图论模型
图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
2
u5
3
2
7
5
3
9
u1
u3
u6
0
8
7
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
05第5讲 图论模型
4
目标函数是使得 z wij xij 最小化。
i 1 j 1
n
n
约束条件分成如下 4 类： （1）根 v1 至少有一条边连接到其他的顶点，
v1
4 2 4 5 3
v2
1 3 4 4 2
v3
v1
1
v8
1
v0
1
v4
1
v8
v7
2
v2 1
v0
1
v3 1 v4 v5
5
v7
2 v6 (a)
5
v5
2 3
v6
2
图 5.4 生成的最小生成树
v0 , v1 ,
求最小生成树的 Kruskal 算法的 MATLAB 程序如下（用 MATLAB 计算时，顶点 ： , v8 分别编号为 1, 2, ,9 ） clc, clear a=zeros(9); a(1,[2:9])=[2 1 3 4 4 2 5 4]; a(2,[3 9])=[4 1]; a(3,4)=1; a(4,5)=1; a(5,6)=5; a(6,7)=2; a(7,8)=3; a(8,9)=5; a=a'; %转成 MATLAB 需要的下三角元素 a=sparse(a); %转换为稀疏矩阵 b=graphminspantree(a,'Method','Kruskal') %注意要写 Kruskal 算法，否则使用 Prim 算法 L=sum(sum(b)) %求最小生成树的权重 view(biograph(b,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on')) %画最小生成树,
数学建模-图论模型
思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E
数学建模图论模型
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其 为图解 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸 态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许
图论 模型
图论模型图论是运筹学的一个经典和重要分支，专门研究图与网络模型的特点、性质以及求解方法。
许多优化问题，可以利用图与网络的固有特性而形成的特定方法来解决，比用数学规划等其他模型来求解往往要简单且有效得多。
图论起源于1736年欧拉对柯尼斯堡七桥问题的抽象和论证。
1936年，匈牙利数学家柯尼希（D. Kӧnig ）出版的第一部图论专著《有限图与无限图理论》，树立了图论发展的第一座里程碑。
近几十年来，计算机科学和技术的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，其理论和方法已经渗透到物理、化学、计算机科学、通信科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学各个学科中。
9.1 图的基础理论9.1.1 图的基本概念所谓图，概括地讲就是由一些点和这些点之间的连线组成的。
定义为(,)G V E =，V 是顶点的非空有限集合，称为顶点集。
E 是边的集合，称为边集。
边一般用(,)i j v v 表示，其中,i j v v 属于顶点集V 。
以下用V 表示图(,)G V E =中顶点的个数，E 表示边的条数。
如图9.1是几个图的示例，其中图9.1 (a)共有3个顶点、2条边，将其表示为(,)G V E =，123{,,}V v v v =，1213{(,),(,)}E v v v v =.23v 45v 34(a)(c)图9.1 图的示意图1.无向图和有向图如果图的边是没有方向的，则称此图为无向图（简称为图），无向图的边称为无向边（简称边）。
如图9.1 (a)和(b)都是无向图。
连接两顶点i v 和j v 的无向边记为(,)i j v v 或(,)j i v v 。
如果图的边是有方向（带箭头）的，则称此图为有向图，有向图的边称为弧（或有向边），如图9.1 (c)是一个有向图。
连接两顶点i v 和j v 的弧记为,i j v v 〈〉，其中i v 称为起点，j v 称为终点。
显然此时弧,i j v v 〈〉与弧,j i v v 〈〉是不同的两条有向边。
数学知识总结解决实际问题的常用数学模型
数学知识总结解决实际问题的常用数学模型数学作为一门科学，不仅仅是学科的基础，还是解决实际问题的重要工具。
在工程、物理、经济、生物等领域中，数学模型被广泛运用于解决各种实际问题。
本文将总结一些常用的数学模型，并说明它们在应用中的具体作用。
1. 线性回归模型线性回归模型是一种常见的统计学模型，它用于描述两个变量之间的线性关系。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的数据来预测或估计未知的变量。
线性回归模型通过建立一个线性方程，根据已知的数据点进行拟合，并用于预测未知数据点的取值。
这种模型广泛应用于经济预测、市场分析等领域。
2. 概率统计模型概率统计模型是研究随机现象规律性的数学工具。
在实际问题中，我们常常需要确定某个事件发生的可能性。
概率统计模型通过统计分析已有的数据，从而得到事件发生的概率。
根据已有的统计数据，我们可以计算出事件发生的可能性，并做出相应的决策。
例如，在风险评估中，我们可以通过概率统计模型来评估某个投资产品的风险。
3. 最优化模型最优化模型是研究如何找到使某个目标函数取得最优值的数学模型。
在实际问题中，我们常常需要在一定的约束条件下，找到一组满足特定条件的最优解。
最优化模型可以通过建立数学模型，并应用最优化算法来求解。
