省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 平面(含解析)
安徽省宿松县九姑中学高考数学百大经典例题 正态分布(含解析)
安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 正态分布（含解析）例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值：（1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地．解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P（2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP（3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P.8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ=说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．求服从一般正态分布的概率例 设η服从)2,5.1(2N 试求：（1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP（3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<ηP（2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=-<ηP （3）;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥ηηP P （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<=<25.1325.131)2()3(ηηP P )]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(Φ--=-Φ-Φ=.7612.0)9878.01(7734.0=--=说明：这里，一般正态分布),(~2σμξN ，总体小于x 的概率值)(x F 与)(x P <ξ和⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσμx 是一样的表述，即：.)()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ==<σμξx x F x P 服从正态分布的材料强度的概率例 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度ξ服从).18,200(2N（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．解：（1）-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥1181201801)180(1)180(ξξP P ;8665.0)11.1()]11.1(1[1)11.1(=Φ=Φ--=-Φ（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．;9973.0)78.2()]78.2(1[1)78.2(1182001501)150(1)150(=Φ=Φ--=-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥ξξP P 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．公共汽车门的高度例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子的身高)36,175(~N ξ（单位：㎝），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为)cm (x ，使其总体在不低于x 的概率值小于1％，即：%101.0)(=<≥x P ξ，从中解出x 的范围．解：设该地公共汽车门的高度应设计高为x cm ，则根据题意可知：%1)(<≥x P ξ，由于)36,175(~N ξ， 所以，;01.061751)(1)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ 也即：;99.06175>⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx 通过查表可知：;33.26175>-x 解得：;98.188>x即该地公共汽车门至少应设计为189cm 高．说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．学生成绩的正态分布例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．解：设x 表示这个班的数学成绩，则x 服从)10,80(2N设1080-=x Z 则z 服从标准正态分布)1,0(N ． 查标准正态分布表，得：5000.0)0(,8413.0)1(==ΦΦ所以，3413.05000.08413.0)0()1()10()1080901080108080()9080(=-=∅-∅=<<=-<-<-=<<z p x p x p ∴163824.163413.048≈=⨯．说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．。
2016届安徽宿松九姑中学高考数学一轮经典例题：算术平均数与几何平均数(人教版含解析)解析
安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 算术平均数与几何平均数（含解析）例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+， 三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ 证明：∵0222>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，． 三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+， )(2222a c a c +≥+． 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．典型例题四例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令y =0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5 （1）求41622++=x x y 的最大值．（2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． （3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 13163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3 当且仅当13122+=+x x 时，即22=x 2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值．（3）∴ xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x 即22y x +的最小值为2． 当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6 求函数xx y 321--=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵ 6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ， 当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数xx 32+有最小值.62∴ .621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(xx +-最小值.62∴ .621min +=y典型例题七例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数tt y 1+=递增．故原函数的最小值为310313=+，无最大值．典型例题八例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t tt y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一： 设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设． 由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <． ∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ． 解法二： 设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ． 说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y ．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9 ,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+ 又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225． 说明：本题易出现如下错解：8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a 和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cab b ac a bc ++≥++． 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c baca bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a cab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+ ).(22c b a c ab b ac a bc ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++∴.c b a cab b ac a bc ++≥++∴说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e d c b a ，1622222=++++e d c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a +之后得222)(21b a b a +≥+． 解：由222)(21b a b a +≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e.51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-，448abcd d c b a e ≥+++=-． 故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(．两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ．错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>． 不等式222)(21b a b a +≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+．典型例题十二例12 已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x 又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222 yx y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x,6)(,12=+∴=y x xy.6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立． 说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．典型例题十三例13 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值． 分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ， 故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302． 利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ． 可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．解法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222，代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．典型例题十四例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-c b a ． 分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abc a c b a a a 2111≥+=-=-． 证明：acb a a a +=-=-111，又0>a ，0>b ，0>c ， a bc a c b 2≥+∴，即a bca a 21≥-． 同理b ca b 211≥-，cab c 211≥-， 8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立． 说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．典型例题十五例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c cb b a +++、、不易处理，如能找出22b a +与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到：b a b a b a b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明．证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a +≥++≥+∴≥+， ， 于是．)(222222b a b a b a +=+≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例题十六例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2ba +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a +∈R b a 、∴2222b a b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立． ．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a ∴222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =” ，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a ∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”．ba abab b a b a ab ab ba ab +-+=+-=+-2)(2112．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab ∴b a ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．典型例题十七例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴>同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正． 122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++=222122212b b b b ⋅++≥||2212221b b b b ++=221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法． 实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥．不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++．典型例题十八例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用．解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S = ,623223218xy y x y x =⋅≥+=227,227≤≤∴S xy 即 上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大． 说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”．典型例题十九例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x 12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了．解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得： 5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=xx y 5800576003600++=xx 580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=xx x x )(34600580028800元=+= 当xx 16=，即4=x 时，y 有最小值34600元． 因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．典型例题二十例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系．解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy y x 应用算术平均数与几何平均数定理，得 ,201202012020904023200S S xyxy xy y x +=+=+⋅≥,1606≤+∴S S即：.0)10)(10(≤--S S,010,016≤-∴>+S S从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15．说明：本题也可将xS y =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解． 典型例题二十一例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为 )(2bv va s v s bv v s a y +=⋅+⋅=． 故所求函数为)(bv ba s y +=，定义域为)0(c v ，∈． （2）由于vb a s 、、、都为正数，故有bv b a s bv v a s ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv va s 2)(≥+． 当且仅当bv va =，即b a v =时上式中等号成立． 若c b a ≤时，则ba v =时，全程运输成本y 最小； 当cb a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv v a s v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc ca s y +=． 综上可知，为使全程运输成本y 最小， 在cb a ≤时，行驶速度应为ba v =； 在c b a ≤时，行驶速度应为c v =．。
安徽省宿松县九姑中学高考数学百大经典例题 算术平均数与几何平均数(含解析)
安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 算术平均数与几何平均数（含解析）例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+， 三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ 证明：∵0222>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，． 三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+， )(2222a c a c +≥+． 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．典型例题四例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5 （1）求41622++=x x y 的最大值．（2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． （3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 1163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3 当且仅当13122+=+x x 时，即22=x 2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值．（3）∴ xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x 即22y x +的最小值为2． 当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6 求函数xx y 321--=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵ 6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ， 当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数x x 32+有最小值.62 ∴ .621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(x x +-最小值.62 ∴ .621min +=y典型例题七例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数tt y 1+=递增．故原函数的最小值为310313=+，无最大值．典型例题八例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t tt y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一： 设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设． 由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <． ∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ． 解法二： 设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ． 说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y ．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9 ,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225．说明：本题易出现如下错解：8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a 和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cab b ac a bc ++≥++． 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c baca bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a cab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+ ).(22c b a c ab b ac a bc ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++∴.c b a cab b ac a bc ++≥++∴说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e d c b a ，1622222=++++e d c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a +之后得222)(21b a b a +≥+． 解：由222)(21b a b a +≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e.51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-， 448abcd d c b a e ≥+++=-．