩固
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《常用逻辑用语》全章复习与巩固【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【知识网络】【要点梳理】要点一：命题（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为x M ∀∈，()p x （3）存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为x M ∃∈，()q x . 要点二：基本逻辑联结词基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.（1）p q ∧：用“且”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 且q ”，相当于集合中的交集.（2）p q ∨：用“或”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 或q ”，相当于集合中的并集.（3）p ⌝：对命题p 加以否定，得到的新命题，读作“非p ”或“p 的否定”，相当于集合中的补集.要点三：充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.如图：“A B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点四：四种命题及相互关系如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p. 四种命题的关系①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 要点五：命题真假的判断方法（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断； （2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）： 命题的真假判断（利用真值表）：pq非pp q 或 p q 且互逆⌝⌝否命题若p 则q原命题若p 则q逆命题若q 则p⌝⌝逆否命题若q 则p互逆互逆否为互逆否为否否互互（3）对于“若，则”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.要点诠释：①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”； ③“p ⌝”与p 的真假相反. 要点六：量词与全称命题、特称命题 全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
人教A版高中数学选修2-1第一章常用逻辑用语章末总结
2a2a 1
2a2a 1
2
所以 a 的取值范围是(2,8).
误区警示 (1)解题时,易忽略三角形的三边应满足两边之和大于第三边,而 使某些字母的范围变大. (2)本题实质上是求2a+1,a,2a-1能构成钝角三角形三边的充要条件,除了 要保证三边长均为正数外,还应满足两边之和大于第三边、最大边所对角 的余弦值为负数.
因为 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0, 因为 sin C>0,所以 sin A+cos A=0.所以 tan A=-1,
(2)在涉及三角形面积时,常常借助正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
四、三角形中的取值范围 【典例4】 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角. (1)证明:B-A= π ;
2
(1)证明:由 a=btan A 及正弦定理,得 sin A = a = sin A , cos A b sin B
中 sin θ= 26 ,0°<θ<90°）且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
解:(1)如图,AB=40 2 , AC=10 13 ,∠BAC=θ,sin θ= 26 .
26
所以 cos θ= 5 26 . 26
由余弦定理得 BC= AB2 AC2 2AB AC cos =10 5 . 所以船的行驶速度为 10 5 ÷ 2 =15 5 (海里/小时).
高中数学选修2-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.1知识点总结含同步练习及答案
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命 题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么 它的逆否命题为“若 ¬q ，则 ¬p ”． 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性； ② 互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系． 例题： 把下列命题改写成“若 p ，则 q ” 的形式，并判断命题的真假． （1）当 ac > bc 时， a > b ； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，当 y = 3 时，x = 2； （3）当 m > （4）菱形的对角线互相垂直． 解：（1）若 ac > bc，则 a > b，假命题； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，若 y = 3，则 x = 2 ，真命题； （3）若 m > （4）若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，真命题．
高中数学选修2-1课件：第1章 常用逻辑用语1.3
数学 选修2-1
第一章 常用逻辑用语
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用逻辑联结词构成新命题
1．逻辑联结词：_且__、__或__、_非___．
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2．用逻辑联结词构成新命题.
构成新命题
记作 读作
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解析： (1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”，即“非 零实数的平方大于0”，
由于p是真命题，q是真命题，所以p∨q是真命题． (2)p∨q：“3>4或3<4”，即“3≠4”， 由于p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题． (3)p∨q：方程(x－1)(x－2)＝0的根为x＝1或方程(x－1)(x －2)＝0的根为x＝2. 由于p是假命题，q是假命题，所以p∨q是假命题．
答案： B
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2．若命题p∧q为假，且¬p为假，则( )
A．p∨q为假
B．q为真
C．q为假
D．不能判断
解析： ¬p为假，则p为真，又p∧q为假，则q为假．
答案： C
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1．将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真 假：
(1)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分； (2)p：0是奇数，q：0是偶数； (3)p：x≠0，则xy≠0，q：y≠0，则xy≠0.