在工程设计、物流规划等领域中，最优化模型被广泛应用。
4. 图论模型图论模型是研究图的性质和关系的数学工具。
在实际问题中，我们常常需要分析和描述事物之间的关系。
图论模型可以通过构建图来描述和分析事物之间的关系，并帮助我们解决实际问题。
在社交网络分析、交通规划等领域中，图论模型发挥着重要的作用。
5. 随机过程模型随机过程模型是研究随机现象随时间变化规律的数学工具。
在实际问题中，我们常常需要研究某个随机变量随时间的变化趋势，或者某个随机事件在一段时间内的累积概率。
随机过程模型可以通过建立数学模型，对随机现象进行建模和分析。
在金融风险管理、天气预测等领域中，随机过程模型被广泛应用。
图论建模方法
• 称图G与图H同构.记为G= H.如果存在V (G)与V(H)的一一对应.同时存 在E(G)与E(H)的一一对应.且保持顶点与边的关联关系不变.例如.在图 10. 3中·图G与图H同构.同构的图可看成同一个图.只是顶点与边的标 号可能不同而已.
• 定义10. 3在无向图中.与顶点v关联的边的数目(环算两次)称为v的度. 记为dG (v).简记为d (v).对有向图.顶点v少的出关联边数称为出度.记 为dG' (v)或d' (v).人关联边数称为入度.记dG (v)或d(v).显然
• 我们可用定义或图形表示一个图.但注意到图的关联关系和邻接关系. 还可以用矩阵来表示一个图.从而更有利于计算机处理.
• 定义10. 5设G是(n.m)图·则以矩阵A = (aij) nx m表G的关联矩阵.其 中
• 以H=(hij )nx n表T邻接矩阵.其中hij为以顶点vi和vj为端点的边数(i,j =1.2...…n).
• 有n个顶点m条边的图称为(n,m)图.(n,0)图叫零图.特别地.(0,0)图叫空 图.(1 ,0)图叫平凡图.没有环与平行边的图称为简单图.任意两顶点都相 邻的简单图称为完全图.有n个顶点的完全图记为Kn.若V(G)能分解为 V1与V2,使得
美赛 7：图论模型、分类模型(十大模型篇)
目录五、图论模型1.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法2.弗洛伊德（Floyd）算法六、分类模型1.逻辑回归2.Fisher线性判别分析五、图论模型图论模型主要解决最短路径问题，根据图的不同，对应采用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法、弗洛伊德算法（Floyd）。
Matlab代码：% Matlab中的图节点要从1开始编号s = [9 9 1 1 2 2 2 7 7 6 6 5 5 4];t = [1 7 7 2 8 3 5 8 6 8 5 3 4 3];w = [4 8 3 8 2 7 4 1 6 6 2 14 10 9];G =graph(s,t,w);plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) set ( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );%% Matlab作无向图% （1）无权重（每条边的权重默认为1）% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图% s 和 t 都必须具有相同的元素数；这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞数组% 注意：编号从1开始连续编号s1 = [1,2,3,4];t1 = [2,3,1,1];G1 = graph(s1, t1);plot(G1)% 注意字符串元胞数组是用大括号包起来s2 = {'学校','电影院','网吧','酒店'};t2 = {'电影院','酒店','酒店','KTV'};G2 = graph(s2, t2);% 设置线的宽度plot(G2, 'line width', 2) % 画图后不显示坐标set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] ); % （2）有权重% 函数graph(s,t,w)：可在 s 和 t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图s = [1,2,3,4];t = [2,3,1,1];w = [3,8,9,2];G = graph(s, t, w); plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] ); %% Matlab作有向图% 无权图 digraph(s,t)s = [1,2,3,4, 1];t = [2,3,1,1,4];G = digraph(s, t);plot(G)set( gca, 'XTick', [], 'YTi ck', [] ); % 有权图 digraph(s,t,w)s = [1,2,3,4];t = [2,3,1,1];w = [3,8, 9,2];G = digraph(s, t, w);plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );1.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法迪杰斯特拉算法是基于贪婪算法的思想，从起点出发逐步找到通向终点的最短距离。
初中八年级奥数课件：图论模型
那么这样我们就得到了一个由红边和蓝边组成的6阶完 全图
我们实际上要证明的就是这个图中或者存在一个红三 角形(认识)，或者存在一个蓝三角形(不认识)
任取一个顶点v0，由它连出5条边到其它的顶点，这五条边只有红 色和蓝色两种
V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}.