故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(．两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ． 错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>． 不等式222)(21b a b a +≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+．典型例题十二例12 已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x 又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222 yx y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x ,6)(,12=+∴=y x xy.6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立． 说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．典型例题十三例13 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值． 分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ， 故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302．利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ． 可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．解法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222， 代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy 解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．典型例题十四例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a ．分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abca cb a a a 2111≥+=-=-． 证明：acb a a a +=-=-111，又0>a ，0>b ，0>c ， a bc a c b 2≥+∴，即a bca a 21≥-． 同理b ca b 211≥-，cab c 211≥-， 8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立． 说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．典型例题十五例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c c b b a +++、、不易处理，如能找出22b a +与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到：b a b a b a b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明．证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a +≥++≥+∴≥+， ，于是．)(222222b a b a b a +=+≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例题十六例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+ 分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2b a +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a +∈R b a 、∴2222ba b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立． ．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a ∴222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =” ，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”．ba abab b a b a ab ab ba ab +-+=+-=+-2)(2112．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab ∴b a ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．典型例题十七例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴>同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正． 122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++= 222122212b b b b ⋅++≥ ||2212221b b b b ++=221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法．实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥．不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++．典型例题十八例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用．解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S = ,623223218xy y x y x =⋅≥+=227,227≤≤∴S xy 即 上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大． 说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”．典型例题十九例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x 12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了．解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得： 5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=xx y 5800576003600++=xx 580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=xx x x )(34600580028800元=+= 当xx 16=，即4=x 时，y 有最小值34600元． 因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．典型例题二十例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系．解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy y x应用算术平均数与几何平均数定理，得 ,201202012020904023200S S xyxy xyy x +=+=+⋅≥,1606≤+∴S S即：.0)10)(10(≤--S S,010,016≤-∴>+S S从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15．说明：本题也可将xS y =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解． 典型例题二十一例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs ，全程运输成本为 )(2bv va s v s bv v s a y +=⋅+⋅=． 故所求函数为)(bv ba s y +=，定义域为)0(c v ，∈． （2）由于vb a s 、、、都为正数， 故有bv ba s bv v as ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv vas 2)(≥+． 当且仅当bv v a =，即ba v =时上式中等号成立． 若cb a ≤时，则ba v =时，全程运输成本y 最小； 当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv v a s v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc ca s y +=． 综上可知，为使全程运输成本y 最小， 在cb a ≤时，行驶速度应为ba v =； 在c b a ≤时，行驶速度应为c v =．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(安徽卷)
2015年高考安徽卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 标准差222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-，其中121()n x x x x n =+++.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+（3）设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=（5）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面（6）若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准 差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）13+ （B ）23+（C ）122+ （D ）22（8）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确 的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B（9）函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <（10）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π= 时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）371()x x +的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）（12）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 . 【答案】6 【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为普通方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线()3R πθρ=∈（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 .（14）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .（15）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的 是 .（写出所有正确条件的编号）① 3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.三. 解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内.（16）（本小题满分12分）在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.用数形结合的思想，找准需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理进行解题.（17）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.（18）（本小题满分12分）设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥.（19）（本小题满分13分） 如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.（Ⅰ）证明：1//EF B C ；（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.【答案】（Ⅰ）1//EF B C ；（Ⅱ）6. 【解析】(20)（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为 ()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线O M 的斜率为510. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程. 【答案】（I ）55；（II ）221459x y +=. 【解析】试题分析：（I ）由题设条件，可得点M 的坐标为21(,)33a b ，利用OM k =，从而2b a =，进而得,2a c b ===，算出5c e a ==.（II ）由题设条件和（I ）的计算结果知，直线AB 的方程1y b+=，得出点N 的坐标为1,)22b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则（21）（本小题满分13分）设函数2()f x x ax b =-+.（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a z b =-满足D 1≤时的最大值.21。
2015高考数学必做100题(含答案详解)
7 98 6 3 8 9 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4 （第4题图1）（第4题图2）≤≥12015高考数学必做100题(含答案详解）一、选择题1.【2013成都二诊】命题“R x ∈∀.，都有ln(x2+1)>0”的否定为 （ ） (A) R x ∈∀，都有ln(x2 +1)≤0(B)Rx ∈∃0，使得ln(x02+1)>0(C) R x ∈∀，都有ln(x2+l)<0 (D) Rx ∈∃0，使得ln(x02+1)≤0【答案】D2．【2013四川雅安中学二诊】已知i 是虚数单位，则201311i i +⎛⎫⎪-⎝⎭的值是( )A ．iB ．i -C ．1D ．1- 【答案】 A3．【2013枣庄一模】下列命题的否定为假命题的是 A ．2,220x R x x ∃∈++≤ B ．任意一个四边形的四个顶点共圆C ．所有能被3整除的整数都是奇数D ．22,sin cos 1x R x x ∀∈+= 【答案】D4．【2013湖北八校二次联考】图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A 图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。
那么算法流程图输出的结果是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．105．【2013北京石景山3月统一测试】若复数（a －i ）2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是（ ）A ． 1B ．-1CD ．【答案】A6．【2013太原一模】已知函数2()1f x og x= ，若在[1，4]上随机取一个实数x0，则使得0()1f x ≥成立的概率为A ．13B ．12C ．23D ．34答案.C7. 【2013四川雅安中学二诊】设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是( )A. 413【答案】D8．【2013R 上的可导函数，且R x ∈∀，均有)()(x f x f '>，则有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D9．【2013枣庄一模】两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且仅有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如表格所示，则下列座位号码符合要求的是A ．48，49B ．62，63C ．84，85D ．75，76>2013(0),(2013)(0)e f f e f <<20132013(2013)f ->10．【2013湖北八校二次联考】《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．12B ．815C ．1631D ．1629【答案】D11. 【2013广西四市3月联考】定义在（－1，1）上的函数)(x f 满足：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1)()(，当)0,1(-∈x 时，有0)(>x f ，若⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=11151f f a ，)0(f b =，)(2-=e f c ，则a,b,c 的大小关系为A. a c b >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】A12．【2013开封二模】函数12,41()),5,35,2(2),4x x f x a f b c xf x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记则 A ．a>b>c B ．b<a<c C ．a<c<bD ．a>c>b【答案】D13、【2013梅州3月质检】下列命题中假命题是A 、x ∀＞0，有ln 2x+lnx ＋1＞0B 、,αβ∃∈R ，使cos()cos cos αβαβ+=+C 、“a 2＜b 2”是“a ＜b ”的必要不充分条件D 、m R ∃∈，使243()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，且在（0，＋∞）上递减【答案】C14. 【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】 已知ABC ∆的三个顶点C B A ,,及所在平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与ABC ∆的关系A ．P 在ABC ∆内部B ．P 在ABC ∆外部 C ．P 在边AB 上D ．P 在边AC 上 【答案】D15. 【2013蚌埠二检】△ABC 的外接圆的圆的加以为O,半径为1,若2AB AC AO +=，且||||AO A C =，则向量BA在向量BC 方向上的射影的数量为( )A.32B.2C. 3D.-2【答案】A16．【2013宝鸡二模】下列命题中，真命题是（ ） Ａ．2cos sin ,2,0>+⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈x x x 使存在π Ｂ．)(x x x 212,,3≥+∞+∈使存在 Ｃ．1,2-=∈x R x x 使存在 Ｄ．x x x < ⎝⎛⎥⎦⎤∈sin ,2,0使对任意π【答案】D17. 【2013汕头一模】设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，βα⊂⊂n m ,,有两个命题： P ：若α//β、则m//n; q:若n 丄α,则α丄β;那么（) A. “p 或q 是假命题 B. “ P 且q ”是真命题 C. “非p 或q 是假命题 D. “非p 且q 是真命题 【答案】D18．【2013烟台3月诊断】已知函数f(x)=20082cos(20000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f[f （2013）]= AB ．C ．1D ． -1【答案】D19、【2013梅州3月质检】某程序框图如右图所示，若输出的S ＝57，则判断框内填A 、k ＞4？B 、k ＞5？C 、k ＞6？D 、k ＞7？ 【答案】A20.【2013郑州二模】―个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是【答案】C21．【2013ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABCA 【答案】C22．【2013西安一模】若向量(23),(47),BA CA ==，，则BC = A ．（－2，－4） B ．（3．4）C ．（6，10）D ．（－6．－10）【答案】A23．【2013东北三校3月联考】已知全集U R =,集合{}|2A x x =≥，{|05}B x x =≤<，则集合)U C A B ⋂=（ （ ）A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x <≤C ．{|02}x x ≤<D ．{|02}x x ≤≤【答案】C 。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题：1.（2015安徽理）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B2、（2015北京文）设a ，b是非零向量，“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<> ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b .而当//a b时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ∙=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.3．（2015福建文）设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb =+ ．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）A．32-B．53-C．53D．32【答案】A考点：平面向量数量积．4．（2015福建理）已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5.（2015广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A = （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（）A、6B、7C、8D、9【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB+取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质7.(2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ()（A）(7,4)--（B）(7,4)（C）(1,4)-（D）(1,4)9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC=-（C ）4133AD AB AC=+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算10.(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A）232a -（B）234a -（C）234a （D）232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD = .若点M，N 满足3BM MC =，2DN NC = ，则AM NM ⋅= （）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝()(A )2(B )3(C )4(D )6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.16.(2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（）(A)3π(B)2π(C)32π(D)65π【答案】C考点：向量的数量积运算及向量的夹角.二、填空题：1.（2015安徽文）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B
考点：导数的应用．
4.(2015 全国新课标Ⅰ卷理)设函数 f (x) = ex (2x 1) ax a ,其中 a 1，若存在唯一的整 数 x0，使得 f (x0 ) 0，则 a 的取值范围是（ ）
10.(2015 天津理)曲线 y x2 与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为
.
1
【答案】
6
【解析】
试题分析：两曲线的交点坐标为 (0, 0), (1,1) ，所以它们所围成的封闭图形的面积
S
1 0
x x2
dx
1 2
x2
1 x3 3
1 0
1 6
.
考点：定积分几何意义.
三、解答题：
1.
（2015 安徽文）
已知函数
f (x)
ax (x r)2
(a
0, r
0)
（Ⅰ）求 f (x) 的定义域，并讨论 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）若 a 400 ，求 f (x) 在 (0,) 内的极值. r
2.（2015 安徽理）设函数 f (x) x2 ax b .