数学选修2-1常用逻辑用语复习课课件
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
表述形式 若 p，则 q 若 q，则 p 若¬p，则¬q 若¬q，则¬p
知识梳理
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系 原命题、逆否命题，具有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没 有关系．
知识梳理
【解析】逆命题：若 x＝2 且 y＝－1，则 x－2＋(y＋1)2＝0，真命题． 否命题：若 x－2＋(y＋1)2≠0，则 x≠2 或 y≠－1，真命题． 逆否命题：若 x≠2 或 y≠－1，则 x－2＋(y＋1)2≠0，真命题．
典例精析
题型二：充分、必要条件的判断及应用
【例2】对于函数y=f(x),x∈R，“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
1<x<3.
由
x 2
x
2
x 6 0, 得2 2x 8 0,
x
3,
即q为真时，实数x的取值范围是2<x≤3.
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2<试卷库 第1章 常用逻辑用语 随堂测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1.下列四个命题中，真命题个数是( C) ①若“x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题 ②“全等三角形的面积相等”的否命题 ③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的命题 ④“等边三角形的三个内角相等”的逆否命题 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2．充分条件与必要条件 (1)如果 p⇒q，那么称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． (2)分类 ①充要条件：p⇒q 且 q⇒p，记作 p⇔q； ②充分不必要条件：p⇒q，q⇒/ p； ③必要不充分条件：q⇒p，p⇒/ q， ④既不充分也不必要条件：p⇒/ q，且 q⇒/ p. 3．简单的逻辑联结词 (1)用联结词“且”“或”“非”联结命题 p 和命题 q，可得 p∧q，p∨q，¬p. (2)命题 p∧q，p∨q，¬p 的真假判断． p∧q 中 p、q 有一假为假，p∨q 有一真为真，p 与¬p 必定是一真一假．
高中数学选修2-1常用逻辑用语1.2.2充要条件
1.2.2充要条件一、教学目标1.知识与技能：正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。
2.过程与方法：充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。
3.情感、态度与价值观：通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。
二、教学重点与难点1.重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念。
2.难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。
3.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。
三、教学方法及教学准备1. 学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系，充要条件中的p、q与四种命题中的p、q要求是一样的，它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题。
2. 由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键，教学中应始终注意以学生为主，让学生在自我思考，相互交流中去给概念、“下定义”，去体会概念的本质属性。
3. 教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中教师可以具体的、简单的命题的条件与结论之间的关系来讲解“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来了解“必要条件”的概念。
四教学过程（一）新课导入引入1：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么，p是q的什么条件？引入2 “在△ABC 中，p: AB＝AC，q: ∠B＝∠C”，那么，p是q的什么条件？”（二）探究新知探究点1 充要条件的含义1.充分条件与必要条件的含义分别是什么？如果“ p ⇒ q ”，则称p是q的充分条件，且q是p的必要条件.2.对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？概念：一般地，如果既有p ⇒ q，又有q ⇒ p，就记作p ⇔ q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p ⇔ q，那么p与q互为充要条件.判断p是q的什么条件，并填空：（1）p：x 是整数是q：x是有理数的_____________________；（2）p：ac＝bc是q：a＝b的_____________________；（3）p：x＝3 或x＝-3是q：x2＝9 的_____________________；（4）p：同位角相等是q：两直线平行的_____________________；（5）p：(x-2)(x-3)＝0 是q：x-2＝0 的_____________________．探究点2 判断充分条件、必要条件的方法【1】直接用定义判断若p ⇒ q，且q p，则p是q的充分不必要条件；若p⇐q，且p q，则p是q的必要不充分条件；若p ⇒ q，且p ⇐q，则p是q的充要条件；若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.【2】利用命题的四种形式进行判定p是q的充分不必要条件，原命题为真逆命题为假；p是q的必要不充分条件，原命题为假逆命题为真；p是q的充要条件，原命题、逆命题都为真；p是q的既不充分也不必要条件，原命题、逆命题都为假.例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件．（1）p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；（4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等.例4 已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证d = r是直线l 与⊙O 相切的充要条件.（三）课堂训练1.(2013•福建高考)设点,则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是( )A．ab＞0B．ab＜0C．ac＞0D．ac＜0.已知p,q都是r的必要不充分条件，s是r的充分不必要条件，q是s的充分不必要条件，则（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？4.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A的________________________.（四）课堂小结充要条件的概念：既有p ⇒q，又有q ⇒p，就记作p ⇔ q.则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.形如“若p，则q ”的命题中存在以下四种关系：（1）p是q的充分不必要条件（2）p是q的必要不充分条件（3）p是q的充分必要条件（4）p是q的既不充分又不必要条件。
高中数学选修2-1课件：第1章 常用逻辑用语1.2
数学 选修2-1
第一章 常用逻辑用语
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(3)综上所述，原命题“若p，则q”，逆命题为“若q，则 p”，则p与q的关系有以下四种情形：
原命题 真
假 真 假
逆命题
p，q的关系
假
p是q的充分不必要条件q是p的必要不 充分条件
真
p是q的必要不充分条件q是p的充分不 必要条件
解析： p：－2≤x≤10.