这两个图互为同构图,今后将不计较这种外形上的差 别,而用一个容易理解的、确定的图解去表示一个图.25
河
岸, 一旦随从的人数比商
人多, 就杀人越货.
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定.
商人们怎样才能安全过河?
问题分析
多步决策过程
3名商人
3名随 从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
2、一个简单的例子
印刷电路板将布线区域划分为n×Байду номын сангаас个方 格阵列
精确的电路板布线问题要求确定连接方格 a的中点到方格b的中点的最短布线方案。
布线时电路只能沿直线或直角布线。 为避免线路相交，已布线方格做上封闭标
记，其他线路布线不允许穿过封闭区域。
a b
1
1a1
1
b
2
21
1a12
212
b
图
图
1
2
并且常记
V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
图论模型
65
2 3 4 2 2 3 4 5 70 2 3 4 2 4 2 3 4 5 1 3 4 5
1 80
50 2 30
5
100
20
3
第三次迭代后得到：
130 0 50 0 80 ( 3) 30 0 20 110, D 0 70 65 115 100 120 0
2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5
2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5
3
第二次迭代后得到：
1 0 50 130 1 0 80 ( 2) ( 2) 30 0 20 110, P 1 D 0 70 1 0 65 115 100 1
1 1 ( 3) 1 P 1 1
2 3 4 2 2 3 4 5 2 3 4 2 2 3 4 5 1 3 3 5
第四次迭代后得到：
130 0 50 0 80 ( 4) 30 0 20 90 , D 0 70 65 115 100 120 0
65
1 1 ( 4) 1 P 1 1 2 3 4 2 2 3 4 5 2 3 4 4 2 3 4 5 1 3 3 5
1 80
50 2 30
5 70 4
100
20
3
第五次迭代后得到：
50 230 250 130 0 145 0 180 200 80 (5) 155 30 0 20 90 , D 135 185 170 0 70 65 115 100 120 0
图论模型及其解答
各种图论模型及其解答摘要：本文用另一种思路重新组织《图论及其应用》相关知识。
首先，用通俗化语言阐述了如何对事物间联系的问题进行图论建模；接着从现实例子出发，给出各种典型图论模型，每种图论模型对应于图论一个重要内容；再者，介绍相关知识对上述提到的图论模型涉及的问题进行解答；最后，补充一些图论其他知识，包括图论分支、易混概念。
符号约定：Q(Question)表示对问题描述，M(Modeling)表示数学建模过程，A(Answer)表示原问题转化为何种图论问题。
一、引言图论是研究点、线间关系的一门学科，属于应用数学的一部分。
现实生活中，凡是涉及到事物间的关系，都可以抽象为图论模型。
点表示事物，连线表示事物间的联系。
整个求解过程如下：原问题——>图论建模——>运用图论相关理论求解——>转化为原问题的解整个过程关键在于图论建模，所谓图论建模，就是明确点表示什么，连线表示什么，原问题转化为图论中的什么问题。
存在以下两种情况：①若事物间联系是可逆的(比如双行道，朋友)，则抽象成无向图②若事物间联系是不可逆的(比如单行道，状态转化不可逆)，则抽象成有向图如果需要进一步刻画事物间的联系（比如城市间的距离），就给连线赋一个权值，从而抽象成赋值图。
综上，根据实际问题，可建模成下列图论模型的一种：无向赋权图、有向赋权图、无向非赋权图、有向非赋权图。
例1.宴会定理：任何一宴会中，一定存在两个人有相同的数量朋友M：点表示人，连线表示当且仅当该两个人是朋友A：问题转化为任何一个图一定存在两个顶点的度相等二、图论模型接下来介绍若干典型的图论模型，每种模型几乎对应于图论的一个重要内容，这些内容将在第三章进行讨论，也就给出了这些模型的解答思路。
2.1 偶图模型凡涉及两类事物间的联系（即只考虑两类事物间的联系，而不考虑同类事物间的联系），均可抽象成偶图模型。