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考点：导数的应用、函数的图象与性质．
6. (2015 陕西理)对二次函数 f (x) ax2 bx c （a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其
中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．-1 是 f (x) 的零点
B．1 是 f (x) 的极值点
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(立体几何 )
2015 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（立体几何 ）一、选择题：1.（2015安徽文、理）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）222.（2015安徽理）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面3、（2015北京文）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，222223SA SC AC SC AB BC=+=++=考点：三视图.4. （2015北京理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）11俯视图侧(左)视图21A．25+ B．45 C．225+．5 【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC ，其中PC ⊥平面ABC ，取AB 棱的中点D ，连接CD 、PD ，有,PD AB CD AB ⊥⊥，底面ABC 为等腰三角形底边AB 上的高CD 为2，AD=BD=1,PC=1,5,ABC PD S ∆=1222,2=⨯⨯=,12552PAB S ∆=⨯⨯=AC BC =5=1512PAC PBC S S ∆∆==⨯⨯52=,三棱锥表面积表252S =+.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.5．（2015福建文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．822+B ．1122+．1422+．151112【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为12．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为2+2+4+22=8+221122+B ．考点：三视图和表面积．6. （2015广东文） 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7.（2015广东理）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】C．【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．8. (2015湖南理)某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89πB.169πC.34(21)π-D.312(21)π-【答案】A.【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.9、(2015湖南文)某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A、89πB、827πC、224(21)π-D、28(21)π-【答案】A考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体10、(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛11、(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，+，则r=( ) 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）812. (2015全国新课标Ⅱ卷文、理)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图．CBADD 1C 1B 1A 114. (2015全国新课标Ⅱ卷文、理)已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC16. (2015山东文) 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）（B ）（）22π（）42π【答案】B考点：1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.17.(2015山东理)在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A ）23π （B ）43π （C ）53π （D ）2π 【答案】C【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.18. (2015陕西文、理)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D 考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.20、(2015浙江文、理)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm 【答案】C考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.21、(2015浙江文)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 【答案】A 【解析】试题分析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.考点：直线、平面的位置关系.23. (2015浙江理)如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤24.(2015重庆文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(A)123π+(B)136π(C)73π(D)52π【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1；构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯；故选B.考点：三视图.25．(2015重庆理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、13π+ B、23π+C、123π+ D、223π+【答案】A【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.二、填空题：1. (2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
高考专题安徽省宿松县九姑中学高考数学百大经典例题：算术平均数与几何平均数(1).docx
典型例题一例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+， 三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ 证明：∵0222>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，． 三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+， )(2222a c a c +≥+． 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．典型例题四例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5 （1）求41622++=x x y 的最大值．（2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． （3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 13163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3 当且仅当13122+=+x x 时，即22=x 2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x时取得此最小值．（3）∴ xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x 即22y x +的最小值为2． 当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6 求函数xx y 321--=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵ 6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ， 当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数xx 32+有最小值.62∴ .621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(xx +-最小值.62∴ .621min +=y典型例题七例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数tt y 1+=递增． 故原函数的最小值为310313=+，无最大值．典型例题八例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t tt y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一： 设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设．由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <． ∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ． 解法二： 设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ． 说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y ．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9 ,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+ 又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225．说明：本题易出现如下错解：8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a 和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十 例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cab b ac a bc ++≥++．分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c baca bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a cab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+ ).(22c b a c ab b ac abc ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++∴.c b a cab b ac a bc ++≥++∴说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e d c b a ，1622222=++++e d c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a +之后得222)(21b a b a +≥+． 解：由222)(21b a b a +≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e.51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-，448abcd d c b a e ≥+++=-．故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(． 两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ． 错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>． 不等式222)(21b a b a +≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+．典型例题十二例12 已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x ΘΘ又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222 yx y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x,6)(,12=+∴=y x xy Θ .6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立． 说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．典型例题十三例13 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值． 分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ， 故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302．利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ． 可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．解法二：+∈R y x ,Θ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222， 代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．典型例题十四例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a ．分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abc a c b a a a 2111≥+=-=-． 证明：acb a a a +=-=-111Θ，又0>a ，0>b ，0>c ， a bc a c b 2≥+∴，即a bc a a 21≥-． 同理b ca b 211≥-，cab c 211≥-， 8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立． 说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．典型例题十五例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c c b b a +++、、不易处理，如能找出22b a +与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到：b a b a b a b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明．证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a +≥++≥+∴≥+，Θ，于是．)(222222b a b a b a +=+≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例题十六例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+ 分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2b a +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a+∈R b a 、Θ∴2222b a b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立． ．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a Θ∴222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =” ，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a Θ∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”．ba abab b a b a ab ab ba ab +-+=+-=+-2)(2112Θ ．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab∴ba ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．典型例题十七例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴>Θ同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号 ∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正．122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴ 122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++=222122212b b b b ⋅++≥||2212221b b b b ++= 221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法． 实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥．不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++． 典型例题十八例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用．解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S = ,623223218xy y x y x =⋅≥+=Θ227,227≤≤∴S xy 即 上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大． 说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”． 典型例题十九例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x 12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了．解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得： 5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=xx y 5800576003600++=xx 580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=x x x x )(34600580028800元=+= 当xx 16=，即4=x 时，y 有最小值34600元． 因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．典型例题二十例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系．解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy y x应用算术平均数与几何平均数定理，得 ,201202012020904023200S S xyxy xyy x +=+=+⋅≥,1606≤+∴S S 即：.0)10)(10(≤--S S ,010,016≤-∴>+S S Θ从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15．说明：本题也可将xS y =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解． 典型例题二十一例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为 )(2bv va s v s bv v s a y +=⋅+⋅=． 故所求函数为)(bv ba s y +=，定义域为)0(c v ，∈． （2）由于vb a s 、、、都为正数，故有bv ba s bv v as ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv vas 2)(≥+． 当且仅当bv va =，即b a v =时上式中等号成立． 若c ba ≤时，则b a v =时，全程运输成本y 最小； 当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv va s v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc ca s y +=． 综上可知，为使全程运输成本y 最小， 在cb a ≤时，行驶速度应为ba v =； 在c ba ≤时，行驶速度应为c v =．。