q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)
⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为 p 是 q 的充分不必要条件．
即{x|－2≤x≤
x|1－m≤x≤1＋m}，
1－m≤－2 1－m<－2 故有1＋m>10 或1＋m≥10 ，解得 m≥9.
m>0
思路点拨： 先证充分条件 {由―an―a}＋是―b等―＝―比0证―数→明列
再证必要条件 由―{证a―n明}―是a―＋等―b比＝―数→0 列 结论
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充分条件、必要条件的概念
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第一章 常用逻辑用语
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对充分条件和必要条件的关系的理解 p是q的充分条件，就是p足以保证q成立，这种情况下，也 可以理解为：q是p成立的必不可少的条件，即q是必要的，所 以q是p的必要条件，由此可见判断充分条件或者必要条件实质 上就是要判断命题“若p，则q”(或者其逆命题)的真假，即判 断p能否推出q(或者q能否推出p)．
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第一章 常用逻辑用语
一、命题
1、定义：可以判断真假的陈述语句，分为真命题和假命题.
2p q 、一般形式：“若则”.
二、四种命题
()
()
()
()
p q p q q p q p p q p q q p q p ⇒⇒⌝⌝⌝⇒⌝⌝⌝⌝⇒⌝原命题：若则逆命题：若则否命题：若则逆否命题：若则
例：原：若一个数是负数，则它的平方是正数.(真)
逆：若一个数的平方是正数，则这个数是负数.(假)
否：若一个数不是负数，则它的平方不是正数.(假)
逆否：若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数.(真)
结论:①互为逆否的命题同真，同假.
②原命题与逆命题、原命题与否命题的真假无关.
三、充分条件与必要条件
1,,,p q p q q p p q p q q p p q q p p q p q p q ⇒≠>⇒⇒⇔、若称是的充分条件，是的必要条件.
2、若称不是的充分条件，不是的必要条件.
3、若而且记作“”,称是的充分必要条件，简称是的充要条件. p q p q p q p q ≠⊆⇒⊂⇒注：可以借助集合关系来判定：
是的充分条件.
是的充分不必要条件.
例：
四、复合命题真假的表格.
1、 2、 3、
五、全称量词、存在量词
()
()
01:,:,p x M P x p x M P x ∀∈⌝∃∈、全称命题它的否定 ()()00:,:,p x M P x p x M P x ∃∈⌝∀∈2、特称命题它的否定
例：“四边形都有外接圆”
():,.P ABCD A B C D ∀四边形都有、、、共圆全称命题
()()
0111111:+=20.P A B C D A C A B C D ⌝∃∠∠四边形其中，其中、、、不共圆特称命题
200020x R x x ∈+≤“存在，使+2"
2000:20P x R x x ∃∈+≤，使+2
2:20P x R x x ⌝∀∈+>，+2
()()⊆⇒“福州人”“福建人”集合“福州人”“福建人”命题“福州人”是“福建人”的充分条件.“福建人”是“福州人”的必要条件
.。