Q第2章平面力系--汇交

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y
x
Rx = ∑ Fx = ∑ X R y = ∑ Fy = ∑ Y
Байду номын сангаас 18
4. 合力的解析法
FR = FR x + FR y
2
2
y F2
FR y
FR F1
α
tan α =
FR y FR x
FRx Fn O x
FR x = ∑ Fx FR y = ∑ Fy
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5. 平面汇交力系的平衡
y F2
FR y
FAB = −0.366 P = −7.32 kN (压杆）
x
FAB F2
B
60o
30
o
FBC
F1
FBC = 1.366 P = 27.3 kN (压杆）
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求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤： (1)弄清题意，明确已知量和待求量； (2)恰当选取研究对象，明确所研究的物体； (3)正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力， 二力构件等）； (4)合理选取坐标系，列平衡方程并求解； (5)对结果进行必要的分析和讨论。
F
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3. 合力投影定理 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影 的代数和。
x1 = ab ,x2 = bc ,FR x = ac FR x = x1 + x2 FR y = y1 + y2
同理
y C FR A F1 O a B b c x F2
FR x = x1 + x2 + L + xn FR y = y1 + y2 + L + yn
T1
T2
4
§2-1 平面汇交力系
平面汇交力系的定义： 各力的作用线在同一平面 同一平面内且相交于一点 相交于一点的 同一平面 相交于一点 力系。 本节研究的两个问题： 平面力系的合成（简化 简化）和平面汇交力系 简化 平衡。 的平衡 平衡 F
2
研究方法： 几何法和解析法 几何法 解析法。 解析法
O Fn
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合理选择坐标系：尽量使投影方程中就只有一个 未知数，不必解联立方程。
y FT O P ° 30 O P FN 图(b) 这样建立坐标 系FT 和FN相互耦合 x
y FT
O
x
P
FN
图(c)
可求得FT
图(a)
∑Fx=0, FT－P ·sin30 =0
。
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4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 、解析法解题时，力的方向可以任意设， 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 一般先设为拉力，如果求出负值， 力。
=Fcosα
y
α x a b
Fx、Fy根据a角度不同可能为正值也可为负值。 故力在坐标轴上的投影是个代数量 代数量。 代数量
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y
2.力的分解 力的分解 而如将力F沿正交 、 正交的x 正交 y坐标轴方向分解，则所得 分力Fx 、F y 的大小与力F 在相应轴上的投影Fx、Fy的 绝对值相等。
b1 a1 Fy Fy A Fx Fx O a b x F B
例 题 2- 3
联立上述两方程，解得： FAB=88.0 N， FCB=71.8 N。
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例题 2- 3
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB
y B x mg
60
45
。
A
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压 力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与 原假定的方向相反。
FR F1
α
F = F +F =0 R
2 Rx 2 Ry
FR x = ∑ Fx = 0 FR y = ∑ Fy = 0
FRx
平衡方程
O
Fn
x
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两 个坐标轴中每一轴上的投影之代数和均等于零 投影之代数和均等于零。 投影之代数和均等于零 由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两 求解两 个未知量。 个未知量
F1
5
平面汇交力系的合成 一.平面汇交力系的合成 平面汇交力系的 FR=F1+F2+F3 力多边形法则
6
7
r F
r r r FR1 = F +F 1 2
R2 r =F
3 r r +F = ∑ F R1 3 i i =1
r r r FR1 = F +F 1 2
3
r r r F R 2 = F R1 + F3 =
60
45
。
A
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解：取铰B为研究对象，其上作用有 三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力FAB（设为压力），列出平衡方程 ∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0 ∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0
FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
TB cos 60 0 + TC cos 300 − Q = 0
5).解方程
21
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重 量，求重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
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例 题 2- 4
A
60o
如 图 所 示 ， 重 物 P=20
B
D
kN，用钢丝绳挂在支架的滑 轮B上，钢丝绳的另一端绕在 铰车D上。杆AB与BC铰接，
30o
并以铰链A，C与墙连接。如
P
两杆与滑轮的自重不计并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
C
25
例 题 2-4
A
60o
D
B
解：取滑轮B为研究对象，忽 略滑轮的大小，设AB受拉，BC受 压，受力图及坐标如图。 列平衡方程
Fx = 0, − FAB + F1sin 30o − F2sin 60o = 0 ∑ Fy = 0, FBC − F1 cos 30o − F2 cos 60o = 0 ∑
30o
P C y
显然，F1=F2=P 解方程得杆AB和BC所受的力:
. . . . . . . . .
∑
i =1
r Fi
力多边形
r r r n r r FR = FRn−1 + Fn = ∑Fi = ∑Fi
i=1
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二.平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零 合力为零，即 合力为零 (1) FR=0 ; (2) 在几何法中，合力为零即为力多边形自行 自行 封闭。 封闭
1
第二章 平面力系
2
力系的分类： 力系的分类：
汇交力系
引 言
平行力系 任意力系
平面力系
空间力系
3
力系分为：平面力系、 力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 平面力系 ②平面 力偶系 平面一般力系(平面任意力系 平面任意力系) ③平面一般力系 平面任意力系 T
研究方法：几何法，解析法。 研究方法：几何法，解析法。
A C
a a
B
30º
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例 题 2- 2
解：1. 取梁AB作为研究对象。 2. 画出受力图。 3. 作出相应的力三角形。 4. 由力三角形中量出： FA = 17.0 kN FB = 10 kN
30º 60º
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三、 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1.力在轴上的投影 力在轴上的投影
F=
2+F 2 Fx y
F2 F1 F4 F3 F3 F2 F1 F4
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思 考 题 2- 1
试指出图示各力多边形中，哪些是
自行封闭的？哪些不是自行封闭的？如果不是自行封闭， 哪个矢量代表合力？哪些矢量代表分力？
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例 题 2- 1
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20 kN， 方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图所示，试求 固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自 重不计。
力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投 影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
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思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力F 沿x、y轴 方向的分力的大小与力F在x、y轴上的投影的大小 是否相等？
y
F
O x
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一个力在没有限制的情况下,可以分解为无数组力。 只有在正交坐标系下，分力的大小才等于投影。
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解题技巧及说明： 解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 、一般地，对于只受三个力作用的物体， 何法（解力三角形）比较简便。 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 、一般对于受多个力作用的物体， 特殊，都用解析法。 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 、投影轴常选择与未知力垂直， 只有一个未知数。 只有一个未知数。
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例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 y B 0 C 600 30 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 X =0 4).列出对应的平衡方程
.
Q