安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题算术平均数与几何平均数(含解析)
安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 算术平均数与几何平均数（含解析）例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+， 三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ 证明：∵0222>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，． 三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+， )(2222a c a c +≥+． 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．典型例题四例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5 （1）求41622++=x x y 的最大值．（2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． （3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 13163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3 当且仅当13122+=+x x 时，即22=x 2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值．（3）∴ xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x 即22y x +的最小值为2． 当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6 求函数xx y 321--=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵ 6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ， 当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数x x 32+有最小值.62 ∴ .621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(x x +-最小值.62∴ .621min +=y典型例题七例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数tt y 1+=递增．故原函数的最小值为310313=+，无最大值．典型例题八例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t tt y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一： 设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设．由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <． ∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ． 解法二：设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ． 说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y ．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9 ,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225．说明：本题易出现如下错解：8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a 和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cab b ac a bc ++≥++． 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c baca bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a cab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+ ).(22c b a c ab b ac a bc ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++∴.c b a cab b ac a bc ++≥++∴说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e d c b a ，1622222=++++e d c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a +之后得222)(21b a b a +≥+． 解：由222)(21b a b a +≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e.51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-， 448abcd d c b a e ≥+++=-．故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(． 两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ． 错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>． 不等式222)(21b a b a +≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+．典型例题十二例12 已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x 又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222 yx y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x ,6)(,12=+∴=y x xy.6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立． 说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．典型例题十三例13 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值． 分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ， 故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302．利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ． 可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．解法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222， 代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．典型例题十四例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a ．分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abca cb a a a 2111≥+=-=-． 证明：acb a a a +=-=-111，又0>a ，0>b ，0>c ， a bc a c b 2≥+∴，即a bca a 21≥-． 同理b ca b 211≥-，cab c 211≥-， 8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立． 说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．典型例题十五例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c c b b a +++、、不易处理，如能找出22b a +与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到：b a b a b a b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明．证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a +≥++≥+∴≥+， ，于是．)(222222b a b a b a +=+≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+．三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例题十六例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+ 分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2b a +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a +∈R b a 、∴2222ba b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立． ．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a ∴222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =” ，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”．ba ab ab b a b a ab ab b a ab +-+=+-=+-2)(2112．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab ∴b a ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．典型例题十七例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴>同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正． 122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++= 222122212b b b b ⋅++≥ ||2212221b b b b ++=221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法．实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥． 不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++．典型例题十八例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用．解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S = ,623223218xy y x y x =⋅≥+=227,227≤≤∴S xy 即 上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大． 说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”．典型例题十九例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x 12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了．解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得： 5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=xx y 5800576003600++=xx 580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=xx x x )(34600580028800元=+= 当xx 16=，即4=x 时，y 有最小值34600元． 因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．典型例题二十例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系． 解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy y x应用算术平均数与几何平均数定理，得,201202012020904023200S S xyxy xyy x +=+=+⋅≥,1606≤+∴S S 即：.0)10)(10(≤--S S,010,016≤-∴>+S S从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15．说明：本题也可将xS y =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解． 典型例题二十一例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs ，全程运输成本为 )(2bv va s v s bv v s a y +=⋅+⋅=． 故所求函数为)(bv ba s y +=，定义域为)0(c v ，∈． （2）由于vb a s 、、、都为正数， 故有bv ba s bv v as ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv vas 2)(≥+． 当且仅当bv v a =，即ba v =时上式中等号成立．若c b a ≤时，则ba v =时，全程运输成本y 最小； 当cb a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv va s v f y +==单调递减，即c v =时，)(m i n bc c as y +=．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 在c b a≤时，行驶速度应为b av =； 在c b a≤时，行驶速度应为c v =．。
2015年全国统一高考数学试卷(完整版+答案解析)(新课标ⅱ)
2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）（2015•新课标Ⅱ）若为a实数，且＝3+i，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）（2015•新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）（2015•新课标Ⅱ）＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．116．（5分）（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．149．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．10．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x ﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝．14．（3分）（2015•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．三．解答题17．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC （Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．18．（2015•新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．（2015•新课标Ⅱ）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅱ）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2015•新课标Ⅱ）若为a实数，且＝3+i，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai＝（1+i）（3+i）＝2+4i，则a＝4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）（2015•新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）（2015•新课标Ⅱ）＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（1，0）•（1，﹣1）＝1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．11【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．则S5＝＝5a3＝5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1＝，∴剩余部分体积为1﹣＝，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x＝1上，可设圆心P（1，p），由PA＝PB得|p|＝，得p＝圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．