作图时，将两类事物分成两行或者两列。
这类模型通常被包含在后续的模型中，但因许多现实问题可抽象成该模型，所以单列出来讨论。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究离散数学模型是数学中的一个分支，它主要研究非连续的、离散的数学结构和离散的逻辑关系。
在实际应用中，离散数学模型被广泛用于解决各种实际问题。
一、图论模型图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和应用。
在现实生活中，图论模型被广泛应用于网络分析、电路设计、交通规划等领域。
在网络分析中，图论模型可以用于分析网络拓扑结构、寻找网络中的最短路径、解决流量优化等问题。
比如在互联网中，可以利用图论模型来确定最短路径，以提高网络传输速度和效率。
在电路设计中，图论模型可以用于解决电路中的布线问题、拓扑排序等。
通过图的着色问题，可以进行电路的最优颜色分配，以提高电路的可靠性和性能。
在数据库设计中，集合论模型可以用于建立和管理数据库中的数据表和关系。
通过对集合的运算和关系的建立，可以实现数据库的查询、插入、更新和删除等操作。
在人工智能领域，集合论模型可以用于描述和处理知识的表示和推理问题。
通过对知识的集合和运算进行建模，可以实现人工智能系统的推理和决策功能。
在风险评估中，概率论模型可以用于计算和预测风险事件的发生概率和损失。
通过对概率分布和随机变量的建模，可以评估和管理风险，提高决策的准确性。
在金融建模中，概率论模型可以用于对金融市场的价格和波动进行建模和预测。
通过对概率分布和时间序列的分析，可以制定有效的投资策略和风险管理方案。
在法律推理中，逻辑模型可以用于分析和推理法律规则和案例。
通过对法律规则的形式化和推理过程的建模，可以实现法律推理的自动化和优化。
离散数学模型在实际应用中发挥了重要的作用。
通过对图论、集合论、概率论和逻辑的研究，可以解决各种实际问题，提高决策的准确性和效率。
希望离散数学模型的应用研究能够得到进一步的发展和应用。
图论模型笔记
Graphical Model1.1 贝叶斯网络联合概率可以写成：()()()()P a,b,c =P c|a,b P b|a P a(0.1)那么用图形就可以表示成图 0-1所示，这是一个有向图，指向的箭头代表着条件概率。
图 0-1 表示(0.1)式的有向图图论模型表示概率的普通形式为(0.2)式。
其中k pa 为k x 的父节点1(x)(|)Kk k k p p x pa ==∏(0.2)这一类图称为有向无环图（Directed Acyclic Graphs ，简称DAG ）。
1.1.1 线性回归的图论模型线性回归的概率模型中的随机变量为参数W 以及观察数据12={t ,t t }T N t ，。
另外模型还包含了输入数据12{,,}T M x x x x =，噪声方差2σ以及W 的高斯概率先验中的超参数α（precision ），这些都只是模型的参数而非随机变量。
随机变量W 和t 的联合概率分布为1(,)()(|)Nn n p p p t ==∏W t W W(0.3)其图论模型对应为：图 0-2其中重复的n t 用如图的方框表示。
另外，我们可以将模型的参数加进来：221(,|,,)(|)(|,,)Nn n n p p p t x ασασ==∏W t x W W(0.4)得到的模型为图 0-3，其中n t 是被观察得到的节点，我们给它染上颜色并称之为observed variables 。
W 是未被观察到的，称之为隐藏变量（hidden variables ）。
图 0-3在通常情况下，我们的最终目的是当给定一个新的输入ˆx，以及在给定一组观察数据的时候得到ˆt 的概率。
首先有联合概率： 2221ˆˆˆˆ(,,|,,,)(|)(|,,)(|,,)Nn n n p tx p p t x p t x ασασσ=⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦∏W t x W W W (0.5)用图论模型表示为：图 0-4要得到在输入ˆx以及已有模型下ˆt 的概率，将(0.5)式的W 积分出来即可：22ˆˆˆˆ(|,,,)(,,|,,,)p tx p t x d ασασ∝⎰x W t x W (0.6)1.2 条件独立多变量概率分布的一个重要概念就是条件独立（conditional independence ）。