14【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a＝b＝2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体＝V C﹣AOB＝＝＝36，故积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABCR＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP＝tan x，AP＝＝，此时f（x）＝+tan x，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB＝tan（π﹣∠POQ）＝tan x＝﹣tan∠POQ＝﹣＝﹣，∴OQ＝﹣，∴PD＝AO﹣OQ＝1+，PC＝BO+OQ＝1﹣，∴PA+PB＝，当x＝时，PA+PB＝2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB＝﹣tan x，由对称性可知函数f（x）关于x＝对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x ﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x）﹣，导数为f′（x）＝+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝﹣2．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4＝﹣a+2；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）（2015•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为8．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z＝2x+y，得z＝2×3+2＝8．即z＝2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2＝λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2＝λ，代入点，可得3﹣＝λ，∴λ＝﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝8．【分析】求出y＝x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y ＝ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△＝0得到a的值．【解答】解：y＝x+lnx的导数为y′＝1+，曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a2﹣8a＝0，解得a＝8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC （Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD＝2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC＝60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B＝sin∠C，∴tan∠B＝，即∠B＝30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．（2015•新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（∁A），P（∁B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（∁A）＝（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6得P（∁B）＝（0.005+0.02）×10＝0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH＝＝6，AH＝10，HB＝6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8．因为EFGH为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10，于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．（2015•新课标Ⅱ）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2＝8，b2＝4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y＝kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8＝0，故x M＝＝，y M＝kx M+b＝，于是在OM的斜率为：K OM＝＝，即K OM•k＝．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）＝lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝﹣a＝，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x＝取得最大值，最大值为f（）＝﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）＝lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅱ）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；﹣S （2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC计算即可．△AEF【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE＝AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE＝AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO＝2OE，∴∠OAE＝30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE＝2，∴AO＝4，OE＝2，∵OM＝OE＝2，DM＝MN＝，∴OD＝1，∴AD＝5，AB＝，∴四边形EBCF的面积为×﹣××＝．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【分析】（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|＝即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|＝＝4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2＝a+b+2，（+）2＝c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b＝c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b＝c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015年高考理数真题试卷(安徽卷)及解析
第1页，总12页2015年高考理数真题试卷（安徽卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题A.y=COSxB.y=SINxC.y=lnxD.y=x 2+12.设p ：1<x <1，q ：2x>1，则p 是q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（） A.x 2−y 24=1B.x 24−y 2=1C.y 24−x 2=1D.y 2−x 24=14.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是 A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B.若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行 C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面5.若样本数据x 1,x 2,...,x 10的标准差为8，则数据2x 1-1,2x 2-1，...，2x 10-1的标准差为 A.8 B.15 C.16 D.32答案第2页，总12页○…………外…………○○…………订…………○…………线…………○※※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○○…………订…………○…………线…………○6.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A.1+√3B.2+√3C.1+2√2D.2√27.ΔABC 是边长为2的等边三角形，已知向量→a,→b满足→AB=2→a,→AC=2→a+→b， 则下列结论正确的是 A.|b →|=1 B.→a⊥→bC.a →.b →=1 D.(4a →+b →)⊥BC →8.函数f （x ）=ax+b(x+c )2的图像如图所示，则下列结论成立的是第3页，总12页…外…………○…………装……学校:___________姓名：__…内…………○…………装…… A.a >0，b >0，c <0 B.a <0，b >0，c >0 C.a <0，b >0，c <0 D.a <0，b <0，c <09.已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A,φ,ω均为正的常数）的最小正周期为π，当x=2π3时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是 A.f （2）<f （-2）<f （0） B.f （0）<f （2）<f （-2） C.f （-2）<f （0）<f （2） D.f （2）<f （0）<f(-2)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10.·（x 3+1x )的展开式中x 5的系数是11.·在极坐标中，圆P=8sin θ上的点到直线θ=π3（p ∈R ）距离最大值是 。
2015年高考数学试卷真题附详细解析
2015年高考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（真题卷）数学（理科）1．（5分）（2015•真题）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A ．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A ．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•真题）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A ．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•真题）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∂n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∂n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•真题）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．6．（5分）（2015•真题）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•真题）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A ．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+xC．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•真题）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•真题）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•真题）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•真题）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•真题）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•真题）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•真题）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•真题）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•真题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•真题）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•真题）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•真题）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•真题）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（真题卷）数学（理科）1．（5分）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∂n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线的简单性质．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．分析：解解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，答：∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．点评：10．（6分）函数的值．考点：计算题；函数的性质及应用．专题：分根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，析：当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．点评：11．（6分）两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．考点：专三角函数的求值．题：分由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等析：式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．评：15．（6分）空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．考点：专创新题型；空间向量及应用．题：分由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），析：由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，答：∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．评：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）余弦定理．考点：解三角形．专题：分（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利析：用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，答：又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
安徽省宿松县九姑中学高考数学百大经典例题 一元二次
高考数学百大经典例题——一元二次不等式解法(新课标)例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a．＜＜．＜＜11aaC x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6分析 求算术根，被开方数必须是非负数．解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得 ab ==-1212，． 例4 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x(2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)． 答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(2){x|1x }≤≤32(3)∅(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32 [ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020 故排除A 、C 、D ，选B ．解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[ ]A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 答 选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤，若，求的范围．0}B A a ⊆分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅ 应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187 综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a{x|2ax 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a{x|x 2x }＜或＞；2a4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a{x|x x 2}＜或＞．2a从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a 0{x|2ax 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa ＝1时，{x|x ≠2}；a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a说明：讨论时分类要合理，不添不漏．例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．又×，b a a c b c=∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11 解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax ax -+--111进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0．(1)当a ＞0时，不等式化为(x )(x 1)01{x|a 1a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111综上所述，原不等式解集为：当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1例13 (2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________．分析可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．(1)x1x4(2)由可解得＜－或＞，．答填{x|x＜－1或x＞4}．例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x －5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ] A．(U A)∩B＝RB．A∪(U B)＝RC．(U A)∪(U B)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查。
安徽省宿松县九姑中学高考数学题型专题冲刺精讲 专题六 数列(含解析)
2015年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题六 数列【命题特点】数列是高考考查的重点和热点，分析年高考试题，从分值来看，数列部分约占总分的10%左右。
等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的应用以及等差、等比数列的基本性质一直是高考的重点内容，也会是今年高考的重点．对数列部分的考查一方面以小题考查数列的基本知识；另一方面以解答题形式考查等差、等比数列的概念、通项公式以及前 项和公式．解答题作为压轴题的可能性较大，与不等式、数学归纳法、函数等一起综合考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力以及分析问题、解决问题的能力．近年来，解析几何题一般不再作为压轴题，而最后一道难度最大的压轴题可能是数列和不等式，函数、导数、不等式综合考查的题目，导数和向量已成为出题重点，探索性问题必将融入大题中。
高考数列压轴题综合考查等价变换、抽象概括、归纳推理、猜想证明等能力。
立意新颖，是整份试卷中的“亮点”。
复习建议 1．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果。
2．归纳——猜想——证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想．学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义。
3．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题。
4．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解。
【试题常见设计形式】有关数列题的命题趋势：1. 数列中n S 与n a 的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意n S 与n a 的关系。
省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 三角函数的图象和性质(含解析)
高考数学百大经典例题——三角函数的图象和性质解：在单位圆中，作出锐角α在正弦线MP，如图2-9所示在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1∴sinα+cosα＞1于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分k∈Z}【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式定出角的范围；③在[0，2π]中找出角的代表；④求交集，找单位圆中重叠的部分；⑤写出角的范围的表达式，注意加周期．【例3】求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0由单位圆，如图2-12所示k∈Z}【说明】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．(4)为使函数有意义，需满足：取k=0和-1时，得交集为-4＜x≤-π或0≤x≤π∴函数的定义域为(-4，-π]∪[0，π]【说明】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．【例4】求下列函数的值域：∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}∵1+sinx+cosx≠0 ∴t≠-1【说明】求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性．【例5】判断下列函数的奇偶性：【分析】先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域为R，且f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x)∴函数f(x)=sin(cosx)是偶函数．(3)因1+sinx≠0，∴sinx≠-1，函数的定义域为{x|x∈R且x≠2k既不是奇函数，也不是偶函数．【例6】求下列函数的最小正周期：【分析】欲求三角函数的周期，一般是把三角函数f(x)化成易求周期的函数y=Asin(ωx+ϕ)+b或y=Acos(ωx+ϕ)+b的等形式．函数y=Asin(ω“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期．(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立．特别当x=0时，有|sinT|+|cosT|=sinT【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例9】求下列函数的单调区间：【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的．(2)函数y=sin2x-2sinx+2，是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成，∴|u|≤1【例10】当a≥0，求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的x的取值．【分析】本题对f(x)解析式的变换关键在于认识解析式中两项间的内在联系，从而断定f(x)解析式中的平方关系，另外本题含字母系数，要分清常数和变量，还要有对字母a作分类讨论的准备．解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2由于a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值．合物线的图象如图2-14所示两种可能．【说明】象本例这种解析式中含字母系数的函数研究其性质，常常要运用分类讨论的思想，其中为什么要分类，怎么分类和讨论是两个基本问题．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．【分析】这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．【例12】求如图2-16所示的函数解析式．(ω＞0，θ∈[0，2π])【分析】由图象确定函数的解析式，就要观察图象的特性，形状位置和所给的条件．通过判断、分析和计算确定A，ω、θ得到函数的解析式．【例13】设y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)最高点D的标为(6，0)，(1)求A、ω、ϕ的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间．y单调递增故递增区间为[16k-6，16k+2]，k∈Zy单调递减故递减区间为[16k+2，16k+10]，k∈ZA．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ解一(直接法)：故选A．解二(图解法)：作出三角函数线，如图2-17MP=sinθ，OM=cosθ，BS=ctgθ通过观察和度量得MP＜OM＜BS从而有sinθ＜cosθ＜ctgθ∴应选A∴cosθ＞sinθ从而可剔除B、D．再由sinθ＜ctgθ，故可剔除C故选A解四(特殊值法)：B、C、D，应选A．【说明】此例题用多种方法求解选项，指出3种选择题的技巧．∴应选Dx轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最的图象．∴选D【说明】 y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0)x∈R的图象可由y=sinx的图象经下列各种顺序变换得到的．(1)先平移，后伸缩：①把y=sinx的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)沿x轴方向平移|ϕ|个单位；(相位变换)(周期变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍，横坐标不变(振幅变换)(2)先伸缩，后平移①把y=sinx图象上各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原(相位变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍横坐标不变(振幅变换)再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 [ ]∴选A．【例17】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是[ ]A．1 B．2 C．3D．4【分析】本题有两类解法(1)求出方程在(0，2π)内的所有解，再数其解的个数．而决定选项，对于选择题，此法一般不用．(2)在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象，如图2-18所示．它们在(0，2π)内交点个数，即为所求方程解的个数，从而应选C．它体现了数、形的结合．【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____ 解：∵f(x)是奇函数，且f(1)=2，∴f(-1)=-2又∵f(x)是周期为3的函数．∴f(3+x)=f(x)∴f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2【例19】有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．【分析】本题入手要解决好两个问题．(1)内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理．(2)求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量．解：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ又设矩形EFGH的面积为S，那么又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°-θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°设矩形的面积为S．那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ)＝2R2［cos(2θ-30°)－cos30°]又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ-30°)＝1。
高考专题安徽省宿松县九姑中学高考数学百大经典例题：曲线和方程(新课标)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作典型例题一例 1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式∆分别满足0>∆、0=∆、0<∆．解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y 得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k )5124(42+--=k k)52)(12(4---=k k∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ，即2521<<k 时，直线与曲线有两个不同的交点． 当0=∆即0)52)(12(=--k k ，即21=k 或25=k 时，直线与曲线有一个交点． 当0<∆即0)52)(12(>--k k ，即21<k 或25>k 时，直线与曲线没有公共点． 说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5 若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点，求实数a 的取值范围．分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发．解法一：由⎩⎨⎧+==a x y x a y 得：a y a y -= ∵0≥y ，∴222)(a y a y -=，即02)1(4322=+--a y a y a ．要使上述方程有两个相异的非负实根． 则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->--=∆010120)1(442423246a a a a a a a又∵0>a∴解之得：1>a ．∴所求实数a 的范围是),1(∞+． 解法二：x a y =的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线，而a x y +=表示斜率为1且过点),0(a 的直线，由下图可知，当1≤a 时，折线的右支与直线不相交．所以两曲线只有一个交点，当1>a 时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“0>a ”改为R a ∈呢，请自己探求．典型例题六例 6 已知AOB ∆，其中)0,6(A ，)0,0(O ，)3,0(B ，则角AOB 平分线的方程是x y =(如下图)，对吗？分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段．解：不对，因为AOB ∆内角平分线是一条线段OC ，而方程x y =的图形是一条直线．如点)8,8(P 坐标适合方程x y =，但点P 不在AOB ∆内角AOB 的平分线上．综合上述内角AOB 平分线为：)20(≤≤=x x y ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例7 判断方程122+--=x x y 所表示的曲线．分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形．解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ，即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线，如图所示：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程21-=-y x 等价于2)1(2-=-y x 且1≥x ，即)1(2)1(2≥+-=x x y ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8 如图所示，已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结PB ，则PB PM =，由此4==+=+AM PM PA PB PA ，即动点P 到两定点A ，B 距离之和为常数．解：过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系 ∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(．连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ， ∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ．设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ，化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程． 说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P 点与两定点A ，B 距离之和为常数4，是解本题的关键．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过()42，P 点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若1l 交1l 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：连接PM ，设()y x M ，，则()02，x A ，()y B 20，．∵ 21l l ⊥∴ PAB ∆为直角三角形．由直角三角形性质知 AB PM 21= 即 ()()2222442142y x y x +=-+- 化简得M 的轨迹方程为052=-+y x说明：本题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法．用斜率求解的过程要麻烦一些．典型例题十例10 求与两定点A 、B 满足222k PB PA =-（k 是常数）的动点P 的轨迹方程． OA x P yB 图２ M分析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为x 轴，过AB 的中点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,(a A -，)0,(a B ，),(y x P ，则：222)(y a x PA ++=，222)(y a x PB +-=． 据题意，222k PB PA =-，有[][]22222)()(k y a x y a x =+--++得24k ax =． 由于k 是常数，且0≠a ，所以ak x 42=为动点的轨迹方程，即动点P 的轨迹是一条平行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取A 与B 两点连线为x 轴，过A 点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,0(A ，)0,(a B ，),(y x P ，则：222y x PA +=，222)(y a x PB +-=． 据题意，222k PB PA =-，有()[]22222)(k y a x y x =+--+， 得a k a x 222+=，即动点P 的轨迹方程为ak a x 222+=，它是平行于y 轴的一条直线． 解法三：如图丙建立坐标系，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，则21212)()(y y x x PA -+-=，22222)()(y y x x PB -+-=． 据题意，222k PB PA =-，有 [][]222222121)()()()(k y y x x y y x x =-+---+-， 整理后得到点P 的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212=---++-+-k y x y x y y y x x x ，它是一条直线．说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线．而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦．因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要．另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线． 典型例题十一例11 两直线分别绕着定点A 和B (a AB 2=)在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式． 解：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，P 属于集合{}222AB PB PA P C =+=．设),(y x P ，则22222)2()()(a y a x y a x =+-+++，化简得222a y x =+．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现如下解答错误：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，交点P 属于集合{}{}1-=⋅=⊥=PB PA k k P PB PA P C ． 