【经典】建模-组合优化模型-图论模型
的路线，经过的总长度是不同的。例如，按照第一个线路，
总 长 度 是 3+6+3=12 单 位 ， 按 照 第 二 个 路 线 ， 总 长 度 是
3+1+1+6=11单位。 19
定义1 设P(vs, vt) 是赋权有向图D = (V, A) 中从点vs 到vt的路, 用E(a) 表示路径P(vs, vt)中全部弧的集合, w (a)
为弧a的权重，记： w(P) w(e) eE (a)
则称w (P)为路径P(vs, vt)的权。
定义2 若P0 是D 中连接vs到vt的路径, 它的权是D 中 连接vs到vt的所有路径P中最小的，即：
w(P0 ) min w(P)
P
则称P0 是D 中从vs到vt的最短路，其权称为8
例 如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字
表示这条单行线的长度。现在有一个人要从V1出发，经
过这个交通网到达V6，
v2
6
v4
要寻求总路程最短的
线路。
v1
3 14
5
3
2
v6
6
1
从v1到v6的路线是很多的。v3比如从V1出发，v5经过V2 ,V4
到达V6或者从V1出发，经过V2，V3，V5到达V6等等。但不同
已知设备在每年年初的购买费分别为11,11, 12,12,13。使用不同时间设备所需的维修费分别 为5,6,8,11,18（万元）。
年份 1
2
3
45
年初 价格
11
11
12
12 13
使用年
数
0-1 1-2 2-3 3-4 4-5
每年维
修费
5
6
08图论模型剖析
0 1 0 1 v1 1 0 1 1 v2 0 1 0 1 v3 1 1 1 0 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
1 aij 0
若（ vi，v j） E 若（ vi，v j） E
基 本 概 念
定义 在无向图 G=(V ,E, )中：
c
x
x1 j 1 v j V s.t. x ji 1 ，i 1 v j V x 0或1 ij
8.2
最短通路问题
8.2.1 问题的背景与提出
在各种网络的铺设、网络的输送、线路的安排等 问题中，经常涉及到确定一条最短路．如在输送网络 中，考虑最小运输路线、最省运输费用、最少运输时 间等，这些都是最短通路问题．最短通路问题有非常 广泛的背景和应用，它也是图论或组合优化中的一个 重要问题．1959年，E.W.Dijkstra给出了该问题的一个 解法．
1956年Kruskal给出了一种求最优树的算法，称为避 圈法，算法如下： 1. 选择边 e1 ，使得w(e1 ) 尽可能小； 2. 若已选边 e1 , e2, ...,ei ，则从边集
E \ {e1 , e2, ...,ei } 中选取 ei 1 ，使
（1） G[{e1 , e2 ,...,ei 1}] 为无圈图；
节点间的连线，表示 有关联 一般用 eij 表示
节点和边的集合 一般用 G(V,E) 表示 点集 V={v1,v2,…, vn} 边集E={eij }
图 (Graph)
所有边都没有方向的图称为无向图，如上图 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) 当所有边都有方向时，称为有向图，用G(V,A) 表示 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标 识 图中既有边又有弧，称为混合图
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d v j min d v j , d v3 w3 j
2
4
7
4
8
8
∞
∞
3
7
2
4
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3 7
v3
5 1
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1
2
7
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v5
4
3
6
v4
4
v6
6
v8
d(vj) v1 v2 v3 v4 v5 7 v6 4 v7 v8 ∞ 9 3 8 8