设),(y x P ，则a x y k PA +=)(a x -≠，a x y k PB -=)(a x ≠， 故1-=-⋅+ax y a x y ，即222a y x =+(a x ±≠)． 要知道，当x PA ⊥轴且另一直线与x 轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为A ．同样x PB ⊥轴重合时，且另一直线与x 轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B ．因而，)0,(a A -与)0,(a B 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时，即a x ±=时，)0,(a A -和)0,(a B 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是222a y x =+．求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分．典型例题十二例12 如图，ABC Rt ∆的两条直角边长分别为a 和b )(b a >，A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程．分析：由已知ACB ∠是直角，A 和B 两点在坐标轴上滑动时，AOB ∠也是直角，由平面几何知识，A 、C 、B 、O 四点共圆，则有AOC ABC ∠=∠，这就是点C 满足的几何条件．由此列出顶点C 的坐标适合的方程．解：设点C 的坐标为),(y x ，连结CO ，由︒=∠=∠90AOB ACB ，所以A 、O 、B 、C 四点共圆．从而ABC AOC ∠=∠．由a b A B C =∠ta n ，x y AOC =∠tan ，有ab x y =，即x a b y =． 注意到方程表示的是过原点、斜率为ab 的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a 、b 为常数，故C 点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考察A 与B 两点在坐标轴上的极端位置，确定C 点坐标的范围．如下图，当点A 与原点重合时，x b a x AB S ABC ⋅+=⋅=∆222121，所以22ba ab x +=． 如下图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标BD x =．由射影定理，AB BD BC ⋅=2，即222b a x a +⋅=，有222b a a x +=．由已知b a >，所以22222b a a b a ab+<+．故C 点的轨迹方程为：x a b y =（22222ba a xb a ab +≤≤+）． 说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分．典型例题十三例13 过点)2,3(P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A ，2l 交y 轴于B ，M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ，求M 点的轨迹方程．分析：如图，设),(y x M ，题中几何条件是21l l ⊥，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M 的轨迹方程即x 、y 之间的关系，首先要把1l 、2l 的斜率用x 、y 表示出来，而表示斜率的关键是用x 、y 表示A 、B 两点的坐标，由题可知M 是A 、B 的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A 、B 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 、B 两点的坐标，并求出M 点的轨迹方程．解：设),(y x M ，)0,(a A ，),0(b B∵M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ．∴M 分AB 所成的比是31， 由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=31131311b y a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==y b x a 434， ∴)0,34(x A 、)4,0(y B又∵)2,3(P ，∴1l 的斜率x k 34321-=，2l 的斜率3242--=y k ． ∵21l l ⊥，∴13243432-=--⋅-y x ． 化简得：01384=-+y x ．说明：本题的上述解题过程并不严密，因为1k 需在49≠x 时才能成立，而当49=x 时，)0,3(A ，1l 的方程为3=x ．所以2l 的方程是2=y ．故)2,0(B ，可求得)21,49(M ，而)21,49(也满足方程01384=-+y x ．故所求轨迹的方程是01384=-+y x ．这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性．典型例题十四例14 如图，已知两点)2,2(-P ，)2,0(Q 以及一直线x y l =：，设长为2的线段AB在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．分析1：设),(y x M ，题中的几何条件是2=AB ，所以只需用),(y x 表示出A 、B 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出A 、M 两点坐标的关系，显然P 、A 、M 三点共线．这样便可找出A 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 的坐标，同理便可表示出B 的坐标，问题便可以迎刃而解．解法一：设),(y x M 、),(a a A 、),(b b B )(a b >．由P 、A 、M 三点共线可得：2222+-=+-x y a a （利用PA 与MP 斜率相等得到） ∴422+-+=y x y x a ． 由Q 、B 、M 三点共线可得x y b b 22-=-． ∴22+-=y x x b ． 又由2=AB 得2)(22=-b a ．∴1=-a b ，∴142222=+-+-+-y x y x y x x ． 化简和所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．分析2：此题也可以先用P 、A 、M 三点共线表示出A 点坐标，再根据2=AB 表示出B 点坐标，然后利用Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设),(y x M ，),(a a A 由2=AB 且B 在直线x y =上且B 在A 的上方可得：)1,1(++a a B由解法一知422+-+=y x y x a ， ∴)443,443(+-+++-++y x y x y x y x B 又由Q 、B 、M 三点共线可得：xy y x y x y x y x 24432443-=+-++-+-++． 化简得所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．解法三：由于2=AB 且AB 在直线x y =上所以可设),(a a A ，)1,1(++a a B ．则直线AP 的方程为：)2)(2()2)(2(+-=-+x a y a直线BQ 的方程为：x a y a )1()2)(1(-=-+ 由上述两式解得)0(1212≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=a a a y a a x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+=+44)1(44)1(222222a a y a a x ∴8)1()1(22-=+-+y x ，即082222=+-+-y x y x ．而当0=a 时，直线AP 与BQ 平行，没有交点．∴所求轨迹方程为082222=+-+-y x y x ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反映出运动的观点．。
高考专题安徽省宿松县九姑中学高考数学百大经典例题：两平面的平行判定和性质.docx
例1：已知正方体1111-D C B A ABCD ．求证：平面//11D AB 平面BD C 1．证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，∴B C A D 11//，又 ⊂B C 1平面BD C 1，故 //1A D 平面BD C 1．同理 //11B D 平面BD C 1．又 1111D B D A D =I ，∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．典型例题二例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．求证：α⊂a ．证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγI ，b =γβI ．∵βα//∴b a //1又β//a∴b a //在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行∴a 与1a 重合，即α⊂a ．说明：本题也可以用反证法进行证明．例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．已知：如图，βα//，A l =αI．求证：l 与β相交．证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ．∴γ与α、β都相交．设a =αγI ，b =γβI ．∵βα//∴b a //又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ．∵l 与b 相交．所以l 与β相交． 典型例题四例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证： α//EF ，β//EF ．证明：连接AF 并延长交β于G ．∵F CD AG =I∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC =αγI ，DG =βγI ．∵βα//，所以 DG AC //，∴ GDF ACF ∠=∠，又 DFG AFC ∠=∠，DF CF =，∴ △ACF ≌△DFG ．∴ FG AF =．又 BE AE =，∴ BG EF //，β⊂BG ．故 β//EF ．同理α//EF说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．典型例题六例6 如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为1A 、1B 、1C 、1D ，且1A 、1B 、1C 、1D 互不重合，也无三点共线．求证：四边形1111D C B A 是平行四边形．证明：∵α⊥1AA ， α⊥1DD∴11//DD AA不妨设1AA 和1DD 确定平面β．同理1BB 和1CC 确定平面γ．又11//BB AA ，且γ⊂1BB∴γ//1AA同理γ//AD又A AD AA =I 1∴γβ//又11D A =βαI ，11C B =γαI∴1111//C B D A ．同理1111//D C B A ．∴四边形1111D C B A 是平行四边形．典型例题七例7 设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．典型例题八例8 设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ．∵平面α⊥平面γ，∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ，∴MN PQ //．又∵p a //，Q a PQ =I ，N b MN =I ，∴平面α//平面β．说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，就可推出MN PQ //．由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．典型例题九例9 如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：β//MN ；(2)求MN 的长．分析：（1）要证β//MN ，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面β//PMN ．为此证明β//PM ，β//PN 即可．(2)要求MN 之长，在CMA ∆中，CM 、CN 的长度易知，关键在于证明CD MN ⊥，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结AD ，设P 是AD 的中点，分别连结PM 、PN ．∵M 是AB 的中点，∴BD PM //．又β⊂BD ，∴β//PM ．同理∵N 是CD 的中点，∴AC PN //．∵α⊂AC ，∴α//PN ．∵βα//，P PM PN =I ，∴平面β//PMN ．∵MN ⊂平面PMN ，∴β//MN ．(2)分别连结MC 、MD ．∵b BD AC ==，a BM AM 21==， 又∵AB 是α、β的公垂线，∴︒=∠=∠90DBM CAM ，∴ACM Rt ∆≌BDM Rt ∆，∴DM CM =，∴DMC ∆是等腰三角形．又N 是CD 的中点，∴CD MN ⊥．在CMN Rt ∆中，22222421c a b CN CM MN -+=-=． 说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．典型例题十例10 如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ．在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β．∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a =''I ，∴αβ//． 所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：m =ρβI ，n =ργI ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．典型例题十二例12 已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ∆上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，FH 就是适合题意的直线． 怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点．证法1：连结CG 交DE 于点H ，∵DE 是ABC ∆的中位线，∴AB DE //．在ACG ∆中，D 是AC 的中点，且AG DH //，∴H 为CG 的中点．∵FH 是SCG ∆的中位线，∴SG FH //．又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴//SG 平面DEF ．分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出．证法2：∵EF 为SBC ∆的中位线，∴SB EF //．∵⊄EF 平面SAB ，⊂SB 平面SAB ，∴//EF 平面SAB ．同理：//DF 平面SAB ，F DF EF =I ，∴平面SAB //平面DEF ，又∵⊂SG 平面SAB ，∴//SG 平面DEF ．典型例题十三例13 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9=PA ，12=AB ，12=BQ ，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．分析：求BDE ∆的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF ∆的面积，若BDE ∆与ACF ∆的对应边有联系的话，可以利用ACF ∆的面积求出BDE ∆的面积．解：∵平面AF QAF =αI ，平面BE QAF =βI ，又∵βα//，∴BE AF //．同理可证：BD AC //，∴FAC ∠与EBD ∠相等或互补，即EBD FAC ∠=∠sin sin ． 由BE FA //，得212412∶∶∶∶===QA QB AF BE ， ∴AF BE 21= 由AC BD //，得：73219∶∶∶∶===PB PA BD AC ，∴AC BD 37=． 又∵ACF ∆的面积为72，即72sin 21=∠⋅⋅FAC AC AF ． ∴EBD BD BE S DBE ∠⋅⋅=∆sin 21 FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 372121 FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 2167847267=⨯=． ∴BDE ∆的面积为84平方单位．说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．典型例题十四例14 在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离．分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a 和b 是两条异面直线，则过a 且平行于b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决．具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD 和C B 1找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．解：如图，根据正方体的性质，易证：1111111//////D CB BD A C D B A D B BD 平面平面⇒⎭⎬⎫ 连结1AC ，分别交平面BD A 1和平面11D CB 于M 和N因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥ 由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥∴⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB∴平面BD A 1和平面11D CB 间的距离为线段MN 长度．如图所示：在对角面1AC 中，1O 为11C A 的中点，O 为AC 的中点 ∴a AC NC MN AM 333111====． ∴BD 和C B 1的距离等于两平行平面BD A 1和11D CB 的距离为a 33． 说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距．设a 、b 是两条异面直线，作出经过b 而和a 平行的平面α，通过计算a 和α的距离，得出a 和b 距离，这样又回到点面距离的计算；②转化为面面距，设a 、b 是两条异面直线，作出经过b 而和a 平行的平面α，再作出经过a 和b 平行的平面β，通过计算α、β之间的距离得出a 和b 之间的距离．典型例题十五例15 正方体1111D C B A ABCD -棱长为a ，求异面直线AC 与1BC 的距离．解法1：（直接法）如图：取BC 的中点P ，连结PD 、1PB 分别交AC 、1BC 于M 、N 两点，易证：MN DB //1，AC DB ⊥1，11BC DB ⊥．∴MN 为异面直线AC 与1BC 的公垂线段，易证：a DB MN 33311==． 小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时，难度较大．解法2：（转化法）如图：∵//AC 平面B C A 11，∴AC 与1BC 的距离等于AC 与平面B C A 11的距离， 在1OBO Rt ∆中，作斜边上的高OE ，则OE 长为所求距离， ∵a OB 22=，a OO =1， ∴a B O 231=，∴a B O OB OO OE 3311=⋅=． 小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离．解法3：（转化法）如图：∵平面1ACD //平面B C A 11，∴AC 与1BC 的距离等于平面1ACD 与平面B C A 11的距离． ∵⊥1DB 平面1ACD ，且被平面1ACD 和平面B C A 11三等分；∴所求距离为a D B 33311=． 小结：这种解法是线线距离转化为面面距离．解法4：（构造函数法）如图：任取点1BC Q ∈，作BC QR ⊥于R 点，作AC PK ⊥于K 点，设x RC =， 则x a QR BR -==，KR CK =，且222CR CK KR =+∴2222121x CR KR ==． 则222)(21x a x QK -+=2223131)32(23a a a x ≥+-=， 故QK 的最小值，即AC 与1BC 的距离等于a 33． 小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离．解法5：（体积桥法）如图：当求AC 与1BC 的距离转化为求AC 与平面B C A 11的距离后，设C 点到平面B C A 11的距离为h ，则1111BCC A B C A C V V --=． ∵222131)2(4331a a a h ⋅⋅=⋅， ∴a h33．即AC 与1BC 的距离等于a 33． 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之．这种方法在后面将要学到．说明：求异面直线距离的方法有：(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面α，则b 与α距离就是a 、b 距离．（线面转化法）．也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 平行于a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解． 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．典型例题十六例16 如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为︒30，求线段AC 长的取值范围．解法1：如图所示：作β⊥AD 于D ，连结BD 、CD 、BC∵BD AB >，DC AC >，222BC AC AB =+， ∴在BDC ∆中，由余弦定理，得：022cos 222222=⋅-+<⋅-+=∠CDBD BC AC AB CD BD BC CD BD BDC ．∵β⊥AD ，∴ABD ∠是AB 与β所在的角． 又∵βα//，∴ABD ∠也就等于AB 与α所成的角，即︒=∠30ABD ．∵2=AB ，∴1=AD ，3=BD ，12-=AC DC ，24AC BC +=，∴01324131222<-⋅---+≤-AC AC AC ，即：31102≤-<AC ．∴332≥AC ，即AC 长的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,332．解法2：如图：∵AC AB ⊥∴AC 必在过点A 且与直线AB 垂直的平面γ内设l =βγI ，则在γ内，当l AC ⊥时，AC 的长最短，且此时ABC AB AC ∠⋅=tan33230tan =︒⋅AB 而在γ内，C 点在l 上移动，远离垂足时，AC 的长将变大，从而332≥AC ， 即AC 长的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,332． 说明：(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习．(2)解法1利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC 长的不等式，再通过解不等式得到AC 长的范围，此方法以运算为主．(3)解法2从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段AC 是连结异面直线AB 和l 上两点间的线段，所以AC 是AB 与l 的公垂线段时，其长最短．典型例题十七例17 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知：γα//，γβ//，求证：βα//．分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．证明一：如图，假设α、β不平行，则α和β相交．∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ． ∵γα//，γβ//， ∴γ∉A ．于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。
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安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 平面（含解析）例1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．1或3分析：本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：答案：D ．说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯． 典型例题二例2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面．分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条确定一个平面α，另两条确定平面β，再证平面α，β重合．已知：c b a ////，A a l = ，B b l = ，C c l = ．求证：直线a ，b ，c ，l 共面．证明： ∵ b a //，∴ a ，b 确定一个平面α．∵ A a l = ，B b l = ，∴ α∈A ，α∈B ，故α⊂l ．又 ∵ c a //， ∴ a ，c 确定一个平面β．同理可证β⊂l ．∴ a =βα ，且l =βα ．∵ 过两条相交直线a ，l 有且只有一个平面，故α与β重合即直线a ，b ，c ，l 共面．说明：本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形．本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法．这两种方法是证明线共面问题的常用方法．在证明α⊂c 时，也可以用如下反证法证明：假设直线α⊄c ，则c 一定与α相交，此时直线c 与a 内的所有直线都不会平行，这显然与c a //矛盾．故α⊂c ．典型例题三例3 已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P ，Q ，R 三点，证明P ，Q ，R 三点在同一条直线上．分析：如图所示，欲证P ，Q ，R 三点共线，只须证P ，Q ，R 在平面α和平面ABC ∆的交线上，由P ，Q ，R 都是两平面的公共点而得证．证明：∵ P AB =α ，Q BC =α ，∴ PQ 是平面α与平面ABC 的交线．又 ∵ R AC =α ，∴ α∈R 且∈R 平面ABC ，∴ PQ R ∈，∴ P ，Q ，R 三点共线．说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上．典型例题四例4 如图所示，ABC ∆与111C B A ∆不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交，证明：三直线1AA 、1BB 、1CC 交于一点．分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．证明：由推论2，可设1BB 与1CC ，1CC 与1AA ，1AA 与1BB 分别确定平面α，β，γ．取P BB AA =11 ，则1AA P ∈，1BB P ∈．又因1CC =βα ，则1CC P ∈（公理2），于是P CC BB AA =111 ，故三直线1AA 、1BB 、1CC 共点．说明：空间中证三线共点有如下两种方法：（1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．（2）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合．从而得三线共点．典型例题五（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？分析：（1）可利用公里3判定。
（2）可利用公里3的推论3判定。
（3）需进行分类讨论判定。
解：（1）不共面的四点可以确定四个平面。
（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定3个平面。
（3）共点的三条直线可以确定1个或3个平面。
说明：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏。
平面的确定问题主要是根据已知条件和公里3及其3个推论来判定平面的个数。
典型例题六例6A、B、C为空间三点，经过这三点：A．能确定一个平面B．能确定无数个平面C．能确定一个或无数个平面D．能确定一个平面或不能确定平面分析：本题考查空间确定平面的方法，解题的主要依据是公理3及三个推论．解：由于题设中所给的三点A、B、C并没有指明这三点之间的位置关系，所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”．当A、B、C三点共线时，经过这三点就不能确定平面，当A、B、C三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面，故选D．说明：空间确定一平面的方法有多种，既可以根据不共线的三点来确定一个平面，又可以根据空间两相交直线或两平行直线来确定一个平面．典型例题七例7判断题（答案正确的在括号内打“√”号，不正确的在括号内打“×”号）．(1)两条直线确定一个平面；（）(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面；（）(3)两两相交的三条直线不共面；（）(4)不共面的四点中，任何三点不共线．（）分析：(1)两条直线能否确定平面，应注意这两条直线的位置关系，不给出位置关系则要分情况讨论，才可得出结论．两条相交直线可确定一个平面，两条平行直线可确定一个平面，除此以外的任何两条直线不能确定平面；(2)经过一点的两条直线可确定一个平面，三条直线不一定能确定平面；(3)三条直线两两相交，若不共点时这三条直线必共面；(4)如果有三点共线，则此三点所在直线与第四点必同在某一平面内，即四点共面．解：(1)× (2)× (3)× (4)√．说明：由(3)题的分析过程可知：两两相交的三条直线有时共面有时不共面．那么对于空间四条直线何时共面何时不共面呢？典型例题八例8 如图，在正方体1111D C B A ABCD 中，点E 、F 分别是棱1AA 、1CC 的中点，试画出过点1D 、E 、F 三点的截面．分析：本题考查作多面体截面的能力，主要依据是公理1和公理2欲画出所要求的截面与正方体各个侧面的交线．解：连F D 1并延长F D 1与DC 的延长线交于点H ，连结E D 1与DA 的延长线交于点G ，连结GH 与AB 、BC 两条棱交于点B ，连结BE 、BF ，则F BED 1就是过点1D 、E 、F 三点的截面．说明：本题亦可以证明点B 、E 、1D 、F 四点共面．若E 、F 不是棱A A 1与C C 1的中点，则作图过程中GH 不一定过点B ，所画的截面多边形可能是五边形． 典型例题九例9 判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平行四边形是一个平面．(2)任何一个平面图形都是一个平面．(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．解：(1)不正确．平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延伸的． 说明：在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面．(2)不正确．平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小，它是不可能无限延展的．说明：要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概念．(3)不正确．在空间图形中，我们一般是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线（无论是题中原有的，还是后引的辅助线）．说明：在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线；在立体几何中却不然．有的同学在学习立体几何时，对此点没有认识，必将影响空间立体感的形成，削弱或阻断空间想象能力的培养．典型例题十例10 按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如下图的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的线段AB ，分别是两个平面的交线．解：由两个相交平面的画法：本题只须过线段的端点画出与交线AB 平行且相等的线段，即可得到相关的平行四边形，注意被平面遮住的部分应画成虚线或者不画，然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可如下图所示．说明：(1)画好两个相交平面的图形，是画好一切立体图形的基础．(2)画空间图形的过程，是培养我们空间想象能力的过程，一定要认真对待，决不可以掉以轻心．典型例题十一例11 (1)一个平面将空间分成几部分？(2)两个平面将空间分成几部分？(3)三个平面将空间分成几部分？画出图形，（要求：至少有两种情况有画法过程） 解：(1)一个平面将空间分成两部分．(2)两个平面平行时，将空间分成三部分，两个平面相交时，将空间分成四部分．(3)本小题情况比较复杂，须分类予以处理．情况1：当平面α、平面β、平面γ互相平行（即γβα////），将空间分成四个部分，其图形如右图．情况2：当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交（即βα//，γ与其相交），将空间分成六部分，其图形如下图．画法是：情况3：当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合（即l =βα 且l =γα ） 将空间分成六部分，其图形如下图．说明：本种情况给出两种图形，一种是将交线画成水平状态，一种是将交线画成竖直状态．情况4：平面α、平面β、平面γ都相交且三条交线共点，但互不重合．（即l =γα ，且γ与α、β都相交，三条交线共点）．将空间分成八部分，其图形如下图．画法是：情况5：平面α、平面β、平面γ两两相交且三条交线平行（即l =βα ，γ与α、β都相交且三条交线平行）．将空间分成七部分，其图形如下图．说明：1．本小题(3)，在解答过程中，采用了简单到复杂递进的处理方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第三个平面以不同情况介入，然后分类解决．2．通过此题的解答，要学会处理问题的思维方法，注意逻辑思维能力的培养与提高．3．本题是一个基础性很强的问题，无论是对立体图形的画法以及空间想象能力的形成都大有裨益．典型例题十二例12下图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．解：对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画，因此A的画法不正确．同样的道理，也可知B、C图形的画法不正确．D的图形画法正确．∴应选D．说明：对空间图形的准确辨识，是培养空间想象能力的重要组成部分，一定要注意这方面能力的锻炼．典型例题十三例13观察下图，说明图形中的不同之处．解：上面的图形都是由九条线段构成的图形、外形似乎相似．仔细观察，由于图中的实、虚线的画法不同，则反映了不同的几何体．A图是一个簸箕形图形；B图是体，是三棱柱；C图也是体，也是三棱柱．B图如果看作是从三棱柱的正面观察，C图则可看作是从三棱柱的后面观察．说明：在立体几何中，一定要明确画图过程中哪条线画实线，哪条线画虚线．要记住：能够看得到的线一定画成实线，被挡住的看不到的线画成虚线．下面再给出两组图形如下图所示，请同学们予以辨识，指出它们有什么不同．典型例题十四例14若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q、b、β之间的关系可记作（）．A ．β∈∈b QB ．β⊂∈b QC ．β⊂⊂b QD ．β∈⊂b Q解法1：（直接法）∵点Q 在直线b 上，∴b Q ∈，∵直线b 在平面β内，∴β⊂b ，∴β⊂∈b Q ．∴应选B ．解法2：（排除法）∵点Q 与直线b 之间的关系是元素与集合之间的关系，∴只能用符号“∈”或“∉”表示，∴C 、D 应予排除．∵直线b 与平面β之间是集合与集合之间的关系，∴只能用符号“⊂”或“⊄”表示，∴A 应予以排除．综上可知应选B ．说明：要能正确地使用点、直线、平面之间关系的符号语言．典型例题十五例15 用符号语言表示下列语句(1)点A 在平面α内，但在平面β外；(2)直线a 经过平面α外一点M ；(3)直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a ．解：(1)α∈A 但β∉A ．(2)α∉M ，a M ∈．(3)α⊂a 且β⊂a ，即a =βα ．说明：符号语言比较简洁、严谨，可大大的缩短文字语言表达的长度，有利于推理、计算．典型例题十六例16 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并用用图形语言予以表示．βαβα⊂⊂∈=AC AB l A l ,,, ．分析：本题实质是数学三种语言——符号语言、文字语言、图形语言的互译． 解：文字语言叙述为：点A 在平面α与平面β的交线l 上，AB 、AC 分别在α、β内．图形语言表示为如图：说明：文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，我们教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用． 各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便．有利于培养我们思维的广阔性．典型例题十七例17 如下图中ABC ∆，若AB 、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内．解：∵AB 在平面α内，∴A 点一定在平面α内．∵BC 在平面α内，∴C 点一定在平面α内．∴点A 、点C 都在平面α内．∴直线AC 在平面内（公理1）．说明：公理1可以用来判断直线是否在平面内．典型例题十八例18 如下图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1CC 和1AA 上的中点，画出平面F BED 1与平面ABCD 的交线．分析：可根据公理2，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条直线，也只有这一条直线；这条直线的位置还须借助于另一个条件来确定．解：在平面D D AA 11内，延长F D 1，∵F D 1与DA 不平行，因此F D 1与DA 必相交于一点，设为P则1FD P ∈，DA P ∈．又∵⊂1FD 平面F BED 1，⊂AD 平面ABCD 内，∴∈P 平面F BED 1，∈P 平面ABCD ．又B 为平面ABCD 与平面F BED 1的公共点，∴连结PB ，PB 即为平面F BED 1与平面ABCD 的交线．说明：公理2是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线．要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线．同时要注意，找到两个平面的一个公共点，交线的具体位置还无法判定，只有找到两个公共点，才确定这两个平面的交线．这是做几何体截面时确定交线经常用到的方法．典型例题十九例19 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内．所组成的空间图形叫空间四边形．）各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点，且直线EF 和HG 交于点P ，如下图，求证：点B 、D 、P 在同一条直线上．证明：如图∵直线EF 直线P HG =，∴P ∈直线EF ，而EF ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ．同理，P ∈平面CBD ，即点P 是平面ABD 和平面CBD 的公共点．显然，点B 、D 也是平面ABD 和平面CBD 的公共点，由公理2知，点B 、D 、P 都在平面ABD 和平面CBD 的交线上，即点B 、D 、P 在同一条直线上．说明：证明三点共线通常采用如下方法：方法1是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理2知，这些点都在交线上．方法2是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．。