d v j min d v j , d v4 w4 j
v1
1
v5
v4
v6
v8
Edsger· Wybe· Dijkstra
———结构程序设计之父
contents
1. Dijkstra简介 2. 杰出成就 3. 获得的奖项 4. 生平经历 5. Dijkstra的经典言论
南京邮电大学
简介
艾兹格· 迪科斯彻，荷兰人。 计算机科学家，毕业并就职于 W· 荷兰莱顿大学，早年钻研物理及数学，而后转为计算机学。 迪科斯彻于1930年5月11日生于鹿特丹，他的父亲是一位化学 家，他的母亲是一位数学家，这种充满科学气息的家庭背景 对于他的职业生涯乃至他的整个人生都有着深刻的影响。 迪科斯彻是计算机先驱之一，开发了程序设计的框架结构。曾 经提出“goto有害论” ，解决了有趣的“哲学家聚餐”问题 ，提出了目前离散数学应用广泛的最短路径算法。与唐纳德
南岸
1736年欧拉把这个问题的物理背景变换并简化为一种 数学设计（称作图）：即把每一块陆地用一个点来代 替，将每一座桥用连接相应的两个点的一条线来代替， 从而相当于得到一个图。欧拉证明了这个问题没有解， 并指出欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不 涉及“大小”，也不能用“量化计算”来解决。
1 军用物资的运送
3 简易公路建设方案
某合同战术训练基地为保障即将进行的联合军事演习， 准备在原有的1个油库的基础上，再设立7个固定的燃 料补给点。
油库与补给点的位置如图所示，其中油库位于v1点， 补给点位于v2, …, v8点。
v2 v7 v1
v3
v5
v4
v6
v8
经过前期的测绘工作，如果在油库和补给点之间修建 简易公路，由于地形不同，每段公路花费如图，每单 位费用为1万元。请根据测绘结果，规划一个总造价 最低的建设方案。
0 xij cij
vs
6 7 2
4 vt
2
标号算法
给定初始可行流 xij （零流），逐渐增大流量，当不能 增加流量时停止，得到的就是最大流。
v1 2 0 3 7
vs 4 6
2
0 v2 5 0 5 0 1 6 v3 4
0
0 v4 3 0 0 0
0v 0
t
0 2 0 4 0 v5
3 7
2 2
v3
5 1
v7
8 4
2
v1
1
7 3
v5
4
3
6
v4
4
v6
6
v8
0 1 2 7 4 8 1 0 2 3 7 2 2 0 1 5 3 1 0 3 6 W 7 5 3 0 3 4 4 3 0 2 6 8 7 2 0 4 6 4 6 4 0
v1
1
v5
v4
4
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v8
d(vj)
v1
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v5
6
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9
d v j min d v j , d v5 w5 j
6
d v j min d v j , d v7 w7 j
6
9
9
v2
3 7
2 2
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5 1 3 4 6
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3
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6
v8
d(vj) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
6 4 8 d v j min d v j , d v6 w6 j
9
9
6
6
v2
3 7
2
2 7 3
v3
5 1 3 4 6
v7
8 4 2
南京邮电大学
1989年获得美国计算机协会计算 机科学教育专业组授予的计算机 科学教育教学杰出贡献奖。
2002年获得美国计算 机协会分布式计算原 理专业组授予的最具 影响力论文奖。
南京邮电大学
Dijkstra的经典言论
1. 编程的艺术就是处理复杂性的艺术。 2. 优秀的程序员很清楚自己的能力是有限的， 所以他对待编程的态度是完全谦卑的。特别是， 他们会像逃避瘟疫那样逃避 “聪明的技巧”。 3. 我们所使用的工具深刻地影响我们的思考习 惯，从而也影响了我们的思考能力。 4. 实际上如果一个程序员先学了BASIC，那就 很难教会他好的编程技术：作为一个可能的程序 员，他们的神经已经错乱了，而且无法康复。 5. 就语言的使用问题：根本不可能用一把钝斧 子削好铅笔，而换成十把钝斧子会是事情变成大 灾难。 6. 简单是可靠的先决条件。
定义 1：有序二元组G=(V, E)称为图，其中： V={v1, v2, …, vn}表示顶点集，E={e1, e2, …, em} 表示边集。
如果各条边都加上方向，则称为有向图，否则称为 无向图。如果有的边有方向，有的边无方向，则称 为混合图。如果图的每一条边都对应一个实数，则 称该实数为对应边的权，称该图为赋权图。
综合地图和侦察连汇报的情况，作战参谋发现，T团 距离仓库S路程较远，道路情况复杂，有二级公路， 也有临时铺设的简易公路。由于前线实行交通管制， 这些道路全部为单向通行 。
对地图进行简化，阵地记为 2 vt，仓库记为vs，各道路节 v4 4 3 点记为v1，v2，……，v5。 5 vs 3 6 v2 道路看做是连接各点的边， 6 2 道路每天的通过能力（容量） vt 7 1 2 记为边的权值cij。在最后确 4 5 定的方案中，每条道路的实 v3 4 v5 际流量记为xij 。
（1930.5.112002.8.6）
· 克努特并称为我们这个时代最伟大的计算机科学家。在与 E·
癌症进行多年的斗争之后，迪科斯彻于2002年8月6日在荷兰
纽南自己的家中与世长辞。享年72岁。
南京邮电大学
杰出成就
1.提出“goto有害论”； 2.提出信号量和PV原语； 3.解决了有趣的“哲学家聚餐”问题； 4.第一个ALGOL 60编译器的设计者和实现者；
5.THE操作系统的设计者和开发者；
6.提出了目前离散数学广泛应用的最短路径算法； 7.为了解决操作系统中资源分配问题，提出银行家算法。
南京邮电大学
获得的奖项
1972年获得过素有计算机科学界的诺 贝尔奖之称的图灵奖。
南京邮电大学
1974年获得美国信息处理学会联盟颁
发的Harry Goode纪念奖。
对赋权图G，其邻接矩阵A=(aij)v×v，其中：
wij aij 0 若vi与v j 相邻，且wij为其权 若i j 若vi与v j 不相邻
v1
1 v4
7
3 2
v2
5 v3
0 7 7 0 A= 3 5 1
1 5 0 2 2 0 3
v2
（2）在R中寻找一个顶点vk，使得
v j R
d vk min d v j
置S=S∪{vk}， R=V\S。若R=Ø，终止算法。 （3）修正d(vj)，对R中的每个vj，令
d v j min d v j , d vk wkj
转回（2）
4 前线弹药供应
与我国有陆地边境的某国近来局势紧张，为应对可能 发生的局部冲突，某装甲师奉命开赴前线。 该师下属代号为T的某团，装 备有先进的PLZ-05式自行榴弹 炮。该团进驻阵地后，发现临 时设立的弹药补给点没有储备 155mm榴弹炮，距离最近的储 备有该型炮弹的仓库是后方的 S仓库。团指挥官命令作战参 谋立即着手规划运输线路，要 求在3天之内完成至少20个基 数的弹药储备。
孙子曰：“善用兵者，役不再籍，粮不三载，取用于 国，因粮于敌，故军食可足也。”
游击队之歌
我们都是神枪手，每一颗子弹消灭一个敌人， 我们都是飞行军，哪怕那山高水又深。 在密密的树林里，到处都安排同志们的宿营地， 在高高的山岗上，有我们无数的好兄弟。 没有吃，没有穿，自有那敌人送上前， 没有枪，没有炮，敌人给我们造。 我们生长在这里，每一寸土地都是我们自己的， 无论谁要强占去，我们就和他拼到底！
v2
3 7
2 2
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5 1
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4 2
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1
7
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总造价最低
6
v8
？
各补给点到油库的建 设花费均达到最小
准备知识
通路与路径
在图G中，首尾相接的一串边称为通路，边和顶点都 不重复的通路称为路径。
v1
e4 v4
e1
e5 e3
v2
e2 v3
通路： W=v1e1v2e2v3e5v1e4v4